非线性悬架系统建模与仿真研究

－ 1）
D2
2 m u2 （ 3 σ 2 u2 + m u2 ）
+ a3 · （ z1 － （ 15 ）
λ
* 22
3 εk （ A （ 2 ） － 1 ） 2 = （ σ2 u2 + m u2 ） D2
（ 12 ）
z0 ）
2
+ r · u （ t） ］ dt
2
a2 ， a3 为加权系数 ， 式中 ： a1 ， 可根据对性能指标各 分量的要求程度不同而定 。 ¨2 z 因为 Y = z1 － z0 ， 所以二次型目标函数为 z2 － z1
－ （ A （ 1） － 1 ） （ A （ 2） － 1 ） 3 3 ε · ku1 ； G 2 = ε · ku2 ； Q 1 = D1 D2 k1 k1 z （ t） ； Q2 = z0 （ t） 。 D1 0 D2
2011 年 3 月
成
洁 ： 非线性悬架系统建模与仿真研究
65
（ 1） A （ 2） 分 别 为 系 统 的 2 个 主 振 型 ； D1 ， D2 式 中： A ，
（ 1）
式中 ： F s 为弹簧回复力 ； k 为弹簧刚度 ； x 为弹簧位 移； ε 为 一 表 示 弹 簧 非 线 性 程 度 的 小 参 数， ε =0 时， 该弹簧为线性 。 其力 － 位移关系曲线如图 1 所示 。
选取车身加速度 、 车轮动 位 移 、 悬架动扰度 3 2， y2 = x3 － z0 ， 个性能指标作为输出变量 ， 即 y1 = x
m 2 为簧载质量 ， m 1 为非簧载质量 ， k1 为 图中 ， c2 为减振器粘性阻尼系数 ， z2 为簧载质 轮胎刚度 ， z1 为非簧载质心垂直位移 ， z0 为路面 心垂直位移 ， F （ z2 － z1 ） 为非线性弹性力 。 系统的运 不平激励 ， 动微分方程为 ¨ m 2 z 2 + c2 （ z 2 － z 1 ） + k （ z 2 － z 1 ） + 3 ε· k （ z2 － z1 ） = 0 （ 2） ¨ 1 － z 2 ） + k1 （ z1 － z0 ） － k （ z2 － z1 ） － m 1 z 1 + c2 （ z 3 ε· k （ z2 － z1 ） = 0 2 ， ¨ 2 分别为簧载质心的速度和加速度 ； z 1 ， ¨ z z1 式中 ： z
第 13 卷 第 3 期 2011 年 3 月
军 事 交 通 学 院 学 报 Journal of Military Transportation University
Vol． 13 No． 3 March 2011
● 车辆工程
Vehicle Engineering
非线性悬架系统建模与仿真研究
成 洁
高要求 。 传 统 的 线 性 被 动 悬 架 虽 然 结 构 简 单 ， 但 其结构参数 无 法 随 外 界 条 件 变 化 ， 因而极大地限 制了悬架性能的提高 。 主动悬架通过采用激励器 取代被动悬 架 的 弹 性 和 阻 尼 元 件 ， 组成一个闭环 控制系统 ， 根据汽车的运动状态和当前激励大小 使其始终处于最佳工作状态 。 主动做出反应 ， 本文通过 对 线 性 被 动 悬 架 模 型 、 非线性被动 悬架模型和 非 线 性 主 动 悬 架 模 型 的 建 摸 与 仿 真 ， 分析其动态特性 ， 并比较其对行驶平顺性的影响 。
T y3 = x1 ， y1 ， y2 ， y3］ 。 其中 ， x3 － z0 = z1 － 且令 Y = ［
z0 ， 乘以 k1 后为车轮动 载 荷 ； x1 = z2 － z1 为 悬 架 动 扰度 。 采用统计线性化方法
¨ · ［2］
对非线性微分方程进
行求解 。 将式 （ 2 ） 写成矩阵形式为 ［ M］ ｛ Z｝ + ［ C］ ｛ Z｝ + ［ K］ ｛ Z｝ + ｛ F｝ = ｛ Y｝ （ 7） C］ = 式中： ［
就是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次 型目标函数达到最小
［4］
为正则化因子 。 此时 ， 方程解耦 ， 原方程组转化为 2 个独立单 自由度系统方程 。 令 G 1 ≈ λ
* 22 * 11
。
对于本文所研究的二自由度非线性悬架系统 模型 ， 可运用 统 计 线 性 化 方 法 将 其 转 化 为 等 效 线 即利用式 性化模型 ， ke = 1， 2 ） y］ E［ F （ y1 ， y2 ， y y E［ y2］ （ 14 ）
{
式 中 ： β1 =
¨ 1 + β1 u 1 + ω2 u 1 u1 + G 1 = Q1 （ t） ¨ 2 + β2 u 2 + ω2 u 2 u2 + G 2 = Q2 （ t）
（ 10 ）
（ A （ 1） － 1 ） 2 c （ A （ 2） － 1 ） 2 c ； = ； G1 = β 2 D2 D2 1 2
（ 2）
（ 1）
）
（ 11 ）
求出系统的等效线性化刚度 ， 代入原系统模型 ， 即 完成了 模 型 的 转 变 。 因 为 要 使 百度文库 出 性 能 达 到 最 所以优化指标表述为 优，
∞ J=∫0 ［a1 · z2 2 + a2 · （ z2 － z1 ） 2
2 （ σ2 u1 + m u1 ）
* λ 12 =
Abstract： This paper studied the dynamic performance of traditional linear － passive suspension，non － linear － passive suspension and non － linear － active suspension． It established dynamic model of suspension system，analyzed the solution of non － linear spring suspension based on statistic linearization method，and then MATLAB / Simulink simulation was applied to simulate the suspension model． Simulation results show that an non － linear spring suspension model suits vibration reality better than a linear one，non － linear active control suspension that uses linear quadratic optimal control regularity can provide the better riding comfort and handling stability． Keywords： non － linear； statistic linearization； active suspension； simulation
（ 武警工程学院 装备运输系， 西安 710086 ）
摘
要：对传统线性被动悬架、 非线性被动悬架和非线性主动悬架的动态特性进行了研究 。首先建
采用统计线性化方法对非线性弹簧悬架进行求解； 然后利用 MAT立了悬架系统的动力学模型， LAB / SIMULINK 工具箱对悬架模型进行动力学仿真 。 仿真结果表明， 非线性弹簧悬架模型比传统 线性悬架模型更符合实际悬架系统的振动运动 ， 而采用基于线性二次型最优控制方法的主动控制 非线性悬架则能获得更好的行驶平顺性和操纵稳定性 。 关键词：非线性； 统计线性化； 主动悬架； 仿真 中图分类号：U463． 33 文献标志码：A 文章编号：1674 － 2192 （ 2011 ） 03 － 0063 － 05
收稿日期：2010 － 11 － 04 ； 修回日期：2010 － 12 － 03． 作者简介：成 洁（ 1976 — ）， 女， 硕士， 讲师．
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军
事
交
通
学
院
学
报
第 13 卷
第3 期
1
1． 1
汽车悬架系统动力学模型的建立
基于统计线性化方法的 非 线 性 被 动 悬 架 模 型 本文采用 1 /4 车辆模型分析车辆特性 。 如前
+ λ u10 ， G2 ≈ λ
* 21
* 12
+
2， 3 ） 为待定系数 。 根据统计线性 λ u20 ， λi （ i = 1， 化方法
{ {
λ
* 11
（ 1） εk （ 1 － A ） 2 = m u1 （ 3 σ 2 u1 + m u1 ） D1
* λ 21 =
3 εk （ 1 － A D1 εk （ A
Modeling and Simulation of Nonlinear Automibile Suspension System
Cheng Jie （ Equipment Transportation Department， Engineering College of Armed Police Force，Xi’ an 710086 ， China）
悬架作为现代汽车重要的总成之一 ， 对汽车 行驶平顺性和操纵稳定性起着关键性作用 ， 因此 ， 研究悬 架 的 动 态 特 性 至 关 重 要 。 在 以 往 的 研 究 中， 大多数研 究 者 将 悬 架 振 动 运 动 视 为 线 性 系 统 进行建模和 研 究 ， 事实上汽车悬架是典型的非线 如弹簧和轮胎的非线性刚度特性 、 减振器 性系统 ， 的不对称阻尼特性以及车轮的跳空现象等 。 因此 研究悬架的非线性特性更符合悬架的实际情况 。 随着车速的提高 ， 汽车对悬架性能提出了更
∞ J=∫0 ［ Y T QY + u（ t） T Ru（ t） ］ dt
因此 ， 式 （ 9 ） 经线性化后变为 2 * ¨ u 10 + β1 u 10 + ω 1 （ u10 + m u1 ） + λ 21 u10 + k1 * λ 11 = （ z ＇0 （ t） + m z0 ） D 1 （ 13 ） ¨ 2 * u 20 + β2 u 20 + ω 2 （ u20 + m u2 ） + λ 22 u20 + k1 * λ 12 = （ z ＇0 （ t） + m z0 ） D2 式中 ： m z0 为激励 z0 （ t） 的均值 ； z ＇0 （ t ） 为中心化了的 随机激励 。 u20 ， 这样可依 次 求 出 u10 ， 进而得到方程的近 似解 。 1． 2 基于线性二次型最优控 制 的 非 线 性 主 动 悬 架模型 主动悬架系统的的力学模型如图 3 所示 。 图 U 为激励器产生的控制力 ， 中加设了一个激励器 ， 大小根据系统的状态变量调节 。
（ 8）
T 将其代入式 （ 7 ） ， 等式两边左乘 ΦN 得 T ¨ ｝ + ΦT ｝ + ΦT M］ C］ΦN ｛ u K］ΦN ｛ u ｝ ΦN［ ΦN ｛ u N［ N［
+ ΦT F］= ΦT N［ N ｛ Y｝
图2 非线性被动悬架振动模型
（ 9）
其中 ， 矩 阵 ΦN 与［M］及［K］正 交 ， 但不同时与 ［ C］ 正交 。 在实际工程应用中 ， 对小阻尼系统 ， 在 近似计算中可将非主对角元素略去 ， 因此 ， 式（ 8） 可写成
图1 变刚度弹簧力 － 位移曲线
1 0
图 2 为悬架系统的力学模型 。
[ －c c ] k z （ t） ｛ Y｝ = [ ]。 0
c －c
； ｛ F｝ =
[ εk （ z － z ） ] ；
－ εk （ z 2 － z 1 ）
3 2 1 3
做坐标变换 ， 得
式中 ： ｛ u｝ =
( )
u1 u2
｛ Z ｝ = ΦN ｛ u ｝ 为系统的正则坐标矢量 。
分别为非簧载质心的速度和加速度 。 2 ， x2 = z x3 = z1 ， x4 = 选取状态变量 x1 = z2 － z1 ，
T 1 ， z x1 ， x2 ， x3 ， x4］ 。 则有 且令 X = ［ 1 = x2 － x4 x
（ 3） （ 4） （ 5）
2 = － x
c2 c2 1 x2 + x4 + F （ z2 － z1 ） m2 m2 m2 3 = x4 x
所述 ， 汽车中存在许多非线性因素 ， 这里只考虑悬 架弹簧的非线性刚度特性 。 变刚度弹簧的回复力 － 位移关系可表示为［1］ F s = k · x + ε · kx
3
4 = x
c2 k1 c2 k1 1 x2 － x3 － x4 + z0 + F （ z2 － z1 ） m1 m1 m1 m1 m1 （ 6）