1-4 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
全概率公式是概率统计学中的重要概念，它系统地表达了事件发生的
几率，它建立在一定的概率论假设和条件概率的基础上。
全概率公式由它
的发明者布朗定理提出，它以下简称为B-公式，它定义了一个事件发生
条件的概率可以由该事件发生的总概率和该事件发生条件概率之间的关系
表示出来，具体地说，就是：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+···+P(A，Bn)P(Bn)
其中：P(A)是A发生的概率，P(B1)~P(Bn)是相互独立的事件B1~Bn
发生的概率；P(A，B1)~P(A，Bn)是A在B1~Bn发生后发生的条件概率，
以上关系可以看作是在n个事件B1~Bn中，A发生的概率就是在所有这些
事件发生时A发生的条件概率乘以其各自发生的概率，再相加，而本质上
它是一个分母的二项式展开。
贝叶斯公式是概率统计学中的重要概念，它描述了在已知其中一种情
况的概率后，观察到其中一种事件后，该情况发生的可能性，它利用事件
的先验概率和事件发生后的后验概率进行推断，它有一下公式发挥着作用：P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)
其中：P(A)是事件A发生的先验概率；P(B)是事件B发生的先验概率；P(A，B)是事件B发生后A发生的条件概率；P(B，A)是事件A发生后B发
生的条件概率。
1-4 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
且等于它们的总和： 出最终结果. 义： n
P (B )
P ( A i B ).
i1
A2
A1
B
A3
A n 1
An
例4 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一 个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲 箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解 以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A 2 , A1 A 2 , 则 且
1
第 n1 次 取 出 黑 球 ； A n
A n 表 示 第 n 次 取 出 红球，则 b P ( A1 ) br
1 1
表 示 第 n 1 1 次 取 出 红球
P ( A 2 | A1 )
bc brc
P ( A n | A1 A 2 A n
1
1 ) 1
b ( n1 1) c b r ( n1 1) c r b r n1 c rc b r ( n1 1) c
P (B A) P ( AB ) P ( A)
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
P ( B ) 0 .4 ,
.
( B A , AB B ) P ( AB ) P ( B ),
所以 P ( B A )
P ( AB ) P ( A)
0 .4 0 .8
1 2
.
3. 条件概率的性质
P ( B ) P ( B ) P(B) P(B) P(B) 1
(3) 可列可加性：
1-4全概公式与贝叶斯公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
假设Ai=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2）
解：设 Ai=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2） B =顾客买下该箱玻璃杯，则
P( A0 ) 0.8, P( A1 ) 0.1, P( A2 ) 0.1,
P(B A0 ) 1, P(B A1 )
P(B A2 )
P( AB)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P( AB)
BA 与 B A互斥
P( A)P(B A) P( A)P(B A)
0.4 0.9 0.6 0.6 0.72
将此例中所用旳措施推广到一般旳情形，就 得到在概率计算中常用旳全概率公式.
定理1（全概率公式） 设随机试验 E旳样本空间 ， A1,A2,…,An
为一完备事件组，且P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 则 对于任一事件B, 有
2
C
5 18
C
5 20
21 38
C
5 19
C
5 20
0.75,
21
P(B) k0 P( Ak )P(B Ak ) 0.8 1 0.1 0.75 0.1 38
707 0.9303 760
二、贝叶斯公式（逆概公式）
定理2（贝叶斯公式）
设随机试验 E旳样本空间 ， A1,A2,…,An 为一完备事件组，且P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 则 对于任一事件B, 有
P( A1 ) 0.5, P( A2 ) P( A3 ) 0.25
P(B A1 ) 0.02, P(B A2 ) 0.02, P(B A3 ) 0.04
P(B) P( A1 )P(B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( A3 )P(B A3 )
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
全概率公式和贝叶斯公式的应用
全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式是概率论中非常重要的公式，它们在实际问题中有广泛的应用。
下面将介绍它们的应用场景。
1. 全概率公式的应用全概率公式描述了在已知某些条件下，事件 A 发生的概率等于事件 B 发生的概率，即 P(A|B) = P(B|A)。
这个公式可以用于解决多种问题，例如:- 假设检验问题。
在假设 H0 成立的情况下，根据全概率公式可以计算出拒绝 H0 的概率。
例如，假设我们要检验一个假设 H0:参数a=0，对于任意的备择假设 H1:a>0，我们可以使用全概率公式计算P(H0 成立 | 数据),如果该值小于预设显著性水平α，则我们可以拒绝 H0，认为 a>0。
- 贝叶斯公式的应用。
贝叶斯公式可以用来计算在已知某些条件下，事件 A 发生的概率。
例如，如果我们想要计算某只股票未来上涨的概率，可以使用贝叶斯公式计算在当前价格下，过去一段时间内股票上涨的概率，然后根据这个概率预测未来股票价格。
2. 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式是一种基于概率的推理方法，可以用来建立已知事件B 的条件下，事件 A 发生的概率。
贝叶斯公式可以用于多种问题，例如:- 模型选择问题。
贝叶斯公式可以帮助决策者在多个模型中选择最合适的模型。
例如，当我们面临一个分类问题，有多个模型可供选择时，可以使用贝叶斯公式计算每个模型的概率，然后根据贝叶斯定理选择概率最大的模型。
- 条件概率问题。
贝叶斯公式可以用来计算给定事件 B 的条件下，事件 A 发生的概率。
例如，如果我们想要计算某只股票未来上涨并且发生在过去一段时间内，可以使用贝叶斯公式计算在过去一段时间内，股票上涨并且发生的时间。
全概率公式和贝叶斯公式是非常有用的工具，可以用于解决多种实际问题。
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
概率论数理统计公式整理
概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件，S为样本空间，则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中元素的个数，n(S)表示样本空间S中元素的总数。
2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A,B为两个事件。
-条件概率公式:P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中A,B为两个事件，且P(B)≠0。
-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B，A)，其中A,B为两个事件。
3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i=1,2,...,n。
-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中i=1,2,...,n。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x)，其中x为随机变量X的取值，p(x)为概率质量函数。
- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0，且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi)，其中xi为随机变量X的取值，p(xi)为X取值为xi的概率。
- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。
3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。
1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
P ( B1
|
A)
P(B1 ) P( A | B1 ) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A |
B2 )
0.55. P(B3 )
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
注
（1）PBi 称为“先验概率”， PBi | A 称为“后验概率”；
（2）贝叶斯公式——探求结果 A的发生由原因 Bi 所导致的概率；
为色盲，求此人是男性的概率？
解 设 A 表示“抽取的人为色盲”，B 表示“抽取的人为男性”，则
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B)
3 5% 2 2.5% 4%.
5
5
P(B | A) ?
P(B | A) P( AB)
P(B)P(A| B)
3.
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B) 4
4%，2%，4%. 试计算:（1）从总产品中任取一件是不合格产品
的概率;（2）从总产品中任取一件是不合格产品，那么这件产品
是由 1 号工厂生产的概率?
解 设 A 表示“从总产品中任取一件是不合格产品”，Bi (i 1, 2, 3) 表示“从总产品中任取一件是第 i 号工厂生产的”.
P( A) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A | B2 ) P(B3 ) P( A | B3 ) 45%4% 35%2% 20%4% 0.033.
PB
|
A
P( AB) P( A)
0.2 0.4
1， 2
（2） P B
|
A B
P
BA B PA B
P A
P B PB
P AB
条件概率与概率的三个基本公式
第一章 随机事件与概率 13
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
三、全概率公式
全概率公式是概率论中的一个重要公式，它将计算一个较复 杂事件的概率问题，转换若干个互不相容的简单事件的概率的求 和问题．先看下面的例子．
例 6 一个袋内装有10 个球，其中 3 个白球，2 个黑球和 5
第一章 随机事件与概率 5
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式 对于给定的事件 A ，条件概率 P(B | A) 具有（无条
件）概率的一切性质．如
（1） P( | A) 1 ； （2） P( | A) 0 ； （3） P(B | A) 1 P(B | A) ； （4） P(B C | A) P(B | A) P(BC | A) ； （5）P((B C) | A) P(B | A) P(C | A) P(BC | A) ．
据概率的可加性，得
P( A2 ) P( A1A2 A1A2 ) P( A1A2 ) P( A1A2 ) ． 即 0.94 0.0602 P( A1A2 ) ，从而 P( A1A2 ) 0.8798 ． 故 P( A) P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 ) P( A1A2 )
第一章 随机事件与概率 6
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
例 3 已知袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球．现
从袋中不放回地任取两个球． （1）已知第一次取到白球，求第二次取到的是黑球的概率； （2）已知第二次取到白球，求第一次取到的是黑球的概率．
解 记事件 A 为“第一次取到白球”， 事件 B 为“第二次取到白
（1）因甲是第一个抽签的，所以甲抽到难答签的概率为
§1.4条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
一、条件概率 简单地说，条件概率就是在一定附加 条件之下的事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率， 因为任何事件都产生于一定条件下的试验 或观察，但我们这里所说的“附加条件” 是指除试验条件之外的附加信息，这种附 加信息通常表现为“已知某某事件发生了”
i i i i nபைடு நூலகம்k 1 k k
上式称为贝叶斯公式以纪念英国统计学家 贝叶斯 （T. Bayes）对概率论的贡献.
这一公式最早发表于1763年，当时贝叶斯 已经去世，其结果没有受到应有的重视. 后 来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公 式的重要性. 现在，贝叶斯公式以及根据它 发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、 人工智能、知识发现等领域的重要工具. 贝叶斯公式给出了‘结果’事件B已发 i 1, 2,, n Ai 生的条件下，‘原因’事件 的条件概率 从这个意义上讲，它是一个“执果索因” 的条件概率计算公式.相对于事件B而言 ， 概
P( B) 0 ，那 定义1.2 设A和B为两个事件， 么，在“B已发生”的条件下，A发生的条 P( A | B) 件概率 定义为
. （1-10） 在具体计算 P( A | B) 时，可以用公式（110）的右端来求，也可以像刚才的例子那 样，直接从缩小了的样本空间来求，后一 种求法有时更方便、实用.
n
并且 P( Ai ) 和 P(B | Ai ) （ i 1, 2,, n, ）易于 计算，那么，P( B) 的计算就可简化.
四、贝叶斯公式
在公式（1-10）、（1-11）和（1-12） 的条件下，若，则立即有 P( A B) P( A ) P( B | A ) ， （ i 1, 2,, n , 1-13） P( A | B) P( B) P( A ) P( B | A )
概率统计1-4.
22
第1题解答
解 假设事件A为从第1个箱子取出的是白球, B 为从第2个箱子取出的是白球, A与Ā构成完备 事件组, 则
3 2 5 4 P( A) = , P( A) = , P(B | A) = , P(B | A) = 5 5 9 9 则 (B) = P( A)P(B | A) + P( A)P(B | A) P 3 5 2 4 23 = ⋅ + ⋅ = 5 9 5 9 45 P( A)P(B | A) 3 5 23 15 P( A| B) = = ⋅ = 5 9 45 23 P(B) 23
续例7
解：P ( B1 ) = 0.03, P ( B2 ) = 0.97, 且 P ( A B1 ) = 0.99, P ( A B2 ) = 0.05 0.03 × 0.99 故P ( B1 A) = = 0.375 0.03 × 0.99 + 0.97 × 0.05 就是说，即使检出阳性，尚可不必过早下结论一定带菌，实际上这种 可能性不到百分之四十。
§1.4全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式的基本思想:对于较复杂的事件的概率先 把它分解成一些互不相容简单事件的和,通过分别计 算这些较简单事件的概率,在利用概率的可加性,得到 较复杂事件的概率. 例1:一个袋子内装有10个球.其中有4个白球,6个黑球, 采取不放回抽样,每次任取1个,求第二次取到白球的 概率? 分析:由题意,取2次球,只是第二次取到白球,但不知道 第一次取到何种球.由于袋中只有2种球:白、黑.因此， 第二次取到白球,只有2种情况： 第一次取到白球，第二次也取到白球；第一次取到 黑球，第二次取到白球。
17
练习
若发报机以0.7和0.3的概率发出信号0和1,由于 随机干扰的影响，当发出信号0时，接收机不 一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信号0和 1；同样地，当发报机发出信号1时，接收机 以概率0.9和0.1收到信号1和0。计算“当发报 机收到信号0时，发报机是发出信号0的概 率”。
(完整版)高中概率八大定理
(完整版)高中概率八大定理高中概率八大定理是概率论中的重要内容，对于理解和应用概率有着重要的指导作用。
下面将介绍八大定理的基本概念和要点。
1. 古典概型定理古典概型定理适用于所有等可能事件的情况，即所有可能结果出现的概率相等。
根据古典概型定理，事件A发生的概率等于事件A包含的有利结果数与总可能结果数的比值。
2. 几何概型定理几何概型定理适用于图形位置方面的问题，通过用几何方法解决概率问题。
根据几何概型定理，事件A发生的概率等于事件A 所占据的面积与整个样本空间面积的比值。
3. 条件概率公式条件概率公式用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A 发生的概率。
条件概率公式的计算方法是将事件A与事件B同时发生的情况除以事件B发生的概率。
4. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件的概率，通过将该事件在不同条件下的发生概率相加得出结果。
全概率公式适用于多种情况同时存在且彼此互斥的情况。
5. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的推广，在已知事件B发生的条件下，计算事件A发生的概率。
贝叶斯公式可以通过全概率公式和条件概率公式的结合计算。
6. 独立事件定理独立事件定理用于计算两个或多个事件同时发生的概率。
当事件A和事件B是独立事件时，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
7. 乘法定理乘法定理是独立事件定理的推广，用于计算多个事件同时发生的概率。
根据乘法定理，多个独立事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的乘积。
8. 加法定理加法定理用于计算两个或多个事件至少有一个发生的概率。
根据加法定理，两个事件至少有一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，减去事件A和事件B同时发生的概率。
以上是高中概率八大定理的基本内容和要点，理解和掌握这些定理对于概率论的研究和应用至关重要。
概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式
概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式
一、概率论
概率论是数学的一个分支，是研究随机事件发生的可能性的一门学科。
它用来研究不确定环境中的随机性事件，推断它们未来发生的概率及其不
确定性。
它的本质是研究未来发生其中一种随机事件可能性的推断，归结
为在各种情况下出现其中一种事件的概率。
概率值的范围是[0,1]，其中
0表示绝对不可能，1表示绝对可能。
二、条件概率
条件概率是概率的一种，它指的是基于已有的概率模型，利用已知信
息去估算当概率模型的变量条件发生时，其他变量出现的概率。
它有两个
定义：
1）条件概率定义：当事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记
为P(B，A)；
2）条件概率公式：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
三、全概率公式
全概率公式是概率中最重要的一条公式，它表示的是其中一随机事件
发生的概率与另一个或更多的条件相关，它描述的是事件B的概率，即：
P(B)=ΣP(B，Ai)P(Ai)，其中P(B，Ai)表示在Ai的条件下B发生的概率，P(Ai)表示Ai的概率。
贝叶斯公式是一种概率的计算方法，其定义为：
P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)
其中P(A，B)表示B条件下A的概率。
概率论全概率公式和贝叶斯公式
概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一个分支，研究事件发生的可能性和规律。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要定理，用于计算给定条件下的概率。
全概率公式是概率论中的一个基本定理，用于计算一个事件的概率，它通过将事件分解为几个互斥事件的并集，来求解一个复杂事件的概率。
假设有一组事件{B1,B2,...,Bn}，这些事件互斥且构成了一个完备事件组，即它们的并集为整个样本空间。
如果已知每个事件Bi的概率和它们与另一事件A的交集的概率，那么全概率公式可以计算出事件A的概率。
全概率公式的数学表达式如下：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)其中，A是所求事件，Bi是一组互斥事件，P(A∩Bi)是事件A与事件Bi的交集的概率。
全概率公式的原理是，事件A可以通过事件Bi的分解来计算。
我们首先计算A和B1的交集的概率，再计算A和B2的交集的概率，以此类推。
然后将这些概率相加，得到事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛，比如在统计学中用于估计一个总体的概率分布，或者在机器学习中用于计算样本的条件概率。
贝叶斯公式是概率论中的另一个重要定理，它可以在已知后验概率的条件下，计算先验概率。
先验概率是在考虑任何证据之前，根据以往的知识或经验得到的概率。
后验概率是在考虑了一些新证据之后，根据贝叶斯公式计算得到的概率。
贝叶斯公式的数学表达式如下：P(A，B)=(P(B，A)*P(A))/P(B)其中，P(A，B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A)表示事件A的先验概率。
P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
P(B)表示事件B的概率。
贝叶斯公式的原理是，通过已知事件B发生的条件下，根据已知的先验概率P(A)和条件概率P(B，A)，计算事件A发生的概率。
这个公式可以用于判断新的证据对先验概率的影响，从而进行更精确的概率估计。
贝叶斯公式的应用非常广泛，比如在医学诊断中用于计算疾病的概率，或者在文本分类中用于计算一些词语在一个文档中的概率。
大学概率论必背公式
P(Bj )P(A | Bj ) ,
n
P(Bi )P(A | Bi )
i 1
(j 1,..., n)
注：贝叶斯公式应用范围 随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，但第二个阶段的某 个结果是已知的，我们需要求的是第二阶段的这个结果为第一阶段某一个结果所 引起的概 率，这时候用贝叶斯公式
P(AB ) P(A | B )P(B )
P(ABC)＝ P(C|AB)P(B|A)P(A)
3. 全概率公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi )>0，
(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
n
n
P(A)＝ P(ABi ) P(Bi )P(A | Bi )
i 1
i 1
三个特性：
i. 其图形关于直线 x = 对称；
参数 0 , 2 1 的正态分布称为标准正态分布，
其密度函数表示为
(x )
1
x2
e 2 , x .
2
N(0, 1)的性质：
4. 联合分布函数 设(X , Y )是二维随机变量，(x , y ) R^2, 则称
lim
n
C nk
pnk (1
pn
)n
k＝
k k!
e
,
查表
（ 5 ） 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X, Y ) 的 分 布 律 ， 或 随 机 变 量 X 与 Y 的 联 合 分 布律：
4. 边缘分布律： 若随机变量 X 与 Y 的联合分布律为
则称
为(X, Y )关于 X 的边缘分布律；
0,
x a
F(x )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 P ( A1 ) = , 3 2 1 P ( B A1 ) = = , 4 2
1 P ( A2 ) = , 3
1 P ( B A2 ) =P ( A1 ) P ( B A1 ) P ( A2 ) P ( B A2 )
2 1 1 1 5 = = . 3 2 3 4 12
r ( n2 1)c rc . b r ( n1 1)c b r ( n 1)c
此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.
二、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分
定义 设Ω为实验E的样本空间，A1 , A2 ,, An为 E的一组事件，若
(1) Ai Aj = , i j , i , j = 1, 2, , n;
A2
B
A3
An1
A1
An
化整为零 各个击破
注
全概率公式中的条件：
Ai =
i =1
n
可换为
B Ai .
i =1
n
3.全概率公式的意义 直 全概率公式的主要用处在于: 它可以将一 某事件B的发生由各种可能的“原因”
Ai (i=1,2,,n)引起，而Ai与Aj (i j) 互斥， 个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单 观 则B发生的概率与 P(AiB)(i=1,2,,n)有关， 事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求 意
第n1次取出黑球; An1 1表示第n1 1次取出红球,
, An表示第n次取出红球,则 b P ( A1 ) = , br bc P ( A2 | A1 ) = . brc
1
因此 P ( A1 A2 An )
= P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) P ( An | A1 A2 An1 ) bc b b 2c = b r b r c b r 2c b ( n1 1)c r b r ( n1 1)c b r n1c
第四节 条件概率、 全概率公式 与贝叶斯公式
一、条件概率 二、全概率公式 与贝叶斯公式
下 回
停
一、条件概率
1. 问题的引入
引例 甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：
正品数 35 50 85 次品数 5 10 15 合计 40 60 100
甲车床 乙车床 总 计
从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：
P ( An A1 A2 An1 ).
例2 摸球试验(卜里耶模型) 箱中有b只黑球，r只红球，随机取出一只， 把原球放回，并加进与抽出球同色的球c只，再取 第二次，这样下去共取了n次球，问前n1次取到黑 球，后n2=n-n1次取到红球的概率是多少？ 解 以A1表示第一次取出黑球一事件, , An 表示
(2) A1 A2 An = .
则称A1 , A2 , , An为样本空间的一个划分.
A2
A3
A1
An 1
An
2. 全概率公式 定理 设为实验E的样本空间，B为E的事件，A1, A2 ,
, An为的一个划分，且P ( Ai ) 0( i = 1, 2,, n),
.
[证毕]
例5 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，以C表 示“被检验者患有肝癌”这一事件，以A表示 “判 断被检验者患有肝癌”这一事件.假设这一检验 P( A C ) 法相应的概率为= 0.95, P ( A C ) = 0.90. 又设在人群中 P (C ) = 0.0004 . 现在若有一人被此 检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的 概率P (C A). 解 因为P ( A C ) = 0.95,
AB包含的样本点数 P( A B) = . B包含的样本点数
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).
解
样本点总数：23,
1
2
3
A = 3个中至少有一个女孩” “ ,
A = 3个全是男孩” “ ,
1 1 P ( A) = 3 = , 8 2
1 7 P ( A) = 1 P ( A ) = 1 = . 8 8
j =1
n
,
i = 1,2, , n.
称此为贝叶斯公式.
证
P ( Ai B ) P ( Ai B ) = P(B)
i = 1,2,, n.
P ( Ai ) P ( B | Ai ) = P( B)
= P ( Ai ) P ( B | Ai )
n
P ( Ai ) P ( B | Ai )
i =1
0 P ( AB) P ( B) P ( AB) 1 又 P ( B) 0 0 P ( B) 即 0 P ( A B ) 1.
证
AB B
(2)规范性： P ( B ) = 1, P ( B ) = 0; 证 ΩB = B P ( ΩB ) P ( B ) P (Ω B ) = = = 1. P( B) P( B)
(3) 可列可加性： 对于两两互斥的事件序列：A1，A2， ，
有
P (( Ak ) B ) = P ( Ak B ) .
k =1 k =1
证
P (( Ak ) B ) =
k =1
P (( Ak )B )
k =1
P ( B)
k =1
=
P ( Ak B)
P ( B)
= P ( Ak B ).
的穗含50颗以上麦粒这一事件.
则 Ai(i = 1, 2, 3, 4)是一个划分.
则由全概率公式
P ( B ) = P ( Ai ) P ( B Ai )
i =1 4
= 0.955 0.5 0.02 0.15 0.015 0.1 0.01 0.05 = 0.4825.
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
次品数
5 10 15
合计
40 60 100
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，
其为正品. A
附加条件B
C = A B :“事件B发生的条件下，事件A发生”
“样本空间 中属于 的样本点必然出现的 B
条件下，属于 的样本点出现” A .
此时，样本空间已不再是原来包含100个样本
4. 贝叶斯公式
贝叶斯资料
定理 设为试验E的样本空间, B为E的事件,
A1 , A2 , , An为的一个划分, 且P ( B ) 0, P ( Ai ) 0( i = 1,2, , n), 则
P ( Ai | B ) = P ( B | Ai ) P ( Ai )
P(B | Aj )P( Aj )
k =1
(4) 加法公式：
P (( A1 A2 ) B ) = P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B ).
证 P (( A1 A2 ) B ) = P ( A1 B A2 B )
= P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B)
男 女
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
再设
A = 3个小孩中至少有一个女孩” “ ,
B = 3个小孩中至少有一个男 , “ 孩” 1 7 则 P ( A ) = 1 P ( A) = 1 = . 8 8 设 A1 = “有一个男孩两个女孩 , ”
= BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j = ( BAi )( BA j ) =
P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( An ) P ( B | An ).
图示
P ( B ) = P ( BA1 ) P ( BA2 ) P ( BAn )
P ( ABC ) = P ( A) P ( B A) P (C AB).
一般地，设 A1， A2， ， An 是 n 个事件，若
P ( A1 A2 An1 ) 0,
则
P ( A1 A2 An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
A2 = “有两个男孩一个女孩” ,
则 AB = A1 A2
( A1 A2 = ).
P ( AB ) = P ( A1 ) P ( A2 )
=
2 C3 2 3
6 = . 8 2
从而
P ( AB ) P ( B A) = P ( A)
6/8 6 = = . 7/8 7
3. 条件概率的性质 (1)非负性: 0 P ( A B ) 1;
且等于它们的总和： 出最终结果. 义： n
i =1
P ( B ) = P ( Ai B ).
A2
B
A3
An 1
A1
An
例3 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一 个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲 箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解 以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A2 = , A1 A2 = , 且
P (( A1 A2 ) B ) P (( A1 A2 ) B ) = P( B)
P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B ) = P( B)
= P ( A1 | B) P ( A2 | B) P ( A1 A2 | B).