《 2.5 夹角的计算 》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品

5．平面夹角的求法 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2， 两平面的夹角 π π 〈 n ， n 〉 1 2 为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤2时，θ＝__________ ；当2<〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉．即 cosθ＝______________. |cos〈n1，n2〉| ≤π 时，θ＝______________ 6．直线与平面的夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线 π 与此平面的夹角．夹角的范围是[0，2]．
π－〈s1，s2〉 ．实际操作中，设 l1 与 l2 的 l1 与 l2 的夹角等于______________ |cos〈s1，s2〉| 夹角为 θ，则 cosθ＝______________.
4．平面夹角的概念
π [0，2] 在两个平面所成的二面角的平面角中， 称范围在_________
内的角为两个平面的夹角．
思路方法技巧
• 异面直线所成的角
在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 AB＝ 2BB1， 求 AB1 与 C1B 所成角的大小．
[解析] 方法一：如图所示，以 A 为原 点，射线 AC、AA1 分别为 y 轴，z 轴，过 A 垂直于 AC， AA1 的射线为 x 轴， 建立直角坐 6 2 6 标系，取 BB1＝1，则 B( 2 ， 2 ，0)，B1( 2 ， 2 2 ，1)，C1(0， 2，1)，
• [点评] (1)向量法求异面直线所成的பைடு நூலகம்的特 点是程序化，即建坐标系，设点，求向量， 考查数量积． • (2)方法二是求两异面直线所成的角的一般方 法：通常是平移变异面直线为相交直线，然 后解三角形． • 在求两条直线所成的角时，容易忽略了两直 线所成角的范围． • 用方向向量所成的角表示异面直线所成角的 大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等 于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角， 则它的补角等于异面直线所成的角．
3．求直线与平面所成的角 如图，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量， n 为平面 α 的法向量，φ 为 l 与 α 所成的角，θ＝〈a，n〉 ，则 |a· n| sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝ . |a||n|
• 4．由于两条直线所成的角，线面角都是锐角 或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故 可直接求出，而二面角的范围是[0，π]，有 时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为 不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断， 故这是求二面角的难点． • 5．异面直线夹角与向量夹角的差异 • 根据异面直线的定义得两条异面直线的夹角 为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0， π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致， 但却有着相等或互补的关系，所以它们的余 弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除 外)．
《 2.5
夹角的计算 》课件
1 2 重点难点点拨
知能目标解读 6 探索拓研创新
3
知能自主梳理
7
名师辩误作答
4
学习方法指导
8
课堂巩固训练
5
思路方法技巧
知能目标解读
1．能用向量方法解决线线、面面夹角的计算问题，体会向 量方法在研究几何问题中的应用． 2．通过向量运算，掌握点、直线、平面之间的位置关系以 及它们之间夹角的问题． 3．能利用空间向量求空间角，特别是直线和平面的夹角． 4．熟记线线、面面夹角的取值范围．熟记直线与平面所成 π 角的范围：0≤θ≤2.
6 2 6 2 → → ∴AB1＝( 2 ， 2 ，1).BC1＝(－ 2 ， 2 ，1)． 6 6 2 2 → → ∴AB1· BC1＝ 2 ×(－ 2 )＋ 2 × 2 ＋1×1＝0. → → ∴AB1⊥BC1，即异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 90° .
方法二：如图所示，连接 B1C，设 B1C∩BC1＝O. 取 AC 中点 D，连 OD，则 OD∥AB1. 即∠BOD 为 AB1 和 BC1 所成的角． 取 BB1＝1，在△BOD 中， 1 3 6 OD＝OB＝2AB1＝ 2 ，BD＝ 2 ， 由余弦定理得 32 32 62 2 ＋ 2 － 2 cos∠BOD＝ ＝0， 3 3 2× 2 × 2 ∴∠BOD＝90° ，即 AB1 与 BC1 所成的角为 90° .
2．异面直线的夹角 当直线 l1 与 l2 是异面直线时， 在直线 l1 上任取一点 A 作 AB ∥l2， 我们把直线 l1 与直线 AB 的夹角叫作异面直线 l1 和 l2 的夹 角．
3．直线夹角的求法 π 设直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 s1，s2.当 0≤〈s1，s2〉≤2 π 〈 s ， s 〉 1 2 时，l1 与 l2 的夹角等于____________ ；当2<〈s1，s2〉≤π 时，
7．直线与平面夹角的求法 设平面 α 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与 平面 α 所成的角为 θ.
π π －〈n，a〉 2 当 0≤〈n，a〉≤2时，θ＝____________；
π π 〈n，a〉－2 当2<〈n，a〉≤π 时，θ＝____________. |cos〈n，a〉| 即 sinθ＝____________.
学习方法指导
1．求异面直线所成的角 设 l1 与 l2 是两异面直线，a、b 分别为 l1、l2 的方向向量， l1、l2 所成的角为 θ，则〈a，b〉与 θ 相等或互补， |a· b| ∴cosθ＝ . |a|· |b| 2．求二面角 平面 α 与 β 相交于直线 l，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，<n1，n2>＝θ，则二面角 α－l－β 为 θ 或 π－θ. |n1· n2| 设二面角大小为 φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n |· . | n | 1 2
重点难点点拨
• 本节重点：异面直线所成的角、线面角、二 面角与向量夹角的关系． • 本节难点：如何用直线的方向向量和平面的 法向量来表达线面角和二面角．
知能自主梳理
1．共面直线的夹角 当两条直线 l1 与 l2 共面时，我们把两条直线交角中，范围
π [0，2] 在__________ 内的角叫作两直线的夹角．