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b b 3 ∠B1F1O＝30°，在△B1OF1 中， c ＝tan30°，∴c ＝ 3 ， c2－a2 1 a2 1 a2 2 ∴ c2 ＝3，∴1－ c2＝3⇒ c2＝3， c2 3 6 ∴e2＝a2＝2，∴e＝ 2 . 6 答案： 2 5．(2009·山东泰安模拟)已知双曲线 x2－2y2＝2 的左、右两个焦点为 F1、F2，动点 P 满足 |PF1|＋|PF2|＝4. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程； 3 (2)设 D( 2 ，0)，过 F2 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点，若以 DA、 DB 为邻边的平行四边形为菱形，求直线 l 的方程． x2 解：(1)双曲线方程可化为 2 －y2＝1，则|F1F2|＝ 2 3，∴|PF1|＋|PF2|＝4>|F1F2|，所以 P 点的轨迹 E 为以 F1、F2 为焦点，长轴长为 4 的椭 x2 圆，故椭圆方程为 4 ＋y2＝1. (2)设 l 的方程为 y＝k(x－ 3)，k≠0，代入椭圆方程可得(1＋4k2)x2－8 3k2x＋12k2－4＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ －2 3k 8 3k2 ，∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2 3)＝ . 1＋4k2 1＋4k2
2
)
y B．x2－ 9 ＝1 x2 y2 D. 7 － 3 ＝1
2
→ → → → → → 解析：由MF1·MF2＝0，可知MF1⊥MF2.可设|MF1|＝t1，|MF2|＝t2，则 t1t2＝2.
2 在△MF1F2 中，t2 1＋t2＝40， 2 ∴|t1－t2|＝ t2 1＋t2－2t1t2＝ 40－4＝6＝2a.
y0＝kx0＋m＝
由题意，AB⊥MN， m ＋1 1－3k2 1 ∵kAB＝ 3km ＝－ k(k≠0，m≠0)． 1－3k2 整理得 3k2＝4m＋1② 将②代入①，得 m2－4m>0，∴m<0 或 m>4. 1 又 3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即 m>－4. 1 ∴m 的取值范围是(－ ，0)∪(4，＋∞)． 4
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N，且线段 MN 的垂直 平分线过点 A(0，－1)，求实数 m 的取值范围． x2 y2 解：(1)设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由已知得 a＝ 3，c＝2. 又 a2＋b2＝c2，得 b2＝1. x2 故双曲线 C 的方程为 3 －y2＝1. y＝kx＋m 2 整理得 (2)联立x 2 － y ＝ 1 3 (1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点， ∴
c 12 解析：a2＝n，b2＝12－n，c2＝a2＋b2＝12，离心率 e＝a＝ ＝ 3，所以 n＝4. n 答案：4 6．已知圆 C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦 点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________． 解析：圆 C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，由方程知与 y 轴没有交点， 再令 y＝0⇒x2－6x＋8＝0，得圆 C 与 x 轴的交点分别为(2,0)，(4,0)， x2 y2 则 a＝2，c＝4，b2＝12，所以双曲线的标准方程为 4 －12＝1. x2 y2 答案： 4 －12＝1 三、解答题 7．根据下列条件，求双曲线的标准方程． 15 (1)经过点( 4 ，3)，且一条渐近线方程为 4x＋3y＝0. π (2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为3. 15 15 解：(1)因直线 x＝ 4 与渐近线 4x＋3y＝0 的交点坐标为( 4 ，－5)，而 3<|－5|，故双曲线 的焦点在 x 轴上， x2 y2 设其方程为a2－b2＝1， (4) 3 a －b ＝1， 由 4 b a ＝(－3) .
A．2 3 C. 3
2 2
B．2 D．1
x y 解析：双曲线 4 －12＝1 的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为 y＝± 3x.由双曲线的对称 性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝ 答案：A x2 y2 2．(2009·四川高考)已知双曲线 2 －b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，其一条渐近线 → → 方程为 y＝x，点 P( 3，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝ ( A．－12 C．0 B．－2 D．4 ) |4 3＋0| ＝2 3. 3＋1
1－3k ≠0 Δ＝12(m ＋1－3k )>0
2 2 2
，
1 可得 m2>3k2－1 且 k2≠3① 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的源自文库点为 B(x0，y0)． 则 x1＋x2＝ x1＋x2 6km 3km ，x ＝ 2 ＝ ， 1－3k2 0 1－3k2 m . 1－3k2
第 8 模块
第7节
[知能演练] 一、选择题 1．已知 M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点 P 的轨迹是 ( A．双曲线 C．双曲线右边一支 B．双曲线左边一支 D．一条射线 )
解析：∵|PM|－|PN|＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又∵|PM|>|PN|， ∴动点 P 的轨迹为双曲线的右支． 答案：C 2．已知双曲线的两个焦点为 F1(－ 10，0)、F2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满 → → → → 足MF1·MF2＝0，|MF1|·|MF2|＝2，则该双曲线的方程是 ( x A. 9 －y2＝1 x2 y2 C. 3 － 7 ＝1
F1(－c,0)，F2(c,0)，在△PF1F2 中， 由余弦定理，得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－ π 2|PF1|·|PF2|cos3 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 即 4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2 3， 1 π ∴2|PF1|·|PF2|sin3＝2 3， ∴|PF1|·|PF2|＝8,4c2＝4a2＋8，即 b2＝2. c 2 又∵e＝a＝2，∴a2＝3， 3x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 2 － 2 ＝1. [高考·模拟·预测] x2 y2 1．(2009·宁夏、海南高考)双曲线 4 －12＝1 的焦点到渐近线的距离为 ( )
x2 ∴a＝3.∴所求双曲线方程为 9 －y2＝1. 答案：A x2 y2 3．已知双曲线 m－ n ＝1(mn≠0)的离心率为 2，有一个焦点恰好是抛物线 y2＝4x 的焦点， 则此双曲线的渐近线方程是 ( A. 3x±y＝0 B．x± 3 y＝0 )
C．3x±y＝0
D．x±3y＝0
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为(1,0)． ∴m＋n＝1. 又双曲线的离心率为 2，∴ 3 1 ∴m＝4，n＝4. 4y2 ∴双曲线的方程为 4x2－ 3 ＝1. ∴其渐近线方程为 3x±y＝0.故选 A. 答案：A x2 y2 4．(2008·福建高考)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点， 且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围为 ( A．(1,3) C．(3，＋∞) B．(1,3] D．[3，＋∞) ) 1 ＝2. m
∵以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形， → → → ∴(DA＋DB)⊥AB. －2 3k2 8 3k2 3 3 → → － 3， )， ∵DA＋DB＝(x1－ 2 ，y1)＋(x2－ 2 ，y2)＝(x1＋x2－ 3，y1＋y2)＝( 1＋4k2 1＋4k2 → → → → AB的方向向量为(1，k)，∵(DA＋DB)·AB＝0， ∴ 8 3k2 2 3k2 2 2 ，∴l 的方程为 y＝± 2 (x－ 3)． 2－ 3－ 2＝0，解得 k＝± 2 1＋4k 1＋4k [备选精题] 6．已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程；
x2 y2 解析： 由渐近线方程 y＝x 得 b＝ 2， 点 P( 3， y0)代入 2 －b2＝1 中得 y0＝±1.不妨设 P( 3， → → 1)，∵F1(2,0)，F2(－2,0)，∴PF1·PF2＝(2－ 3，－1)·(－2－ 3，－1)＝3－4＋1＝0. 答案：C x2 y2 3．(2009·辽宁)已知 F 是双曲线 4 －12＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF|＋|PA|的最小值为__________． 解析：设右焦点为 F1，依题意， |PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝ |PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9. 答案：9 4．(2009·湖南高考)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有 一个内角为 60°，则双曲线 C 的离心率为__________． 解析：如下图，∵c>b，∴∠B1F1B2＝60°，
解析：如右图，设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)， 当 P 在右顶点处，θ＝π，
2c e＝2a＝ m2＋(2m)2－4m2cosθ m ＝ 5－4cosθ. ∵－1<cosθ≤1，∴e∈(1,3]． 答案：B 二、填空题 y2 x2 ＝1 的离心率为 3，则 n＝________. 5．已知双曲线 n － 12－n
2 2 2 2 2 2 2
15
a ＝9， 解得 2 b ＝16.
2
x2 y2 故所求的双曲线方程为 9 －16＝1. (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在 x 轴上， ∴PF1⊥PF2，且|OP|＝6， ∴2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，∴c＝6. π 又 P 与两顶点连线夹角为3，
π ∴a＝|OP|·tan6＝2 3，∴b2＝c2－a2＝24. x2 y2 故所求的双曲线方程为12－24＝1. 8．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F1、F 2 分别为左、右焦点，双曲线的 π 右支上有一点 P，∠F1PF2＝3，且△PF1F2 的面积为 2 3，又双曲线的离心率为 2，求该双曲 线的方程． 解：设双曲线的方程为 x2 y2 a2－b2＝1(a>0，b>0)，