3-连通P3-支配图的Hamilton性

合集下载

2-连通P3-支配图的哈密尔顿性

Ｋｅｒｙｗｏｄｓ：ｑｓ— ｌｗ —ｒｅｇａｐｕａｉｃａｆｅｒｈ；Ｐ３一ｍｉｔｄｇｒｈ；ｈａｉｔｃｔｄｏｎａｅａｐｍｌｏｎｉｉｙ
Ｏ引言
本文仅考虑有限无向简单图，中一些记号参见［，］令Ｇ一（Ｅ）其２３．，是一个图，ｎ— ｌ１对Ｕ∈ Ｖ，．定义Ｕ的开邻集和闭邻集分别为 Ⅳ（）一｛ ∈ Ｖ：Ｕ∈ Ｅ｝ Ⅳ［］一 Ⅳ（）Ｕ｛｝对。 “ Ｖ和 “ “ Ｕ．，义定
和后继点，继的前继点和后继的后继点．前如果对Ｇ中任意两个点和Ｙ，Ｇ中有一条连接和Ｙ的哈密在尔顿路，称Ｇ是哈密尔顿连通的．则如果Ｇ中不包含同构于Ｋ的导出子图，Ｇ为无爪图．．ｓ称如果Ｇ中任意
Ｎｓ（）一 Ⅳ（）ｎＳ，（１一Ｕ ∈・（）（一Ｉ（），，１一｛ｙ∈ Ｅ： ∈Ｓ且Ｙ∈ ｝对７）７，）ＩＥ（７）ｘ．
，Ｙ∈ Ｖ，令（）＝｛，Ｕ∈ Ⅳ（）ｎ Ⅳ（）： “ Ⅳ［］ｃ Ⅳ ］ＵＮ］．｝用表示Ｇ的最小度．ｄｘ，用（）
ＡｓｃＬｂａ－ｎｃｄ３ｏｊｔａ。ｒＩｔｐ。ａｆ￣手，ｅｂｒｔｅｃｎｔ。ｍａｄｒｈｆｄｎｎｈｐｅｅＶｔｔｔ：ｔｅ２ｏｅＰｄｈｅｇｐ。ｅ．ｉａｒａＧｅｒｓｗｅ８ｈｉ＞ｔｎｈＧ
ｉＨａｌｎｎｏ ∈ ＦＵ｛．Ｋ１．，ｈｒｎｗｎｃａｓｆ－ｏｎｃｅｏｈｍｉｏｉｎｇａｈ．ｓｍｉｏｉｒｔａＧＫ２，．３ｗｅｅｉａｋｏｌｓｃｎｅｔｄｎｎａｌｎａｒｐｓ３１）Ｆｓｏ２ｔ

图的生成连通性及哈密尔顿连通指标

图的生成连通性及哈密尔顿连通指标设G=(V, E)是一个连通图。

图G是哈密尔顿的,如果它有一个哈密尔顿圈(包含G的所有的顶点的圈)。

如果G的任意两个顶点之间存在一个哈密尔顿路(包含G的所有的顶点的路),则G称为哈密尔顿连通的。

图G称为k连通的,如果G的任意两个顶点之间存在k条内部不交的路。

连通度κ(G)是最小的正整数k,使得删掉G的k个顶点后G是不连通的。

在本文中,我们研究幂图的生成连通性以及树和单圈图的哈密尔顿连通指标。

图的生成连通性是连通性和哈密尔顿性的融合与推广。

我们的主要结果是：(a).对于任意u,v∈V(G),--个k*-container C(u,v)是k-条内部不交的(u,v)-路的集合,使得C(u,v)包含G的所有顶点。

G是k*-连通的,如果任意两个顶点之间存在一个k*-container.如果G是1*-连通的,那么G的生成连通度K*(G),是最大的正整数k,使得对所有的i：1≤i≤k,G是i*-连通的,否则生成连通度没有定义。

图G的s-次幂,记作Gs,是定义在V(G)上的图,使得在Gs中两个顶点相连当且仅当它们在G中的距离不超过s。

我们证明：如果G是一个|V(G)|≥k+1≥4的连通图,那么Gk是k*-连通的。

(b).图G=(V(G),E(G))的线图L(G)是一个图,它以E(G)作为顶点集,且L(G)中两个顶点相连当且仅当相应的边在G中相邻。

叠加线图递归地定义为L0(G)=G且Lk+1(G)=L(Lk(G))(k∈N,其中N表示自然数集)。

图G的哈密尔顿指标h(G)(哈密尔顿连通指标hc(G))是使得G的叠加线图Lk(G)是哈密尔顿的(哈密尔顿连通的)最小的k。

Chatrand和Wall给出了树的哈密尔顿指标的精确的计算公式。

我们证明：对于树T,h(T)≤hc(T)≤h(T)+1,对于单圈图G有：h(G)≤hc(G)≤max{h(G)+1,k’+1},其中k’满足下列三个条件的最长的路的长度：(1)全部顶点在某个圈上,(2)两个端点的度数至少为3,(3)内部顶点的度数全是2。

P3-支配图哈密尔顿性的一个充分条件

文章仅考虑有限无向简单图。一些记号概念参见Ｅ］２。Ｇ一（Ｅ是一个图。１Ｅ］令，）定义Ｕ的开邻集和闭邻集为Ｎ（）｛Ｚ一：Ｕ∈ Ｅ｝ＮＥ－Ｎ（）｛｝对Ｓ，，ｌ和ｕＩ — ＵＵ。Ｔ定义Ｎ一Ｎ（）ＮＳｄ（）Ｉ（）ｌＥ（，（），ｓ一，ＳＮＴ）一｛ｙ∈ Ｅ：ｘｚ∈ Ｓ，Ｙ∈ Ｔ。Ｊｚ，）一｛Ｎ（）ＮＮ（）Ｎ［且）令（Ｕ∈ ｚ：ＮＥ］ＵＮＥ］。ｄｘ，表示ｘｙ）用（）
维普资讯
ห้องสมุดไป่ตู้第２６卷
第４期
《疆师范大学学报》自然科学版）新（
ＪｕｎｌｆＸｉｊｎｒｌＵｎｖｒｉｙｏｒａｎｉｇＮｏｍａｏａｉｅｓｔ
（ａｕａｉｎｃｓＥｄｉｉＮｔｒｌＳｃｅｅｔｏｎ）
、
［者简介］吕明富（９９）男，疆喀什人，读硕士研究生，要从事图论及其应用研究．作１７一，新在主
维普资讯
第４期
吕明富等
一支配图哈密尔顿性的一个充分条件
文献［］于半无爪图有以下结果。１对
定理１１一个连通的，部连通的半无爪图是泛圈图。ｃ］局
本文的目的是把上面结果推广到Ｐ一支配图上，３主要结果为下面定理２。定理２一个连通的，局部连通的的Ｐ一支配图是哈密尔顿的。３

P 3阶Cayley图的边Hamilton性

边一Ｈ图．引理１引Ｐ一群上的Ｃｙｅ【ａｌｙ图是Ｈ图．
收稿日期：０７— １０修回日期：０７一ｏ一ｏ．２００ — ４：２０３２
基金项目：庆市教委科研基金项目（（５８７．重１ｏ００）Ｊ
作者简介：廖江东（９１）男，１８一，重庆彭水人，士研究生，硕主要从事代数图论研究．
所考虑的群与图均为有限，用群与图的术语和记号参见文献［所１—３．］
设Ｇ为有限群，ｃＧ是Ｇ的一个生成集，，记为Ｇ＝（．Ｖ ∈Ｍ，）若＜Ｍ一＞是Ｇ的真子群，
则称是群Ｇ的一个极小生成集．谓生成集为的群Ｇ上的Ｃｙｅ（向图）用符号Ｘ＝Ｘ（Ｍ）所ａｌｙ图无Ｇ，表示，义如下：定（＝Ｇ，）＝｛ｇ）Ｉ ∈ Ｇ，Ｍ）（（，ｇｓ∈ ｕＭ｝
个Ｈｍｉｏａｌｎ圈上，上述猜想成立，这是相当困难的．到下面这个结论：ｔ则但得
定理５Ｐ阶群Ｇ其中Ｐ，是素数，Ｇ＝＜Ｍ＞，为群Ｇ的生成集，Ｍ则（，是边一Ｈｍｌｎ图．Ｇ）ａｉｏｔ为了简单计，ａｉｏ路、ａｉｏ圈、ａｉｏＨｍｌｎＨｍｌｎＨｍｌｎ图和边一Ｈｍｌｎ图分别简称为Ｈ路、ｔｔｔａｉｏｔＨ圈、Ｈ图、
若对群Ｇ的每一个生成集，＝ＸＧＭ）Ｘ（，均存在Ｈｍｌｎ圈，ａｉｏｔ则称群Ｇ上的Ｃｙｙａｌ图是Ｈｍｌｎｅａｉｏ图．ｔ设，是一个Ｈａｌｎ图，果，的每一条边都在，的某一个Ｈｍｉｏｍｉｏｔ如ａｌｎ圈上，称图，为边一ｔ则Ｈｍｌｎ图．已证实为Ｈｍｌｎ图的Ｃｙｅａｉｏｔ在ａｉｏｔａｌｙ图中，们发现，多图都是边一Ｈｍｌｎ图．于是人许ａｉｏｔＣｅＣＣ在１８ｈｎ．．９８年提出如下猜想：猜想【５每一个Ｈｍｌｎａｌ图都是边一Ｈｍｌｎ图．４．ａｉｏＣｙｙｔｅａｉｏｔ如前所述，生成集为的群Ｇ上的Ｃｙｅａｌｙ图（）的边集Ｅ（，边（，）称为一条ｓ一边．Ｇ，Ｘ）把ｇ对于Ａｅ群容易证明猜想成立，ｂｌ故考虑的图均为非Ａｅ群．ｂｌ利用（，）Ｇ的点传递性，容易验证如下事实：定理１６Ｃｙｅ［】ａｌｙ图（Ｍ）Ｇ，是边一Ｈｍｌｎ图当且仅当Ｖｓ∈Ｍ，（Ｍ）ａｉｏｔＸＧ，有包含ｓ一边的Ｈｍｌｎ圈．ａｉｏｔ

无爪图及其扩展图的Hamilton性

无爪图及其扩展图的Hamilton性众所周知判断一个一般图是否具有Hamilton性是NP-完全问题,虽然无爪图是对一般图进行了条件限制的图,但是判断其Hamilton性仍是NP-完全问题.所以众多学者对一些特殊的无爪图进行了研究,并得出了很多关于特殊无爪图的“任Hamilton性的结果.本文建立在研究Matthews和(?)Sumner提出的著名猜想：意一个4-连通的无爪图是Hamilton图”的基础上,分别讨论了矩形连通无爪图,无(P6)2及hourglass子图的无爪图,半局部2-连通无爪图,几乎局部连通无爪图的Hamilton性,并给出了无爪图的扩展图中的不属于F1的2-连通半无爪图的周长范围.本论文的主要研究结果如下：(1) Li, Guo, Xiong等人提出猜想：“若G 为一个连通的δ(G)≥3的矩形连通无爪图,且G中不含同构于H1或H2的子图H,其中H中度数为4的顶点不是局部连通点,则G是顶点泛圈图.”本文针对该猜想提出反例,通过将猜想条件中的6(G)的下界值调大至5,使得该猜想的结论成立.由于矩形连通图包含局部连通图,N2-局部连通图,三角形连通图,所以这个关于矩形连通无爪图的顶点泛圈性的结论扩展了上述特殊无爪图的顶点泛圈性的结果.(2)本文证明了任意一个4-连通的不含(P6)2及hourglass子图的无爪图为一个Hamilton连通图,这一结论更接近证明出Matthews和Sumner提出的著名猜想:“任意一个4-连通的无爪图是Hamilton图.”本文在半局部连通图的定义的基础上提出了半局部n-连通图的定义,易见半局部2-连通图包含局部2-连通图Kanetkar和Rao证明了一个连通的局部2-连通无爪图为一个泛连通图.本文给出了一个不是泛连通图的半局部2-连通无爪图的例子,并证明了任意一个连通的半局部2-连通无爪图为Hamilton连通图.在一定程度上也扩展了Kanetkar和Rao的上述结论Asratian提出任意一个连通的无爪图G为Hamilton连通图当且仅当G为3-连通图.本文将Asratian的结论加以推广证明了任意一个几乎局部连通无爪图G为Hamilton连通图当且仅当G为3-连通图.(3)半无爪图是无爪图的扩展图之一.Li证明了不属于F1的阶为n的2-连通无爪图具有长度至少为min{3δ+2,n}的圈.本文同样证明了不属于F1的阶为n的2-连通半无爪图具有长度至少为min{3δ+2,n}的圈.进一步证实了无爪图的扩展图中的半无爪图与无爪图在Hamilton性及周长等方面有着相似的性质.。

欧拉图与汉密尔顿图

构造欧拉回路
思想：在画欧拉回路时，已经经过的边不能再用。因此，在构造欧拉回路过程中的任何时刻，假设将已经经过的边删除，剩下的边必须仍在同一连通分支当中。
构造欧拉回路-Fleury算法

算法：

输入：欧拉图G
输出：简单通路P = v0e1v1e2,…,eiviei+1,…,emvm, 其中包含了 EG中所有的元素。

若图中有n个顶点, 则Hamilton回路恰有n条边.
注：Hamilton回路问题主要针对简单图。

Hamilton回路的存在性问题
21
K3
K4
Kn(n3)有Hamilton回路 b a c a b c a b c
e
d
e
d
e
d
哈密尔顿图的必要条件
22

如果图G=(V, E)是Hamilton图，则对V的任一非空子集S，都有
Fleury算法的证明
(2) (证明含所有边)假设Pm没有包括G中所有的边，令Gm中所有非零度顶点集合为S（非空）, 令S' =VG-S, 则vmS'。
考察序列e1,e2,…ej,ej+1,…,em 。假设 j 是满足 vjS, 而vj+1S’的最大下标。如果没有这样的 j，G就不连通，矛盾。因为Pm的终点在S’中，因此ej+1 一定是Gj中的割边。令 e 是在 Gj 中与 vj 相关联的异于 ej+1 的边 ( 非零度点一定有 ), 根据算法选择 ej+1( 割边)的原则，e也一定是割边。但是， Gm中任意顶点的度数必是偶数，e在Gm中的连通分支是欧拉图，e在Gm的某个
G中的欧拉回路构造如下：从Ck+1上任一点(设为v0)出发遍历 Ck+1上的边，每当遇到一个尚未遍历的Ci'与Ck+1的交点(设为 vi'), 则转而遍历Ci'上的边，回到vi'继续沿Ck+1进行。

哈密尔顿图的判定及应用论文

哈密尔顿图的判定及应用论文引导语：哈密尔顿图的研究是图论中不可或缺的一部分，这个问题的研究已经应用到了各个领域。

合理的利用哈密尔顿图的结论，不仅可以节约大量的时间，更可以降低发展的成本。

因此很多学者致力于哈密尔顿图的问题研究，也得到了很多了不起的突破。

1 引言1.1 哈密尔顿图的起源哈密尔顿(Hamilton)是一位出生在爱尔兰的天文学家和数学家. 他的一生是很丰富多彩的，自从他发现“四元数”后，他又发现了另一种称之为“The Icosian Calculus”的代数系统，这个系统包含有乘法和加法的运算算子，但是乘法并不满换律(即xy-yx这个规律)。

他发现的这个代数系统是和正则12 面体有关的。

于是在1859 年他提出下列周游世界的游戏:在正十二面体的二十个顶点上依次标记伦敦、巴黎、莫斯科、华盛顿、北京、东京等世界著名大城市; 正十二面体的棱( 边) 表示连接这些城市的路线。

问: 能否在图中做一次旅行,从顶点到顶点, 沿着边行走, 经过每个城市恰好一次之后再回到出发点?曾经有很多人不断追寻这个游戏的答案。

可以应用拓扑的思想，将这正十二面体“拉平”将会得到一个和它同构的平面图(如图1-1)，这样进行就可以将这个游戏转化为：要求必须沿着正十二面体的棱，怎样才能走完正则十二面体上的所有顶点，而且最后又回到起点的问题。

图1-1：哈密尔顿周游世界图从此人们将这类图称作哈密尔顿图，哈密尔顿图的研究也开始慢慢建立起来。

1.2 研究背景和意义哈密尔顿图是图论的重要的一部分，随着数学和科学技术的蓬勃发展，它的应用已经渗透到自然科学、社会科学的各个领域。

然而其发展的时间并不长，所以还有很多的地方有待改进。

其在货郎担问题的研究上，更是进几十年才受到重视，然而他的应用却是非常广泛的，同样的方法，可以用以地震搜救，粮食分派，粮食运输，外出旅游等类似的各个方面。

不仅能降低资源浪费，还可以最大化成果，对于受困的群众，多一分钟就可以多一分生存的希望。

哈密尔顿通路的应用原理

哈密尔顿通路的应用原理什么是哈密尔顿通路？哈密尔顿通路是指一条经过图中所有顶点且不重复的路径，如果该路径还能回到起点，则称之为哈密尔顿回路。

哈密尔顿通路在图论中具有重要的应用价值，可以解决多种问题，如旅行商问题、电路布线问题等。

哈密尔顿通路的应用原理在解决实际问题时，我们常常需要找到一条遍历所有顶点的路径。

哈密尔顿通路提供了一种解决这类问题的思路和方法。

以下是哈密尔顿通路的应用原理：1.构建图模型: 首先，我们需要将实际问题抽象成图模型。

在图中，顶点表示问题中的元素或状态，边表示元素之间的关系或状态之间的转换。

根据具体问题的特点，选择合适的图模型。

2.寻找哈密尔顿通路: 接下来，我们需要通过遍历图中的所有顶点，找到一条路径，使得路径经过每个顶点且不重复。

如果路径还能回到起点，那么这就是一条哈密尔顿回路。

寻找哈密尔顿通路可以使用多种算法，如回溯法、动态规划等。

具体选择哪种算法取决于图的规模和问题的复杂度。

3.应用结果: 找到哈密尔顿通路后，我们可以根据具体问题的要求，应用这条路径来解决实际问题。

例如，如果是旅行商问题，我们可以使用哈密尔顿通路来规划旅行路线，使得旅行商能够经过每个城市且不重复。

哈密尔顿通路的问题与挑战虽然哈密尔顿通路在解决问题时提供了一种有力的思路和方法，但是找到哈密尔顿通路并不总是容易的。

以下是一些常见的问题和挑战：1.图的规模\：对于较小的图，可以使用暴力搜索方法进行遍历，找到哈密尔顿通路。

但是对于大规模的图，暴力搜索的时间复杂度很高，不切实际。

2.计算复杂度：找到哈密尔顿通路的计算复杂度是指数级别的，这意味着在某些情况下，即使使用高效的算法，也需要进行大量的计算。

3.NP完全问题：哈密尔顿通路问题是一个经典的 NP 完全问题，目前还没有找到一种高效的解决方法。

虽然有一些启发式算法可以在某些情况下找到近似解，但对于某些特殊的图，仍然无法得到准确的解。

哈密尔顿通路的应用实例哈密尔顿通路在实际问题中有着广泛的应用。

P_3-控制图的Hamilton性

ｓｂｒｐｏｐｉｏｚｓｔｆｓｔｅｃａａｔｒｓｉｏｕｇａｈｉｍｏｈｃｔ１ａｉｉｈｈｒｃｅｉｔｓｓｅｃｆ
ｌ
（ｂ）ｏ口，１ｒ
（ｂ）ｔｅｓｅｈｒ口，２，ｈｎＧｉｉｅｔ
ｈｍｉｏｒｉｏｐｉｏＫ２３．ａｌｎｏｓｍｏｈｃｔｔ
尸一制图的Ｈｍｌｎ性３控ａｉｏｔ
宋娟娟，江鲁王
（山东师范大学数学科学学院，山东济南２０１）５０４
摘要：本文主要证明了如下结论：Ｇ是２连通的Ｐ－设－３控制图，Ｇ的每个同构于Ｚ若。的导出子图具有性质（，－或 Ⅱ ｂ）
收稿日期：０７１－０２０－０２作者简介：宋娟娟（９７一）女，１７，硕士研究生，研究方向：图注与组合优化
维普资讯
５２
山东Leabharlann 科学２ＯＯ７矩
文献［］３中也有说明．
图Ｇ中包含所有顶点的圈，为Ｈｍｌｎ圈，Ｇ中存在Ｈｍｉｏ，称ａｉｏｔ若ａｌｎ圈则称Ｇ是Ｈｍｌｎ的．于Ｖｔａｉｏｔ对 ∈ （）满足３ ≤ ｌ（）的整数，图Ｇ中包含的肛圈，称Ｇ是点泛圈的，记的肛圈为（）Ｇ及 ≤ Ｇｌ若则并，．圈．Ｃ＝２令１ … １Ｇ中一个圈，， ∈ ＶＧ）１＜是（（ ≤ｉ ≤ ｍ）用，
Ｎ［＝Ｎ（Ｕ｛，（＝Ｎ（ｎＶＨ）（）（，Ｓ，）ｓ∈Ｅ（）Ｉ ∈Ｓ，∈ Ｔ．］）｝））（，Ｓ＝Ｕ ∈ ）Ｅ（Ｔ＝｛ｔＧ｝ｓｔ｝Ｇ

2-连通T3-受限图的Hamilton性

ＥＧ（（）否则易得长于ｃ的圈）故Ｉ（｛，一 “ ］ ≤２与一受限图矛盾．，Ｇ［Ｅ，ｕ，｝）Ｉ，口由论断１Ｇ—ｃ的任意一个分支中只含一个顶点．｜，令ｓ＝ＶＧ—ｃ，｜是的Ｇ一个点独立集．（）则ｓ。设（日）＝｛，｝因为Ｇ是２一连通的，以ｌｃ）｝２所（ ≥ ．Ｎ论断２对任意的ｕＥＥ（，ｃ），ｕ芭Ｅ（）｛（）有一“ ｝Ｇ．
一
次的圈称为Ｇ的Ｈｍｉｏ．ａｌｎ圈如果Ｇ有Ｈｍｉｎ圈，ｔａｌｔｏ则称Ｇ是Ｈａｉｏ．ｍｌｎ的ｔ关于２一连通无爪图的哈密顿性，已有下述结果：
＾
定理１如果图Ｇ是ｎ阶２一连通无爪图，【２满足 ≥
Ｊ
，Ｇ是Ｈｍｌｎ的．则ａｉｏｔ
心．（，，，）用ｕ，Ｙ表示以｛，，，｝ｕ，Ｙ为顶点集的，并约定该记号中的第一个顶点ｕ表示该的中心，后三个顶点表示
该的三个一度顶点．如果图Ｇ不含同构于Ｋ．。，的导出子图，则称Ｇ为无爪图．如果图Ｇ中的任意一个同构于的子图
图．
关键词
一受限图；２一连通；Ｈｍｌｎａｉ圈ｔｏ
中图分类号
０１７５５．
以下仅讨论有限无向简单图，所使用的记号和术语约定如下，其中未加说明的部分参照文献［］１．设Ｇ是一个图，（，（）ＶＧ）ＥＧ分别表示Ｇ的顶点集和边集．对于ＥＶＧ，，（）Ｇ的子图日，（）ＳＴｃＶＧ及令％（）＝｛（：ＥＥ（）％（）＝ ∈ ％（）Ｅ（Ｔｕ∈ Ｈ）删Ｇ；｜；ｓＳ，）＝｛ＥＥ（）ｕ∈ ｜且ＥＴ．删Ｇ：ｓ｝Ｇ的由｜导出的子图记为ＧＳ，Ｈ］＝Ｉ（ｓ［］［Ｈ）Ｉ日的阶．Ｖ叫称完全二部图Ｋ＇为爪，１３其中的３度顶点称为爪心．部分Ｋ．的一条边所得到的图记为，，其中的３度顶点称为的中

蕴含强(p,q)哈密尔顿性的几个条件

图是强ｑ弧哈密尔顿，称有向图Ｄ是强（ｇ哈密尔顿的．则，）
显然，（，）密尔顿有向图恰好是强哈密尔顿连通的．强０１哈更多结果参看文献［ —］６８．
定义２２设ｚ和Ｙ是有向图Ｄ上的两个不同顶点，Ｌ］Ｐ是以Ｖ（为顶点集的完全有向图上的一条（的有向图．Ｄ是一个有向图，们用表示Ｄ的顶点的个数，Ｖ（和设我用Ｄ）Ａ（分别表示Ｄ的顶点集和弧集．Ｄ）设，Ｙ是Ｄ上的两个顶点，如果ｘｙ是Ｄ的一条弧，么我们称控制Ｙ或者Ｙ被Ｘ控制，那记作 — ．所有被ｚ控制的顶点构成的集合称为ｚ的外邻，记作Ｎ去（）所有控制ｚ的顶点构成的集合称为Ｘ的内邻，ｚ，
合且Ｓ中所有路的总长度为ｑ如果对于所有满足上述条件的集合ｓ，向图Ｄ一（ＡＵｓ都有包含ｓ的．有Ｖ，）
哈密尔顿圈，称Ｄ是强ｑ弧哈密尔顿的．则如果对所有整数ｒＯ ≤ ｐ删除Ｄ的任意ｒ个顶点得到的有向（ ≤ｒ）
（）小半度（ ≥ （声ｑ／；１最Ｄ）十＋）２
（）是（＋口）２Ｄ户＋１强连通有向图，ｄｚ＋（＋～（）且（））Ｍ＋一口 ≥ ２＋ｐ）１这里，是任意控（）（＋ｑ一，ｚ，
制顶点对，， “ 口是任意被控制顶点对；
蕴含强（，）密尔顿性的几个条件夕ｇ哈

图的哈密尔顿连通性及支撑树特征研究

图的哈密尔顿连通性及支撑树特征研究图的哈密尔顿性是结构图论的一个重要而且意义深远的研究课题.该问题的产生和发展与著名的四色猜想的研究密切相关,因而备受国内外众多图论专家和学者的关注.图的哈密尔顿路的问题与结构图论中哈密尔顿性的研究也是密切相关的.从算法复杂性来讲,判定一个图是否存在一条哈密尔顿路是NP-完全的.因此,对哈密尔顿路的问题的研究主要集中在给出图中存在哈密尔顿路的充分条件.关于一个图为哈密尔顿连通图的充分条件主要包含以下两类：一类是从参数的角度刻画,常用的有独立数,度和,最小度,邻域并等；另一类是从结构图论的角度,考虑禁用某些特定的子图.设H是由连通图所组成的图类.若对任意的图H∈H,图G都不包含H作为导出子图,则称图G是H-free的并且称H是图G的一个禁用子图.一个图称为无爪图如果这个图是K1,3-free的.Faudree等人在文献[J.R. Faudree, R. J. Faudree, Z. Ryjacek and P. Vrana, On forbidden pairs implying Hamiltion-connectedness, J Graph Theory 72 (2012),247-365.]中证明了：对于X=K1,3并且Y ∈{P8,N1,1,3, N1,2,2},如果G是3-连通{X,Y}-free图,则图G是哈密尔顿连通的.在第二章中,我们部分推广了该结果,证明了任何3-连通{K1,3,N1,2,3-free图都是哈密尔顿连通图.注意到图G中存在一条哈密尔顿路当且仅当下述三个条件之一成立：(i)图G中存在恰含两个叶子点的支撑树.(ii)图G中存在含零个分枝点的支撑树.(iii)图G中存在最大度至多为2的支撑树.因此,下述问题是图中哈密尔顿路问题的自然推广.(1)图G中存在至多k个叶子点的支撑树.(2)图G中存在至多k个分枝点的支撑树.(3)图G中存在最大度至多为k的支撑树.目前,关于图中是否存在上述三类支撑树问题的研究,主要利用的参数包括：独立数,坚韧度,度和,最小度,邻域并等.Matsuda, Ozeki和Yamashita在文献[H. Matsuda, K. Ozeki and T. Yamashita, Spanning trees with a bounded number ofbranch vertices in a claw-free graph, Graphs and Combinatorics.30(2014) 429-437.]中证明了：设k是一个非负整数,G是连通无爪图.若p(G)≤2k+2,则G中存在至多k个分枝点的支撑树.在第三章中,我们证明了：设k和r都是整数,其中k≥2和r≥4,G 是2-连通K1,r-free图.若α(G) ≤ k + [k+1/r-3] -[1/|r-k-3|+1],则G中存在至多k个叶子点的支撑树,并且该结论中独立数的上界是最好可能的.由此我们得到如下推论：设k是一个非负整数,G是2-连通K1,4-free图.若a(G)≤2k+5,则G中存在至多k个分枝点的支撑树.此外,我们给出了如下定理：设k是一个非负整数,G是连通K1,4-free图.若a(G)≤2k+5,则图G中存在至多k个分枝点的支撑树或者图G中含有一个块B使得a(B)≤2.最后,我们提出了如下猜想：设k 是一个整数,其中k≥2,G是2-连通无爪图.若a(G)≤2k+2,则G中存在至多k个叶子点的支撑树.。

两类图的哈密尔顿性

两类图的哈密尔顿性
Hamilton问题是图论中主要研究的问题之一.一个连通图是Hamilton图的充要条件至今尚未找到.许多学者都致力于研究某一类图的Hamilton性问题.关于无爪图的Hamilton性问题曾在一段时间内受到广大图论研究者的关注.1998年, Ainouche中首次提出半无爪图的概念,使许多无爪图的结果可以推广到半无爪图. H.J.Boersma和E.Vumar于2009年又引进P3-支配图的概念,再次把半无爪图推广到更大图类.本文得出P3-支配图哈密顿性的一个充分条件:若G是3-连通的P3-支配图,其阶为n,则当n 5δ- 4时, G是Hamiltonian图.2006年,李明楚等人在《Quadrangularly connected claw-free graphs》中证明了连通, N2-局部连通图是四边形连通图这一性质,且证明了定理:没有1度点的四边形连通无爪图,如不包含同构于两个图的导出子图H,使得H中每个4度点x的N1(x,G)是不连通的,那么它是Hamilton图.我们修改了此文中存在的问题,我们指出连通, N2-局部连通图是四边形连通图这个性质的叙述是不完整的,并给出了新的证明.与此性质的不完整性相反,定理中“没有1度顶点”的条件是多余的,事实上,四边形连通图没有1度点.我们还注意到定理的证明存在一些问题,尽管它的证明基本正确的.事实上,我们认为断言2 ? 4是有错误的.本文以稍微不同的形式重述了这个定理,并且给出了证明的一个修正.。

Hamilton图的若干判定条件

摘要Hamilton回路判断的充分必要条件是至今尚未解决的一个难题，本文探讨了一些Hamilton图的充分条件，必要条件，并根据Hamilton图的相关性质给出了若干种判定Hamilton图的方法，同时，也给出了判定方法相应的实例。

关键词Hamilton图；充要条件；判定方法；回路；简图AbstractThe sufficient and necessary condition for judging Hamiltonian graph has been an unsettled problem for a long time. This paper mainly concerns some sufficient condition and some necessary conditions, and gives some methods for judging Hamiltonian graph based on the properties of Hamiltonian graph. Meanwhile , some examples are given.Key wordsHamiltonian graph; the sufficient and necessary condition; methods of judgement ; cycle；simple graph目录1．引言 (1)2．Hamilton图的相关概念 (2)3．Hamilton图的性质 (3)4．Hamilton图的若干判定方法 (5)5．相关的应用实例 (7)5.1 典型例子 (7)5.2 简单实例 (8)5.3 判断Hamilton图－1 (8)5.4 判断Hamilton图－2 (8)5.5 Petersen图是非Hamilton图的一个证明 (11)参考文献 (13)谢辞 (14)Hamilton图的若干判定条件Judgement of Hamiltonian Graph１.引言1859年，英国数学家哈密顿（Hamilton）爵士提出了下列周游世界的游戏：在正十二面体的二十个顶点上依次标记伦敦，巴黎，莫斯科，华盛顿，北京，东京等世界著名大城市;正十二面体的棱（边）表示连接这些城市的路线，问：能否在图中做一次旅行，从顶点到顶点，沿着边行走，经过每个城市恰好一次之后再回到出发点？这个问题被称为Hamilton问题。

Y_3V_3-free图的哈密尔顿问题

Y_3V_3-free图的哈密尔顿问题哈密尔顿问题一直是图论中近几年来研究的一个热点,这从国际上几种著名的数学刊物及国内几种核心数学期刊发表的文章可见一斑。

判断一个图在什么条件下是一个哈密尔顿图即所谓的哈密尔顿问题。

而禁用子图的哈密尔顿问题是哈密尔顿问题研究重要的研究领域之一。

无爪图（claw-free graphs）是禁用子图研究最为深入的一个图类。

关于无爪图的哈密尔顿问题,目前已有很多出色的且较为成熟的结果。

同时与无爪图相关的且比无爪图更广的图类-如几乎无爪图（almost claw-free graphs）、半无爪图（quasi-claw-free graphs）的研究更是方兴未艾,新的结果层出不穷。

本文采用“强思维”与“弱思维”的方式首次研究了一种比无爪图更广的图类Y3 V3-free图的哈密尔顿问题,这些结果拓展了哈密尔顿问题的研究。

首先本文在第二章第一节研究了在连通、局部连通条件下Y3 V3-free图的哈密尔顿性。

在连通局部连通条件下存在Y3 V3-free图是非哈密尔顿图;甚至存在连通度、局部连通度任意大的Y3V3-free非哈密尔顿图。

图的最长圈的研究常常会促进图的哈密顿性的研究。

进一步研究Y3 V3-free图的最长圈得到本文的第一个重要结果:定理1.1.1若G是顶点数不小于3的连通、局部连通Y3 V3-free图,则G的最长圈为控制圈,且G是局部泛圈图（subpancyclic graphs）。

P3-支配图哈密尔顿性的两个充分条件

P3-支配图哈密尔顿性的两个充分条件马小玲;艾尔肯·吾买尔【期刊名称】《运筹学学报》【年(卷),期】2009(013)002【摘要】在文献[3]中介绍了一个新的图类-P3-支配图.这个图类包含所有的拟无爪图,因此也包含所有的无爪图.在本文中,我们证明了每一个点数至少是3的三角形连通的P3-支配图是哈密尔顿的,但有一个例外图K1,1,3.同时,我们也证明了k-连通的(k≥2)的P3-支配图是哈密尔顿的,如果an(G)≤k,但有两个例外图K1,1,3 andK2,3.%The class of P3-dominated graphs was introduced recently in [3]. This class properly contains all quasi claw-free graphs, and hence all claw-free graphs. In this paper, we show that every triangularly connected P3-dominated graph on at least three vertices is hamiltonian, with an exception .K1,1,3. Moreover, we prove that a fe-connected (k ≥ 2) P3-dominated graph is hamiltonian if an(G) ≤ k, with two exceptions if 1,1,3 and K2,3.【总页数】9页(P59-67)【作者】马小玲;艾尔肯·吾买尔【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院同,乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院同,乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O22【相关文献】1.2-连通P3-支配图的哈密尔顿性 [J], 吕明富;杜淅霞;买吐肉孜·买司地克2.P3——支配图哈密尔顿性的一个充分条件 [J], 吕明富;杜淅霞;张静文3.关于图是可迹或1-哈密尔顿的两个充分条件 [J], 徐新萍;徐敏4.P3-支配图哈密尔顿性的两个充分条件 [J], 吕明富;杜淅霞5.3-连通P3-支配图的Hamilton性 [J], 田润丽;赵飚因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

单片机原理哈密尔顿

单片机原理哈密尔顿
单片机原理是现代电子技术中的一个重要方面，它在各种电子设备中发挥着至关重要的作用。

其中，哈密尔顿路径问题是计算机科学中一个著名的问题，也与单片机原理有着一定的联系。

单片机是一种集成了微处理器、存储器和各种输入/输出接口的微型计算机系统。

它通常由CPU、RAM、ROM、计时器、串行/并行接口等组成，能够完成各种控制任务。

单片机广泛应用于家用电器、汽车电子、工业控制、医疗设备等领域，为现代生活提供了便利。

哈密尔顿路径问题是图论中的一个经典问题，要求找到一条经过图中每个顶点恰好一次的路径。

这个问题在计算机科学中有着重要的应用，例如在网络路由、电路设计等领域。

解决哈密尔顿路径问题需要深入理解图论知识，并运用适当的算法进行求解。

在单片机应用中，有时候也需要考虑类似于哈密尔顿路径的问题。

例如，在自动控制系统中，需要设计一条路径使得机器人或传感器能够经过每个关键点，完成特定的任务。

这就涉及到路径规划、优化算法等方面的知识，需要结合单片机原理和算法知识来解决。

单片机原理包括了数字电路、微处理器、嵌入式系统等多个方面的知识，需要掌握各种硬件和软件技术。

在实际应用中，工程师们需要根据具体的需求设计并实现相应的控制方案，确保系统稳定可靠。

总的来说，单片机原理和哈密尔顿路径问题虽然看似不相关，但在
某些特定场景下却有着一定的联系。

通过对单片机原理的深入理解和掌握，工程师们能够更好地解决实际问题，提高系统的性能和可靠性。

希望未来能有更多的人投身于单片机领域的研究和应用，为电子科技的发展做出贡献。

哈密顿图论

哈密顿图十二面体中的哈密顿路径哈密顿图（英语：Hamiltonian path，或Traceable path）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。

在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径。

美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。

哈密尔顿回路问题与欧拉回路类似。

它是1859年哈密尔顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在图10.4.9中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成是交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称作周游世界问题（10.4.9）对图10.4.9 ，图中粗线给出了这样的回路。

定义10.4.3 给定图G，若有一条路通过G中每个结点恰好一次，则这样的路称为哈密尔顿路；若有一个圈，通过G个每个结点恰好一次，这样的圈称为哈密尔顿回路（或哈密尔顿圈）。

具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。

尽管哈密尔顿回路与欧拉回路问题在形式上极为相似，但是到目前为止还不知道一个图为哈密尔顿图的充要条件，寻找该充要条件仍是图论中尚未解决的主要问题之一。

下面先给出一个简单而有用的必要条件。

定理10.4.4 设图G＝〈V ,E〉是哈密尔顿图，则对于V的每个非空子集S，均有W（G－S）≤|S| 成立，其中W（G－S）是图G－S的连通分支数。

证明: 设α是G的哈密尔顿回路，S是V的任一非空子集。

在G－S中，α最多被分为|S|段，所以W（G－S）≤|S|利用本定理可判别某些图不为哈密尔顿图。

如在图10.4.10中，若取S＝｛v1，v4｝，则G－S有3 个连通分支，故该图不是哈密尔顿图。

图的Hamilton性和连通性的谱刻画的开题报告

图的Hamilton性和连通性的谱刻画的开题报告概述：该开题报告主要讨论了图的Hamilton性和连通性的谱刻画。

具体来说，报告分为三部分：第一部分介绍了图论基础，包括图的定义、图的表示方法、路径和环的定义等。

第二部分讨论了图的Hamilton性和连通性的谱刻画。

首先，我们介绍了谱图理论和图Laplacian矩阵的定义。

然后，我们通过定义图的特征值和特征向量，提出了一些基本结果，例如图的度数和图的谱半径等。

接着，我们详细讨论了图的Hamilton性和连通性的谱刻画，并介绍了基于谱方法的算法，以及它们的优劣势。

第三部分总结了我们的研究成果，并提出了一些研究方向，例如将图谱方法应用于大规模的复杂网络，提高算法的精度和效率，以及探索图的其他性质的谱刻画等。

正文：一、图论基础图是由节点和边组成的抽象数学对象。

一个无向图G可以用顶点集V和边集E表示，其中V={v1,v2,v3, …, vn}表示节点集合，E={(vi，vj)}代表边集合。

路径是通过一系列节点和边连接的节点序列，环是一个路径从起点到终点的一条边。

在无向图中，简单路径是没有重复节点的路径。

简单环是没有重复节点或边的环。

二、图的Hamilton性和连通性的谱刻画1. 谱图理论和图Laplacian矩阵谱图理论是一种用特征值和特征向量描述图的方法。

我们可以通过谱图理论来研究图的结构和性质，例如连通性、Hamilton性、与自然图模型的比较等。

图Laplacian矩阵也是谱图理论中的一个重要概念。

它是由图的节点和边定义的矩阵，可以用于研究图的能量和其他性质。

对于无向图G=(V,E)，Laplacian矩阵$L_G$被定义为:$$L_G=D_G-A_G$$其中$A_G$是邻接矩阵，$D_G$是对角矩阵，$D_{ii}$是节点i的度数。

对于一个无环图，Laplacian矩阵具有下列性质：（1）它是一个实对称矩阵。

（2）它至少有一个非零特征值，当前这个特征值就是0。