广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学(文科)试题

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2019届广东省深圳外国语学校高三分班考试数学(文)试题(解析版)

2019届广东省深圳外国语学校高三分班考试数学（文）试题一、单选题1．复数的共轭复数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,∴复数的共轭复数是故选：C点睛：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．2．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点】命题与逻辑.3．等比数列的前项和为，若，则公比（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值．【详解】∵，∴，又，∴．故选A．【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．4．已知双曲线：（）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程和其渐近线方程可求得，然后再根据离心率的计算公式可得所求．【详解】由可得，即为双曲线的渐近线的方程，又渐近线方程为，∴，∴.∴离心率．故选B．【点睛】（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）本题容易出现的错误是认为，由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论焦点在哪个轴上，只需把方程中的“”改为“”，即可得到渐近线的方程．5．设函数（，）的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】试题分析：由于，由于该函数的最小正周期为，得出，又根据，以及，得出．因此，，若，则，从而在单调递减，若，则，该区间不为余弦函数的单调区间，故都错，正确．故选A．【考点】三角函数的单调性．【名师点睛】三角函数问题，一般都是化函数为形式，然后把作为一个整体利用正弦函数的性质来求求解．掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础．6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】若,，则或，即选项A错误；若，则或，即选项B错误；若，则平行或垂直或相交，即选项D错误；故选C.7．已知函数，，则函数的图象可能是下面的哪个（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，然后以原点为对称中心进行对称后可得函数的图象．【详解】画出函数的图象，如下图所示．将此图象以原点为对称中心进行对称后可得函数的图象如选项D所示．故选D．【点睛】本题考查图象的变换问题，函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图象变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言的．在本题中，函数与函数的图象是关于原点对称的．8．设，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】以为中间量，先根据幂函数的性质比较的大小，再根据指数函数的性质比较的大小，可得结论．【详解】由幂函数的性质得，即；由指数函数的性质得，即．所以．故选C．【点睛】比较幂的大小时，若底数相同，则可构造指数函数，并根据指数函数的性质进行比较；若指数相同，则可构造幂函数，根据幂函数的性质进行比较；若底数、指数都不同，则可构造中间量进行比较．9．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】依次执行程序框图中的程序，可得输出结果．【详解】依次执行框图中的程序，可得：第一次：，不满足条件，；第二次：，不满足条件，；第三次：，不满足条件，；第四次：，不满足条件，；第五次：，满足条件，停止运行，输出．故选B．【点睛】解决程序框图输出结果的问题时，首先要做的是弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．10．已知抛物线：的交点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可得直线PF的方程为，再将直线的方程与抛物线的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．【详解】抛物线：的焦点为F(2,0)，准线为．如下图．设到准线的距离分别为，由抛物线的定义可知，于是．作MH⊥l于H，∵，∴，∴，根据对称性可得直线AB的斜率为．∴直线PF的方程为.由消去y整理得，∴．于是．故选B．【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．11．如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】，，．选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．12．设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由是函数的极值点可得，同时根据三角函数的性质可得，于是可得存在使不等式成立，求得的最小值，然后解不等式即可．【详解】∵是函数的极值点，即当时，函数取得最值，∴，且，∴．∵存在的极值点满足，∴存在，又的最小值为，∴，∴，解得或．∴实数的取值范围是．故选C．【点睛】本题考查学生的转化能力和运算能力，解答本题的关键点有两个，一是对“是函数的极值点”的理解，并由此得到和的值；二是如何解决存在性问题，注意解题时转化为求最小值的问题．二、填空题13．已知菱形的边长为，，则__________．【答案】6【解析】【分析】选取为基底，则，然后根据向量数量积的定义求解．【详解】如图，以为基底，则．∴．【点睛】计算向量数量积的方法有三种：定义法、坐标运算法、数量积的几何意义，解题时要灵活选用方法，对于和图形有关的问题不要忽视数量积的几何意义的应用．14．若变量，满足，则的最大值为__________．【答案】55【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，令，然后根据线性规划求解即可．【详解】画出不等式组表示的可行域如图所示．设，则．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由得，所以点A的坐标为．∴，即的最大值为55．【点睛】求二元一次函数的最值，将函数转化为直线的斜截式，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，交点，在轴上，离心率为，过做直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．【答案】【解析】由得a=4.c=,从而b=8,为所求。

广东深圳外国语学校2019高三考前重点试题-数学(文)

广东深圳外国语学校2019高三考前重点试题-数学（文）数学试卷〔注意：请将答案填在答题卡上〕【一】选择题〔本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、在复平面内，复数ii21+对应的点位于〔〕 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、设全集==A R U ,(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，那么右图中阴影部分表示的集合为 ( )A 、{|1}x x ≥B 、{|12}x x ≤<C 、{|01}x x <≤D 、{|1}x x ≤3、平面向量(3,1),(,3)x ==-a b ，假设a ∥b ，那么实数x 等于〔〕 A 、 1- B 、 1 C 、 9- D 、94. 某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人. 现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会, 那么选出的高、中、初级教师的人数分别为〔〕A 、5,10,15B 、5,9,16C 、3,10,17D 、3,9,185、阅读右面的程序框图，那么输出的S 等于A 、40B 、20C 、32D 、386. ()f x 是定义在R 上的函数，并满足()(2)2,f x f x +=- 当12x <<时，()f x x =，那么(5.5)f =〔〕 A 、1.5 B 、 1.5- C 、5.5 D 、 5.5- 7、函数),52sin(2)(ππ+=xx f 对任意的,R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，那么21x x -的最小值为〔〕A 、4B 、4πC 、2πD 、 28、设[][]0,3,0,4∈∈x y ，那么点M 落在不等式组：23000+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y 所表示的平面区域内的概率等于( ) A 、112 B. 316 C. 516 D. 13(第5题)9、函数在定义域内可导，假设(1)y f x =+是偶函数，且当时，'()1f x x <-，设a=， b =,)3(f c =，那么()A 、.c b a <<B 、 a b c <<C 、b a c <<D 、a c b <<10、椭圆221169x y +=的左、右焦点分别1F ，2F ，点A 在椭圆上，且A ，1F ，2F 是一个直角三角形的三个顶点，那么点A 到x 轴的距离为〔〕 A 、95 B 、 94 C、7 D 、 3【二】填空题〔本大题共5小题、考生作答4小题、每题5分，总分值20分，请把正确答案填在题中横线上〕〔一〕必做题〔11～13题〕①假设γββα⊥⊥,，那么γα⊥； ②假设l 上两点到α的距离相等，那么α//l ； ③假设βαβα⊥⊥则,//,l l ④假设.//,//,,//βαββαl l l 则且⊄其中所有正确命题的编号是.12、,322322=+,833833=+,15441544=+, ,66ta t a =+ t a ,均为正实数，类比以上等式，可推测t a ,的值，那么=+t a 、13、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.假设3173=S S ，那么=76S S .〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕 14.〔坐标系与参数方程选做题〕直线112,:2x t l y t=+⎧⎨=+⎩()t 为参数与直线22cos ,:sin x s l y s αα=+⎧⎨=⎩()s 为参数平行，那么直线2l 的斜率为. 15、〔几何证明选讲选做题〕如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E 、那么AECE=_______________、【三】解答题〔本大题共6小题，共80分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤〕 16.〔本小题总分值12分〕()2sin(2)16f x x π=++〔x R ∈〕O〔Ⅰ〕将函数()f x 的图象按向量(16π=-，）a 平移后，得到()g x 的图象，写出函数()g x 的表达式；〔Ⅱ〕ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设()32A f =，且2a =，求ABC ∆的面积的最大值、 17、〔本小题总分值13分〕对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.依照此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：〔Ⅰ〕求出表中,M p 及图中a 的值；〔Ⅱ〕假设该校高一学生有360人，试可能该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；〔Ⅲ〕在所取样本中，从参加社区服务的次数许多于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.18、〔本小题总分值13分〕如图1，三棱柱是111C B A ABC -直三棱柱，它的三视图如图2所示〔N 为11C B 中点〕.〔Ⅰ〕求证：MN//平面11A ACC ；〔Ⅱ〕求证：MN ⊥平面BC A 1；〔Ⅲ〕求三棱锥1B A NC -的体积。

广东深圳2019高三2月第一次调研考试-数学文(扫描版)

广东深圳2019高三2月第一次调研考试-数学文（扫描版）说明：【一】本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么、【二】对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视妨碍的程度决定给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分、【三】解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、【四】只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数、【一】选择题：本大题每题5分，总分值50分、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D A B B C C A D【二】填空题：本大题每题5分；第14、15两小题中选做一题，假如两题都做，以第14题的得分为最后得分)，总分值20分、 11、63.12、[26]，.13、53、1415、【三】解答题：本大题6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、16、〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，2 sin ,1M θ（），2 1,2cos N θ-（）〔θ∈R 〕，且32OM ON ⋅=-.〔1〕求点,M N 的坐标；〔2〕假设角,αβ的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别通过点,M N ，求tan αβ+()的值.解：(1)3,2OM ON ⋅=-223sin 2cos ,2θθ∴-=-………………….2分223sin 2(1sin ),2θθ∴--=-解得21sin 6θ=，25cos 6θ=因此1(,1)6M ，5(1,)3N -………………….6分〔2〕由〔1〕可知1(,1)6M ，5(1,)3N - tan 6α∴=，5tan 3β=-……………………………….10分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅563516()3-=-⨯-1333=……………………………….12分【说明】本小题要紧考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力、 17、〔本小题总分值12分〕一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：〔1〕要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；〔2〕请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy bx a =+、解：〔1〕从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=.…………………………………………5分〔2〕散点图如右所示.……………………………………………6分可求得：x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90，……………………………………………8分51()()30iii x x y y =--=∑∑=-51i 2i)x x (=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75，a y bx =-=20.25，……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+.……………………………………………12分【说明】此题要紧考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识、 18、〔本小题总分值14分〕如图甲，O ⊙的直径2AB =，圆上两点C D 、在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=、沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直〔如图乙〕，F 为BC 的中点，E 为AO 的中点、依照图乙解答以下各题：〔1〕求三棱锥C BOD -的体积；〔2〕求证：CB DE ⊥；〔3〕在BD 上是否存在一点G ，使得//FG 平面ACD ？假设存在，试确定点G 的位置；假设不存在，请说明理由、解:〔1〕C 为圆周上一点，且AB 为直径，90C ∴∠=︒ AB C OD· (第18题图甲),4CAB π∠=,AC BC ∴=∵O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，2,1AB CO =∴=.∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，CO ∴⊥平面BOD . ∴CO 确实是点C 到平面BOD 的距离，在Rt ABD ∆中，1111222BODABD S S ∆∆==⨯⨯=，11133C BODBOD V S CO -∆∴=⋅==.………………………………………4分〔2〕在AOD ∆中，60,,OAD OA OD ∠=︒=AOD ∴∆为正三角形，又E 为OA 的中点，DE AO ∴⊥，∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ，DE ∴⊥平面ABC .∴CB DE ⊥.………………………………………9分〔3〕存在，G 为BD 的中点.证明如下：连接,,OG OF FG ， ∴OG BD ⊥， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD BD ⊥ ∴//OG AD ，OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴OG //平面ACD .在ABC ∆中，,O F 分别为,AB BC 的中点，//OF AC ∴，OF ⊄平面ACD ，//OF ∴平面ACD ，,OG OF O =∴平面//OFG 平面ACD ，又FG ⊂平面OFG ，//FG ∴平面ACD .………………………………………14分【说明】此题要紧考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力、 19、〔此题总分值14分〕设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和、37S =，且23a 是13a +和34a +的等差中项、〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设111n n n n a b a a +=++()()，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <、解：〔1〕由，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………………………………3分解得22a =、设数列{}na 的公比为q ，那么12a q =，∴213122a a a q qq===，、由37S =，可知2227q q++=，∴22520q q -+=，解得12122q q ==，、由题意，得12q q >∴=，、…………………………………………………5分 ∴11a =、故数列{}n a 的通项为12n n a -=、…………………………………………………7分 (2)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n--=++1112121n n -=-++，…………11分 ∴nS112231111111111121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111121n =-++11221n =-+12<.……………………………………………14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力、 20、〔此题总分值14分〕椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x ，且点1,（在该椭圆上、〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，点Q 满足PQ HP =，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN =、求证：OQN ∠为锐角、20、解：〔1〕设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b +=>>，由题意可得c e a ==又222c b a +=，∴224b a = (2)分 ∵椭圆C 通过，代入椭圆方程有2231414b b+=，解得21b =.…………………………………………5分 ∴24a =，（第20题图）故椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………………………………6分〔2〕设()00,P x y 0(22)x -<<，…………………………………………7分∵()2,0A -， ∵PQ HP =， ∴()00,2Q x y ， ∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++、…………………………………………9分令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、∵()2,0B ，4BM BN =，∴002,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、∴()00,2QO x y =--，00002(1)2,2y x QN x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭、∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++∵22014x y +=，∴220044y x =-∴2QO QN x ⋅=-…………………………………………12分∵022x -<<，∴020QO QN x ⋅=->、又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角.…………………………………………………14分【说明】此题要紧考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力、 21、〔本小题总分值14分〕函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），是自然对数的底数、〔1〕试判断函数f x （）在区间0, +∞（）上的单调性；〔2〕当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）在区间, 1k k +（）上存在零点；〔3〕假设存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（）（），试求a 的取值范围、解：〔1〕()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-…………………………1分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，因此()0f x '>，…………2分故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.…………………………………………3分〔2〕2()4x f x e x x =+--，'()21x f x e x ∴=+-，(0)0f '∴=，……………………………………4分当0x >时，1x e >，()0f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数；同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数.…………………………………5分2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >，故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件；211(0)30,(1)20,(2)20f f f e e =-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >，故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件. 综上所述1k =或2-.………………………………………7分〔3〕2()ln x f x a x x a b =+--，因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，因此当[1,1]x ∈-时，max min max min |()()|()()1f x f x f x f x e -=-≥-…………………………8分 ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10x a ->，ln 0a >，∴()0f x '>；②当0x <时，由1a >，可知10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=.∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分 ∴当[1,1]x ∈-时，{}min max ()(0)1,()max (1),(1)f x f b f x f f ==-=-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a aa a--=+---++-=--，设1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥〔当1t =时取等号〕， ∴1()2ln g t t tt=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >， ∴当1a >时，12ln 0a a a-->， ∴(1)(1)f f >-， ∴(1)(0)1f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，设()ln (1)h a a a a =->，那么 11()10a h a a a-'=-=>.∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数， ∴a e ≥.即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分【说明】本小题要紧考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

2019年2月广东省深圳市高2019届高三年级第一次调研考试文科数学及参考答案

深圳市2019届高三第一次调研考试数学文试题2019.02.21一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{1, 2, 3}，则A∩B＝(A) {1} (B) {2} (C) {1,2} (D) {1,2,3}2.设z＝221ii-+，则｜z｜＝（A）2(B) 2(C) 5(D) 33.在平面直角坐标系xoy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，－1)，则sin(π－2α）的值为（A）一45(B)一35（C）35(D)454.设x，y满足约束条件030426xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则z＝3x＋y的最大值为(A) 7 (B）9 (C) 13(D) 155.己知()f x是定义在R上的偶函数，在区间（一∞，0］为增函数，且f（3）＝0，则不等式f (1一2x)＞0的解集为（A）（－l，0）(B) (－1，2)(C) (0，2) (D) (2，+∞)6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 64(B) 68(C) 80 (D) 1097.52，则该圆锥的外接球表面积为（A）254π（B) 16π(C) 25π(D) 32π8. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ＝1，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为（参考数据：5≈2.236）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189. 己知直线6x π=是函数f （x ）=sin(2)(||)2x πϕϕ+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数 y ＝f （x ）的图象，可把函数y ＝sin2x 的图象（A ）向左平行移动6π个单位长度（B ）向右平行移动6π个单位长度（C ）向左平行移动12π个单位长度（D ）向右平行移动12π个单位长度 10．在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC 2，CC 1＝2，M 为AA 1的中点，则异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值为(A)66（B ）23 （C ）34（D ）23 11．己知F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且｜QF 1｜＝2｜PF 1｜，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为（A ）23 （B 2－1 （C 2+l （D ）312.己知函数ln ,0()1,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则｜12x x -｜的最大值为 (A) 1 (B)2 (C) 2 2 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、曲线1x y e x =-在点（1, f(1)）处的切线的斜率为 14.已知平面向量a ，b 满足｜a ｜＝2，｜b ｜＝4，｜2a +b ｜＝43，则a 与b 的夹角为．15.己知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ，B ，C ，D 四个点，若这四个点与F 1，F 2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为．16.在△ABC 中，∠ABC ＝150°，D 是线段AC 上的点，∠DBC ＝30°，若△ABC 的面积为3，当BD 取到最大值时，AC ＝三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）记S n 为等差数列{a n }的前 n 项和．已知a 1 = 4，公差 d > 0 ， a 4 是 a 2 与 a 8 的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列｛1nS ｝前 n 项和为Tn ．18．（本小题满分 12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 Y 有关，具体见下表．（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标 Y 都在[9.8, 10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分 12 分）已知四棱锥 P －ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， PD =DC ， AD ⊥PC ．（1）求证： AC =AP ；（2）若平面 APD ⊥ 平面 ABCD ， ∠ ADC = 120︒ ， AD = DC = 4 ，求点 B 到平面 PAC 的距离．20．（本小题满分 12 分）设抛物线C ：y 2 = 4x ，直线l : x －my －2= 0与C 交于 A ， B 两点．（1）若|AB ｜ 6 ，求直线l 的方程；（2）点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直，垂足为 N 。

深圳市2019届高三第一次调研考试数学(文)试题-含答案

深圳市2019届高三第一次调研考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{1, 2, 3}，则A∩B＝(A) {1} (B) {2} (C) {1,2} (D) {1,2,3}2.设z＝221ii-+，则｜z｜＝（A(B) 2(C) (D) 33.在平面直角坐标系xoy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，－1)，则sin(π－2α）的值为（A）一45(B)一35（C）35(D)454.设x，y满足约束条件030426xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则z＝3x＋y的最大值为(A) 7 (B）9 (C) 13(D) 155.己知()f x是定义在R上的偶函数，在区间（一∞，0］为增函数，且f（3）＝0，则不等式f (1一2x)＞0的解集为（A）（－l，0）(B) (－1，2)(C) (0，2) (D) (2，+∞)6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 64(B) 68(C) 80 (D) 1097.2，则该圆锥的外接球表面积为（A）254π（B) 16π(C) 25π(D) 32π8. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ＝1，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为≈2.236）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189. 己知直线6x π=是函数f （x ）=sin(2)(||)2x πϕϕ+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数 y ＝f （x ）的图象，可把函数y ＝sin2x 的图象（A ）向左平行移动6π个单位长度（B ）向右平行移动6π个单位长度（C ）向左平行移动12π个单位长度（D ）向右平行移动12π个单位长度10．在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC＝CC 1＝M 为AA 1的中点，则异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值为(A) （B ）23 （C ）34 （D）11．己知F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点，过F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且｜QF 1｜＝2｜PF 1｜，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为（A ）2（B1 （C（D ）12.己知函数ln ,0()1,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则｜12x x -｜的最大值为 (A) 1(B) (C) 2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、曲线1xy ex=-在点（1, f(1)）处的切线的斜率为14.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，｜2a+b｜＝a与b的夹角为．15.己知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A，B，C，D四个点，若这四个点与F1，F2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为．16.在△ABC中，∠ABC＝150°，D是线段AC上的点，∠DBC＝30°，若△ABC的BD取到最大值时，AC＝三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）记S n为等差数列{a n}的前n 项和．已知a1 = 4，公差d > 0 ，a4是a2与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列｛1nS｝前n 项和为Tn ．18．（本小题满分12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表．（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6 件产品，再从6 件产品中随机抽取2 件产品，求这2 件产品的指标Y 都在[9.8, 10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300 元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100 元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分12 分）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，PD=DC，AD⊥PC．（1）求证：AC=AP；（2）若平面APD ⊥平面ABCD，∠ADC = 120︒，AD= DC = 4 ，求点B 到平面PAC 的距离．20．（本小题满分12 分）设抛物线C：y 2 = 4x ，直线l : x－my－2= 0与C 交于A，B 两点．（1）若|AB｜，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N 。

2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题(文科)(20190117)

绝密★启用前试卷类型：（A ）深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科） 2019．2第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|12}A x x =-≤≤，{1,2,3}B =，则A B =2．设22i1iz -=+，则||z = 3．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边过点(2,1)P -，则sin(π2)α-的值为 4．设x ，y 满足约束条件030426x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为5．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间(,0]-∞为增函数，且(3)0f =，则不等式(12)0f x ->的解集为6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）{1} （B ）{2}（C ）{1,2}（D ）{1,2,3}（A（B ）2（C（D ）3（A ） 45-（B ）35-（C ）35（D ）45（A ）7（B ）9（C ）13（D ）15（A ）(1,0)-（B ）(1,2)-（C ）(0,2)（D ）(2,)+∞（A ）64（B ）6872，则该圆锥的外接球表面积为（A ）25π4（B ）16π （C ）25π （D ）32π8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD为半径画弧，交AB 于点E ．点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为2.236≈）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189．已知直线π6x =是函数()sin(2)f x x ϕ=+π(||)2ϕ<图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，BC =，1CC =M 为1AA 的中点，则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为 11．已知1F ，2F 是椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于（C ）80 （D ）109（A ）向左平行移动π6个单位长度（B ）向右平行移动π6个单位长度（C ）向左平行移动π12个单位长度（D ）向右平行移动π12个单位长度（A ）6（B ）23（C ）34（D ）3第（8）题图EDCP ，Q 两点，若1PF PQ ⊥且112QF PF =，则21F PF ∆与21F QF ∆的面积之比为12．已知函数ln ,0,()1,0,x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩ 若12x x ≠且12()()f x f x =，则12||x x -的最大值为（A ）1（B（C ）2（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线1e xy x=-在点()1(1)f ，处的切线的斜率为． 14．已知平面向量a ,b 满足||2=a ，||4=b，|2|+=a b 则a 与b 的夹角为． 15．已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于,,,A B C D 四个点，若这四个点与1F ，2F 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为．16．在ABC ∆中，︒=∠150ABC ，D 是线段AC 上的点，︒=∠30DBC ，若ABC ∆的面BD 取到最大值时，=AC ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ．（A ）2- （B1（C ）（D）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--，其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在12,2--［］上恒成立，求m 的取值范围．深圳市2019年高三年级第一次调研考试文科数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） B （3） A （4） C （5） B （6） A （7） C （8） A （9） C（10）B （11）D （12）C12【解析】不妨设21x x <，由12()()f x f x =，要使12||x x -最大，即转化为求()12max x x -，问题可转化为（如图所示）11(,)A x y 到1(0)y x x =+<距离的最大值问题．此时需过A 点的切线与1y x =+平行．当0x >时，()ln 1f x x '=+，令()1f x '=，则11x =，(1,0)A ，21x =- 所以12||x x -的最大值为2．二．填空题：13．e 1+14．60︒ 15．2 16．16【解析】由题意可知 11sin15024ABC S ac ac ∆=︒==ac =．设BD x =，则14BCD ABD S S ax ∆∆+==可得x =，当且仅当a =时x 取到最大值，所以a =2c =，由余弦定理可得b = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ．【解析】（1）∵2a ，4a ，8a 成等比数列， ∴2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++， ……………………………………2分 ∴2(43)(4)(47)d d d +=++，解得4d =或0d =， ∵0d >，∴4d =． ………………………………………………………4分 ∴数列{}n a 的通项公式1(1)4()n a a n d n n *=+-=∈N ． …………………6分（2）∵21()222n n n a a S n n +==+， …………………………………………8分 ∴211111()2221n S n n n n ==-++， ………………………………………10分 ∴12111......nn T S S S =+++ 111111111()()()(1)21223121n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥++⎣⎦． ……………12分【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【解析】（1）指标Y 的平均值132=9.6+10+10.410.07666⨯⨯⨯≈．……………2分（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[]9.8,10.2内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在(]10.2,10.6内的有2件，记为12B B 、；指标Y 在[)9.4,9.8内的有1件，记为C ． …………………3分从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：()()()121311A A A A A B ,、,、,、()()121A B A C ,、,、()()()()2321222,,,,A A A B A B A C 、、、、()()()31323,,,A B A B A C 、、、 ()()()1212,,,B B B C B C 、、． …………………5分其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()()()121323,A A A A A A ,、,、． …………………6分所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==． …………………7分（3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为()1=4816300+8600=20048x x η⨯+⨯⨯+元； …………………9分假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400⨯元，平均每件产品的消费费用()1=48100+830015048x x ξ⨯+⨯=+⎡⎤⎣⎦元．…………………11分所以该服务值得消费者购买． …………………12分【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养．19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．【解析】（1）证明：取PC 中点M ，连接AM ，DM ，……1分PD DC =，且M 为PC 中点，∴DM PC ⊥， ………………………………2分AD PC ⊥，ADDM D =， …………………3分∴PC⊥平面ADM ， ………………………………4分AM ⊂平面ADM ，∴PC AM ⊥， ……………………………………5分M 为PC 中点，∴AC PA =． ……………………………………6分（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ， ……………………7分平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH ⊥AD ，∴PH ⊥平面ABCD ，……………………………8分CH ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥CH ， ………………………………9分PD DC =，AD AD =，AC AP =，∴ADP ADC ∆≅∆， ∴120ADC ADP ∠=∠=︒，∴4PD CD AD ===，AC AP ==PH CH ==PC =…………………10分设B h 为点B 到平面PAC 的距离，由于P ABC B ACP V V --=，可得1133ABC ACP B S PH S h ∆∆⋅=⋅，14422ABC S ∆=⨯⨯⨯=12ACP S ∆=⨯= …………………………………………11分所以B h =．即点B 到平面PAC ．…………………………………………12分【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【解析】（1）由22,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理，得2480y my --=，……………1分显然216320m ∆=+>，设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理可得，124y y m +=，821-=⋅y y ，…………………………………3分12AB y y =-=AB ∴== ………………………………………4分 24m ∴=-（舍去）或21m =，1m ∴=±，∴直线方程为02=--y x 或02=-+y x ． ………………………………5分（2）设AB 的中点M 的坐标为),(M M y x ，则1222M y y y m +==，又21212()444x x m y y m +=++=+，212222M x x x m +∴==+， ……………………………………………………6分 2(22,2)M m m ∴+，由题意可得(0,2)N m ， …………………………………7分设以MN 为直径的圆经过点),(00y x P则200(22,2)PM m x m y =+--，00(,2)PN x m y =--，…………………8分由题意可得，0=⋅，即22200000(42)420x m y m x y x --++-=， ………………………………9分由题意可知00220004204020x y x y x ⎧-=⎪=⎨⎪+-=⎩，，， ……………………………………………10分 20=∴x ，00=y ， …………………………………………………11分∴定点)0,2(即为所求． ………………………………………………………12分【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--，其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()=2e 2x f x x --，()=2e 1x f x '-．………………1分由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-．故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln2,0-上单增． …………2分 ∴ ()min ()ln 2ln 21f x f =-=-． ……………………3分 ∵2(1)=10ef --<，(0)=0f ， ∴ max ()(0)0f x f ==． ……………………………………4分（2）法一：令()()()2e 1xg x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．（i ）当=0a 时，由（1）知，与题意不符； …………………5分（ii ）当0a >时，由2()0 2g x x a ⎛⎫'>⇒>-+⎪⎝⎭，2()0 2g x x a ⎛⎫'<⇒<-+ ⎪⎝⎭． ∴ 22min 2()=g 2=e 10ag x a a --⎛⎫----< ⎪⎝⎭，∵ (0)=+10g a >，∴ 此时函数()f x '存在异号零点，与题意不符． ……………………6分（iii ）当20a -<<时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭． ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．故22max 2()=g 2=e 1a g x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ……………………7分由题意知，22e 10aa ----≤恒成立． ……………………8分令22t a --=，则上述不等式等价于e 12t t≤+，其中1t >-．……………9分易证，当0t >时，e 112ttt >+>+，又由（1）的结论知，当(]10t ∈-，时，e 12tt≤+成立． …………………11分由2120a-<--≤，解得21a -<≤-．综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． …12分（2）法二：因为2(1)10ef '-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增．…6分所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立．由(0)10f a '=+≤可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-． ……………………………7分令()()()2e 1x g x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．当21a -<≤-时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭， ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．故22max 2()=g 2=e 1a g x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ………………………………………9分22()=e1ah a a ----令，下证：当21a -<≤-时，22()=e10ah a a ----≤．即证221eaa--≤-．令22t a --=，其中(]1,0t ∈-，则112t a -=+．则原式等价于证明：当(]1,0t ∈-时，e 12tt≤+． ……………………11分由（1）的结论知，显然成立．综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． ………12分【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．【解析】（1）∵ θρcos 2= ∴ θρρcos 22=， …………………………………1分 ∵222y x +=ρ，x =θρcos ， …………………………………3分∴ 曲线C 的直角坐标方程为0222=-+x y x ． …………………………………5分（2）将⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x 代入曲线C 的直角坐标方程，可得08cos 62=+-t t α， …………………………………6分由题意知236cos 320α∆->=，故98cos 2>α，又1cos 2≤α， ⎥⎦⎤⎝⎛∈∴1,98cos 2α， …………………………………7分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则αcos 621=+t t ，821=⋅t t ， …………………………………8分 1t ∴与2t 同号，由参数t 的几何意义可得：αcos 62121=+=+=+t t t t PB PA ，821=⋅=⋅t t PB PA ，22222()211PA PB PA PBPAPBPA PB+-⋅∴+=⋅221212212()29cos 4()16t t t t t t α+-⋅-==⋅， ……………………………………9分⎥⎦⎤⎝⎛∈1,98cos 2α ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-∴165,41164cos 92α，2211PBPA+∴的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛165,41． ………………………………10分【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2上恒成立，求m 的取值范围．【解析】（1）21)(-++=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=∴,2,12,21,3,1,12)(x x x x x x f ……………………………………………………1分当4-=m 时，14)(2+--=x x x g ，① 当1-≤x 时，原不等式等价于022<+x x ，解得，02<<-x ，12-≤<-∴x ． ………………………………………………2分② 当21<<-x 时，原不等式等价于0242<++x x ，解得，2222+-<<--x ，221+-<<-∴x ． ……………………………………………………3分③ 当2≥x 时，11)2()(-=≤g x g ，而3)2()(=≥f x f ，∴不等式)()(x g x f <解集为空集． ………………………………………………4分综上所述，不等式)()(x g x f <的解集为),(222+--． ……………………5分（2）① 当12-≤≤-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于x x mx 22->，又0<x ， 2-<∴x m ，故4-<m ； …………………………………………………7分② 当211-≤<-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于3)(>x g 恒成立，即3)(min >x g ，只需⎪⎩⎪⎨⎧>->-3)21(3)1(g g 即可，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧-<-<,29,3m m29-<∴m ， …………………………………………9分综上所述，9,2m ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭． ……………………………………………………10分【命题意图】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．命题组长：李志敏（深圳市教科院）副组长：董正林（深圳中学），命题组成员：金宁（深圳市第三高级中学中学），吴振文（深圳市翠园中学），陈林（深圳大学附中）。

2019年广东省深圳市第二外国语学校高三数学文月考试卷含解析

2019年广东省深圳市第二外国语学校高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若关于的方程只有一个实数根，则的取值范围为（）A．=0 B．=0或>1C．>1或<-1 D．=0或>1或<-1参考答案：D2. 设是集合A到集合B的映射，若A={l，2，4}，则对应的集合B等于A．{0，1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．{1，2}参考答案：C略3. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：C依题意，，，故，故选C.4. 在圆内，过点（，）有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差为d∈[，]，那么n的取值集合为A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. { 3.4.5,6,7}参考答案：A圆的标准方程为，所以圆心为，半径，则最大的弦为直径，即，当圆心到弦的距离为时，即点（，）为垂足时，弦长最小为4，即，所以由得，，因为，所以，即，所以，即，选A.5. 在等差数列{a n}中，已知a3=2，a6+a10=20，则数列{a n}的前10项和S10的值为（）A．120 B．100 C．66 D．60参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】依题意，求出a8=10，再利用等差数列前n项和公式能求出数列{a n}的前10项和S10的值．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a3=2，a6+a10=20，∴依题意，有a6+a10=2a8，∴a8=10，∴．故选：D．6. 为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin2x图象上所有的点( )A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故只需故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位得到．解答：解：函数y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位，即可得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+?）图象的平移变换规律，把已知函数的解析式化为y=sin[2（x+）]是解题的关键．7. 等腰三角形中，边中线上任意一点，则的值为A. B. C.5 D.参考答案：A略8. 已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1C．φ=D．B=4参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．32+8πB．32+C．16+D．16+8π参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该几何体正四棱柱上叠一个圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，正四棱柱的底面边长为2，高为4，利用体积公式计算即可．【解答】解：该几何体正四棱柱上叠一个圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，故其体积为正四棱柱的底面边长为2，高为4，其体积为2××4=32；∴该几何体的体积为32+，故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图，属于中档题．10. 若函数f(x)=ka x-a-x(a＞0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)=log a(x+k)的图象是( )参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z= ．参考答案：﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据复数z满足z+i=1﹣iz，移项得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．解答：解：复数z满足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案为：﹣i点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题解题的关键是整理出复数的表示式，再进行复数的除法运算，或者设出复数的代数形式，根据复数相等的充要条件来解题．12. 方程在区间上所有根之和等于（）。

2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题(文科)(20190117)(含答案)

绝密★启用前试卷类型：（A ）深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科） 2019．2第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|12}A x x =-≤≤，{1,2,3}B =，则A B =I 2．设22i1iz -=+，则||z = 3．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边过点(2,1)P -，则sin(π2)α-的值为 4．设x ，y 满足约束条件030426x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 5．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间(,0]-∞为增函数，且(3)0f =，则不等式(12)0f x ->的解集为6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）{1}（B ）{2}（C ）{1,2}（D ）{1,2,3}（A ）2（B ）2（C ）5（D ）3（A ） 45-（B ）35-（C ）35（D ）45（A ）7（B ）9（C ）13（D ）15（A ）(1,0)-（B ）(1,2)-（C ）(0,2)（D ）(2,)+∞7，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（A ）25π4（B ）16π （C ）25π （D ）32π8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为2.236≈）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189．已知直线π6x =是函数()sin(2)f x x ϕ=+π (||)2ϕ<图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，BC =1CC =M 为1AA 的中点，则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为11．已知1F ，2F 是椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，若1PF PQ ⊥且112QF PF =，则21F PF ∆与21F QF ∆的面积之比为 12．已知函数（A ）64 （B ）68 （C ）80（D ）109（A ）向左平行移动π6个单位长度（B ）向右平行移动π6个单位长度（C ）向左平行移动π12个单位长度（D ）向右平行移动π12个单位长度（A ）6（B ）23（C ）34（D ）3（A ） 2 （B 1（C ）（D ）第（8）题图EDCBAln ,0,()1,0,x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若12x x ≠且12()()f x f x =，则12||x x -的最大值为（A ）1（B（C ）2（D ）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线1e xy x=-在点()1(1)f ，处的切线的斜率为．14．已知平面向量a ,b 满足||2=a ，||4=b ，|2|+=a b ，则a 与b 的夹角为．15．已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于,,,A B C D 四个点，若这四个点与1F ，2F 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为．16．在ABC ∆中，︒=∠150ABC ，D 是线段AC 上的点，︒=∠30DBC ，若ABC ∆BD取到最大值时，=AC ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若46AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--，其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在12,2--［］上恒成立，求m 的取值范围．深圳市2019年高三年级第一次调研考试文科数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） B （3） A （4） C （5） B （6） A （7） C （8） A （9） C（10）B （11）D （12）C12【解析】不妨设21x x <，由12()()f x f x =，要使12||x x -最大，即转化为求()12max x x -，问题可转化为（如图所示）11(,)A x y 到1(0)y x x =+< 距离的最大值问题．此时需过A 点的切线与1y x =+平行．当0x >时，()ln 1f x x '=+，令()1f x '=，则11x =，(1,0)A ，21x =- 所以12||x x -的最大值为2．二．填空题： 13．e 1+14．60︒ 15．2 16．2716【解析】由题意可知 11sin150324ABC S ac ac ∆=︒==，得43ac =．设BD x =，则13434BCD ABD S S ax cx ∆∆+=+=，可得433x a c=+，当且仅当3a c =时x 取到最大值，所以23a =，2c =，由余弦定理可得27b =．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ．【解析】（1）∵2a ，4a ，8a 成等比数列， ∴2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++， ……………………………………2分 ∴2(43)(4)(47)d d d +=++，解得4d =或0d =， ∵0d >，∴4d =． ………………………………………………………4分∴数列{}n a 的通项公式1(1)4()n a a n d n n *=+-=∈N ． …………………6分（2）∵21()222n n n a a S n n +==+， …………………………………………8分 ∴211111()2221n S n n n n ==-++， ………………………………………10分 ∴12111......nn T S S S =+++ 111111111()()()(1)21223121n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥++⎣⎦L ． ……………12分【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【解析】（1）指标Y 的平均值132=9.6+10+10.410.07666⨯⨯⨯≈．……………2分（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[]9.8,10.2内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在(]10.2,10.6内的有2件，记为12B B 、；指标Y 在[)9.4,9.8内的有1件，记为C ． …………………3分从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：()()()121311A A A A A B ,、,、,、 ()()121A B A C ,、,、()()()()2321222,,,,A A A B A B A C 、、、、()()()31323,,,A B A B A C 、、、()()()1212,,,B B B C B C 、、． …………………5分其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()()()121323,A A A A A A ,、,、． …………………6分所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==． …………………7分（3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为()1=4816300+8600=20048x x η⨯+⨯⨯+元； …………………9分假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400⨯元，平均每件产品的消费费用()1=48100+830015048x x ξ⨯+⨯=+⎡⎤⎣⎦元． …………………11分所以该服务值得消费者购买． …………………12分【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养．19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．【解析】（1）证明：取PC 中点M ，连接AM ，DM ，……1分Q PD DC =，且M 为PC 中点，∴DM PC ⊥， ………………………………2分Q AD PC ⊥，AD DM D =I ， …………………3分∴PC ⊥平面ADM ， ………………………………4分Q AM ⊂平面ADM ，∴PC AM ⊥， ……………………………………5分Q M 为PC 中点，∴AC PA =． ……………………………………6分（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ， ……………………7分Q 平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD I 平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH ⊥AD ，∴PH ⊥平面ABCD ，……………………………8分Q CH ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥CH ， ………………………………9分 Q PD DC =，AD AD =，AC AP =， ∴ADP ADC ∆≅∆， ∴120ADC ADP ∠=∠=︒，∴4PD CD AD ===，43AC AP ==，23PH CH ==，26PC =．…………………10分设B h 为点B 到平面PAC 的距离，由于P ABC B ACP V V --=，可得1133ABC ACP B S PH S h ∆∆⋅=⋅， 1344432ABC S ∆=⨯⨯⨯=， 12642672ACP S ∆=⨯⨯=， …………………………………………11分所以477B h =．即点B 到平面PAC 的距离为47．…………………………………………12分【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若46AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【解析】（1）由22,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理，得2480y my --=，……………1分显然216320m ∆=+>，设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理可得，124y y m +=，821-=⋅y y ，…………………………………3分12AB y y=-=QAB ∴== ………………………………………4分24m ∴=-（舍去）或21m =，1m ∴=±，∴直线方程为02=--y x 或02=-+y x ． ………………………………5分（2）设AB 的中点M 的坐标为),(M M y x ，则1222M y y y m +==，又21212()444x x m y y m +=++=+Q ，212222M x x x m +∴==+， ……………………………………………………6分 2(22,2)M m m ∴+，由题意可得(0,2)N m ， …………………………………7分设以MN 为直径的圆经过点),(00y x P则200(22,2)PM m x m y =+--u u u u r ，00(,2)PN x m y =--u u u r ，…………………8分由题意可得，0=⋅，即22200000(42)420x m y m x y x --++-=， ………………………………9分由题意可知00220004204020x y x y x ⎧-=⎪=⎨⎪+-=⎩，，， ……………………………………………10分 20=∴x ，00=y ， …………………………………………………11分∴定点)0,2(即为所求． ………………………………………………………12分【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--，其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()=2e 2x f x x --，()=2e 1xf x '-．………………1分由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-．故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln 2,0-上单增． …………2分 ∴ ()min ()ln 2ln 21f x f =-=-． ……………………3分∵2(1)=10ef --<，(0)=0f ， ∴ max ()(0)0f x f ==． ……………………………………4分（2）法一：令()()()2e 1xg x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．（i ）当=0a 时，由（1）知，与题意不符； …………………5分（ii ）当0a >时，由2()0 2g x x a ⎛⎫'>⇒>-+⎪⎝⎭，2()0 2g x x a ⎛⎫'<⇒<-+ ⎪⎝⎭． ∴ 22min 2()=g 2=e 10a g x a a --⎛⎫----< ⎪⎝⎭，∵ (0)=+10g a >，∴ 此时函数()f x '存在异号零点，与题意不符． ……………………6分（iii ）当20a -<<时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭． ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．故22max 2()=g 2=e 1a g x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ……………………7分由题意知，22e 10aa ----≤恒成立． ……………………8分令22t a --=，则上述不等式等价于e 12t t≤+，其中1t >-．……………9分易证，当0t >时，e 112ttt >+>+，又由（1）的结论知，当(]10t ∈-，时，e 12t t≤+成立． …………………11分由2120a-<--≤，解得21a -<≤-．综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． …12分（2）法二：因为2(1)10ef '-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增．…6分所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立．由(0)10f a '=+≤可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-． ……………………………7分令()()()2e 1xg x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．当21a -<≤-时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭， ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．故22max 2()=g 2=e 1a g x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ………………………………………9分22()=e1ah a a ----令，下证：当21a -<≤-时，22()=e10ah a a ----≤．即证221eaa--≤-．令22t a --=，其中(]1,0t ∈-，则112t a -=+．则原式等价于证明：当(]1,0t ∈-时，e 12tt≤+． ……………………11分由（1）的结论知，显然成立．综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． ………12分【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．【解析】（1）∵ θρcos 2=∴ θρρcos 22=， …………………………………1分 ∵ 222y x +=ρ，x =θρcos ， …………………………………3分 ∴ 曲线C 的直角坐标方程为0222=-+x y x ． …………………………………5分（2）将⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x 代入曲线C 的直角坐标方程，可得08cos 62=+-t t α， …………………………………6分由题意知236cos 320α∆->=，故98cos2>α，又1cos 2≤α，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴1,98cos 2α， …………………………………7分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则αcos 621=+t t ，821=⋅t t ， …………………………………8分 1t ∴与2t 同号，由参数t 的几何意义可得：αcos 62121=+=+=+t t t t PB PA ，821=⋅=⋅t t PB PA ，22222()211PA PB PA PBPAPBPA PB+-⋅∴+=⋅221212212()29cos 4()16t t t t t t α+-⋅-==⋅， ……………………………………9分⎥⎦⎤⎝⎛∈1,98cos 2αΘ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-∴165,41164cos 92α，2211PBPA+∴的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛165,41． ………………………………10分【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2上恒成立，求m 的取值范围．【解析】（1）21)(-++=x x x f Θ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=∴,2,12,21,3,1,12)(x x x x x x f ……………………………………………………1分当4-=m 时，14)(2+--=x x x g ，① 当1-≤x 时，原不等式等价于022<+x x ，解得，02<<-x ，12-≤<-∴x ． ………………………………………………2分② 当21<<-x 时，原不等式等价于0242<++x x ，解得，2222+-<<--x ，221+-<<-∴x ． ……………………………………………………3分③ 当2≥x 时，11)2()(-=≤g x g ，而3)2()(=≥f x f ，∴不等式)()(x g x f <解集为空集． ………………………………………………4分综上所述，不等式)()(x g x f <的解集为),(222+--． ……………………5分（2）① 当12-≤≤-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于x x mx 22->，又0<x ， 2-<∴x m ，故4-<m ； …………………………………………………7分② 当211-≤<-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于3)(>x g 恒成立，即3)(min >x g ，只需⎪⎩⎪⎨⎧>->-3)21(3)1(g g 即可，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧-<-<,29,3m m29-<∴m ， …………………………………………9分综上所述，9,2m ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭． ……………………………………………………10分【命题意图】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．命题组长：李志敏（深圳市教科院）副组长：董正林（深圳中学），命题组成员：金宁（深圳市第三高级中学中学），吴振文（深圳市翠园中学），陈林（深圳大学附中）。

广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三下学期第一次热身考试数学(文)试题 Word版含解析

2018-2019学年广东省深圳外国语学校高三（下）第一次热身数学试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|22B x Z x =∈-≤<，则AB =（）.A. []2,1-- B. [1,2)-C. {}2,1--D. {}1,2-【答案】C 【解析】【分析】可求出集合,A B ，然后进行交集的运算即可．【详解】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}2,1,0,1B =--{}2,1A B ∴=--本题正确选项：C【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z 是一元二次方程2220x x -+=的一个根，则z 的值为（）A. 1C. 0D. 2【答案】B 【解析】由题意可得：1z i =+或1z i =-，则：z .本题选择B 选项.3.为考察某种药物对治疗一种疾病的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的条形图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】选项D中不服药样本中患病的频率与服药样本中患病的频率差距离最大.所以选D.4.3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）.A. 14B.23C.12D.34【答案】D【解析】【分析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有328=种情况周六、周日都有同学参加公益活动，共有322826-=-=种情况∴所求概率为63 84 =本题正确选项：D【点睛】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.5.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）. A. 8 B. 6C. 5D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义以及离心率，求出,a c ，然后求解椭圆短轴长即可．【详解】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：c e a ==椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即：212a = 可得：6a =，c =4b ∴==则椭圆短轴长：28b = 本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．6.《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（）.A. 74B. 75C. 76D. 77【答案】B【解析】由题意可知，当()3100i i =⨯-时，即75i =时，结束循环，输出i ，此时75i =，故选B.7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF =，AC AK λ=（λ∈R），则λ=（） A. 2 B.52C. 3D. 5【答案】D 【解析】∵2AB AE =，3AD AF =，AC AK λ= ∴11123()(23)AK AC AB AD AE AF AE AF λλλλλ==+=+=+，由E ，F ，K 三点共线可得231λλ+=,∴λ=5.本题选择D 选项.8.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A. 72＋6πB. 72＋4πC. 48＋6πD. 48＋4π【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π. 故答案为：A.9.已知数列{}n a 的通项()23n a n n N*=+∈，数列{}nb 的前n 项和为()2372n n nS n N *+=∈，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2012m c <的m 的最大整数值为（）A. 335B. 336C. 337D. 338【答案】A 【解析】由23722n S n n =+可知数列{}n b 为等差数列，通项公式32n b n =+，又因为23n a n =+，由题意可知15c =，通项公式()56161n c n n =+-=-，所以2012m c <即612012n -<，解得2013335.56n <=，所以m 的最大整数值为335，故选择A.10.已知函数()211sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间(),2ππ内有零点，则ω的取值范围是( )A. 155,,484⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ][150,,148⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1155,,8484⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】将()f x 化简可得())4f x x πω=-，由()0f x =得4x k πωπ-=，当(,2)x ππ∈时，(,2)444x πππωωπωπ-∈--，由题意知存在k Z ∈，(,2)44k πππωπωπ∈--，即11(,2)44k ωω∈--，所以111()244k k ω+<<+，由0>ω知0k ≥，当0,1,2,k =时，1184ω<<，5584ω<<，9984ω<<，…，所以选D. 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得4x k πωπ-=，由x 的范围，可得4x πω-，即k π的取值范围，解出ω，根据k Z ∈可得结果.11.已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB BC ==3AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为4，则球O 的表面积为（）. A. 36π B. 16πC. 12πD.163π 【答案】B 【解析】试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B ．考点：球内接多面体．【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，进而求出球的半径．确定到平面的最大距离是关键．确定，，利用三棱锥的体积的最大值为，可得到平面的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球的表面积．12.已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()4f x f x +=-，且函数()2y f x =+是偶函数，当(]0,2x ∈时， ()ln f x x ax =-（12a >），当[)2,0x ∈-时， ()f x 的最小值为3，则a 的值等于（） A. 2e B. eC. 2D. 1【答案】A 【解析】∵f（x+2）是偶函数，∴f（x+2）=f （﹣x+2）， ∴f （x ）关于直线x=2对称，∴当2≤x＜4时，f （x ）=f （4﹣x ）=ln （4﹣x ）﹣a （4﹣x ）． ∵f（x+4）=﹣f （x ），∴当﹣2≤x＜0时，f （x ）=﹣f （x+4）=﹣ln[4﹣（x+4）]+a[4﹣（x+4）]=﹣ln （﹣x ）﹣ax ，∴f′（x ）=﹣1x﹣a ，令f′（x ）=0得x=﹣1a，∵a 12>，∴﹣1a∈（﹣2，0），∴当﹣2≤x＜﹣1a 时，f′（x ）＜0，当﹣1a＜x ＜0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在[﹣2，﹣1a ）上单调递减，在（﹣1a，0）上单调递增，∴当x=﹣1a 时，f （x ）取得最小值f （﹣1a ）=﹣ln 1a+1，∵f （x ）在[﹣2，0）上有最小值3， ∴﹣ln （1a）+1=3，解得a=e 2．故选A ．点睛：本题重点考查了函数的对称性及最值问题，利用对称性明确函数在[)20-，上的单调性，再研究其上的单调性，从而明确函数的最值，组建所求量的方程，解之即可．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】画出约束条件的可行域，求出三角形的顶点坐标，根据z 的几何意义，求出最值取得的点，代入目标函数求解即可．【详解】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中()2,2A --，()1,1B ，()2,2C -又z =，可知z 的几何意义为可行域中的点到直线30x y +=倍可行域中点到直线30x y +=距离最大的点为()2,2A --()max 3228z ∴=⨯--=本题正确结果：8【点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解．14.函数()211log 1ax f x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________．【答案】1 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解，再验证定义域是否关于原点对称即可．【详解】函数()211log 1axf x x x+=+-为奇函数 ()()f x f x ∴-=- 即()()0f x f x -+=则221111log log 011ax ax x x x x -+-+++=+-，即211log 011ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪-+⎝⎭2221111111ax ax a x x x x+--∴⋅==-+-，则：22211a x x -=- 21a ∴= 则：1a =± 当1a =-时，()211log 1xf x x x-=+-，则()f x 定义域为：{0x x ≠且}1x ≠ 此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意当1a =时，()211log 1x f x x x+=+-，满足题意 1a \=本题正确结果：1【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误．15.已知双曲线22214x y b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，AB =，1(4)M ，，动点()P x y ，在双曲线上，则2PM PF +的最小值为__________．【答案】4 【解析】【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x c =，解得y ，可得AB ，由双曲线的基本量的关系，解得,,a b c ，可得双曲线的方程，讨论P 在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，渐近线方程为：by x a=±令x c =，解得：bcy a=±，可得：2bc AB a ==由2a =，222c a b =+，解得：b =3c =则双曲线的方程为：22145x y -=，则()13,0F -，()23,0F若P 在左支上，由双曲线的定义可得：212PF a PF =+2112444PM PF PM PF a MF +=++≥+==当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值4+若P 在右支上，由双曲线的定义可得：212PF PF a =-211244PM PF PM PF a MF +=+-≥-=当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值4 综上可得，所求最小值为：4 本题正确结果：4【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及定义法，考查转化思想和三点共线取得最小值的性质，考查运算能力，属于中档题．16.已知函数2()cos2x f x x π=，数列{}n a 中，()()*1()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前40项之和40S =__________．【答案】1680 【解析】【分析】分别求得数列的前几项，可得数列{}n a 为4-，4-，16，16，36-，36-，64，64，100-，100-，……，可得数列的规律，即每4项求和为等差数列的形式，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】函数()2cos2xf x x π=且数列{}n a 中，()()1n a f n f n =++可得：()()112044a f f =+=-=-；()()223404a f f =+=-+=-；()()33401616a f f =+=+=；()()44516a f f =+=； ()()55603636a f f =+=-=-；()()66736a f f =+=-；……可得数列{}n a 为4-，4-，16，16，36-，36-，64，64，100-，100-，…… 即有数列{}n a 的前40项之和：()()()4044161636366464100100144144S =--+++--+++--+++ ()1444144416001600245688312⋅⋅⋅+--++=+++⋅⋅⋅+ ()1102431216802=⨯⨯+= 本题正确结果：1680【点睛】本题考查数列的求和，注意运用三角函数的周期和等差数列的求和公式，找到数列的规律，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分） 17.已知ABC △中23ACB π∠=，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为π，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）7c =；（2）2+. 【解析】【分析】（1）由,,a b c 成等差数列，且公差为2，可得2b a c b -=-=，利用余弦定理可构造关于c 的方程，解方程求得结果；（2）设B θ=，利用外接圆面积为π，求得外接圆的半径R ．根据正弦定理，利用θ表示出三边，将周长表示为关于θ的函数()f θ，利用三角函数的值域求解方法求得最大值. 【详解】（1）,,a b c 依次成等差数列，且公差为2 2b a c b ∴-=-=2b c ∴=-，4a c =- 23ACB π∠=，由余弦定理得： ()()()()2222224221cos322242c c c a b c abc c π-+--+-===--- 整理得：29140c c -+=，解得：7c =或2c = 又40a c =->，则4c >7c ∴=（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2R ππ=，解得：1R = 由正弦定理可得：22sin sin sin a b cR A B C==== 22sin sinsin 33ba cππθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭可得：2sin b θ=，2sin 3a θπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c =ABC ∆∴的周长()2sin 2sin 3f a b c πθθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin sin 2sin 333πππθθθθθθ⎛⎫=+-==++ ⎪⎝⎭又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2333πππθ∴<+< ∴当32ππθ+=，即：6πθ=时，()fθ取得最大值2【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ==，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ；（2）求多面体1A E ABCD -的体积.【答案】（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理求BD ，底面ABD ∆满足勾股定理，所以BD AD ⊥，又可证明1AA BD ⊥，所以BD ⊥平面1A AD ，即证明面面垂直；（2）取,AB CD 的中点,F G ，分别连接,,EF EG FG ，这样多面体可分割为三棱柱1EFG A AD -和三棱锥E BCGF -，所以分别求体积. 试题解析：（1）在ABD ∆中，60,2,1BAD AB BC ∠=︒==，由余弦定理得BD =.∴222BD AD AB +=.∴BD AD ⊥.∵1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴1A A BD ⊥.1A A AD A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AD .BD ⊂平面1A BD .∴平面1A BD ⊥平面1A AD .（2）设,AB CD 的中点分别为,F G ，连接,,,EF FG GE BD FG H ⋂=， ∵,,E F G 分别为1,,A A AB CD 的中点， ∴多面体1EFG A AD -为三棱柱.∵BD ⊥平面1A AD ，∴DH 为三棱柱的高.1111,2222A AD S AD A A DH BD ∆====，三棱柱1EFG A AD -体积为14A AD S HD ∆⋅==.在四棱锥E BCGF -中，1//EF A A . ∴EF ⊥底面1,BCGF EF A A ==1121sin6022BCGF ABCD S S ==⨯⨯⨯︒=，四棱锥E BCGF -的体积为1133BCGF S EF ⋅==∴多面体1A E ABCD -=.19.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口百分比；（3）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．【答案】（1）抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人（2）2.75%（3）约为4.51亿元【解析】试题分析：（1）有图表得到分层比例，得抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人；（2）80岁及以上长者有：=11万人，百分比为：=2.75%；（3）用样本估计总体，年度预算约为4.51亿元。

广东省深圳外国语学校2018-2019学年第二学期高三第一次热身考试文科数学

广东省深圳外国语学校2018-2019学年第二学期高三第一次热身考试文科数学全卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合}032|{2≥--=x x x A ，}22|{<≤-∈=x x B Z ，则=B A（A ）]1,2[--（B ）)21[，-（C ）}1,2{--（D ）}2,1{-（2）已知复数z 是一元二次方程0222=+-x x 的一个根，则=||z（A ）0（B ）1（C ）2（D ）2（3）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（A ）（B ）（C ）（D ）（4）3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（A ）81 （B ）83 （C ）41 （D ）43 （5）已知椭圆)(012222>>=+b a by a x 的离心率为35，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为12，则该椭圆的短轴长为（A ）4（B ）5（C ）6（D ）8（6）《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下，则输出的值是（A ）74（B ）75（C ）76（D ）77（7）一直线l与平行四边形ABCD 的两边AD AB 、分别交于F E 、，且交其对角线AC 于K ，若AK AC AF AD AE AB λ===,,32，则=λ（A ）2（B ）25（C ）3 （D ）5（8）一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（A ）π672+（B ）π472+（C ）π648+ （D ）π448+（9）已知数列{}n a 的通项为)(*N n n a n ∈+=32，数列{}n b 的前n 项和为)(*N n nn S n ∈+=2732，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2017<m c 的m 的最大整数值为（A ）335（B ）336（C ）337（D ）338（10）已知函数21sin 212sin )(2-+=x xx f ωω（0>ω），R ∈x ．若)(x f 在区间)2,π(π内有零点，则ω的取值范围是（A ）),45()85,41(∞+ （B ）)1,85[]41,0(（C ）)45,85()41,81(（D ）),85()41,81(∞+（11）已知点A,B,C,D 均为球O 的表面上,3==BC AB ，3=AC ，若三棱锥D-ABC 体积的最大值为433，则球O 的表面积为（A ）π36（B ）π16（C ）π12（D ）π316（12）已知定义在R 上的函数)(x f y =满足条件)()(),()(x f x f x f x f =+--=+44，当],(20∈x 时，)(ln )(21>-=a ax x x f ，当),[02-∈x 时，)(x f 的最小值为3，则a 的值为（A ）2e （B ）e（C ）2（D ）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

广东深圳外国语学校2019高三9月第二次抽考-数学文

广东深圳外国语学校2019高三9月第二次抽考-数学文数学〔文科〕 9月29日本试题共4页，20小题，总分值150分，考试用时120分钟。

本卷须知1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型〔A 〕填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=那么AB 为 (C )A 、{0,1}-B 、 {1,1}-C 、 {1}-D 、{0} 2、函数x y 2log =的定义域是〔D 〕A 、(0,1] B. (0,)+∞ C. (1,)+∞ D. [1,)+∞ 3、D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，那么( A) A 、0AD BE CF ++=B 、0BD CF DF -+=C 、0AD CE CF +-= D 、0BD BE FC --=4、以下说法错误的选项是〔 D 〕B 、命题“假设a=0，那么ab=0”的否命题是“假设a ≠0,那么ab ≠0”；C 、假设命题：22:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈-+<⌝∀∈-+≥则；D 、1"sin ""30"2θθ==︒是的充分不必要条件 5、在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，假设14725899,93a a a a a a ++=++=，假设对任意的n N *∈，都有n k S S ≤成立，那么k 的值是〔C 〕A 、22B 、21C 、20D 、196、()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =那么〔D 〕A 、a b c <<B 、b a c <<C 、c b a <<D 、c a b <<7、假设函数f(x)＝x3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，那么实数b 的取值范围是 (D)A.(0,1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，128、函数5()sin ,(0,)2f x x x π=∈，假设方程()f x m =有三个不同的实数根，且三个根由小到大依次成等比数列，那么m 的值是〔B 〕A 、12B、2CD 、19、函数22xy x =-的图像大致是(A)10.关于定义域和值域均为[0,1]的函数()f x ，定义1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x n N *-===∈，满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为f 的n 阶周期点.设12 02()122 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，那么f 的n 阶周期点的个数为〔C 〕 A 、2nB 、22nC 、2nD 、2(21)n -【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分、 11、设向量,a b 满足：3||2,,||222a ab a b =∙=+=，那么||b 等于1.12、假设35cos(),sin 513αββ-==-，02πα<<，02πβ-<<，，那么sin α=3365. 13、函数()f x 满足满足211()(1)(0)( 2.71828)2xf x f e f x x e e '=-+≈,那么(0)f =1.14、函数f(x)满足：()()(),(1)3f x y f x f y f +==,数列{}n a 满足()n a f n =,那么22222364821224135721n nn a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++++=6n 、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 15、〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC. (1)求角C 的大小；(2)求3sinA －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小、解：(1)由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分因为0<A<π，因此sinA>0. 从而sinC ＝cosC.又cosC ≠0，因此tanC ＝1，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ∵0C π<<，∴C ＝π4.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分(2)方法1：由(1)知，B ＝3π4－A ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分因此3sinA －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分因为0<A<3π4，因此π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.┅┅┅┅11分综上所述，3sinA －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，如今A ＝π3，B ＝5π12.┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分方法2：由(1)知，A ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分因此3sinA －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2sin ()12B π+. 因为0<B<3π4，因此12π<B ＋12π<1012π.从而当B ＋12π＝π2，即B ＝5π12时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sinA －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，如今A ＝π3，B ＝5π12. 16、〔本小题总分值12分〕O 为坐标原点，平面向量OA =〔3，－1〕，OB =〔21，23〕. (1)证明：OA OB ⊥；(2)假设点C 为OA OB 和夹角平分线上的点，且||4OC =，求向量OC . 解：〔1〕证明：∵OA =(3,－1),OB =(21,23)，∴3×21+(－1)×23=0，∴OA OB ⊥…4分(2)方法1：设(,)OC x y =，那么2216x y +=………………………①又因为点C 为OA OB 和夹角平分线上，因此||||||||O C O AO C O BO C O A O C O B⋅⋅=⋅⋅，即(2)x y =+……②解①②得，x y⎧=⎪⎨=⎪⎩故所求向量(6OC =方法2：∵||2,||1OA OB ==,…………………………………6分又∵131311(,),||22222OA OB OA OB +-+=∴+= (8)分由题意知:向量OC 与向量12OA OB +同向共线，∴向量132(22O CO=+==.……………11分故所求向量(6OC =…………………………………12分方法3：数形结合.设(,)OC x y =，那么易知∠COX=015.因此000000||cos154cos(4530)62,||sin154cos(4530)x OC yOC ==-=+==-=∴(6OC =方法4：经分析可得∠BOC=∠COA=045,因此列方程组⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅0045cos ||||45cos ||||，〔下略〕17、〔本小题总分值14分〕关于函数()()()0,212≠-+++=a b x b ax x f ,假设存在实数0x ,使()0x f =0x 成立,那么称0x 为()x f 的不动点.⑴当2,2-==b a 时,求()x f 的不动点;⑵假设关于任意实数b ,函数()x f 恒有两个不相同的不动点,求a 的取值范围.解:⑴由题义()()x x x =--++-+221222，整理得04222=--x x ,解方程得2,121=-=x x即()x f 的不动点为－１和2.…………………………………7分 ⑵由()x f =x 得022=-++b bx ax如此方程有两解,那么有△=()0842422>+-=--a ab b b a b ，b R ∈恒成立.把0842>+-a ab b 看作是关于b 的一元二次不等式,那么有()()()0216321684422<-=-=-a a a a a a ，解得20<<a 即为所求.…………………14分18、〔本小题总分值14分〕某厂家拟在2018年进行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，假如不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件、2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)、(1)将2018年该产品的利润y 〔万元〕表示为年促销费用m 〔万元〕的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k 即k ＝2.∴x ＝3－2m ＋1.由题意得：每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x (元)，那么2017年的利润y ＝x[1.5×8＋16xx ]－(8＋16x ＋m)＝4＋8x －m ＝4＋8(3－2m ＋1)－m＝－16m ＋1－m ＋28(m ≥0)，即y ＝－16m ＋1－m ＋28(m ≥0)、…………………………………6分 (2)下面证明当0≤m ≤3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是增函数、方法1：〔单调性定义〕设0≤m1<m2≤3，那么y1－y2＝(－16m1＋1－m1＋28)－(－16m2＋1－m2＋28)＝(16m2＋1－16m1＋1)＋(m2－m1) ＝16(m1－m2)(m2＋1)(m1＋1)＋(m2－m1) ＝(m1－m2)[16(m2＋1)(m1＋1)－1]、∵0≤m1<m2≤3，∴m1－m2<0,0<(m2＋1)·(m1＋1)<16，∴16(m2＋1)(m1＋1)>1. ∴16(m2＋1)(m1＋1)－1>0.∴y1<y2.∴当0≤m ≤3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是增函数、同理可证当m>3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是减函数、那么当m ＝3(万元)时，ymax ＝21(万元)、∴该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元、…………………14分方法2：差不多不等式法y＝－16m ＋1－m＋28=16[(1)]2929211m m -+++≤-=+ 当且仅当1613103m m m m ⎧+=⎪⇔=+⎨⎪≤≤⎩时“=”成立。

广东深圳2019高三2月第一次调研考试--数学(文)

广东深圳2019高三2月第一次调研考试--数学（文）数学〔文〕本试卷共6页，21小题，总分值150分.考试用时120分钟.本卷须知1. 答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2. 选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3. 非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.i为虚数单位，那么(1–i)2 =〔〕A. 2iB. -2iC. 2D. -2A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {3,4}D. {4}4. 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x > 0时，f (x) = log 3(1 + x)，那么f (- 2)= A. -1 B. -3C. 1D. 3A. 假设p q 为真命题，那么p q 为真命题.B. “x=5”是“x 2-4x-5=0”的充分不必要条件.C. 命题“假设 x<-1，那么x 2-2x-3>0”的否命题为:“假设x<-1，那么x 2-2x-3<0”.D.命题p ：R E ∈∃，使得x 2+x-1<0，那么：R x ∈∀使得x 2+x-1>0.6. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下图，那么该几何体的左视图为〔〕7. 某容量为180的样本的频率分布直方图共有n (n >1)个小矩形，假第一个小矩形对应的频数是〔〕 A.20 B.25C.30D.358. 等差数列{a n}中，a5>0，a4+a7<0，那么{a n}的前n项和S n的最大值为〔〕A.S7B.S6C.S5D.S4交于一点M(1,m)，点M到抛物线焦点的距离为3，那么双曲线的离心率等于〔〕10.x>0，y>0，且4xy-x-2y=4，那么xy的最小值为〔〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.11.运行如下图的程序框图，输出的结果是_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，定点A (4，3)且动点B(m ，0)在x 轴(二〕选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分.14. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 241〔参数〕，假设以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为p=4sin θ，那么直线l 被曲线C 所截得的弦长为______.15.如图，PA 是O 的切线，A 为切点，直线PB 交QO 于D 、B 两点，交弦AC 于E 点，且AE=4，EC=3，BE=6，PE=6，那么AP=_______.【三】解答题：本大题6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，M(sin 2θ,1)，(1) 求点M ，N 的坐标；(2) 假设角a,β的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别通过点M ，N ，求tan(a+β)的值.17. (本小题总分值12分〕一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：(1) 要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；〔2〕请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程y=bx+a.18.(本小题总分值14分〕如图甲，O的直径AB=2，圆上两点C、D半圆所在的平面互相垂直〔如图乙〕，F为BC的中点，E为AO的中点.依照图乙解答以下各题：(1)求三棱锥C-BOD的体积；(2)求证：CB丄DE ；(3) 在上是否存在一点G，使得FG//平面ACD？假设存在，试确定点G的位置；假设不存在，请说明理由.19. (此题总分值14分〕设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列^}的前n 项和.S 3=7，且知3a 2是a 1+3和a 3+4的等差中项. (1) 求数列{a n }的通项公式；20. (此题总分值14分〕椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，离(1) 求椭圆C 的方程；(2) 如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH 丄x 轴，H 为垂足，点Q 满足HP PQ =，直线AQ 与过点B 且垂直于X 轴的直线交于点M ，BN BM 4=BM=4BN.求证：OQN ∠为锐角.21. (本小题总分值14分〕函数f(x)=a x+x 2-xlna-b(1,,>∈a R b a )，e 是自然对数的底数.(1) 试判断函数f(x)在区间),0(+∞上的单调性；(2)当a=e ，b=4时，求整数k 的值，使得函数f(x)在区间(k ，k+1)上存在零点；(3)假设存在x 1,x 2∈[-1,1]，使得|f(x 1)-f(x 2)|≥e-1，试求a 的取值范围.参考答案【一】选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BDDABBCCAD【二】填空题11、6312、[26]，13、531415、【三】解答题 16、解：(1)3,2OM ON ⋅=-223sin 2cos ,2θθ∴-=-…………………2分223sin 2(1sin ),2θθ∴--=-解得21sin 6θ=，25cos 6θ=因此1(,1)6M ，5(1,)3N -………………….6分〔2〕由〔1〕可知1(,1)6M ，5(1,)3N -tan 6α∴=，5tan 3β=-……………………………….10分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅563516()3-=-⨯-1333=……………………………….12分【说明】本小题要紧考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力、17、解：〔1〕从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=…………………………………………5分〔2〕散点图如右所示……………………………………………6分可求得： x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90，……………………………………………8分51()()30iii x x y y =--=∑∑=-51i 2i)x x (=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75， a y bx =-=20.25，……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+.……………………………………………12分【说明】此题要紧考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识、18、解:〔1〕C 为圆周上一点，且AB 为直径，90C ∴∠=︒,4CAB π∠=,AC BC ∴=∵O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，2,1AB CO =∴=.∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，CO ∴⊥平面BOD . ∴CO 确实是点C 到平面BOD 的距离，在Rt ABD ∆中，1111222BODABD S S ∆∆==⨯⨯=，11133412C BODBOD V S CO -∆∴=⋅=⨯=.………………………………………4分〔2〕在AOD ∆中，60,,OAD OA OD ∠=︒=AOD ∴∆为正三角形，又E 为OA 的中点，DE AO ∴⊥，∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴⊥平面ABC.DE∴CB DE⊥.………………………………………9分〔3〕存在，G为BD的中点.证明如下：连接,,OG OF FG，∴OG BD⊥，∵AB为⊙O的直径，∴AD BD⊥∴//OG AD，OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG//平面ACD.在ABC∆中，,O F分别为,AB BC的中点，∴，OF AC//∴平面ACD，OFOF⊄平面ACD，//=,OG OF O∴平面//OFG平面ACD，又FG⊂平面O F，//∴平面FG.………………………………………14分A C【说明】此题要紧考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力、19、解：〔1〕由，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………………………………3分解得22a =、设数列{}n a 的公比为q ，那么12a q =，∴213122a a a q qq===，、由37S =，可知2227q q++=，∴22520q q -+=，解得12122q q ==，、由题意，得12q q >∴=，、…………………………………………………5分 ∴11a =、故数列{}n a 的通项为12n n a -=、…………………………………………………7分(2)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n--=++1112121n n -=-++，…………11分 ∴n S 112231111111111121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n =-++11221n =-+12< (14)分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力、 20、解：〔1〕设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得c e a ==又222c b a +=，∴224b a =.…………………………………………2分 ∵椭圆C通过，代入椭圆方程有2231414b b +=，解得21b =.…………………………………………5分 ∴24a =，故椭圆C 的方程为2214x y += (6)分〔2〕设()00,P x y 0(22)x -<<，…………………………………………7分 ∵()2,0A -， ∵PQ HP =， ∴()00,2Q x y ， ∴直线AQ的方程为()00222y y x x =++、…………………………………………9分令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、 ∵()2,0B ，4BM BN =， ∴002,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭、∴()00,2QO x y =--，00002(1)2,2y x QN x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭、 ∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++∵220014x y +=，∴22044y x =-∴02QO QN x ⋅=-…………………………………………12分∵022x -<<， ∴020QO QN x ⋅=->、又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角.…………………………………………………14分【说明】此题要紧考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力、21、解：〔1〕()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-…………………………1分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，因此()0f x '>，…………2分故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.…………………………………………3分〔2〕2()4x f x e x x =+--，'()21x f x e x ∴=+-，(0)0f '∴=，……………………………………4分当0x >时，1x e >，()0f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数；同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数.…………………………………5分2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >，故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件； 211(0)30,(1)20,(2)20f f f e e =-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >，故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件. 综上所述1k =或2-.………………………………………7分〔3〕2()ln x f x a x x a b =+--，因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，因此当[1,1]x ∈-时，m a x m i n m a x m i n |()()|()()1f x f x f x f x e-=-≥-…………………………8分 ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10x a ->，ln 0a >，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=.∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分∴当[1,1]x ∈-时，{}minmax ()(0)1,()max (1),(1)f x f b f x f f ==-=-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a aa a--=+---++-=--，设1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥〔当1t =时取等号〕， ∴1()2ln g t t tt=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >，∴当1a >时，12ln 0a a a-->， ∴(1)(1)f f >-， ∴(1)(0)1f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，设()ln (1)h a a a a =->，那么 11()10a h a a a-'=-=>.∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数， ∴a e ≥.即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分【说明】本小题要紧考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三下学期第一次热身考试数学(文)试题含答案

2018-2019学年广东省深圳外国语学校高三（下）第一次热身数学试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|22B x Z x =∈-≤<，则AB =（）.A. []2,1--B. [1,2)-C. {}2,1--D. {}1,2-2.已知复数z 是一元二次方程2220x x -+=的一个根，则z 的值为（）A. 1C. 0D. 23.为考察某种药物对治疗一种疾病的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的条形图是（）A. B.C. D.4.3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）. A.14B.23C.12D.345.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）.A. 8B. 6C. 5D. 46.《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（）.A. 74B. 75C. 76D. 777.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2A B A E =，3AD AF =，AC AK λ=（λ∈R），则λ=（） A. 2B.52C. 3D. 58.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A. 72＋6πB. 72＋4πC. 48＋6πD. 48＋4π9.已知数列{}n a 的通项()23n a n n N*=+∈，数列{}n b 的前n 项和为()2372n n nS n N *+=∈，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2012m c <的m 的最大整数值为（） A. 335B. 336C. 337D. 33810.已知函数()211sinsin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间(),2ππ内有零点，则ω的取值范围是( )A. 155,,484⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ][150,,148⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1155,,8484⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.已知点A 、B 、C 、D 均在球O上，AB BC ==3AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为，则球O 的表面积为（）. A. 36πB. 16πC. 12πD.163π 12.已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()4f x f x +=-，且函数()2y f x =+是偶函数，当(]0,2x ∈时， ()ln f x x ax =-（12a >），当[)2,0x ∈-时， ()f x 的最小值为3，则a 的值等于（） A. 2eB. eC. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．14.函数()211log 1ax f x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________． 15.已知双曲线22214x y b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，AB =，1(4)M ，，动点()P x y ，在双曲线上，则2PM PF +的最小值为__________．16.已知函数2()cos 2x f x x π=，数列{}n a 中，()()*1()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前40项之和40S =__________．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分） 17.已知ABC △中23ACB π∠=，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为π，求ABC △周长的最大值．18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ， 60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ==，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ；（2）求多面体1A E ABCD -的体积.19.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口百分比；（3）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．20.已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点()2,0B 为直径两端点的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21.已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点()()22,e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（I ）求()f x 的解析式及单调递减区间；（II ）是否存在常数k ，使得对于定义域内的任意(),ln kx f x x>+k 的值；若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆24:C cos ρθ=的圆心为2C ．（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）过原点且与直线2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ （t 为参数，0απ≤<）平行的直线3C 与2C 的交点为M ，N ，且2C MN △的面积为2，求α的值．23.()32f x x x =--．（1）画出()f x 的图象，并由图象写出()0f x >的解集；（2）若存在x ∈R 使不等式()210f x a --≥成立，求实数a 的取值范围．2018-2019学年广东省深圳外国语学校高三（下）第一次热身数学试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|22B x Z x =∈-≤<，则AB =（）.A. []2,1-- B. [1,2)-C. {}2,1--D. {}1,2-【答案】C 【解析】【分析】可求出集合,A B ，然后进行交集的运算即可．【详解】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}2,1,0,1B =--{}2,1A B ∴=--本题正确选项：C【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z 是一元二次方程2220x x -+=的一个根，则z 的值为（）A. 1C. 0D. 2【答案】B 【解析】由题意可得：1z i =+或1z i =-，则：z . 本题选择B 选项.3.为考察某种药物对治疗一种疾病的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的条形图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】选项D中不服药样本中患病的频率与服药样本中患病的频率差距离最大.所以选D.4.3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）.A. 14B.23C.12D.34【答案】D【解析】【分析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有328=种情况周六、周日都有同学参加公益活动，共有322826-=-=种情况∴所求概率为63 84 =本题正确选项：D【点睛】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.5.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）. A. 8 B. 6C. 5D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆定义以及离心率，求出,a c ，然后求解椭圆短轴长即可．【详解】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：c e a ==椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即：212a = 可得：6a =，c =4b ∴==则椭圆短轴长：28b = 本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．6.《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（）.A. 74B. 75C. 76D. 77【答案】B的【解析】由题意可知，当()3100i i =⨯-时，即75i =时，结束循环，输出i ，此时75i =，故选B.7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2A B A E =，3AD AF =，AC AK λ=（λ∈R），则λ=（） A. 2 B.52C. 3D. 5【答案】D 【解析】∵2AB AE =，3AD AF =，AC AK λ= ∴11123()(23)AK AC AB AD AE AF AE AF λλλλλ==+=+=+，由E ，F ，K 三点共线可得231λλ+=,∴λ=5.本题选择D 选项.8.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A. 72＋6πB. 72＋4πC. 48＋6πD. 48＋4π【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π. 故答案为：A.9.已知数列{}n a 的通项()23n a n n N*=+∈，数列{}n b 的前n 项和为()2372n n nS n N *+=∈，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2012m c <的m 的最大整数值为（） A. 335 B. 336C. 337D. 338【答案】A 【解析】由23722n S n n =+可知数列{}n b 为等差数列，通项公式32n b n =+，又因为23n a n =+，由题意可知15c =，通项公式()56161n c n n =+-=-，所以2012m c <即612012n -<，解得2013335.56n <=，所以m 的最大整数值为335，故选择A.10.已知函数()211sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间(),2ππ内有零点，则ω的取值范围是( )A. 155,,484⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ][150,,148⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1155,,8484⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】将()f x 化简可得()s i n ()24f x x πω=-，由()0f x =得4x k πωπ-=，当(,2)x ππ∈时，(,2)444x πππωωπωπ-∈--，由题意知存在k Z ∈，(,2)44k πππωπωπ∈--，即11(,2)44k ωω∈--，所以111()244k k ω+<<+，由0>ω知0k ≥，当0,1,2k =时，1184ω<<，5584ω<<，9984ω<<，…，所以选D.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得4x k πωπ-=，由x 的范围，可得4x πω-，即k π的取值范围，解出ω，根据k Z ∈可得结果.11.已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB BC ==3AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为，则球O 的表面积为（）. A. 36π B. 16πC. 12πD.163π 【答案】B 【解析】试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B ．考点：球内接多面体．【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，进而求出球的半径．确定到平面的最大距离是关键．确定，，利用三棱锥的体积的最大值为，可得到平面的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球的表面积．12.已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()4f x f x +=-，且函数()2y f x =+是偶函数，当(]0,2x ∈时， ()ln f x x ax =-（12a >），当[)2,0x ∈-时， ()f x 的最小值为3，则a 的值等于（） A. 2e B. eC. 2D. 1【答案】A 【解析】∵f（x+2）是偶函数，∴f（x+2）=f （﹣x+2）， ∴f （x ）关于直线x=2对称，∴当2≤x＜4时，f （x ）=f （4﹣x ）=ln （4﹣x ）﹣a （4﹣x ）． ∵f（x+4）=﹣f （x ），∴当﹣2≤x＜0时，f （x ）=﹣f （x+4）=﹣ln[4﹣（x+4）]+a[4﹣（x+4）]=﹣ln （﹣x ）﹣ax ，∴f′（x ）=﹣1x﹣a ，令f′（x ）=0得x=﹣1a，∵a 12>，∴﹣1a∈（﹣2，0），∴当﹣2≤x＜﹣1a 时，f′（x ）＜0，当﹣1a＜x ＜0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在[﹣2，﹣1a ）上单调递减，在（﹣1a，0）上单调递增，∴当x=﹣1a 时，f （x ）取得最小值f （﹣1a ）=﹣ln 1a+1，∵f （x ）在[﹣2，0）上有最小值3， ∴﹣ln （1a）+1=3，解得a=e 2．故选A ．点睛：本题重点考查了函数的对称性及最值问题，利用对称性明确函数在[)20-，上的单调性，再研究其上的单调性，从而明确函数的最值，组建所求量的方程，解之即可．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．【答案】8 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，求出三角形的顶点坐标，根据z 的几何意义，求出最值取得的点，代入目标函数求解即可．【详解】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中()2,2A --，()1,1B ，()2,2C -又z =，可知z 的几何意义为可行域中的点到直线30x y +=倍可行域中点到直线30x y +=距离最大的点为()2,2A --()max 3228z ∴=⨯--=本题正确结果：8【点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解．14.函数()211log 1ax f x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________．【答案】1 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解，再验证定义域是否关于原点对称即可．【详解】函数()211log 1axf x x x+=+-为奇函数 ()()f x f x ∴-=- 即()()0f x f x -+= 则221111log log 011ax ax x x x x -+-+++=+-，即211log 011ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪-+⎝⎭2221111111ax ax a x x x x+--∴⋅==-+-，则：22211a x x -=- 21a ∴= 则：1a =± 当1a =-时，()211log 1xf x x x-=+-，则()f x 定义域为：{0x x ≠且}1x ≠此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意当1a =时，()211log 1x f x x x+=+-，满足题意 1a \=本题正确结果：1【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误．15.已知双曲线22214x y b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，AB =，1(4)M ，，动点()P x y ，在双曲线上，则2PM PF +的最小值为__________．【答案】4 【解析】【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x c =，解得y ，可得AB ，由双曲线的基本量的关系，解得,,a b c ，可得双曲线的方程，讨论P 在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，渐近线方程为：by x a=±令x c =，解得：bc y a =±，可得：2bcAB a==由2a =，222c a b =+，解得：b =3c =则双曲线方程为：22145x y -=，则()13,0F -，()23,0F若P 在左支上，由双曲线的定义可得：212PF a PF =+2112444PM PF PM PF a MF +=++≥+==当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值4+若P 在右支上，由双曲线的定义可得：212PF PF a =-211244PM PF PM PF a MF +=+-≥-=当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值4综上可得，所求最小值为：4本题正确结果：4-【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及定义法，考查转化思想和三点共线取得最小值的性质，考查运算能力，属于中档题．16.已知函数2()cos 2x f x x π=，数列{}n a 中，()()*1()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前40项之和40S =__________．【答案】1680 【解析】【分析】分别求得数列的前几项，可得数列{}n a 为4-，4-，16，16，36-，36-，64，64，100-，100-，……，可得数列的规律，即每4项求和为等差数列的形式，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】函数()2cos2xf x x π=且数列{}n a 中，()()1n a f n f n =++可得：()()112044a f f =+=-=-；()()223404a f f =+=-+=-；()()33401616a f f =+=+=；()()44516a f f =+=； ()()55603636a f f =+=-=-；()()66736a f f =+=-；……可得数列{}n a 为4-，4-，16，16，36-，36-，64，64，100-，100-，…… 即有数列{}n a 的前40项之和：()()()4044161636366464100100144144S =--+++--+++--+++ ()1444144416001600245688312⋅⋅⋅+--++=+++⋅⋅⋅+()1102431216802=⨯⨯+= 本题正确结果：1680【点睛】本题考查数列的求和，注意运用三角函数的周期和等差数列的求和公式，找到数列的规律，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分） 17.已知ABC △中23ACB π∠=，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为π，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）7c =；（2）2+. 【解析】【分析】（1）由,,a b c 成等差数列，且公差为2，可得2b a c b -=-=，利用余弦定理可构造关于c 的方程，解方程求得结果；（2）设B θ=，利用外接圆面积为π，求得外接圆的半径R ．根据正弦定理，利用θ表示出三边，将周长表示为关于θ的函数()f θ，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.【详解】（1）,,a b c 依次成等差数列，且公差为2 2b a c b ∴-=-=2b c ∴=-，4a c =-23ACB π∠=，由余弦定理得： ()()()()2222224221cos322242c c c a b c abc c π-+--+-===--- 整理得：29140c c -+=，解得：7c =或2c = 又40a c =->，则4c >7c ∴=（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2R ππ=，解得：1R =由正弦定理可得：22sin sin sin a b cR A B C==== 22sin sinsin 33ba cππθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭可得：2sin b θ=，2sin 3a θπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c =ABC ∆∴的周长()2sin 2sin 3f a b c πθθθ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin sin 2sin 333πππθθθθθθ⎛⎫=+-==++ ⎪⎝⎭ 又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2333πππθ∴<+<∴当32ππθ+=，即：6πθ=时，()fθ取得最大值2【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ， 60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ==，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ；（2）求多面体1A E ABCD -的体积. 【答案】（1）见解析（2）4的【解析】试题分析：（1）根据余弦定理求BD ，底面ABD ∆满足勾股定理，所以BD AD ⊥，又可证明1AA BD ⊥，所以BD ⊥平面1A AD ，即证明面面垂直；（2）取,AB CD 的中点,F G ，分别连接,,EF EG FG ，这样多面体可分割为三棱柱1EFG A AD -和三棱锥E BCGF -，所以分别求体积. 试题解析：（1）在ABD ∆中，60,2,1BAD AB BC ∠=︒==，由余弦定理得BD =222BD AD AB +=.∴BD AD ⊥.∵1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ， ∴1A A BD ⊥.1A A AD A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AD .BD ⊂平面1A BD .∴平面1A BD ⊥平面1A AD .（2）设,AB CD 的中点分别为,F G ，连接,,,EF FG GE BD FG H ⋂=， ∵,,E F G 分别为1,,A A AB CD 的中点， ∴多面体1EFG A AD -为三棱柱.∵BD ⊥平面1A AD ，∴DH 为三棱柱的高.1111,22A AD S AD A A DH BD ∆====，三棱柱1EFG A AD -体积为1A AD S HD ∆⋅==.在四棱锥E BCGF -中，1//EF A A . ∴EF ⊥底面1,BCGF EF A A ==1121sin6022BCGF ABCD S S ==⨯⨯⨯︒=四棱锥E BCGF -的体积为1133BCGF S EF ⋅==∴多面体1A E ABCD -=.19.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口百分比；（3）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．【答案】（1）抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人（2）2.75%（3）约为4.51亿元【解析】试题分析：（1）有图表得到分层比例，得抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人；（2）80岁及以上长者有：=11万人，百分比为：=2.75%；（3）用样本估计总体，年度预算约为4.51亿元。

2019年深圳一模文科数学试题(完全word版)

绝密★启用前试卷类型：A2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2019.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考结论：若锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A=，，，集合{}2B x x=>，则A B =A．{}2B．{}01 2，，C．{}2x x>D．∅2．复数34i i+()（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线2214yx-=的渐近线方程为A．1x=±B．2y=±C．2y x=±D．2x y=±4．已知:p直线1:10l x y--=与直线2:20l x ay+-=平行，:1q a=-，则p是q的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设数列{}1n-()的前n项和为n S，则对任意正整数n，n S=A．112nn⎡⎤--⎣⎦()B．1 112n--+ ()C．112n-+ ()D．112n--()Q6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO7．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数24f x x π=+()()，sin 23g x x π=+()()，cos 6h x x π=-()()的部分图象（如图），则 A ．a 为f x ()，b 为g x ()，c 为h x () B ．a 为h x ()，b 为f x ()，c 为g x () C ．a 为g x ()，b 为f x ()，c 为h x () D ．a 为h x ()，b 为g x ()，c 为f x ()8．已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ，平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是A ．() 2-∞，B ．(] 2-∞，C ．()() 1 1 2-∞-，，D ．()(] 1 1 2-∞-，， 9．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，，．若P 的坐标为2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ）A ．0 BCD．10．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e xg x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则 A ．0m < B ．0m = C ．01m <<c ba0.00040.00030.00020.0001D ．1m >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500 3000[，)（元）段应抽出人．12．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是． 13．已知y 与100x x ≤()之间的部分对应关系如下表：则x 和y 可能满足的一个关系式是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中， P Q ，是曲线C :4sin ρθ=上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为．15．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，垂足为D ，已知2AD =，直观图正视图CB =CD = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1VV 的值．18．（本小题满分14分）MSDCBA已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．（1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率；（2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．20．（本题满分14分）已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．ABE21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值；（ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．5. 数列{}(1)n -是首项与公比均为1-的等比数列.6. ,a OP OQ =+利用平行四边形法则做出向量OP OQ +，再平移即发现. .a FO = 7．从振幅、最小正周期的大小入手：b 的振幅最大，故b 为()f x ；a 的最小正周期最大，故a 为(),h x 从而c 为()g x .8. 圆面222:()1C x a y a -+≤-的圆心(,0)a 在平面区域:24x y +<内,则210(,1)(1,2).204a a a ⎧->⇔∈-∞-⎨+<⎩ 9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若(2,3,1)P ，则(1,2,3)Q . 10.画图即知:函数ln y x =的图象与直线y x =-有唯一公共点(,),t t -e ln().x x x x x t =-⇔=-⇔=- 故两个函数的所有次不动点之和()0.m t t =+-=或利用函数ln y x =的图象与函数e xy =的图象关于直线y x =对称即得出答案. 二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分． 11．25. 12．. ．(108)2y x -=． 14．4． 15．第13题写或不写100x ≤都可以，写成如2108y x=-等均可.11.每个个体被抽入样的概率均为100110000100=，在)3000,2500[内的频率为0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×1001＝25人. 12. 画出左(侧)视图如图,其面积为 13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成297,296,295,294,293, 分母成等差数列,可知分母11(11)(1)9711108.n a a n n n =+--=-+=-14. 最长线段PQ 即圆22(2)4x y +-=的直径. 15. 根据射影定理得222(2)6,12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.解: (1)(1,sin )2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥42s i n c o s 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,3sin 4cos ,tan .5cos 3αααα∴==-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,222,b c a +-=222cos 2b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈,π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值．【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（1）证明: 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分BM ⊂平面,ABCD.SM BM ∴⊥ …………………2分四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥………………4分SM ⊂平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SM CM M =, BM ∴⊥平面SMC …………………………………………6分（2）解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等,由( 1 ) 知SM ⊥平面ABCD , 得1113211()32SM BM CMV V SM AB CD AD ⨯⨯=⨯+⨯,……………………………………………9分设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC =得3,,,4,CD a BM CM AD a ====从而13.(3)48V V a a a ⨯==+⨯ ……………………………12分MSDCBA18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．（1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率；（2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1) 当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个：(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，…………………………4分其中事件A “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， …………………………4分故62()93P A ==．…………………………6分答：事件“(1)0f ≥”发生的概率23.………………7分(2) 31(),3f x x a x b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==………………8分∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-, ………………………9分① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，从而1()(1)3g a f a ==-；……………………11分 ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，从而1()(1)3g a f a =-=-+. ……………………13分综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩……………………14分19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(0y ax x =≤≤∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. ……4分要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<，∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-，…………6分由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -.∴2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，…8分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则AB E[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为21(02)y ax x =+≤≤∵点C 的坐标为(2,2)， ∴2212a +=，14a = 故边缘线OC 的方程为211(02)4y x x =+≤≤. ………4分要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,1)(02)4P t t t +<<，∵12y x '=，∴直线EF 的的方程可表示为2111()42y t t x t --=-，即211124y tx t =-+，…6分由此可求得21(2,1)4E t t -+，21(0,1)4F t -+.∴21||14AF t =-，21||14BE t t =-++，……………7分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分20．（本题满分14分）已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为2．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1)由点(,0)F ae -，点(0,)A b 及b =得直线FA 的方程为1x ae +=-0ey -+=，…………………2分∵原点O 到直线FA =2e ==………………………………………5分故椭圆C的离心率2e =. …………………………………7分 (2) 解法一：设椭圆C 的左焦点F (,0)2a -关于直线:20l x y +=的对称点为00(,)P x y ，则有0001,22220.22x a y =⎪⎨⎪⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………10分解之，得00,1010x a y a ==. P 在圆224x y +=上∴22()()41010a a +=， ∴22228,(1) 4.a b e a ==-=……………………………………13分故椭圆C 的方程为22184x y +=, 点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分解法二：因为F (,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，又直线:20l x y +=经过圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ,所以F (,0)2a -也在圆O 上, ………9分从而22()042a -+=，22228,(1) 4.a b e a ==-= ………………………10分故椭圆C 的方程为22184x y +=. ………………………………………11分 (2,0)F -与00(,)P x y 关于直线l 的对称,001,22220.22y x x y ⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………12分解之，得0068,55x y ==.…………………………………………13分故点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值；（ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力. (1) (ⅰ) 解:11,2,a d ==21(1),2nn n dS na n -∴=+=646416,nS n n n +=+≥= 当且仅当64,n n=即8n =时,上式取等号. 故64n S n+的最大值是16.……………………………………………………4分 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知2n S n =，当n ∈N *时,2222211111(2)4(2)n n n n S S n n n n +⎡⎤++==-⎢⎥++⎣⎦，……6分 222222132422311111111114134244(2)n n n S S S S S S n n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2222222111111111412435(1)(2)n n n ⎡⎤⎛⎫=+++-++++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦222211111,412(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦……………………………………8分 22110,(1)(2)n n +>++22132422311115().41216n n n S S S S S S ++∴+++<+<……………………………………9分(2)对n ∀∈N *,关于m 的不等式1(1)m a a m d n =+-≥的最小正整数解为32n c n =-，当1n =时，111(1)1a c d a +-=≥；……………………10分当2n ≥时，恒有11(1)(2)n n a c d n a c d n+-≥⎧⎨+-<⎩，即11(31)(3)0(31)(4)0d n a d d n a d -+-≥⎧⎨-+-<⎩,从而111310(31)2(3)014,1.31033(31)2(4)0d d a d d a d d a d -≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⇔=≤<⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩……………………12分当114,133d a =≤<时,对n ∀∈N *,且2n ≥时, 当正整数n m c <时,有1111.33n c m a a n --+<+<……………………13分所以存在这样的实数1a ,且1a 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………14分。