事件的独立性、伯努力实验

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Ch1-5 事件的独立性和伯努力概型

所以，Φ与Ω 独立且互斥。不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，请看下列两个练习。设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0， 2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,„, An 相互独立, 则
P( A1∪…∪An ) 1 P( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
k =0,1,2,…,n 证明与前面的例3类似
小概率事件
—— 若P(A) 0.01 则称A为小概率事件
小概率原理
——一次试验中小概率事件一般是不
会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
女士品茶的故事
• 那是20世纪20年代后期，在英国剑桥一个夏日的午后，一群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称：把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的 “胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象，仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化学反应。然而，在座的一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个问题很感兴趣。 • 他兴奋地说道：“让我们来检验这个命题吧！”并开始策划一个实验。在实验中，坚持茶有不同味道的那位女士被奉上一连串的已经调制好的茶，其中，有的是先加茶后加奶制成的，有的则是先加奶后加茶制成的。

2012独立事件,伯努利试验

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例2
每门高射炮击中飞机的概率都为0.6
若有一架敌机入侵，想要以99%以上的概率击中它，至少需要多少门高射炮?
解
设 Ak 第 k 门高射炮发射一发炮弹击中飞机 ,
k 1, 2...... ,则 Ak 之间相互独立 ,且 P Ak 0.6 ,于是
故事件A、B独立.
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前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见
P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.
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两事件相互独立的性质
两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的
若 P( A) 0, 则P( B) P( B A) 若 P( B) 0, 则P( A) P( A B)
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请同学们思考
两两独立
?
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若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立
则
P A1 A2 An
1 P A1 A2 An
1 P A1 A2 An

1 P A1 P A2 P An
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1-5事件的独立性与伯努利概型

例 6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为 2% ， 3% ， 5% ，假设各道序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2,3),则来自A A1 A2 A3
P(A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 )
,P ( Ai ) pi , i 1,2 , , n, Ai 第i个元件正常工作
串联系统的可靠性
由n 个元件串联而成的系统,只要有一个元件失效,该系统就失效.因此串联系统的可靠性为:
P串 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p1 p 2 p n
P (1 105 ) 520
1 520 105 0.9948
例8 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,一人射中飞机被击落的概率为0.2, 两人射中飞机被击落的概率为0.6,三人射中,则飞机被击落.求飞机被击落的概率. 解设 A {飞机被击落 }, Bi {飞机被i个人击中 }, i 1,2,3
例1 掷两次硬币,观察其出现正面H和反面T的情况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} 所以
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4, P(B|A)=1/2, P(AB)=1/4
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9 设由5个元件组成的系统如图1所示, 元件的可靠性分别为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ,

1.5 事件的独立性

二、有限个事件的独立性
定义2 定义设 A、B、C 为三个事件，、、为三个事件，若满足等式
P ( AB ) = P ( A) P ( B ), P ( AC ) = P ( A) P (C ), P ( BC ) = P ( B ) P (C ), P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ),
乙最终获胜的概率相同. 种赛制甲,乙最终获胜的概率相同.
三、伯努利概型
如果随机试验只有两种可能的结果：如果随机试验只有两种可能的结果：记为发生(记为或事件事件 A 发生记为 A )或事件 A 不发生(记为 A ), 试验. 则称这样的试验为伯努利 (Bernoulli) 试验则称这样的试验为伯努利设
性质3 性质
设 A1 , A2 ,L, An 是 n( n ≥ 2) 个随机事件，个随机事件，
相互独立，可推出 A1 , A2 ,L, An 则 A1 , A2 ,L, An 相互独立，两两独立. 反之不然两两独立反之不然. 即相互独立性是比两两独立性更强的性质. 注：即相互独立性是比两两独立性更强的性质
P (D ) = P ( A1 U A2 U A3 U A4 ) = 1 − P ( A1 U A2 U A3 U A4 )
= 1 − P ( A1 U A2 U A3 U A4 )
= 1 − P ( A1 A2 A3 A4 )
= 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 )
相互独立. A与 B 相互独立
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 例 1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记抽到的牌是黑色的}, 抽到 , 抽到的牌是黑色的 A = {抽到 K }, B = {抽到的牌是黑色的 , 问事件

事件的独立性和伯努利试验

n
n
n
P C P( Ak Bk )
P(
Ak
)P(Bk
)
(
6 25
)n
Cnk
Cnk n
(
6 25
)n
Cn2n
.
k 0
k 0
k 0
谢谢聆听
定义 1.7 设 A, B,C 是三个事件,如果有 P(AB) P(A)P(B) , P(AC) P(A)P(C) , P(BC) P(B)P(C) ,
则称事件 A, B,C 两两独立,若同时还有 P(ABC) P(A)P(B)P(C) ,
则称事件 A, B,C 相互独立.
注：相互独立的事件一定是两两独立的,反之不成立.
定理 1.5 在 n 重伯努利试验中,设每次试验中事件 A 发生的
概率为 p (0 p 1) , 则在 n 次试验中,事件 A 恰好发生 k 次的
概率为
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , k 0, 1, , n ．
证明记 Ai {第 i 次试验中事件 A 发生} , i 1, 2, , n .在 n
1 2
，
1 P( A1A2 ) P( A1A3) P( A2 A3) 4 .
由于
P( A1A2
)
1 4
P( A1)P(
A2
)
,
P( A1A3)
1 4
P(
A1)P( A3)
,
P( A2
A3 )
1 4
P( A2
)P(
A3 )
,
因而 A1, A2 , A3 三个事件两两独立.
又知
P( A1A2
A3 )
一般地, 任意 n 个事件 A1, A2 , , An ,若对任意的 k (1 k n ) 个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik , 1 i1 i2 ik n ,都有

高等数学-概率1.5 独立试验概型

例1、将一枚均匀的硬币，重复抛掷5次，求其中恰有两次出现正面的概率。
解：抛掷5次硬币，恰有两次出现正面， 2 可能的情况一共有 C5 10 种，用 Bk ， k 1, 2,,10 分别表示这10种情况中的一种； Ai 表示 “i 第 i 1, 正次抛掷出2,现 ,5 ； B面”，表示 “P B1 5 次硬 B10 有两次出现正 P B 抛掷 B2 币恰面”。 P B1 P B2 P B10 则
0 3 0
3 0
0.488
例3、甲、乙二人打网球，假定每盘比赛甲胜乙的概率为0.6，乙胜甲的概率为0.4，若采取5盘3胜的比赛规则，问甲胜的可能性有多大？

解：将比赛一盘看成一次试验，比赛5盘就 p 1 是5重伯努利试验， 0.6 ， p 0.4
设 B 表示“甲获胜”，则甲获胜有以下几种可能情况： B1 B2 “甲连胜3盘，总比分3比0获胜”； “前三盘甲2胜1负，第4盘胜，总比 B3 分3比1获胜”； “前4盘甲2胜2负，第5盘胜，总比分 3比2获胜”；
例5、设每门炮击中飞机的概率为0.6，想要以99％的概率击中飞机，问：至少需要多少门炮同时射击？
解：设至少需要 n 门炮同时射击。用 Ai 表示“第i 门炮击中飞机”。
n n n n P Ai 1 P Ai 1 1 0.6 1 0.4 i 1 i 1
事件独立的性质：

A 事件 A 与 B ，A 与 B ，A 与 B ，与 B 中有一对独立，则其余三对也独立。若 P A 0（ P B 0），则 A 与 B 独立的充要条件是 P A B P A ，P B A P B 。必然事件和不可能事件与任何事件都是独立的。若事件 A 与 B 满足 P A P B 0 ，则 A 与 B 独立和 A 与 B 互斥不能同时发生。

第四节独立性

(2) P(CD) P(C) P(D) 1 C9 0.04 0.968 0.04 0.0104.
1 1 0.9610 C10 0.04 0.969 0.0582;
k 2
三、例题讲解
失效率为0.05，各元件是否失效是相互独立的。若有一个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.5，若有两个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.8，若有三个或三个以上元件失效，设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期间不能使用的概率； (2)已知设备不能使用，求是一个元件失效的概率。解：B表示“在保修期间设备不能使用”，
推广设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件, 如果对于任意
k (1 k n), 任意 1 i1 i2 ik n, 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ),
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件 .
例2. 某企业欲通过开发新产品来摆脱目前困境，组织了三个攻关小组独立研制三种新产品，成功的把握分别为60%、50%、60%。求： (1)能研制出新产品的概率； (2)至少有两种新产品能研制成功的概率。解：Ai表示第i个攻关小组成功研制出新产品，则
(1) P(A1 A2 A3 ) 1-P(A1 )P(A2 )P(A3 )
P(A)P(B) P(C) P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)
0.8125；
P(AB) P(C) P(D)-P(ABC) -P(ABD)-P(CD) P(ABCD)
P(ABE) (2) P(AB|E) , P(E)

概率论与数理统计第6节随机事件的独立性和伯努利概型

P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得的n个事件仍然是独立事件。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码，i 1,2,3, B 密码能被破译，显然B A1 A2 A3, 于是有

事件的独立性、伯努利实验

事件的独⽴性、伯努利实验
事件的独⽴性
定义
A的概率不受B发⽣与否的影响
P(A)=P(A|B)
即若A、B独⽴，当且仅当
P(AB)=P(A)P(B)
若事件A和事件B相互独⽴，那么B发⽣不会对A发⽣与否提供任何信息
空集与全集与任意事件都独⽴
独⽴与互不相容
独⽴：A的概率不受B发⽣与否的影响
互不相容：AB=空集
形象化：A、B两⼈独⽴即他们做事不受彼此影响；A、B互不相容即有A没B，有B没A，A、B不会同时出现若P(A)>0,P(B)>0,则AB之间独⽴和互不相容不能同时成⽴
推⼴到三个事件：ABC独⽴：两两相互独⽴，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
啥时候⽤？投篮、射击等前后互不影响的⾏为、若抽象为ABC事件，则需指明彼此相互独⽴
伯努利模型
独⽴实验序列：n个独⽴实验
n重独⽴实验：⼀个实验做n次
伯努利实验：结果只有两种，例如：硬币正反，产品合格与否，射击命中与否
n重伯努利实验：n次，独⽴，实验结果只有两种
定理：A的概率P(0<P<1)
n重伯努利实验中A发⽣k次：
Pn(k)=C(k,n)p k(1−p)n−k
上式称为⼆项式公式
⽽有时⼆项式公式要计算诸如0.99的五百次⽅等难以计算的数据，⼆项式的公式近似计算将在以后提及Processing math: 100%。

1.5独立性及伯努利概型《概率论与数理统计》课件

则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}

伯努利概型与全概公式

3
PB PAi PB | Ai i 1 0.50.95 0.30.92 0.20.90
0.931
概率论与数理统计
23
定理(全概率公式)
完备事件组
若A1, A2 , , An是互不相容互斥的事件
即Ai Aj i j, 且A1 A2 An , PAi 0i 1,2, , n.则对任一事件B有
0.9872 98.72%
由此可知,当应聘者为真正行家时,则其在品尝测试中通过测试的概率为98.72%,即被拒绝的概率仅为1-98.72%=1.28%,也就是说测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率仅为1.28%.
概率论与数理统计
13
(3) 测试方法要使被冒牌者蒙到岗位的概率变小,则测试通过的条件就必定更苛刻,但苛刻条件自然令真正的行家能通过测试的机会变小,即将真正的行家拒之门外的概率变大.
P{k 7} P{k 7} P{k 8} P{k 9} P{k 10}
C170(0.9)7 (1 0.9)3 C180(0.9)8(1 0.9)2 C190(0.9)9(1 0.9)1 C1100(0.9)10
0.0574 0.1937 0.3874 0.3487
概率论与数理统计
4
思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A={抽到K}，B={抽到的是红色的}，问事件A,B是否独立？
分析1：分析2：
P( A) 4 1 , P(B) 26 1 , P( AB) 2 1 ,
52 13
52 2
52 26
从而P( A)P(B) P( AB)，故A, B相互独立。
n

8.4事件的独立性与独立试验概型

例2：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，
独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
解：设A：至少击中两次的概率，则
P( A) 1 P400(0) P400(1)
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972
P( A) 0.003
例3：对某厂产品进行质量检查，据该厂厂长说，他们厂的次品率是0.005，现在随机抽取200件产品进行检查，发现有4个次品，试问该厂厂长的话是否可信？
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.
请问：如图的两个事件是独立的吗？我们来计算： P(AB)=0 而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A B 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥.
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 )P( A2 ) P( A1 )P( A3 ) P( A2 )P( A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=0。0783
方法二： P(A1+A2+A3) 1 P( A1 A2 A3）
1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立.
定理：设在一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1) 则A在n次伯努利试验中恰好发生k次的概率为
Pn
(
k
)C
k n
pk (1
p)nk ,

5.独立性伯努利概型

例如
B A B A
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = , 2 2
则 P ( AB ) = P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立，但两事件不是互不两事件相互独立由此可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容. 相容
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = 2 2
伯努利试验概型
n 重伯努利 (Bernoulli) 伯努利资料试验概型：伯努利试验可重复 n 次
每次试验的结果与其他次试验无关
A 每次试验只有两个可能的结果： , A 且 P(A) = p, 0< p <1
n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率记为 P (k) n
n 重伯努里试验成功的次数
= 0.36.
因为 A2 = ABC + A BC + ABC , 得 P ( A2 ) = P ( AB C + A BC + ABC )
= P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C)
= 0.41.
由 A3 = ABC ,
得 P ( A3 ) = P ( ABC )
1 解：显然本例为 30重贝努利试验， p = P{布机停开 } = 3 故30台布机中有 10台停开的概率为 30 1 2 P30 (10 ) = 10 3 3
10 20
≈ 0.153
1 由此可见，虽然每台布机有的可能停开，但并不能 3 1 说明所有的布机在每一时刻都有的台数停开。上例 3 计算表明，台停开只有 15 .3%的可能。 10
8

事件的独立性

k n k
n k
,
( k 0,1,, n).
信息学院老刘
24
例 4 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,
(1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；
(2) 求至少有两粒出苗的概率．
解
(1)
该试验为4 重贝努利试验
n 4, p 0.67, q 1 p 0.33
.
思考：若第n次试验，事件A恰好为第k 次发生，概率如何表达？
信息学院老刘
27
1.5
事件的独立性
一、两事件的独立性
二、有限个事件的独立性三、独立试验及伯努利试验模型
信息学院老刘
1
我们说，在事件B发生的条件下事件A 的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？
信息学院老刘
2
一、两事件的独立性
先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
信息学院老刘
17
定理
若A1 , A2 ,, An相互独立，则其中任意个事件或它们的逆事件都独立 ,且
P ( Ai ) 1 P ( Ai )
i 1 i 1 n n
逆事件,对偶律
证明略
信息学院老刘
18
例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问密码被破译出的概率是多少？ 3
信息学院老刘
21
如果一个试验在给定的条件下独立重复n次,且满足:
(1)每次试验只有两个可能的结果: A和A (2)每次试验中事件 A 发生的概率相等, P ( A) p 且 0 p1 则称这样的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验

1.4 事件的独立性与伯努利概型

设Ai “第i次试验事件A发生” i 1,2,, n
则 P ( Ai ) P ( A), i 1,2,, n
记：P ( A) p
P(A发生k次）=？
二项概率
P(A发生k次）=
k Cn
p 1 p
k
n k
Pn (k )
填空
1、一射手向指定目标射击4枪，各枪射中与否相互
伯努利概型： 1000 , p 0.0001 n
P(发生交通事故的次数不超过1次) P1000(0) P1000(1)
1．何谓两事件独立？在实际应用中，如何判断两事件的独立性？
2.两事件相互独立与互不相容（互斥）这两个概念有何关系？
n
3.何谓n重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？
则说A与B相互独立
事件的独立性
• 定义1.4.1 • 对任意的事件A，B， • 若满足等式
P(AB)=P(A)P(B) .
• 则称事件A与B 相互独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.
如： 1.一批产品共n件，从中抽取两件，
设 Ai=“第i件是合格品” i=1,2.
若抽取是有放回的, 则A1与A2是
P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A)(C ) P ( BC ) P ( B )(C ) P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C )
则称事件A，B，C 相互独立，
注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立
射中未射中
1、电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为
0.2，则3个灯泡在使用1000小时后最多只有

事件的独立性与伯努利概型

利公式，得
4
P4(k)1P40P41
k2
1434C4114433
67 0.2617 . 256
23
例1.31 某机构有一个5人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问的意见，并按多数的意见作出决策，求作出正确决策的概率．
解考察一位顾问的意见，相当于作一次
解在任一时刻，考察一名售货员是否使用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视
为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的概率为15/60 =1／4．
现同时考察4名售货员使用台秤的情况，
因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
22
所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) , 于是
P(A B )P(A )PB.
☎ 3º 相互独立与互不相容没有必然联系．
8
◎从定义来看，A与B独立 P (A B )P (A )P B ,
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与概率有关，后者的定义没有借助概率．
H H H , H H T , H T H T H H , H T T , T H T , T T H , T T T .
设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}；Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}； C=“ 前两次出现反面 ” ={TTH ，
T◎TTA}B．={HHT} P A B 111P A P B
P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 1 0 .2 0 .3 0 .9 4 . 12

第4讲事件的独立性

P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − P( A B)
= 1 − 0.1× 0.2 = 0.98
一、事件的独立性
1. 两个事件的独立性 2. 三个事件的独立性定义3 如果随机事件A, B, C 满足
⎧ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ⎪ ⎨ P ( AC ) = P ( A) P (C ) ⎪ P ( BC ) = P ( B ) P (C ) ⎩
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ∪ C ∪ D )]
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ) P (C ) P ( D )]
= q 2 [1 − (1 − p) 3 ]
解 (2) G表示“元件B， C，D中仅有一个正常工作”，则
G = BC D + BC D + BCD
P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A)
P ( AB) = P ( A) P ( B | A) = P ( A) P ( B)
事件B发生的概率不受事件 A与否发生的影响
一、事件的独立性
1. 两个事件的独立性定义1 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果事件 B 发生的概率不受事件 A 与否发生的影响，则称事件 P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A) A与B独立. 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果 P ( AB) = P ( A) P ( B), 则称事件A与B独立. 定义2
解设事件 A、B、C 分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙不需要工人照管. 有机床需要工人照管也就是至少有一部机床需要工人照管，另外我们应注意到三部机床由一名工人照管，即因无人照管而停工等价于在该段时间内至少有两部机床同时需要工人照管. 又已知条件A、B、C 相互独立，且 P ( A) = 0.9, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.85 则有机床需要工人照管的概率

概率论与数理统计1.5

例3(续) 3(续
由此可见
P ( AB ) = P( A)P(B )
P ( AC ) = P ( A)P (C )
P (BC ) = P (B )P (C ) 但是
1 1 P( ABC ) = ≠ = P( A)P(B )P(C ) 4 8
这表明A、、这三个事件是这三个事件是两两相互独立这表明、B、C这三个事件是两两相互独立但不是相互独立的．的，但不是相互独立的．
称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。试验序列如果一个试验序列的各试验的结果之间是相互独立则称该试验序列为一个独立试验序列独立试验序列。的，则称该试验序列为一个独立试验序列。称只有两个基本结果的试验为伯努利试验伯努利试验。称只有两个基本结果的试验为伯努利试验。有些试验的基本结果虽然不只两个，有些试验的基本结果虽然不只两个，但若我们感兴趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A作为一个基本结果，的对立事件作为另一个基本结果，结果，A的对立事件作为另一个基本结果，从而也可归结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试发生的概率则称为成功概率成功概率。验成功，验成功，而A发生的概率则称为成功概率。由一个伯努利试验独立重复进行所形成的试验序列称为伯努利试验序列如果重复的次数是n 伯努利试验序列，称为伯努利试验序列，如果重复的次数是n，则称该试验序列为n重伯努利试验。验序列为n重伯努利试验。
P( A1 + A2 + ⋯ + An ) = 1 − P( A1 A2 ⋯ An )
= 1 − P( A1 ) P( A2 ) ⋯ P( An ) = 1 − (1 − 0.7 )n = 1 − 0.3 n