“材料力学”精品课程建设第7讲——非对称弯曲.ppt
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07.材料力学-弯曲
Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
17
[例2]：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。 ql A y ql 1 A x1 Q1 图（b） M1
1 1 a
2
B 2
q
解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体
Q Q( x ) M M (x)
剪力方程
弯矩方程
三、 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x ) 的图线表示 M M ( x ) 的图线表示
20
[例3] 求下列图示梁的内力方程，并画出内力图。 MO O YO Q(x) ⊕ P x L A P 解：①求支反力 YO P ; MO PL MO Q(x)
9
3. 支座简化 ① 固定铰支座
2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。 ② 可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
10
③ 固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ① 简支梁
XA
YA
2
b C
Q2 q( x2 a l )
图（a） 2 B x2 Q2 M2
m (F ) 0 ,
2 i
1 qlx2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx 2 2
图（c）
19
二、内力方程：
内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
第7讲-几何非线性与屈曲分析_图文
displace deriv , 3 , 2 , 1 , ,
velocity , , , 1 /axlab , y , velocity plvar , 3 fini
合位移m
等效应变
X方向位移
等效应力Pa
不同时刻等效应力及变形
不同时刻等效应力及变形
其它例子
ANSYS Verification Manual, 描述了一些另外的非线性分析实例。下表显示 给你一些Verification Manual 包括的非线性分析例子： VM7 管组装的塑性压缩 VM11 残余应力问题 VM24 矩形梁的塑性 VM38 受压厚壁柱体的塑性加载 VM56 内部受压的超弹性厚柱体 VM78 悬替梁中的横向剪切应力 VM80 对突然施加恒力的塑性响应 VM104 液一固相变 VM124 蓄水池中水的排出 VM126 流动流体的热传导 VM132 由于蠕变辉栓的应力消除 VM133 由于辐射感应蠕棒的运力 VM134 一端固定梁的塑性弯曲 VM146 钢盘混凝土梁的弯曲 VM165 铁性导体的载流 VM198 面内扭转实验的大应变 VM199 承受剪切变形的物体的粘弹性分析 VM200 粘弹性的叠层密封分析
用NLGEOM，ON命令来激活那些支 持这一特性的单元中的大挠度效应。
GUI：Main Menu＞Solution＞Analysis Options
它在薄的、高应力的结构中， 如缆索或薄膜中，是最明显的 。一个鼓面，当它绷紧时会产 生垂向刚度，这是应力刚化结 构的一个普通的例子。
P
刚化应力仅可以通过 进行大挠度分析得到
P
刚化应力可采用小挠 度或线性理论得到
应力硬化梁
在小位移分析中这种调整近 似于由于大的环形运动而导 致几何形状改变的效应
velocity , , , 1 /axlab , y , velocity plvar , 3 fini
合位移m
等效应变
X方向位移
等效应力Pa
不同时刻等效应力及变形
不同时刻等效应力及变形
其它例子
ANSYS Verification Manual, 描述了一些另外的非线性分析实例。下表显示 给你一些Verification Manual 包括的非线性分析例子： VM7 管组装的塑性压缩 VM11 残余应力问题 VM24 矩形梁的塑性 VM38 受压厚壁柱体的塑性加载 VM56 内部受压的超弹性厚柱体 VM78 悬替梁中的横向剪切应力 VM80 对突然施加恒力的塑性响应 VM104 液一固相变 VM124 蓄水池中水的排出 VM126 流动流体的热传导 VM132 由于蠕变辉栓的应力消除 VM133 由于辐射感应蠕棒的运力 VM134 一端固定梁的塑性弯曲 VM146 钢盘混凝土梁的弯曲 VM165 铁性导体的载流 VM198 面内扭转实验的大应变 VM199 承受剪切变形的物体的粘弹性分析 VM200 粘弹性的叠层密封分析
用NLGEOM，ON命令来激活那些支 持这一特性的单元中的大挠度效应。
GUI：Main Menu＞Solution＞Analysis Options
它在薄的、高应力的结构中， 如缆索或薄膜中，是最明显的 。一个鼓面，当它绷紧时会产 生垂向刚度，这是应力刚化结 构的一个普通的例子。
P
刚化应力仅可以通过 进行大挠度分析得到
P
刚化应力可采用小挠 度或线性理论得到
应力硬化梁
在小位移分析中这种调整近 似于由于大的环形运动而导 致几何形状改变的效应
13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章 弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章 弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章 弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
19
第七章 弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形
3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25
材料力学--弯曲变形ppt
例题 5-3
5. 求max和wmax 左、右两支座处截面的转角分别为
Fbl b Fabl b A 1 | x 0 6lEI 6lEI Fabl a B 2 |xl 6lEI
2 2
当a>b时有
max
Fabl a B 6lEI
w 0
(-) M 0
w 0
d2w EI 2 M ( x) dx M w或EIw M EI z
3.积分法求梁的挠曲线方程
d2w 梁的挠曲线近似微分方程: EI 2 M ( x) d x x dw EI M ( x)d x C dx x o x EIw [ M ( x) dx]dx Cx D
( 6)
Fxl Fx w ( 5) EI 2 EI 2 3 挠曲线方程 w Fx l Fx ( 6) 2 EI 6 EI 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 描出挠曲线的示意图(图c)。
转角方程
例题 5-1
2
(c)
2. 求max和wmax
(c)
例题 5-1
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的 自由端处。由(5)、(6)两式得 2 2 2 Fl Fl Fl max | x l EI 2 EI 2 EI 3 3 3 Fl Fl Fl wmax w | x l 2 EI 6 EI 3 EI
( 5)
例题 5-3
根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当a>b =0处， 时，最大挠度wmax可能发生在AD段的 w1 0得 令， w1
l 2 b2 a a 2b x1 3 3 ( 6)
材料力学-弯曲变形(内力)ppt课件
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
弯曲变形
3333
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
任务拓展-做剪力图和弯矩图
弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
桥梁
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
99
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
相关知识
解：1、求支座反力
F x0, F A x0
MA0, FBF l a
MB0, FAyFb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
相关知识-剪力和弯矩
【材料课件】第七章 弯曲变形
x 2x 3 3 l/2 , y2y 3
×
§7–4 叠加法计算弯曲变形
一、简单梁简单荷载下的变形
A EI l
B
m
B
ml EI
,
yB
ml 2 2EI
P
A EI B l q
A EI B l
B
Pl 2 2 EI
,
yB
Pl 3 3EI
B
ql 3 6 EI
例3 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。
q 解：
Ax
C EI
B x M(x)1qlx1qx2, (0xl)
l/2 l/2
22
YA=yql/E 2 'Iy EI Fq B=(q1lx /23lx2E) I"C yq2(x2 lx)
23 2
EIy q(1x4lx3)C xD 212 6
x0,y0; D0
x
x
M
M
M
M
y
M0
y" 0
y
M0
y" 0
y" M(x) EI
这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一 次可求转角，再积分一次可求挠度。
×
§7–3 积分法计算弯曲变形
为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为
EI"yM(x)
E' IE y I M (x)d x C 转角方程 E I yM (x )dx C d x D x 挠度方程
转角方程 挠度方程
B2q E(Il2lll21 3l3)6 qE 3lI
yB2q E(1 2 Il2l21 3ll31 12 l4)8 q E 4lI
×
例2 求图示外伸梁B 截面的转角和C 截面的挠度。
材料力学07(第七章 弯曲变形)
A a EI F=qa D a B a
3 3 3
B B×a Cq w
Cq
C
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
q F A a/2 a D EI B EI a C
解：可在铰接点处将梁分成图 a 和 b 所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qa4 qa4 qa4 6 EI 8EI 24EI
3
（向下）
2 3 qa 2a qa B B1 B 2
16EI
qa （顺时针） 3EI 12EI
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa4 wCq 8 EI
Cq
qa3 6 EI
F qa FB FB 2
A
F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2 q F/ 2 wB B C
(b)
图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。
q F/ 2
B
+
(c)
B
C
（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：
qa wBFB 3EI 3 qa BFB 2 EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 所以：
wC wCq B a
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C （顺时针） 6 EI 12EI 4 EI
C1 2l B1
wC1
wB1
Fl 3 wC1 3EI
3 3 3
B B×a Cq w
Cq
C
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
q F A a/2 a D EI B EI a C
解：可在铰接点处将梁分成图 a 和 b 所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qa4 qa4 qa4 6 EI 8EI 24EI
3
（向下）
2 3 qa 2a qa B B1 B 2
16EI
qa （顺时针） 3EI 12EI
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa4 wCq 8 EI
Cq
qa3 6 EI
F qa FB FB 2
A
F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2 q F/ 2 wB B C
(b)
图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。
q F/ 2
B
+
(c)
B
C
（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：
qa wBFB 3EI 3 qa BFB 2 EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 所以：
wC wCq B a
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C （顺时针） 6 EI 12EI 4 EI
C1 2l B1
wC1
wB1
Fl 3 wC1 3EI
材料力学第七章课件
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行
分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料 在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态 下的强度条件. 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何
(Analysis of stress-state and strain-state)
最大正应力
最大线应变
引起破坏 的某一共同 因素
最大切应力
形状改变 比能
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、四个强度理论 (Four failure criteria)
§7-9 复杂应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义（2.9节）
物体在单位体积内所积蓄的应变能
二、应变能密度的计算公 式
1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为
1 σ2 E 2 vε σε ε 2 2E 2
如应力和应变的关系是线性的，应变能和外力做功在数值上相等. 但它应该只决定于外力和变形的最终数值。而与加力的次序无关。 如用不同的加力次序可得到不同的应变能，那么按照一个存储能 量多的次序加力，而按照一个存储能量少的次序解除外力，完成
4、通常情况下，描述一点的应力状态需要九个应 力分量，如下图所示，考虑到切应力互等定理，
都分别相等。这样，原来的九个应力分量中独立 的就只有六个。这种普遍情可看作三组单向应力 和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，线应 变只与正应力有关，而与切应力无关。切应变只 与切应力有关，而与正应力无关。这样我们就可 以利用上面几个公式求出各应力分量各自对应的 应变。然后再进行叠加。
材料力学第7章弯曲变形
再积分一次得挠曲线方程
式中C,D——积分常数。
等截面直梁的EIz为常量，积分时可提出积分号。 在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的。例如，在固定端，挠度和
转角都等于零(见图7.5(a))；在铰支座处，挠度等于零(见图7.5(b))。再比
如，在弯曲变形的对称点上，转角应等于零。这类条件统称为边界条件。此 外，挠曲线应该是一条连续光滑的曲线，不应有如图7.6(a) 和(b)所示的不
达到某种要求。例如，叠板弹簧(见图7.2)应有较大的变形，才可以更好地
起到缓冲减振作用；弹簧扳手(见图7.3)要有明显的弯曲变形，才可以使测 得的力矩更准确；对于高速工作的内燃机、离心机和压气机的主要构件，需
要调节它们的变形使构件自身的振动频率避开外界周期力的频率，以免引起
强烈的共振。
图7.2
图7.3
此外，在求解弯曲超静定问题和冲击问题时，也需考
虑梁的变形。求解弯曲变形的方法很多，主要有积分 法、叠加法、奇异函数法、共轭梁法、能量法、有限
差分法等，本章主要介绍积分法和叠加法。
7.2挠曲线的微分方程 讨论弯曲变形时，以变形前的梁轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴(见图 7.4(a))，xy平面为梁的纵向对称面。在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴 线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为x的任意点 的纵坐标，用v表示，它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为 挠度。这样，挠曲线的方程式可以写成
图7.7
例7.1悬臂梁受均布载荷作用，如图7.8所示。求梁的转角方程和挠度方程，
并求自由端B的挠度vB和转角θ B。
图7.8
解(1)求支座反力
由静力平衡方程可求得 (2)列弯矩方程
建立如图7.8所示坐标系，则弯矩方程为
【材料力学课件】07-弯曲变形
w(a −− ) = w(a ++ )
L
挠度是光滑的：
θ (a −− ) = θ (a ++ )
20
例 求图示梁的挠度曲线。 弯矩
y qL / 2
2 2
q x x
1 22 1 22 M ( x) = − qL + qLx − qx 2 2
L
qL
转角 挠度
θ ( x) =
q ⎛ 1 22 1 22 1 33 ⎞ − L x + Lx − x + C ⎟ ⎜ 2 6 EI ⎝ 2 ⎠
w(0) = 0 , D = 0
25 w(l ) = 0 , C = − q00l 33 384
4 2 4 2 ⎡11 1 1 1 1 22 25 33 ⎤ l l 3 4 3 4 w( x) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − − q00l x⎥ 24 24 2 2 2 384 EI ⎣ 48 ⎦
q ⎛ 1 22 22 1 33 1 44 w( x) = ⎜ − L x + Lx − x + Cx + D ⎞ ⎟ EI ⎝ 4 6 24 ⎠
边界条件 θ (0) = 0
C =0
w(0) = 0
D=0
qx 22 22 (x − 4 Lx + 6 L22 ) w( x) = − 24 EI
21
7.2.2 用奇异函数求挠度方程
3 2 2 0 0
3 1 ⎤ l l 1 ⎡11 1 1 2 3 2 2 3 2 θ ( x ) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − + C⎥ EI ⎣16 6 6 2 2 ⎦ 1
第十二章_非对称弯曲
1
1
横截面为任意形状，确
定截面上的应力分布
1、横截面上的正应力分析
My C
FN Mz
轴力、弯矩
正应力
在截面上建立主形心坐标系
FN M y z Mz y
A Iy
Iz
y,z为主形心坐标，Iy, Iz为截面的主形心惯性矩
28
第十二章 非对称弯曲
2、横截面上的切应力分析
FSy E
Mx FSz
剪力、扭矩
l——截面中心线的总长
ez
l Sz ds
Iz
25
第十二章 非对称弯曲
o
qzds y
z ey FSz
qz
FSz Sy Iy
ez
l Sz ds
Iz
FSz ey l qzds
l——截面中心线的总长
ey
l Sy ds
Iy
ey，ez 仅与横截面的形状和尺寸相关，与外力无关；
计算时，即计算弯曲切应力合力的作用点；
应力分布较复杂，有应力集中现象
17
第十二章 非对称弯曲
盒形薄壁梁的弯曲切应力：
分析方法：分离体平衡
C
y
盖板：
z 腹板：
F2 tdx
F1
( y)
FS
8Iz 2
[b(h02
h2 ) (h2
4 y2 )]
盖板与腹板的交接处：
应力分布较复杂，有应力集中现象
18
第十二章 非对称弯曲
一般截面薄壁梁的弯曲切应力：
C My
M
z
C b
z
y
y
tan z I y Mz
y IMz y
Iy
Iz
13
1
横截面为任意形状，确
定截面上的应力分布
1、横截面上的正应力分析
My C
FN Mz
轴力、弯矩
正应力
在截面上建立主形心坐标系
FN M y z Mz y
A Iy
Iz
y,z为主形心坐标，Iy, Iz为截面的主形心惯性矩
28
第十二章 非对称弯曲
2、横截面上的切应力分析
FSy E
Mx FSz
剪力、扭矩
l——截面中心线的总长
ez
l Sz ds
Iz
25
第十二章 非对称弯曲
o
qzds y
z ey FSz
qz
FSz Sy Iy
ez
l Sz ds
Iz
FSz ey l qzds
l——截面中心线的总长
ey
l Sy ds
Iy
ey，ez 仅与横截面的形状和尺寸相关，与外力无关；
计算时，即计算弯曲切应力合力的作用点；
应力分布较复杂，有应力集中现象
17
第十二章 非对称弯曲
盒形薄壁梁的弯曲切应力：
分析方法：分离体平衡
C
y
盖板：
z 腹板：
F2 tdx
F1
( y)
FS
8Iz 2
[b(h02
h2 ) (h2
4 y2 )]
盖板与腹板的交接处：
应力分布较复杂，有应力集中现象
18
第十二章 非对称弯曲
一般截面薄壁梁的弯曲切应力：
C My
M
z
C b
z
y
y
tan z I y Mz
y IMz y
Iy
Iz
13
1.1 非对称弯曲1
y
E E
FN dA
A
z
A
EdA
E
dA
A
0
中性轴 通过横截面的形心。
( y z cot )sin y sin z cos
C Mz
My
z
dA (y,z)
y
E E
E(ysin z cos)
E
cos
MyIz MzIyz
IyIz
I
2 yz
E
sin
Байду номын сангаас
MzIy MyIyz IyIz I2yz
广义弯曲正应力公式 M y (zIz yI yz ) M z ( yI y zI yz )
IyIz
I
2 yz
中性轴方程 0
C Mz
My
dA (y,z)
IyIz
I
2 yz
zI yz )
tan z M z I y M y I yz
y M y I z M z I yz
y 、z 轴
(y, z)坐标
Iy 、Iz、 Iyz 应力最大点位置？
My 、Mz
• 讨论
• 2. 纯弯曲公式可以推广至细长梁的横力弯曲问题 • 3. 若梁有纵对称面，且外力作用于纵对称面内。
M y
zd A
A
M z
y d A
A
E(ysin z cos )
My A
zdA
E(y sin z cos )
材料力学第7章第二部分
弯曲
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。
载荷的简化： 集中荷载，集中力偶，分布荷载
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲ห้องสมุดไป่ตู้
一端是固定铰支约束，另一 端可动铰支约束，为简支梁
简支梁的计算简图
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲
一端为固定约束，另一端自 由，即没有约束，为悬臂梁
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程 M z M z ( x ) 弯矩方程
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程
剪力图
M z M z(x)
弯矩方程
弯矩图
步骤：沿坐标为x的横截面将梁截开，取出其中一段，分 别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力 FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，即剪力方程FQ(x)和弯矩方程 M(x)。 练习: 确定图中所示梁的剪力 方程和弯矩方程矩图。
Mc 0 M z 2 2.5 2 1.5 2 1 2kN m
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变 化的，描述这种变化的数学表达式
Fs y Fs y ( x ) M z M z ( x)
M＝0
FSy x ＝qx FRA＝qx－
qlx qx 2 M x ＝ － 2 2
ql 2
0 x l
0 x l
第7章 3） 确定剪力方程和弯矩方程
弯曲
解：
ql Fs y ( x ) qx 2 (0 x l )
材料力学弯曲变形 31页PPT文档
对A3钢 σp≈200MPa，细长压杆在失稳时，强
度还是有余的；
3
例2 木柱长l =7m，横截面是矩形，h=200 mm，b=120 mm；当它 在xz平面(最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定(μ=1/2) ；当它 在xy平面(最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支(μ=1) ；木材的 弹性模量E=10Gpa，λ1=59；求临界力和临界应力。
解: (a) 求在xz平面内弯曲时的 柔度，两端固定μ=0.5
iy
I y A
1 hb 3
12
b
hb
12
l 0 .5 l
1
3l
y
i
b
b
y
12
y 14 . 43 l 100 . 8
y 1
y
y
h
z
x
z
b
4
(b) 求在xy平面内弯曲时的柔度，两端铰支μ=1
iz
1
例1 钢质细长杆(λ≥λ1)，两端铰支，长l=1.5m，横截
面是矩形截面，h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，
弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。
y
y
P
x
h
z
z
l
b
解：(a) 判断发生弯曲的方向。 由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易
程度不同，即： I I
y
z
当约束条件相同的情况下，绕y轴的弯曲比绕z轴 来的容易；压杆最易在xz平面内(最小刚度平面)发 生弯曲。
度
杆
杆
2
a S
b
度 杆
D
1 P
2E
材料力学弯曲变形33页PPT
材料力学弯曲变形
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头