离散数学复习指导1

离散数学复习指导Ⅰ命题逻辑部分一 学习要求1．理解命题、联结词的含义，掌握命题的符号化；2．理解命题公式的赋值，能求出公式的真值表，判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住一些基本等值式,能进行等值演算;4. 体会公式的主范式与公式赋值之间的关系,能利用等值演算求出范式;5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,记住一些基本的推理规则,能用演绎 推理方法进给出推理证明;二 范例例1 将下列命题符号化⑴小王聪明但不用功；⑵ 说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的；⑶ 你不及格就要补考。

⑷ 不经一事，不长一智；解：⑴ 设p ：小王聪明，q ：小王用功，则该命题可符号化为：q p ⌝∧。

⑵ p ：数理逻辑枯燥无味，q ：数理逻辑毫无价值，则：)(q p ∨⌝。

⑶ p ：你及格了；q ：你要参加补考，则：q p ↔⌝。

⑷ p ：经一事；Q ：长一智，则：q p ⌝→⌝。

⑸ 这是简单命题，则p ：李卫与李星是兄弟。

例2 求命题公式r q p ∨∧)(的主析取范式和主合取范式，指出公式的成真赋值和成假赋值，并判断公式的类型。

解：r q p ∨↔)(r p q q p ∨→∧→⇔))()(())(())((r p q r q p ∨→∧∨→⇔)()(r p q r q p ∨∨⌝∧∨∨⌝⇔42M M ∧⇔ （主合取范式）765310m m m m m m ∨∨∨∨∨⇔∑⇔)7,6,5,3,1,0( (主析取范式)公式的成真赋值为：000，001，011，101，110，111 成假赋值为：010，100 公式为非重言式的可满足式 。

例3 构造下面推理的证明：前提：s q r p q p ∨→⌝∧,, 结论：r s ∧证：(1) q p ⌝∧ P;(2) p T(1)化简规则;(3) q ⌝ T(1)化简规则(4) r p → P;(5) r T(3)(4)假言推理;(6) s q ∨ P;(7) s T(3)(6)析取三段论;(8) r s ∧ T(5)(7)合取式.例4. 先将下列相关命题符号化,给出推理证明如果4是偶数,则2不能整除5. 或者7不是素数或者2整除5. 7是素数.因此4不是偶数.解: 设p: 4是偶数; q: 2能整除5; r: 7是素数; s: 2整除5,则前提： ,,,r q r q p ∨⌝⌝→ 结论：.p ⌝证明: (1) )(p ⌝⌝ 结论之否定;(2) p T(1)等值式;(3) q p ⌝→ P;(4) q ⌝ T(2)(3)假言推理;(5) q r ∨⌝ P;(6) r ⌝ T(4)(5)析取三段论;(7) r P;(8) r r ⌝∧ T(6)(7)合取式.谓词逻辑部分一 学习要求1．理解谓词逻辑的三要素，掌握命题的符号化；2．理解谓词公式中量词的辖域、约束关系,及公式的解释，能求出在一个解释下公式的真值，能判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住谓词公式的特殊的基本等值式,能进行等值演算;4. 理解前束范式的定义,能利用等值演算求出公式的前束范式;5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,特别记住谓词中的一些推理规则,能用演绎 推理方法进给出推理证明;二 范例例1 将下列命题符号化⑴ 不是所以的人都要补考,但就有人要补考.⑵ 天下乌鸦一般黑。

⑶ 不是所有火车都比汽车快，但有的火车比所有汽车快。

解：⑴)(x P ：x 是人； )(x Q ：x 要补考，则：))()(())()((x Q x P x x Q x P x ∧∃∧→⌝∀ （注意特性谓词的用法） ⑵ 设D={乌鸦}，)(x P ：x 是黑的，则：)(x xP ∀ （本题使用了论域）⑶)(x P ：x 是火车；)(x Q ：x 是汽车；),(y x R ：x 比y 快，则：)),()(()(()),())()(((y x F x Q y x P x y x R y Q x P y x →∀∧∃∧→∧∀⌝∀或：)),()(()(())),()(()((y x F x Q y x P x y x R y Q y x P x →∀∧∃∧→∀→⌝∀。

例2 设解释I 如下:D={2,3},3)2(=f ,2)3(=f ,1)2,2(=F ,0)3,2(=F ,1)2,3(=F ,0)3,3(=F . 试求出下列公式在解释I 下的真值.⑴ ))(,(y f x yF x ∃∀ ⑵),())(,(y x yF x x f x xF ∃∃→∀解: 在解释I 下:⑴ ))(,3())(,2())(,(y f yF y f yF y f x yF x ∃∧∃⇔∃∀)))3(,3())2(,3(()))3(,2())2(,2((f F f F f F f F ∨∧∨⇔ ))2,3()3,3(())2,2()3,2((F F F F ∨∧∨⇔)10())10(∨∧∨⇔1⇔⑵),())(,(y x yF x x f x xF ∃∃→∀)),3(),2(()))3(,3())2(,2((y yF y yF f F f F ∃∨∃→∧⇔))3,3()2,3(())3,2()2,2(())2,3()3,2((F F F F F F ∨∨∨→∧⇔))01()01(()10(∨∨∨→∧⇔1⇔例3 求公式)()(y yQ x xF ∃↔∀的前束范式.解: )()(y yQ x xF ∃↔∀))()(())()((x xF y yQ y yQ x xF ∀→∃∧∃→∀⇔))()(())()((x xF y yQ y yQ x xF ∀∨⌝∃∧∃∨⌝∀⇔))()(())()((x xF y Q y y yQ x F x ∀∨⌝∀∧∃∨⌝∃⇔))()(())()((x xF y Q y x xQ x F x ∀∨⌝∀∧∃∨⌝∃⇔))()(())()((x F y Q x y x Q x F x →∀∀∧→∃⇔))()(())()((z F y Q z y x Q x F x →∀∀∧→∃⇔)))()(())()(((z F y Q x Q x F z y x →∧→∀∀∃⇔ (前束范式)例4 构造推理证明，前题: ))()((x H x F x ⌝→∀，))()((x G x H x ∨∀结论:)()(y yG x xF ∃→∃证明:(1) )(x xF ∃ 附加前题;(2) )(a F T(1) EI 规则;(3) ))()((x H x F x ⌝→∀ P;(4) )()(a H a F ⌝→ T(3) UI 规则;(5) )(a H ⌝ T(2)(4)假言推理规则;(6) ))()((x G x H x ∨∀ P;(7) )()(a G a H ∨ T(6) UI 规则;(8) )(a G T(5)(7)析取三段论.(9) )(y yG ∃ T(8) EG 规则. 集合论部分一 学习要求1．领会集合的各种运算，掌握各种集合式的谓词演算的证明方法；2．领会序偶及笛卡积的定义,理解二元关系的定义,掌握及关系的运算(定义域、值域、逆、复合、闭包)；掌握关系的三种表示方法(集合、关系图、关系矩阵).3. 领会关系的性质,能判断或证明一个关系所具有的性质,4. 理解等价关系及划分的定义，掌握等价类及集合商集的求法，理解等价关系与划分的关系。

5. 理解偏序关系的定义，特别注意偏序集中元素的可比性（“大小”的含义），能画出哈斯图，并能求出集合中的特殊元及集合的界；⒍ 理解函数的定义，掌握函数的复合及逆运算，领会特殊函数（单射，满射，双射）的概念。

二 范例例1 已知}12,10,7,6,5,4,3,2,1{=E ，}102{<≤=x x A ，}115{<<=x x B ，求： ⑴ A ~；B A ⋂；B A ⋃ ；B A -；B A ⊕ ⑵A ；（B）ρ；()B A B ⋂⨯；解：}765432{，，，，，A =，}1076{，，B = ⑴ }12101{~，，A =；}76{，B A =⋂；}10765432{，，，，，，B A =⋃ ； }5432{，，，B A =-；}105432{，，，，B A =⊕⑵6=A ；}}1076{}107{}106{}76{}10{}7{}6{{，，，，，，，，，，，，（B）φρ=；()}710610767666{，，，，，，，，，，，B A B =⋂⨯例2 已知},,,{d c b a A =,},,,,,,{d c b a a a R =,A I c d d d a b a S ⋃=},,,,,,,{, 求:⑴ 1-R ; 2R ,S R , 2R S⑵ )(),(),(),(R rst R t R s R r解: ⑴ 1-R =},,,,,{b d b c a a a ; 2R =},,,{d a c a b a S R =},,,,,,,,{d b c b d a b a a aS R 2=},,,,,,{d a c a d a b a⑵ )(R r =A I d b c b b a ⋃},,,,,{ },,,,,,,,,{)(b d d b c c a b b a a a R s = },,,,,,,,,,,{)(d a c a d b c b b a a a R t =A I a d d a a c c a b d d b b c c b a b b a R rst ⋃=},,,,,,,,,,,,,,,,,{)(例3 已知X={a,b,c},给出X 上的所有等价关系。

解:X 的划分其有五种:S 1={{a,b,c}}, S 2={{a,b},{c}},S 3={{a,c},{b}},S 4={{a},{b,c}},S 5={{a},{b},{c}},因为X 上划分与等价关系一一对应,故x 上共有五个等价关系，它们是：R 1＝{<a,b>,<b,a>,<a,c><c,a>,<b,c>,<c,b>}X I ⋃R 2＝{<a,b>,<b,a>}X I ⋃, R 3＝{<a,c><c,a>}X I ⋃R 4＝{<b,c>,<c,b>}X I ⋃, R 5＝X I例4 已知偏序集〈X,R 〉,其中X={a,b,c,d,e}, Y={d,e},R 的关系矩阵为求：(1).用集合的列举法写出R(2).画出R 的哈斯图；(3).找出X 的极大元、极小元、最大 元、最小元；(4).找出Y 的上界、下界、最小上界、最大下界。

解:(1). A I a e a d e d a a c b c R ⋃=},,,,,,,,,,{(2).略(3)．X 的极大元:a; 极小元:c ，d ; 最大元:a ; 最小元: 无.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000111001001110001100001R M(4). Y 的上界e,a; 下界d ; 最小上界e; 最大下界d 。