3 泰勒公式
3.3泰勒公式 [兼容模式] (1)
![3.3泰勒公式 [兼容模式] (1)](https://img.taocdn.com/s3/m/d923c0cc28ea81c758f578c5.png)
3.3泰勒(Taylor)公式泰勒公式的建立泰勒(Taylor) (英)1685-1731泰勒公式常用函数的麦克劳林公式多项式函数特点一、泰勒公式的建立简单函数复杂的函数近似表示:(1)易计算函数值;(2)导数仍为多项式;用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢,)(0存在若x f 'xx x ∆+=0记xx f x f x x f ∆'≈-∆+)()()(000回想微分一次多项式在x 0附近有=)(x f ))(()()(000x x x f x f x f -'+≈,0时当x x →))(()(000x x x f x f -'+)(0x x o -+其误差是比(x –x 0)高阶的无穷小.需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?{不足 1. 精确度不高; 2. 误差不能定量的估计.))(()(000x x x f x f -'+)(x f ≈希望一次多项式在x 0附近用适当的高次多项式2问题(1)系数怎么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?nn n x x a x x a x x a a x P )()()()(002010-++-+-+= )(x f ≈nn n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= ,)(00a x P n =f ')()(0)(0)(x f x P k k n=),(00x f a =),()(00x f x P n =又,)(10a x P n ='),()(x f x P '='又0000nk ,,2,1,0 =因为因为所以所以3.3 泰勒公式n 次多项式系数的确定),(101x a =⋅)(!202x f a ''=⋅, )(10)(x f a k k =得)(!0)(x f a n n n =⋅00n 同理代入P n (x )中得=)(x P n .)(0nx x -+ ),,2,1,0(n k =20)(x x -+)(0x f )(0x x -+)(0x f '!2)(0x f ''!)(0)(n x f n 能满足要求.有x x x f x x x f x f )(!2)())(()(200000-''+-'+阶内有在若)1(),()()(0+∈n b a x x f ,),(时则当b a x ∈二、泰勒公式导数,泰勒中值定理:nn x x n x f )(!)(00)(-++ )(x R n +10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中).(0之间与在x x ξ的幂展开的按称为)()(0x x x f -n 阶泰勒公式.的幂展开的按称为)()(0x x x f -n 次泰勒多项式.拉格朗日型余项1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=).(0之间与在x x ξ10)1(00)()()!1()()(!)(++-++-++n n n n x x n f x x n xf ξ n 阶泰勒公式00000000时当.2. 在泰勒公式中,故之间介于则,,0x ξ),10(<<=θθξξx 可表为这时的泰勒公式, 按x 的幂(在零点)展开的泰勒公式;带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.,0=n ,00=x 若称为或称为f (x )的麦克劳林(Maclaurin)公式nn xn f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+= 1)1()!1()(++++n n x n x f θ)10(<<θ近似公式误差估计式为1||)!1(||++≤n n x n M R 带有拉格朗日型余项≈)(x f nn xn f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2++''+'+当不需要余项的精确表达式时,n 阶泰勒公式也可写成带有佩亚诺(Peano)0()[()]nn R x o x x =-佩亚诺型余项.的泰勒公式.称为!n 型余项0()()f x x x -称按为的幂展开的解,e )()()()(xn x f x f x f ===''=' x x e )(=的n 阶带有拉格朗日型余项麦克劳林公式.因为(P 142, 例1)三、常用函数的麦克劳林公式nn xn f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+= 1)1()!1()(++++n n x n x fθ)10(<<θn 阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式1)0()0()0()0()(===''='=n ff f f .e )()1(xn x fθθ=+代入公式=xe ).10(,)!1(e !!2112<<+++++++θθn xnx n n x x x 所以得.!!21e 2n x x x nx++++≈ xe 有的近似表达公式这时产生的误差为1)!1(e ++=n xn x n R θ1e (1)!xn xn +<+)10()!1(e !!21e 12<<++++++=+θθn xn xx n n x x x 3.3 泰勒公式(01)θ<<时当1=x ,!1!2111e n ++++≈ 得到.)!1(3+<n 其误差n R )!1(e +<n ,8=n 若取其误差8R .!93<,718279.2e ≈可算出解),,2,1,0(2πsin )()( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x x f n ,0)0(=f 例,1)0(='f ,0)0(=''f ,,1)0( -='''f 因为所以x x f sin )(=求的n 阶带有拉格朗日型余项麦克劳林公式.(P 143, 例2)=x sin ≈x sin .)!12()1(!5!3212153m m m R m x x x x +--+-+--- ,)!12()1(!5!312153--+-+---m x x x x m m 的麦克劳林公式为从而x sin 的多项式近似表达式为所以x sin=mR 2).10(,)!12(12<<+≤+θm xm mm m R m x x x 212153)!12()1(!5!3+--+-+--- ξ),,2,1,0(2πsin )()( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x x f n x θ,3x≤12)!12(]2π)12(sin[++++m x m m ,1时当=m ,001.0要使误差小于,2时当=m ,001.0要使误差小于,sin x x ≈有.1817.0<x 必须2R 误差,!3sin 3x x x -≈有4R 误差.6544.0<x 必须6,1205x ≤xy =泰勒多项式逼近xsin xy sin =泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =xy sin =!33xx y -=o泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =xy sin =!33xx y -=o!5!353xx x y +-=泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =!7!5!3753xx x x y -+-=xy sin =!33xx y -=!5!353xx x y +-=o泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-!11!9!7!5!3119753xx x x x x y -+-+-=xy sin =o类似地, 有)!2()1(!4!21cos 242m x x x x mm -+-+-= ]π)22(cos[++m x θ,)!22(222+++m x m ).10(<<θ例.()(1),(),0.f x x R x αα=+∈=()()(1)(1)(1),n nfx n x αααα-=--++ ()(0)(1)(1),n fn ααα=--+ 解2(1)(1)12!x x x αααα-+=+++(1)(1)().!nnn x o x n ααα--+++特别，有,n =α21(1)1)1.2!n n n n n x nx x nx x --+=+++++ （二项式展开公式1,α=-当时有2311(1)(),1n n n x x x x o x x=-+-++-++ 2311().1n n x x x x o x x =++++++-1253-=x x m ⎪⎩⎪⎨⎧+++++=!!21e 2n x x x n x 常用函数的麦克劳林公式带佩氏余项),0()(→x x o n 带拉氏余项,)!1(e 1++n x x n θ)10(<<θ(P 142--144))!12()1(!5!3sin 1--++---m x x x m ),0()(2→x x o m ⎪⎩⎪⎨⎧+带佩氏余项带拉氏余项,)!12(]2π)12(sin[12++++m x m m x θ)10(<<θ)!2()1(!6!4!21cos 2642m x x x x x m m -++-+-= ⎪⎩⎪⎨⎧+),0()(12→+x x o m 带佩氏余项带拉氏余项,)!22(]2π)22(cos[22++++m x m m x θ3.3 泰勒公式),0()(→x x o n )10(<<θnx x x x x n n 132)1(32)1ln(--+-+-=+ ⎪⎩⎪⎨⎧+带佩氏余项带拉氏余项,)1)(1()1(11++++-n n n x x n θ)10(<<θ带佩氏余项2(1)(1)12!(1)(1)!n x x x n x n ααααααα-+=+++--++ ),0()(→x x o n⎧3.3 泰勒公式带拉氏余项⎪⎩⎪⎨+11(1)(1)()(1),(1)!n n n n x x n αααααθ--+--+-++ )10(<<θ例解用间接展开的方法较简便.-x )(!!21e 2n nx x o n x x x +++++= 1112----+n n n x x xx 取代用-(带佩亚诺型余项).阶麦克劳林公式展开为把n x x f x-=e )(3.3 泰勒公式=e 两端同乘x , 得).()!1()1(!2e 132n n n x x o n x x x x x +--+-+-=-- )()!1()1(!21+--+-x o n x例.()30sin cos lim sin x x x x x →-利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求3.3 泰勒公式(P 144, 例3)解33sin ()3!x x x o x =-+22x 33x cos 1()2!x o x =-+()2!x o x =-+[]x x 注：两个比x 3高阶无穷小的代数和还是比x 3的高阶无穷小()30sin cos lim sin x x x x x →-则3330()3=lim x x o x x →+1=333()3x o x +=-x x x cos sin处的在求函数1423)(023-=+-+=x x x x x f 解5)1(-=-'f 8)1(=-f 263)(2-+='x x x f 一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.)()!)()(000)(x R x x k x f x f n k n k k +-=∑=3.3 泰勒公式66)(+=''x x f 6)(='''x f 0)1(=-''f 6)1(=-'''f )()1(58)(1x R x x f ++-=f (x )的一阶泰勒公式是!2)1)((21+''=x f R ξ2)1(!2)1(6++=x ξ其中.)1(之间与介于x -ξ三阶泰勒公式是.0)(3≡x R )()1()1(58)(33x R x x x f ++++-=)0)(()4(=x f 因。
泰勒公式与三阶
泰勒公式与三阶泰勒公式（TaylorFormula）是数学中一种使用级数计算函数值的方法，由英国数学家蒂姆泰勒于1715年发现。
泰勒公式的形式为由n项的级数展开构成的公式，它可用于计算函数在某一点的值，以及函数在某一点的极限。
泰勒公式有无限项，但实际应用中只需要计算有限多个项即可。
具体取几项，取决于计算的精度要求。
当取到第三项时，可以构成三阶（third order）的泰勒公式。
三阶泰勒公式的标准形式是：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+frac{1}{2!}f(x_0)(x-x_0)^2+frac{1 }{3!}f(x_0)(x-x_0)^3+…其中x_0是函数f(x)的一点，f(x_0)表示f(x)的导数在点x_0的值，f’(x_0)表示f(x)的二阶导数在点x_0的值，f’’’(x_0)表示f(x)的三阶导数在点x_0的值。
三阶泰勒公式在实际应用中可以用来计算复杂函数的极限和值。
它是数值分析中一种常用的有限差分（finite difference）方法，广泛应用于工程中。
在数学研究中，三阶泰勒公式用来计算函数的变化趋势，主要有两种用法：一是用来估计函数的局部极大值、极小值；二是用来估计函数的极限值。
首先，可以判断f(x_0)的正负，从而进一步确定函数在点x_0附近是极大值还是极小值。
首先，如果f(x_0)>0，则说明函数在x_0附近是增加的，即f(x)是极小值；反之，如果f(x_0)＜0，则说明函数在x_0附近是减少的，即f(x)是极大值。
再以f(x_0)判断，如果f(x_0)>0，则f(x_0)>0；如果f(x_0)＜0，则f(x_0)＜0。
其次，可以用三阶泰勒公式估计函数的极限值。
如果函数f(x)在点x_0附近是可导的，并且f(x_0)和f(x_0)的绝对值越来越小，那么函数在点x_0附近的极限值就可以用三阶泰勒公式估计出来，因此可以用三阶泰勒公式估计函数在某一点的极限值。
常用泰勒公式
常用泰勒公式泰勒公式是一种近似计算函数值的方法，它是通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值。
在数学和物理学领域，泰勒公式被广泛应用于函数近似、函数求导和数值计算等方面。
下面将介绍泰勒公式的常用形式和应用。
泰勒公式的一般形式是：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中，f(x) 是要求解的函数，在点 x 处的近似值；f(a) 是函数在点 a 处的值；f'(a) 是函数在点 a 处的导数值；f''(a) 是函数在点 a 处的二阶导数值；以此类推。
泰勒公式的原理是利用导数将函数表示为一系列单项式的和，然后根据需要的精度截断级数，得到函数的近似值。
当级数的项数增加时，近似值的精度也会提高。
泰勒公式的应用十分广泛。
例如，在计算机科学领域，泰勒公式被用于开发数值计算算法，例如计算机图形学中的曲线和曲面绘制，以及物理引擎中的碰撞检测和运动模拟等。
在物理学中，泰勒公式被用于近似解析解不存在的问题，例如非线性的运动方程。
此外，泰勒公式还可以用于求解微积分中的极限、导数和积分等问题。
泰勒公式有很多变种形式，例如麦克劳林级数、希尔伯特级数和泊松级数等，它们在不同的数学和物理学问题中具有不同的应用。
总结起来，泰勒公式是一种常用的近似计算函数值的方法。
它通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值，具有广泛的应用领域和实际价值。
无论是在数学、物理还是计算机科学领域，我们都可以看到泰勒公式的身影。
高数上3.3 泰勒公式
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n)
(x 0
)
(x
x
)n
R
(x)
n!
0
n
用类似的证明方法，我们可以证得另外一种带有 皮亚诺余项的泰勒公式.
设 f (x (n) ) 存在，则 0
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
例 2 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n)(0) 1,
注意到 f ( (n1) x) e x 代入泰勒公式， 得
e
x
1
x
x2 2!
xn n!
ex (n 1)!
但这种近似等式存在明显不足, 首先是精度 不高,误差会比较大，其次是误差无法估计.
能否用其它较简单的曲线函数来近似替代 复杂的连续函数f(x)呢？
事实上多项式函数
Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
是一种处处连续可导分析性质很好的函数， 在n>1时，它是一条连续的曲线函数。 因此在讨论较复杂的连续函数f(x)在某一个 邻域内的分析性质时，经常用多项式函数来 近似代替较复杂的连续函数。
f
(5)
(
)
6
2
.
例1 写出函数 f ( x) x3ln x 在 x0 1 处的四阶
泰勒公式.
解
f
(4) ( x)
6 x
,
f (4)(1) 6,
f
(5)(
x)
6 x2
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
十个常用泰勒公式展开
十个常用泰勒公式展开常用泰勒公式是在微积分中常用的一种展开函数的方法，可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的多项式函数的和。
这些多项式函数的系数与原函数在某个点的导数有关，通过计算这些导数可以得到展开式的各项系数。
以下是十个常用的泰勒公式展开。
1. 正弦函数展开：正弦函数的泰勒展开式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...2. 余弦函数展开：余弦函数的泰勒展开式为：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...3. 自然指数函数展开：自然指数函数的泰勒展开式为：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...4. 对数函数展开：对数函数的泰勒展开式为：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...5. 幂函数展开：幂函数的泰勒展开式为：(x+a)^n = a^n + n*a^(n-1)*x + (n*(n-1)*a^(n-2)*x^2)/2! + ...6. 反正弦函数展开：反正弦函数的泰勒展开式为：arcsin(x) = x + (x^3)/6 + (3*x^5)/40 + ...7. 反余弦函数展开：反余弦函数的泰勒展开式为：arccos(x) = π/2 - arcsin(x) = π/2 - x - (x^3)/6 - (3*x^5)/40 - ...8. 反正切函数展开：反正切函数的泰勒展开式为：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...9. 双曲正弦函数展开：双曲正弦函数的泰勒展开式为：sinh(x) = x + (x^3)/3! + (x^5)/5! + (x^7)/7! + ...10. 双曲余弦函数展开：双曲余弦函数的泰勒展开式为：cosh(x) = 1 + (x^2)/2! + (x^4)/4! + (x^6)/6! + ...以上是十个常用的泰勒公式展开。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全泰勒公式是指对于可导函数在一些点附近进行近似展开的一种方法，泰勒公式包括一阶泰勒公式、二阶泰勒公式、高阶泰勒公式等。
下面将详细介绍泰勒公式的各种形式以及应用。
1.一阶泰勒公式：一阶泰勒公式也称为线性近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值。
一阶泰勒公式的应用：一阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的直线近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过一阶泰勒公式进行近似计算。
同时，一阶泰勒公式也可以用来求函数在一些点处的导数值。
2.二阶泰勒公式：二阶泰勒公式也称为二次近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)^2/2!*f''(a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值，f''(a)表示可导函数在点a处的二阶导数的值。
二阶泰勒公式的应用：二阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的二次近似，尤其是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过二阶泰勒公式进行近似计算。
二阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和二阶导数值。
3.高阶泰勒公式：高阶泰勒公式是指泰勒公式的更一般形式，其表达式为：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!*f''(a)+...+(x-a)^n/n!*f^n(a)其中，n为正整数，f^n(a)表示可导函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
高阶泰勒公式的应用：高阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的更高阶近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过高阶泰勒公式进行近似计算。
高阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和各阶导数值。
8个泰勒公式常用公式
8个泰勒公式常用公式泰勒公式是一种对于一个函数在一些点处的近似表示的数学工具。
它通过使用函数在该点处的各阶导数来构建一个多项式。
这里将介绍8个常用的泰勒公式。
1.一阶泰勒公式：简单的一阶泰勒公式将函数在其中一点的值表示为该点处的函数值和函数的一阶导数之积。
对于函数f(x)，在点x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)2.二阶泰勒公式：二阶泰勒公式是对函数在其中一点处的函数值和一阶导数、二阶导数的线性组合的近似。
对于函数f(x)，在点x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/23.n阶泰勒公式：n阶泰勒公式将函数在其中一点处的值表示为该点处的函数值和函数的前n阶导数的多项式。
对于函数f(x)，在点x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!4.拉格朗日形式泰勒公式：拉格朗日形式泰勒公式是将泰勒公式中的余项以拉格朗日中值定理的形式表示出来。
对于函数f(x)，在点x=a和x=x0之间的其中一点x1，存在一个介于a和x之间的数c，使得泰勒公式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(c)(x-a)^2/2!5.泰勒级数：泰勒级数是将泰勒公式中的所有阶导数都考虑进来，从而得到一个无限级数的形式。
对于函数f(x)，泰勒级数在点x=a处的表达形式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+...6.指数函数的泰勒展开：指数函数可以通过泰勒展开表示为一个简单的无限级数。
对于指数函数exp(x)，在点x=0处的泰勒展开为：exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ...7.正弦函数的泰勒展开：正弦函数可以通过泰勒展开表示为一个无限级数。
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式泰勒公式是数学中经常使用的一种近似计算方法。
它可以将一个函数在某个点附近用其在该点的导数值来表示，从而简化计算。
泰勒公式由英国数学家布鲁赛尔·泰勒于18世纪提出，至今在科学和工程领域中广泛应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么在x=a附近的点x，函数f(x)可以通过泰勒展开式来近似表示：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ... + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! + Rⁿ(x)其中，f'(a)，f''(a)，f'''(a)，...，fⁿ(a)分别表示函数f(x)在x=a处的一阶、二阶、三阶，...，n阶导数的值，Rⁿ(x)为拉格朗日余项。
泰勒公式的应用有很多，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 函数的近似计算：通过泰勒公式，可以将函数在某一点的值通过导数值的近似表示来计算。
这在科学计算中经常使用，特别是在计算机程序中，可以通过泰勒公式来实现复杂函数的近似计算。
2. 极限计算：通过泰勒公式，可以将复杂的极限计算转化为对函数在某一点的导数值的计算。
这样可以简化极限计算过程，提高计算效率。
3. 误差分析：在实际应用中，我们常常需要对测量数据进行处理和分析。
泰勒公式可以用于对测量数据进行近似处理，计算近似值与真实值之间的误差范围。
4. 函数图像的绘制：通过泰勒公式，可以对函数的局部形态进行描述，从而更好地理解函数的性质和行为。
这对于绘制函数图像有很大的帮助。
总之，泰勒公式是数学中一种重要的近似计算方法，广泛应用于科学和工程领域。
它简化了复杂函数的计算和分析过程，提高了计算效率和准确性。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适合的泰勒展开项，以满足计算的需求。
泰勒公式原理
泰勒公式原理
泰勒公式原理是一种用于近似函数值的方法，它可以将一个光滑函数在某一点附近展开成一个无穷级数。
基本的泰勒公式近似形式为：
$$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 +
\frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$$
其中，$f(x)$表示待近似的函数，$a$是近似点，$f'(x)$、
$f''(x)$等分别表示函数$f(x)$的一阶、二阶等导数。
泰勒公式的核心思想是使用函数在某一点的导数值去逼近函数在该点附近的取值。
通过展开成级数，我们可以根据需要选择适当的项数来实现不同程度的近似。
当我们选择更高阶的导数项时，近似的精度将会更高。
利用泰勒公式，我们可以计算函数在某一点的近似值，而不需要知道函数的具体表达式。
这在数值计算和数学建模中非常有用，尤其是当涉及到复杂函数或无法直接计算的函数时。
需要注意的是，泰勒公式的适用条件是函数在近似点附近具有足够的光滑性。
如果函数在某些点上不可导或不具备充分的光滑性，那么泰勒公式的近似效果将会降低。
总之，泰勒公式可以将一个函数在某一点附近展开成级数形式，用于近似计算函数值。
它是数值计算和数学建模中一种重要的工具，具有广泛的应用价值。
泰勒公式常用
泰勒公式常用泰勒公式是高等数学中的重要概念，是一种用于近似计算函数值的方法。
在实际应用中，我们经常需要计算某些函数在某个点的值，但是有些函数并不容易直接计算。
此时，泰勒公式就可以派上用场了。
泰勒公式的基本形式是：$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 其中，$f(x)$是要计算的函数，$a$是近似点，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
泰勒公式的意义是将一个函数在某个点处展开成一个无限级数，每一项都是函数在该点处的导数与$(x-a)$的$n$次方的乘积，乘以$1/n!$。
当$n$趋近于无穷大时，级数的和就会越来越接近函数在该点处的真实值。
泰勒公式在实际应用中非常有用，可以用来近似计算各种函数的值。
比如，我们可以用泰勒公式来计算正弦函数在$x=pi/6$处的值：$sin(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(x-frac{pi}{2 })^{2n+1}$将$x=pi/6$代入上式，得到：$sin(frac{pi}{6})=frac{(-1)^0}{1!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2}) ^1+frac{(-1)^1}{3!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^3+frac{(-1)^2} {5!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^5+...$化简得：$sin(frac{pi}{6})=-frac{1}{2}frac{pi}{6}+frac{1}{6}frac{pi^ 3}{2^3}+O((frac{pi}{6})^5)$其中，$O$表示截断误差，意味着剩余的项都很小，可以忽略不计。
这个式子可以进一步化简为：$sin(frac{pi}{6})=frac{1}{2}$这个结果是比较容易理解的，因为正弦函数在$x=pi/6$处的值是$1/2$。
3 泰勒公式
只须证明 ak = bk , k = 0,1,2,L, n.
上式中令 x → x0 , 则 a0 = b0 .
函数展开式中消去常数 项，并除以 x − x0 得 :
a1 + a2 ( x − x0 ) + L + an ( x − x0 )n−1 + o(( x − x0 )n−1 ) = b1 + b2 ( x − x0 ) + L + bn ( x − x0 )n−1 + o(( x − x0 )n−1 )
P ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + L+ an ( x − x0 )n n
误差 Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)
分析: 分析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.
x0 Pn ( x0 ) = f ( x0 )
y
y = f (x)
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
例如, 很小时, 例如, 当x 很小时, e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x
x
y = ex
y = ex
x2 7 4 x2 7 4 4 = e[1 − + x + o( x )] = e − e + e x + o( x 4 ) 2 4 2 4
1 5. 给定一般项为 an = 1 − n sin 的趋于 0 的序列， 的序列， n 穷小。 试求出它的一个等价无 穷小。
【泰勒展开】常见泰勒公式大全
【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ：sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1]tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)另外\begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\&\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{align}习题中常见(x \rightarrow 0) ：\begin{align} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\\ x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ arcsinx - x &=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ tanx - x &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ x-arctanx&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{align}即有\begin{align*} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\\ x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\\ arcsinx - x &\sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\\ x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{align*}还可以得到(x\rightarrow0) ：\begin{align} x-\ln \left( 1+x \right) \,&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x\,&\sim \frac{x^2}{2} \\ 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \\ f\left( x \right)^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right)\left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x\right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right)\end{align}注：上述四结论来自：有时还会用到\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right) [2]一般地\begin{align} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} x^{n}+\cdots \\ \ sinx&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\\ \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !}x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \\ \ ln(1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x\in(-1,1) \\ (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2\pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \\ \end{align}{\LARGE \begin{align} \arcsin x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152}x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)}x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \\ \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \csc x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} =\frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{}x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\\ \cot x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !}x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi)\end{align}}相关链接：1.^利用arccosx = pi/2 - arcsinx即可得出。
泰勒公式
f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) 2 + L + ( x − x0 ) n ， n! 2!
（1）
f ( n +1) (ξ ) ( x − x0 ) n +1 = Pn ( x) + Rn ( x) ， (n + 1)!
其中 ξ 介于 x0 与 x 之间。 证：记 Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) ，要证 Rn ( x) =
n
n x 2 x3 n −1 x ln(1 + x) = x − + − L + (−1) + ο ( xn ) ， 2 3 n
∑
k =0
n
f ( k ) (0) k x + ο ( x n ) ，称为马克劳林公式， （3）式称为带 Peano 型 k!
ex = 1 L + + ο ( xn ) ， n! 2!
1 1 1 + +L + ≈ 2.718281, 1! 2! 10! e 3 误差为 R10 (1) ≤ < ≈ 7.5156 ×10−8 。 11! 11! kπ kπ 。 ) ，由此得 f ( k ) (0) = sin 2 2
例 2：求 f ( x) = sin x, cos x 的马克劳林公式（ Lagrange 型余项） 。 解：因 f ( x) = sin x, 故 f
可见 cos x − e
是 x 的四阶无穷小。
1 1 ( − cot x) 。 x →0 x x 1 1 1 sin x − x cos x 解： lim ( − cot x) = lim x →0 x x x →0 x x sin x 3 x x2 x − + ο ( x 3 ) − x[1 − + ο ( x 2 )] 3! 2! = lim 3 x →0 x 1 1 ( − ) x3 + ο ( x3 ) 1 = lim 2! 3! 3 = 。 x →0 3 x
第6章-微分中值定理及其应用-6-3 泰勒公式
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
| f ( x ) Tn ( x ) | | f ( x ) Pn ( x ) | , x U ( x0 ).
这也就是说, Tn ( x ) 是逼近 f ( x ) 的最佳 n 次多项式. 在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形式 变为
f '(0) f ( n ) (0) n f ( x ) f (0) x x o( x n ) 1! n! (k ) n f ( 0) k x o( x n ). k! k 0 此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.
连续使用 n –1 次洛 则当 x U ( x0 ) 且 x x0 时 ， 必达法则, 得到
( x) Rn ( x ) Rn ( x ) Rn lim lim lim n n 1 x x x x x x n!( x x0 ) ( x x0 ) n( x x0 )
(k) Rn ( x ) f ( k ) ( x ) Tn( k ) ( x )
所以
( x0 ) Rn( n ) ( x0 ) 0, Rn ( x0 ) Rn
( x0 ) Qn( n1) ( x0 ) 0 , Qn( n ) ( x0 ) n! Qn ( x0 ) Qn
§3 泰勒公式
taylor公式(泰勒公式)通俗+本质详解
泰勒公式，也称为泰勒展开式，是微积分中非常重要的定理之一。
它是以17世纪英国数学家布饶·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，用于将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
泰勒公式可以说是微积分中的瑰宝，它不仅在数学领域有着重要的应用，而且在物理、工程等其他领域也有着广泛的应用。
让我们来深入了解泰勒公式的本质。
泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
具体来说，对于一个光滑的函数f(x)，在点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中f'(a)、f''(a)等分别表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶导数等。
这意味着，通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
泰勒公式的通俗理解可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们要计算sin(x)在x=0处的近似值，我们可以利用泰勒公式展开sin(x)：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...如果我们只取前面几项，就可以得到sin(x)在x=0处的近似值。
这就是泰勒公式在实际问题中的应用，通过泰勒公式，我们可以用多项式函数来近似表示复杂的函数，从而简化计算和分析。
对于泰勒公式的书写方式，我个人建议采用序号标注的方式，如下所示：1. 泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
2. 泰勒公式可以通过一个多项式来近似表示一个光滑的函数。
3. 通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
我想共享一下我的个人观点和理解。
泰勒公式的重要性不仅在于它可以简化复杂函数的计算和分析，还在于它揭示了光滑函数在某一点附近的局部性质。
11第十一讲 带有佩亚诺余项的泰勒公式
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§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
由 Rn ( x) = f ( x) − Tn ( x) , Qn ( x) = ( x − x0 )n ,
得
R= n(k ) ( x)
f
(
k
)
(
x)
−
T (k n
一、带有佩亚诺型余项 的泰勒公式
二、带有拉格朗日型余项 的泰勒公式
三、在近似计算中的应用
*点击以上标题可直接前往对应内容
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
设 f ( x) 在 x = x0 处可导, 由有限增量公式 f ( x=) f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )，
设
Pn ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + + an ( x − x0 )n ,
则
P (x ) = a ,
n0
0
P′( x ) = a , P′′( x ) = 2!a ,
n0
1
n0
2
,
Pn(n)( x0 ) = n!an ,
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
几个常用的泰勒公式展开式
几个常用的泰勒公式展开式泰勒公式是数学中的一个重要的公式，可用于将一个光滑函数在其中一点的邻域中展开成无穷级数的形式。
常用的泰勒公式展开有以下几种：1.常函数展开：设函数f(x)=c，其中c为常数，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+0(x-a)+0(x-a)²+...2.指数函数展开：设函数f(x)=eˣ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...3. 正弦函数展开：设函数f(x) = sin(x) ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!-...4. 余弦函数展开：设函数f(x) = cos(x) ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!-...5. 对数函数展开：设函数f(x) = ln(x) ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)²/2+f'''(a)(x-a)³/3-...以上是几个常用函数的泰勒公式展开式。
这些展开式可以用于近似计算，特别是在无法直接计算函数值时，可通过泰勒展开来近似计算。
通过不断增加展开项的数量，可以提高计算的精度。
同时，泰勒展开还在物理学、工程学和数学中有着广泛的应用。
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e 3 3 则 Rn ( x ) 10 (n 1)! (n 1)!
因而
(n 1)! 3000
由 6! = 720 , 7! = 5040 , 得 n = 6
1 1 1 1 1 e 1 1 2.718 2 3 4 5 6 ！ ！ ！ ！
高等数学（上）
( n 1 )
0 ( n→∞)
高等数学（上）
二、麦克劳林(Maclaurin)公式
在泰勒公式中取 x0 0 , 则 f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n! ( n 1 ) f (x ) n1 x (0 1)（Lagrange型余项） ---( n 1)!
得
即
1 (k ) a k f ( x0 ) k!
( k 0,1,2,, n)
f ( n ) ( x0 ) Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )n n! 证明:
高等数学（上）
证:
用归纳法证:
设
f ( x) Pn ( x) o(( x x0 ) ).
高等数学（上）
M n 1 x 此时误差 Rn ( x ) ( n 1)!
三、几个初等函数的麦克劳林公式
f ( x ) e x 的 n 阶麦克劳林公式 . 例1 写出
解 f
( n)
( x ) e
2
x ( n)
e
x
(0) f (0) f ( n) (0) 1 f (0) f
o( x )
高等数学（上）
2
4
2n
2n
例3 求 f (x) = ln(1+x) 的 M－公式 .
f
(k )
(0) (1)
k 1
(k 1)! 1,2,, n) (k k (1 x) x0
k 1
(1) (k 1)!
(0) ( 1) 因此 k! k 2 3 n 1 x x ( 1) n n ln(1 x ) x x o( x ). 2 3 n f
1 2 n n 1 x x x o x 1 x
(k )
高等数学（上）
k 1
例4 求
f ( x) (1 x)
的 M－公式 0) ( 1)( k 1)(1 x )
( 1)( k 1) 1,2,, n) (k
(1 x ) 1 x
高等数学（上）
第三节 泰勒（Taylor）公式 一、问题的提出
设 f ( x ) 在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 问题: 能否找到一个 n 次多项式
Pn ( x) a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 )
高等数学（上）
x 设 f ( x ) 在区间 I 上具有 n+1 阶导数， 0 I，
多项式 ( n) f ( x0 ) n ( x0 )( x x0 ) Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x x0 ) n! 称为 f ( x )在x0处 n次Taylor多项式,公式(1)称为 f ( x ) 按 ( x x0 ) 的幂展开的 n阶泰勒公式， Rn ( x ) 称为拉格朗日型余项 . 注 1) n = 0 时 , 得到 Lagrange 中值定理 . 因此 Taylor公式是 Lagrange 定理的推广 . 2) n = 1 时 ,泰勒多项式是微分近似计算公式 .
g ( x0 ) g ( x0 ) g ( x0 ) 0,
( n 1)
g
高等数学（上）
( x ) (n 1)!
根据柯西中值定理有
Rn ( x ) Rn ( x ) Rn ( x0 ) Rn (1 ) g ( x) g ( x ) g ( x0 ) g (1 )
（ 介于 x 0和
x 之间）
高等数学（上）
*误差分析
f ( x ) Pn ( x ) Rn ( x )
f ( x ) Pn ( x )
绝对误差：若 f (n+1) 在区间Ｉ上有界 Ｍ , 则有
f ( ) M n 1 n 1 Rn ( x ) ( x x0 ) x x0 ( n 1)! ( n 1)!
设函数 f ( x ) 在 x0 处 n 阶可导 , 则 f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
f
n
(n)
( x0 ) n n ( x x0 ) o(( x x0 ) ). n!
2
n
f ( x ) 并使误差为 ( x x0 )n 的高阶无穷小? 来逼近
高等数学（上）
即
f ( x) Pn ( x) o(( x x0 ) ).
n
f ( x) Pn ( x) 0.(k 0,1,2,, n) 亦即 lim k x x0 ( x x0 ) 设函数 f ( x ) 在 x0 处 n 阶可导
y f ( x ) f ( x0 ) dy f ( x0 )( x x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) y dy o( x x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
2
q
q 1
（0<θ <1） → 1<eθ<e<3,
上式同乘以q！，移项： 是整数，这是不对的。
高等数学（上）
例2 求 f (x) = sinx 的 M － 公式 .
f
(k )
(0) sin(x k ) (k = 0 , 1 , 2 , … , n) 2 x 0
k sin 2
n
设 P ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) f ( x0 ) ( x x )k n 0 0 0 0
k! a k 1 ( x x0 )
k 1
令 : x x0 , 有a0 f ( x0 )
k
a k 1
f k ( x0 ) k f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) k! lim k 1 x x0 ( x x0 )
( n) (0) 2 f f ( 0) n x x 或 f ( x ) f (0) f (0) x 2! n!
o( x )
n
---- （Peano型余项）
由此得近似公式 f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n!
( n) Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn( x0 ) Rn ( x0 ) 0
( x x0 ) n 1
f ( ) (n 1)!
( n 1)
Rn
( n 1 )
( x) f
( n 1 )
( x)
(n)
令 g（x）= ( x －x0 )n+1 , 则
② 可以证明 e 是无理数 .
证明： 反证，设 e 不是无理数，则 e 是有理数.
p 设 e q ，展开ex 至q阶:
x
x x x x e 1 x e 2! q ! ( q 1)! e 1 1 令x=1: e 1 1 2! q ! ( q 1 )! e 得 q1
( n 1) Rn ( x ) Rn ( ) f ( ) ( n 1) g ( x) g ( ) (n 1)!
x0 n x0
( n 1)
（ 介于 n 和
x0 之间，因而也介于 x0 和 x 之间）
( n 1 )
f ( ) n 1 所以 Rn ( x ) ( x x0 ) ( n 1)!
( 1)
2! ( 1)( n 1) n n x o( x ) n!
高等数学（上）
x
2
1
1 得到 f ( x ) 的 n 阶麦克劳林公式 . 1 x
1 2 n n n 1 x x ( 1) x o x 1 x
a n ( x x0 )
n
用k次洛必达法则
高等数学（上）
f ( k ) ( x ) f ( k ) ( x0 ) 1 1 lim f ( k 1) ( x0 ) ( k 1)! x x0 x x0 ( k 1)!
1 (k ) ak f ( x0 ) k!
( 1 介于 x 0 与
x 之间)
再次由柯西中值定理有
Rn (1 ) Rn (1 ) Rn ( x0 ) Rn(2 ) g (1 ) g (1 ) g ( x0 ) g (2 )
（ 2 介于 x0和
高等数学（上）
1之间）
如此下去,经过n＋1次后，得
(k )
k 0
高等数学（上）
f
( x0 ) k n ( x x0 ) o(( x x0 ) ). k!