6一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化与箱归一化

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第5讲一维势场中能量本征态的一般性质

15
任何解，任何解，均可表示为这一组实解的线性叠 E
不谈。不谈。
复数域，由定理1，如果 ψ (x) ∈ 复数域，由定理， * ( x) 也是能量本征 ψ
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(8) 一维势场中粒子能量本征态的一般性质(8)
ϕ1 ( x) = ψ ( x) + ψ * ( x), 令：
偶宇称奇宇称
注意：一般的函数没有确定的宇称！注意：一般的函数没有确定的宇称！
11
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(4) 一维势场中粒子能量本征态的一般性质( 4、定态薛定谔方程
轴运动，设质量为 m 的粒子沿 x 轴运动，势能为 V ( x, t ) 粒子波函数所满足的方程为：粒子波函数所满足的方程为：
+∞
−∞
ψ ( x )ψ ( x ) dx =
* n +∞ m −∞ * n
∫
+∞
−∞
ψ ( x ) ∑ c mψ m ( x ) dx
=
∑c ∫
m =1
∞
ψ ( x )ψ m ( x ) dx =
∑c
m =1
m
δ mn = c n
其中：其中：
∫
+∞ −∞
ψ ( x )ψ
* n
m
( x ) dx = δ mn
量子力学
光电子科学与工程学院王可嘉
第五讲一维势场中能量本征态的一般性质有限深对称方势阱中的束缚态
1
第5讲目录
一、再论正交、归一、完备态再论正交、归一、二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质三、有限深对称方势阱中的束缚态
2
一、再论正交、归一、完备态（1）再论正交、归一、完备态（

3.1一维定态的一般性质

1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
2 d 2
2 d 2
Y 2 Z d 2 X x V 1 ( x ) X 2 d Z 2 Y y V 2 ( y ) X 2 d Y 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
两边除于（ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
当能级有简并时，用定理2
定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表成这一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。
证明：
设(x)是属于E能的量本征函数
它可以是实解，也可以为复解。如为实解，则把它到归实结解集合中去
(注意我们的目的是组找实这解集)合. 现在只需证明如，为则复可解以表为一实组完备解的线性叠加。
令 (x,y,z)X (x)Y (y)Z (z)
于是S-方程化为：
2 2 d d 2 2 d d x 2 2 d d y 2 2 X ( z x ) Y ( y ) Z ( z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z ) ( x ,y ,z ) E ( x表 )的为线性叠加
即
(x)1(i)
2
*(x)1(i)
实解线性叠加
2
定理3：设V(x)具有空间反射不变性 V(-x)= V(x)
如ψ(x)是定态方程的属于能量为E的解，则 ψ(-x)也是方程的相应于能量为E的解。证明：对方 x 程 x ，进按 V ( 行 x ) 假 V (x )，定

量子力学_21一维势场中粒子能量本征态的一般性质

a
2
n x dx 1
8
0
A ,2取/ a.为实数A.
则归一化的波函数表示为
n
x
2 a
sin
nx a
,
0 xa
9
0,
x 0, x a
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量量子子力学力教学程教程(第二版)
设
a 为阱宽,
2.2.2 有限深对称方势阱
V
x
0,
V0 ,
x a 2
对于一维粒子,则为 P x x.
如果对应于某能量 , 方程(1)的解无简并,
则解必有确定的宇称(parity).
P x x x
偶宇称解 (even parity)
P x x x
奇宇称解 (odd parity)
一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。
k 2 2 sh2a 4k 2 2
可以看出
R 2 S 2 1
R表2示粒子被势垒反弹回去的概率, 表示粒子透过势垒的S概2率.
粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象, 成为隧穿效应.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量量子子力学力教学程教程(第二版)
对于情V况0,从式可以看2出3,只需在式中,把
而按照边条件 , 得a 0 即 sin ka 0,
ka n,
n 1, 2,3
5
注意 n 0给出的波函数
,无物理意义,而0
取负值与取正值所给出的波函数描述的
n 是同一个量子态.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量量子子力学力教学程教程(第二版)
联合式(5)和(3)

一维定态的一般性质

得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0

a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )

( x) ( x)
连续得证
定理6 对于一维粒子，设 1 ( x) 和 2 ( x) 均为方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则 2 1 常数(与x无关) 1 2
(r 0)
x=0是一个孤立奇点，虽然在x=0点 (不连 x) (0) 0 续，但其基态波函数，所以也不是简并的。
2 2 i ( x, t ) [ V ( x)] ( x, t ) 2 t 2m x
（1）
对于定态，即具有一定能量E的状态，波函 i Et 数形式为（2） ( x, t ) ( x)e
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
1 ( x) ( f ( x) g ( x)), 2
1 ( x) ( f ( x) g ( x)) 2

第一章+薛定谔方程,一维定态问题

第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程，一维定态问题
本章主要介绍量子力学的基础概念和薛定谔方程的推导及其在
一维定态问题中的应用。

量子力学是描述微观世界中物质及其运动规律的理论。

在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，波函数可以用来计算粒子在不同位置的概率密度。

薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。

一维定态问题是指一个粒子在一维空间中的运动状态是定态的，即粒子的波函数只包含一个能量本征态。

在一维定态问题中，薛定谔方程可以简化为一维薛定谔方程，可以通过求解该方程得到粒子的能量本征态和能量本征值。

本章将详细介绍薛定谔方程的推导过程和一维定态问题的求解
方法，包括定态薛定谔方程的解法和粒子在势阱和势垒中的运动规律。

同时还将介绍相关的数学工具和物理概念，如波函数、能量本征态、能量本征值和概率密度等。

通过学习本章内容，读者将能够了解量子力学的基本概念和薛定谔方程的应用，掌握一维定态问题的求解方法，为后续学习量子力学的进阶内容奠定基础。

- 1 -。

一维定态的一般性质

证明
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
1 2 2 1 0
( 1 2 2 1 ) 0
1 2 2 1 常数(与x无关)
得证
对束缚态
1 2 2 1
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。证明设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两个束缚态解
1 2 2 1
本征值E的解，则
是方程（3）的对应于能量 (x)
( 也是方程（3）的对应于 x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 (x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0

a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )

( x) ( x)
连续得证

§2.1一维能量本征态的一般性质

第2章一维势场中的粒子教材第2章P27～49§ 2.1一维能量本征态的一般性质§ 2.2方势§ 2.3 一维谐振子§ 2.1一维能量本征态的一般性质质量为m 的粒子在一维势)(x V 中运动，能量本征方程为)()(ˆx E x Hψ=ψ )(2ˆ222x V xm H +-=d d 或写成)()()(2222x E x x V x m ψ=ψ+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d注意)(x V 为实。

问题一般分为两类：给定)(x V 求E 和ψ，给定)(x V 和E 求ψ。

下面讨论能量本征方程解的一般性质定理1 . 设)(x ψ是能量本征方程的一个解，对应的能量本征值为E ，则)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也是E 。

证明：设)(x ψ是能量本征方程的一个解，方程两边取复共轭，因E 和)(x V 为实，则)()()(2**222x E x x V x m ψ=ψ+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d即)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也是E 。

若能量的某一本征值E 无简并，即只有一个独立的本征波函数)(x ψ，则)(x ψ可取为实函数。

这是因为：由定理1，)(x ψ和)(*x ψ均为与E 对应的本征波函数。

因E 无简并，则)()(*x C x ψ=ψ其中C 为常数。

上式取复共轭)()()(2**x C x C x ψ=ψ=ψ 12=C αi C e =，α为实若取0=α，则)()(*x x ψ=ψ，即)(x ψ可取为实函数。

对于能级有简并情况，有定理2 定理2 . 对应于能量的某个本征值E ，总可以找到能量本征方程的一组实解，属于E 的任何解均可表示为这一组实解的线性叠加。

证明：设)(x ψ是对应能量E 的一个解，若为实解，则可归入实解的集合中去。

若为复解，按定理1， )(*x ψ也是方程的一个解，同属于能量E 。

由线性方程解的叠加定理，实函数)()()(*x x x ψ+ψ=ϕ)]()([)(*x x i x ψ-ψ-=χ也是方程的解，同属于能量E ，并彼此独立。

《量子力学》考试知识点

《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。

2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。

第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。

（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。

已知一维势箱中粒子的归一化波函数

一维势箱是量子力学中常见的模型之一，它是一个无限高、有限宽的势阱，通常用来研究粒子在受限空间中的运动和波函数的性质。

在这篇文章中，我们将深入探讨一维势箱中粒子的归一化波函数，从而全面理解这一物理概念。

1. 一维势箱模型的基本原理一维势箱是一个简单而重要的量子力学模型，它由一个无限高的势垒和两个无穷远处的势垒组成。

在这个势能场中，粒子受到的势能只取决于其位置，而不受到时间的影响。

我们可以通过求解薛定谔方程来得到粒子在一维势箱中的波函数和能级。

2. 一维势箱中的波函数形式对于一维势箱中的粒子而言，其波函数可以通过求解薛定谔方程得到。

在势能区域内，波函数满足薛定谔方程；而在势能区域外，波函数的取值将被限制在势能区域内。

一维势箱中粒子的波函数形式可以用简单的数学表达式来表示，而每个能级对应的波函数都有其特定的形式和特性。

3. 归一化波函数的重要性对于处于势能区域内的粒子而言，其波函数可以描述其在该位置的概率分布情况。

而为了确保波函数在整个空间内的概率密度为1，即粒子一定在某一位置上的概率为1，我们需要对波函数进行归一化处理。

归一化波函数的重要性在于确保波函数在整个空间内的概率密度总和为1，从而满足量子力学的概率解释。

4. 一维势箱中粒子的归一化波函数在一维势箱中，粒子的归一化波函数可以通过对波函数的幅值进行适当的归一化处理得到。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到不同能级对应的波函数形式，并通过归一化处理得到归一化波函数。

这些归一化波函数具有一定的特性，如满足正交性和归一性等。

5. 个人观点和理解一维势箱中粒子的归一化波函数是量子力学中的重要概念，它不仅可以帮助我们理解粒子在受限空间中的运动和性质，还可以帮助我们理解量子力学中波函数的概念和性质。

通过深入研究一维势箱中粒子的归一化波函数，我们可以更加深入地理解量子力学的原理和应用，从而为理解其他物理现象奠定良好的基础。

在本文中，我们深入探讨了一维势箱中粒子的归一化波函数，从其基本原理到具体的波函数形式和重要性，再到个人观点和理解。

一维定态波函数宇称的讨论

一维定态波函数宇称的讨论Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT一维定态波函数宇称的讨论一、一维定态波函数波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。

在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。

由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。

在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。

一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。

二、简并能级与非简并能级能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。

量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。

在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。

对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。

需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。

三、对一维定态波函数宇称的理解1.对宇称的理解引入宇称算符比较容易说明。

宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→→∧-=x x P ψψ。

第2章一维定态问题

mV0a2 2h2 2 4
即 V0a2 2h2 / 2m
时，才能出现最低的奇宇称能级。
由以上分析可以看出，束缚态能级是分立的，它是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
18
➢§2.3 线性谐振子
自然界中广泛碰到简谐运动，任何物体在平衡位置附近的小振动(如分子的振动、晶格的振动、原子表面振动及辐射场的振动等)在选择了适当的坐标之后，往往可以分解成若干个相互独立的谐振动。另外谐振动又是复杂运动的初步近似。所以谐振动的研究无论在理论上还是在应用上，都是极为重要的。谐振子的本征值问题，在历史上 Heisenberg首先用矩阵力学加以解决，后来Dirac 用算子代数的方法给出了极漂亮的解。
Th7：粒子在规则势场（V无奇点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 1 '2 2 '1 不包含 '1/ 1 '2/ 2 1 c2
说明：对多数常见的不规则势阱，上定理也成立，但对某些常见的不规则势阱定理不成立。
6
➢§2.2 方位势
1 一维无限深势阱分立谱
第2章一维定态问题
本章我们将薛定谔方程应用到几个比较简单的力学系统中去，求出方程的解和阐明这些解的物理意义。具体分为如下问题
1 一维定态的一般性质 2 方位势 3 线性谐振子 4 一维散射问题
1
➢§2.1 一维定态的一般性质
一维情况下，定态薛定谔方程为
[
h2 2m
d dx2
(14)
15
据波函数及其导数在|x|=a/2处的连续性，可确定粒子的能量本征值。若只讨论能量本征值，更方便的方法是利用
'/ 或ln'

3波函数的统计解释

ψ ′ dτ
2
归一化后波函数
2
ψ=
ψ′
c
=
ψ′
∫
∞
ψ ′ dτ
2
1/ c = 1/ ∫ ψ ′ dτ 称为归一化因子。称为归一化因子。 ∞
概率密度
w=ψ =
2
ψ′
2 2
∫
∞
ψ ′ dτ
四、波函数的性质
一般是复数（以后证明），），不表示任何真实物 1．波函数ψ ( r , t ) 一般是复数（以后证明），不表示任何真实物 2 理量。处的概率密度。理量。 ψ 表示 t 时刻粒子出现在 r 处的概率密度。
子弹实验：子弹实验：
水面波实验：水面波实验：
光波实验：光波实验：
电子实验：电子实验：
双缝实验
通过晶体衍射
光衍射与电子衍射的对比光栅衍射电子衍射
I ∝ E 02
I = Nhν ∝ N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多到达光子数少无光子到达
I ∝| ψ |
2
I∝N
电子到达该处概率大电子到达该处概率小电子到达该处概率为零各电子路径、各电子路径、终点均不确定
ψ 描写同一状态。 2． 2 (r , t ) = Aψ 1 (r , t ) A 是常数）与 ψ 1 (r , t ) 描写同一状态。（是常数）
都没有归一化，如果ψ 1 (r , t )和 ψ 2 (r , t ) 都没有归一化，则
w2 (r , t ) =
ψ 2 (r , t )
2
∫ψ
2
(r , t ) dτ
2
=
A ψ 1 (r , t ) 2
2
A

05-一维定态问题的一般性质

且f (t) ~ exp(iEt / ) 。若已知t=0时体系处于某
一个能量本征态： (r ,t 0) En (r ) ，则在t>0 后，体系状态为 (r , t) En (r ) exp(iEnt / ) 通常
称这样的态为定态。（粒子的概率、平均值）
2、简并
如果系统的能级是分立的，即 E En，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与
其对应，则称这个能级是简并的。
15
一维无限深方势阱中的能量本征值与本征态为
E En
2 2n2
2ma2
，n=1，2，3
实际中，简并的情况远比非简并的多，
2 n x
与对称性相关。

n
(
x)

sin( a
a
), 0 x a;
n 1, 2,3,
0,
x 0, x a.
V (x) V *(x)为实数，E也是实数，有
[
2 2m
2 x 2
V (x)]
* ( x)

E
* ( x)
*(x)也是方程解，对应的能量也是E。19
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2)
推论1
对应于能量的某个本征值E，能量本征方程的解
(x)不简并，则这个解可取为实函数。【证】 (x)是能量本征方程对应E的一个解，根据
2 a

cn
n1
sin
n x
a

n1
cn n
(x)

完备
8
一、正交、归一、完备态（3）
数学上， (x)
2 a

cn
n1

一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化和箱归一化.ppt

证明：由定理4和定理6，得
(x) c (x)
作代换 x ，x则 (x) c (x) c2 (x)
c2 1
c 1
c 1 c 1
定理得证。
(x) (x) (x) (x)
偶宇称；奇宇称。
定理8：如图所示，在一维情况下，若在U (x) 点不x连0 续，且、
有限U1，则U在2 点及仍x连0 续。
上式两边取复共轭，且考虑到 U * ，U则
h2
2
d 2 *
dx2
U
*
E
*
定理得证。
定理2：对于一维定态薛定谔方程，如果和1(x) 是对2 (应x) 于同一个能量本征值的两个独立的解，则有
1(x) 2 (x) 2 (x)1(x) c （与 x无关的常数）
证明：
1
2
h2
E
U
(
x)1
0
2
2
h2
证明：
h2
2
d2 dx2
U (x)
(x)
E
(x)
作代换 x ，x则
h2
2
d2 dx2
U (x)
(x)
E
(x)
考虑到 U (x) U，(得x)
h2
2
d2 dx2
U (x)
(x)
E
(x)
定理得证。
定理7：对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，则任一个属于能量本征值的束缚态都有确定的宇称。
1
(2)3/ 2
exp
i
p
r
二、本征函数的箱归一化
1．一维情况若限定粒子在 [的L,范L]围内运动，则它的波函数是归一化的。当 L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。

大学课件量子力学一维定态问题

例如: 双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
V ( x) V (a) 1 V 1! x
1 2V
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V(x)
a
x
V (a) V0
V 0
x xa
1）空间反射：空间矢量反射的操作
r r
(r ,
t)
(r,
t
)
2）如果有：
(r, t) (r, t)
(r, t) (r, t)
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
(r,
t)
(r ,
t
)
称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
3）如果在空间反射下，
(r, t) (r, t)
则波函数没有确定的宇称。
-a 0 a
（1）列出各势域的 Sch. — 方程
2
2
d2 dx 2
(
x)
V
(
x )
(
x)
E ( x)
d2 dx 2
( x)
2
2
[V
( x)
E ]
( x)
0
势V(x)分为三个区域，用 I 、II 和 III 表示，其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d 2
（1）一维运动（2）一维无限深势阱（3）宇称（4）讨论
（1）一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其
Schrodinger 方程为：
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2

一维定态薛定谔方程的一般性质

其中 α 为实数
[e iαψ ( x)]∗ = e iαψ ( x)
可见存在实函数 ϕ ( x) = e
iα
A14
ψ ( x)
它与ψ ( x) 描写同样的物理状态
3
一维束缚态能级分立束缚态满足ψ ( x → ±∞) → 0 对给定的 E 边界条件 ψ ( x → +∞) → 0 确定一个薛定谔方程 A1 的解记之为
上式说明
即
ψ ( x) = c ′ϕ ( x)
c ′ 为常数
A7
在 ϕ ( x) 的两个零点之间
ϕ ( x) 和ψ ( x) 只差一个常系数
所以在 ϕ ( x) = 0 的地方
因为 ϕ ( x) 是导数连续的函数空间为零根据 A6
ϕ ′( x) 不能为零否则它在全
在 ϕ ( x) 的零点
ψ ( x) 也等于零
ψ ∗ ( x) 也是对应同样能量的束缚本征态
由结论 1 可知
ψ ∗ ( x) = cψ ( x)
两边取复共轭得ψ ( x ) = c
∗
A12
ψ ∗ ( x) 因此
A13 代入 A12 式得到
ψ ∗ ( x) =| c | 2 ψ ∗ ( x)
所以
| c | 2 = 1 可令 c = exp(i 2α )
即
2M ( E 2 − E1 )ψϕ h2
A5
d (ψ ′ϕ − ϕ ′ψ ) = 2M ( E 2 − E1 )ψϕ dx h2
若 E1 = E 2 上式为零
ψ ′ϕ − ϕ ′ψ = c
其中 c 为常数因为有 A3 式常数 c = 0
(A6) 因此在所有 ϕ ( x) ≠ 0 的地方

2.6 一维定态问题

§2.6 一维定态问题一．一维定态波函数的一般性质对一维定态问题，薛定谔方程为定理一：设是方程的一个解，对应能量为E,则也是方程的一个解，对应能量也为E。

证明：，对方程两边取复共轭，利用满足相同的方程，对应的能量都是E。

定理二：设具有空间反射不变性，即，如为方程的一个解，对应能量为E；则也为方程的一个解，对应能量也是E。

定理三：当时，如无简并，方程的解有确定的宇称。

即偶宇称：，或奇宇称：。

证明：因为和都是能量E的解，二者应表示同样的状态。

因此应只差一常数。

，则所以，，，。

二．一维无限深势阱，，，，令，方程的解为：，利用边界条件：得：，即：，，（时，，无物理意义）, 对应的波函数为：。

利用归一化条件： , 得：，归一化后的波函数为：。

束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。

基态：体系能量最低的态。

三．一维线性谐振子一维线性谐振子的势能为，体系的薛定谔方程为，进行如下变量代换：，，薛定谔方程变为：，变系数二级常微分方程。

，方程变为，解为，时，有限，将写成如下形式：，带入原方程将H按展成幂级数，时，有限,要求幂级数只有有限项。

级数只有有限项的条件是：，线性谐振子的能级为：，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为。

零点能：，。

厄密多项式：递推公式: (1)（2）（3）（4）对应的波函数为：，归一化常数：四．势垒贯穿；薛定谔方程为，，(a)时令，方程变为：，，在区域，波函数：在区域，波函数：在区域，波函数：对投射波，不应有向左传播的波，即：。

利用波函数及微商在和的连续条件，我们有:::,解方程组：利用几率流密度公式：得出入射波、透射波、反射波的几率流密度入射波几率流密度：透射波几率流密度：反射波几率流密度：投射系数：反射系数：(b) 时令，方程变为：，方程的解形式为：利用边界条件得：其中双曲正弦函数，双曲余弦函数投射系数：隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。

按经典力学：，如，则动能为负。

一维定态性质

第三章一维定态问题§3.1 一维定态的一般性质性质1、当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。

证明：分能级无简并和有简并两种情况（1）能级无简并对应能级E ，只有一个独立的本征波函数。

设 )(x ψ为与E 对应的本征波函数)()(ˆx E x Hψψ= 取复共轭，因)()(*x V x V =，则)()(ˆ**x E x Hψψ= )(*x ψ也是与E 对应的本征波函数。

因无简并，则 αψψψψψi e C x C x C x x C x ====)()()()()(2***可取0=α，即)(x ψ可取为实函数。

（2）能级有简并对应某一能级E ，有两个或两个以上独立的本征波函数。

例如氢原子能级：eV 16.132nE n -=，波函数： )(r sl m nlm ψ，简并度：22n f =.设集合 )}({x i ψ为与E 对应的本征波函数 f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ ==ψψ 取共轭得f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ** ==ψψ 集合 )}({*x i ψ 也是与E 对应的本征波函数。

只要)}({x i ψ中有一个波函数，例如j ψ不是实函数，那么就可用实函数 )(*j j ψψ+或 )]([*j j i ψψ--来取代j ψ，最后总能组合成一组实函数。

所以，当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。

下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。

空间反射变换：用算符P ˆ代表空间反射变换 )()(ˆx x P-=ψψ 本征方程： )()(ˆx x Pψπψ=可以证明 π为实数。

只有当 π为实数时上述方程才是本征方程。

因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。

宇称（parity ）：空间反射变换算符的本征值 π．宇称的可能取值：)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ2x x P x P P x Pψψψψ=-== )()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ22x x P x P P x Pψπψπψψ=== )()(2x x ψπψ=211ππ=⇒=±即 ⎩⎨⎧-=负宇称正宇称，)(),()(ˆx x x P ψψψ空间反射不变的波函数具有正宇称。

6一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化与箱归一化

第5讲 一维势场中能量本征态的一般性质

3.1一维定态的一般性质

量子力学_21一维势场中粒子能量本征态的一般性质

一维定态的一般性质

第一章+薛定谔方程,一维定态问题

一维定态的一般性质

§2.1一维能量本征态的一般性质

《量子力学》考试知识点

已知一维势箱中粒子的归一化波函数

一维定态波函数宇称的讨论

第2章 一维定态问题

3波函数的统计解释

05-一维定态问题的一般性质

一维定态的一般性质 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化.ppt

大学课件 量子力学 一维定态问题

一维定态薛定谔方程的一般性质

2.6 一维定态问题

一维定态性质

第5讲一维势场中能量本征态的一般性质

第2章一维定态问题

一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化和箱归一化.ppt

大学课件量子力学一维定态问题