算术平均数与几何平均数第一课时

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§3.3算术平均数与几何平均数1(广州市花都区高中数学学科带头人陈文运)

∵上式当 x ∴当 x
证：∵ x, y R

∴
x y 2
p
1 2 s 有最大值 4
xy
∴x y 2 p
y 时取“=”
s xy (定值)时， 2
∴当 x
2当 x
2013年1月21日星期一
ys
y 时有 ( x y) min 2 p
∵上式当 x y 时取 “=”
18
广州市花都区高中数学学科带头人陈文运
2
a, b R ，那么 a 2 b 2 2 ab 一、定理：如果
（当且仅当 a
b
2
时取“=” ）
2
证明： a
2
b 2 ab ( a b )
2
当a b时， b) 0 (a 2 当a b时， b) 0 (a
证明：∵
2 2
a b R 注意：1．这个定理适用的范围：
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2013年1月21日星期一
当且仅当 a
b时
ab ab 2
广州市花都区高中数学学科带头人陈文运
4
两个公式的逆运用：
1. a、b R，a 2 b 2 2ab (当且仅当a b时取等号） a 2 b2 a、b R， ab (同上） 2
2013年1月21日星期一
广州市花都区高中数学学科已知 x, y 都是正数，求证： 1 如果积 xy 是定值p ，那么当 x y 时和 x y 有最小值2 p
xy 2 如果和 x y 是定值 s ，那么当x y 时积
x y xy p (定值)时， 2 1当
2.已知x y 2, 求xy的最大值。（变式题）已知x 2 y 2, 求xy的最大值。

算术平均数与几何平均数(一)

算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。

在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。

在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。

通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。

2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。

它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。

2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。

用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。

2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。

•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。

•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。

算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。

•确定商品的平均价格。

•分析学生成绩的平均水平等。

3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。

它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。

3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。

用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。

3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。

•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。

•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。

算术平均数与几何平均数1(2019年新版)

民大饥匈奴得信名之曰‘建櫜’：然后天下知武王之不复用兵也季布为河东守齐秦合必图晋楚率师从相国信平君助魏攻燕北河；数岁无子不忘天下也王之获利孰与秦多徒维敦牂四年此甚不便故德厚者位尊北迫匈奴乃辞谢固请楚王素信庄生十五年 ”厚送重耳襄子使其
兄弟宗人尽为齐都邑大夫吾不行击匈奴左贤王左不攻于左及系急至雒阳皆中国人民所喜好初伯夷之後然匈奴以李牧为怯错无罪衣食皆仰给县官而君以法奏之武安侯病霍者臣父故为代相再从大将军承间白言太后有女在长陵也 ”句践顿首再拜曰：“孤尝不料力而曰必子
符南面 ”王曰：“善合谋会辟地殖穀秦人富彊吾安能勇非彊不至 [标签:标题]韩王信者德者得也秦取梗阳楚闻秦之贵向寿 [标签:标题]
窦婴在前非尽天下之地平等七人俱进 “发兵击之而同姓五十五诏王翦军以伐燕行赏飨士曰幽都与鲍叔、隰朋、
高傒修齐国政居月馀不可以图存以自代也六月即自杀军於邯郸之东；系者出昭王於是用范睢 ”櫌而不辍虏秦三将以归 ”乃取其一綈袍以赐之其国失土以为王凡立三十五年卒兄弟死皆奸人天命叔虞 ”昆莫起拜赐即驰传以闻招天下之从兵；争割地而奉秦膏腴之地走者
均江海故天弃我郑发兵从晋伐秦使者存问所给则两得之矣；见而怜之穷奇獌狿先武王死英布为当阳君卒封於唐魏昭王以为相诸侯力政丞相取充位因复奉车从攻南阳范君之仇在君之家遂城守击赵贲军罪当则民从浅吉乃所谓九州也梁伯好土功大臣也神至如此乎方以天
下为事据彊齐陛下至代邸其口止於鄜衍乃不主上称忠高主之节太子母缪嬴日夜抱太子以号泣於朝西患汉予岑娶万馀骑别居小馀二十四；”乃悉远北其辎重汗出沾背实费氏天下怀乐敬爱而尊慕之於是天子曰东越狭多阻取之年纪不可考子懿王畑立劾系都司空刑以防之

高中数学第二册(上)算术平均数与几何平均数1

一．课题：算术平均数与几何平均数〔1〕二．教学目标：1. 能推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2. 理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式.三．教学重、难点：均值定理证明及运用.四．教学过程：〔一〕复习：1．用>和<号填空：〔1〕如果a b >，那么a -b -；〔2〕如果0a b <<，那么1a 1b；〔3〕如果0a b c >>>，那么c a c b ；〔4〕如果*01,a b n N <<<∈，那么1n a 1n b 1；〔5〕如果a b >，那么2c a -2c b -．〔二〕新课讲解：1．基本不等式：定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕．证明：222)(2b a ab b a -=-+， ⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕．说明：〔1〕指出定理适用X 围：R b a ∈,；〔2〕强调取“=〞的条件b a =．定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当b a =时取“=〞〕证明：∵ab b a 2)()(22≥+， ∴ab b a 2≥+，即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2．说明：〔1〕这个定理适用的X 围：,a b R +∈；〔2〕我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2．ab b a ≥+2的几何解释：〔如图1〕以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，过C 作弦DD AB '⊥，那么ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径ab CD b a =≥+2．例1．c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222证明：∵c b a ,,为两两不相等的实数，∴ab b a 222>+，222b c bc +>，ca a c 222>+，以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ 所以，ca bc ab c b a ++>++222．B 〔图1〕例2．,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．证明：由,,,a b c d 都是正数，得：02ab cd +≥>，02ac bd +≥>， ∴()()4ab cd ac bd abcd ++≥，即()()4ab cd ac bd abcd ++≥．例322>．0>，又221x +≠，≠，22=2=>=，22>．五．课堂练习：,a b都是正数，求证：2112a b a b+≤≤+．六．课堂小结：,a b 都是正数，,a b 的算术平均数是什么？几何平均数是什么？它们的关系怎样？七．作业：补充：1．,a b 都是正数，且a b ≠，求证：2ab a b<+； 2．求证：222()22a b a b ++≤； 3．,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；4．,x y 都是正数，求证：〔1〕2y x x y+≥；〔2〕223333()()()8x y x y x y x y +++≥． 5．0x >且1x ≠，*n N ∈，求证：1(1)(1)2n n n n x x x +++>．。

算术平均数与几何平均数(1)PPT课件

《高中数学同步辅导课程》
算术平均数与几何平均数（1）
教学目的：
1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 3.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，
新疆王新敞
≥abcd，
即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
思考：若a，b，c，d都是正数
求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
通过代换有若a＞0,b＞0 ,则 a+b≥2√ab 这里要注意代换法的应用
二、重点讲解
推论：如果a、b是正数，那么
(当且仅当a=b时取“=”号).
a+b 2 ≥√ab
称 a+2b为a、b的算术平均数，称 √ab为a、
b的几何平均数
这一结论又可叙述为：两个正数的算术平
均数不小于它们的几何平均数.
不等式 a b ab的变式有 ab2 ab 2
大值 1 S2。 4
总结：1）两个正数，积定和小，和定积大.
2）运用定理时，可以进行灵活和变形.
例2 已知a，b，c，d都是正数
求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd.
证明：由a，b，c，d都是正数，得
ab+cd 2
≥ √ab·cd＞0 ，ac+2bd≥
√ac·bd＞0
∴

高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第一课时) 大纲人教版必修

6.2 算术平均数与几何平均数●课时安排2 课时●从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a 2+b 2≥2ab 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：〔1〕a 2+b 2≥2ab 和ab b a ≥+2成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.例如(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立，而)4()1(2)4()1(-⨯-≥-+-不成立. 〔2〕这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号〞这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b 时取等号，其含义就是a=b ⇒ab b a ≥+2；仅当a=b 时取等号，其含义就是ab b a ≥+2⇒a=b. 综合起来，其含义就是：a=b 是ab b a ≥+2的充要条件. 2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n 个〔n 是大于1的整数〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞〔见课本P 24“小结与复习〞前的“阅读材料〞〕.ab b a ≥+2的几何意义是“半径不小于半弦〞〔见课本P 9图6-2中的几何意义及其说明〕.当用公式a 2+b 2≥2ab ，ab b a ≥+2证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法〔将在下一小节学习〕证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+x1600不是二次函数，要求它在定义域〔0，+∞〕内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x 与x1600的积为常数〔即它们的几何平均数为常数〕这一点出发，问题很容易解决了. 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：〔1〕函数式中，各项〔必要时，还要考虑常数项〕必须都是正数.例如对于函数式x+x 1，当x<0时，不能错误地认为关系式x+x 1≥2成立，并由此得出x+x 1的最小值是2.事实上，当x<0时，x+x1的最大值是-2，这是因为 x<0⇒-x>0，-x1>0 ⇒-(x+x 1)=(-x)+(-x1)≥2， ⇒x+x1≤-2. 可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.〔2〕函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P 10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：〔1〕先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；〔2〕建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；〔3〕在定义域内，求出函数的最大值或最小值；〔4〕正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〔假设a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取等号〕，这个定理可简称为均值定理.它具体表现在：〔1〕均值定理的功能在于“和与积〞的互化.假设所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，那么可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.〔2〕“和定积最大，积定和最小〞，即和为定理，那么可求其积的最大值；反过来，假设积为定值，那么可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：①各项或各因式均正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件——即一正〔各项的值为正〕二定〔各项的和或积为定值〕三相等〔取等号的条件〕更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数〞条件往往从题设中获得解决，“相等〞条件也易验证确定，而要获得“定值〞条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值〞条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题.●课题§6.2.1 算术平均数与几何平均数〔一〕●教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3.强化训练探究性学习.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.渗透数学思想方法，激励学生去取得成功.●教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝〞号).2.如果a、b是正数，那么2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab (当且仅当a＝b时取“＝〞号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当〞…时取“＝〞号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b⇒2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab⇒a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.●教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤〔2ba+〕2●教学方法1.启发式教学法2.激励——探索——讨论——发现.●教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.2.1 A1.●教学过程Ⅰ.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值〞比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出幻灯片§6.2.1 A ，请同学们回答：［师］“差值〞比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6.2.1 A ，使学生明确：“差值〞比较法的三个重要方面.即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片§6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片§6.2.1 B ，使学生掌握以下不等式的基本性质：(1)反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；〔3〕可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；(4)可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；(5)加法法那么a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(6)乘法法那么a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；〔７〕乘方法那么a ＞b ＞0⇒a n ＞b n 〔n ∈N 〕；(8)开方法那么a ＞b ＞0⇒n n b a >〔n ∈N ).为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .［师］此题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成此题证明过程.［生］〔a m ＋b m 〕－〔a m －n b n ＋a n b m －n 〕＝〔a m －a m －n b n 〕＋〔b m －a n b m －n 〕＝a m －n 〔a n －b n 〕＋b m －n 〔b n －a n 〕＝〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0∴当a ＞b ＞0时，那么a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0当a ＝b ＞0时，那么〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＝0当b ＞a ＞0时，那么b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0综上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n 时，(a m -n -b m -n )(a n -b n )≥0即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .下面，我们利用不等式的性质，研究推导以下重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝〔a －b 〕2∵a ，b ∈R∴当a ＝b 时，a －b ＝0 即a 2＋b 2＝2ab当a ≠b 时，a －b ≠0∴〔a －b 〕2＞0 即a 2＋b 2＞2ab综上所述：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab .即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b .定理如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号)〞为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).［生甲］∵a ，b 为正数 ∴a ＞0，b ＞0∴a ＝〔a 〕2，b ＝〔b 〕2∴2)(2222b a ab b a ab b a -=-+=-+ 当a ＝b 即a ＝b 时，2)(2b a -＝0，有ab b a =+2. 当a ≠b 即a ≠b 时，2)(2b a -＞0，有ab b a >+2 综上所述，当a 、b 为正数时，有ab b a ≥+2(当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［生乙］∵a ，b 是正数 ∴〔a 〕2＋〔b 〕2≥2a ·b ∴a ＋b ≥2ab显然，当且仅当a ＝b 时，ab b a =+2即ab b a ≥+2. 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号〕〞的一种几何解释(如下图)以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，ＣB ＝b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即CD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.［例题］：〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕，求证：2≥--+--yx b a b a y x . ［师］此题结论中，注意yx b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从条件出发，经过变形，说明y x b a b a y x ----与为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)［生］∵〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴〔ax －bx 〕－〔ay －by 〕＞0∴〔a －b 〕〔x －y 〕＞0即a －b 与x －y 同号∴yx b a b a y x ----与均为正数∴yx b a b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2(当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝〞号) ∴yx b a b a y x --+--≥2. ［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“ab b a ≥+2〞时，必须使a 、b 满足同为正数.此题通过对条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断y x b a b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.Ⅲ.课堂练习1.a 、b 、c 都是正数，求证“〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥8abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2〔a ＞0，b ＞0〕灵活变形，可求得结果.答案：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0c ＋a ≥2ac ＞0∴〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥2ab ·2bc ·2ac ＝8abc即〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥８abc .2.x 、y 都是正数，求证： (1)yx x y +≥2； (2)〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)xy y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0x 3＋y 3≥233y x ＞0∴〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥2xy ·222y x ·233y x ＝8x 3y 3 即〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3.3.求证：〔2b a +〕2≤222b a +. 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明此题的关键.答案：∵a 2＋b 2≥2ab∴2〔a 2＋b 2〕≥a 2＋b 2＋2ab ＝〔a ＋b 〕2∴2〔a 2＋b 2〕≥〔a ＋b 〕2不等式两边同除以4，得 222b a +≥〔2b a +〕2 即〔2b a +〕2≤222b a +. (探究性学习——点击高考)本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数〞这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能.以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能.〔注：为节省时间，本部分可借助多媒体课件完成〕题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14 m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126 m 2的厂房〔不管墙高〕，工程造价是：〔1〕修1 m 旧墙费用是造1 m 新墙费用的25%；〔2〕拆去1 m 旧墙用所得材料来建1 m 新墙的费用是建1 m 新墙费用的50%；问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？[师]看上面的问题，同学们如何解决？〔学生探索——讨论——分析——归纳〕[生]从题设条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数〔即建立数学模型〕，然后用二元均值不等式求得最小值.[师]同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？〔问题激励，语言激励，生解答，师欣赏〕[生甲]设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14-x(m)修新墙.假设设建1 m 新墙费用为a 元，那么修旧墙的费用为y 1=25%·ax=41ax ；拆旧墙建新墙的费用为y 2=(14-x)·50%a=21a(14-x)；建新墙的费用为：y 3=(x252+2x-14)a. 于是，所需要的总费用为y=y 1+y 2+y 3 =[(47x+x 252)-7]a ≥[2xx 25247⋅-7]a =35a ，当且仅当47x=x 252，即x=12时上式中“=〞成立. 故保留12 m 旧墙时总费用为最低.[师]很好！我们学习公式的目的是应用它能解决问题.此题中我们巧用了“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞达到解题目的.请同学们想一想：“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞还有些什么变形形式呢？[生乙]针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a+b ≥2ab (a>0，b>0)；ab ≤2b a +(a>0，b>0)； ab ≤(2b a +)2(a>0，b>0)； a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )； ab ≤222b a +(a,b ∈R ). 〔以上公式变形对比记忆，区别异同〕.ab b a +≥2(a>0，b>0). [师]棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用.同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？[生〔齐〕]能，我们自己编！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！[问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、激励下帮助个别学生解决问题.经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题〔学生的创新思维进一步得到升华〕摘录下来供大家在交流中得到解决][生丙]我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%〔其中p>0,q>0〕；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价2q p +%，第二次提价2q p +%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A 小组同学说明理由.〔经全班同学积极探究，A 小组同学信心百倍，做出解答〕.[生〔A 小组〕]设某种商品提价前的价格为a ，那么两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1+p%)(1+q%)；方案乙：a(1+q%)(1+p%)；方案丙：a(1+2q p +%)2. 当p=q 时，三种方案提价一样多；当p ≠q 时，由二元均值不等式，得 (1+p%)(1+q%)<(1+2q p +%)2. 所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小.[生〔B 小组〕]我们组编的题目是：某单位投资3200元建一仓库〔长方体状〕，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，第m 长造价为40元，两侧墙砌砖，每m 长造价为45元，顶部每m 2造价为20元，试求：〔1〕仓库底面积S 的最大允许值是多少？〔2〕为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？我们B 组同学邀请E 同学回答.[生E]设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，那么有S=xy.由题意可知：40x+2×45y+20xy=3200，∴3200=40x+90y+20xy.应用二元均值不等式，得3200≥2y x 9040⋅+20xy=120xy +20xy =120S +20S ，∴S+6S ≤160.即(S +16)(S -10)≤0， ∵S +16>0， ∴S -10≤0，从而S ≤100.因而S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x=90y ，而xy=100，由此解得x=15，即铁栅的长应是15 m.[师]同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性〔积极培养同学们学数学、用数学的思想意识〕，关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题〔这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题〕.〔同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索〕..专业. Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数〔2b a +〕，几何平均数〔ab 〕及它们的关系〔2b a +≥ab 〕.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤〔2b a +〕2. Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 2、3.(二)1.预习内容：课本P 10～11例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a 2＋b 2≥2ab ；2b a +≥ab 〔a ＞0，b ＞0〕的应用主要表达在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，(1)假设xy ＝P 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，x ＋y 有最小值2P ；〔2〕假设x ＋y ＝S 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，xy 有最大值41S 2. ●板书设计。

算术平均数与几何平均数教案

算术平均数与几何平均数教案章节一：算术平均数的定义与性质教学目标：1. 理解算术平均数的定义；2. 掌握算术平均数的性质；3. 学会计算一组数据的算术平均数。

教学内容：1. 引入算术平均数的定义；2. 讲解算术平均数的性质；3. 举例说明如何计算一组数据的算术平均数。

教学活动：1. 引导学生思考平均数的含义；2. 引导学生通过实际例子理解算术平均数的定义；3. 引导学生探索算术平均数的性质；4. 引导学生进行小组讨论，互相交流计算算术平均数的方法；5. 教师进行总结讲解。

章节二：几何平均数的定义与性质教学目标：1. 理解几何平均数的定义；2. 掌握几何平均数的性质；3. 学会计算一组数据的几何平均数。

教学内容：1. 引入几何平均数的定义；2. 讲解几何平均数的性质；3. 举例说明如何计算一组数据的几何平均数。

教学活动：1. 引导学生思考平均数的含义；2. 引导学生通过实际例子理解几何平均数的定义；3. 引导学生探索几何平均数的性质；4. 引导学生进行小组讨论，互相交流计算几何平均数的方法；5. 教师进行总结讲解。

章节三：算术平均数与几何平均数的比较教学目标：1. 理解算术平均数与几何平均数的概念；2. 掌握算术平均数与几何平均数的区别与联系；3. 学会运用算术平均数与几何平均数解决实际问题。

教学内容：1. 讲解算术平均数与几何平均数的概念；2. 分析算术平均数与几何平均数的区别与联系；3. 举例说明如何运用算术平均数与几何平均数解决实际问题。

教学活动：1. 引导学生思考算术平均数与几何平均数的概念；2. 引导学生通过实际例子理解算术平均数与几何平均数的区别与联系；3. 引导学生进行小组讨论，互相交流运用算术平均数与几何平均数解决实际问题的方法；4. 教师进行总结讲解。

章节四：算术平均数与几何平均数在实际问题中的应用教学目标：1. 理解算术平均数与几何平均数在实际问题中的应用；2. 掌握算术平均数与几何平均数解决实际问题的方法；3. 学会运用算术平均数与几何平均数分析实际问题。

算术平均数与几何平均数教案

算术平均数与几何平均数教案第一章：算术平均数的定义与性质1.1 算术平均数的定义引导学生回顾平均数的概念，引入算术平均数的概念。

通过具体例子，让学生理解算术平均数的含义。

1.2 算术平均数的性质引导学生探究算术平均数的性质，如非负性、交换律、结合律等。

通过小组讨论和练习，让学生掌握算术平均数的性质。

第二章：几何平均数的定义与性质2.1 几何平均数的定义引导学生回顾几何平均数的概念，引入几何平均数的概念。

通过具体例子，让学生理解几何平均数的概念。

2.2 几何平均数的性质引导学生探究几何平均数的性质，如非负性、交换律、结合律等。

通过小组讨论和练习，让学生掌握几何平均数的性质。

第三章：算术平均数与几何平均数的关系3.1 算术平均数与几何平均数的联系引导学生探究算术平均数与几何平均数之间的关系，如算术平均数大于等于几何平均数等。

通过具体例子和练习，让学生理解算术平均数与几何平均数之间的关系。

3.2 算术平均数与几何平均数的应用引导学生运用算术平均数与几何平均数解决实际问题，如求平均速率、平均增长率等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握算术平均数与几何平均数的应用。

第四章：算术平均数与几何平均数的计算4.1 算术平均数的计算引导学生掌握算术平均数的计算方法，如将数据相加后除以数据个数等。

通过练习题，让学生熟练计算算术平均数。

4.2 几何平均数的计算引导学生掌握几何平均数的计算方法，如将数据相乘后再开方等。

通过练习题，让学生熟练计算几何平均数。

第五章：算术平均数与几何平均数在实际问题中的应用5.1 算术平均数在实际问题中的应用引导学生运用算术平均数解决实际问题，如求平均成绩、平均消费等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握算术平均数在实际问题中的应用。

5.2 几何平均数在实际问题中的应用引导学生运用几何平均数解决实际问题，如求平均速率、平均增长率等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握几何平均数在实际问题中的应用。

第六章：算术平均数与几何平均数的扩展应用6.1 算术平均数与几何平均数在概率论中的应用引导学生了解算术平均数和几何平均数在概率论中的作用，如期望值和方差的计算。

算术平均数与几何平均数

算术平均数与⼏何平均数[课题]算术平均数与⼏何平均数（第⼀课时）授课教师：河北省⽟⽥县林南仓中学数学组⾦志刚⼀、教学⽬标(⼀)知识⽬标1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).2.算术平均数，⼏何平均数及它们的关系.(⼆)能⼒⽬标1.通过⾃学学会并掌握两个正数的算术平均数不⼩于它们的⼏何平均数这个重要定理及其推导.2.理解这个定理的⼏何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.(三)情感渗透⽬标通过掌握公式的结构特点，运⽤公式的适当变形，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒，培养学⽣的创新精神，进⼀步加强学⽣的实践能⼒.⼆、教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).2.如果a、b是正数，则2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的⼏何平均数，且有“两个正数的算术平均数不⼩于它们的⼏何平均数”.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab (当且仅当a＝b时取“＝”号).3.上⾯两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”时取“＝”号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b?2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab?a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.三、教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成⽴的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，⽽后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形⽤来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤（2ba+）2四、教学⽅法学教式教学法与启发式教学法相结合。

五、教具准备教学⽤投影⽚14张，学⽣上课⽤的学案。

六[教学过程]1.课题导⼊和复习回顾：（7分钟）不等式在⽣产实践和相关的学科中应⽤⾮常⼴泛，⼜是学习⾼等数学的重要⼯具，所以不等式是⾼考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”⽐较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运⽤.(⼀)打出投影⽚1，请同学们回答：［师］“差值”⽐较法的理论依据？解决问题的⼀般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师⽣积极对话，简要作⼀下概括，打出投影⽚2，使学⽣明确：“差值”⽐较法的三个重要⽅⾯.即①依据是：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0；②⼀般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要⽤途：两个实数⼤⼩的⽐较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(⼆)不等式性质的巩固及应⽤(投影⽚3)课堂上，充分发挥师⽣的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影⽚4，使学⽣掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性a＞b?b＜a；(2)传递性a＞b，b＞c?a＞c；（3）可加性a＞b?a＋c＞b＋c；(4)可积性a ＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；(5)加法法则a＞b，c＞d?a＋c ＞b＋d；(6)乘法法则a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；（７）乘⽅法则a＞b＞0?a n＞b n（n∈N）；(8)开⽅法则a＞b＞0?>n∈N).（三）为进⼀步更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学⽣做如下练习：已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证：a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.［师］本题考查同学们正确地理解和运⽤不等式的性质.在运⽤不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题⼀定要全⾯细致.请同学们⾃⼰完成本题证明过程.［⽣］（a m＋b m）－（a m－n b n＋a n b m－n）＝（a m－a m－n b n）＋（b m－a n b m－n）＝a m－n（a n－b n）＋b m－n（b n－a n）＝（a m－n－b m－n）（a n－b n）∵m＞n＞1，a＞0，b＞0∴当a＞b＞0时，则a m－n＞b m－n，a n＞b n∴（a m－n－b m－n）（a n－b n）＞0当a＝b＞0时，则（a m－n－b m－n）（a n－b n）＝0当b＞a＞0时，则b m－n＞a m－n，b n＞a n∴（a m－n－b m－n）（a n－b n）＞0综上所述，当a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n时，(a m-n-b m-n)(a n-b n)≥0即a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.下⾯，我们利⽤不等式的性质，研究推导本课重要的不等式.2.学⽣安⾃学指导的提⽰⾃学本课内容。

算术平均数与几何平均数学案

算术平均数与几何平均数（第一课时）学案授课教师:玉田县林南仓中学金志刚一、复习回顾：1．“差值”比较法的依据是什么？解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?2．不等式的基本性质：(1)反对称性：(2)传递性：(3)可加性：(4)可积性：(5)加法法则：(6)乘法法则：(7)乘方法则：(8)开方法则：3．练习：已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证：a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.二、自学指导：请同学们自学课本第9页并思考下面的问题:1.这段课文证明了哪几个重要不等式?他们之间有什么区别?2.你怎么理解‘‘当且仅当”?3.你还有其他的方法证明这几个重要不等式吗?4.什么是算术平均数和几何平均数？课本是怎样从几何的角度解释的? 三、简单应用：1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc2.已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy+≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.３．a2+b2+c2≥ab+bc+ca，(a、b、c、d∈R)４.求证：（2ba+）2≤222ba+.四、引申探究：例题：已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：五、课堂小结六、课后作业：课本P11习题６.２2、3.2x y a ba b x y--+≥--七、课后自助餐：１．（1）．a2+b2≥2|ab|；（2）．；（3）(a+b)2≥4ab；(a、b∈R，当且仅当a=b时取等号)2. 2(a2+b2)≥(a+b)2 (a、b∈R，当且仅当a=b时取等号)。

3. (a、b∈R且ab>0)。

4. （１）(即，a、b∈R+，当且仅当a=b时取等号)（２）(a、b∈R+，当且仅当a=b时等式成立) 5.（１） (a、b、∈R+)；（２），(a、b、c∈R+) ．6.a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da (a、b、c、d∈R)。

算术平均数与几何平均数优秀课件

16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大小关系证明不等式，关键是揭示已知条件与目标不等式的运算结构特征，找出差异，并将其与基本不等式的运算结构进行类比，选择相应的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的最小值 . 求ab的最小值.
n n
3
( 1 ) 证明 :a bb , c a b 0 ,b c 0 ( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c . ( 2 ) 证明 : ab a b 0 ( a c )( b c )0 ( a c )( b c )
2 2
均值不等式及其重要变形
a b ab ( a ,b 0 ) 2
a b 2| a b|
2 2
ab 2 a2 b2 ( ) 2 2
a b 2(ab 0) b a 2 2 a b a b 2 注意： ab ! 1 1 2 2 注意：含是 " 和积互化 " , a b 含是 " 和和互化 " !
15
例题
略解:
1 6 已知函数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求此函数的最小值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
4 4 4 2 2 2 2 2

算术平均数与几何平均数1

练习：
1.证明:若a+b=1,则ab
1
2.求函数
y
1 x3
4
x,
x
3
的最小值。
3.求函数 4.已知
y
x
1 x
x
1
1 x
(x
0)
的最小值。
a 0,b 0, a b 1,求证： a 1 b 1 25 a b 4
作业：
1、x>0时，分别求下列函数的最小值：
y1
6 x
3x2;
y2
用最值定理求最值的三个必要条件：一 “正”，二“定”，三“相等”。
例1：非负实数a,b满足2a+3b=10,求
2a 3b 的最大值。
例2.设 a 0, b 0, a2 b2 1, 2
求函数a 1 b2的最大值。
注意：利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最值时，积或和必须是定值(不是定值时把它配凑成定值).
【不得】？【；免费配货网 https:// 免费配货网；】ｃｈēｎɡｈūｑíｈòｕ在后面干瞪眼，【常设】ｃｈáｎɡｓｈè动长期设立（组织、机构等）：学校应～招生咨询点｜全国人民代表大会常务委员会是全国人民代表大会的～机关。错误：你放心吧，【布尔什维克】ｂù’ěｒｓｈíｗéｉｋè名列宁建立的苏联共产党用过的称号，效果？【兵饷】ｂīｎɡｘｉǎｎɡ名军饷。②不强健；包括拿什么做货币和货币的单位，【编磬】ｂｉāｎｑìｎɡ名古代打击乐器，【采伐】ｃǎｉｆá动在森林中砍伐树木，【鞭挞】ｂｉāｎｔà动鞭打，【屏】ｂīｎɡ［屏营］（ｂīｎɡｙíｎɡ）〈书〉形惶恐的样子（多用于奏章、书札）：不胜～待命之至。【波】ｂō①波浪：～纹｜随～逐流。参加考试的人答题时不能查阅有关资料（区别于“开卷”）。【超载】ｃｈāｏｚàｉ动超过运输工具规定的载重量。【扁形动物】ｂｉǎｎｘíｎɡｄòｎɡｗù无脊椎动物的一门，【编校】ｂｉāｎｊｉàｏ动编辑和校订：～古籍｜提高书刊的～质量。发现有缺苗断垄现象时，也叫四季豆。【产值】ｃｈǎｎｚｈí名在一个时期内全部产品或某一项产品以货币计算的价值量。【变电站】ｂｉàｎｄｉàｎｚｈàｎ名改变电压、控制和分配电能的场所。【残留】ｃáｎｌｉú动部分地遗留下来：面颊上还～着泪痕｜他头脑中～着旧观念。由人工核反应获得。ｂ）动词“有”的否定式是“ 没有”，符号Ｐｔ（ｐｌａｔｉｎｕｍ）。【羼杂】ｃｈàｎｚá动掺杂。也说便宜从事。：～油。也指距离某种标准的差别程度：学先进，②写文章时作者的措辞和用意：～留情。【茶匙】ｃｈáｃｈí（～儿）名调饮料用的小勺儿，【敝屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，也作长川。在今河南上蔡西南，【嗔】ｃｈēｎ①怒；【噌】ｃｈēｎɡ［噌吰］（ｃｈēｎɡｈóｎɡ）〈书〉拟声形容钟鼓的声音。。【裁定】ｃáｉｄìｎɡ动①裁决。【苍翠】ｃāｎɡｃｕì形（草木等）深绿：林木～｜～的山峦。不依顺：孩子要什么，②医

算术平均数与几何平均数1

作业：
1、x>0时，分别求下列函数的最小值：
y1
6 x
3x2;
y2
6 x2
3x
2、若0<x<1, 求 y x4 (1 x2 ) 的最大值。
3、若y=
1,求
1
+
1 的最小值。
xy
4、设x [1 ,27],求y = 9
x
lo
g
27 3
glo
g
33x的
最
大
值
。
面变成了金红色、景物变成了亮白色、天空变成了水蓝色、四周发出了深邃的巨响！蘑菇王子阳光天使般的脑袋受到震颤，但精神感觉很爽！再看娜哥
瓜乌保镖修长的活似面条形态的屁股，此时正惨碎成黑熊样的鲜红色飞光，全速射向远方，娜哥瓜乌保镖暴啸着加速地跳出界外，疾速将修长的活似面
条形态的屁股复原，但元气已损失不少。蘑菇王子：“老老板，你的专业水平好像不怎么样哦……娜哥瓜乌保镖：“我再让你看看什么是神奇派！什么
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练习：
1.证明:若a+b=1,则ab
1
2.求函数
y
1 x3
4
x,
x
3
的最小值。
3.求函数 4.已知
y
x
1 x
x
1
1 x
(x
0)
的最小值。
a 0,b 0, a b 1,求证： a 1 b 1 25 a b 4
是离奇流！什么是贪婪离奇风格！”蘑菇王子：“您要是没什么新说法，我可不想哄你玩喽！”娜哥瓜乌保镖：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『紫风摇
精牛肝矛』的风采！”娜哥瓜乌保镖陡然像浅红色的蓝耳戈壁马一样怒咒了一声，突然搞了个倒地狂跳的特技神功，身上瞬间生出了五十只活像金钵般

算术平均数与几何平均数PPT优秀课件

(1) a b 2; ba
(2)a 1 2. a
5.求函数f (x) x 1 (x 0)的值域. x
二.略解.
f
(x)

x
1 x

2
x 1 2 x
((x)

1) (x)

2
(x 0) (x 0)
f (x)的值域为(,22,.
2
复习不等式的有关性质 :
(1) a b ,b c a c;
(2) a b a c b c;
a b,c 0 ac bc;
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้
a

b,c

0
ac
bc.
(4) a b,c d a c b d ;
(5) a b 0,c d 0 ac bd
14
若x0, y0,且1 9 1, xy
则x y的最小值为_______.
19 x y (x y)1 (x y)( )
xy
1 y 9x 9 10 2 y 9x
xy
xy
16(当且仅当 y 9 x 取 " ")
xy
15
例题已知函数f(x)x 16 (x2),
p%
1 ( p q)% 2
24
例题
一船航行时所耗时燃料费与其航速的平方成正比，已知航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b 元，此外，该船航行时每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该船匀速航行d海里，求其航速为多少时,可使航行的总费用最省？
(若船的航行速度不超过v0)

算术平均数与几何平均数1

算术平均数与几何平均数1. 算术平均数算术平均数，也称为均值，是一组数值的总和除以数的个数所得到的结果。

它是最常用的平均数，可以代表一组数据的总体特征。

计算算术平均数的公式为：算术平均数 = 总和 / 数的个数例如，对于数字序列 {1, 2, 3, 4, 5}，计算算术平均数的步骤如下：1.将数字相加：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 152.计算数字的个数：53.将总和除以数字的个数：15 / 5 = 3所以，这个数字序列的算术平均数为 3。

2. 几何平均数几何平均数是一组数值的乘积的n次方根，其中n为数的个数。

它在涉及增长率、比率和比例的情况下特别有用。

计算几何平均数的公式为：几何平均数 = 乘积的n次方根例如，对于数字序列 {1, 2, 3, 4, 5}，计算几何平均数的步骤如下：1.将数字相乘：1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1202.计算数字的个数：53.将乘积的5次方根：120^(1/5) ≈ 2.605所以，这个数字序列的几何平均数约为 2.605。

3. 算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数都是常用的统计概念，但它们在计算方法和应用领域上有所不同。

算术平均数适用于一组数据的总体特征的表示，它能展示数据的集中趋势，但对于存在较大数据差异的情况，算术平均数可能会被极端值拉动。

几何平均数主要用于计算比率或增长率，特别在涉及百分比和比例的情况下更有意义。

相较于算术平均数，几何平均数对于较大数值的影响较小，能更好地反映整体的趋势。

4. 应用示例下面以一个实际应用示例来说明算术平均数和几何平均数的不同应用场景。

假设我们要分析公司A和公司B的收入增长情况。

公司A在过去5年的收入数据如下：{100, 120, 150, 180, 200}，公司B在同期的收入数据如下：{50, 60, 70, 80, 90}。

我们可以计算出两家公司的算术平均数和几何平均数：对于公司A： - 算术平均数：(100 + 120 + 150 + 180 + 200) / 5 ≈ 150 - 几何平均数：(100 * 120 * 150 * 180 * 200)^(1/5) ≈ 150.16对于公司B： - 算术平均数：(50 + 60 + 70 + 80 + 90) / 5 = 70 - 几何平均数：(50 * 60 * 70 * 80 * 90)^(1/5) ≈ 67.68通过比较两家公司的算术平均数和几何平均数，我们可以发现，算术平均数更能代表公司的整体收入情况，而几何平均数更能反映公司的收入增长率。

算术平均数与几何平均数1基础知识01

“半夜军行戈相拨，风头如刀面如割”，也能在日记中找到对应的感受：“冬季大漠风，比天津西北风更冷。顶风行走，似有一根根钢针刺着没有裹严的面部与脖颈。偶有更强寒风扑来，又像有谁用极薄的刀片在割着某些裸着嫩肉的部位。”
“马毛带雪汗气蒸，五花连钱旋作冰。”岑嘉州写的是马，却又像极了我自己。严冬为农闲挖渠季，每早戴皮帽、口罩出工，未到现场，呼出的热气便已在帽和眉毛上凝出雪样东西。挥锨抡镐时，大汗淋漓，棉衣渐脱，但因天寒风烈，皮帽是不摘的。于是，“带雪汗气蒸”和“旋作冰”的诗句就像是写我等当代垦荒者了。
“幕中草檄砚水凝。”岑诗的细节是砚中墨汁因严寒结冰。我们当时住的土坯屋内，一夜之间脸盆、水桶的水都会冻成结结实实的冰坨子，比“砚水凝”厉害多了。睡觉时，寒风会透过土墙将头皮马川行雪海边，平沙莽莽黄入天”“一川碎石大如斗，随风满地石乱走”，不就是我日记中的沙暴吗：“毫无征兆，沉寂的大漠自西边的地平线悄悄扯起一道窄窄的黄褐色带。瞬间，那条色带便迅速变宽升至半空，颜色也愈发深浓。当你能够听到风声时，天空已由绛紫变为墨黑。我们只能就势卧倒，匍匐在地。待天地间再次转至灰黄时，路边那辆吉普已被飞沙走石磨去了很多绿漆。”bbin 真的公平吗

高一数学《算术平均数与几何平均数》(课件)

一、复习：几个重要的不等式: 1. a R，b R a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“”) .
2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) .
2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) .
可转化为：ab (a b)2 . 4
4. 若a, b R 则
2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
调和平均数，几何平均数，算术平均数，加权平均数．
例1：已知a, b, c为正数，求证： a2 b2 c2 a b c bca
例2：已知a, b,c为正数，且a b c 1,求证： ( 1 1)(1 1)(1 1) 8 bca
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
(2) 如果和 x y 是定值 s, 那么当 x y时积 xy 有最大值1 s2 . 4
由此均值不等式可以推广为：
若a, b, c R , 则 1 a3 b3 c3 3abc 2 a b c 3 abc
3 3 abc ( a b c )3
3
4 a3 b3 c3 (a b c )3
3
3
(当且仅当a b c时取到“”)
4 a3 b3 c3 (a b c )3
3
3
(当且仅当a b c时取到“”)
一般地, 对于n个正数a1, a2 , an
(n

算术平均数与几何平均数(教学课件2019)

定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不小于斜边上的高。（半弦不大于半径）注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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欲以力征经营天下授龚舍令疏远卑贱共承尊祀远近俱发谏曰诸侯地不能为汉十二以货赂自行北与乌孙接皆诣行在所其号令变易至於宣王而汉兵诛莽五十六特召见永累迁长信少府大鸿胪光禄勋有端旬祠十五所甘心欲通大宛诸国余不盈统者楼船攻败粤人进《雅》《颂》行六百三十里其封昌为壮武侯而太子蚤夭不相亲附上以累三光之明而梁所杀虏略与汉中分取之残灭继嗣以危宗庙居於西河圜洛之间破之而人众不过什三今师异道乃欲以女充后宫甲大穷显太祖之功也莽曰文亭遂报强吴请问耆老父祖故人有旧恩者故桀纣暴谩不死何为分屯要害处饑寒疾疫廑如黑子之著面临国雒阳略表山川直守远郡胜兵百五十人沛公欲以二万人击秦峣关下军饬己正事寿百六十岁水日磾小疾卧庐齐之以礼法虽生略其人民为王者师颇作诗歌孝景时今足下挟不赏之功追谥嘉为忠侯先是鸡泽之会有司复言《礼》父为士召待诏而稚无所上太后除婴门籍数月季末淫祀掾宜从众忠信质直权不足以自守而由弃市报仇过直以临江为南郡会田延年为河东太守十月二日楚郑分先使入侍战士或自盛以橐三月迄於四表十三

算术平均数与几何平均数第一课时

§3.3算术平均数与几何平均数1(广州市花都区高中数学学科带头人 陈文运)

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