2017年秋季新版华东师大版八年级数学上学期14.1.1、直角三角形三边的关系教案1

第14章勾股定理

单元要点分析

教材内容

勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面．本单元通过数据格子的办法发现直角三角形的三边间的数量关系，得到了“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”这个著名的勾股定理，又利用拼图的方法论证勾股定理的合理性．书中介绍了古埃及人做直角的方法，通过学生动手制作，利用勾股数为边的三角形，通过量角器发现所得的三角形是直角三角形，从而推出“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2时，那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在使用勾股定理时，应强调直角的前提并分清斜边和直角边，千万不能变成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”在使用勾股定理时，只要三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形，而不应为三角形只有三边具有勾股数，才是直角三角形．因为勾股数只局限于正整数，在信息闭塞的几千年前人们在人同的地方都发现勾股定理，这就是人们想通过勾股定理与外星人沟通的理由．

数学目标（三维目标）

知民技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；掌握制定一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题．过程与方法：经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

情感态度与价值观：通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值．教学重点

本单元教学重点是掌握勾股定理及其逆定理的应用．

教学难点

本单元教学难点是对勾股定理及其逆定理的认识．

教学关键

本单元为了使学生更好地认识勾股定理，采用了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理，再利用拼图方法验证勾股定理的内容．

课时划分

直角三角形三边的关系 2课时

直角三角形的判定 1课时

勾股定理的应用 2课时

小结与复习 1课时

14.1.1 直角三角形三边的关系（1）

教学目标

知识与技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．

过程与方法：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力．

情感态度与价值观：培养合作、探索的意识，体会数形结合的思想，以及识图能力．重点、难点、关键

重点：了解勾股定理的由来，并应用勾股定理解决一些简单问题．

难点：对勾股定理的认识．

关键：让学生经历观察、归纳、猜想和验证勾股定理，再将a2、b2、c2与正方形面积联系起来，通过比较得到勾股定理．

教学准备

教师准备：投影仪、补充资料、直尺、圆规．

学生准备：两块直角三角尺，其中如下图1的直角三角形带4块来．

c

b

a

图1

教学过程

一、创设情境

1．教师叙述：人类一直想要弄清其他星球上是否存在着“人”，•并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理．

教师边叙述边利用投影仪，展示有关勾股定理的图片．其中重点说明“希腊发行的一枚纪念邮票”．

投影显示问题情境：这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票（如图2所示），请你观察这枚邮票图案小方格的个数，你发现了什么？

图2 图3 图4

学生活动：观察邮票，在教师的引导下发现最大的正方形面积是两个中、小正方形面积的和，即32+42=52，同时发现中间的直角三角形两直角边分别3和4，•斜边是5．继续探究．

投影显示下图：图3和图4．

教师提出问题：

（1）观察图3，正方形A中含有____个小方格，即A的面积是____•个单位面积；

正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是______个单位面积；

正方形C中含有_____个小方格，即C的面积是______个单位面积．

你是怎样得到上面的结果呢？

学生活动：小组合作讨论，然后交流答案．在图3中，A有9个小方格，所以A面积是9个单位面积，B有9个小方格，所以B面积是9个单位面积，C有18个小方格，•所以C 面积是18个单位面积．

教师提出问题：

（2）在图4中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？

（3）你发现图3中三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系呢？图4中的呢？

学生活动：小组合作讨论，然后回答问题．解决（2）的方法和（1）类似，解决（3）•的问题中可以发现：两块小正方形面积和等于大正方形面积．

2．试一试

请你根据已经得到的数据，猜想三边的长度a、b、c之间的关系．

学生活动：小组合作交流，动手测量，从中发现a2+b2=c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方．

二、特殊→一般

问题提出．

教师提问：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？即任作Rt△ABC，∠=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如图5，那么，也就是说a2+b2=c2．

图5 图6

学生活动：拿出准备好的学具：4块大小相同的任意直角三角形，小组合作，讨论，寻求答案．

分析与点拨：

如图6（甲）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b•的正方形内，得到正方形I3，并且I3的边长等于Rt△ABC的斜边C．

又如图6（乙）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b•的正方形内，得到边长分别为a，b的两个正方形I1，I2．

图14-1-6（甲）与图14-1-6（乙）中的两个大正方形的边长都是a+b，所以它们的面

积相等，即c2+4·1

2

ab=a2+b2+4·

1

2

ab

a2+b2=c2

师生共识：

勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方．

a2+b2=c2

评析：勾股定理的证明据不完全统计已有400余种证明方法，教学中可以先让学生查阅大量资料，了解勾股定理的背景及其证明，然后在教学时进行交流讨论．

三、阅读与思考

1．阅读课本P48～50内容．

2．思考下列问题．

投影显示：如图7所示，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13厘米，BC=10厘米．（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？

（2）△ABC的面积是多少呢？