变荷载下饱和软黏土一维大应变固结解析理论

另根据有效应力原理有
[10,11]
(7a)
′ + q(t ) − u σ ′ = σ ′(a, t ) = σ − p = σ 0 ′ = σ ′(a,0) = q p + γ w (Gs − 1) ∫ σ0
a
(8a)
1 da 1 + e 0 0
(8b)
式中：σ′0 为初始有效应力；Gs=γs/γw 为土粒比重；γs 为土粒重度。 于是结合式(7a)和式(8a)可得
−
1 de = mvl = cons tan 1 + e dσ ′
(6a)
k v = k vo
(1 + e) 2 (1 + e0 ) 2
(6b)
式中：σ′为有效应力；mvl 为土体大应变下的体积压缩系数；kv0 为土体初始渗透系数。 则由式(6a)可得孔隙比为
′ )] − 1 e = e( a , t ) = （ 1 + e0） exp[− mvl (σ ′ − σ 0
拉格朗日坐标系和流动坐标系
ξ = a + S ( a, t )
式中：e=e(a,t)为孔隙比；e0=e（a，0）为初始孔隙比；S=S(a,t)为沉降。 于是由式(1)和式(2)可得
(2)
dS =
e − e0 da 1 + e0
H
(3)
再对式(3)两边积分并注意到土层底面不可压缩，即可得到大应变固结过程中沉降的普遍表达式为
式中：f(t)=mvldq/dt。 方程式(16a)为两阶非齐次线性偏微分方程，易得其满足求解条件式(16b)的解答为
t 2 Ma − ∫ g m (τ )dτ ⋅ sin exp 0 H m =1 M t f (τ ) exp τ g (a ) dτ + exp(m q ) − 1 ∫0 vl 0 ∫0 m
初始有效应力及初始孔隙比 根据式(7a)和式(8)不难得到 (11)
e = e(a, t ) = (1 + e00 ) exp[− mvl (σ ′ − q p )] − 1
式中：e00=e(0,0)为土层顶面处的初始孔隙比。 于是由式(11)即可得到初始孔隙比为
e0 = e(a,0) = (1 + e00 ) exp[− mvl (σ ′ − q p )] − 1
S = S (a, t ) = ( H − a ){1 − exp[− mvl q (t )]} − H ⋅ exp[−mvl q (t )] ⋅ ∑
t t t exp − ∫ g m (τ ) ⋅ f (τ ) exp ∫ g m (α )dα dτ + exp(mvl q 0 ) − 1 ∫ 0 0 0
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1 ∂ κ v (1 + e0 ) ∂u 1 ∂e = γ w ∂ξ 1 + e ∂a 1 + e ∂t
式中：γw 为孔隙水重度；kv 为渗透系数；u 为超静孔隙水压力。
(5b)
从方程(5a)和(5b)可以看出，基本方程在流动坐标系中的形式要比在拉格朗日坐标系中来得简单，但 是考虑到在拉格朗日坐标系中 a 和 t 是彼此独立的基本变量，而流动坐标系中的ξ则是 a 和 t 的函数，相 对比较复杂，另外土层上边界在大应变固结过程中是运动的(从式(2)可知，ξ(0,t)=S(0,t))，这样在流 动坐标系中就较难描述和引入边界条件。因此，从数学处理的角度而言，在拉格朗日坐标系中显然更为方 便。 本文不考虑土体的流变性，且假定土体在大应变固结过程中压缩性和渗透性的非线性变化遵循以下二 式
图2
一维大应变固结问题示意
[10,11]
图3
荷载随时间的变化
谢康和等 已给出了饱和软黏土在流动坐标下及拉格朗日坐标下的一维大应变固结基本控制方程， 其分别如方程(5a)和(5b)所示：
1 ∂ γ w ∂ξ
∂u 1 ∂e κ v ∂ξ = 1 + e ∂t
(5a)
2
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2003 年 10 月
S = S ( a, t ) =
2 问题的描述
∫ 1+ e
a
e0 − e
0
da
(4)
本文所要研究的一维大应变固结问题如图 2 所示。 厚度为 H 的饱和软黏土层顶面透水， 底面不透水(或 透水)，在土层自重及原有均布荷载 qp 作用下已固结完毕，水位在黏土层顶面以上 Hw 处。当施加新的均布 荷载 q=q(t)后，土体开始固结。荷载 q 的初值记为 q０，终值记为 qu，加荷历时为 tc，具体如图 3 所示。
[1,2]
从软土地基上的很多工程实践 中可以发现， 饱和软黏土固结后土层厚度会有十分明显的减小， 其压 [1] 缩量有时甚至高达 80% ，对此小应变固结理论显然已不适用，必须开展大变形固结理论的研究。作为这 [3-5] 一研究领域开拓者的 Gibson 等 给出了物质坐标下以孔隙比 e 为控制变量的一维大应变固结普遍方程， [6-11] 。但是，在以上的研究中 并用有限差分法做了求解。之后不少学者在其基础上进行了不断深入的研究 都假定荷载为一次瞬时施加完毕， 这显然不符合实际情况。 事实上， 作用在地基上的荷载通常是随着建(构) 筑物的施工而逐渐增大的， 在竣工后才有可能保持恒重。 另外， 由于一维非线性大应变固结问题的复杂性， [6-9] [10,11] 研究的基础上，得 难以得到直观、易用的解析解，通常只能借助数值方法求解 。本文在谢康和等 到了能综合考虑荷载变化、土层自重及不同排水条件等因素影响的软黏土一维非线性大应变固结解析解， 并结合算例，研究了变荷载下软黏土一维大应变固结性状，得到了一些有用的结论，以指导工程实践。此 外，本文的解析理论也可用于对大应变固结问题的各种数值解法的验证。
1+ e = exp[− mvl (q − u )] 1 + e0
此外由式(6a)和(8a)可得
(7b)
∂e ∂e ∂σ ′ dq ∂u = = − mvl (1 + e) − ∂t ∂σ ′ ∂t dt ∂t
(9)
于是将式(6b)、式(7b)、式(9)代入基本方程式(5b)，便可得到拉格朗日坐标下以超静孔压 u 为变量 的一维大应变非线性固结控制方程为
S = ∫ {1 − exp[− mvl q(t )] ⋅ exp(mvl u )}da
a
H
(20a)
将式(19)代入式(20a)，可得
S = ( H − a){1 − exp[− mvl q(t )]} − exp[− mvl q (t )] ⋅ ∫ wda
a
H
(20b)
再将式(17a)代入式(20b)，并积分，便可得到单面排水条件下土中任一点在任一时刻的沉降值为
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2003 年 10 月 文章编号：0559-9350(2003)10-0006-08
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变荷载下饱和软黏土一维大应变固结解析理论
谢康和 1，郑辉 1，C J Leo2
(1.浙江大学 岩土工程研究所，浙江 杭州 310027； 2.School of Civic Engineering and Environment, Univ. of Western Sydney, Nepean, Australia) 摘要：基于软黏土一维非线性大应变固结基本理论，建立了能考虑荷载变化、土层自重等因素影响的拉格朗日坐 标下以超静孔压 u 为变量的一维大应变固结控制方程， 并通过对土体压缩性和渗透性的假定获得了方程的解析解。 基于此解，分析了单级等速加荷条件下软黏土一维大应变固结性状。从中可见，大应变固结过程中土体变形的发 展要快于超静孔压的消散；荷载增大，超静孔压消散趋慢；加荷速率越大，土体固结越快；考虑土层自重影响时 孔隙比的分布更为合理。此外，本文的解析解也可用于验证各种大应变固结数值解法的正确性。 关键词：饱和软黏土；变荷载；非线性；大应变；一维固结；解析理论 中图分类号：TU432 文献标识码：A
这样控制方程式(10)和相应的求解条件式(14)便转化为
(15)
cv 0
∂ 2 w ∂w − + (1 + w) f (t ) = 0 ∂a 2 ∂t
(16a)
4
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w(0, t ) = 0
∂w (H , t) = 0 ∂a w(a,0) = exp(mvl q 0 ) − 1
(16b)
w = w(a, t ) = ∑
∞
(17a)
式中：M=(2m-1)π/2,m=1,2,…。
M 2 cv 0 g m (t ) = − f (t ) H2
因为式(15ln(1 + w) mvl
(19)
于是只要将式(17a)代入式(19)即可得到单面排水条件下的超静孔压 u。 根据式(4)和式(7b)，可得沉降为
将上式代入式(8b)即可得到初始有效应力为
(12a)
′ = qp + σ0
再将式(13)代回式(12a)，可得
1 + e00 1 ln mvl 1 + e00 − mvl γ w (G s − 1)a
(13)
e0 = e00 − mvlγ w (Gs − 1)a
(12b)
式(12)和式(13)给出了本文在采用式(6a)假定的条件下所导出的初始孔隙比 e0 和初始有效应力σ′0。 从中可见，e0 沿深度线性减小，σ′0 沿深度非线性增大。其中对于薄土层，若忽略自重，即取 Gs=1 时， 则有σ′0=qp，e0=e00，这说明当不考虑土层自重影响时，初始有效应力和初始孔隙比均沿深度不变。 如令式(8b)中的 e0 为常数，则从中不难发现土体有效重度为γ′=[γw(G-1)]/(1+e0)=常量，σ′0 沿 深度线性增大。由此可见，式(13)得到的σ′0 沿深度非线性增大的结论是由于考虑了土体初始孔隙比 e0 变化的影响(即沉积作用)所引起的。 3.2 单 面排水条件 下 (PTIB) 的解 答 土层的边界条件为 在单面排水条件下(即土层顶面透水，底面不透水，记为 PTIB)，