北京市宣武区2008一模答案(文)

北京市宣武区2007~2008学年度第二学期第一次质量检测

高三数学（文）参考答案及评分标准 2008.4

一、选择题

二、填空题

三、解答题

15. （本题满分13分）

()分

5 (3)

1tan 1tan 1)4

tan(,

2tan 1-

=-+=

+

∴-=θ

θπ

θθ

分

）（13 (5)

312cos cos2,

5

1cos ,4cos cos 1,4cos sin 2cos sin 2

cos sin ,2tan 22

2

2222-

=-=∴=∴=-∴=∴-=∴-=∴-=θθθθθθθθ

θθ

θθ

16. （本题满分12分） 解：（1）配置合理的概率为

15

134

10

4

8

1

23

8=

+=

C C C C P ………………………………………………..6分

（2）三次检查可以看成三次独立试验

1125

521513115132

13=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=∴C P ……………………………………………………12分

D1

C1

B1

A1

F

E

D

C

B

A

17. （本题满分14分） 解法一：（1）连结AC ，则AC ⊥DB

AC 是C A 1在平面ABCD 内的射影,

∴C A 1⊥BD

又BC B A 1111C B 平面⊥ , 且C A 1在平面BC 11C B 内的射影BE C B ⊥1

且BE C A B BE BD ⊥∴=1,

E B D 1平面⊥∴C A ………………………………………4分

（2）易证:AB 平行于平面C B A 11,所以点B 到平面C B A 11的距离等于点A 到

平面C B A 11的距离 因为BF ⊥平面C B A 11 所以BF 为所求距离,5

521

2122

2

+⨯=

BF …………………………9分

（3）连结DF,D A 1

C A EF C B EF 11,⊥⊥ C B A EF 11平面⊥∴

EDF ∠∴即为直线ED 与平面C B A 11所成的角

由条件AB=BC=1 ,21=BB

可知5

5,5

54,5

52,511==

=

=

CF F B BF C B

2

1,10

511

1=

⋅=

=

⋅=

F

B BB F

C EC F

B BF F

C EF

2

52

2

=

+=∴CD

EC ED

z

y

x

D1C1

B1

A1F

E

D C

B A

5

1sin =

=

∠∴ED

EF EDF ……………………………………..14分

解法二：如图建立空间直角坐标系. （1）()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛

21,

1,1,2,0,0,,0,0,01E A A ()()()0,1,1,0,1,0,0,0,1C D B

()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∴21,0,1,21,1,0,2,1,11DE BE C A

(),02

1211011=⨯

-+⨯+⨯=⋅BE C A

()02

1201111=⨯

-+⨯+⨯=⋅DE C A

DE C A BE C A DE C A BE C A ⊥⊥⊥⊥∴1111,,,即 E DE BE =

所以C A 1⊥平面EBD .…………………………………………4分

（2）设平面C B A 11的一个法向量为m =（x ，y ，z ）

则⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅0

0111m C B m B A ，⎩⎨

⎧==∴z

y x 20

令z =1，得m =（0，2，1） ()2,0,01=AA

所以，所求的距离为55

25

2===d …………………………9分

（3）由（2）知，m =（0，2，1）

⎪⎭⎫ ⎝⎛

--=21,0,1ED

ED 设∴与m 所成角为θ，

则5

1cos -

==

θ

所以直线ED 与平面C B A 11所成角的正弦值为5

1………………………….14分

18. （本题满分13分）

解：（1）)(/x f =1232-+ax x ，由题意可知，

)(/

x f 在（0，1）上恒有0)(/

≤x f

则0)0(/≤f 且0)1(/≤f ，得1-≤a ，

所以a 的最大值为 -1 ……………………………………………………….5分 （2） )(x f 的单调递减区间是⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

1,31

， ∴)(/

x f =1232

-+ax x =0的两个根为 3

1-和1，

可求得a= -1，∴,2)(23+--=x x x x f

① 若（1，1）不是切点，则设切线的切点为()00,y x ，()10≠x ， 则有

1231

102

000--=--x x x y

12302

00--=x x y ， 解得10=x （舍），00=x ，∴20=y ，k= -1

② 若（1，1）是切点，则k=0)1(/

=f

综上，切线方程为y=1,x+y-2=0

∴这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形 它的面积S=

2

3)21(2

1=

+…………………………………………………………..13分

19. （本题满分14分） 解：（1）连结OP

因为Q 为切点，PQ ⊥OQ ，又勾股定理有，

2

2

2

OQ OP PQ

-=

又由已知2

2

,PA PQ

PA PQ ==故

即()()()2

2

2

221b 2a 1b a -+-=-+…