2010线代试卷 (1)
全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题
全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知2阶行列式=m , =n ,则=（）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n）2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）A.ACBB.CABC.CBAD.BCA3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A.-8B.-2C.2D.84.已知A= ，B= ，P= ，Q= ，则B=（）A.PAB.APC.QAD.AQ5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误的是（）A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（）A.α1必能由α2,α3，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A 的秩（）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）A.ATB.A2C.A-1D.A*10.二次型f（x1,x2,x3）= 的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
历年自考线性代数试题真题及答案分析解答
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数经管类试题答案 一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分 1．已知2阶行列式m b b a a =2121,n c c b b =2121,则=++221121c a c a b b BA ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-2．设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC D A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCA3．设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为 AA ．8-B ．2-C ．2D ．84．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ,则=B BA ．PAB ．APC ．QAD ．AQ5．已知A 是一个43⨯矩阵,下列命题中正确的是 C A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩A =2 B ．若A 中存在2阶子式不为0,则秩A =2 C ．若秩A =2,则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩A =2,则A 中所有2阶子式都不为06．下列命题中错误．．的是 C A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关7．已知向量组321,,ααα线性无关,βααα,,,321线性相关,则 D A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出 D ．β必能由321,,ααα线性表出8．设A 为n m ⨯矩阵,n m ≠,则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩 DA ．小于mB ．等于mC ．小于nD ．等于n9．设A 为可逆矩阵,则与A 必有相同特征值的矩阵为 A A ．T A B ．2A C ．1-A D ．*A10．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 C A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分 11．行列式2010200920082007的值为_____________．12．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=102311A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1002B ,则=B A T _____________．13．设T)2,0,1,3(-=α,T)4,1,1,3(-=β,若向量γ满足βγα32=+,则=γ__________．14．设A 为n 阶可逆矩阵,且nA 1||-=,则|=-||1A _____________．15．设A 为n 阶矩阵,B 为n 阶非零矩阵,若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解,则=||A _____________．16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为_____________．17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-,则矩阵1231-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 必有一个特征值为_________．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-,则数=x _____________．19．已知⎪⎪⎪⎪⎫⎛=10002/102/1ba A 是正交矩阵,则=+b a _____________．20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分21．计算行列式333222c c b b a a c b a c b a D +++=的值．解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++=))()((11))((b c a c a b abc ac a b a c a b abc ---=++--=．22．已知矩阵)3,1,2(=B ,)3,2,1(=C ,求1C B A T =；22A ．解：1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T ；2注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ,所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A TT T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1110233001101011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000100001101101,向量组的秩为3,421,,ααα是一个极大无关组,213ααα+-=．24．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=315241B ．1求1-A ；2解矩阵方程B AX =．解：1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210301100010021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100210121100010001,1-A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210121；2==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241．25．问a为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解有无穷多解并在有解时求出其解在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=63222204321),(a b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---23202204321a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03002204321a a ． 3≠a 时,3)(),(==A r b A r ,有惟一解,此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********* →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********,⎪⎩⎪⎨⎧===012321x x x ；3=a 时,n A r b A r <==2)(),(,有无穷多解,此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023204321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023202001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000012/3102001,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==333212312x x x x x ,通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/30012k ,其中k 为任意常数．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1,求正的常数a 的值及可逆矩阵P ,使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P ．解：由521)9(23323030002||2⨯⨯=-===a a aa a A ,得42=a ,2=a ．=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----320230002λλλ． 对于11=λ,解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----220220001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110001,⎪⎩⎪⎨⎧=-==333210x x x x x ,取=1p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110；对于22=λ,解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----120210000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010,⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ,取=2p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001；对于53=λ,解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--220220003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001,⎪⎩⎪⎨⎧===333210xx x x x ,取=3p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110．令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==101101010),,(321p p p P ,则P是可逆矩阵,使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000200011AP P ．四、证明题本题6分27．设A ,B ,B A +均为n 阶正交矩阵,证明111)(---+=+B A B A ． 证：A ,B ,B A +均为n 阶正交阵,则1-=A A T,1-=B B T ,1)()(-+=+B A B A T ,所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数经管类试题答案 一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分 1．设3阶方阵),,(321ααα=A ,其中iα3,2,1=i 为A 的列向量,若=||B 6|),,2(|3221=+αααα,则=||A CA ．12-B ．6-C ．6D ．122．计算行列式=----32320200051020203AA ．180-B ．120-C ．120D ．1803．若A 为3阶方阵且2||1=-A ,则=|2|A C A ．21 B ．2 C ．4 D ．84．设4321,,,αααα都是3维向量,则必有 BA ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．1α不可由432,,ααα线性表示 5．若A 为6阶方阵,齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2,则=)(A r CA ．2B ．3C ．4D ．56．设A 、B 为同阶方阵,且)()(B r A r =,则 CA ．A 与B 相似 B ．||||B A = C．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵,其特征值分别为0,1,2,则=+|2|E A D A ．0 B ．2 C ．3 D ．24．．A ．A 与B 等价 B．A 与B 合同 C ．||||B A = D ．A 与B 有相同特征值9．若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交,则=t D A ．2- B．0 C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2,则 BA ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分11．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=421023A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ,则=AB ______________．12．设A 为3阶方阵,且3||=A ,则=-|3|1A ______________．13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．14．设)2,2,1(-=α,则与α反方向的单位向量是______________．15．设A 为5阶方阵,且3)(=A r ,则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________．16．17．若A 、B 为5阶方阵,且=Ax 只有零解,且3)(=B r ,则=)(AB r ______________．18．实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 2 12α,且2)(=A r ,则b Ax =的通解是______________．20．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321α,则TA αα=的非零特征值是______________．三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分21．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．解：连续3次按第2行展开,243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D ．22．设矩阵X满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ,求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ,则C AXB =,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------089514431311311→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------176401764011311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001764011311 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000017640441244→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001764053604→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000004/14/72/3104/54/32/301, ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=-+=4433432431472341432345x x x x xx x x x x ,通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-104/74/3012/32/3004/14/521k k ,21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α,)4,10,100,9(2=α,)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=844210141002291),,(321TT T ααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21121012501291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--08001900410291 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010201,向量组的秩为2,21,αα是一个极大无关组．25．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量T)1,1,1(-=ξ,求b a ,及ξ所对应的特征值,并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设λ是ξ所对应的特征值,则λξξ=A ,即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ,从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a ,可得3-=a ,0=b ,1-=λ； 对于1-=λ,解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110220101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101,⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231xx x x x x ,基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111,属于1-=λ的全部特征向量为k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111,k 为任意非零实数． 26．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A ,试确定a 使2)(=A r ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00023302211,0=a 时2)(=A r ． 四、证明题本大题共1小题,6分27．若321,,ααα是b Ax =0≠b 的线性无关解,证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．证：因为321,,ααα是b Ax =的解,所以12αα-,13αα-是0=Ax 的解； 设0)()(132121=-+-ααααk k ,即0)(3221121=++--αααk k k k ,由321,,ααα线性无关,得⎪⎩⎪⎨⎧===--002121k k k k ,只有零解021==k k ,所以,12αα-13αα-线性无关． 全国2011年1月高等教育自学考试线性代数经管类试题 课程代码：04184说明：本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r A 表示矩阵A 的秩,βα,表示向量α与β的内积,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4,则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =2.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =3.已知A 2+A -E =0,则矩阵A -1= +E+E4.设54321,,,,ααααα是四维向量,则A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出5.设A 是n 阶方阵,若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则 =0=E A =n<r A <n6.设A 为n 阶方阵,r A <n ,下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是=0只有零解=0的基础解系含r A 个解向量=0的基础解系含n -r A 个解向量 =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,则 A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解 D.2132ηη-是Ax =b 的解 8.设1λ,2λ,3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值,则321λλλ=9.设P 为正交矩阵,向量βα,的内积为βα,=2,则βαP P ,= A.21C.2310.二次型fx 1,x 2,x 3=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分; 11.行列式1221---k k=0,则k =_________________________.12.设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,k 为正整数,则A k=_________________________.13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321,则矩阵A =_________________________.14.设向量α=6,-2,0,4,β=-3,1,5,7,向量γ满足βγα32=+,则γ=_________________________.15.设A 是m ×n 矩阵,A x =0,只有零解,则r A =_________________________.16.设21,αα是齐次线性方程组A x =0的两个解,则A 3217αα+=________.17.实数向量空间V ={x 1,x 2,x 3|x 1-x 2+x 3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A 有一个特征值为0,则|A 3|=________________________. 19.设向量=1α-1,1,-3,=2α2,-1,λ正交,则λ=__________________.20.设fx 1,x 2,x 3=31212322212224x x x tx x x x ++++是正定二次型,则t 满足_________.三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分 21.计算行列式ba c ccb c a b b a a c b a ------22222222.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---16101512211λλ,对参数λ讨论矩阵A 的秩.23.求解矩阵方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100152131X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--315241 24.求向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21211α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=56522α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11133α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=37214α的一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.25.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-03204230532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解.26.求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3142281232的特征值和特征向量. 四、证明题本大题共1小题,6分 27.设向量1α,2α,….,kα线性无关,1<j ≤k . 证明：1α+j α,2α,…,k α线性无关.全国2011年1月高等教育自学考试线性代数经管试题参考答案课程代码：04184三、计算题解：原行列式全国2011年4月高等教育自学考试线性代数经管类试题课程代码：04184说明：A T表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1．下列等式中,正确的是A．B．3=C．5D．2．下列矩阵中,是初等矩阵的为A．B．C．D．3．设A、B均为n阶可逆矩阵,且C=,则C-1是A．B．C．D．4．设A为3阶矩阵,A的秩r A=3,则矩阵A的秩r A=A．0 B．1C．2 D．35．设向量,若有常数a ,b 使,则 A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2 C ．a =1, b =-2 D ．a =1, b =26．向量组的极大线性无关组为A ．B ．C ．D ．7．设矩阵A =,那么矩阵A 的列向量组的秩为A ．3B ．2C ．1D ．08．设是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于 A ． B ．C ．D ．9．设矩阵A =,则A 的对应于特征值的特征向量为A ．0,0,0TB ．0,2,-1TC ．1,0,-1TD ．0,1,1T10．二次型2221213212),,(x x x x x x x f +-=的矩阵为 A ．B ．C ．D ．二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分 11．行列式__________.12．行列式22351011110403--中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 13．设矩阵A =,B =1,2,3,则BA =__________.14．设3阶方阵A 的行列式|A |=21,则|A 3|=__________.15．设A ,B 为n 阶方阵,且AB =E ,A -1B =B -1A =E ,则A 2+B 2=__________. 16．已知3维向量=1,-3,3,1,0,-1则+3=__________.17．设向量=1,2,3,4,则的单位化向量为__________.18．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0,且A 的秩为n -1,则齐次线性方程组Ax =0的通解为__________.19．设3阶矩阵A 与B 相似,若A 的特征值为41,31,21,则行列式|B -1|=__________. 20．设A =是正定矩阵,则a 的取值范围为__________.三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分 21．已知矩阵A =,B =,求：1A TB ；2|A TB |.22．设A =,B =,C =,且满足AXB =C ,求矩阵X .23．求向量组=1, 2, 1, 0T,=1, 1, 1, 2T,=3, 4, 3, 4T,=4, 5,6, 4T的秩与一个极大线性无关组.24．判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+--=-+-1542421343143214321x x x x x x x x x x x 是否有解,有解时求出它的解.25．已知2阶矩阵A 的特征值为=1,=9,对应的特征向量依次为=-1,1T,=7,1T ,求矩阵A .26．已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=,求行列式|A -E |的值.四、证明题本大题共6分27．设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵.证明：1AB -BA 为对称矩阵； 2AB +BA 为反对称矩阵.全国2011年7月高等教育自学考试 线性代数经管类试题 课程代码：04184说明：本卷中,A T表示方阵A 的转置钜阵,A 表示矩阵A 的伴随矩阵,E表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则TAA =A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A为3阶方阵,且4A=,则2A-=A．-32 B．-8C．8 D．323．设A,B为n阶方阵,且A T=-A,B T=B,则下列命题正确的是A．A+B T=A+B B．AB T=-ABC．A2是对称矩阵D．B2+A是对称阵4．设A,B,X,Y都是n阶方阵,则下面等式正确的是A．若A2=0,则A=0 B．AB2=A2B2C．若AX=AY,则X=Y D．若A+X=B,则X=B-A5．设矩阵A=1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则秩A=A．1 B．2 C．3 D．46．若方程组2020kx zx ky zkx y z+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解,则k=A．-2 B．-1C．0 D．27．实数向量空间V={x1,x2,x3|x1 +x3=0}的维数是A．0 B．1C．2 D．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x xx xx xλλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解,则λ=A．1 B．2 C．3 D．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则下列矩阵中与A 相似的是A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-,则f A ．正定 B ．不定 C ．负定D ．半正定二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分 请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分; 11．设A =-1,1,2T,B =0,2,3T,则|AB T|=______.12．设三阶矩阵[]123,,A ααα=,其中(1,2,3)i i α=为A 的列向量,且|A |=2,则[]122123,,αααααα++-=______.13．设0100102A a c b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且秩A =3,则a,b,c 应满足______.14．矩阵1212Q ⎤-⎥⎢=⎢⎢⎣的逆矩阵是______. 15．三元方程x 1+x 3=1的通解是______. 16．已知A 相似于1002-⎡⎤Λ=⎢⎥⎣⎦,则|A -E |=______. 17．矩阵001010100A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值是______.18．与矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦相似的对角矩阵是______. 19．设A相似于100010001⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 4______.20．二次型fx 1,x 2,x 3=x 1x 2-x 1x 3+x 2x 3的矩阵是______. 三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分21．计算4阶行列式D=1234234134124123.22．设A =101020161⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,而X 满足AX +E =A 2+X ,求X .23．求向量组：123412532101,,,327512532341αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩,并给出该向量组的一个极大无关组,同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.24．当λ为何值时,齐次方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解 并求其全部非零解.25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值,向量1(1,1,1)T α=、2(2,2,1)T α=是A 的对应于121λλ==的特征向量,求A 的属于31λ=-的特征向量.26．求正交变换Y =PX ,化二次型fx 1,x 2,x 3=2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3为标准形. 四、证明题本大题6分27．设123ααα，，线性无关,证明1121323ααααα++，，也线性无关.全国2011年7月高等教育自学考试线性代数经管类试题 答案课程代码：04184全国2011年10月高等教育自学考试线性代数经管类试题 课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵,A 表示矩阵A 的伴随矩阵,E表示单位矩阵; A 表示方阵A 的行列式,r A 表示矩阵A 的秩; 一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分 1.设3阶方阵A 的行列式为2,则12A -= B.14- C.142.设212()222122,323235x x x f x x x x x x x ---=------则方程()0f x =的根的个数为3.设A 为n 阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ,若,≠A B 则必有A.0=AB. 0+≠A BC. 0A ≠D. 0-≠A B4.设A ,B 是任意的n 阶方阵,下列命题中正确的是 A.222()2+=++A B A AB BB.22()()+-=-A B A B A BC.()()()()-+=+-A E A E A E A ED.222()=AB A B5.设111213212223313233,a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 其中0,0,1,2,3,i i a b i ≠≠=则矩阵A 的秩为6.设6阶方阵A 的秩为4,则A 的伴随矩阵A 的秩为7.设向量α=1,-2,3与β=2,k,6正交,则数k 为8.已知线性方程组1231231243224x x x x ax x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩无解,则数a =A.12- C.129.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A10.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵,则A 的3个特征值可能为 ,-2,-3 ,-2,3 ,2,3,2,3二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分11.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________. 12.设,,a a b b a a b b -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A B 则=AB __________.13.设A 是4×3矩阵且103()2,020,103r ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B 则()r =AB __________. 14.向量组1,2,2,33,4的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1,α2,…,αr 可由向量组β1,β2,…,βs 线性表示,则r 与s 的关系为__________.16.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,且数0,λ<则λ=__________.17.设4元线性方程组x =A b 的三个解α1,α2,α3,已知T 1(1,2,3,4),=αT 23(3,5,7,9),r() 3.+==A αα则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A 的秩为2,且250,+=A A 则A 的全部特征值为__________. 19.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则数a =__________.20.设实二次型T 123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为__________.三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B 其中23,,,αβγγ均为3维列向量,且18, 2.==A B 求.-A B22.解矩阵方程11101110221011.1104321--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X 23.设向量组α1=1,1,1,3T ,α2=-1,-3,5,1T ,α3=3,2,-1,p+2T ,α4=3,2,-1,p+2T问p 为何值时,该向量组线性相关 并在此时求出它的秩和一个极大无关组. 24.设3元线性方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩,1确定当λ取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解2当方程组有无穷多解时,求出该方程组的通解要求用其一个特解和导出组的基础解系表示.25.已知2阶方阵A 的特征值为11λ=及21,3λ=-方阵2.=B A 1求B 的特征值； 2求B 的行列式.26.用配方法化二次型2221231231223(,,)22412f x x x x x x x x x x =---+为标准形,并写出所作的可逆线性变换. 四、证明题本题6分27.设A 是3阶反对称矩阵,证明0.=A全国2012年1月自考 线性代数经管类试题 课程代码：04184说明：本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r A 表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=A ．-6B ．-3C ．3D ．62．设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若AX -E =E ,则矩阵X = A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是A ．⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭AB 不可逆C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B A D ．⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 4．设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是A ．向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ= A ．0,-2,-1,1TB ．-2,0,-1,1TC ．1,-1,-2,0TD ．2,-6,-5,-1T6．实数向量空间V ={x , y , z |3x +2y +5z =0}的维数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax=b的解,β是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是A．α+β是Ax=0的解B．α+β是Ax=b的解C．β-α是Ax=b的解D．α-β是Ax=0的解8．设三阶方阵A的特征值分别为11,,324,则A-1的特征值为A．12,4,3 B．111,,243C．11,,324D．2,4,39．设矩阵A=121-,则与矩阵A相似的矩阵是A．11123--B．01102C．211-D．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题本大题共10小题,每空2分,共20分请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分; 11．设det A=-1,det B=2,且A,B为同阶方阵,则det AB3=__________．12．设3阶矩阵A=12243311t--,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=__________．13．设方阵A 满足A k=E ,这里k 为正整数,则矩阵A 的逆A -1=__________．14．实向量空间R n的维数是__________．15．设A 是m ×n 矩阵,r A =r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________．16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________． 17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解,而β是非齐次线性方程组Ax =b的解,则(32)+A αβ=__________．18．设方阵A 有一个特征值为8,则det-8E +A =__________． 19．设P 为n 阶正交矩阵,x 是n 维单位长的列向量,则||Px ||=__________． 20．二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________．三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分 21．计算行列式1112114124611242-----．22．设矩阵A =235,且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1,求矩阵B ．23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组,并将其余向量通过极大线性无关组表示出来． 24．设三阶矩阵A =143253242----,求矩阵A 的特征值和特征向量．25．求下列齐次线性方程组的通解．26．求矩阵A =22420306110300111210----的秩．四、证明题本大题共1小题,6分 27．设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a 的行列式不等于0,证明：131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关． 全国2012年4月高等教育自学考试 线性代数经管类试题 课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵,A 表示矩阵A 的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式,r A 表示矩阵A 的秩.一、 单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------= D2.设矩阵A =120120003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 中位于第1行第2列的元素是 A3.设A 为3阶矩阵,且|A |=3,则1()A --= B-B.13-C.134.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关,则A T的秩等于 C5.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ,相当于将A AA.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为B7.设4阶矩阵A 的秩为3,12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,c 为任意常数,则该方程组的通解为 A A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵,且|5A +3E |=0,则A 必有一个特征值为 B A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似,则A 3= C10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是 D A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分11.行列式11124641636=_______16_____.12.设3阶矩阵A 的秩为2,矩阵P =001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,Q =100010101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,若矩阵B =QAP ,则r B =______2_______. 13.设矩阵A =1414-⎛⎫⎪-⎝⎭,B =4812⎛⎫⎪⎝⎭,则AB =_______________.14.向量组1α=1,1,1,1,2α=1,2,3,4,3α=0,1,2,3的秩为______2________.15.设1η,2η是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系,则r A =_______3_______.16.非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵经初等行变换化为10002010020012-2⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则方程组的通解是__________.17.设A 为3阶矩阵,若A 的三个特征值分别为1,2,3,则|A |=____6_______.18.设A 为3阶矩阵,且|A |=6,若A 的一个特征值为2,则A 必有一个特征值为_____3____.19.二次型f 123(,,)x x x =2221233x x x -+的正惯性指数为____2_____. 20.二次型f 123(,,)x x x =22212323224x x x x x --+经正交变换可化为标准形.三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分 21.计算行列式D=3512453312012034----22.设A =130210002-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,矩阵X 满足关系式A+X=XA ,求X.23.设234αβγγγ，，，，均为4维列向量,A =234αγγγ，，，和B =234βγγγ，，，为4阶方阵.若行列式|A |=4,|B |=1,求行列式|A+B |的值.24.已知向量组1α=1,2,-1,1T,2α=2,0,t ,0T,3α=0,-4,5,-2T,4α=3,-2,t+4,-1T其中t 为参数,求向量组的秩和一个极大无关组. 25.求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解..要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示26.已知向量1=α1,1,1T,求向量23αα，,使123ααα，，两两正交.四、证明题本题6分27.设A 为m ⨯n 实矩阵,A TA 为正定矩阵.证明：线性方程组A x =0只有零解.全国2012年7月自考线性代数经管类试题课程代码:04184国2012年10月自考线性代数经管类试题课程代码：04184说明：本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵,r A表示矩阵A的秩,||α||表示向量α的长度,αT表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1．设行列式111213212223313233a a aa a aa a a=2,则111213313233213122322333333a a aa a aa a a a a a------=A．-6 B．-3 C．3 D．62．设矩阵A,X为同阶方阵,且A可逆,若AX-E=E,则矩阵X=A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是A ．⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是A ．向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ= A ．0,-2,-1,1TB ．-2,0,-1,1TC ．1,-1,-2,0TD ．2,-6,-5,-1T6．实数向量空间V ={x , y , z |3x +2y +5z =0}的维数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解,β是其导出组Ax =0的解,则以下结论正确的是A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324,则A -1的特征值为A ．12,4,3B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-,则与矩阵A 相似的矩阵是A ．11123-- B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B ．正定矩阵的行列式一定小于零C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵 二、填空题本大题共10小题,每空2分,共20分请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分; 11．设det A =-1,det B =2,且A ,B 为同阶方阵,则det AB 3=__________． 12．设3阶矩阵A =12243311t --,B 为3阶非零矩阵,且AB =0,则t =__________．13．设方阵A 满足A k =E ,这里k 为正整数,则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n的维数是__________．15．设A 是m ×n 矩阵,r A =r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________．16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________． 17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解,而β是非齐次线性方程组Ax =b的解,则(32)+A αβ=__________．18．设方阵A 有一个特征值为8,则det-8E +A =__________． 19．设P 为n 阶正交矩阵,x 是n 维单位长的列向量,则||Px ||=__________． 20．二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________．三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分21．计算行列式1112114124611242-----．22．设矩阵A =235,且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1,求矩阵B ．23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组,并将其余向量通过极大线性无关组表示出来． 24．设三阶矩阵A =143253242----,求矩阵A 的特征值和特征向量．25．求下列齐次线性方程组的通解． 26．求矩阵A =22420306110300111210----的秩．四、证明题本大题共1小题,6分 27．设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a 的行列式不等于0,证明：131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关． 全国2012年10月自考线性代数经管类答案。
2010年7月自考线性代数（经管类）试卷及答案
2010年7月自考线性代数（经管类）试卷及答案第一篇：2010年7月自考线性代数(经管类)试卷及答案全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184 说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.＊一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中α（为A的列向量，若|B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=(C)ii=1,2,3）A.-12 C.6B.-6D.12 解析: αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列0 -2 0 2 10 5 0 0 0 -2 0-2 3 -2 32.计算行列式=（A)A.-180 C.120B.-120 D.180 解析: =3*-2*10*3=-1803.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=（C)1A.B.2 2C.4 解析:=23D.8 | A |=8*1/2=44.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（B)n+1个n维向量线性相关A.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1可由α2，α3，α4线性表示B.α1，α2，α3，α4线性相关D.α1不可由α2，α3，α4线性表示B.3n-r(A)=解向量的个数=2,n=6 D.5 5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=（C)A.2 C.4 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则（C)A与B合同⇔r(A)=r(B)⇔PTAP=B, P可逆 A.A与B相似 C.A与B等价B.| A |=| B | D.A与B合同7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=（D)，| A |=所有特征值的积=0 A.0 C.3B.2A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2 D.248.若A、B相似，则下列说法错误的是（B)．．A.A与B等价 C.| A |=|B |B.A与B合同D.A与B有相同特征值A、B相似⇔A、B特征值相同⇔| A |=| B |⇔r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=（D)A.-2 C.2B.0 D.4σβT=0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=410.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（B)，所有特征值都大于0，正定； A.A正定B.A半正定所有特征值都小于0，负定；C.A负定D.A半负定所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国2010年7月高等教育自学考试
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，若|B|=|[α1 2α2，α2，α3]|=6，则|A|=（）A.-12B.-6C.6D.122．计算行列式（）A.-180B.-120C.120D.1803．设A= ，则|2A*|=（）A.-8B.-4C.4D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（）A．2B．3C．4D．56．设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（）A．A与B相似B．|A|=|B|C．A与B等价D．A与B合同7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A 2E|=（）A．0B．2C．3D．248．若A、B相似，则下列说法错误的是（）A．A与B等价B．A与B合同C．|A|=|B|D．A与B有相同特征值9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t)正交，则t=（）A．-2B．0C．2D．410．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1l.设A= ,B= ，则AB=________.12．设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=________.13．三元方程x1 x2 x3=0的结构解是________.14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______．15．设A为5阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______．16．设A为3阶方阵，特征值分别为-2，，l，则|5A-1|=_______．17．若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，则R(AB)=________．18．二次型f(x1，x2，x3)= -2x1x2 -x2x3所对应的矩阵是________.19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1= ，α2= ，且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.20.设α= ，则A=ααT的非零特征值是_____.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．计算5阶行列式D=22.设矩阵X满足方程X =求X.23.求非齐次线性方程组的结构解.24.求向量组α1=（1，2，3，4），α2=（0，-1，2，3），α3=（2，3，8，11），α4=（2，3，6，8）的秩.25.已知A= 的一个特征向量 =（1，1，-1）T，求a,b及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)= 为标准形，并写出所用的正交变换.四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1，α1 α2，α2 α3也是Ax=0的基础解系。
2010线性代数答案
010线性代数期末试题及参考答案一． 解答：1．（F ）（）2．（T ）3．（F ）。
如反例：，。
4．（T ）（相似矩阵行列式值相同）5．（F ）二． 解答：1．选B 。
初等矩阵一定是可逆的。
2．选B 。
A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与，，等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。
3．选C 。
由，)。
4．选D 。
A 错误，因为，不能保证；B 错误，的基础解系含有个解向量；C 错误，因为有可能，无解；D 正确，因为。
5．选A 。
A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。
三． 解答：1．（按第一列展开） 2． ；（=）AA n λλ=100010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000010001B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1α2α3α052=-+E A A ⇒()2232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=()112()3A E A E -⇒+=-n m <()(|)R A R A b =0=Ax ()A R n -()(|)1R A n R A b n =<=+b Ax =()R A n =,P Q 1112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--== ,A B ()!11n n +-3153*A 3233A3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。
因为，。
4． 。
因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5．（ 四． 解答：1．解法一：。
将与组成一个矩阵，用初等行变换求。
=。
故 。
解法二：。
，因此。
2．解：，， 。
124,,ααα3122ααα=+124| |0A ααα=≠()()TTk 42024321--+()3=A R 1322ηηη-+6=a ())02=⇒=A A R AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-A E -A (|)A E A -1(|())E A E A --()|A E A -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233121120)(31r r --⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛22112124323310000121313,r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12112014323010000123r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121120222110100001322r r - 100001011222001325⎛⎫⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭3r - 100001011222001325⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭23r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523100301010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523301100B AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-1021101()332113121326A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1001()103325B A E A -⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------==111111*********1T A αβA A 42-=()()11()()()()()()44n n n T T T T T T T T A Aαβαβαβαβαβαβαβαβ--===-=-3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。
2010-2014年考研数学三线代真题
一.选择题5、设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：（ ）A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s6、设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于( )A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 二.填空题13、设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=，则1A B -+=______.三.解答题 20、的通解。
求方程组、）求（个不同的解。
存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2(.12.11,1101011λλλλ21、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T为对角矩阵，若Q 的第一列为T )1,2,1(61，求a 、Q .一、选择题5、设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行6、二、填空题13三、解答题20212012年考研数学三线代真题一.选择题(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题三、解答题(20)(本题满分 分)设10010101,00100010a a A a a β⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ （I ）计算行列式;A(II)当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解。
2010-2011-2线性代数试卷及答案
试卷（A卷）(共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(15分)设三阶矩阵，,.解因为＝,所以,分）设向量组，，线性相关，向量.解由于所以，分）证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V是R2⨯2的子空间，试在,使V成为欧几里得空间,并给出V的一组正交基.V对线性运算封闭，所以V是R2⨯2的子空间。
［A,B］=，］=［B,A］，［kA，B]=k［A,B］, [A,A］≥0且[A,A］=0当且仅当A=0..四分）已知三阶矩阵的伴随矩阵，求齐次线性方程组的通解。
解R（A)=2，所以，的解空间是1维的。
又由于，所以，的列向量是的解.，3)T是的基础解系，所以，通解为：15分）设三阶实对称矩阵满足,且向量是齐次方程的一个基础解系，解由的基础解系含一个解知A的秩为2.由知A的特征值只能为2或0，所以，A的三个特征值为：2，2，0。
由知是属于特征值0的特征向量.所以，A的属于特征值2的特征向量必与正交，所以，特征值2的特征向量可取为:和，于是，可构造正交矩阵：满足：所以，分) 某仓库有A,B,C三种物品若干件，现按下述方案进行采购:购进原B物品件数30%和原C物品件数50％的A物品;购进原A物品件数30％的B物品;购进原B物品件数60％的C物品。
试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件数间的关系式。
若采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为290，330,380，求采购前仓库A,B，C三种物品的件数。
解记采购前仓库A，B,C三种物品件数分别为：，采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为：，则由已知有：即：所以，若时,有即采购前仓库A，B，C三种物品的件数分别为100，300, 200。
2-2。
2010年武汉大学高等代数解答
B2
)− 1
= −1 =0 =1 =3
证明: 对方程组的增广矩阵进行初等行变换: 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 4 −3 ¯ = 3 2 4 −1 0 → 0 A 5 3 7 −3 1 0 1 − a 5 − a b − a 3 + a . a 1 5 b 3 0 0 0 0 0 (1)设(I)的三个线性无关的解为α1 , α2 , α3 ,令 β1 = α3 − α1 , β2 = α3 − α2 , 则易知β1 , β2 线性无关,且是(I)的导出组Ax = 0的解,从而其基础解系中向量的个数大于大 于2,即 4 − rank (A) ≥ 2, 又由上面的初等变换的结果可知 rank (A) ≥ 2. 从而rank (A) = 2. (2)由rank (A) = 2知 −1 4 1 = = 1−a 5−a b−a
二.(16分)设A, B 是n(n ≥ 2)阶矩阵,A∗ , B ∗ 分别是A, B 的伴随矩阵,已知B 是交换A的 第一行与第二行得到的矩阵.对于下述四个选项,若正确则给予证明,若不正确,请给出反 例. (A)交换A∗ 的第一列与第二列得到B ∗ . (B)交换A∗ 的第一行与第二行得到B ∗ . ◇※☆■◇◇※☆■◇
武汉大学2010年硕士学位研究生(学术型)入学考试 线性代数试题参考解答
2
试题
1 1 1 1 2 3 一.(15分)已知矩阵A = 0 2 0 , B = 2 3 1 ,试求矩阵X,使得AT X − 3X = B. 1 0 3 3 1 2
二.(16分)设A, B 是n(n ≥ 2)阶矩阵,A∗ , B ∗ 分别是A, B 的伴随矩阵,已知B 是交换A的 第一行与第二行得到的矩阵.对于下述四个选项,若正确则给予证明,若不正确,请给出反 例. (A)交换A∗ 的第一列与第二列得到B ∗ . (B)交换A∗ 的第一行与第二行得到B ∗ . (C)交换A∗ 的第一列与第二列得到−B ∗ . (D)交换A∗ 的第一行与第二行得到−B ∗ . 三.(15分)设A是n阶反对称矩阵,b为n维列向量,rank (A) = rank (A, b).求证: ( ) A b rank T = rank (A). b 0 1
线代期末考试试卷(2009-2010)
底 .
T T
年级：
2、设α = ( a1 ,..., an ) , β = (b1 ,..., bn ) 是两个非零的复向量，且 设 A = αβ T .则 A 的 Jordan 标准型为 .
华中师范大学 2009–2010 学年第一学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
专业：
院（系） ：
Α(ε1 − 2ε 2 ) = 3ε1 + 2ε 2 .A 在基底 ε 1，ε 2 下的矩阵为 Α(3ε1 − ε 2 ) = −ε1 + ε 2
.
T
5、设V = M n (C ) （所有 n 阶复方阵构成的线性空间） ，定义内积 A, B = tr ( A B ) ，则对角方阵所成子空间W 的正交补子空间W 为
0 1 0 是一个 14 阶方阵，求 N 4 的 Jordan 标准型 J ，并求可逆矩阵 P ，使得 2、设 N = ... ... 1 0
P −1 N 4 P = J .
2
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
线性代数2010-2011(攀枝花学院期末试题)
攀枝花学院2010-2011线性代数期末试题一、选择题（每小题 3 分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）1、三阶行列式的第2行元素为：2、1、3，它们的余子式值分别是：1、2、3，则此行列式的值为（ ）.A ：13B ： 9C -9D 02、A 是一个3阶方阵，且 |A | ＝5，则A 的伴随阵*A 的行列式值为（ ） A 、0 B 、5 C 、125 D 、253、向量组12,,,(2)S S ααα≥ 线性无关的充要条件是（ ） A 、 12,,,S ααα 中没有一个零向量 B 、12,,,S ααα 中任意两个向量不成比例C 、12,,,S ααα 中任意一个向量都不可由其余向量线性表示D 、向量组12,,,S ααα 的秩等于向量的维数4、齐次线性方程組 123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解，则λ=（ ）A 、1B 、1或-2C 、-2D 、35、设11412001A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且A的特征值为0，1，2，则x =（ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4二、填空题（每题 3 分，共 15 分）1、在四阶行列式|a ij |展开项中，含元素1431,a a 的有 。
2、矩阵A =031021300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则A -1=3、已知向量组123,,a a a 线性无关，若向量组122331,,a ka a a a a +--线性相关，则____________k =4、 方程1230x x x ++=的通解为___ __5、二次型2221231231223(,,)224f x x x x x x x x x x =-++-的矩阵是____ ___________三、计算行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）1、31111300103010032、已知 A=211132310--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 求A -1.3、已知A=100110011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 求10A 。
2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]
![2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/0aa774bb1b37f111f18583d049649b6648d7099c.png)
∴ξ T (H − xIn )ξ = ξ T (−K + iyIn )ξ = 0
设 H = (hij ), K = (kij ) ∈ ℂn×n ，则由上式可得
hk1ε12
+
hk
2ε
2 2
+⋯ + (hkk
−
x)ε
2 k
+⋯ +
hknε
2 n
=
0
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ + (kkk
−
iy)ε
+
hk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 n
≤
hk1
⋅
ε
2 k
+
hk 2
⋅
ε
2 k
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 k
≤
nh
ε
2 k
y ⋅ εk
2=
iyε
2 k
=
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ +
kknε
2 n
≤
hk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯+
kknε
2 n
=
kk1
⋅ ε12
+
kk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ +
n
n
n
n
= ai ⋅ xi + ai + xi − n ai xi +1 .
2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数(经管类)试卷 (1)
2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试试卷04184线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设A 为3阶矩阵，A =1，则2T A -= ( ) A ．-8 B. -2 C. 2 D. 82、设矩阵A =11⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭，B =（1,1），则AB = （ ） A ．0 B.（1，－1） C.11⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭D.1111⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭3、设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） A ．AB BA - B. AB BA + C. AB D. BA4、设矩阵A 的伴随矩阵*A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，则1A -= （ ）A ．431212-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ B. 121342-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ C. 121342⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 421312⎛⎫- ⎪⎝⎭5、下列矩阵中不是初等矩阵的是 （ ）A ．101010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 100030001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 100010201⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6、设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则必有 （ ） A ．A B +可逆 B.AB 可逆 C.A B -可逆 D.AB BA +可逆7、设向量组1α=（1,2）， 2α=（0，2） β=（4，2），则 （ ） A ．12,,ααβ线性无关 B ．β不能由1α，2α线性表示C ．β可由1α，2α线性表示，但表示法不惟一D ．β可由1α，2α线性表示，且表示法惟一8、设A 为3阶实对称矩阵，A 的全部特征值为0,1,1，则齐次线性方程组()0E A x -= 的基础解系所含解向量的个数为 （ ）A ．0 B. 1 C. 2 D. 39、设齐次线性方程组1231231232000x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ为 （ ）A ．－1 B. 0 C. 1 D. 210、设二次型()Tf x X Ax =正定，则下列结论中正确的是 （ ） A ．对任意n 维列向量x ，Tx Ax 都大于零 B ．f 的标准形的系数都大于或等于零 C ．A 的特征值都大于零 D ．A 的所有子式都大于零二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11、行列式0112的值为_________. 12、已知1223A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 中第一行第二列元素的代数余子式为_________.13、设矩阵1324A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，1101P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3AP =_________. 14、设,A B 都是3阶矩阵，且A =2，2B E =-，则1A B -=_________.15、已知向量组1α=（1，2，3），2α=（3，-1，2），3α=（2，3，k ）线性相关，则数k=_________.16、已知Ax b =为4元线性方程组，() 3.r A = 1α，2α，3α为该方程组的3个解，且11234α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，233579αα⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭，则该线性方程组的通解是_________. 17、已知P 是3阶正交矩阵，向量132α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则内积(,)P P αβ=_________.18、设2是矩阵A 的一个特征值，则矩阵3A 必有一个特征值为_________. 19、与矩阵1203A ⎛⎫=⎪⎝⎭相似的对角矩阵为_________.20、设矩阵122Ak-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若二次型Tf x Ax=正定，则实数k的取值范围是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21、求行列式0120101221010210D=的值.22、设矩阵010100001A-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，120210000B--⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭，求满足矩阵方程2XA B E-=的矩阵X.23、若向量组11 1 1α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，2113α⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，326kα⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，422kα-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭的秩为2，求k的值.24、设矩阵223110121A⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭，21b⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.（1）求1A-；（2）求解线性方程组Ax b=，并将b用A的列向量组线性表示.25、已知3阶矩阵A 的特征值为1-，1，2，设22B A A E =+-,求 （1）矩阵A 的行列式及A 的秩.（2）矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.26、求二次型123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++经可逆线性变换112321233322222x y y y x y y y x y=++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩所得的标准形.四、证明题（本题6分）27、设n 阶矩阵A 满足2A E =,证明A 的特征值只能是1±.。
2010线代试卷
线性代数(经管类)试题（2010年1月份）说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，T a 表示向量a 的转置，E 表示单位矩阵，||A 表示方阵A 的行列式，1A -表示方阵A 的逆矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩．一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分．1.设行列式4031111x y z =，则行列式2224013111x y z= （） A. 23 B. 1 C. 2 D. 832.设,,A B C 为同阶可逆方阵，则()1ABC -= （ ）A. 111A B C ---B. 111C B A ---C.111C A B ---D. 111A C B ---3.设1234,,,σσσσ是4维列向量，矩阵()1234,,,A σσσσ=.如果||2A =，则|2|A -=（ ）A.-32B.-4C.4D.324.设1234,,,σσσσ 是三维实向量，则（ ）A. 1234,,,σσσσ一定线性无关B. 1σ一定可由234,,σσσ线性表出C. 1234,,,σσσσ一定线性相关D. 123,,σσσ一定线性无关5.向量组()11,0,0σ=，()21,1,0σ=，()31,1,1σ=的秩为（ ）A.1B.2C.3D.46.设A 是46⨯矩阵，()2r A =，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.47.设A 是m n ⨯矩阵，已知0Ax =只有零解，则以下结论正确的是（ ）A. m n ≥B. Ax b =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解C. ()r A m =D. 0Ax =存在基础解系8.设矩阵452573694A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则以下向量中是A 的特征向量的是 （ ）A. ()1,1,1TB. ()1,1,3TC.（()1,1,0TD. ()1,0,3T -9.设矩阵111131111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的三个特征值分别为123,,λλλ则123λλλ++= （ ） A.4 B.5 C.6 D.710.三元二次型222123112132233(,,)464129f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵为 （ ） A. 123246369⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 143046369⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 126246069⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 1232403129⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版),西安交通大学2010年线性代数期末考试试题(含答案),推荐文档
(3).已知是四元方程组AX b =的三个解，其中且123,,ηηη()3r A =，则方程组AX b =的通解为1223(1,2,3,4),(4,4,4,4)T T ηηηη+=+=三、(12分) 证明两直线,异面；求两直线间的距1:4l x y z ==-2:l x y z -==离；并求与都垂直且相交的直线方程。
12,l l 四、(12分)线性方程组123113112112x x x λλλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,λ求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 已知二次曲面方程可经过正交2222224x ay z bxy xz yz +++++=变换化为柱面方程，求的值及正交矩阵P.'''x x y P y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22'4'4y z +=,a b 六、(12分) 设,矩阵满足，其中为三阶单位矩101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 2AX I A X +=+I 阵，求矩阵X .七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)矩阵，线性空间1123130101111432A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦求的基与维数.{}4|V b b F Ax =∈，方程组=b 有解V (2) 设,在的基下的矩()3T L R ∈T 3R 123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=阵为 ，求在基下的101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T βββ===矩阵.八、(10分)设是维列向量组，矩阵12,,,n ααα n 111212122212T T T n T T T n T T Tn n n n A αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组12,,,n ααα n b 均有解。
2010线性代数试卷A
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）答案及评分标准2010 --2011学年第 一 学期《 线性代数 》试卷开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷72 分每空2分）．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 1 12 2 10 1 0A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 0 00 2 00 0 1B ，则TA =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3 2 012 11 1 0 AB = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9 2 16 4 10 2 0;2B A -= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3 2 24 2 20 2 1;方阵A 的第二行第三列元素的代数余子式= 1 ;行列式=-A 2 8 ； 行列式=-1A -1 ；B 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 0 0 0 30 0 06 *B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3/1 0 0 0 1/2 0 0 01 1B ；2．行列式 1 1 0 0 5 8 0 0 00 1 2 0 0 1 1 = -3 ；行列式0 0 1 1 0 0 5 8 12 0 0 11 0 0 = -3 .3. 若对方阵A 施加初等行变换：212r r +后，变为矩阵B ，即212r r A B +−−−→，则 )det(A = )det(B )(A r = )(B r .4. 若对方阵A 施加初等行变换：21r r ↔后，变为矩阵B ，即21r r A B ↔−−−→，则 )d e t (A= - )d e t (B )(A r = )(B r .5. 设12,ξξ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则12ξξ-不是 （是、不是）线性方程组AX b =的解； 12ξξ- 是（是、不是）线性方程组O AX =的解；1232ξξ- 是 （是、不是）是线性方程组b AX =的解6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 4 232 10 10, 若A 的列向量线性相关,则t = 6 ; 此时A 的秩 = 2若t =7时，A 的秩 = 3 ；此时A 的列向量线性 无 关.7．若向量)5,3(),2,1(),3,1(21='='='ααβ，则β用21,αα组合的表达式是214ααβ-=8． 两个向量)1 ,1 ,1(),1 ,1 ,1(21-==TT αα的内积为： 1; 1α=3 ；用施密特正交规范化21,αα得到⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111311β ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=121612β9． 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 0000 1110 1101，(1) 齐次线性方程组O X A =的基础解系的向量个数为 2 ，此时方程的通解为R c c c c X ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121,,10110111(2) 若矩阵A 作为某个非齐次线性方程的增广矩阵, 则该方程的通解为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011c X10．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=++1)1( 0)1( 1 332321λλλλx x x x x x ,则：当λ≠-1、λ≠1 及λ≠0 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解； 当λ= 0或-1 时方程组无解.11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3 0 01 2 15 2- 1A 的特征值为： -1 ,3，4对应于特征值3=λ的特征向量为：11,00k k ⎛⎫⎪⋅-≠ ⎪ ⎪⎝⎭.12 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=v u A 4/9- 4/9-9/4 1/99/89/4 8/9- 是正交矩阵，则=u 1/9 ；=v 7/9 13．二次型233222212132142622),,(x x x x x x x x x x f -+-+-=的矩阵的系数矩阵为： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=4 1 01 6 10 12A ，该二次型的秩= 3 . 二、计算题（共7 分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 1 12 2 10 1 0A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 2 24 3 20 2 1B ，求矩阵X, 使B A AX -=2解 由AX = 2A-B 得)2(1B A A X -=- 2’ 又因为1 -4 3 -2 1 0 0 1 -1 1A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2’所以)2(1B A A X -=-=1 4 3 -6 -1 0 0 -1 -1 3A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3’三、计算题（共7 分）求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++14 13 12 321321321x x x x x x x x x 的通解．解 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 000 0 1 00 1 011~1 411 13 11 1211r B 3’还原成线性方程组⎩⎨⎧=-=01321x x x 2’可得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010111321c x x x ,1c 为任意常数. 2’四、（共7分）化二次型3231212322213242)(x x x x x x x x x x f +++++=为标准型，并求所用的满秩线性变换矩阵。
2010年高等代数(A)卷参考答案
2010高等代数1（A 卷）参考答案一、填空题 1．n <; 2. 0; 3. 1627-; 4. 0λ≠且3λ≠-; 5. 6,16a b =-= 二、判断题 6.⨯7.⨯8.√9.⨯ 10. √三、单项选择11. (D) 12. (B) 13. (A) 14. (B) 15 (B)四、解答题 16. 解： x+1∴ （f(x),g(x)）=x-3 （7分）17. 解：（4分）2131415143r r r r r r r r ---+−−−→3242523r r r r r r +-+−−−→1234511231111133542563157A ααααα⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪----⎝⎭1213141511123021202120636402123ααααααααα⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪---- ⎪ ⎪+⎝⎭12132142152111230212000020000300002αααααααααααα⎛⎫⎪---- ⎪⎪+- ⎪-- ⎪ ⎪++⎝⎭∴12345()2,r α,α,α,α,α=12α,α是它的一个极大无关组， （6分） 且3124125123α=2α-α,α=α+α,α=-2α-α （7分） 18．解：方程组的系数行列式为 （1分）（1） 当2k ≠-且1k ≠ 时，方程组有唯一解; （2分）（2）2k =-时，（3）()3()2R A R A =≠=，此时，方程组无解; （4分）（3）1k =，此时方程组有无穷多解， （6分）通解为 ：1212111010,,001k k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
（7分）19．解：因为A = ， 所以A 可逆， （2分）则（3分） 21111(2)(1)11k k k k k=+-111111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2131r r r r --−−−→()()13R A R A n ==<=015153522321≠=1123123x x A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112121124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭13112412122111r r ↔-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭21212112403360339r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭2132112403360003r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪⎪⎝⎭()123100123100123100123100225010021210018301018301351001018301021210001541211221201005551381010151515412001151515A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∣E =→---→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎪⎪ ⎪→---→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭31341515151381010151515412001151515⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭即 1231341515151381151515412151515A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（6分） 则（7分）20．解： 二次型的矩阵为 （1分）()21311212213113111221122400110110100221100112240211002110042211011201010201010010022110001210001200001r r r r r r c c c c c c r r c A -+++-+←−→←→--⎛⎫- ⎪⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∣E =-−−−→-−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭3111110011001222211110100010022220041111001022c −----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123231341515151113812015151530412151515x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭则非退化线性变换X CY == （6分） 把二次型()123,,f x x x 化222123x x x +- 。
中国农业大学线代2010年1月试题
2010年1月一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；2．已知矩阵A =101021000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩R A =() ；3．设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；4．设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则 A x b =的通解x = ；5．设A 是n 阶方阵，0A ≠，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()12*A -必有一个特 征值是 ．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．3阶方阵A =33()ij a ⨯，A 的行列式A =3-，ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，则2111112121313()++a A a A a A 2112112221323()+++a A a A a A 2113112321333()+++a A a A a A =【 】 ； (A) -3； (B) 2； (C) 9； (D) 0．2． 已知线性方程组0,235,2.+=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩x y x y x y a有解，则=a 【 】；(A) 2； (B) 1-； (C) 3 ； (D) 0 3．设A 是4阶方阵，且A 的行列式0A =，则A 中【 】； (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合．4． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 相似于对角阵15-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭λ，则=λ【 】； (A) 1-； (B) 2； (C) 3； (D) 0．5． 若二次型()2221231231223,,22f x x x x x x x x ax x =++++是正定二次型，则a 的取值范围是【 】．．(A)2-<<a (B)2<a ； (C) 22-<<a ； (D) 22<<-a ．三、（本题满分14分）1．已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求1121314122A A A A +++；2．计算1n+阶行列式12112111231231111nnnnb a a aa b a aDa a a ba a a a--+=．四、(本题满分14分)设n阶方阵A和B满足条件：A B AB+=．(1) 证明：A E-是可逆矩阵，其中E是n阶单位矩阵；(2) 已知矩阵130210002B-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求矩阵A．五、(本题满分14分) 当a 、b 为何值时，线性方程组()123423423412340,221,32,32 1.x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．六、(本题满分10分) 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，123,,ξξξ是对应的齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，证明： (1) 0123,,,ηξξξ线性无关；(2) 0102030,,,ηξηξηξη+++线性无关．七、（本题满分12分） 二次型22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++经正交变换x Py =变为标准形23222y y +，求出该正交变换．八、(本题满分6分) 设,ξξ12是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，A 为n 阶方阵，证明：(1) 存在一个非零向量与A 的每一个行向量都正交； (2) 0A =．。
2010至2011学年第一学期线代试卷B
合肥学院2010至2011学年第一学期 线性代数（工）课程考试（B ）卷系 级 专业 学号 姓名题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得分 阅卷一、 填空题：（每题3分，共30分）1、排列35461的逆序数为 。
2、矩阵A=错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
。
3、矩阵错误！未找到引用源。
,那么错误！未找到引用源。
= 。
4、与任何同阶方阵都可交换的矩阵是 。
5、已知错误！未找到引用源。
，A 的行最简矩阵为 。
6、已知错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
线性 。
7、设错误！未找到引用源。
矩阵A 的秩错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的解集S 的秩错误！未找到引用源。
= 。
8、设错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,c 与5a 正交，且b=错误！未找到引用源。
+c ，则错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
. 9、设4阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为51.41,31,21，则错误！未找到引用源。
= 。
10、二次型错误！未找到引用源。
对应的矩阵是 。
二、判断题：（每题2分，共10分）1、若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
=0。
（ ）2、错误！未找到引用源。
元线性方程组错误！未找到引用源。
有解的充要条件为得分 得分 装 订 线==R A R A b n()(,)错误！未找到引用源。
（）3、如果6是矩阵A的特征值，则错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
（）4、设向量组错误！未找到引用源。
线性无关，而向量组错误！未找到引用源。
线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示。
（）5、二次型为正定的充要条件是矩阵的特征值全为正。
（）三、计算：（每题5分，共15分）得分1、已知错误！未找到引用源。
，求D的错误！未找到引用源。
元的代数余子式记作错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
的值。
2、利用矩阵的初等变换，求矩阵错误！未找到引用源。
的逆阵。
历年自考优选线性代数试题真题及答案分析解答
A . PAB. APC. QAD. AQ全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案1.已知2阶行列式a ? m， b 1 b 2n ,则b 1 b 2(B )b 1 b 2C 2a 〔a ?C 2A . m n B. n mC. m nD. (m n)2 .设 A , B , C 均为 n 阶方阵，AB BA , AC CA ，则 ABC ( D )ABC (AB)C (BA)C B(AC) B(CA) BCA .3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且|A| 1 , |B| 2，则行列式||B|A|之值为（A ）A.8B. 2C. 2D. 8||B|A| | 2A| ( 2)3|A|8 .a 11a 12a 13a 113a 〔2 a 131 0 0 1 0 04 . Aa 21a 22 a 23， Ba 21 3a ?2a 23， P3 0，Q 3 1 0，则B (B)a 31a 32a 33a 313a 32a 330 0 10 0 1一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） b ib 2b 1 b 2a 1a 2A . ACBB. CABC. CBAD. BCAC 2m n n m .an a 12 a 131 0 0 an 3a 12 a 13AP a 21a 22a 230 3 0 a 213a 22 a 23Ba 31a 32a 330 0 1a 313a 32 a 335.已知A 是一个3 4矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩（A ）=2B. 若A 中存在2阶子式不为0,则秩（A ）=2相关相关的一个极大无关组.C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为 6. F 列命题中错误的是（C ）A . 只含有1个零向量的向量组线性相关B .由3个2维向量组成的向量组线性C. 由1个非零向量组成的向量组线性相关D. 2个成比例的向量组成的向量组线性7.已知向量组3线性无关,线性相关，则（D ）A . 1必能由2，3，线性表出 B.2必能由1, 3,线性表出C.3必能由1, 2,线性表出D.必能由3线性表出注:8.设A 为m n 矩阵，m n ，则方程组Ax =O 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D ）注：方程组Ax =O 有n 个未知量.9.设A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ A ）A . A T B. A 2 C. A 1 D. A| E A T | |（ E A ）T | | E A|，所以A 与A T 有相同的特征值.10 •二次型f （X 1,X 2,X 3） X 12 X ；近2X 1X 2的正惯性指数为（ C)A . 0B. 1C. 2D. 3f （X i ,X 2,X 3）（X i X 2）2 x f y i 2 y f ，正惯性指数为 2.二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）11 .行列式2007 2008的值为2009 2010--------------------------12.设矩阵 A 2 011, B 01，则A T B -------------------------------------------------------A .小于 mB.等于 mC.小于nD.等于n2007 2008 2009 20102000 2000 2000 20007 8 9 1013 •设 (3, 1,0,2)T ,(3,1, 1,4)T ，若向量 满足 2 3，贝V ____________3 2 (9,3, 3,12)T (6, 2,0,4)T(3,5, 3,8)T •14 .设A 为n 阶可逆矩阵，且| A| 1,则| | A 1 | _______________________n|A 11|A|15 .设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程 组Ax =o 的解，贝y |A | _______________ .n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则| A| 0.16.齐次线性方程组X1 X2 X3 0的基础解系所含解向量的个数为2x 1 x 2 3X 3基础解系所含解向量的个数为 nr 3 2 1 .117•设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3，则矩阵尹必有一个特征值为2 2x 0的特征值为4,1, 2，则数x由 1x0412，得 x 2.a 1/,2 019 .已知A 1/" b 0是正交矩阵，则a b _______________________________0 0 120 .二次型 f (x 1, x 2, x 3) 4x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3 的矩阵是三、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54 分）18.设矩阵Aab ca b c1 1 1 解：D2ab 22c2 ab 22cabc abc3..333.332.22a ab bc ca b ca b cabc(b a)(c a)1 b a1 c aabc(b a)(c a)(c b).22. 已知矩阵B (2,1,3) , C(1,2,3)，求( 1) A B T C ;(2) A 2 .22 4 6解: (1) AB TC1 (1,2,3) 123 ；33 6 92(2)注意到 CB T (1,2,3) 113，所以32 4 6 A 2 (B T C)(B T C) B T (CB T )C 13B T C 13A 13 1 2 3 . 21.计算行列式Da 2 a a 3b cb 2c 2的值.b b 3c c 32 11 1解：A (1, 2 ,3, 4)1 2 1 1 3 0 3 11 111 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 01 1 0 1 1 1 0 1 12 1 1 0 1 1 03 0 3 1 0 3 32 2 11 11 111 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 ， 向量组的秩为 3， 1 , 2,4是一个0 0 0 0极大无关组,3 1 212 31 424．已知矩阵 A 01 2， B2 5 ．（1）求 A 1； （ 2）解矩阵方程 AX B00 11 31231 0 0 1 20 10 3解： （ 1 ）(A,E) 01 20 1 0 0 10 01 200100 10 01 0011 0012 112 10 1001 2，A 10 1 20 0100 10 01121 1 4 4 9（2） X A 1B0 1 2 2 5 0 11 ．0 011313、 1x 12x 2 3x 3425．问 a 为何值线性方程组2x 2 ax 32 有惟一 解？有无穷多解？并在有解2x 12x 23x 36时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．1 23 4 12 341 234解：( A,b) 02a 2 0 2 a 2 0 2a 2 ．2 23623 20 0a 3012 a 3时， r(A,b) r(A) 2 n ，有无穷多解，此时 (A,b) 0 2 00a 3时， r （A,b ） r （A ） 3 ，有惟一解，此时1( A,b)0 0 34 a2 10 12 02 0010 02 00 02 02 10 10 01 0002 0 1 ， 10x 1x 2 x 32 1； 343200数. 1 0 0 21 00 2 3 2 0 1 3/2 0 0 0 0 0 0 02x 1 22 1， X 2 1 ?X 3，通解为12X 3 X 3k 3/2 ,其中k 为任意常26 .设矩阵A 2 0 00 3a 的三个特征值分别为1,2,5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P,0 a 3 1 0 0 使 P 1AP 0 2 0 0 0 52 0 0解：由 |A|0 3a 0 a 32 3 a 2(9 a 2) 1 2 5，a 3得 a 2 4，对于 1 1,解(E A)x 0 :X 1 X2X 3X 3对于 2 2，解（E A ）x 0 :0 1 0 x 1 x 1 0 0 1 ， x 2 0，取 p 2X 3 0对于 3 5，解（E A ）x 0 :3 0 0 1 0 0 X1 0 0E A 0 2 2 0 1 1 , X2 x3，取p3 1 .0 2 2 0 0 0 X3 X3 10 1 0 1 0 0令P (P1, P2 ,P3) 1 0 1 则P是可逆矩阵，使P 1AP 0 2 0 .1 0 1 0 0 5四、证明题(本题6分)27 .设A, B, A B均为n阶正交矩阵，证明(A B) 1 A 1 B 1.证：A, B, A B均为n阶正交阵，则A A 1, B T B1, (A B)T(A B) 1，所以(A B) 1 (A B)T A T B T A 1 B 1.全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1 .设3阶方阵A ( 1，2，3),其中i ( i 1,2,3)为A的列向量，若|B| |( 1 2 2, 2, 3)| 6，则|A| ( C )|A| 1( 1, 2, 3)l 1( 1 2 2, 2, 3)1 6 .A. 12B. 6C. 6D. 122•计算行列式3 0 2 0 2 10 5 0 0 0 2 0 2 3 2 3A. 180B. 120C. 120D. 1803.若A 为3阶方阵且|A 1| 2，则|2A| ( C )A.1B. 2C. 4D. 821 31 |A| -, |2A|2 |A| 8 三 4 .224. 设1, 2, 3, 4都是3维向量，则必有(B )A . 1，2, 3，4线性无关 B.1，2, 3，4线性相关C.1可由2, 3, 4线性表示 D.1不可由2, 3, 4线性表示5.若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2,则r(A) ( C )A. 2B. 3C. 4D. 5由 6 r(A) 2，得 r(A) 4 .6 .设A B 为同阶方阵，且r(A) r(B)，则(C ) 3 0 2 03 0 22 10 53 032 10 53 ( 2)2 02 1022 3 2 33(2) 30A . A 与B 相似B. |A| |B|C. A 与B 等价D. A 与B 合同注：A与B有相同的等价标准形.7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则|A 2E| ( D )A. 0B. 2C. 3D. 24A 2E的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24 .8 .若A B相似，贝y下列说法错误.的是(B )A. A与B等价B. A与B合同C. |A| |B|D. A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的.9 .若向量(1, 2,1)与(2,3,t)正交，则t ( D )A. 2B. 0C. 2D. 4由内积2 6 t 0 ,得t 4.10 .设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则(B )A. A正定B. A半正定C. A负定 D . A半负定对应的规范型2z2 z；0 zj 0，是半正定的.、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）3211 •设 A 01 , B2 1 1，则 AB0 1 0243 2 2 1 1 AB 0 1 0 1 02412 .设A 为3阶方阵，且|A| 3 , 则I3A 1] _______________________13 1 31 31|3A 1 3 |A 1 3|A|33 9 •13 .三元方程 x 1 x 2 x 3 1的通解是 _____________________14 .设 （1,2,2），则与 反方向的单位向量是 ___________________15.设A 为5阶方阵，且r （A ） 3，则线性空间W {x|Ax 0}的维数是 _____________________1 II II13（1,2,2）.1W {x|Ax 0}的维数等于Ax 0基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 .16.17 .若A B 为5阶方阵，且Ax 0只有零解，且r(B) 3，则r(AB) __________________________Ax 0只有零解，所以A 可逆，从而r(AB) r(B) 3 .2 1 018.实对称矩阵 1 0 1所对应的二次型 仁咅飞入) _________________________ .0 1 11 119 .设3元非齐次线性方程组 Ax b 有解1 2 ， 22，且r(A) 2，则Ax b 的 33通解是 _______________ .1 1 1(1 2) 0是Ax 0的基础解系，Ax b 的通解是2 k 0 032f （X 「X 2,X 3）2 X32x 1 x 2 2x 2X 3.120 •设2，则A T的非零特征值是 ________________31由T (1,2,3) 2 14，可得A2( T ) T 14 T 14A，设A的非零特征值3是，则2 14 ，14 •三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54 分）21 .计算5阶行列式D 2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 00 0 0 2 01 0 0 0 2解：连续3次按第2行展幵2 0 0 10 2 0 0 D 2 0 0 2 010 0 22 0 0 1 0 0 1 4 322.设矩阵X满足方程0 1 0 X 0 0 1 2 0 1 ,求X.0 0 2 0 1 0 1 2 02 0 0 1 0 0 1 4 3解:记A 0 1 0， B 0 0 1 C 2 0 1 ，贝yAXB C0 0 2 0 1 0 1 2 01/2 0 0 1 0 0A 10 1 0 ，B 10 0 10 0 1/2 0 1 08 3 24 .4 3 10 0x 2 3x 3 x 4 123 .求非齐次线性方程组 3x 1 x 2 3x 3 4x 44 的通解. X 1 5X 2 9X 3 8X 41 1 3 1 1 1 1 3 1 1 解：(A,b) 3 1 3 4 4 0 4 6 7 11 598 04671 4 4 12 44 1 0 3/2 0 1 3/2 00 03/4 5/4 7/4 1/4 ,0 05 3 3 X 1 —X 3X 44 2 4X 21 4 3X 3 2 3 7 X 4，通解为 X 3X 3X4X 45/4 3/2 3/4 1/43/2 7/4k 1k 20 1 0 01k 1, k 2都是任意常数.24 .求向量组 1(1,2, 1,4),2(9,100,10,4),3( 2, 4,2, 8)的秩和一个极大无关组.解: ( T , T , T ) 21004 1 10 24 4 81 92 1502 0410 1 102 0 190 1 1 20 81 92 1 9 2 1 9 2 0 10 0 0 0 0 0 01 02 0 1 0 0 0 0 0 0 0向量组的秩为2,1 , 2是一个极大无关组.25.已知A2 1 25 a 3的一个特征向量(1,1, 1)T ,求a,b 及 所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.解：设所对应的特征值，则A，即，从而1a2 b1 ，可得 a 3，b0，1；对于1，解齐次方程组 E A)x 0：EA 1 1，0x1 x2 x3 x3x3，x3基础解系为属于1的全部特征向量为，k 为任意非零实数．26．，试确定 a 使r( A)2．解：2 2 a2四、27．22，a0时r(A) 2．证明题(本大题共 1 小题，6 分)3是Ax b ( b 0)的线性无关解，证明 3 1 是对应齐次线性方程组Ax0 的线性无关解．证：因为i, 2, 3是Ax b的解，所以 1 是Ax 0的解；k1 k20得k i 0 ，只有零解k i k2 0，所以2 i，3 i线性无关.k20全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，（，）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）an a12 a13 2an 2a12 2a131.设行列式a21 a 22 a23 =4,则行列式 a21 a22 a 23=（）a31 a32 a33 3a31 3a 32 3a33A.12B.24C.36D.482. 设矩阵A, B, C, X为同阶方阵，且A, B可逆，AXE=C,则矩阵X=( )A. A®B.CAB-1C.^1A-1CD.C B A13. 已知Y+A E=0,则矩阵A-1=( )A. A- EB.- A-E002 4. 设 1, 2, 3 , 4, 5是四维向量，则()A.1, 2, 3, 4,5一定线性无关 B.1, 2 , 3, 4,5一定线性相关C. 5一定可以由1, 2, 3,4线性表示 D. 1一定可以由2, 3, 4,5线性表出5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则()B. A =EC.r (A )=n D.0<r ( A )<( n )6. 设A 为n 阶方阵，r ( A )< n ,下列关于齐次线性方程组 Ax =0的叙述正确的 是()A.Ax =0 只有零解B.Ax =0 的基础解系含 r (A ) 个解向量C.Ax =O 的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =O 没有解7. 设 1, 2是非齐次线性方程组 Ax =b 的两个不同的解，则( )A. i 2是Ax =b 的解B. i 2是Ax =b 的解C. 3 1 2 2是 Ax =b 的解D. 2 1 3 2是 Ax =b 的解3908. 设 1， 2， 3为矩阵 A = 0 4 5 的三个特征值，则 1 2 3=( )A.A =0A.20B.24002C.28D.309.设P为正交矩阵，向量,的内积为（，）=2，贝y（P ,P）=（A. 1B.12C. 3D.2210.二次型f (X1, X2, X3)= x-X2X22x1X2 2x1X3 2x2X3 的秩为( ) 2A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。