苏州景城学校数学圆 几何综合单元测试题(Word版 含解析)

苏州景城学校数学圆 几何综合单元测试题（Word 版 含解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；
（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．
【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】
（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610
r r
-= 解得即可；
（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，
GB GE
AB AC
=，即12108GE =，解得即可. 【详解】
解：（1）如图①，连接OE ，
∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，
∵AC＝8，⊙O的半径为2，
∴OC＝6，OE＝2，
∴CE＝2242
OC OE
-=；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝22
AB A C
-＝6，
∵AF＝BF，
∴AF＝CF＝BF，
∴∠ACF＝∠CAF，
∵CE切⊙O于E，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OEC＝∠ACB，
∴△OEC∽△BCA，
∴OE OC
BC BA
=，即
8
610
r r
-
=
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3；
（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，
由对称性可知，CB＝CG，
∵CE＝CG，
∴∠EGC＝∠GEC，
∵CE切⊙O于E，
∴∠GEC+∠OEG＝90°，
∵∠EGC+∠GMC＝90°，
∴∠OEG＝∠GMC，
∵∠GMC＝∠OME，
∴∠OEG＝∠OME，
∴OM＝OE，
∴点M和点D重合，
∴G、D、E三点在同一直线上，
连接AE、BE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，
又CE＝CB＝CG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，
∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，
∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，
∴GB GE
AB AC
=，即
12
108
GE
=
∴GE＝9.6，
故G、E两点之间的距离为9.6．
【点睛】
本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关
2．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．
i．若点P正好在边BC上，求x的值；
ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，
当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．
【解析】
试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；
ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．
试题解析：（1）i．如图1，
由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，
又MN∥BC，
∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，
∴∠B=∠BPM，
∴AM=PM=BM，
∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．
ii．以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴AN=，
△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，
∴，
②当2＜x＜4时，如图2，
设PM，PN分别交BC于E，F，
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，
由题意知△PEF∽△ABC，
∴，
∴S△PEF=（x-2）2，
∴y=S△PMN-S△PEF=，
∵当0＜x≤2时，y=x2，
∴易知y最大=，
又∵当2＜x＜4时，y=，
∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，
综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，
设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=x
∴OD=x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴，
∴BM=，AB=BM+MA=
x+x=4
∴x=
，
∴当x=时，⊙O 与直线BC 相切； 当x ＜时，⊙O 与直线BC 相离；
x ＞
时，⊙O 与直线BC 相交．
考点：圆的综合题．
3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．
（1）当2＜m ≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，
①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）
【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或104
33
与△ABC 的边相切．②点F 11365
72
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.
（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3
cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．
（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .
当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设
O 切AC 于H .连接
OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .
分别求解即可．
②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，
在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，
3
cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=
， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553
AC BC EP AB ⨯⨯=
==，
3
tan30(2)EP AP m =⋅=+⋅， 533
(2)m ∴
=+⋅，
∴m =5.5
(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设
O 切AC 于H ，连接OH .
则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.
当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，
如图3中，设
O 切AC 于H .连接OH .
则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设
O 切BC 于N ，连接ON .
在Rt △OBN 中, 43
sin60OB ON ==
3
103AO ∴=- 43
12AP ∴=-
43
212m ∴+= 43
10m ∴= 综上所述,当m =1或4或3
103
-
时，O 与△ABC 的边相切。

②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .
易知122353
53AF CF AC =
==，
122353113
53F F ∴== 60,30FEP PEB ∠=∠=，
90FEB ∴∠=，
tan EF EP EBF EB EB
∴∠=
=为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ， 在2Rt BF C 中, 222222535
5(
722
BF BC F C =+=+=，
∴点F 115
37.62
4．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在y 轴的正半轴上，点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC 沿直线AB 折叠，点C 落在x 轴的负半轴D （−4，0）处．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）点P 从点A 出发以每秒5AB 方向运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交x 轴于点Q ，PR ∥AC 交x 轴于点R ，设点P 运动时间为t （秒），线段QR 长为d ，求d 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点N 是射线AB 上一点，以点N 为圆心，同时经过R 、Q 两点作⊙N ，⊙N 交y 轴于点E ，F ．是否存在t ，使得EF =RQ ？若存在，求出t 的值，并求出圆心N 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）132y x =-+（2）d =5t （3）故当 t =85
，或8
15，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）． 【解析】
试题分析：（1）由C （0，8），D （-4，0），可求得OC ，OD 的长，然后设OB=a ，则BC=8-a ，在Rt △BOD 中，由勾股定理可得方程：（8-a ）2=a 2+42,解此方程即可求得B 的坐标，然后由三角函数的求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式；
（2）在Rt △AOB 中，由勾股定理可求得AB 的长，继而求得∠BAO 的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ，则可求得d 与t 的函数关系式；
（3）首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，易证得四边形NTOS 是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解; 试题解析：
（1）∵C （0，8），D （-4，0）， ∴OC=8，OD=4， 设OB=a ，则BC=8-a ，
由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ， 在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2， 则（8-a ）2=a 2+42， 解得：a=3， 则OB=3， 则B （0，3）， tan ∠ODB=
34
OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=3
4
OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），
设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，
则60{3
k b b +== ，解得：1
{23
k b =-= ，
故直线AB 的解析式为：y=-
12
x +3； （2）如图所示：
在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，
则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OA cos BAO AB
∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，
则AQ=
10cos AP t BAO
=∠ , ∵PR ∥AC ，
∴∠APR=∠CAB ， 由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ，
∴∠BAO=∠APR ，
∴PR=AR ，
∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，
∴∠PQA=∠QPR ，
∴RP=RQ ，
∴RQ=AR ，
∴QR=
12
AQ=5t, 即d=5t; （3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，
∵EF=QR ，
∴NS=NT ，
∴四边形NTOS 是正方形， 则TQ=TR=
1522QR t = ， ∴1115151022224
NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，
若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），
点N 在直线132y x =-
+ 上， 则132
n n -=-+ ， 解得：n=-6，
故N （-6，6），NT=6，
即
1564
t = ， 解得：85t = ; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），
可得：132
n n =-
+ , 解得：n=2，
故N （2，2），NT=2， 即
1524
t =, 解得：t=815
∴当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。

点睛：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用。

5．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝
13
，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）求⊙O 的半径OC ；
（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）3233
2
2
32
【解析】【分析】
（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得
1
3
OE OC
OC OF
==，推出△COE∽△FOE，根据相
似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；
（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.
【详解】
解：（1）∵DF＝2OD，
∴OF＝3OD＝3OC，
∴
1
3 OE OC
OC OF
==，
∵∠COE＝∠FOC，
∴△COE∽△FOE，
∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）∵∠COD＝∠BAC，
∴cos∠BAC＝cos∠COE＝
1
3 OE
OC
=，
∴设OE＝x，OC＝3x，
∵BC＝8，
∴CE＝4，
∵CE⊥AD，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴x2+42＝9x2，
∴x2（负值已舍去），
∴OC ＝3x ＝32，
∴⊙O 的半径OC 为32；
（3）如图，连结BD ，
由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠，
∵BC ⊥AD ，
∴AC AB =，
∴∠ADC=∠ADB ，
∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，
∴△AOF ∽△BDM ；
∵点F 是OC 的中点，
∴AO ：OF=BD ：DM=2，
又∵BD=DC ，
∴DM=CM ，
∴FM 为中位线，
∴322， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=
； ∵111118(322)4222222
BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯= ∴S △AOF =3424=32 【点睛】
本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.
6．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r (r ＞1)，点P 是圆内与圆心C 不重合的点，⊙C 的“完美点”的定义如下：过圆心C 的任意直线CP 与⊙C 交于点A ，B ，若满足|PA ﹣PB |＝2，则称点P 为⊙C 的“完美点”，如图点P 为⊙C 的一个“完美点”．
(1)当⊙O 的半径为2时
①点M(3
2
，0)⊙O的“完美点”，点(﹣
3
2
，﹣
1
2
)⊙O的“完美点”；(填
“是”或者“不是”)
②若⊙O的“完美点”P在直线y＝3
4
x上，求PO的长及点P的坐标；
(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．
【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(4
5
，
3
5
)或(﹣
4
5
，﹣
3
5
)；(2)t的
取值范围为﹣1≤t≤3．
【解析】
【分析】
（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.
【详解】
解：(1)①∵点M(3
2
，0)，
∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，
∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，
∴|MA﹣MB|＝|(3
2
+2)﹣(2﹣
3
2
)|＝3≠2，
∴点M不是⊙O的“完美点”，
同理：点(31
2
)是⊙O的“完美点”．
故答案为不是，是．②如图1，
根据题意，|PA﹣PB|＝2，
∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，
∴OP＝1．
若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，
∵点P在直线y＝3
4
x上，OP＝1，
∴
43
,
55 OQ PQ
==．
∴P(43
,
55
)．
若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣4
5
，﹣
3
5
)．
综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43
,
55
)或（
43
,
55
--）)．
(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，
∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．
∴CP＝1．
∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．
因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，
∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，
∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(1
2
，0)，
∴OF＝1
2
，OD＝1，
∵CE∥OF，
∴△DOF∽△DEC，
∴OD OF DE CE
=，
∴
11
2 DE
=，
∴DE＝2，
∴OE＝3，
t的最大值为3，
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．
同理可得t的最小值为﹣1．
综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.
7．已知：ABC内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．
（1）如图1，求证：DAB DBC
∠=∠；
（2）如图2，过点D作DM AB
⊥于点M，连接AO，交BC于点N，
BM AM AD
=+，求证：BN CN
=；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点
P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=︒，tan 2ECF ∠=，
12ON OQ =，610PQ OQ +=，求CF 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF
【解析】
【分析】
（1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；
（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；
（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据610PQ OQ +=，即可分别求出a 和CF ．
【详解】
解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG
∵BD 是O 的切线
∴∠OBD=90°
∴∠DBC ＋∠CBG=90°
∵BG 为直径
∴∠BCG=90°
∴∠CBG ＋∠G=90°
∴∠DBC=∠G
∵四边形ABGC 为
O 的内接四边形
∴∠DAB=∠G
∴∠DAB=∠DBC （2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH
∴DM 垂直平分AH
∴DH=AD
∴∠DHA=∠DAH
∵BM AM AD =+，=+BM MH BH
∴AD=BH
∴DH=BH
∴∠HDB=∠HBD
∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD
由（1）知∠DAB=∠DBC
∴∠DHA=∠DAB=∠DBC
∴∠DBC =2∠HBD
∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC
∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC
∴∠DAB=2∠ABC
∵∠DAB=∠ABC ＋∠C
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC
∴点A 在BC 的垂直平分线上
∵点O 也在BC 的垂直平分线上
∴AO 垂直平分BC
∴BN CN =
（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，
∵90DCF CDB ∠+∠=︒
∴∠DMC=90°
∵∠OBD=90°
∴∠DMC=∠OBD
∴CF ∥OB
∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，
∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2
由（2）知OA 垂直平分BC
∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN
∴△CFN ≌△BON
∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ∵12
ON OQ = ∴OQ=2a
∵CF ∥OB
∴△QGO ∽△QCF
∴=OG QO CF QF 即
2122
==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′
∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE
∴点E ′与点E 重合
∴∠EOG=90°
∴∠BOE=90°
∵PB 和PE 是圆O 的切线
∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r ∴四边形OBPE 为正方形
∴∠BOE=90°，PE=OB=r
∴∠BCE=1
2
∠
BOE==45°
∴△NQC为等腰直角三角形
∴NC=NQ=3a，
∴
BC=2NC=6a
在Rt△CFN中，CF=2210
+=
NC FN a
∵PQ OQ
⊥
∴PQ∥BC
∴∠PQE=∠BCG
∵PE∥BG
∴∠PEQ=∠BGC
∴△PQE∽△BCG
∴=
PQ PE
BC BG
即1
2
6
=
+
PQ r
r
a r
解得：PQ=4a
∵610
PQ OQ
+=，
∴4a＋2a=610
解得：a=10
∴CF=1010
⨯=10
【点睛】
此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．
8．已知ABD
△内接于圆O，点C为弧BD上一点，连接BC AC AC
、，交BD于点E，CED ABC
∠=∠．
（1）如图1，求证：弧AB=弧AD；
（2）如图2，过B作BF AC
⊥于点F，交圆O点G，连接AG交BD于点H，且222
EH BE DH
=+，求CAG
∠的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，圆O上一点M与点C关于BD对称，连接ME，交
∥交AD于点Q，交BD的延长线于点R，AB于点N，点P为弧AD上一点，PQ BG
=，ANE的周长为20，52
AQ BN
DR=，求圆O半径．
【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62
【解析】
【分析】
（1）证∠ABD=∠ACB可得；
（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合，证△ALE≌△AHE，利用勾股定理逆定理推导角度；
（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD.先证△AEN≌△QUD，再证△NVE≌△RKU，可得到
NV=KR=DK，进而求得OB的长.
【详解】
（1）∵∠CED是△BEC的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA
∵∠ABC=∠ABD+∠EBC
又∵∠CED=∠ABC
∴∠ABD=∠ACB
∴弧AB=弧AD
（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合
∵△ALB是△AHD旋转所得
∴∠ABL=∠ADB，AL=AH
设∠CAG=a，则∠CBG=a
∵BG⊥AC
∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a
∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a
∴∠LAE=∠EAH=a
∵LA=AH，AE=AE
∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH
∵HD=LB，222
=+
EH BE DH
∴△LBE为直角三角形
∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°
∴∠CAG=45°
（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD
由（2）得∠BAD=90°
∴点O在BD上
设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n
∴∠AEN=2n
∵SQ⊥AC
∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD
∵QU=AE
∴△AEN≌△QUD
∴∠QUD=∠AEN=2n
∴UD=UR=NE，
∵△ANE的周长为20
∴QD+QR=20
在△DQR中，QD=7
∵∠ENR=∠UDK=∠R=n
∴△NVE≌△RKU
∴NV=KR=DK=
2 2
∴BN=5
∴22r
=
【点睛】
本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形
9．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE
=，BE与CD交于点F．
（1）如图1，求证：BH ＝FH ；
（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．
【解析】
【分析】
（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；
（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明
Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；
（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明
()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.
【详解】
解：（1）如下图，连接AE
∵AB 为直径
∴90AEB =︒∠
∵
AE BE =
∴AE BE =
∴45B ∠=︒
又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒
∴HF HB =；
（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、
AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒
∴GCQ BCS ∠=∠
∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆
∴CG CB =
同理()CBE CGE SAS ∆≅∆
∴EG EB =；
（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN
设CAB α∠=由（2）知：CM CB =
∴CM CB =
∵HB HF =
∴45HBF HFB ∠=∠=︒
∵GF BE ⊥
∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，
∴CM CB CN ==
则：2MEB α∠=
902AEG α∠=︒-
∴45EAG EGA α∠=∠=︒+
∴45M MGC α∠=∠=︒+
∴()CMG CNG AAS ∆≅∆
∵CMG ∆面积为6
∴6CAN GAN S S -=
设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，
则()CGT BCH AAS ∆≅∆
∴C BH x ==
∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=
∴1(22)62
x CT +⋅= 解得：2x =
∵2BC BH BA =⋅
∴2210BC =⨯，则25BC ＝
∴2210BG BC ＝＝．
【点睛】
本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.
10．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是
813132
+，最小值是813132- 【解析】
【分析】
（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；
（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；
（3）△ACF 的面积有最大和最小值，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ，证明△FAG ～△EAD ，进而证明点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小，分别求出△ACD 的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF 的面积的最小值；②当F 在F 2时，四边形ADCF 的面积有最大值，在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF 的面积的最大值．
【详解】
解：（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求，如图1所示；
（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．
理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，
由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '，
∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '，
又∵CQ ＝CQ '，
∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短．
在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =
+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810
AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，
∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．
当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．
（3）△ACF 的面积有最大和最小值．
如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ． ∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=
， ∴13
AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ， ∴AC ＝GB ＝3，
又∵AD ＝9， ∴
3193AG AD ==， ∴D
AF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，
∴∠FAG ＝∠EAD ，
∴△FAG ～△EAD ，
∴
13
FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，
∴FG ＝1， ∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动， 连接AC ，则△ACD 的面积＝692722
CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，
①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，
在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =
+=+=∴313sin 13
313BC BAC AC ∠===， 在Rt △ACH 中，313913sin 3GH AG BAC =•∠== ∴119131F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22AC F H -•=⨯-=； ∴四边形ADCF 面积最小值是：27313813132722--+
=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，
∴GH ＝MN ，
在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，
∴PG ＞PN ，
又∵F 2G ＝PG ，
∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，
∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，
∴面积有最大值，
∵221F H GH GF =+=+，
∴△ACF 面积有最大值是2111)22AC F H •=⨯+=；
∴四边形ADCF 面积最大值是27812722
+++=
综上所述，四边形ADCF 【点睛】
本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．。