1.1.1.任意角ppt

知识探究（一）：角的概念的推广 思考1：对于角的图形特点有如下两种认 识：①角是由平面内一点引出的两条射 线所组成的图形（如图1）；②角是由平 面内一条射线绕其端点从一个位置旋转 到另一个位置所组成的图形（如图2）. 你认为哪种认识更科学、合理？
图1
图2
在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
x
终边
y o
终边
x 始边 终边
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
终边
要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
思考2：如果角的终边在第几象限，我们 就说这个角是第几象限的角；如果角的 终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任何象限.那么下列各角：-50°，405°， 210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？
小结：
1.任意角 的概念
2.象限角
正角：射线按逆时针方向旋 转形成的角 负角：射线按顺时针方向 旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角

＋K· 0，K∈Z 360
作业：
P8 习题1-2 ：2.3.
顶 点 边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 终边
顶 点 A
始边
思考2：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.一般地，一条射线 绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋 转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 所形成的角，与按顺时针方向旋转600所 形成的角是否相等？
思考8：如果α 是第二象限的角，那么 2α 、α /2分别是第几象限的角？
90°＋k· 360°<α<180°＋k· 360° 180°＋k·720°<2α<360°＋k·720° 45°＋k· 180°<α/2<90°＋k· 180°
理论迁移
例3：写出与下列各角终边相同的角的集s， 并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来 （1） 600 （2）Fra Baidu bibliotek210 （3）363014’
思考5：在直角坐标系中，135°角的终 边在什么位置？终边在该位置的角一定 是135°吗？
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y －392° 328° x o －32°
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个 这些角与－32°角在数量上相差多少？ 思考3：所有与－32°角终边相同的角， 连同－32°角在内，可构成一个集合S， 你能用描述法表示集合S吗？ 思考4：一般地，所有与角α 终边相同的 角，连同角α 在内所构成的集合S可以怎 样表示？ S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}，即任 一与α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和.
思考3：为了区分形成角的两种不同的旋 转方向，可以作怎样的规定？如果一条 射线没有作任何旋转，它还形成一个角 吗？
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它 形成了一个零角.
逆时针
定义：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
问题提出
1.角是平面几何中的一个基本图形，角 是可以度量其大小的.在平面几何中，角 的取值范围如何？ 2.体操是力与美的结合，也充满了角的 概念．2002年11月22日，在匈牙利德布 勒森举行的第36届世界体操锦标赛中， “李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180 度接直体前空翻转体900度”，震惊世界， 这里的转体180度、 转体900度就是一个 角的概念.
第 一 单 元
1.1.1任意角
教学目标：1.通过实例的展示，使学生理解角概念推广 的重要性，理解正角、零角、负角、象限角、终边相同 的角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此认识 理解推广后的角概念。 2.正确认识几个角的表示方法。 3.通过类比正角、负角的规定，让学生认识正角、负角 并体会类比、数形结合等思想方法的应用，为今后学习 打基础。 教学难点：1.将初中的角推广到任意角、终边相 同的角、象限角的集合。 2.用集合表示各种角。
思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴 正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k· 360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k· 360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k· 360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k· 360°，k∈Z . 思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分 别如何表示？ 终边在x轴上：S={α|α=k· 180°，k∈Z} 终边在y轴上：S={α|α=90°＋k· 180°， k∈Z}.
零角：射线不作旋转时形成的角
记法：角 或 ，可简记为

思考4：度量一个角的大小，既要考虑旋转方 向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的 范围就扩展到了任意大小. 对于α ＝210°， ＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这 些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
B2 α O β A
思考5：如果你的手表慢了20分钟，或快 了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多 少度才能将时间校准？ －120°，450°.
思考6：任意两个角的数量大小可以相加、 相减，如 50°＋80°=130°， 50° －80°=－30°，你能解释一下这两个式 子的几何意义吗？ 以50°角的终边为始边，逆时针（或顺 时针）旋转80°所成的角.
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形 900 +K y · 0 360
1800
+K·3600
o
x 或3600＋K · 0 360 +K·3600
00 +K
·3600
2700
例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
思考7：一个角的始边与终边可以重合吗？ 如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k· 360°（k∈Z）
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意角，角的终边 可能落在哪些位置？ y o
思考7：第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示？
第一象限：S={α | k· 360°<α< 90°＋k· 360°，k∈Z}； 第二象限：S={α | 90°＋k· 360°<α< 180°＋k· 360°，k∈Z}； 第三象限：S={α | 180°＋k· 360°<α< 270°＋k· 360°，k∈Z}； 第四象限：S={α | －90°＋k· 360°< α<k· 360°，k∈Z}.
y
x o －50° o 405°
y
210° x
y
y
y x －450° x o
x
o o －200°
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑 关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑 关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？ 思考4：第二象限的角一定比第一象限的 角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不 能反映角的大小.
3.过去我们学习了0°～360°范围的角， 但在实际问题中还会遇到其他角．如在 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中， 常常听到“转体10800”、“转体12600” 这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺 丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照 不同方向旋转所成的角，不全是0°～ 3600范围内的角.因此，仅有0°～360° 范围内的角是不够的，我们必须将角的 概念进行推广.
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的 角？ （1）-60°（2）585 °（3） -950 ° 12' 解（1）-60°=-360 °+300° 所以与-60°角终边相同的角是300°角， 它是第三象限角。
（2）585°=360°+225°
所以与585°角终边相同的角是225°角， 它是第四象限角。 （3）-950°12’ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°48 ’ 角，它是第二象限角。