武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦

武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷

《计算方法》 （A 卷） （36学时用）

学院： 学号： 姓名： 得分：

一、（10分）已知)(x f y =的三个值

（1） 求二次拉格朗日插值 L )(2x ； （2）写出余项)(2x R 。 二、（10分）给定求积公式

)3

1(

)3

1()(1

1

f f dx x f +-

≈⎰

-

求出其代数精度，并问是否是Gauss 型公式。

三、（10分）若矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=a a a a A 0

000

02，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的（范数用∞⋅）。

四、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。

迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)

4(1011n

x n e

x -=+

试分析这两个迭代格式的收敛性。 五、（12分）设方程组

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212

1

2221

1211b b x x a a a a ，其中02211≠a a ，

分别写出Jacob 及Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。

六、（12分）已知)(x f y =的一组值

分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰

2.20

.1)(dx

x f

七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。为使计算简单，分别用x =-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。

根据上面数据，求一条形如bx ax y +=2的最小二乘拟合曲线。 八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：

⎩⎨

⎧=+='1

)0(2

y y x y ]1,0[∈x 。

（取步长5.0=h ）

九、（10分）对于给定的常数c ，为进行开方运算，需要求方程02=-c x 的根。（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；

（2）证明对任意初值c x >0, 牛顿迭代序列}{n x 单调减且收敛于c .

武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷

1、解：（1）二次拉格朗日插值为

2

2(1)(2)(0)(2)(0)(1)511()0.2( 1.8) 1.82

(01)(02)

(10)(12)

(20)(21)

22

x x x x x x L x x x ------=⋅

+-⋅

+⋅

=-

+------=

（2）余项为'''

2()()(1)(2)3!

f R x x x x ξ=

--

2、解：当()1f x =时，=2,=2左边右边； 当()f x x =时，=0,=0左边右边； 当2()f x x =时，22=

,=

3

3

左边右边；

当3()f x x =时，=0,=0左边右边； 当4()f x x =时，22=

,=

,5

9

≠左边右边左边右边；

于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。 3、解：1

11/21/2001/0||||1/||00

1/a

a A a A a a --∞-⎛⎫ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⎝

⎭

而||||3||A a ∞=，于是1()||||||||3cond A A A -∞∞∞==， 所以题干中结论成立。

4、解：（1）对于迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+，

其迭代函数为105()ln(410)41025x x x

x

ϕ-=-==-

--，在]4.0,0[内

5|()|125x x

ϕ=

>-，

所以发散。

（2）对于迭代格式B ：)

4(10

11n

x n e

x -=+，

其迭代函数为l ()10

x

x e

ϕ=-，在]4.0,0[内

1|()|110

x

x e ϕ=

<，

所以收敛。

5、解：（1）Jocobi 迭代法：

(1)()111211

111(1)()2221

222221/0

01/0

01/00

1/k k k k a a a b x x a a a b x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12111111()2122

22220///0/k k a a b a x a a b a x ⎛⎫⎛

⎫⎛⎫

=-+ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

因为

1211

2

21122122

1122

/=0/J a a a a a a a a λ

λλρλ

-

=⇒=⇒=

（2）Gauss-Seidel 迭代法：

(1)()111111211(1)()21112222

211122

22

2221/01/00/1//1/0

0k k k k a a b a x x a a a a a a a a b x x ++⎛⎫⎛⎫⎛

⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭ ()

12111111()21121122

1211122222

20//0

///k k a a b a x a a a a b a a a b a x ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=-+ ⎪

⎪

⎪-+⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 因为

1211

21122112211221121122

1122

1122

1122

/=()0|

|0

/G a a a a a a a a a a a a a a a a a a λ

λλλρλ-

=⇒=

⇒=- 综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。 6、解：（1）复化梯形公式（0.2h =）

2.201234561.0

()[2()]

2

0.2[12(20234)1] 1.4

2

h f x dx y y y y y y y =

⨯+⨯+++++=

⨯-+⨯-+++++=⎰

（2）复化辛普森公式（0.4h =）

2.202413561.0

()[2()4()]

60.4

[12(03)4(224)1] 1.26667

6

h f x dx y y y y y y y =

⨯+⨯++⨯+++=

⨯-+⨯++⨯-+++=⎰

7、解：依题意，可知

1

116000226112794

2430a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

11160101400101422610121

110122794

2430a b -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭