三角形中的一条特殊线段
三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质
三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质三角形是几何学中最基本的平面图形之一，有许多有趣的性质和定理与之相关。
本文将讨论关于三角形中线角平分线和垂直平分线的性质。
一、中线角平分线的性质中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
而三角形的中线角平分线则是从三角形的一个顶点到对边的中点后继续延伸至对边上某一点的线段，它具有以下性质：1. 中线角平分线将三角形的对边平分成两个相等的线段。
这意味着通过中线角平分线将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
2. 三角形三个中线角平分线的交点称为三角形的重心，重心位于三角形的内部，且到三角形的三个顶点距离相等。
3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于重心到三边的距离之和。
这个性质在解决实际问题中有广泛的应用，例如确定三个城市的最佳集中点。
4. 三角形的重心将中线分成2:1的比例。
也就是说，从顶点到中线交点的距离是从中线交点到对边中点的距离的两倍。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是从三角形某一边上的点垂直地到达对边的线段，具有以下性质：1. 垂直平分线将三角形的一条边平分成两个相等的线段。
这表明通过垂直平分线可以将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
2. 三角形三个垂直平分线的交点称为三角形的外心，外心即位于三角形的外部，且到三角形的三个顶点距离相等。
3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，且等于外心到三边的距离。
4. 三角形的外心和三个顶点共线，且外心和三个顶点的连线垂直于各边。
总结：三角形的中线角平分线与垂直平分线是三角形内部特殊线段的几何性质，在解决几何问题和推导其他定理时起到重要作用。
中线角平分线将三角形对边平分，三个中线角平分线的交点为三角形的重心，重心有着特殊的位置和性质；而垂直平分线将三角形的一边平分，三个垂直平分线的交点为三角形的外心，外心也有着特殊的位置和性质。
研究三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质，有助于加深我们对于三角形几何形状的理解，以及解决与三角形相关的数学问题。
三角形中的重要线段
三角形中的重要线段【学习目标】1、知识目标：复习三角形的高、中线与角平分线，中位线，及涉及到内切圆，外接圆的知识点。
2、能力目标：会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点。
3、情感目标：培养学生自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】重点：(1)了解三角形的高、中线与角平分线，中位线概念,会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分，中位线.(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点，且于内切圆等的联系。
难点：特殊三角形的角平分线，中位线，高产生的知识点。
〔教学过程〕一、导入新课我们已经复习了三角形的分类，今天我们要复习三角形的主要线段。
1.请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC 的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？三角形的三条高相交于一点,交点叫垂心。
（产生两个直角，高可以由两个勾股定理得到）2.三角形的中线如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？三角的三条中线相交于一点，且把三角形面积平分。
交点称为“重心”。
3、三角形的角平分线如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。
请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？三角形三个角的平分线相交于一点。
三角形中位线判定方法
三角形中位线判定方法
中位线是三角形中的一条特殊线段，它连接一个三角形的一个顶点和对边中点。
对于三角形ABC，中位线有三条，分别是AM、BN和CL。
其中M、N和L分别是AC、BC和AB的中点。
判定三角形中位线的方法是通过观察三角形的顶点和对边的关系。
如果一个三角形的中位线相互垂直并且相等，那么这个三角形就是等腰直角三角形。
如果一个三角形的中位线相互垂直但不相等，那么这个三角形不是等腰直角三角形。
如果一个三角形的中位线不相互垂直，那么这个三角形不是等腰直角三角形。
例如，对于一个等边三角形ABC，中位线相互垂直且相等，因此它是等腰直角三角形。
对于一个一般的三角形ABC，中位线不相互垂直，因此它不是等腰直角三角形。
总结起来，判定三角形中位线的方法是观察中位线之间的垂直关系以及长度的相等性。
三角形的中位线与中心连线的性质
三角形的中位线与中心连线的性质三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，三角形的中位线和中心连线是我们常见的几何性质之一。
在本文中，我将详细介绍三角形中位线和中心连线的性质，并通过举例和分析，说明它们的应用和重要性。
一、中位线的定义和性质中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC中点D的线段AD就是三角形ABC的中位线。
中位线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特点，它将三角形分成六个小三角形，且每个小三角形的面积都相等。
2. 重心到三角形各顶点的距离相等，即重心到顶点的距离相等于重心到对边中点的距离。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的重心。
3. 三角形的重心将中位线按照1:2的比例分成两段。
即重心到中点的线段长度是顶点到重心的线段长度的两倍。
这个比例关系在计算三角形的面积时非常有用。
二、中心连线的定义和性质中心连线是连接三角形的顶点和三角形的内心、外心、垂心、重心的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和内心I的线段AI、连接顶点A和外心O的线段AO、连接顶点A和垂心H的线段AH、连接顶点A和重心G的线段AG都是三角形ABC的中心连线。
中心连线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的内心、外心、垂心、重心四个中心连线交于一点。
这个点被称为三角形的垂心，它是三角形内心、外心、重心所在直线的垂线交于三角形的交点。
2. 三角形的内心到三条边的距离相等，即内心到三角形各边的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的内心。
3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即外心到三个顶点的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的外心。
4. 三角形的垂心将中心连线按照1:2的比例分成两段。
即垂心到顶点的线段长度是垂心到对边的线段长度的两倍。
三角形的中线
三角形的中线在几何学中，三角形是最基本、最常见的图形之一。
它由三条直线段组成，每两条直线段的交点被称为三角形的顶点。
三角形的中线是连接三角形的每条边的中点的线段。
三角形有三条边，我们可以将中线分别连接三角形的三个顶点。
这样，我们可以得到三个中线，分别称为三角形的重心线、垂心线和媒介线。
接下来，我们将探讨这些中线的性质和应用。
一、重心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边中点的线段，得到的三条线段交于一点，称为重心，连接重心与三个顶点的线段分别称为重心线。
在标准笛卡尔坐标系中，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
重心线有以下性质：1. 重心线三条线段交于一点，该点与三角形的重心重合。
2. 重心线平分对应边，即重心到对边中点的线段长度相等。
重心线在三角形中起到平衡作用。
在平面上，三个人均匀站在三角形的顶点上，通过绳子将每个人与重心相连，可以保持平衡。
因此，重心被称为三角形的“几何中心”。
二、垂心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边的垂线的交点，得到的三条线段交于一点，称为垂心，连接垂心与三个顶点的线段分别称为垂心线。
垂心线有以下性质：1. 垂心线三条线段交于一点，该点与三角形的垂心重合。
2. 垂心线互相垂直，即三条垂心线两两垂直。
垂心线在三角形中起到垂直作用。
垂心可以看作是三角形的“垂直投影中心”，通过垂心线可以得到三角形的三个顶点到对边的垂直距离。
三、媒介线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到非相邻顶点的中点的线段，得到的三条线段互相平行，称为媒介线。
三角形的媒介线有三条，连接三个媒介线交点的线段被称为媒介线三角形。
媒介线有以下性质：1. 媒介线三条线段互相平行，且等于对边的一半。
媒介线在三角形中起到平行作用。
当我们绘制媒介线后，可以将三角形分割为三个面积相等的小三角形。
总结：三角形的中线包括重心线、垂心线和媒介线，它们分别连接三角形的顶点和对边的中点。
这些中线具有独特的性质，如重心线的平分性、垂心线的垂直性和媒介线的平行性，可以帮助我们研究三角形的性质和解决与三角形相关的问题。
已知等腰三角形一腰上的中线
已知等腰三角形一腰上的中线等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两个边长相等，而第三条边则较短。
这种三角形具有一些特殊的性质和规律，其中之一就是腰上的中线。
本文将探讨已知等腰三角形一腰上的中线的性质和相关定理。
首先，让我们回顾一下等腰三角形的定义和基本性质。
一个等腰三角形具有两条边长度相等，并且两个底角也相等。
这意味着等腰三角形的底边上可以画一条中线，该中线连接底边的两个中点，并且与底边垂直。
我们将讨论的问题是已知等腰三角形的一腰上的中线，有哪些性质和特点。
为了说明这一点，我们首先要介绍一些基本的几何概念和定理。
1. 定义：等腰三角形的一腰上的中线是连接底边两个中点的线段。
2. 性质1：等腰三角形的一腰上的中线与底边相等。
这是因为中线同时是底边的中垂线，所以根据中垂线定理，中线与底边相等。
3. 性质2：等腰三角形的一腰上的中线与另一腰垂直。
这是因为中线同时是底边的中垂线，根据中垂线定理，中线与底边垂直。
4. 定理1：等腰三角形的底边上的中线平分顶角。
这是因为中线同时是顶角的角平分线，根据角平分线定理，中线将顶角平分为两个相等的角。
5. 定理2：等腰三角形的一腰上的中线与等腰三角形的高相等。
这是因为中线同时是底边的中垂线，所以根据中垂线定理，中线与等腰三角形的高相等。
以上是已知等腰三角形一腰上的中线的一些基本性质和定理。
接下来，我们将通过一个例子来加深对这些概念和定理的理解。
例子：已知等腰三角形ABC，其中AB=AC，D是AB的中点。
证明：BD与AC垂直且BD=1/2AC。
解析：首先，连接CD。
根据性质1，我们知道BD=CD。
然后，我们需要证明BD与AC垂直。
由于BD=CD，我们可以通过观察△BDC和△ABC来研究它们的角。
由于△BDC和△ABC都是等腰三角形，根据定理1，我们知道∠BAD和∠DAC是相等的。
另外，角度∠BCD和∠ABC也是相等的，这是因为它们是等腰三角形的顶角。
因此，根据锐角余弦定理，我们可以得到：cos∠BCD = cos∠ABCBD/CD = AB/ACBD/BD = AB/AC（AB=AC）1 = 1由此可见，BD与AC垂直。
三角形的垂线角平分线和中线的关系
三角形的垂线角平分线和中线的关系在几何学中，三角形是指由三个边连接而成的多边形。
三角形具有很多有趣的性质和特点，其中包括垂线、角平分线和中线。
本文将探讨三角形的垂线、角平分线和中线之间的关系。
一、垂线与角平分线的关系1. 垂线的定义与特点垂线是指从一个点到一条线段或直线所作的垂直线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条垂线，与对边相交，形成一个直角。
这条垂线被称为该顶点对边的垂线。
2. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
3. 垂线与角平分线的关系在三角形中，垂线和角平分线可以有以下关系：（1）垂线和角平分线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的垂线同时是该顶点角的角平分线时，这条线段或射线既是垂线，又是角平分线。
（2）垂线和角平分线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线和角平分线不是同一条线段或射线时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和角平分线的交点。
二、垂线与中线的关系1. 中线的定义与特点中线是指连接一个三角形的一个顶点和中点的线段。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条中线，将对边对应的两个中点连接起来。
2. 垂线与中线的关系在三角形中，垂线和中线可以有以下关系：（1）垂线和中线可以是同一条线段。
当一个顶点上的垂线同时经过对边的中点时，这条线段既是垂线，又是中线。
（2）垂线和中线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线不经过对边的中点时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和中线的交点。
三、角平分线与中线的关系1. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
2. 角平分线与中线的关系在三角形中，角平分线和中线可以有以下关系：（1）角平分线和中线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的角平分线同时经过对边的中点时，这条线段既是角平分线，又是中线。
中垂线定理及其逆定理
中垂线定理及其逆定理1.引言1.1 概述概述部分的内容需要对中垂线定理及其逆定理进行简要介绍。
可以参考如下内容进行撰写：中垂线定理及其逆定理是解析几何中重要且常用的定理之一。
中垂线是三角形中的一条特殊线段，它连接一个边上的中点与对边的垂足，同时垂直于对边。
中垂线定理指出，在一个平面三角形中，如果一条线段既与边相等又与另一边垂直，则该线段一定是该三角形的中垂线。
而中垂线逆定理则是中垂线定理的逆向推论，即如果一条线段是三角形中某一边的中垂线，那么该线段一定既与该边相等又与另一边垂直。
中垂线定理及其逆定理都具有重要的几何性质和广泛的应用。
这两个定理被广泛应用于求解三角形的几何关系和计算三角形的面积等问题。
它们可以帮助我们简化问题，提供几何上的直观理解，并且在相关的证明和推导中起到重要的引导作用。
本文将从中垂线定理与逆定理的定义与性质入手，介绍它们的推导过程和证明方法，并通过一些实际问题的应用来展示它们的实际意义和应用价值。
此外，文章还将对中垂线定理与逆定理进行总结，并给出一些相关的拓展与应用，帮助读者深入理解和运用这两个定理。
总之，中垂线定理及其逆定理是解析几何中的重要定理，通过研究和应用这些定理，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对中垂线定理及其逆定理的详细介绍与探讨。
1.2 文章结构：本文主要围绕中垂线定理及其逆定理展开讨论，文章结构分为以下几个部分：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将简要介绍中垂线定理及其逆定理的背景和重要性，为读者提供一个整体的认识。
接着，说明文章的结构，即介绍各个章节的主要内容和关系。
最后，明确文章的目的，即阐述中垂线定理及其逆定理的定义、性质、证明和应用，同时提供一些拓展和应用方面的探讨。
第二部分是中垂线定理。
首先，在定义与性质部分，将详细解释中垂线定理的定义，并介绍其重要性质，如中垂线与三角形边的关系。
然后，在证明与应用部分，将给出中垂线定理的证明过程，帮助读者理解中垂线定理的原理和推导方法。
任意三角形中位线定理
任意三角形中位线定理1.引言1.1 概述概述三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个顶点组成。
我们可以根据角度和边的长度来分类不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。
在本篇长文中，我们将重点讨论任意三角形中的中位线定理。
中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
我们将介绍中位线的定义和性质，并详细阐述中位线定理的表述、证明和应用。
中位线定理是关于三角形中位线的一个重要定理。
它揭示了三角形中位线和三角形边的关系，并且具有很多重要的应用。
在本文中，我们将探索中位线定理的证明过程，并讨论它在几何学和实际问题中的应用。
通过研究和理解中位线定理，我们可以深入了解三角形的性质和特点。
这对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。
我们将从基础的定义和性质开始，逐步引入中位线定理的概念和应用，希望读者能够通过本文更好地理解和运用中位线定理。
接下来，我们将在正文部分详细介绍任意三角形的定义和中位线的定义和性质，以便为后续的中位线定理的讨论做好准备。
通过系统而全面的阐述，我们希望读者能够对中位线定理有一个清晰的认识，并能够灵活运用它解决相关问题。
在结论部分，我们将对中位线定理进行准确的表述，并给出具体的证明和应用示例。
这将进一步巩固读者对中位线定理的理解和运用能力。
总之，本文将从引言、正文和结论三个部分系统地介绍任意三角形中位线定理。
通过详细的讲解和实例的引导，我们旨在帮助读者更好地理解和应用这一定理，进一步提升几何学的学习和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的设计旨在使读者能够清晰地理解任意三角形中位线定理的内容。
本文分为引言、正文和结论三个部分，下面对各个部分进行简要说明。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。
在概述中，将简要介绍任意三角形中位线定理的背景和重要性。
通过引入这个概念，读者可以对该定理的应用和实际意义有一个初步的了解。
在文章结构中，将对整篇文章的结构进行总体的安排和描述，使读者能够预期文章的组织方式和内容概况。
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角 知识点总结 【一】三角形的有关概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。
2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高 (1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段; ②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。
【二】三角形的边和角 三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。
由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。
【三】三角形内、外角的关系 1.三角形的内角和等于180°。
2.直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.三角形的外角和为360°。
【四】等腰三角形与直角三角形: 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。
说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。
【五】三角形的分类： 六、三角形的面积： 1.一般计算公式 2.性质：等底等高的三角形面积相等。
常见考法 (1)考查三角形的性质和概念;(2)根据三角形内角和以及内、外角关系，给出两角，来求第三个角;(3)根据三角形内、外角的关系，比较两角大小的;(4)利用三边关系判断三条线段能否组成三角形或给出三角形的两边长，来确定第三边长的取值范围，亦或证明线段之间的不等关系。
2025优化设计一轮素能培优(八) 三角形中的特殊线段
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
素能培优(八) 三角形中的特殊线段
考点一
三角形的中线问题
例 1(2024·广东珠海模拟)已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C
+
且
=
.
(1)求角C的大小;
+
2sin(B+ )= .
6
且有
(1)求角 A;
(2)若 BC 边上的高
3
h= 4 a,求
cos Bcos C.
解
π sin+sin
(1)由题意得,2sin(B+6)= sin ,
则( 3sin B+cos B)sin A=sin B+sin Acos B+sin Bcos A,
则 3sin Bsin A=sin B+sin Bcos A.因为 sin B≠0,
ACcos∠BAC,解得 AC= 3+1,
由正弦定理得,
sin
∵AD
=
,解得
sin∠
C=45°.
1
平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°.(角平分线的性质)
2
如图,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,设 DE=t,
由几何知识得,AD=2t,AE= 3t,CE=DE=t,
ACsin∠CAD=2AB·
ACsin∠BAC,
1
π
1
π
1
π
6 3
即2 ×2×ADsin6 + 2 ×3×ADsin6 = 2 ×2×3sin3,所以 AD= 5 .
471相似三角形中特殊线段的性质
似比为k.
1
1
若BAD BAC，B1 A1 D1 B1 A1C1，
3
3
k，因为两角对应相等的两个三角形相似
AD
则
等于多少？
A1 D1
知识讲解
解：k，理由如下：
∵△ABC∽△A1B1C2，
1
∴∠BAC=∠B1A1C1，
∠B=∠B1，
1
3
∵∠BAD= ∠BAC，
1
∠B1A1D1= ∠B1A1C1，
（2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
3cm
知识讲解
想一想
已知△ABC∽△A1B1C1， △ABC与△A1B1C1的相似比为k，它
们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线
的比呢？
定理
都为k
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应
中线的比都等于相似比.
知识讲解
如图，已知△ABC∽△A1B1C1， △ABC与△A1B1C1的相
边上的高的比等于（ A ）
A．2：3
B．3：2
C．4：9
D．9：4
目标测试
3.如果两个相似三角形对应高的比为5：4，那么这两个相
似三角形的相似比为 5：4 ．
4.如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的相似比是
2 :1 ．
目标测试
5.已知一个三角形的三边长分别为5，8，7，则另一个与之相似
的三角形的三边长可以是 10,16,14 ．（任写一组即可）
3
∴∠BAD=∠B1A1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
1 1
∴
=
1 1
=
知识讲解
直角三角形斜边中线定理几何语言
直角三角形斜边中线定理直角三角形是几何学中的基本概念之一，它由一个直角和两个锐角组成。
在直角三角形中，斜边是与直角相对的边，而其他两条边则分别称为直角边。
在研究直角三角形的性质时，我们常常会遇到斜边上的一些特殊线段，其中之一就是斜边中线。
定义在一个直角三角形ABC中，假设AC为斜边，M为AC上的一个点，则AM和MC就是AC的一个中线。
换句话说，AM等于MC。
斜边中线定理的证明我们可以通过几何推导来证明斜边中线定理。
首先，根据直角三角形的定义可知，在三角形ABC中有一个直角∠CAB。
假设点M 位于AC上，并且AM等于MC。
由于AM等于MC，所以AM和MC相等。
另一方面，在△ABC中，∠CAB为90度。
根据勾股定理可知：AB² = AC² - BC²同样地，在△AMB中也可以应用勾股定理：AB² = AM² + BM²由于AM等于MC，所以可以将上式改写为：AB² = MC² + BM²将这两个等式相等，我们可以得到：AC² - BC² = MC² + BM²进一步化简得到：AC² = BC² + MC²这就证明了斜边中线定理。
斜边中线定理的应用斜边中线定理在解决直角三角形相关问题时非常有用。
它可以帮助我们找到直角三角形的各个边长和角度。
例题1假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm。
求斜边上的中线AM的长度。
根据斜边中线定理可知AM等于MC。
由于AC=5cm，所以MC=5cm/2=2.5cm。
因此，斜边上的中线AM的长度为2.5cm。
例题2假设在一个直角三角形ABC中，已知∠CAB=30度，BC=6cm。
求斜边上的中线AM的长度。
首先，我们需要找到∠CAB对应的直角边。
根据正弦函数sin(30°) = AC/BC可得：AC = sin(30°) * BC = 0.5 * 6cm = 3cm因此，在△ABC中，AC=3cm。
三角形的三线四心及口诀(一)
三角形的三线四心及口诀（一）引言概述：三角形是几何学中研究最为深入的一个图形，其有三条特殊的线段以及四个特殊的点。
这篇文档将会详细介绍三角形的三线四心及相关的口诀。
正文内容：一、三线概述1. 三条特殊的线段包括：三角形的垂心线、中位线和角平分线。
2. 垂心线是三角形的三条高线的交汇线，在三角形的顶点上垂直于对应边。
3. 中位线连接三角形的各边的中点，互相平行且共同交汇于三角形的重心。
4. 角平分线将三角形的一个内角平分为两个等角，三条角平分线交汇于三角形的内心。
二、三心概述1. 三角形的三心指的是三角形的重心、外心和内心。
2. 重心是三角形三条中线的交点，重心到各顶点的距离相等。
3. 外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等，且外接圆半径等于外心到任意一个顶点的距离。
4. 内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形的各边的距离相等，且内切圆接触三角形的各边于三个切点。
三、垂心线相关口诀1. 口诀一：垂心线相交顶，三方高线会相送。
2. 口诀二：三个交点分明现，高线垂直发光。
3. 口诀三：垂线交点在，高线等分分。
四、中位线相关口诀1. 口诀一：中位线平衡秤，下跳到顶点会相等。
2. 口诀二：中位线下一跳，重心就等于落脚。
3. 口诀三：重心对顶点，中点两倍愿上升。
五、角平分线相关口诀1. 口诀一：角平分线相会，内角相等一样辉。
2. 口诀二：三位握手欢，角平分线齐。
3. 口诀三：四方交相庆，角平分线都等。
总结：本文通过引言概述、三线概述、三心概述以及垂心线、中位线、角平分线的详细解释，介绍了三角形的三线四心及相关的口诀。
对于学习和理解三角形的性质和特点，有一定的参考价值。
如何准确画出“三角形的高”
如何准确画出“三角形的高”掌握画三角形的高是《认识三角形》一课的重难点。
学生在学习画三角形的高时常常找不准对应底上的高或者画出来的线段不是垂直线段，如何突破这一难点知识，我在教学中做了很多尝试。
在教学是通常是先把什么是三角形的高呈现给学生，帮助学生找概念中的关键词，用多媒体或教师演示画三角形高的过程。
教师讲，学生听，完全替代了学生思维。
因此应将教学重心下放。
重心下放是指要提供给每个学生独立思考、解决问题的机会，还学生独立思考、解决问题的时间和空间。
重心下放体现了教师对学生行为“具体个人”的真实关注。
每个学生对问题的思维过程的不同状态才有可能暴露出来，教师就不仅能了解学生在解决问题的表层状态，还能够了解学生在解决问题过程中真实遇到的困难和障碍，才有可能基于学生的状态进行针对性教学，而不是根据教材逻辑演绎教学。
于是我是这样处理的：1、通过材料感知三角形的高（1）让学生在三角形里画线段，给出多个三角形，看能画出几种类型的线段。
①②③④⑤其实三角形的高是三角形中的一条特殊线段，除了三角形的高外，三角形内还有三角形的中位线、中线这些特殊线段。
教师应把如何找三角形的高，判断哪一条是三角形的高的方法下放给学生探究，在学生画线段的过程中生成资源。
以上是学生在课堂所画的结果。
其中呈现出了学生解决问题的不同状态，从中可以看到只要问题开放，教学重心下放，就一定能激活学生的思维，使学生的基础性资源得以生成。
（2）请学生根据线段的特点分类，小组里讨论一下怎么分类。
学生通过观察发现①③不是从顶点画起，②④⑤是从顶点画到对边。
继续观察在②④⑤还可以怎样分类。
可以分成垂直的和不垂直的。
在比较中学生自然会发现三角形的高位置的特殊性。
2、出示比较射线和线段的不同。
学生在比较中会发现射线不能量出长度，线段可以量出长度。
学生通过画线段、比较分析得出在三角形ABC 中的点A 到BC 之间的垂直线段就是三角形ABC 的高。
通过两大环节的教学，突破教学难点，同时学生感受到三角形的高是一条很特殊的线段。
中考第一轮复习讲 第二十四讲 三角形中特殊线段
第二十四讲三角形中特殊线段一.考点分析考点一.三角形的角平分线例题1.如图，在△ABC中，∠B.∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A.118°B.119°C.120°D.121°例题2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形.（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长.例题3.如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB=CD+BC.（用两种方法）例题1.如图，AE 是△ABC 的中线，D 是BE 上一点，若EC=6，DE=2，则BD 的长为（ ）A.1B.2C.3D.4例题2.如图，△ABC 的面积是12，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则△AFG 的面积是（ ）A.4.5B.5C.5.5D.6例题3.已知△ABC 中，AB=AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使得BD=AB.求证：CD=2CE.考点三.三角形的高线例题1.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于E ，∠BAC=60°， ∠ABE=25°，则∠DAC 的大小是（ ）A.15°B.20°C.25°D.30°例题2.在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若BC AD 21=，则△ABC 的顶角的度数为 .例题1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于 cm.例题2.已知：如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.例题3.点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BD⊥AD于点D，连接DM.（1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，则MD= ；（2）如图2，若AD为∠BAC的外角平分线，则MD= .【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，使∠DAC=∠BAC，E为BD的中点，若∠ABC=60°，则∠ACE= .考点五.线段的垂直平分线例题1.如图所示，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D,E且∠BAC+∠DAE=150°，求∠BAC的度数.例题2.已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长.例题3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC.（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC的长.例题4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：AD是CE的垂直平分线二.同步练习1.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（）A.35°B.95°C.85°D.75°（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.23.已知等腰三角形底边长为7cm，一腰上的中线把它的周长分为差是3cm的两部分，则一腰长为（）A.4cmB.7cmC.4cm或10cmD.10cm4.如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点R 保持不动，点P在CD上从点C运动到点D时，下列结论正确的是（）A.EF的长逐渐增大B.EF的长逐渐减小C.EF的长不变D.EF的长与点P的位置有关5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB.AC于点M和N，再分别以M.N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC ：S△ABC=1：3．A.1B.2C.3D.4（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC=3，BC=4，则DE等于 .7.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，若EC=1，则EF= .8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= .9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE=2，则BC的长为 .（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD=30°，∠BAD=50°，则∠BCD的大小是 .11.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= °.12.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC.13.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC.AB于点M和点N.求证：CM=2BM.15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，CD=3.（1）求DE的长；（2）若AC=6，BC=8，求△ADB的面积.16.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB 于点E，M，F，若∠CAD=20°，求∠MCD的度数.17.如图，△ABC的周长为26，点D.E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，求PQ的长.18.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长.19.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=BD，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交BD，AC于点G，H，求证：OG=OH.20.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是10．（1）求BC的长度；（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．三.拓展提高1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40,50,60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO ：S△CAO= .3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为 .4.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是 .（第4题图）（第5题图）5.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，若∠DAE=28°，则∠BAC= °.6.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积.7.如下图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.8.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.9.如图，OE ，OF 分别是△ABC 中AB ，AC 边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ，试判断OI 与BC 的位置关系，并给出证明.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△A ´B ´C ´的位置，连接C ´B ，求C ´B 的长.11.【问题引入】：（1）如图1，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC= （用α表示）；如图2，α=∠∠=∠∠=∠A ACB BCO ABC CBO ，，3131，则BOC ∠= （用α表示）； 【拓展探究】：（2）如图3，α=∠∠=∠∠=∠A ECB BCO DBC CBO ，，3131，猜想BOC ∠= （用α表示），并说明理由；【类比研究】：（3）BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，DBC nCBO ∠=∠1，ECB nBCO ∠=∠1，α=∠A ，请猜想BOC ∠= .12.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．第11 页共11 页。