【精品课件】数学物理方程分离变量法
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(1)写出微分方程的特征方程 r2prq0,
(2)求出特征根 r1 , r2 ，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根 实根
通
解
yC 1er1xC 2er2x y(C 1C 2x)er1x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
二阶常系数齐次线性微分方程 yy0
na nl
n a rc ta nC D n n
x=x0时： un(x0,t)A nsinn l x0cos(ntn)
t=t0时： un(x,t0)A ncos(nt0n)sinn l x (n1,2,3, )
sin n x
l
n
2 n
l
l
驻波法
驻 波 法 ： 研 究 的 弦 是 有 限 长 的 ， 它 有 两 个 端 点 ， 波 就 在 两 个 端 点 之 间 往 复 反 射 。
▪确定常数 Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
2 解的性质
un(x,t)(CncosnlatDnsinnlat)sinnlxAncos(ntn)sinnlx
其中： A nC n 2 D n 2
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
2u t2
Βιβλιοθήκη Baidu
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
u(x t,t)t0n 1D nnlasinnlx(x)
0 lsin 2n lx d x 0 l1 c o s2 2 n /ld x 2 l
0 ls i n n lx s i n m lx d x 1 2 0 l c o s n lm x c o s n lm x d x 0
na t
na t
T n ( t) C 'n c o sl D 'n s inl ( n 1 ,2 ,3 , )
n a n a n
u n ( x ,t ) ( C n c o slt D n s i n lt ) s i n lx( n 1 ,2 ,3 ,)
步骤2，叠加原理做出解的线性组合。
sinn x (n
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
2） 0 X(x)AxB
AB0 X0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x ) A c o sx B s inx
A0 B sin l 0
n (n1,2,3, )
l
n2 2
l2
n
n22
l2
Xn(x) Bn
(n1,2,3,
l 0
(x )sim lnx d x0 ln 1 C nsin ln x sim lnx d x 2l
C
m
Cm2 l 0l(x)sin m lxdx
Cn20l(x)sin nxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
u(2t0u2,t)a20,ux2u2(l,,t)0,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
0xl,t 0 t 0
u(x,0)(x),u(xt,0) (x), 0xl
▪分离变量 u(x,t)X(x)T(t) XX0 Ta2T0
▪▪▪求求求特 另 通征一解值个u和函特数n1征un函数n1T Xnn TnC n c nn 1o (C n n ln s a c /tl o 2n D la n sst Xin D nn (ln xa s)tin Bn lna st) is nnlin xlnx
0 x l
t
•基本思想：
（1）求出具有变量分离形式且满足边界条件的解;
特点：偏微分方程化为常微分方程
（2）由叠加原理作出这些解的线性组合；
特点：叠加原理
（3）由其余的定解条件确定叠加系数。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
二阶常系数齐次线性微分方程 ypyq y0
求方程的通解的步骤为：
X ''( x ) X ( x ) 0T ''( t) a 2 T ( t) 0
带入边界条件 X (0 ) T ( t) 0 , X ( l) T ( t) 0
X(0)0, X(l)0
X ''( x ) X ( x ) 0 特征值问题
X
(0)
0,
X (l) 0
分情况讨论：
1） 0
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
2u t2
a2
2u x2
,
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
0xl,t 0 t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。
令 u(x,t)X(x)T(t)
带入方程： X(x)T''(t)a2X''(x)T(t)
令
X ''(x) T ''(t) X (x) a2T(t)
(2)求出特征根 r1 , r2 ，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根 实根
通
解
yC 1er1xC 2er2x y(C 1C 2x)er1x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
二阶常系数齐次线性微分方程 yy0
na nl
n a rc ta nC D n n
x=x0时： un(x0,t)A nsinn l x0cos(ntn)
t=t0时： un(x,t0)A ncos(nt0n)sinn l x (n1,2,3, )
sin n x
l
n
2 n
l
l
驻波法
驻 波 法 ： 研 究 的 弦 是 有 限 长 的 ， 它 有 两 个 端 点 ， 波 就 在 两 个 端 点 之 间 往 复 反 射 。
▪确定常数 Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
2 解的性质
un(x,t)(CncosnlatDnsinnlat)sinnlxAncos(ntn)sinnlx
其中： A nC n 2 D n 2
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
2u t2
Βιβλιοθήκη Baidu
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
u(x t,t)t0n 1D nnlasinnlx(x)
0 lsin 2n lx d x 0 l1 c o s2 2 n /ld x 2 l
0 ls i n n lx s i n m lx d x 1 2 0 l c o s n lm x c o s n lm x d x 0
na t
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T n ( t) C 'n c o sl D 'n s inl ( n 1 ,2 ,3 , )
n a n a n
u n ( x ,t ) ( C n c o slt D n s i n lt ) s i n lx( n 1 ,2 ,3 ,)
步骤2，叠加原理做出解的线性组合。
sinn x (n
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
2） 0 X(x)AxB
AB0 X0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x ) A c o sx B s inx
A0 B sin l 0
n (n1,2,3, )
l
n2 2
l2
n
n22
l2
Xn(x) Bn
(n1,2,3,
l 0
(x )sim lnx d x0 ln 1 C nsin ln x sim lnx d x 2l
C
m
Cm2 l 0l(x)sin m lxdx
Cn20l(x)sin nxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
u(2t0u2,t)a20,ux2u2(l,,t)0,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
0xl,t 0 t 0
u(x,0)(x),u(xt,0) (x), 0xl
▪分离变量 u(x,t)X(x)T(t) XX0 Ta2T0
▪▪▪求求求特 另 通征一解值个u和函特数n1征un函数n1T Xnn TnC n c nn 1o (C n n ln s a c /tl o 2n D la n sst Xin D nn (ln xa s)tin Bn lna st) is nnlin xlnx
0 x l
t
•基本思想：
（1）求出具有变量分离形式且满足边界条件的解;
特点：偏微分方程化为常微分方程
（2）由叠加原理作出这些解的线性组合；
特点：叠加原理
（3）由其余的定解条件确定叠加系数。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
二阶常系数齐次线性微分方程 ypyq y0
求方程的通解的步骤为：
X ''( x ) X ( x ) 0T ''( t) a 2 T ( t) 0
带入边界条件 X (0 ) T ( t) 0 , X ( l) T ( t) 0
X(0)0, X(l)0
X ''( x ) X ( x ) 0 特征值问题
X
(0)
0,
X (l) 0
分情况讨论：
1） 0
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
2u t2
a2
2u x2
,
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
0xl,t 0 t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。
令 u(x,t)X(x)T(t)
带入方程： X(x)T''(t)a2X''(x)T(t)
令
X ''(x) T ''(t) X (x) a2T(t)