15-平面运动
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10rad/s 根据题意： 30 30 研究AB, P１为其速度瞬心 v A OA 0.1510 1.5 m/s
AB vA 1.5 1.5 2 7.16 rad/s AP ABsin 60 0.76 3 1
n 300
（
）
vB BP 60 7.160.760.57.162.72 m/s 1 AB ABcos
24
5. 瞬心（速度瞬心）
任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点 瞬心位置随时间改变． 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这
种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．
动,
=0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平
瞬时平动与平动不同． 6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例． 7. 求平面图形上任一点速度的方法
平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段AB的位置可
用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位 置决定于 x A , y A , 三个 独立的参变量．所以
7
x A f1 (t ) 平面运动方程 y A f 2 (t ) f 3 (t ) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , ， 图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
度(图形角速度)问题的方法, 3. 作速度分析，求出待求量．
(基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）
27
[例1] 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平
基点法： vB vA vBA , A为基点 速度投影法： vB AB vA AB 速度瞬心法： vB BP , vB BP , 与 一致. P为瞬心
25 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．
9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件
平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r )o r Rr o r
２．速度瞬心的概念 平面图形S，某瞬时其上一点A速度 v A , 图形角速度，沿v A 方向取半直线AL, 然后 顺 的转向转90 至AL'的位置,在AL'上取长 度 AP vA / 则： v P v A v PA
o
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向 . 所以
2. 平面运动分解为平动和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动
当图形Ｓ上 角不变时，则刚体作平动．
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．
8
例如
车轮的运动．
车轮的平面运动可以看成
是车轮随同车厢的平动和相对
车厢的转动的合成．
车轮对于静系的平面运动 车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动
18
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直． 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上 各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (此时各点的加速度不 相等) 另：对种(a)的情况，若vA＝vB， 则是瞬时平动．
19
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动． 此时连杆BC的图形角速度 BC 0 ， BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等．
研究 AB，以 A为基点，且v A l , 方向如图示。 根据 vB v A vBA , 在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
v B v A /cos l /cos45 2l () v BA v A t g l t g45 l AB v BA / AB l /l （
17
③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A ,vB 的方向，且 v A 不平行 v B 过A , B两点分别作速度 的垂线,交 v A ,vB 点 P即为该瞬间的速度瞬心. ④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , vB 大小,且 vAAB, vB AB v A vB (a) v A 与vB 同向, AB v A vB (b) v A 与vB 反向, AB (a) (b)
上投影，有
vB AB vA AB
—速度投影定理
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相 等．这种求解速度的方法称为 速度投影法．
15
三．瞬时速度中心法（速度瞬心法） 1. 问题的提出
若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等 于零？如果存在的话，该点如何确定？
无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的
,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常
选取运动情况已知的点作为基点)
12
曲柄连杆机构
AB杆作平面运动 平面运动的分解
（请看动画）
13
§15-2
平面图形内各点的速度
一．基点法（合成法） 已知：图形S内一点A的速度 v A ，
vB 图形角速度 求：
（绝对运动） （牵连运动）
车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
（相对运动）
9
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动． 基点的选择？ 车轮的平面运动
随基点A的平动
绕基点A'的转动
10
再例如: 平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转 1 角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转 2 角到A'B'
1
第十五章 刚体的平面运动
§15–1 刚体平面运动的概述与运动分解
§15–2 平面图形上各点的速度分析
习题课
2
§15-1 刚体平面运动的概述与运动分解
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为 复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的 基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述 两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚
取A为基点, 将动系固结于A点, 动系作平动。 取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动 为圆周运动的合成 va vB ;ve v A ;vr vBA , 大小 AB,方向AB, 根据速度合成定理
va ve vr ,
指向与 转向一致． 则Ｂ点速度为：
14
vB v A vBA
研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD v ） B 2.73 5.13 rad/s （
BD
v D DP2 BD 0.535.13 2.72 m/s ()
BP2
0.53
30
[例2] 行星齿轮机构
请 看 动 画
31
[例2] 行星齿轮机构 已知: R, r , o 轮A作纯滚动，求 vM 1 , vM 2
vP 0
16
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心． ３．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度v A 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP vA , AP v A ,且Ｐ在v A 顺转向绕A点
转90º 的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心．
1 2 于是有 图中看出：AB A'B'' A''B' ，
1 2 lim ,1 2 ; t 0 t t 0 t
lim
d 1 d 2 , 1 2 dt dt
11
所以，平面运动随基点平动的运动规律与基 点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取
速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
21
[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度． 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 基点法（合成法）
AB 求该位置时的 BD 、
及 vD
翻页请看动画
28
请 看 动 画
29
[例2] 曲柄肘杆压床机构 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平. AB 及 vD 求该位置时的 BD ， 解：OA,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动
设匀，则
aB aB AB 2 ()
n
aB 而 ac 的方向沿AC的，
ac 瞬时平动与平动不同
20
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转
动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 v A AP 方向AP，指向与 一致。 ５. 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系．
合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有
相对滑动时的运动关系的传递．
26ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二．解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体． 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，
也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法 由于A, B点是任意的，因此 vB v A vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系．由于恒有 vBAAB ，因此将上式在AB
v A l , AP l AB v A / AP l /l （ v B BP AB 2l ()
）
试比较上述三种方法的特点。
23
第十五章
一．概念与内容 1. 刚体平面运动的定义
刚体平面运动习题课
刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变． 2. 刚体平面运动的简化 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动． 3. 刚体平面运动的分解 分解为 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关） 绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关） 4. 基点 可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．
体上一点的速度和加速度的计算公式．
一．平面运动的定义
在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保
持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一 平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．
3
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动，
A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动， 而是平面运动．
4
请 看 动 画
5
二．平面运动的简化 刚体的平面运动可以 简化为平面图形S在其自
身平面内的运动．即在研
究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需 研究平面图形的运动，确 定平面图形上各点的速度 和加速度．
6
三、平面运动的分解 1. 平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定
）
22
速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线 根据速度投影定理 vB AB vA AB
v B v A /cos
v A v B cos
l /cos 45 2l () 不能求出 AB
速度瞬心法
研究AB，已知 v A , v B的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
AB vA 1.5 1.5 2 7.16 rad/s AP ABsin 60 0.76 3 1
n 300
（
）
vB BP 60 7.160.760.57.162.72 m/s 1 AB ABcos
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5. 瞬心（速度瞬心）
任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点 瞬心位置随时间改变． 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这
种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．
动,
=0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平
瞬时平动与平动不同． 6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例． 7. 求平面图形上任一点速度的方法
平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段AB的位置可
用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位 置决定于 x A , y A , 三个 独立的参变量．所以
7
x A f1 (t ) 平面运动方程 y A f 2 (t ) f 3 (t ) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , ， 图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
度(图形角速度)问题的方法, 3. 作速度分析，求出待求量．
(基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）
27
[例1] 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平
基点法： vB vA vBA , A为基点 速度投影法： vB AB vA AB 速度瞬心法： vB BP , vB BP , 与 一致. P为瞬心
25 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．
9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件
平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r )o r Rr o r
２．速度瞬心的概念 平面图形S，某瞬时其上一点A速度 v A , 图形角速度，沿v A 方向取半直线AL, 然后 顺 的转向转90 至AL'的位置,在AL'上取长 度 AP vA / 则： v P v A v PA
o
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向 . 所以
2. 平面运动分解为平动和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动
当图形Ｓ上 角不变时，则刚体作平动．
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．
8
例如
车轮的运动．
车轮的平面运动可以看成
是车轮随同车厢的平动和相对
车厢的转动的合成．
车轮对于静系的平面运动 车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动
18
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直． 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上 各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (此时各点的加速度不 相等) 另：对种(a)的情况，若vA＝vB， 则是瞬时平动．
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例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动． 此时连杆BC的图形角速度 BC 0 ， BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等．
研究 AB，以 A为基点，且v A l , 方向如图示。 根据 vB v A vBA , 在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
v B v A /cos l /cos45 2l () v BA v A t g l t g45 l AB v BA / AB l /l （
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③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A ,vB 的方向，且 v A 不平行 v B 过A , B两点分别作速度 的垂线,交 v A ,vB 点 P即为该瞬间的速度瞬心. ④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , vB 大小,且 vAAB, vB AB v A vB (a) v A 与vB 同向, AB v A vB (b) v A 与vB 反向, AB (a) (b)
上投影，有
vB AB vA AB
—速度投影定理
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相 等．这种求解速度的方法称为 速度投影法．
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三．瞬时速度中心法（速度瞬心法） 1. 问题的提出
若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等 于零？如果存在的话，该点如何确定？
无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的
,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常
选取运动情况已知的点作为基点)
12
曲柄连杆机构
AB杆作平面运动 平面运动的分解
（请看动画）
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§15-2
平面图形内各点的速度
一．基点法（合成法） 已知：图形S内一点A的速度 v A ，
vB 图形角速度 求：
（绝对运动） （牵连运动）
车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
（相对运动）
9
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动． 基点的选择？ 车轮的平面运动
随基点A的平动
绕基点A'的转动
10
再例如: 平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转 1 角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转 2 角到A'B'
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第十五章 刚体的平面运动
§15–1 刚体平面运动的概述与运动分解
§15–2 平面图形上各点的速度分析
习题课
2
§15-1 刚体平面运动的概述与运动分解
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为 复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的 基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述 两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚
取A为基点, 将动系固结于A点, 动系作平动。 取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动 为圆周运动的合成 va vB ;ve v A ;vr vBA , 大小 AB,方向AB, 根据速度合成定理
va ve vr ,
指向与 转向一致． 则Ｂ点速度为：
14
vB v A vBA
研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD v ） B 2.73 5.13 rad/s （
BD
v D DP2 BD 0.535.13 2.72 m/s ()
BP2
0.53
30
[例2] 行星齿轮机构
请 看 动 画
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[例2] 行星齿轮机构 已知: R, r , o 轮A作纯滚动，求 vM 1 , vM 2
vP 0
16
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心． ３．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度v A 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP vA , AP v A ,且Ｐ在v A 顺转向绕A点
转90º 的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心．
1 2 于是有 图中看出：AB A'B'' A''B' ，
1 2 lim ,1 2 ; t 0 t t 0 t
lim
d 1 d 2 , 1 2 dt dt
11
所以，平面运动随基点平动的运动规律与基 点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取
速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
21
[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度． 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 基点法（合成法）
AB 求该位置时的 BD 、
及 vD
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29
[例2] 曲柄肘杆压床机构 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平. AB 及 vD 求该位置时的 BD ， 解：OA,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动
设匀，则
aB aB AB 2 ()
n
aB 而 ac 的方向沿AC的，
ac 瞬时平动与平动不同
20
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转
动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 v A AP 方向AP，指向与 一致。 ５. 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系．
合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有
相对滑动时的运动关系的传递．
26ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二．解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体． 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，
也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法 由于A, B点是任意的，因此 vB v A vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系．由于恒有 vBAAB ，因此将上式在AB
v A l , AP l AB v A / AP l /l （ v B BP AB 2l ()
）
试比较上述三种方法的特点。
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第十五章
一．概念与内容 1. 刚体平面运动的定义
刚体平面运动习题课
刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变． 2. 刚体平面运动的简化 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动． 3. 刚体平面运动的分解 分解为 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关） 绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关） 4. 基点 可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．
体上一点的速度和加速度的计算公式．
一．平面运动的定义
在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保
持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一 平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．
3
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动，
A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动， 而是平面运动．
4
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5
二．平面运动的简化 刚体的平面运动可以 简化为平面图形S在其自
身平面内的运动．即在研
究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需 研究平面图形的运动，确 定平面图形上各点的速度 和加速度．
6
三、平面运动的分解 1. 平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定
）
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速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线 根据速度投影定理 vB AB vA AB
v B v A /cos
v A v B cos
l /cos 45 2l () 不能求出 AB
速度瞬心法
研究AB，已知 v A , v B的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心