材料力学习题解答2

N1 = 2 N2 cos 45o = 2 N2
N1为压力，N2为拉力
协调方程 物理方程
∆L2 = ∆L1 cos 45o =
∆L2 =
2 ∆L1 2
N2 N1
N2
补充方程
N2 2l EA N l ( F − N1 )l ∆L1 = − 1 + EA EA F N1 + N2 = 2
∆L2
∆L1
∆L2
解： 平衡方程： N 1 a = N 2 ⋅ 2 a 平衡方程：
N1 = 2N 2 2 ( δ − ∆ l1 ) = ∆ l 2 N a N 2a 物理方程： 物理方程： ∆ l1 = 1 ∆ l2 = EA EA N a N 2a 2 (δ − 1 ) = 补充方程： 补充方程： EA EA
N1 N
M z = ∫ σ (1) y d A1 + ∫ σ ( 2 ) y d A2 = σ (1) ∫ y d A1 + σ ( 2) ∫ y d A2 = 0
A1 A2 A1 A2
σ (1 ) S y 1 + σ ( 2 ) S y 2 = 0
σ (1 ) S y 1 + σ ( 2 ) S y 2 = 0
σ (2) =
FL ∆L = b ( 2 E1a + E 2 h )
3．如图所示桁架结构，各杆的抗拉刚度均为 EA 载荷 ， F 为已知。试求各杆中的轴力。 解： 平衡方程: N1 = 2 N3 平衡方程:
N2
2 2 N2 + N3 = P 2
N2a ∆L2 = EA
N1
N3
协调方程： ∆L2 = 2∆L3 + ∆L1 协调方程：
RC
受拉区 a 受压区
y
N 2 ( y ) = RB − ρgAy
x
N 1 ( a ) = R C − ρ gAa = 0
b
N 2 ( b ) = R B − ρ gAb = 0
RC = ρ gAa
R B = ρ gAb
W1
R FB RC
x
N2 W2
N 1 ( x ) = ρ gA ( a − x )
4．如图所示结构各杆的抗拉刚度 EA 相同。（1）求 各杆的轴力。（2）节点 A 的竖向位移。
N1 = 2N 2
F N1 + N2 = 2
2F N1 = (压） 2(1 + 2 ) F N2 = (拉） 2(1 + 2 )
N2 N1
N2
N AB
2− 2 = F (压） N2 = 2
N BC = F − N AB
解： 载荷作用下杆件中的应力
N 1 ' a + N 2 '⋅ 2 a = F ⋅ 3 a
N 1 '+ 2 N 2 ' = 3 F
N1 'N ' 2
∆ l 2 ' = 2 ∆ l1 '
∆ l1 ' = N1'a N 2'a ∆ l2 ' = EA EA N 2 '= 2 N1' 3 F 5 N 2'= 6 F 5
y RB
N 2 ( y ) = ρgA(b − y )
N1
5．如图所示两端固定的立柱其密度为 ρ，立柱材料的 ． E 弹性模量在拉伸时为 ，t 压缩时为 E C 立柱横截面面 ， A 积为 ，长度为 ，试确定立柱仅在自重作用下两固 L 定端的约束反力。 定端的约束反力。 解： ∆ l = 1
∆ l2 =
解： （2）提高的百分点 ）
σ (1 ) ' = σ
max
σ max
E2 h F2 = F1 E1a E1a F1 = F 2 E1a + E 2 h F2 = E2 h F 2 E1a + E 2 h E1 A1 E2 h (2 + ) F1 = F E1a ∆L2 = F2 L E 2 A2
F
L
E F E1 2 E1
b
a h a
a
F
F1
h
a
F1
F2
σ (1)
FE1 = b ( 2 E1a + E 2 h ) FE 2 b( 2 E1a + E 2 h )
ε=
FN F = E1 A1 + E 2 A2 bh ( E1 + E 2 )
σ (1) =
E1 F ⋅ E1 + E 2 bh
σ (2) =
E2 F ⋅ E1 + E 2 bh
1．如图所示，矩形截面杆件由两种不同材料牢固粘 E 接而成，1 > E 2 ，杆件只产生拉伸变形时，求：（1） 载荷 F 作用的位置。（2）杆件横截面上的应力计算 公式。 y 解法2 解法2：
y z
= ∫ σz d A = 0 =
F
∫
A
F E 1 E2
h b
e
z
A
σy d A = 0
几何关系：ε = C 物理关系：σ (1) = E1ε σ ( 2) = E2ε 物理关系： 几何关系：
M y = ∫ σ (1) z d A1 + ∫ σ ( 2 ) z d A2 = σ (1) ∫ z d A1 + σ ( 2) ∫ z d A2 = 0
2
几何方程： 几何方程：
4 EA δ N1 = 5a
N2
2 EA δ = 5a
装配应力： 装配应力： N 4Eδ σ (1 ) = 1 = A 5a N 2Eδ σ (2) = 2 = A 5a
（拉）
（压）
CB 6．如图所示结构， 是水平刚性横梁，不计其重量。1、2号 ．如图所示结构， 是水平刚性横梁，不计其重量。 、 号 杆的材料和横截面面积均相同， 杆的材料和横截面面积均相同，材料的弹性模量为E ，截面 为提高结构的许可载荷， 面积为 A，许用应力为[σ ]。为提高结构的许可载荷，可以将 δ 1号杆的长度加工的比设计尺寸略短 ，然后再装配起来。 然后再装配起来。 号杆的长度加工的比设计尺寸略短 。（2） （1）求最合理的 δ 值。（ ）处理后的许可载荷[ F ' ]比不处 ） 提高了多少个百分点？ 理的许可载荷 [ F ]提高了多少个百分点？
h E1 − E 2 2 E1 + E 2
A2
S y1 = S y 2 = 0
y
载荷作用在y 载荷作用在y轴上 载荷作用的位置： e = ⋅ 载荷作用的位置：
E 1 E2
h
e
z
FN = ∫ σ d A = ∫ σ (1) d A1 + ∫ σ ( 2 ) d A2
A A1
h b
= σ (1) A1 + σ ( 2 ) A2 = ( E1 A1 + E 2 A2 )ε
材料力学习题解答2 材料力学习题解答 拉伸与压缩
1．如图所示，矩形截面杆件由两种不同材料牢固粘 E 接而成，1 > E 2 ，杆件只产生拉伸变形时，求：（1） 载荷 F 作用的位置。（2）杆件横截面上的应力计算 公式。 y 解法1 解法1：
FN = ∫ σ d A
A
h
静力学关系： 静力学关系：
M M
2 −1 F (拉） 2
2 F (拉） = 2
5．如图所示两端固定的立柱其密度为 ρ，立柱材料的 ． 弹性模量在拉伸时为E t ，压缩时为 E C ，立柱横截面面 积为 A ，长度为L ，试确定立柱仅在自重作用下两固 定端的约束反力。 定端的约束反力。 解：
N 1 ( x ) = R C − ρ gAx
∫
a
0
∫
b
0
Et ρg ∆ l2 = Ec
∆ l1 = ∆ l 2
∆ l1 =
ρg
N1(x) d x Et A N 2 ( y) d y Ec A
RC
拉伸量
受拉区
压缩量
a 受压区
y
x
∫
a
0
∫
b
0
2 Et ρg 2 (b − y ) d y = b 2 Ec
RC
(a − x) d x =
ρg
a2
b
R FB
RC
a+b = L
受拉区 a 受压区
y
1+
L Et / Ec L b = Et / Ec 1 + Et / Ec
x
b
RC =
ρ gAL
1+ Et / Ec
Et / Ec Et / Ec
压力 拉力
RC
R FB
N2
x
RB =
ρ gAL
1+
W1 N1
W2
y RB
CB 6．如图所示结构， 是水平刚性横梁，不计其重量。1、2号 ．如图所示结构， 是水平刚性横梁，不计其重量。 、 号 杆的材料和横截面面积均相同， 杆的材料和横截面面积均相同，材料的弹性模量为E ，截面 为提高结构的许可载荷， 面积为 A，许用应力为[σ ]。为提高结构的许可载荷，可以将 δ 1号杆的长度加工的比设计尺寸略短 ，然后再装配起来。 然后再装配起来。 号杆的长度加工的比设计尺寸略短 。（2） （1）求最合理的 δ 值。（ ）处理后的许可载荷[ F ' ]比不处 ） 提高了多少个百分点？ 理的许可载荷 [ F ]提高了多少个百分点？
Na 物理方程: 物理方程: ∆L1 = 1 EA
∆L3
∆L1
2∆L3
∆L1
∆L3 =
N3 a 2 EA
∆L2
45
o
补充方程: 补充方程:
N1 =
N2 = 2N3 + N1
3− 2 N2 = P 2