数列基础知识回顾

合集下载

数列知识点归纳总结详细

数列知识点归纳总结详细数列是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将对数列的基本概念、常见类型以及解题方法等进行详细的归纳总结。

通过本文的学习，读者可以全面了解数列的相关知识，为日后的学习和应用打下坚实的基础。

一、数列的概念数列是按照一定规律排列的数的集合。

其中，每个数都称为数列的项，每个项的位置称为项数。

通常用字母a1，a2，a3，…，an 等表示数列的项，其中an表示第n个项。

数列可以分为有限数列和无限数列。

有限数列是指项数有限的数列，而无限数列是指项数无限的数列。

二、数列的表示方式1. 显式表示法：数列的每一项都直接用公式表示。

常见的显式公式有等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 和等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)。

2. 递推关系式表示法：数列的每一项通过前一项来表示。

常见的递推关系式有等差数列的递推关系式an=an-1 +d 和等比数列的递推关系式an=an-1*r。

三、常见数列类型1. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。

常用的求和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。

2. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。

常用的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。

3. 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和。

斐波那契数列的特点是每一项都等于前两项之和，即a1=a2=1，an=an-1+an-2（n>=3）。

4. 平方数列：数列中的每一项都是该项的平方。

例如1，4，9，16，…5. 等差平方数列：数列中的相邻两项之差为平方数。

例如3，8，15，24，…四、数列的求和1. 等差数列的求和公式为Sn=n/2(a1+an)。

2. 等比数列的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)。

3. 其他特殊数列的求和需要根据数列的特点进行推导计算。

五、数列的性质和运算1. 数列的项可以进行加减乘除等运算，同类型数列可以互相进行运算。

数列基础知识归纳

必修5 数列础知识归纳一、数列的有关概念：1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ．(2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }．2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式；(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = ( 1)n =1,21()1,2n k k n k -=-⎧∈⎨=⎩Z ；(3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点．3．数列的分类：(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列．4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1nk k a =∑称为数列{a n }的前n 项和．要理解S n 与a n 之间的关系． 6．等差数列的定义：数列数列的概念数列的定义数列的分类数列的性质等差数列与等比数列等差数列与等比数列的概念等差数列与等比数列的性质等差数列与等比数列的基本运算数列的求和倒序相加错位相减裂项相消其他方法数列应用一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的差等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：{a n }为等比数列 a n + 1 a n = d 2a n + 1 = a n + a n + 2 a n = kn + b S n = An 2+ Bn ．7．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q 0)，即：{a n }为等比数列 a n + 1 ：a n = q (q 0) 212n n n a a a ++=．注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零．等差数列(AP ) 等比数列(GP ) 通项公式 a n = a 1 + (n 1)d a n = a 1q n 1 (a 1 0，q 0)前n 项和11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩性质 ①a n = a m + (n m )d ①a n = a m q n m②m + n = s + t ，则a m + a n = a s + a t ②m + n = s + t ，则a m a n = a sa t③S m ，S 2m S m ，S 3m S 2m ，…成AP ③S m ，S 2m S m ，S 3m S 2m ，…成GP(q 1或m 不为偶数)④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成AP ，d= md④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成GP ，q = q mn 2．三个数成等差的设法：a d ，a ，a + d ；四个数成等差的设法：a 3d ，a d ，a+ d ， a + 3d ；3．三个数成等比的设法：a /q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a /q 3，a /q ，aq ，aq 3 (为什么？)4．{a n }为等差数列，则{}na c (c > 0)是等比数列．5．{b n } (b n > 0)是等比数列，则{log c b n } (c > 0且c ≠1) 是等差数列．6．公差为d 的等差数列{a n }中，若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列． 7．等比数列{a n }中，若公比为q ，则(1) 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； (2) 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；(3) 当q < 0时为摆动数列； (4) 当q = 1时为常数列． 8．等差数列前n 项和最值的求法：(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值． (2) S n 最值的求法：① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n N *)；② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n N *)可如下确定：S n 最大值10n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或S n 最小值10n n a a +≤⎧⎨≥⎩)．三、常见数列通项的求法：1．定义法(利用AP ，GP 的定义)．2．累加法(a n + 1 a n = c n 型)：a n = a 1 + (a 2 a 1) + (a 3 a 2) + … + (a na n1) = a 1 + c 1 + c 2 + … + c n 1(n 2)． 3．公式法：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．4．累乘法(1n n na c a +=型)：a n = a 132121nn a a a a a a -⋅⋅⋅= a 1 c 1 c 2 … c n1(n 2)．5．待定系数法：a n + 1 = qa n + b (q 0，q 1，b 0)型，转化为a n + 1 + x = q (a n+ x )．可以将其改写变形成如下形式：a n + 1 +1bq -= q (a n +1b q -)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式． 6．间接法(例如：a n + 1 a n = 4a n + 1a n1114n na a +-=-)．四、数列的求和方法：除化归为等差数列或等比数列求和外，还有以下一些常用方法：1．拆项求和法(a n = b n c n )：将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列等等)，然后分别求和．如a n = 2n + 3n ．2．并项求和法：将数列的相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)先求和，然后再求S n ．如“22222222123456(21)(2)n S n n =-+-+-++--”的求和．3．裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差，即a n = f (n + 1) f (n )，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项．用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：1111()()()n a An B An C C B An B An C==-++-++、1(1)n n +=1n 11n +、1()a b a ba b =--+等． 4．错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法．对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错位相减法．即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和：若a n = b n c n ，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列，则数列{a n }的求和运用错位相减法．记S n = b 1c 1 + b 2c 2 + b 3c 3 + … + b n c n ，则qS n = b 1c 2 + b 2c 3 + … + b n 1c n + b n c n +1，…如a n = (2n 1) 2n ．5．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项(k = 1，2，3，…，n )变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法．注意：(1) “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中．(2) “错位”与“倒序”求和的方法是比较特殊的方法．(3) 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适的方法． (4) 重要公式：① 1 + 2 + … + n =12n (n + 1)； ② 12 + 22 + … + n 2 =16n (n + 1)(2n + 1)；③ 13+ 23 + … + n 3 = (1 + 2 + … + n )2 =14n 2(n + 1)2；*④ 等差数列中，S m + n = S m + S n + mnd ；*⑤ 等比数列中，S m + n = S n + q n S m = S m + q m S n ．五、分期付款(按揭贷款)：每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元，n 次还清，每期利率为b )．温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

数列的概念解析

数列的概念解析数学中，数列是由一系列数字按照特定规律排列而成的序列。

数列是数学中重要的基础概念之一，对于算术、代数和微积分等各个数学分支都有着重要的应用。

本文将对数列的概念进行详细解析，介绍数列的种类、常见性质以及应用等内容。

一、数列的定义数列是一组按照特定顺序排列的数值集合。

通常用字母表示数列，如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。

其中，a₁, a₂, a₃, …,为数列的各个项，a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列的项可以有无限多个，也可以有有限个。

二、数列的种类1. 等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等的数列。

常用的公式为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。

2. 等比数列（Geometric Progression，简称GP）等比数列是指数列中的任意两个相邻项之间的比值都相等的数列。

常用的公式为：aₙ = a₁ * r^(n - 1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。

3. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。

常见的斐波那契数列开始为0和1：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...4. 广义算术数列广义算术数列是指数列中的相邻项之间的差值为一个与n有关的多项式的序列。

例如：aₙ = n² + 2n其中，a₁= 3, a₂ = 8, a₃ = 15, ...5. 广义几何数列广义几何数列是指数列中的相邻项之间的比值为一个与n有关的多项式的序列。

例如：aₙ = n²其中，a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 9, ...三、数列的性质1. 公式每一种数列都有对应的通项公式，通过这个公式我们可以快速计算数列的任意一项。

2. 递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项来计算得出。

高中数学数列基础知识

关
(3)等比数列的前 n 项和：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn
＝a11－－aqnq.
高考要点回扣
第5讲
易错警示：由于等比数列前 n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列
前 n 项和时，首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式
的形式，当不能判断公比 q 是否为 1 时，要对 q 分 q＝1 和 q≠1 两种情本课形讨论求解．
本
课栏
解析由已知得 a1＋a3＋a5＝3a3＝105，
目开
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.
关
∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.
高效抢分练习
第5讲
6．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值为
n＝1 n≥2
.
高考要点回扣
第5讲
2．等差数列的有关概念
(1)等差数列的判断方法：定义法 an＋1－an＝d(d 为常数)或 an＋1－an＝an
本
－an－1(n≥2)．
课栏目开
(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d 或 an＝am＋(n－m)d. (3)等差数列的前 n 项和：Sn＝na12＋an，Sn＝na1＋nn2－1d.
课栏
＋(a1－d2)n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.
目开
(2)若公差 d>0，则为递增等差数列；若公差 d<0，则为递减等差数列；
关若公差 d＝0，则为常数列．
(3)当 m＋n＝p＋q 时，则有 am＋an＝ap＋aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，

数列基础知识点总结

数列基础知识点总结一、概念及基本性质1. 什么是数列数列是按照一定的顺序排列的一组数，这些数依次排列在一条直线上，每个位置都有一个数与之对应。

一般用a1, a2, a3,...an表示数列的各个元素，其中ai称为数列的项，i称为项的序号。

2. 数列的概念数列中的每一个数称为数列的项，这些项的次序具有规律性，规律性可以通过公式、图形、语言等方式来表示。

3. 数列的基本性质数列中的数可以是有限个也可以是无限个。

数列中的数包括有序数列和无序数列。

有序数列又包括等差数列、等比数列、等比对数数列、斐波那契数列等。

二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，如果an的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

3. 等差数列的前n项和公式对于等差数列{an}，其前n项和为Sn=n(a1+an)/2。

4. 等差数列的性质（1）等差数列的前两项和后两项等于同一个数。

（2）等差数列的前后两项相等。

（3）等差数列的和的公式Sn=n(a1+an)/2。

5. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有很多应用，比如金融领域的利息计算、交通领域的运输成本计算等。

三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。

2. 等比数列的通项公式对于等比数列{an}，如果an的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

3. 等比数列的前n项和公式对于等比数列{an}，如果q≠1，则其前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；如果q=1，则Sn=na1。

4. 等比数列的性质（1）等比数列的前后两项比相等。

（2）等比数列的和的公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

（3）等比数列的连乘公式Πn=a1q^(n-1)。

高中数学数列知识点归纳

高中数学数列知识点归纳一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

例如，1，2，3，4，5……就是一个自然数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……以此类推。

数列的一般形式可以写成 a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，其中 aₙ 是数列的第 n 项。

我们用｛aₙ} 来表示一个数列。

二、数列的分类1、按项数分类（1）有穷数列：项数有限的数列。

例如，数列 1，2，3，4，5 就是一个有穷数列。

（2）无穷数列：项数无限的数列。

比如自然数列 1，2，3，4，……就是一个无穷数列。

2、按项的大小变化分类（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

例如，数列 1，2，4，8，16，……就是一个递增数列。

（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

比如数列 10，8，6，4，2 就是一个递减数列。

（3）常数列：各项都相等的数列。

例如，数列 3，3，3，3，……就是一个常数列。

（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

比如数列 1，－1，1，－1，1，……就是一个摆动数列。

三、数列的通项公式如果数列｛aₙ} 的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 1，3，5，7，9，……的通项公式为 aₙ ＝ 2n 1 。

通项公式可以帮助我们快速求出数列中的任意一项，也能让我们更深入地了解数列的性质。

四、数列的递推公式如果已知数列｛aₙ} 的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

例如，已知数列｛aₙ} 的首项 a₁＝ 1 ，且 aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥2 ），则可以依次求出 a₂＝ a₁＋ 2 ＝3 ，a₃＝ a₂＋ 2 ＝ 5 ，……五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

小学数学知识点数列的概念与计算

小学数学知识点数列的概念与计算数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。

在小学数学中，数列的概念与计算是基础内容之一。

本文将对小学数学中数列的概念与计算进行详细介绍。

一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列可以用字母a1, a2, a3, …, an表示，其中ai表示数列中的第i个数。

数列中的每个数都有一个特定的位置，这个位置用正整数表示。

例如，数列1, 2, 3, 4, 5可以表示为a1, a2, a3, a4, a5。

数列中的规律可以是加减乘除或其他复杂的运算关系。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。

等差数列是小学数学中最常见的数列之一。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，则数列中的第n项an可以用以下公式计算：an = a1 + (n-1) * d其中，n为项数，an为第n项的值。

例如，给定等差数列的首项a1为3，公差d为4，我们可以使用上述公式计算出该等差数列的各项值。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。

等比数列在小学数学中也比较常见。

设等比数列的第一项为a1，公比为r，则数列中的第n项an可以用以下公式计算：an = a1 * r^(n-1)其中，n为项数，an为第n项的值。

举个例子，如果等比数列的首项a1为2，公比r为3，我们可以使用上述公式计算出该等比数列的各项值。

四、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列，在小学数学中也有所涉及。

斐波那契数列的特点是，从第3项开始，每个数等于前两个数的和。

即f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n≥3)。

斐波那契数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...五、数列的计算在小学数学中，对数列进行计算主要包括求第n项的值以及求前n 项和两个方面。

对于等差数列，我们可以根据已知的首项和公差，使用公式an = a1 + (n-1) * d来求得第n项的值。

人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即
二、等差数列与等比数列
已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为，，，其中为公比。
若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为，，，，因为这种设法使得四个数的公比为，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。
2、求数列最大（小）值的方法
一般方法——解不等式；或
特别地，若为等差数列，为它的前n项的和时，求的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；② 中项的符号。
3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用求通项公式
③根据递推公式求通项公式：
（1）迭代法：对于形如型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法．
（2）累加法：形如的递推公式可用求出通项；
①
②
③
①
②
③
4、等差（比）数列的通项公式
①
②
③ ，其中、是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列中，若已知与，其中，则该数列的公差。
若等比数列中，公比是，则。
6、性质2
在等差数列中，若且、、、，则。
特别地、在等差数列中，若且、、，则。
在等比数列中，若（，，，），则。

基础数列知识点总结初中

基础数列知识点总结初中一、数列的概念数列是按照一定的规律排列起来的一组数，数列中的每一个数称为数列的项。

数列中的项的排列顺序是有规则的，这一规则可以用一个或几个变数表示。

数列是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

二、等差数列1. 等差数列定义等差数列是指一个数列中任意相邻两项的差都相等的数列。

这个相等的数就是公差，设为d。

等差数列的一般形式：a₁，a₁＋d，a₁＋2d，a₁＋3d，……其中，a₁为首项，d为公差。

2. 等差数列通项公式等差数列的通项公式为：a_n = a₁ + (n-1)d其中，n为项数，a_n为数列的第n项，a₁为首项，d为公差。

3. 等差数列前n项和等差数列的前n项和公式为：S_n = 1/2 * n * (a₁ + a_n)，其中a₁为首项，a_n为第n项。

4. 等差数列的性质⑴等差数列中任意三项都满足中项的概念，即中项等于首项与末项的平均数。

⑵等差数列前n项和与项数n的乘积之和等于项数n的平方。

三、等比数列1. 等比数列定义等比数列是指一个数列中任意相邻两项的比都相等的数列。

等比数列的一般形式：a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，……其中，a₁为首项，q为公比。

2. 等比数列通项公式等比数列的通项公式为：a_n = a₁ * q^(n-1)其中，n为项数，a_n为数列的第n项，a₁为首项，q为公比。

3. 等比数列前n项和等比数列的前n项和公式为：S_n = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)4. 等比数列的性质⑴等比数列中任意三项都满足中项的概念，即中项等于首项与末项的平方根。

⑵等比数列前n项和与项数n的乘积之和等于项数n的平方乘以公比减1的商。

四、常见数列1. 等差数列和等比数列的区别等差数列和等比数列的区别在于相邻项的关系，等差数列是每一项与前一项的差相等，等比数列是每一项与前一项的比相等。

2. 斐波那契数列斐波那契数列是指这样的数列：1，1，2，3，5，8，13，……它的前两项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

高中数学数列知识点总结(优秀3篇)

高中数学数列知识点总结（优秀3篇）科学是一种以实证为基础，追求真理和解决问题的方法论，它致力于揭示客观规律和产生创新。

哲学是一种以思辨为基础，追求人类意义和价值的方法论，它致力于探究人类的本质和存在。

为您精心收集了3篇《高中数学数列知识点总结》，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。

高中数学数列知识点总结篇一数列的相关概念1.数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。

图像法；c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-，推论公式：等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+,等差数列前n 项和：()()11122n na a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，；（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=；（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇， .1-=n n S S 偶奇2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.推论公式：等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy=±.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前n 项和公式：性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。

高中数学数列知识点归纳整理总结

高中数学数列知识点归纳整理总结数列是数学中的重要概念，它是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

在高中数学中，数列是一个重要的考点，掌握数列的性质和求解方法是学好数学的基础。

本文将对高中数学数列知识点进行归纳整理总结，帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。

一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合，用字母表示一般项，如a₁, a₂, a₃...2. 数列的一般形式：数列可以是有规律的，也可以是无规律的。

有规律的数列可以用以下三种形式表示：- 通项公式：根据数列的规律，得出每一项与项号之间的关系，以求解任意项和通项公式。

- 递推公式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项的关系。

- 递归式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项和初始条件的关系。

二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项号。

- 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)[2a₁ + (n - 1)d]。

2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项号。

- 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中|r| < 1。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a₁= 1，a₂ = 1。

三、数列求解方法1. 已知数列的前n项，求通项公式：根据已知的前n项，可以通过构造方程组求解出通项公式。

- 样例：已知等差数列的前n项和Sn = 3n² - 2n，求该数列的通项公式。

高一数学数列知识点总结

高一数学数列知识点总结一、数列的概念与表示数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。

通常用大写字母或数字来表示数列，如数列{a_n}表示数列的第n项为a_n。

数列可以是有限的，也可以是无限的，根据数列的项是否有规律，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。

二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的差是一个常数，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。

等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。

等差数列的性质包括：1. 等差数列中，任意两项的差是相同的。

2. 如果一个等差数列的首项不为零，那么它的所有项的符号相同。

3. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数。

三、等比数列等比数列是每一项与前一项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。

等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)，其中a_1是首项，q是公比。

等比数列的前n项和公式为S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，当q的绝对值小于1时，S_n趋向于a_1/(1 - q)。

等比数列的性质包括：1. 等比数列中，任意两项的比值是相同的。

2. 如果公比q的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于零。

3. 当公比q大于1时，等比数列的项会无限增大。

四、递推数列递推数列是指通过数列中前一项或前几项的关系来确定下一项的数列。

递推数列没有简单的通项公式，但可以通过递推公式来计算任意一项。

递推数列的例子包括斐波那契数列，其递推公式为a_n = a_(n-1) +a_(n-2)，其中a_1 = a_2 = 1。

递推数列的性质和特点：1. 递推数列的计算依赖于前面的项。

2. 递推关系可以复杂多变，需要通过具体的递推公式来分析。

3. 递推数列可能具有周期性或者无界性等特点。

五、数列的应用数列在数学和其他科学领域都有广泛的应用。

数列与级数的基础知识

数列与级数的基础知识数学中，数列与级数是常见的概念。

数列是有序数的集合，按照一定的顺序排列。

级数是指数列的所有项的和。

对于初学者来说，了解数列与级数的基础知识是很重要的。

本文将介绍数列与级数的基础知识，从而帮助读者深入了解这两个概念。

一、数列的定义及表示方法数列是按照一定顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, ……, an 表示。

其中a1表示数列中的第一个数，an表示数列中的第n个数。

数列有很多种不同的类型，如等差数列、等比数列、调和数列等。

其中最基本的是等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两个数之间差值相等的数列。

例如，1,3,5,7,9就是一个公差为2的等差数列。

其中1表示数列的首项，9表示数列的末项，公差为2。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两个数之间的比值相等的数列。

例如，2,4,8,16,32就是一个公比为2的等比数列。

其中2表示数列的首项，32表示数列的末项，公比为2。

在求等比数列的和时，可根据公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)进行计算。

其中a1为数列的首项，n为数列的项数，q为数列的公比。

二、级数的定义及表示方法级数是数列的所有项的和，可以看作数列的求和公式。

如：数列1,2,3,4,5的和为（1+2+3+4+5），即15。

级数的表示方法有数学科学符号∑。

例如：∑an表示数列a1,a2,a3,,an的和。

级数中包括的项数是有限的或者无限的两种情况，是一个非常重要的概念。

1. 有限级数有限级数是指级数项数是有限的和，也就是只需要对有限个数进行求和。

这种情形下，计算级数的和可以直接用数学知识中加法的基本原理和通法进行计算，例如：S=a1+a2+a3+......+an。

2. 无限级数无限级数是指级数项数无限，也就是需要对无数个数进行求和。

无穷级数不仅在数学中有着重要的地位，在物理、工程等领域也多有应用。

无限级数中包括收敛的级数和发散的级数，并且收敛的级数也可以表达一定的变化趋势，如函数展开式。

高一知识点归纳数学数列

高一知识点归纳数学数列高一知识点归纳：数学数列数学数列是高中数学中重要的概念之一，它在高一阶段的学习中起着基础和桥梁的作用。

数列可以说是数学中非常基础的概念之一，它不仅在高中数学中出现，也在大学数学及其他科学领域中有着广泛的应用。

本文将对高一阶段学习的数学数列进行归纳总结。

一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列常用于描述某个事物中的数量的变化规律，通过数列我们可以更好地了解事物的发展趋势和规律。

在数列中，每个数称为该数列的项，用通项公式表示。

二、等差数列等差数列是指数列中，任意一项与它的前一项之差都是相等的数列。

即对于等差数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列在数学中占有重要地位，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。

三、等比数列等比数列是指数列中，任意一项与它的前一项之比都是相等的数列。

即对于等比数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

等比数列在数学中也有着重要的应用，尤其在利滚利、金融工程、自然科学等方面。

四、数列的求和求和是数列中常见的问题之一，它可以帮助我们了解数列中各项的和以及规律。

对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算其和。

等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，等比数列的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。

五、数列的递推关系与通项公式数列的递推关系和通项公式是数学中研究数列重要的内容。

通过找到数列中项与项之间的关系，我们可以推导出数列的通项公式，从而可以方便地计算数列中任意一项的值。

对于等差数列和等比数列，递推关系和通项公式是可以很容易得到的。

六、数列的性质数列在数学中具有一些重要的性质，这些性质在解题过程中起到了关键的作用。

一些常见的数列性质包括：有界性、单调性、有序性、周期性等。

初中数学中的数列知识点梳理

初中数学中的数列知识点梳理数列是初中数学中重要的基础知识之一，它在很多数学问题中起着重要的作用。

在初中数学教学中，数列的相关知识点也比较多。

本文将对初中数学中的数列知识点进行梳理和总结。

一、数列的概念和表示方法数列是按照一定规律排列的一组数。

数列中的每个数称为项，项的位置称为序号。

数列可以用数学符号表示，常用的表示方法有两种：通项公式和递推公式。

通项公式表示数列的第n项与n之间的关系，通常用字母an表示数列的第n项。

通项公式的常见形式有：等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)。

递推公式表示数列的第n项与前一项之间的关系，通常用字母an表示数列的第n项，用字母an-1表示数列的第n-1项。

递推公式的常见形式有：等差数列的递推公式an=an-1+d，等比数列的递推公式an=q*an-1。

二、等差数列的性质和应用1. 公差与公差的性质：等差数列中，两个相邻项之间的差叫做公差。

若等差数列的公差为d，则第n项与第m项之间的差等于(m-n)d。

等差数列的公差具有可加性，即an+bn=an+b。

2. 通项公式和前n项和公式：等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=n/2(a1+an)。

通过这两个公式，可以方便地计算等差数列的特定项和前n项和。

3. 等差中项的求解：等差数列中，若an是第n项，ak是第k项，am是中项，即k+(m-k)/2=n，我们可以通过求解该方程来找到等差数列的中项。

4. 等差数列的应用：等差数列在日常生活中有很多应用，例如计算机编址问题、票务计算、交通工具的行驶时间等。

三、等比数列的性质和应用1. 公比与公比的性质：等比数列中，每一项与它的前一项的比叫做公比。

若等比数列的公比为q，则第n项与第m项的比等于q^(m-n)。

等比数列的公比具有可乘性，即an*bn=(ab)n。

2. 通项公式和前n项和公式：等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，前n项和公式Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。

数列概述及基础知识

对应的一列函数值注：数列是特殊的函数
①本质上是定义域特殊：{1,2,3,…}或{1,2,…,n}
②表象上是解析式特殊： an f n y f x
2.项与项数：
①数列中的每一个数叫做这个数列的项
②第n项的序号n又称为该项的项数
排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项) 排在第二位的数称为这个数列的第2项… 排在第n位的数称为这个数列的第n项. 注：数列中的项与项数；如同函数中的因变量与自变量
项
an f n
项数
因变量
y f x
自变量
3.分类：
①按单调性分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列
②按项数分：有穷数列，无穷数列
③按特殊性分：等差数列，等比数列，周期数列，递归数列，…
④按界分：
有界数列和无界数列
练习1.数列的定义:
下列数列是否为同一个数列？ ① 1，2，…，5，6 ② 1，2，3，4，5，6 ③ 1，2，3，4，5，6… ④ 6，5，4，3，2，1
简记法： {2n} 或 {an} …… 通项公式： an 2n 递推公式： a1 2, an1 an 2
列表法：
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
(1)课本P：30 引例 2，4，6，8，…，2n，… 列表法：
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
图象法： an 2n an( y)
y 2x
数列的图象：是一系列孤立的点
n (x)
练习2.数列的表示：(3)(课本P：31 例例 3)3.已知a1 1, a
例3.已知a1 1, an 的前5项.
1

初中数学知识归纳数列的概念和性质

初中数学知识归纳数列的概念和性质数列是数学中常见的一种数学对象，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

在初中数学中，我们学习到了数列的概念和性质，本文将对这些内容进行归纳和总结。

一、数列的概念数列是由一组数字按照一定的次序排列而成的序列，其中每一个数字称为数列的项。

数列中的每一项可以用表示第n项的符号an表示，其中n为项的位置。

例如，对于一个数列{1，2，3，4，5}，第3项可表示为a3=3。

数列可以分为有限数列和无限数列两种。

有限数列是指数列包含有限个项的情况，例如{1，2，3，4，5}。

无限数列是指数列包含无穷多项的情况，例如{1，2，3，4，5，...}。

二、数列的性质1. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与它的前一项的差都相等。

等差数列可以用公式an=a1+(n-1)d来表示，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

等差数列的性质有：（1）公差d表示相邻两项之间的差值；（2）前n项和Sn可用公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]来表示；（3）若两个数列的首项和公差都相等，则这两个数列相等。

2. 等比数列等比数列是指数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

等比数列可以用公式an=a1*r^(n-1)来表示，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

等比数列的性质有：（1）公比r表示相邻两项之间的比值；（2）前n项和Sn可用公式Sn=a1(1-r^n)/(1-r)来表示；（3）若两个数列的首项和公比都相等，则这两个数列相等。

3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，从第三项开始每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列常用F(n)表示，其中F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。

斐波那契数列的性质有：（1）前两项都是1，从第3项开始，每一项都等于前两项之和；（2）相邻两项的比值逐渐趋近于黄金分割比例0.618。

4. 等差数列和等比数列的判定方法对于给定的数列，我们可以通过观察其相邻项之间的差或比值来判断它是等差数列还是等比数列。

数列基础知识

基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。

数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。

定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。

定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。

2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。

等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。