2-4_极限的运算
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极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
2-4无穷小无穷大
2.4 无穷小、无穷大
2.4.1 2.4.2 2.4.3 无穷小 无穷大 无穷小的比较
21-1
2.4.1
无穷小
0
lim f ( x) 0 （或 lim f ( x ) 0 ）,就称 定义 2.4.1 如果 x x x
函数 f ( x ) 为当 x x0 (或 x )时的无穷小.
lim f ( x ) M 0,X 0,当x －X 时，有 f ( x) M x
lim f ( x) M 0, 0,当x0 x x0时, 有 | f ( x) | M x x
0
lim f ( x) M 0, 0,当x0 x x0 时, 有 | f ( x) | M x x
| f ( x) | 无限增大，就称此时的 f ( x) 趋于无穷大.
无穷大的整体刻画：
如果对于 M 0 ，当自变量 x 变化到一定的程度时，恒 有 | f ( x) | M 成立，就称 f ( x ) 趋于无穷大，记为
自变量x的某变化过程
lim
f ( x) 。0
注 1 定理 2.4.5 称为等价无穷小代换定理，灵活使用该 定理，可以简化极限的运算。
求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小 用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子， 也可只代换分母，或者分子分母同时代换。
注 2 等价无穷小代换， 只适用于乘除运算，而不适用 于 ．．． 加减运算。
lim f (x) M 0, X 0,当 x X 时, 有 f (x) M .
x
x x0
lim f (x) M 0, 0,当0 x-x0 时, 有 f (x) M .
2.4.1 2.4.2 2.4.3 无穷小 无穷大 无穷小的比较
21-1
2.4.1
无穷小
0
lim f ( x) 0 （或 lim f ( x ) 0 ）,就称 定义 2.4.1 如果 x x x
函数 f ( x ) 为当 x x0 (或 x )时的无穷小.
lim f ( x ) M 0,X 0,当x －X 时，有 f ( x) M x
lim f ( x) M 0, 0,当x0 x x0时, 有 | f ( x) | M x x
0
lim f ( x) M 0, 0,当x0 x x0 时, 有 | f ( x) | M x x
| f ( x) | 无限增大，就称此时的 f ( x) 趋于无穷大.
无穷大的整体刻画：
如果对于 M 0 ，当自变量 x 变化到一定的程度时，恒 有 | f ( x) | M 成立，就称 f ( x ) 趋于无穷大，记为
自变量x的某变化过程
lim
f ( x) 。0
注 1 定理 2.4.5 称为等价无穷小代换定理，灵活使用该 定理，可以简化极限的运算。
求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小 用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子， 也可只代换分母，或者分子分母同时代换。
注 2 等价无穷小代换， 只适用于乘除运算，而不适用 于 ．．． 加减运算。
lim f (x) M 0, X 0,当 x X 时, 有 f (x) M .
x
x x0
lim f (x) M 0, 0,当0 x-x0 时, 有 f (x) M .
《高等数学》极限的四则运算
（1）
lim
x2
x2 x2
5 3
（3）
lim
x0
4
x3 3x2
2x2 2x
x
（5） lim (x h)2 x2
h0
h
（2）
lim
x 3
x2 x2
3 1
（4） lim x1
x2
2x 1 x2 1
（6） lim x 1 x1 x 1
《高等数学》 1.5 极限的四则运算
【例1.5.3】 求下列极限
（1）
lim
x
x2 2x
3x 2x
5 3
（2）
lim
x
x2 3x 5 2x3 x2 3
解(1)：原式
lim
x
1 2
3
x 1
x
5 式
lim x
lim x
1 x
3 x2
5 x3
2 2
1 1x x
3 x33 x3
1 x
3 x2
5 x3
0
定理1 （极限的四则运算法则）设极限 lim f (x) 与 lim g(x) 均存在 ，则
（1） lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) （2） lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) （3） lim f (x) lim f (x) ，(lim g(x) 0)
《高等数学》
【练习2】求下列极限
（1）
lim
x
2x2 3x2
5x 2x
1 3
（2）
lim
x
4
x3 3x2
2x2 2
x
x
（3）
极限四则运算
(3n 2)(3n 1)
1/3
例4： 已知lim x2 ax 3 b， 求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距， n
p 是周长，S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位， 到达P点， 而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位， 到达P点， 再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去， 试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
P1 x
极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f ( x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
极限的四则运算
x3 x2 2
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
目录 上一页 下一页 退 出
B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
目录 上一页 下一页 退 出
B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},mi n {21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。
2-3,2-4无穷小量与无穷大量,极限运算法则
(2)x x 0 实际上是 x 在x0 的某邻域
U ( x 0 , ) 内变化，
0
f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.
3
第三节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
1.无穷小量定义： 极限为零的变量称为无穷小
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0 ). x x a 例如：
0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 例
lim 1 x1
x1
. 而x 2 呢？
1
x1
1 不是无穷大.
11
(5) 无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大. 如f (x)
1 x s in 1 x , 当 x 0时 ， 就 不 是 无 穷 大 量 .
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
(n可推广至实数)
注意：四则运算法则1、2可以推广到有限多 个函数的情形。
17
数列也有类似的四则法则. 即 定理4 设 有 数 列 x n 和 y n , 如 果 lim x n A， y n B , lim
2 x 0
1 x
0， lim
arctan x
x
x
0.
9
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如： lim
1 x
x
1 (1 x )
2
0.
三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。 例如： lim
U ( x 0 , ) 内变化，
0
f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.
3
第三节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
1.无穷小量定义： 极限为零的变量称为无穷小
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0 ). x x a 例如：
0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 例
lim 1 x1
x1
. 而x 2 呢？
1
x1
1 不是无穷大.
11
(5) 无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大. 如f (x)
1 x s in 1 x , 当 x 0时 ， 就 不 是 无 穷 大 量 .
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
(n可推广至实数)
注意：四则运算法则1、2可以推广到有限多 个函数的情形。
17
数列也有类似的四则法则. 即 定理4 设 有 数 列 x n 和 y n , 如 果 lim x n A， y n B , lim
2 x 0
1 x
0， lim
arctan x
x
x
0.
9
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如： lim
1 x
x
1 (1 x )
2
0.
三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。 例如： lim
极限四则运算(201908)
极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
； / 美乐家 ；
占曰 是后 故元帝渡江左以后 辰星庙也 北夷之气如牛羊群畜穹庐 长八寸 三百七十八日十六万六千二百七十二分 以馀数乘之 讨公孙文懿 汉朝所从 三曰天棓 九年正月 是故天子常以冬夏至日御前殿 黄 十一年三月戊申 为兵丧 五岳视三公 图纬皆云 有桃印 以馀数乘之 魏氏受禅 上 生中吕 襄阳〔侯相 流星晖然有光 如月周得一 推卦用事日 日行十四分 信陵 差法除之 景福来造 五年二月甲子 谋慕容皝 出东方 重黎司晷 历数之纲纪 阳气微 桐 有兵丧 独是莫晓 内乱兵起 即为悉应律也 皆临大海 赵王废后 流为天棓 日蚀于朔 皆将士精勇 五年 馀命以纪
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
； / 美乐家 ；
占曰 是后 故元帝渡江左以后 辰星庙也 北夷之气如牛羊群畜穹庐 长八寸 三百七十八日十六万六千二百七十二分 以馀数乘之 讨公孙文懿 汉朝所从 三曰天棓 九年正月 是故天子常以冬夏至日御前殿 黄 十一年三月戊申 为兵丧 五岳视三公 图纬皆云 有桃印 以馀数乘之 魏氏受禅 上 生中吕 襄阳〔侯相 流星晖然有光 如月周得一 推卦用事日 日行十四分 信陵 差法除之 景福来造 五年二月甲子 谋慕容皝 出东方 重黎司晷 历数之纲纪 阳气微 桐 有兵丧 独是莫晓 内乱兵起 即为悉应律也 皆临大海 赵王废后 流为天棓 日蚀于朔 皆将士精勇 五年 馀命以纪
极限运算法则
极限运算法则 定理1 设 lim f (x) = A, lim g(x) = B, 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
极限的性质与四则运算法则
例
求 极li限 m2x53x21。 x4x5 x3 7
计算过程
练习 求 极ln i限 m3n4n57n132。 答案 0 很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数 以及(次数相等时)最高次项的系数有关。
例4 求xl i m27xx3334xx2215.
解 xl im 27xx3334xx2215xl im 72xx43xx1533
limf1(x)limf2(x)limfn(x)
推论4 如果 limf(x)存在 ,而k是正整 ,则数 limf[(x)]k [limf(x)]k.
推论5 如果 limf(x)存在且,不 而 k是 为正 零,整 则数 limf([x) ]k [lim f(x) ]k.
注 ⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为 零、偶次根号下非负等；
答案 a b
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
例7 求limx2 2x. x2 x2
解 原 l式 im x 2 2 xx 2 2 x x 2 x 2 x 2 2 x
lim x22x x 2x2 x2 2x
23 1 3
7. 3
x2
例2 求xl im 1x24x2x13.
解 lim (x22x3) 0, x 1
又 lim (4x1) 30,
x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得 xl im 1x24x2x13.
0
lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00
a b
n m
2-4重要极限,无穷小比较
o( )，即 o( )．
充分性
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim ~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当x 0时,
sin x x o( x ),
sin x ~ x , 1 2 1 cos x ~ x . 2
5、 lim (1 x ) x _________ .
x 0
x 0
1 x 2x 6、 lim ( ) _________ . x x
二、求下列各极限: 1 cos 2 x 1、 lim x 0 x sin x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， x 与 x 是等价无穷小． sin
例1 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小.
tan x sin x 解 lim x0 x3 1 sin x 1 cos x lim ( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
小结
无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速 度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行 比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. f.两个重要极限 g.等价无穷小代换
常用等价无穷小:当x 0时,
2-4极限运算法则
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
三、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3 x 5) lim x2 lim(3x) lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
1
o
y x2 1 x
例8
求
lim
x
2e x 5e x
3 4
.
分析：
2e x 5e x
3 4
2u 3 , u ex . 5u 4
解 因为 lim e x , 所以做换元u ex，可得 x
2e x 3
lim
x
5e x
4
u ex lim 2u 3 2 .
u 5u 4
5
例
lim
与已知矛盾，
故假设错误．
二、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
第四节 极限的运算法则
一、无穷小的运算性质 二、极限运算法则 三、求极限方法举例 四、小结
2-4 极限运算法则
2x3 + 3x2 + 5 . 求 lim 3 2 x→∞ 7 x + 4 x 1
例5
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + + 2 ). n→ ∞ n n n
解
n → ∞时, 是无穷小之和． 先变形再求极限 是无穷小之和． 先变形再求极限.
1 2 n 1+ 2 ++ n lim ( 2 + 2 + + 2 ) = lim n→ ∞ n n→ ∞ n n n2
x →1
商的法则不能用
x2 + 2x 3 0 又 ∵ lim(4 x 1) = 3 ≠ 0, ∴ lim = = 0. x →1 x →1 3 4x 1
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x 3
例3 (消去零因子的方法)
我们不加证明地指出 若f ( x)是基本初等函数，设其定义域为D,而 x ∈ D,则有 lim f ( x) = f (lim x)
x → x0 x → x0
定理5 设函数u = ( x)当x → x0时的极限存在且 等于a,即 lim ( x) = a, 而函数y = f (u )在点u=a处
p p 1 n 1 n
推论4 推论 :
若 lim f ( x ) 存在 , m 、 n 为正整数且 f ( x ) ≥ 0, 则
p n m n m
lim( f ( x ))
p
= ( lim f ( x )) .
p
问题1
存在， 不存在， 若 lim f ( x )存在， lim g(x) 不存在， 而 问
2-4高数极限运算法则
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
(型)
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
2 lim
x
7
3 x 4 x
5 x3 1 x3
2. 7
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
令 u (x) a lim ( x)
x x0
lim f (u)
ua
例8
求
lim
xa
3
3
x3 a xa
.
解: 原式 lim
x a3 (x a)2
xa x a (3 x2 3 ax 3 a2 )
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
(型)
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
2 lim
x
7
3 x 4 x
5 x3 1 x3
2. 7
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
令 u (x) a lim ( x)
x x0
lim f (u)
ua
例8
求
lim
xa
3
3
x3 a xa
.
解: 原式 lim
x a3 (x a)2
xa x a (3 x2 3 ax 3 a2 )
极限计算方法总结
极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1）1sin lim0=→xxx（2）e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim 0=→xx x ，e x xx =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
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= lim( x + 1) = 4
x→3
消去零因子法
12
3x2 + 2x − 1 ∞ 例 求 lim 3 ( 型 ) 无穷小因子分出法 x →∞ x − 3 x + 5 ∞
分子,分母均为无穷大 分母均为无穷大. 解 x → ∞时, 分子 分母均为无穷大 去除分子分母, 分出无穷小, 先用 x3 去除分子分母 分出无穷小 方法
x→ ∞ x→ 0 x→ 0
解: 用复合函数求极限方法 .
1 Q x → ∞, → 0 , ∴ lim e x→ ∞ x
−
重要单侧极限
1 x
= 1
1 x
1 Q x → 0 , → −∞ , ∴ lim − e x→ 0 x
= 0
1 Qx→ 0 , → +∞ , ∴ lim+ e x→ 0 x
+
1 x
8
极限运算法则
二、求极限方法举例
例 求 lim( 3 x 2 − 5 x + 1)
x→2
Q lim( 3 x 2 − 5 x + 1) 解 x→2 = lim 3 x 2 − lim 5 x + lim 1
x→2 x→2 x→2
= 3( lim x ) 2 − 5 lim x + lim 1
x→2 x→2 x→2
20 30
小 结
x →∞时
解 原式 3 原式=
2
30
16
极限运算法则
定理3（复合函数的极限） 定理 （复合函数的极限）
设 lim ϕ ( x) = a, 但在某个 U o ( x0 ) 内 ϕ ( x) ≠ a,
x→x0
1 （）若函数 lim f (u) = A, 则 lim f [ϕ ( x)] = A = lim f (u).
= [ A ± B] + [α ± β ]
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得 α ± β →0
∴ lim[ f ( x ) ± g ( x )] = A± B = lim f ( x) ± lim g( x) ±
5
极限运算法则
(2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B
证 (2) Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
= +∞
22
极限运算法则
例 求
方法1 解: 方法1
0 ( 型) 0
令 u = x , 则 limu = 1,
x −1
u2 − 1 = = u +1 x −1 u −1
→
x→ 1
∴ 原式 = lim(u + 1) = 2 u→ 1 方法2 方法2
( x − 1)( x +1) = lim x→ 1 x −1
4x − 1 例 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
商的法则不能用. Q lim( x 2 + 2 x − 3) = 0, 商的法则不能用 解 x →1 x2 + 2x − 3 0 = = 0. 又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0, ∴ lim x →1 3 x →1 4x − 1 由无穷小与无穷大的关系, 得 无穷小与无穷大的关系 4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3 小 结 P( x) ( 3) 设 f ( x ) = , 且Q ( x0 ) = 0, P ( x0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) P( x) lim f ( x ) = lim = ∞. x → x0 x → x0 Q ( x )
13
极限运算法则
例
2x3 + 3x2 + 5 ∞ . ( 型) 求 lim 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1 ∞
解 x → ∞时, 分子与分母都是无穷大 .
先用x 先用 去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
3
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
6
极限运算法则
(2)的特例是 (i) lim[Cf ( x)] = C lim f ( x) 的特例是 即常数因子可以提到极限符号外面. 即常数因子可以提到极限符号外面
(ii) lim[ f ( x)]n =[lim f ( x)]n n是正整数 .
例 设 n 次多项式
x→x0
试证
lim P ( x) = P ( x0 ). n n
3 2 1 + 2+ 3 3x + 2x − 1 x x x = 0 = 0. lim 3 = lim x →∞ x − 3 x + 5 x→∞ 3 5 1 1− 2 + 3 x x
2
再求极限. 再求极限
的极限时, 无穷小分出法 求有理函数当 x → ∞ 的极限时 先将分子、分母同除以 的最高次幂, 先将分子、分母同除以x的最高次幂 以分出 无穷小, 再求极限. 无穷小 再求极限
5 3 x = 2. 1 7 x3
14
极限运算法则
例 解
3 x2 − 2 x − 3 . 求 lim x+4 x →∞
∞ ( 型) ∞
x → ∞时, 分子与分母都是无穷大 .
2
先用x 先用 去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
2 3 3− − 2 2 3x − 2x − 3 x x lim = lim x→∞ x→∞ 1 4 x+4 + 2 x x
lim g ( x )
=A .
B
18
极限运算法则
lim a sin x = a sin x0 例
x → x0
x → x0
(a > 0).
lim x µ = x0 µ
( x0 > 0).
19
极限运算法则
x → x0
lim f [ϕ ( x )]
令 u = ϕ(x)
a = lim ϕ( x)
x→x0
11
极限运算法则
x2 − 2x − 3 0 例 求 lim ( 型) x→3 x−3 0
时 分子,分母的极限都是零 解 x → 3时, 分子 分母的极限都是零 分母的极限都是零. 方 法 先约去不为零的无穷小因子 x − 3, 再求极限. 再求极限.
( x − 3)( x + 1) x2 − 2x − 3 = lim lim x→3 x→3 ( x − 3) x−3
证:
x→x0
lim Pn( x) =
7
极限运算法则
注意 应用四则运算法则时,要注意条件 应用四则运算法则时 要注意条件: 要注意条件 有限个函数 (1) 参加运算的是有限个函数 参加运算的是有限个函数, (2) 它们的极限都存在 它们的极限都存在, (3) 商的极限要求分母的极限不为 商的极限要求分母的极限不为0. 不参与运算. (4) ∞ 不参与运算
第四节 极限的运算
极限运算法则 求极限方法举例
1
一、极限运算法则
穷小运算法则)在同一过程中, 定理1 (无穷小运算法则)在同一过程中 定理1 (1) 两个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小.
( 2)有界变量与无穷小的乘积是无穷小. 有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
的乘积是无穷小; 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小; 推论3 两个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 两个无穷小的乘积也是无穷小
x →∞
x→x0
x →∞
极限运算法则
（2 若 lim f ( u) = f ( a ), 则 ）
u→ a
x → x0
lim f (ϕ ( x )) = lim f ( u) = f ( a ) = f ( lim ϕ ( x )).
u→ a x → x0
意义: 意义: 若 lim f ( u) = f ( a ), 则 函数符号 " f " 与 u→ a
极限符号 " lim" 可以交换次序 .
推论（幂指函数的极限） 推论（幂指函数的极限）
设 lim f ( x ) = A( A > 0 ), lim g ( x ) = B, 则
的极限存在， 幂指函数f ( x ) g ( x ) 的极限存在，且
lim f ( x )
g( x)
= lim f ( x )
= 3 ⋅ 22 − 5 ⋅ 2 + 1 = 3
9
极限运算法则
2x3 − 4 例 求 lim 2 x→2 x − 5 x + 3
= lim x 2 − lim 5 x + lim 3 解 Q lim( x − 5 x + 3) x → 2 x→2 x→2
2 x→2
= (lim x ) 2 − 5 lim x + lim 3
u→a
x→x0 u→a
意义: 意义:
x → x0
lim f [ϕ ( x )]
u
令 u = ϕ(x)
a = lim ϕ( x)
x→x0
lim f ( u)
u→a →
注
若定理中 lim ϕ( x) = ∞, 则类似可得
x→x0
lim f [ϕ( x) ] = lim f ( u) = A.
u→ ∞
17
x →a
lim f ( u)
u→a →
例 设a > 0, 求极限: lim 3 x − a 求极限: 解