湖北省高一数学上学期期末考试理

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湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

湖北省部分学校 2023-2024 学年高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A {x∣x x 4 0}, B x∣log3x 1 ，则 AI B （）
A． 4,
12．已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，直线 x 1是函数 y f x 的图象的一条对
称轴，当 x 0,1 时， f x x3 ，则（）
A． f x f x 4
B． f 2024 1
C． f x 在 1,3 上单调递减
D．方程 f x lgx 0 恰有 10 个解
A． 2 3
B． 2 3
C． 3
D． 3
6．已知 0, π ，且 sin cos 7 ，则 tan （）
13
试卷第 1 页，共 4 页
A． 5 12
B． 5 12
C． 12 5
7．已知 a log163,b lg2lg5, c log9 2 ，则 a,b, c 的大小关系为（
于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到100mg /100ml ，然后血液酒精
含量会以每小时 20% 的速度减少，则按照新规他至少经过小时后才能开车（. 参考数据：
lg2 0.3 ）
16．已知函数 f x m 2ex x2 nx ，若 x∣f x 0 ⫋ x∣f f x 0 ，则 m ，
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x x sinx 的部分图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落

2022-2023学年湖北省襄阳市襄州第一高一年级上册学期期末考试数学试卷【含答案】

襄州第一高级中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学解析版一，单选题1.如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为则4:30()0ααπ<≤( )α=A.B. C. D. 2π4π8π16π答案B 解：由图可知，. 故选B ．1284παπ=⨯=2.已知，若，则的化简结果是( )()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin sin f f x α--A. B. C. D.2tan α-2tan α2cos α-2cos α答案A .解：，若，()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则.()()cos cos sin sin 2tan 1sin 1sin f f x αααααα---==+=--+3.已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0π-则的取值范围是（）A. B. C. D. 1710,63⎛⎤ ⎥⎝⎦1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎛⎤ ⎥⎝⎦答案A 解：函数，当时,所以()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0x π∈- ，因为在上恰有3条对称轴，3个对称中心，333x πππωπω-+<+<()f x (),0π-所以. 故选A.5171033263πππωπω-≤-+<-⇒<≤4.若函数的定义域为（）()f x =+()21f x -A.B. C. D. ()0,2[)(]2,00,2-⋃[]2,2-[]0,2答案C 解：由,解得，则()f x =+3010x x -≥⎧⎨+≥⎩13x -≤≤中，令 , 解得 , 则函数的定义域为()21f x -2113x -≤-≤22x -≤≤()21f x -,故选C.[]2,2-5.若函数在上有最小值（为常数）()(32log 1f x ax b x =++(),0-∞5-,a b 则函数在上（）()f x ()0,+∞A.有最大值4 B.有最大值7 C.有最大值5 D.有最小值5答案B 解：考虑函数,定义域为R,()(32log gx ax b x =++()(32log g x ax bx -=-+-，(()3322log log ax b ax b x g x =-+=--+=-所以是奇函数，()(32log g x ax b x=++函数在上有最小值-5，()(32log 1f x ax b x =+++(),0-∞则在上有最小值，()(32log g x ax b x =++(),0-∞根据奇函数的性质得：在上有最大值6，()(32log g x ax b x =++()0,+∞所以在上有最大值7.故选：B.()(32log 1f x ax b x =+++()0,+∞6.定义:正割，余割.已知为正实数，且1sec cos αα=1csc sin αα=m 对任意的实数均成立，则的最小值为22csc tan 15m x x ⋅+≥,2x x k k Z ππ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭m A.1 B.4C.8D.9答案D 解：由已知得，即．因为222sin 15sin cos m x x x +≥422sin 15sin cos x m x x ≥-，所以，则,2x k k Zππ≠+∈(]2cos 0,1x ∈()()224242222221cos sin 12cos cos 15sin 151cos 1515cos cos cos cos x x x x x x x x x x--+-=--=--422221cos 11515cos 21716cos 179cos cos x x x x x +⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当时等号成立，故m≥9．故选：D ．21cos 4x =7.1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，sin tan sec 英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，cos cot csc 经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若1sec cos αα=1csc sin αα=，且，则( )()0,απ∈111sec csc 5αα+=tan α=A.B.A.B. C.或 D.不存在34-43-34-43-答案B 解：由，得，又,111sec csc 5αα+=1sin cos 5αα+=22sin cos 1αα+=，()0,απ∈联立解得（舍）或，∴．故选B ．3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin 4tan cos 3ααα==-8.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是x 20x x m ++=()1,2m A.B. C. D. []6,2--()6,2--(][),62,-∞-⋃-+∞()(),62,-∞-⋃-+∞答案B 解：因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，要使关于()f x ()1,2()f x 的方程在区间内有实根必有f （1）=1+1+m ＜0且f （2）x 20x x m ++=()1,2=4+2+m ＞0，解得-6＜m ＜-2．故选：B ．9.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设()f x R ()1f x -()1f x -，则（）()21f -=()2f =A.-D.-B.1C.2D.-2答案A 解:因为为奇函数,所以=,所以的图象关于点(1,0)对()1f x -()1f x -()1f x --()f x 称. 因为为偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),即f(-1-x)=f(-1+x), 所以f(x)的图象()1f x -关于直线x=-1对称. 则有f(-2)=f(0)=-f(2)=1,即f(2)=-1. 故选A. 10.定义在上的函数满足，，且当R ()f x ()()4f x f x =-()()0f x f x +-=时，，则方程所有的根之和为（）[]0,2x ∈()3538f x x x =+()240f x x -+=A.44 B.40C.36D.32 答案A 解：因为，①所以的对称轴为x=2，因为()()4f x f x =-()f x ，②所以为奇函数，由②可得f （x ）=-f （-x ），由①可得-f （-()()0f x f x +-=()f x x ）=f （4-x ），令t=-x, 所以-f （t ）=f （4+t ），所以f （8+t ）=-f （4+t ）=-[-f （t ）]=f （t ），所以函数的周期为T=8，又当x∈[0，2]时,，作出()f x ()3538f x x x =+的函数图象如下：()f x方程所有的根为方的根，函数与函数()240f x x -+=()()142f x x =-()f x 都过点（4，0），且关于（4，0）对称，所以方程所有的()122y x =-()240f x x -+=根的和为5×8+4=44，故选：A ．根据题意可得f （x ）的对称轴为x=2，为奇函数，()f x 进而可得的周期，作出函数的图像，方程所有的根为方程()f x ()f x ()240f x x -+=的根，函数与函数都过点（4，0），且关于（4，0）()()142f x x =-()f x ()122y x =-对称，由对称性，即可得出答案．11.已知函数，则实数根的个数为( )ln ,0()1,0xx x f x e x -⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()()22f x f x += A. B. C. D.答案A 解：作出f(x)的图象：若，则f(x)=-2或f(x)=1，由图象可知y=f(x)与y=-2没有交点，()()22f x f x +=y=f(x)与y=1有2个交点，故实数根的个数为2，故选A.()()22f x f x +=二，多选题12（多选）.已知正实数，满足，则（）,x y 450x y xy ++-=A. 的最大值为1 B. 的最小值为4xy 4x y +C. 的最小值为1 D.的最x y +()()2241x y +++小值为18答案AB 解：因为，，可得450x y xy ++-=4x y xy xy ++≥+，所以，解得，当且仅当250+-≤)510+≤01xy <≤时取等号，即的最大值为1，故A 正确；4x y =xy 因为，所以()211445444442x y x y xy x y x y x y +⎛⎫++==++⋅≤++ ⎪⎝⎭,解得, 当且仅当x=4y 时，取等号，即x+4y()()24164800x y x y +++-≥44x y +≥的最小值为4，故B 正确；由可解得，所以450x y xy ++-=941x y =-+，当且仅当取等号，即915511x y y y +=++-≥-=+911y y =++,故C 错误；,2,1y x ==-()()()()222299411211811x y y y y y ⎛⎫+++=++≥⋅+= ⎪++⎝⎭当且仅当，取等号，即故D 错误；故选：AB ．911y y =++2,1y x ==-13（多选）.下列命题正确的是( )A.第一象限的角都是锐角B.小于的角是锐角2πC. 是第三象限的角D.钝角是第二象限角2019o答案CD 解：A ．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A 错误，B ．，但不是锐角，故B 错误， C.2019°=5×360°+219°，∵219°是第62ππα=-<α三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C 正确， D ．因为钝角大于90°小于180°，即钝角是第二象限角，故D 正确.14（多选）.以下式子符号为正号的有（）A.B.()tan 485sin 447oo-5411sincos tan 456πππC.D.()tan188cos 55oo -2913costan 662sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭答案ACD 解：A.因为是第二象限角，故tan485°<0，485360125o o o=+A,因为是第四象限角，故sin （－447°） <0，所以tan485°447720273o-=-+ sin （－447°）>0，故A 正确；B,因为是第三象限角，所以,因为是第二象限角，所以；因54π5sin 04π<45π4cos 05π<为是第四象限角所以，所以,故B 错误；116π11tan 06π<5sin 4π4cos 5π11tan 06π<C.因为是第三象限角，故，因为是第四象限角，故，188otan1880o>55o-()cos 550o ->故，故C 正确； D.因为是第二象限角，所以()tan1880cos 55oo>-295466πππ=+，因为是第四象限角，所以，因为是第29cos 06π<13266πππ-=--13tan 06π-<23π二象限角，所以，所以，故正确. 故选ACD.2sin03π>2913costan 6602sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭>15.（多选）已知，，则（）()0,θπ∈1sin cos 5θθ+=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=答案：ABD解：∵,∴两边平方得：,，1sin cos 5θθ+=112sin cos 25θθ+⋅=12sin cos 25θθ∴=-与异号,又∵,∴θ∈，∴，∴sin θ∴cos θ()0,θπ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭sin cos θθ>,∴，又∵，∴()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=7sin cos 5θθ-=1sin cos 5θθ+=,，故选ABD.4sin 5θ=3cos 5θ=-4tan 3θ=-16.在平面直角坐标系中，点，，xoy ()1cos ,sin P αα2cos ,sin 33P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）3cos ,sin 66P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A.线段与的长均为1 B.线段的长为11OP 3OP 23P PC.当时，点关于轴对称 D.当时，点关于轴对称3πα=12,PP y 1312πα=13,PP x 答案ACD解：由题意可得，同理可得，21OP ==31OP =故A 正确；由题意得，由勾股定理得，故B 错误；当23362P OP πππ∠=+=23P P =时，即，即，点3πα=1cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛ ⎝222cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛- ⎝关于轴对称，故C 正确；当时，，12,P P y 1312πα=31313cos ,sin 126126P ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，即3cos ,sin 1212P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭11313cos ,sin 1212P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos ,sin 1212P ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故点关于轴对称，故D 正确. 故选:ACD.13,P P x 17.函数的图象可能是（）()()af x x a R x =-∈A. B. C. D.答案ACD 解：①当a=0时,,选项A 符合；()f x x=当时0a ≠(),0,0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩②当a>0时，当x>0时，为对勾函数的一部分,()af x x x =+当x<0时,单调递减,选项B 不符合，选项D 符合，故D 有可能；()af x x x =-+③当a<0时,当x>0时单调递增, 当x<0时,()a f x x x =+()a a f x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭其中（x ＜0）为对勾函数第三象限的一部分，()af x x x -=+则x ＜0时的图象位于第二象限, 选项C 符合；可知选项B 中图象不是()a f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数f(x)的图象.18（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数的图象关于点对称tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.函数是最小正周期为的周期函数sin y x=πC. 为第二象限的角，且，则.θcos tan θθ>sin cos θθ>D.函数的最小值为2cos sin y x x =+1-答案AD 解：对于A ：函数的图象关于点对称，故A 正确；tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对于B ：函数=，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；sin y x =sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩对于C ：由为第二象限的角,得,由,得,故tan sin θθ>cos tan θθ>sin cos θθ<C 错误;对于D ：函数当时，22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭sin 1x =-函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD ．19（多选）.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍()f x [],a b [],ka kb k 跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”[],a b [],a b [],a b ()f x 下列结论正确的是( )A.若为的“跟随区间”，则[]1,b ()222f x x x =-+2b =B.函数存在“跟随区间”()11f x x =+C.若函数“跟随区间”，则()f x m =1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.二次函数存在“3倍跟随区间”()212f x x x=-+答案AD 解：对于A ，若为的跟随区间，[]1,b ()222f x x x =-+因为在区间上单调递增, 故函数在区间的值域为()222f x x x =-+[]1,b ()f x []1,b .根据题意有，解得，因为，故21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦222b b b -+=12b b ==或12b b >=或A 正确；对于B ，由题意，因为函数在区间上均单调递减，()11f x x =+()(),0,0,-∞+∞故若存在跟随区间，则或，()11f x x =+[],a b 0a b <<0a b <<则有，即，得，与或矛盾，1111a b b a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩11ab b ab a =+⎧⎨=+⎩a b =0a b <<0a b <<故函数不存在跟随区间，B 不正确；()11f x x =+对于C ，若函数存在跟随区间，因为为减函数，()f x m =-[],a b()f x m =故由跟随区间的定义可知 ,，b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩a b <即，()()()11a b a b a b-=+-+=-因为，易得，ab <1=01≤<≤所以，(1a m m =-=-即，同理可得，10am +-=10b m +-=转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，20t t m --=[]0,1故，解得，故C 不正确；1400m m +>⎧⎨-≥⎩1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦对于D ，若存在“3倍跟随区间”, 则可设定义域为,值域为()212f x x x =-+[],a b, 当时,易得在区间上单调递增，[]3,3a b 1a b <≤()212f x x x =-+[],a b 此时易得a,b 为方程的两根，解得x=0或x=-4，2132x x x-+=故存在定义域[-4，0]，使得的值域为[-12,0]，故D 正确. 故选AD.()212f x x x=-+三，填空题20.已知，且，则____.答案：()1sin 533o α-=27090o o α-<<-()sin 37oα+=解：，又，所以()()()sin 37sin 9053cos 53o oo ααα⎡⎤+=--=-⎣⎦27090α-<<-,又，所以，所以14353323o α<-< ()1sin 5303o α-=>14353180o α<-< 为负值，所以。

湖北省2024年新高考联考协作体2023-2024学年度上学期高一年级期末考试数学参考答案

2023-2024学年度上学期高一年级期末考试高一数学参考答案一、二单项选题和多项选题题号123456789101112答案ABCCBBDDABCBCADABD三、填空题13.2414.10915.31π-16.()1,2,)12⎡⎣小题详解：1.A.由}1,0{}3,2,1,0{=⋂∴=B A B .2.B.由0.55353log (45)004514242x x x ⎛⎤-≥∴<-≤∴<≤ ⎥⎝⎦,即定义域为，.3.C.由图象可知仅有C 选项的零点两侧同号.4.C.由(,0),(1,),(0,1),a b c a c b ∈-∞∈+∞∈∴<<.5.B.由αα2cos 493cos +-=，解的23cos ±=α，又23cos 0cos 493cos 2-=∴<+-=ααα，6.B.由4323),(243+=∴∈=-⨯k Z k k ωπππω，当1=k 时，9449πωπω===T ，.7.D.由已知得()f x 的定义域为()1,5，且在区间(32,2)m m -+内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：3233225m m m -≥⎧⎨-<+≤⎩.523m ∴≤<或排除法:取m=2.8.D.由)(x f 是奇函数，)2()2(--=-∴x f x f 又)()2(x f x f =-，)2()(--=∴x f x f ，所以)(x f 周期为4.222(2log 2024)(2log 202443)(log 202410)f f f +=+-⨯=-1282531024202410242024(log 2===f .9.ABC.对于A ：对于A ，函数()f x 是奇函数，如果0在定义域内，则有(0)0f =，故正确；对于B ，因为4222221(1)(1)()1()11x x x f x x x R x x -+-===-∈++，2()1()g x x x R =-∈，所以()f x 与()g x 是同一函数，故正确；对于C:原命题为全称量词命题，则其否定为存在量词命题,正确；对于D ：由题知22k ,k Z 2k ππαππ+<<+∈，,k Z 422k k παπππ∴+<<+∈，即2α是第一或第三象限角，不正确.10.BC.解：当0a =时，不等式为30-<，满足题意;0a ≠时，则必有0a <且2(2)430a a ∆=-+⨯<解得30a -<<，故a 的取值范围为30a -<≤，故选项B,C 满足条件.11.AD.解：选项:A 令即222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，故()f x 的增区间为5[,21]12k k ππππ-++，k Z ∈，取0k =，则()f x 在5[,121]2ππ-上单调递增，故选项A 正确.选项:B 令23x k ππ-=，k Z ∈，则26k x ππ=+，k Z ∈，取1k =-，则有3x π=-，因此()f x 图象关于点(1)3,π-对称，因此选项B 不正确.选项:C 若1()3f x =，2()1f x =-，则()f x 在1x x =和2x x =处分别取最大值和最小值，因此12(21)||(21)22T k x x k π+-=+⋅=，k Z ∈，故12min ||2x x π-=，选项C 不正确.选项:D 若12()()1f x f x ==，则1x 和2x 是函数2sin(23y x π=-的零点，故12||22T k x x k π-=⋅=，k Z ∈，选项D 正确.12.ABD 解：对于A ：()()224||1||1x xf x f x x x +-=-++=++，A 正确；对于B ：11,01()13,01x x f x x x ⎧+≥⎪⎪+=⎨⎪+<⎪-⎩，则()f x 在R 上单调递减，故B 正确；对于C ：当0x ≥时，()12f x <≤，当0x <时，()23f x <<，综上()f x 的值域为(1,3)，故C 不正确；对于D ：当1x ，2(0,)x ∈+∞时，1212()()()22x x f x f x f ++-=()()12211x x +++()()()()()()()()()()12122121212111120211111124x x x x x x x x x x ++++++-≤-++++++++⎡⎤⎣⎦⋅，故1x ∀，2(0,)x ∈+∞，都有1212()()(22x x f x f x f ++≤，故D 正确.13.24.2223233127()lg 2lg 3(3)4lg 9lg 10lg 94910-+-=++--+169124.=+-=14.109.222223cos 2sin cos 32tan 93cos 2sin cos sin cos tan 110θθθθθθθθθθ+++===++15.31π-以点C B A ,,为圆心，圆弧AB AC BC ,,所对的扇形面积各为3223212ππ=⨯⨯，中间等边三角形ABC 的面积为122⨯=所以莱洛三角形的面积是2323ππ⨯-=-周长为2,π故面积与周长之比为31π-16.()1,2,)⎡⎣解：作函数()f x 的图象如下图所示：由图象可知，要使方程()f x a =有四个不同的解，则需12a <<，由二次函数的对称性可知，122x x +=-，由对数函数的图象及性质可知，43243211,24,|log ||log |42x x x x <<=<<，则3422log log x x -=，341x x =，41242344||16162x x x x x x x ∴++=+，而函数162y x x=+在(2,递减，)4⎡⎣上递增，故其取值范围为)⎡⎣四、解答题17.解：(1)由题意知{}15A x x =≤≤ (2)当3m =时，{}26B x x =≤≤，故{|26}U B x x C x =<>或，(){|12}U A C B x x ∴⋂=≤<； (4)(2) “x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，B A∴真含于...................6∴当B =∅时，12m m ->，解得1m <-，成立； (7)当B ≠∅时，121125m m m m -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，且11,25m m -≥≤中等号不能同时取得，解得522m ≤≤， (9)综上，m 的取值范围是1m <-或52.2m ≤≤ (10)18.解：(1)3sin()cos()tan()22()sin()f ππααπαααπ+--=+()()()c o s s i n t a n s i n αααα--=-..................4sin cos sin cos αααα⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭ (6)(2)由1()(26f f παα⋅+=-，可得1sin sin 26παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以1sin cos 6αα=-，又()(sin cos 2f f παααα-+=-+，............................8所以()222431cos sin 2sin cos 13sin cos αααααα-=+-=+= (10)因为2παπ≤≤，sin 0,cos 0αα≥≤，所以cos sin 3αα-=-，所以()()2f f παα-+的值为3- (12)19.解：(1)依题意有Z k k ∈=+-⨯,2122πθπ）（，0θπ<< ，.6πθ∴=即()2cos(2).6f x x π=+ (2)当226x k ππ+=即()12x k k Z ππ=-∈时()f x 取最大值2；..............4当226x k πππ+=+即15()2x k k Z ππ=+∈时()f x 取最小值 2.-.........6(2)依题意()2cos(2)3g x x π=-， (8)2223k x k ππππ≤-≤+，.k Z ∈623k x k ππππ∴+≤≤+，.k Z ∈又2[,]2x ππ∈-，........................10令0k =，1k =-得其减区间为[2,]6ππ与[,23ππ-- (12)20.解：（1）依题意，总成本为42+x .()()(24)f x W x x =-+， (2)又2220,05()200200,5121x x x W x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，则2220(24),05()200200(24),5121x x x x f x x x x ⎧+-+<≤⎪=⎨--+<≤⎪-⎩，即22184,05()2001962,5121x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩； (6)(2)当05x <≤时，2()2184f x x x =+-，其图象为开口向上的抛物线的一部分，该抛物线对称轴为92x =-，则函数()f x 在(]0,5为增函数，所以当5x =时，函数()f x 取最大值136， (8)当512x <≤时，200()1942(1)19421541f x x x ⎡⎤=--+≤-⨯⎢⎥-⎣⎦，当且仅当2002(1)1x x -=-，即11x =时取等号， (10)因为154136>，所以当11x =时，()f x 取得最大值154.所以该企业应该生产11千件，最大利润为154千元. (12)21.解：(1)由22sin cos 1x x +=得，22()2cos sin 12sin sin 3f x x a x x a x =-+-=+-，...2当5a =时，2()2sin 5sin 3(2sin 1)(sin 3)f x x x x x =+-=-+，由()0f x ≥且sin 30x +>得2sin 10,x -≥故52266k x k ππππ+≤≤+........4所以()0f x ≥的解集为5[2,2]66k k ππππ++，.k Z ∈ (6)(2)因为()g x 在[1,2]上单调递减，所以()g x 在[1,2]上的值域为[10,4].--由题意得2()2sin sin 34f x x a x =+-≥-在0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立，令sin [0,1]t x =∈，于是2()210h t t at =++≥在[0,1]t ∈恒成立............8当0t =时，10≥恒成立，所以.a R ∈ (9)当(]1,0∈t 时，由2210t at ++≥，得tt a 122+-≥恒成立。

湖北省宜昌一中高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省某某一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A=，则A∩B=（）A．（e，4）B．[e，4）C．[1，+∞）D．[1，4）2．函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．下列函数是幂函数的是（）A．y=x4+x2B．y=10x C．y=D．y=x+14．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形5．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f{f[f（2）]}=（）A．0 B．2 C．4 D．66．已知，则sinα的值为（）A．B． C．D．7．已知a＞1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象只可能是（）A．B． C．D．8．对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…log n﹣1n，则f（22）+f（23）+…+fA．55 B．1024 C．54 D．10009．f（x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在区间[a，b]上（）A．有最小值f（a）B．有最大值f（a）C．有最大值D．有最小值10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=m（0＜m＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，11，则f（x）的单调递减区间是（）A．[8k，8k+4]，k∈Z B．[8kπ，8kπ+4]，k∈ZC．[8k﹣4，8k]，k∈Z D．[8kπ﹣4，8kπ]，k∈Z11．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）成立，则a的取值X围是（）A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴非负半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到如下结论：①该函数的图象与直线y=有公共点；②该函数的一个对称中心是；③该函数是偶函数；④该函数的单调递增区间是．以上结论中，所有正确的序号是（）A．①②③④ B．③④ C．①② D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间[2，+∞）上具有单调性，则实数k的取值X围是．14．=．15．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm．则制作这样一面扇面需要的布料为cm2（用数字作答，π取3.14）．16．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数{x}=x﹣[x]，则方程2016x+=0的实数解的个数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．计算：（1）sin（2）已知=3，求的值．18．已知函数f（x）=sin2x+2x，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？写出你的变换过程．19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B （3，24）．（1）求f（x）的表达式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2×3x，求g（x+1）＞g（x）时x的取值X围．20．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b（A＞0，ω＞0）（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，则一天内的上午8：00至晚上24：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？21．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证；（3）若，，求f（a）的值．22．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，某某数k的取值X围；（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（x n））2015-2016学年某某省某某一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A=，则A∩B=（）A．（e，4）B．[e，4）C．[1，+∞）D．[1，4）【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中lnx≥1=lne，得到x≥e，即A=[e，+∞），由＜2，得到0＜x＜4，即B=（0，4），则A∩B=[e，4），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．下列函数是幂函数的是（）A．y=x4+x2B．y=10x C．y=D．y=x+1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义判断即可．【解答】解：由函数的定义知：A是四次函数，B是指数函数，C是幂函数，幂函数x前面的系数必须为1，D是一次函数，故选：C．【点评】本题考查函数的定义，解题时要认真审题，仔细解题．4．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】作图题．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可得解【解答】解：∵在四边形ABCD中，若，且共起点∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形故选D【点评】本题考查向量的加法．共起点的两个向量相加时满足平行四边形法则；首尾相接的两个向量相加时满足三角形法则；多个向量相加时满足多边形法则．属简单题5．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f{f[f（2）]}=（）A．0 B．2 C．4 D．6【考点】函数的值．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】结合函数的性质和图象求解．【解答】解：∵函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），∴f（2）=0，f[f（2）]=f（0）=4，f{f[f（2）]}=f（4）=2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．6．已知，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意和诱导公式，结合二倍角公式可得．【解答】解：∵，∴sin（﹣）=，∴sinα=cos（α﹣）=1﹣2sin2（﹣）=，故选：D．【点评】本题考查三角函数公式的应用，涉及整体思想和二倍角公式，属基础题．7．已知a＞1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象只可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据y=a x是增函数，函数y=log a（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且在定义域内为减函数，从而得出结论．【解答】解：已知a＞1，故函数y=a x是增函数．而函数y=log a（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且在定义域内为减函数，故选B．【点评】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．8．对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…log n﹣1n，则f（22）+f（23）+…+fA．55 B．1024 C．54 D．1000【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】化简已知条件，代入所求的表达式化简求解即可．【解答】解：对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…log n﹣1n=log2n，f（22）+f（23）+…+ff （x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在区间[a，b]上（）A．有最小值f（a）B．有最大值f（a）C．有最大值D．有最小值【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质判断函数的单调性即可．【解答】解：设x1＜x2，则设x1﹣x2＜0，此时f（x1﹣x2）＞0，∵f（x）是奇函数，则即f（x1﹣x2）=f（x1）+f（﹣x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x2）＜f（x1），即f（x）单调递减；则函数f（x）在区间[a，b]上为减函数，则最大值为f（a），故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=m（0＜m＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，11，则f（x）的单调递减区间是（）A．[8k，8k+4]，k∈Z B．[8kπ，8kπ+4]，k∈ZC．[8k﹣4，8k]，k∈Z D．[8kπ﹣4，8kπ]，k∈Z【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三个点的横坐标判断f（x）的周期和对称轴，求出ω，φ，得到f（x）的解析式，结合正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）与y=m的三个相邻交点横坐标分别为3，5，11，∴f（x）的周期T=11﹣3=8，且f（4）=A，f（8）=﹣A，∴ω=，φ=﹣．∴f（x）=Asin （），令+2kπ≤≤+2kπ，解得4+8k≤x≤8+8k，k∈Z．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．11．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）成立，则a的取值X围是（）A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，可得f（x）在R上为增函数，运用单调性的定义可得a﹣1＞0，（a﹣1）•0+3a﹣4≤a0，解不等式即可得到所求X围．【解答】解：x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），可得（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，由题意可得f（x）在R上为增函数，当x≤0时，f（x）递增，即有a﹣1＞0，解得a＞1；当x＞0时，f（x）递增，可得a＞1；又f（x）为R上的增函数，可得（a﹣1）•0+3a﹣4≤a0，解得a≤．综上可得，a的X围是1＜a≤．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴非负半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到如下结论：①该函数的图象与直线y=有公共点；②该函数的一个对称中心是；③该函数是偶函数；④该函数的单调递增区间是．以上结论中，所有正确的序号是（）A．①②③④ B．③④ C．①② D．②④【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】新定义；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据题意，求出函数y=f（x）=sicosθ=sin（x+），再利用三角函数的图象与性质，对题目中的命题进行分析判定即可．【解答】解：对于①，根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx+cosx=sin（x+），因为﹣1≤sin（x+）≤1，所以﹣≤sin（x+）≤，即该函数的最大值为＜，其图象与直线y=无公共点，①错误；对于②，因为y=sicosθ=f（）=sin（+）=0，所以该函数的图象关于点（，0）对称，②正确；对于③，函数y=sicosθ=f（x）=sin（x+）的图象不关于y轴对称，不是偶函数，③错误；对于④，因为y=f（x）=sicosθ=sin（x+），所以由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z即该函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，④正确．综上可得，正确的命题有2个，是②④．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，解题的关键是求出函数y=sicosθ的表达式，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间[2，+∞）上具有单调性，则实数k的取值X围是（﹣∞，16]．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴x，根据二次函数的性质得到关于k 的不等式，解出即可，从而求出k的X围．【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x=，∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[2，+∞）上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x=≤2，解得：k≤16；故答案为：（﹣∞，16]．【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，此题是一道基础题．14．=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】原式中的“1”化为tan45°，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．15．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm．则制作这样一面扇面需要的布料为2826cm2（用数字作答，π取3.14）．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料．【解答】解：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为×60×60﹣×30×30≈2826．故答案为：2826．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．16．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数{x}=x﹣[x]，则方程2016x+=0的实数解的个数是2．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】方程2016x+=0的实数解的个数即函数y=﹣﹣2016x的图象与函数y={x}的图象的交点个数．【解答】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，∴由题意，函数{x}=x﹣[x]，表示x的小数部分，方程2016x+=0的实数解的个数即函数y=﹣﹣2016x的图象与函数y={x}的图象的交点个数，根据函数y=y=﹣﹣2016x的单调性，可得函数y=﹣﹣2016x的图象与函数y={x}图象的交点个数为2．∴方程2016x+=0的实数解的个数是2．故答案为：2．【点评】本题考查方程的实数解的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算：（1）sin（2）已知=3，求的值．【考点】有理数指数幂的化简求值；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数诱导公式求解．（2）由=3，推导出x2+x﹣2=47，3﹣x=（）﹣x=1，由此能求出．【解答】解：（1）sin=sin+cos﹣tan=﹣1==﹣1．（2）∵=3，∴x+=7，∴x2+x﹣2=47，3﹣x=（）﹣x=1，∴==．【点评】本题考查三角函数求值、有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式、有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．18．已知函数f（x）=sin2x+2x，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？写出你的变换过程．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；数形结合；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系、根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y=Asin（ωx+Φ）+b的形式，即可得到答案．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，∴由sin（2x+）∈[﹣1，1]，可得：f（x）=2sin（2x+）+2∈[0，4]．（2）由y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）=2sin（2x+）的图象．再把所得图象沿着y轴向上平移2个单位，可得函数f（x）=2sin（2x+）+2的图象．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B （3，24）．（1）求f（x）的表达式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2×3x，求g（x+1）＞g（x）时x的取值X围．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A （1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）求出g（x+1），g（x），问题转化为3•2x﹣4•2x＞0，解出即可．【解答】解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得，结合a＞0且a≠1，解得：，∴f（x）=3•2x．（2）由（1）得：g（x）=3•2x﹣2×3x，g（x+1）=3•2x+1﹣2×3x+1，由g（x+1）＞g（x）得：3•2x+1﹣2•3x+1﹣3•2x+2•3x＞0，∴3•2x﹣4•2x＞0，∴＞，解得：x＜．【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b（A＞0，ω＞0）（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，则一天内的上午8：00至晚上24：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？【考点】在实际问题中建立三角函数模型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设函数f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0），由已知先求出函数的周期T，从而求出ω，进而能求出φ，得到函数近似表达式．（2）由题意cos t＞，从而12k﹣4＜t＜12k+4（k∈z），由此能求出一天内的上午8：00至晚上24：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动．【解答】解：（1）设函数f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）∵同一周期内，当t=12时y max=1.5，当t=6时y min=0.5，∴函数的周期T=2（12﹣6）=12，得ω==，A=（1.5﹣0.5）=，且k=（1.5+0.5）=1∴f（t）=sin（t+φ）+1，再将（6，0.5）代入，得0.5=sin（×6+φ）+1，解之得φ=，∴函数近似表达式为f（t）=sin（t+）+1，即y=cos t+1．（2）由题意，可得+1＞0.75，即cos t＞，解之得，k∈Z．即12k﹣4＜t＜12k+4（k∈z），∴在同一天内取k=0、1、2得0＜t＜4，8＜t＜16，20＜t≤24∴在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．【点评】本题考查三角函数及其在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．21．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证；（3）若，，求f（a）的值．【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）先看函数定义域是否关于原点对称，再看f（x）与f（﹣x）的关系．（2）应用对数的运算法则计算f（x1）+f（x2）的值．（3）由（2）的结论知，先求f（b），进而求f（a）的值．【解答】解：（1）由得函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，又，所以函数f（x）为奇函数．（2）证明：∵=，又∵f（）==，∴．（3）解：由（2）的结论知，又由（1）知，∴．【点评】本题考查函数的奇偶性、对数运算性质，注意函数特征，属于基础题．22．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，某某数k的取值X围；（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（x n））【考点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（I）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（Ⅱ）由（1）参数a，b的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为距离Y轴距离远的问题，进而构造关于k的方程求出K值．（III）根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，，解得；…（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x2﹣2|x|+1为偶函数，所以不等式f（log2k）＞f（2）可化为|log2k|＞2，…解得k＞4或0＜k＜；…（Ⅲ）函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=3有f（1）=f（x0）＜f（x1）＜…＜f（x I）＜…＜f（x n）=f（3）所以=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）＜…＜f（x n）﹣f（x n﹣1）=f（x n）﹣f（x0）=f（3）﹣f（1）=4恒成立，所以存在常数M，使得恒成立．M的最小值为4…【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中（1）的关键是分析出函数的单调性，（2）要用转化思想将其转化为绝对值比较大小（3）的关键是真正理解新定义的含义．。

湖北省襄阳市高一上学期期末数学试题(解析版)

湖北省襄阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】试题分析：{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=【考点】集合的交集运算 2．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1， ∴2313824l ππαα=∴= 故选B3．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如表所示：则方程237x x +=近似解（精确到0.1）可取为（） A ．1.32 B ．1.39C ．1.4D ．1.3【答案】C【解析】由图表可知，函数()f x 的零点介于1.375到1.4375之间，所以方程237x x +=的近似解介于1.375到1.4375之间，结合精确度和选项可得答案.【详解】由图表可知，函数()237x f x x =+-的零点介于1.375到1.4375之间，故方程237x x +=的近似解也介于1.375到1.4375之间，由于精确到0.1，结合选项可知1.4符合题意，故选：C . 【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，属于基础题.4．下列说法中正确的是( )A ．第一象限角一定不是负角B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等【答案】C【解析】试题分析：比较锐角和第一象限角的关系，比较第一象限角和第二象限角的关系，比较负角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论．第一象限的角一定不是负角，不正确，例如-300°,对于－831°是第四象限角，应该是第三象限角，错误，对于D ，由于终边与始边均相同的角一定相等，比如0和3600，因此错误，故排除法得到C 。

2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一上学期期末考试数学试题(解析版)

湖北省武汉市部分省示范高中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{1，2}D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∃x∈R，x2+x+1≤0C．∃x∈R，x2+x+1＜0D．∃x∈R，x2+x+1＞03．已知某扇形的圆心角为3弧度，弧长为6，则扇形的面积为（）A．2B．3C．6D．124．函数的大致图象是（）A．B．C．D．5．设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（）A．B．C．D．6．已知f（x）＝|tan（x+φ）|，则“函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．C．D．8．已知函数f（x）为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），均有（x1﹣x2）〖f（x1）﹣f（x2）〗＜0成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.9．用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法不正确的是（）A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）10．对于函数，下列说法正确的是（）A．最小正周期为πB．其图象关于点对称C．对称轴方程为D．单调增区间11．已知函数f（x）＝ln x+ln（2﹣x），则下列四个命题中正确命题的是（）A．在（0，1）上单调递减B．（1，2）上单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的值域为〖0，+∞）12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（）A．f（0）＝0B．y＝f（x）是偶函数C．f（x）在〖m，n〗上有最大值f（m）D．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，1）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的定义域是．14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝﹣，则y＝．15．已知sin，α∈（0，π），则tanα＝．16．函数f（x）＝a2x+a x+1（a＞0，且a≠1）在〖﹣1，1〗上的最大值为13，则实数a的值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（2）若f（x）为奇函数，求满足的x的取值范围．19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比；若在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元．记两项费用之和为w．（1）求w关于x的〖解析〗式；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．20．函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为．（1）求函数f（x）在〖0，π〗上的单调增区间；（2）当时，求f（x）的值域．21．如图，过函数f（x）＝log c x（c＞1）的图像上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝log m x（m＞c＞1）的图像交于C点，且AC垂直于y轴．（1）当a＝2，b＝4，c＝4时，求实数m的值；（2）当b＝a2时，求的最小值．22．已知a＜0，函数f（x）＝a cos x++，其中x∈〖﹣，〗．（1）设t＝+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）若对区间〖﹣，〗内的任意x1，x2，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C〖解析〗因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}＝{1，2，3}，则A∩B＝{1，2}．故选：C．2．B〖解析〗由题意∀x∈R，x2+x+1＞0，否定是∃x∈R，x2+x+1≤0，故选：B．3．C〖解析〗∵扇形的圆心角α为3弧度，弧长l为6，设扇形的半径为r，面积为s，则l＝αr，∴r＝＝2，∴s＝lr＝×6×2＝6．∴该扇形的面积为6．故选：C．4．A〖解析〗函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）为偶函数，排除C，当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除D，当x＞0时，f（x）＝＝x﹣为增函数，排除B，故选：A．5．C〖解析〗∵对于任意的实数x，恒成立，∴f（）是函数的最大值，故2ω×+＝2kπ+，k∈Z，即ω＝3k+，k∈Z，令k＝0，可得ω的最小值为，故选：C．6．B〖解析〗∵f（x）＝|tan（x+φ）|，由“函数f（x）的图象关于y轴对称”，可得y＝tan（x+φ）是奇函数，可得“φ＝（k∈Z）”，故充分性不成立．由φ＝kπ（k∈Z），可得y＝tan（x+φ）＝tan x，可得f（x）＝|tan（x+φ）|＝|tan x|为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，故必要性成立，∴函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的必要不充分条件，故选：B．7．D〖解析〗当x≤0时，f（x）＝＝＝2+＜2，所以函数f（x）在（﹣∞，0〗上单调递减，y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，f（）＝﹣，令g（x）＝0，得f（x）＝m，作出函数y＝f（x），y＝m的大致图象如图所示，观察可知，m∈（﹣，2），故选：D．8．A〖解析〗由题意得，偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，b＝f（log2）＝f（﹣log23）＝f（log23），＝8，（）6＝e2，而8＞e2，故，又log23＝1+log2＞1+log2＝＞，所以log23＞＞＞0，又f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（log23）＜f（）＜f（e），所以b＜a＜c．故选：A．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分. 9．ABD〖解析〗由二分法知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选：ABD．10．AC〖解析〗函数，所以对于A：函数的最小值正周期为π；当故A正确；对于B：x＝时，f（）＝3，故B错误；对于C：当，整理得，故C正确；对于D：令（k∈Z）；整理得（k∈Z）；故函数的单调递增区间为；故D错误．故选：AC．11．BC〖解析〗对于函数f（x）＝ln x+ln（2﹣x），有，解得0＜x＜2，所以，函数f（x）的定义域为（0，2），且f（x）＝ln（2x﹣x2）．对于AB选项，内层函数u＝2x﹣x2在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，由于外层函数y＝ln u为增函数，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，A错B对；对于C选项，f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+ln〖2﹣（2﹣x）〗＝ln（2﹣x）+ln x＝f（x），所以，函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C对；对于D选项，当0＜x＜2时，2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1∈（0，1〗，故f（x）＝ln（2x﹣x2）∈（﹣∞，0〗，D错．故选：BC．12．ACD〖解析〗A，令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，故A正确，B，令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故B错误，C．设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，由题意可得，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在R上的减函数，f（x）在〖m，n〗上的最大值为f（m），故C正确，f（x﹣1）＞0等价于f（x﹣1）＞f（0），∵f（x）为R上的减函数，∴x﹣1＜0，解得x＜1．即不等式的解集为{x|x＜1}，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（﹣3，2〗〖解析〗∵，∴，∴﹣3＜x≤2，∴函数的定义域为（﹣3，2〗．故〖答案〗为：（﹣3，2〗．14．﹣8〖解析〗若P（4，y）是角θ终边上的一点，则点P到原点的距离r＝，则＝，则y＝﹣8，故〖答案〗为：﹣8.15．﹣〖解析〗已知sin，α∈（0，π），sin2α+cos2α＝1，sinα＞0，∴sinα＝，cosα＝﹣，则tanα＝＝﹣，故〖答案〗为：﹣．16．3或〖解析〗令t＝a x，则原函数可化为g（t）＝t2+t+1，对称轴为t＝﹣，显然该函数在〖，+∞）上单调递增，当a＞1时，t∈〖，a〗，g（t）max＝g（a）＝a2+a+1＝13，解得a＝3或﹣4（舍）；当0＜a＜1时，t∈〖a，〗，g（t）max＝g（）＝13，解得a＝或﹣，综上可知：a的取值为3或．故〖答案〗为：3或．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．解：（1）因为，且，所以cosα＝﹣＝﹣，所以tanα＝＝﹣2；（2）＝＝＝＝＝．18．解：（1）在R上单调递增，证明如下：设x1＜x2，则，所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增；（2）因为为奇函数且函数定义域R，所以f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，此时f（x）＝1﹣＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足题意，故f（x）＝，因为f（x）单调递增，由得，，所以x＜﹣3，所以x的取值范围为{x|x＜﹣3}．19．解：（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，∴可设，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2＝k2（4x+1），∵在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元，∴k1＝4×12.5＝50，，则，y2＝2x+0.5，故w＝．（2）w＝＝≥，当且仅当，即x＝4时，等号成立，故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为18.5万元．20．解：（1）函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，故T＝π，所以ω＝2；故函数f（x）＝2sin（2x+）；令（k∈Z），整理得：（k∈Z）；由于x∈〖0，π〗，故函数的单调递增区间为〖0，〗和〖〗．（2由于，故，故f（x）∈〖﹣1，2〗．21．解：（1）由题意得A（2，log42），B（4，1），C（4，log m4）．又AC与y轴垂直，∴log m4＝log42＝，解得m＝16．（2）由题意得A（a，log c a），B（b，log c b），C（b，log m b）．∵AC与y轴垂直，∴log m b＝log c a．∵b＝a2，∴m＝c2，∴＝﹣＝﹣1，∴当＝1时，的最小值为﹣1．22．解：（1）∵，又∵，∴cos x≥0，从而t2＝2+2cos x，∴t2∈〖2，4〗．又∵t＞0，∴，∵，∴，.（2）求函数f（x）的最大值即求，的最大值．，对称轴为．当，即时，；当，即时，；当，即时，g max（t）＝g（2）＝a+2；综上可得，当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的最大值是a+2；（3）要使得|f（x1）﹣f（x2）|≤1对区间内的任意x1，x2恒成立，只需f max（x）﹣f min（x）≤1．也就是要求g max（t）﹣g min（t）≤1对成立.∵当，即时，g min（t）＝g（2）＝a+2；且当时，.结合问题（2）需分四种情况讨论：①时，成立，∴；②时，，即，注意到函数在上单调递减，故p（a）＞p（）＝﹣，于是成立，∴；③时，即，注意到函数在上单调递增，故，于是成立，∴；④时，，即，∴；综上，实数a的取值范围是.。

湖北省黄冈市小桥中学2024学年高一数学理期末试卷含解析

湖北省黄冈市小桥中学2024学年高一数学理期末试卷专业课理论基础部分一、选择题：1.设集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则A∩B=（）A. {x|x=6k，k∈Z}B. {x|x=2k，k∈Z}C. {x|x=3k，k∈Z}D. ∅2.若|x-1|=|x+1|，则x=（）A. -1B. 0C. 1D. -23.下列函数中，奇函数是（）A. y=x²B. y=x³C. y=|x|D. y=-x4.已知函数f(x)=x²-2ax+a²-1，若f(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°，则a的取值范围是（）A. a<-1 或 a>1B. -1<a<1C. a≤-1 或a≥1D. -1≤a≤15.设函数f(x)=lnx，g(x)=x²，则下列结论正确的是（）A. f(x)在（0，1）上单调递减，g(x)在（-∞，0）上单调递减B. f(x)在（1，+∞）上单调递增，g(x)在（0，+∞）上单调递增C. f(x)在（0，1）上单调递增，g(x)在（-∞，0）上单调递增D. f(x)在（1，+∞）上单调递减，g(x)在（0，+∞）上单调递减二、判断题：1.若两个角互为补角，则它们的角度和为90度。

（）2.两个平行线的斜率相等。

（）3.函数y=x³-3x在区间（0，1）上单调递增。

（）4.若a²+b²=1，则a²-b²=0。

（）5.若两个集合A、B满足A⊆B，则A∪B=A。

（）三、填空题：1.若|x|<1，则-1<x<1。

（）2.函数y=2x³-3x²+1的导数为y’=（）3.若矩阵A=，则A的行列式为（）4.设向量a=(2，3)，向量b=(-1，2)，则a与b的点积为（）5.若复数z=3+4i，则|z|=（）四、简答题：1.简述完全平方公式及其应用。

湖北省随州市高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省随州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（）个元素．A．1 B．4 C．5 D．62．下列两个函数相同的是（）A．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=cosx•tanx，g（x）=sinx D．f（x）=x2，g（x）=3．下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=2x C．y=log2x D．y=sin2x4．若函数f（x）=，则f[fA．0 B．2 C．﹣3 D．﹣45．已知a=log，b=log，c=sin，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．tan2016°的值所在的大致区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，1）7．方程log2x+x=2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）8．已知平面向量，满足||=，||=2，•=﹣3，则|+2|=（）A．1 B．C．4+D．29．已知角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），则角α的最小正角为（）A．B．πC．πD．π10．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2） C．f（﹣1）＜f（3） D．f（﹣4）=f（4）11．P是△A BC所在平面上一点，满足++=2，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．1612．已知f（x）=，则方程2f2（x）﹣3f（x）+1=0的解的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y=．14．化简（log43+log83）（log32+log92）=．15．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为．16．定义[x]与{x}是对一切实数都有定义的函数，[x]的值等于不大于x的最大整数，{x}的值是x﹣[x]，则下列结论正确的是（填上正确结论的序号）．①[﹣x]=﹣[x]；②[x]+[y]≤[x+y]；③{x}+{y}≥{x+y}；④{x}是周期函数．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）．（1）求+﹣；（2）若+λ与垂直，求λ的值．18．已知函数f（x）=定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+mx+4）定义域为集合B．（1）若m=3，求A∩（∁R B）；（2）若A∪B=A，求m的取值X围．19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ＜）的图象如图所示．（1）直接写出f（x）表达式；（2）将f（x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移得到g（x）图象，求g（x）的单调区间．20．随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为40万元，每生产1万件该配件还需要再投入16万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件x万件，每万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润．21．已知f（x）=lgx，g（x）=x+，h（x）=f[g（x）]．（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；（2）若（x+）（y+）=，求证：x+2y=0．22．已知f（x）=1﹣，g（x）=2sin（2x﹣）．（1）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，某某数k的取值X围；（2）对任意x1∈（0，1），总存在x2∈[﹣，]，使不等式f（x1）﹣m•2＞g（x2）成立，某某数m的取值X围．2015-2016学年某某省随州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（）个元素．A．1 B．4 C．5 D．6【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的运算性质求出A∪B即可．【解答】解：∵集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B={2，3，4，5，6}，有5个元素，故选：C．2．下列两个函数相同的是（）A．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=cosx•tanx，g（x）=sinx D．f（x）=x2，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=lnx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）=2lnx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；对于B，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是相同函数；对于C，f（x）=cosx•tanx的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，g（x）=sinx的定义域为R，定义域不同，不是相同函数；对于D，f（x）=x2的定义域为R，g（x）==x2的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同数．故选：D．3．下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=2x C．y=log2x D．y=sin2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据y=x2，y=2x，y=log2x，y=sin2x性质判断即可．【解答】解：①y=x2在[﹣1，0]单调递减，故A不正确；②y=2x在闭区间[﹣1，1]上单调递增，故B正确；③y=log2x在[﹣1，0]无意义，故C不正确；④y=sin2x在[，1]单调递减，故D不正确；故选；B4．若函数f（x）=，则f[fA．0 B．2 C．﹣3 D．﹣4【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f=﹣22+1=﹣4+1=﹣3，则f[f=﹣3，故选：C5．已知a=log，b=log，c=sin，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的运算性质比较a，b的大小，且得到a，利用三角函数的单调性可知c=sin，则答案可求．【解答】解：∵a=log=log32＜1，且，b=log=log23＞1，c=sin，∴c＜a＜b．故选：A．6．tan2016°的值所在的大致区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，1）【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式、正切函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵tan2016°=tan=tan36°，又∵tan30°=，tan45°=1，36°∈（30°，45°），函数y=tanx在（0°，90°）上单调递增，故tan36°∈（，1），故选：D．7．方程log2x+x=2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（1.5）=log21.5﹣0.5=log21.5﹣log2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）故选：B．8．已知平面向量，满足||=，||=2，•=﹣3，则|+2|=（）A．1 B．C．4+D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，代入计算即可得到．【解答】解：由于||=，||=2，•=﹣3，则|+2|===．故选B．9．已知角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），则角α的最小正角为（）A．B．πC．πD．π【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先α的终边上一点的坐标化简求值，确定α的正余弦函数值，再确定角α的取值X围．【解答】解：由题意可知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），即（，﹣），∴sinα=﹣，cosα=，∴α=+2kπ（k∈Z），故角α的最小正值为：．故选：D．10．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2） C．f（﹣1）＜f（3） D．f（﹣4）=f（4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数f（x）关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），即函数f（x）关于x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∴f（0）＞f（），f（﹣2）=f（4）＞f（2），f（﹣1）=f（3），f（﹣4）=f（6）＞f（4），故选：B．11．P是△ABC所在平面上一点，满足++=2，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据++=2，可得3=，所以∥并且方向一样，由此可求S△PAB．【解答】解：∵ ++=2=2（+）∴3=∴∥并且方向一样设AP与BC的距离为h，则∵S△PAB=||h，S△ABC=||h∵||=3||，S△ABC=12∴S△PAB=S△ABC=4故选A．12．已知f（x）=，则方程2f2（x）﹣3f（x）+1=0的解的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】法1：利用换元法设t=f（x），求出t的大小，利用分段函数进行求解；法2：作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：法1．设t=f（x），由2f2（x）﹣3f（x）+1=0得2t2﹣3t+1=0得t=1或t=，若x＞0，则由|lgx|=1得lgx=±1，则x=10或，由|lgx|=得lgx=±，则x=或，若x≤0，则由2|x|=1得|x|=0，则x=0，由2|x|=得|x|=﹣1．不成立，综上方程根的个数为5个，法2：作出函数f（x）的图象如图，当f（x）=1时，有3个根，当f（x）=时，有2个根，故方程根的个数为5个，故选：D．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y= 0 ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，以及两集合的交集，确定出y的值即可．【解答】解：∵A={2，lnx}，B={x，y}，且A∩B={0}，∴lnx=y=0，解得：x=1，y=0，故答案为：0．14．化简（log43+log83）（log32+log92）=．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则进行计算；【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（）（）=（）（+）=×=，故答案为：．15．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为（﹣∞，2）．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=1﹣a=0，则a=1，即f（x）=e x﹣e﹣x，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则f（1）=e﹣，则不等式f（x﹣1）＜e﹣等价为f（x﹣1）＜f（1），即x﹣1＜1，解得x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．16．定义[x]与{x}是对一切实数都有定义的函数，[x]的值等于不大于x的最大整数，{x}的值是x﹣[x]，则下列结论正确的是②③④（填上正确结论的序号）．①[﹣x]=﹣[x]；②[x]+[y]≤[x+y]；③{x}+{y}≥{x+y}；④{x}是周期函数．【考点】命题的真假判断与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】根据已知中，[x]和{x}的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：当x为整数时，[﹣x]=﹣[x]，当x不是整数时，[﹣x]=﹣[x]﹣1，故①错误；当{x}+{y}＜1时，[x]+[y]=[x+y]；当{x}+{y}≥1时，[x]+[y]=[x+y]﹣1＜[x+y]；故[x]+[y]≤[x+y]，即②正确；当{x}+{y}＜1时，{x}+{y}={x+y}；当{x}+{y}≥1时，{x}+{y}＞{x+y}；故{x}+{y}≥{x+y}，即③正确；{x+1}={x}恒成立，故{x}是周期为1的周期函数．故④正确，故答案为：②③④三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）．（1）求+﹣；（2）若+λ与垂直，求λ的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）利用向量的坐标运算性质即可得出；（2）利用向量的坐标运算性质、向量垂直与数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）+﹣=++==（1，5）+（﹣1，1）=（0，6）．（2）=（2，4），=（1，3），=（﹣1，1）．∴+λ=（2+λ，4+3λ），∵+λ与垂直，∴（+λ）•=﹣（2+λ）+4+3λ=0，解得λ=﹣1．18．已知函数f（x）=定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+mx+4）定义域为集合B．（1）若m=3，求A∩（∁R B）；（2）若A∪B=A，求m的取值X围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）先分别求出函数f（x）和g（x）的定义域，再求出集合B的补集，再根据交集的定义求出所求；（2）若A∪B=A，B⊆A，﹣x2+mx+4＞0在（﹣1，5]上恒成立，即可求m的取值X围．【解答】解：函数f（x）=的定义域为集合A={x|﹣1＜x≤5}（1）若m=3，函数g（x）=lg（﹣x2+3x+4）的定义域为集合B={x|﹣1＜x＜4}C R B={x|x≤﹣1或x≥4}∴A∩（∁R B）=[4，5]（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，∴﹣x2+mx+4＞0在（﹣1，5]上恒成立，∴，∴m∈∅．19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ＜）的图象如图所示．（1）直接写出f（x）表达式；（2）将f（x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移得到g（x）图象，求g（x）的单调区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值，求出φ，得到函数的解析式，即可得解．（2）由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象的单调性，求得g（x）的单调区间．【解答】解：（1）由题意可知A=2，T=2（﹣）=π，ω=2，由A+k=，﹣A+k=﹣，解得：A=，k=1，当x=时取得最大值，所以=sin（2×+φ）+1，所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，因为：|φ|＜．所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=sin（2x+）+1．（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，可得函数y=sin（3x+）+1的图象．再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin[3（x﹣）+]+1=sin （3x﹣）+1，令2kπ+≤3x﹣≤2kπ+，k∈z，求得g（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．令2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+，k∈z，求得g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．20．随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为40万元，每生产1万件该配件还需要再投入16万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件x万件，每万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利润=收入﹣成本（2）由分段函数，在各个段上讨论．利用基本不等式，可得最值．【解答】解：（1）设年利润为w万元，则年利润=年收入﹣年成本∴w（x）=xR（x）﹣16x﹣40=（2）∵利润与产量的函数为分段函数①0＜x≤40时，w（x）=﹣6x2+384x﹣40x=32时，w（x）取最大，最大值为11634②x＞40时，w（x）=﹣16x﹣+7360≤﹣1600+7360=6000当且仅当x=50时，取等号．由①，②得，当x=50时，即产量我50万件时，利润取得最大，最大利润为6000万元．21．已知f（x）=lgx，g（x）=x+，h（x）=f[g（x）]．（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；（2）若（x+）（y+）=，求证：x+2y=0．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】（1）先求出，容易得到h（﹣x）=﹣h（x），即得到h （x）为奇函数，可以求导数h′（x）＞0，从而得出h（x）为R上的增函数；（2）由便可得到，两边取以10为底的对数，根据h（x）的解析式可得到h（x）+h（2y）=0，而由h（x）为奇函数且为增函数便可得到x+2y=0．【解答】证明：（1）；恒成立；∴h（x）的定义域为R，且==﹣h（x）；∴h（x）为R上的奇函数；又=；∴h（x）为R上的增函数；（2）=；∴；∴==h（x）+h（2y）=0；∴h（x）=﹣h（2y）；∵h（x）为R上的奇函数且是增函数；∴h（x）=h（﹣2y）；∴x=﹣2y；∴x+2y=0．22．已知f（x）=1﹣，g（x）=2sin（2x﹣）．（1）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，某某数k的取值X围；（2）对任意x1∈（0，1），总存在x2∈[﹣，]，使不等式f（x1）﹣m•2＞g（x2）成立，某某数m的取值X围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（1）由题意可得g（x）=0，即为1﹣k=2x，由指数函数的值域，即可得到所求X围；（2）当x2∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，运用正弦函数的图象和性质可得g（x2）的最小值为g（﹣）=﹣2，由题意可得f（x1）﹣m•2＞﹣2，即m＜=+在（0，1）恒成立，运用指数函数的单调性，可得右边函数的值域，再由恒成立思想即可得到所求X围．【解答】解：（1）g（x）=（2x+1）•f（x）+k=2x﹣1+k，由题意可得g（x）=0，即为1﹣k=2x，由2x＞0，可得k＜1；（2）当x2∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，则g（x2）的最小值为g（﹣）=﹣2，即有不等式f（x1）﹣m•2＞g（x2）成立，即为f（x1）﹣m•2＞﹣2，即m＜=+在（0，1）恒成立，由h（x）=+在（0，1）递减，可得h（x）的值域为（，2），可得m≤．。

2022-2023学年湖北省武汉市新洲区高一年级上册学期期末数学试题

新洲一中2025届高一上学期阶段检测数学试卷考试时间：1月9日8：00-10：00命题人：卢有勇审题人：游敏一､单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2,M yy x N y y x ====∣∣，则M N ⋂=（） A.B.C.D.[)0,∞+()(){}0,0,1,1{}0,1[]0,12.已知角α的终边经过点()12,5P -，则cos α=（） A.B.C.D.513513-12131213- 3.设,,a b c ∈R ，且a b <，则下列不等式一定成立的是（）A.B.ln ln a b <a b e e -->C.D.22ac bc <3355a b >4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A.3B.4C.6D.85.函数()22ln f x x x =-的零点所在的区间为（） A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,46.已知()2f x x a =-，若函数()f x 在区间(],2∞-上为减函数，则a 的取值范围是（）A.B.1a ≥1a >C.D.2a ≥2a >7.已知函数()212x f x -=，则下列说法正确的是（） A.()f x 的值域为(],2∞-B.()f x 在(],0∞-上为减函数C.()f x 的值域为(]0,2D.()f x 在[)0,∞+上为增函数8.已知函数()f x m =，若存在区间[],(1)a b b a >≥-，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，则实数m 的取值范围是（） A.B.178m >-102m <≤C.D.2m ≤-1728m -<≤- 二､多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知sin α=cos 0α>，则（） A.B.tan 0α<sin cos 0αα+<C.D.2tan 1α>α为第三象限角10.下列说法正确的是（）A.0,1x x >≠，则1lg lg y x x=+的最小值是2 B.0x ≥，则y =的最小值是52C.0x ≥，则1242x x y =+⋅的最小值是1 D.2214sin cos y x x=+的最小值为9 11.已知函数()()3log 1,11,13x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，下列结论正确的是（）A.若()1f a =，则4a =B.若()3f a ≥，则1a ≤-或28a ≥C.202120202020f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.若()()g x f x k =-有两个不同的零点，则13k ≥12.函数()()()cos 2,0sin ,0x a x f x x b x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数，且()0,,0,2a b ππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则下列正确的是（） A.B.322a b π+=22a b π+= C.2ab a b +的最大值为18π D.2ab a b +的最大值为6π 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()212log 231y x x =-+的递增区间为__________.14.若函数()()2122m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在()0,∞+上单调递增，则f =__________. 15.函数()2sin cos f x x x =+的最小值为__________. 16.已知函数()2023202322023x x f x x -=-++，则不等式()()264046x f f x +-<的解集为__________. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（1）已知2340,9a a >=，求值：log 8232log 3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知()tan 22πθ+=，求值：()()()sin cos cos sin 2ππθθπθπθ⎛⎫+⋅++-⋅--⎪⎝⎭. 18.（本小题满分12分）设不等式724x x -≤-的解集为M ，记不等式()2log 3x a -≤的解集为N . （1）当0a =时，求集合M N ⋂；（2）若“x M ∈”是“x N ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 19.（本小题满分12分）已知函数()112x x e f x e =-+. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()y f x =在R 上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()2110f mt f mt ++->恒成立，求实数m 的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知函数()()212log 23f x x ax =-+. （1）若函数()y f x =的定义域为R ，值域为(],1∞--，求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名()*x ∈N ，调整后研发人员的年人均投入增加4%x ，技术人员的年人均投入调整为26025x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x 最多为多少人？（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）定义函数()()412x xa f x a a =-+⋅+，其中x 为自变量，a 为常数. （1）若函数()a f x 在区间[]0,2上的最小值为1-，求实数a 的值；（2）集合()(){}()()(){}320,22a a a A xf x f B x f x f x f =≥=+-=∣∣，且()A B ⋂≠∅R ，求实数a 的取值范围. 新洲一中2025届高一上学期阶段检测数学参考答案1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.C8.D9.ABC10.BD11.BCD12.BC1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭2–1.(),2∞- 17.（1）由332322334220,,log log 3933a a a a ⎛⎫⎛⎫>=⇒=∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 82232log 8log log 232222333a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故原式325=+= （2）()tan 22tan 2πθθ+=⇒=，()()()sin cos cos sin 2ππθθπθπθ⎛⎫+⋅++-⋅-- ⎪⎝⎭()()()sin sin cos sin θθθθ=-⋅-+-⋅222222sin sin cos tan tan 2sin sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ--=-===++ 18.解：（1）7112004444x x x x x x x ---≤⇒≤⇒≥⇒>---或1x ≤，{4M x x ∴=>∣或1}x ≤()(]2log 3,,8x a N a a -≤∴=+，当0a =时，(]0,8N =则集合(](]0,14,8M N ⋂=⋃（2）{4M xx =>∣或(]1},,8x N a a ≤=+， “x M ∈"是“x N ∈”的必要不充分条件，∴集合N 是集合M 的真子集，则817a a +≤⇒≤-，或4a ≥7a ∴≤-或4a ≥19.（1）可知，()f x 的定义域为R ，由()112x x e f x e =-+，则()1111212x x x e f x e e ---=-=-++，则()()1111111012121x x x x x e e f x f x e e e ++-=-+-=-=-=+++， ()()f x f x ∴-=-，故函数()y f x =的为奇函数.（2）结论：()f x 在R 上是增函数，下证明：()111111121221x x x x x e e f x e e e +-=-=-=-+++ 设12x x R ∈､且12x x <()()()()212121************x x x x x x e e f x f x e e e e -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 2112x x x x e e <>∴，()()2121011x x x x e e e e -∴>++，即()()21f x f x > ()f x ∴在R 上是增函数.（3）()f x 为奇函数且在R 上为增函数，不等式()()2110f mt f mt ++->化为()()211f mt f mt +>- 即220mt mt -+>对任意的t R ∈恒成立①0m =时，不等式化为20>恒成立，符合题意；①0m ≠时，有20Δ80m m m >⎧⎨=-<⎩即08m << 综上，m 的取值范围为08m ≤<20.记()22223()3g x x ax x a a =-+=-+-. （1）由函数12log y u =是减函数及函数()()212log 23f x x ax =-+的值域为(],1∞-- 可知2232x ax -+≥.由（1）知()g x 的值域为)23,a ∞⎡-+⎣， 2min ()3 2.1g x a a ∴=-=∴=±.（2）由题意得2112130a a ≥⎧⎨-⨯+≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围是[]1,2.21.（1）依题意得()()1006014%10060x x -⋅⋅+≥⋅解得075x <≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ()()21006014%6025x x x x m ⎛⎫-⋅⋅+≥⋅⋅- ⎪⎝⎭ 得10022112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得100325x m x ≤++ 故有100325x m x ≤++10033725x x ++≥=当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，故正整数m 的最大值为722.解：（1）因为[]0,2x ∈，令[]21,4xt =∈，则()()()21a g t f x t a t a ==-++.①若112a +≤，即1a ≤，则函数()y g t =在[]1,4上为增函数，，矛盾；①若142a +≥，即7a ≥，则函数()y g t =在[]1,4上为减函数， ()min (4)1231g g t a ==-=-，解得133a =，矛盾 ①若1142a +<<，即17a <<，则函数()y g t =在11,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,42a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， 2min11()122a a g t g +-⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =或1a =-（舍）；综上所述，3a =；（2）由已知()(){}{}()(){}304423021230x x x x a A x f x f x x =≥=-⋅+≥=--≥∣∣∣，所以，()(){}{}()2212301230,log 3x x x U A x x =--<=<<=∣∣，由()()()222a a f x f x f +-=化简整理得()()224412226x x x x a a --+-+++=，即()()()222221412220x x x x a a --+--+++=， 2(1,3x ∈，[)24)2224,52x x x x k -=+=+∈令， ()221412140(45)2k k k a k a a k k --∴-++-=⇒=≤<-，令[)231222,3(23)k a λλλλλλ+-=-⇒∈⇒=≤<， 123,(23)a λλλ∴=-+≤<又()123h λλλ=-+在[)2,3递增，()[)1,2h λ∴∈-。

2021-2022学年湖北省十堰市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

湖北省十堰市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{﹣1，0，2}，，则A∩B＝（）A．{0}B．{﹣1，2}C．{0，2}D．{﹣1，0，2}2．命题“∀x＞1，2x﹣1≥1”的否定是（）A．∀x＞1，2x﹣1＜1B．∀x≤1，2x﹣1＜1C．∃x＞1，2x﹣1＜1D．∃x≤1，2x﹣1＜13．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．ab＞b2C．D．4．已知a＝ln2，，，则（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．已知函数f（x）＝x2﹣kx+1在〖2，5〗上具有单调性，则k的取值范围是（）A．〖2，5〗B．〖4，10〗C．（﹣∞，4〗∪〖10，+∞）D．（﹣∞，﹣2〗∪〖2，+∞）6．已知函数f（x）＝2cos x+1，x∈〖，2π〗的图象与直线y＝t有两个交点，则t的最大值为（）A．1B．2C．+1D．+17．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为lg E＝4.8+1.5M．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2017年8月8日我国四川九寨沟县发生里氏7.0级地震的（）A．32倍B．64倍C．1000倍D．1024倍8．已知函数f（x）＝|a x﹣1|﹣m（a＞0且a≠1）有2个零点，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知点P（m，2m）（m≠0）是角α终边上一点，则（）A．tanα＝2B．C．D．10．使得“a＞b”成立的充分不必要条件可以是（）A．B．ln a＞ln b C．a2＞b2D．2a＞2b11．已知函数，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于点中心对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）＝x2﹣2x+ln|x﹣1|+a，则（）A．对于任意实数a，f（x）的图象为轴对称图形B．对于任意实数a，f（x）在（1，+∞）上单调递增C．当a＞1时，f（x）＞0恒成立D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，0〗∪〖2，+∞）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡的相应位置．13．写出一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数：f（x）＝．14．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α（0＜α≤π）．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为．15．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f（﹣2）＝．16．已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，C＝{x|2m﹣1≤x≤2﹣m}．（1）求（∁R A）∪B；（2）若B∩C＝∅，求m的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间〖1，2〗上的值域．19．（12分）已知函数在上的最小值为0．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈R时，求f（x）的最大值以及取最大值时x的取值集合．20．（12分）冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分．加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用．某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入的成本为C（x）（万元）．当年产量低于60千件时，C（x）＝x2+10x；当年产量不低于60千件时，C（x）＝80x+﹣2700．每千件产品的售价为60万元，且生产的产品当年能全部售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数〖解析〗式；（2）当年产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？21．（12分）已知函数．（1）当a＝6时，求方程f（x）＝2x的解；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣ax+a﹣1．（1）若g（x）的值域为〖0，+∞），求a的值；（2）证明：对任意x1∈〖1，2〗，总存在x2∈〖﹣1，3〗，使得f（x1）＝g（x2）成立．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B〖解析〗∵A＝{﹣1，0，2}，B＝{y|y≠0}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故选：B．2．C〖解析〗命题为全称命题，则命题的否定为∃x＞1，2x﹣1＜1，故选：C．3．B〖解析〗对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴ab﹣b2＝b（b﹣a）＞0，即ab＞b2，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴，故C错误，对于B，令a＝1，b＝1，满足a＞b＞0，但b＜，故D错误．故选：B．4．D〖解析〗∵0＝ln1＜ln2＜ln e＝1，，，∴b＜a＜c．故选：D．5．C〖解析〗f（x）图象的对称轴为直线，因为f（x）在〖2，5〗上具有单调性，所以或，解得k≤4或k≥10．故选：C．6．D〖解析〗函数f（x）＝2cos x+1，x∈〖，2π〗的图象与直线y＝t有两个交点，可知t∈（﹣1，2cos+1〗，所以t的最大值为：+1．故选：D．7．C〖解析〗设里氏9.0级和7.0级地震释放出的能量分别为E1和E2，由lg E＝4.8+1.5M，可得，则，所以，故选：C．8．A〖解析〗函数f（x）＝|a x﹣1|﹣m（a＞0且a≠1）有2个零点，即y＝|a x﹣1|与y＝m有两个不同的交点，当a＞1时，函数y＝|a x﹣1|与y＝m的图象如图所示，故0＜m＜1，当0＜a＜1时，函数y＝|a x﹣1|与y＝m的图象如图所示，故0＜m＜1，综上可得：0＜m＜1，故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD〖解析〗因为点P（m，2m）（m≠0）是角α终边上一点，所以tanα＝＝2，故A正确，因为当m＜0时，sinα＝＜0，故B错误；因为＝＝tanα＝2，故C正确；因为sin2α﹣cos2α＝＝＝＝，故D正确．故选：ACD．10．AB〖解析〗由＞，能推出a＞b；当由a＞b，不能推出＞，故＞是a＞b的充分不必要条件；由ln a＞ln b能推出a＞b；当由a＞b，不能推出＞，例如当a、b中至少有一个小于零时，故ln a＞ln b是a＞b的充分不必要条件；由a2＞b2，不能推出a＞b，故a2＞b2，不是a＞b充分条件，故排除C；由2a＞2b，能推出a＞b，而由a＞b，也能推出2a＞2b，故2a＞2b是a＞b的充要条件，故D 不满足条件，故选：AB．11．ACD〖解析〗∵，∴T＝＝π，故A正确，f（﹣）＝sin（﹣+）＝sin（﹣）≠0，故f（x）的图象不关于点中心对称，故B错误，f（）＝sin（+）＝sin＝1，故f（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确，由2kπ﹣＜2x+＜2kπ+（k∈Z），解得kπ﹣＜x＜kπ+（k∈Z），令k＝0，则﹣＜x＜，故f（x）在（0，）上单调递增，故D正确，故选：ACD．12．ABD〖解析〗A：∵函数y＝x2﹣2x+a和函数y＝ln|x﹣1|的图象都关于直线x＝1对称，∴对于任意实数a，f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴A正确，B：∵函数y＝x2﹣2x+a和函数y＝ln|x﹣1|在（1，+∞）上都单调递增，∴对于任意实数a，f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴B正确，C：当x→1时，则f（x）→﹣∞，∴C错误，D：∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，在（1，+∞）上都单调递增，在（﹣∞，1）上都单调递减，且f（0）＝f（2）＝a，∴存在实数a＝0，使得关于x的不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，0〗∪〖2，+∞），∴D 正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡的相应位置．13．4sin x（〖答案〗不唯一）〖解析〗一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数为y＝4sin x，故〖答案〗为：4sin x（〖答案〗不唯一）．14．〖解析〗由图可知，所以该扇形的面积．故〖答案〗为：．15．〖解析〗因为f（x）的图象过原点，所以，即a+b＝0．又因为f（x）的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝﹣1，所以．故〖答案〗为：．16．〖解析〗∵正数a，b满足，∴＝+＝（+）（a+2b）＝（++）≥×，∴（a+2b）2≥，∴，当且仅当时，等号成立，∴a+2b的最小值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）因为A＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝（1，+∞），B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝〖﹣2，5〗，所以∁R A＝（﹣∞，1〗，（∁R A）∪B＝（﹣∞，5〗，（2）当C＝∅时，2m﹣1＞2﹣m，解得m＞1，满足B∩C＝∅．当C≠∅时，2m﹣1≤2﹣m，解得m≤1．因为B∩C＝∅，所以2﹣m＜﹣2或2m﹣1＞5，解得m＞4或m＞3，与m≤1矛盾．综上，m的取值范围为（1，+∞）．18．解：（1）f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，证明如下：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，则＝．因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，所以x1x2＞0，x2﹣x1＞0．所以，所以f（x1）＞f（x2）．所以f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减．（2）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．因为，所以f（x）为奇函数．由（1）知f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，结合奇偶性，可得f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．又因为f（1）＝1，f（2）＝﹣1，所以f（x）在区间〖1，2〗上的值域为〖﹣1，1〗．19．解：（1）令，k∈Z，解得，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为．（2）当时，，，解得m＝1，所以，当，k∈Z，即，k∈Z时，f（x）取最大值，且最大值为3，故f（x）的最大值为3，取最大值时x的取值集合为．20．解：（1）当0＜x＜60时，L＝60x﹣＝，当x≥60时，L＝60x﹣＝，故L＝．（2）当0＜x＜60时，L＝＝，当x＝50时，L取得最大值，且最大值为950，当x≥60时，L＝＝≤，当且仅当，即x＝60时，等号成立，因为950＞900，所以当该企业年产量为50千件时，所获得的利润最大，最大利润是950万元．21．解：（1）当a＝6时，由f（x）＝2x，可得，则（2x）2﹣2x﹣12＝0，所以2x＝4或2x＝﹣3（舍），解得x＝2．故方程f（x）＝2x的解为2．（2）由题意，知在（0，+∞）上恒成立，即2×2x≥a（2x﹣1）在（0，+∞）上恒成立．又因为x∈（0，+∞），所以2x﹣1＞0，则．因为，所以，所以a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2〗．22．（1）解：因为g（x）的值域为〖0，+∞），所以Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝0，解得a＝2；（2）证明：∀x1∈〖1，2〗，，设g（x）在〖﹣1，3〗上的值域为M，g（x）＝x2﹣ax+a﹣1＝（x﹣1）（x﹣a+1），当，即a≤﹣2时，g（x）在〖﹣1，3〗上单调递增，因为g（3）＝8﹣2a≥12，g（﹣1）＝2a≤﹣4，所以〖2，〗⊆M，当≥3，即a≥6时，g（x）在〖﹣1，3〗上单调递减．因为g（﹣1）＝2a≥12，g（3）＝8﹣2a≤﹣4，所以〖2，〗⊆M，当﹣1＜＜3，即﹣2＜a＜6时，g（x）min＝g（）＝﹣+a﹣1＝﹣（a﹣2）2∈（﹣4，0〗，g（x）max＝max{2a，8﹣2a}∈〖4，12），所以〖2，〗⊆M，综上〖2，〗⊆M，恒成立，则f（x）在〖1.2〗上的值域是g（x）在〖﹣1，3〗上值域的子集恒成立，故对任意x1∈〖1.2〗，总存在x2∈〖﹣1，3〗，使得f（x1）＝g（x2）成立．。

湖北省孝感市黄冈中学网校分校2021年高一数学理上学期期末试卷含解析

湖北省孝感市黄冈中学网校分校2021年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据函数的最小正周期为π求出ω的值，再由平移后得到y=为偶函数可知，即可确定答案．解答：由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D点评：本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用．2. 用固定的速度向图中形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )参考答案：B略3. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（）A．4 B．7 C．8 D．16参考答案：C【考点】子集与真子集．【分析】先求出B={（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集个数．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}，∴B的子集个数为：23=8个．故选：C．4. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意，连接原点与点，用表示线段上除端点外的整点个数，则=().A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C5. 的部分图象大致为（）A. B. C.D.参考答案：B分析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．6. 设，则（）A． B. C. D.参考答案：D7. 已知三棱锥D-ABC中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. 6πB. 4πC.D.参考答案：B【分析】依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【详解】如图，因为,又，,从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，在中，,,即，，故选B。

2023届湖北省松滋市第一中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2a （1）若 x (0, ) ， f (x) 2 5 b ，求 sin x cos x 的值；
5
（2）若不等式 f (x) g(x) 对任意 x R 恒成立，求 b 的取值范围
18．（1）已知 P 1, 2 2 是角终边上一点，求 sin ， cos ， tan 的值；
（2）已知 tan 1，求下列各式的值： tan 1
则由已知可得四边形 AOMB 为矩形， MOC 为等腰直角三角形 CM BC AO 1， OC 2
根据直观图画出原图如下：
可得原图形为直角梯形， OA OC,OA / /CB ，
且 OA 1, BC 2,OC 2 2 ，可得原四边形的面积为 1 (1 2) 2 2 3 2
2
故选：B. 2、D
16．已知函数 f (x) x2 2x 2 在闭区间t,t 1 （ t R ）上的最小值为 g(t)
（1）求 g(t) 的函数表达式；（2）画出 g(t) 的简图，并写出 g(t) 的最小值 17．已知 a,b R , a 0 ，函数 f (x) 2(sin x cos x) b ， g(x) a sin x cos x a 1 2
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知水平放置的四边形 OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 O' A'/ /B'C ' ， O' A' B' 90 ，
O ' A' 1， B 'C ' 2 ，则原四边形 OABC 的面积为（）
cos
余割 csc
1 sin
．已知 m
为正实数，且 m csc2

湖北省A9高中联盟2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题

1 x (1)求 a,b 的值；
(2)证明：函数 f x 在 1,1 上是增函数；
(3)解关于 x 的不等式 f x 0 .
试卷第 4 页，共 4 页
x2 1, x 0
4．已知函数
f
x
x4 x 1
,
x
0
，则
f
f f 1 （
）
A．2
B．3
C． 3
D．8 D．5
5．已知函数 f 2x 1 的定义域为( - 1, 2) ，则函数 f 1 x 的定义域为（）
A．
1 2
,1
B．
1,
1 2
C． 2, 4
D． 2,1
6．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升．降．（假设第一次价格为 x1 ，第二次价格
湖北省 A9 高中联盟 2023-2024 学年高一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．命题“ x 1， log2 x 0 ”的否定是（）
A． x 1， log2 x 0
B． x 1， log2 x 0
A． p :所有平面四边形的内角和都是 360 B． q : x R, x2 2x 2 0
C． r : x x | x 是无理数}， x2 是无理数 D． s :对所有实数 a，都有 a 0
10．图①是某大型游乐场的游客人数 x（万人）与收支差额 y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（）
扇形 OAD 挖去扇形 OBC 后构成的）.已知 OA 10 ， OB x 0 x 10 ，线段 BA，CD

2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)

因为角是锐角，所以，则，故B错误；
又，即，
所以，故A正确；
而，故C正确,
又，，
所以，，
由A知，则，故D正确；
故选：ACD
11.已知函数，列说法正确的有（）
A.当时，函数的定义域为
B.当吋，函数的值域为
C.函数有最小值的充要条件为：
D.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
9.下列计算结果为有理数的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由对数的运算法则和性质可判断A,C选项；选项B.求出的值可判断；选项D. ，由正弦的二倍角公式可判断.
【详解】选项A. ,是有理数.
选项B. ,不是有理数.
选项C. ，是有理数.
选项D. 是有理数.
故选：ACD
10.已知角是锐角，若是关于的方程的两个实数根，则下列关于实数的判断正确的是（）
在中, , ,
,
在中, .
∴ 的面积 ,
∴ 的面积 ,
∴梯形的面积 .
∴
.
（2）令
.
∴当时,即时, 取得最小值 ,
此时取得最小值 .
【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.
22.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象，
将函数的图象向下平移2个单位长度可得的图象，
所以，
由可得，
所以函数在区间 ( )上为增函数，又
函数在区间上的单调递增区间为：

2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高一数学第一学期期末教学质量检测试题含

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=A.134217728B.268435356C.536870912D.5137658022．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要把函数sin y x =的图象上所有的点 ①向左平移3π个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的12倍； ②向左平移6π个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的12倍； ③各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移3π个单位: ④各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位其中命题正确的为（）A.①③B.①④C.②③D.②④3．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( )A.3x －y －5＝0B.3x －y ＋5＝0C.3x ＋y ＋13＝0D.3x ＋y －13＝04．函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图像如图所示，则74f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A.6- B.3C.2D.1-5．下列说法正确的是（）A.若0a b >>，则b b ma a m +<+B.若a b >，则22ac bc >C.若0a b >>，则11a b b a +>+D.若,R a b ∈，则2a bab +≥6．设()f x 是定义在实数集上的函数，且(2)()f x f x -=，若当1≥x 时，()ln f x x =，则有（）A.(1)(0)(2)f f f -<=B.(1)(0)(2)f f f ->=C.(1)(0)(2)f f f -<<D.(1)(0)(2)f f f ->>7．已知幂函数()2()44m f x m m x =--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（）A.5-B.5C.1-D.18．已知()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是减函数，则a 的取值范围是（）A.10,7⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.11,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9．若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,5B.()1,2-C.()2,+∞D.(),2-∞10．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色．现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均相等，则抽到白球或黑球的概率为A.25B.35C.23D.910二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年湖北省部分重点中学高一上学期期末联考数学试题(解析版)

湖北省部分重点中学高一上学期期末联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是（）A. (1,0)-B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D. ,1(1,)∞∞--⋃-+（）【答案】C 【解析】【分析】由解析式有意义列不等式求x 的取值范围即可. 【详解】因为1()ln 1f x x x =++有意义，所以0,10x x >+≠，解不等式可得0x >，所以函数1()ln 1f x x x =++的定义域是(0,)+∞，故选：C.2. 已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限. 【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，所以角α终边位置在第二象限，故选：B.3. 设0.73a =，0.7log 0.8b =，3tan 4c π=，则,,a b c 的大小关系为（） A. c b a << B. b a c << C. b<c<aD. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a 和b 与1和0 的关系，由正切函数性质分析c 与1和0 的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a =>=，即1a >，0.70.7log 0.8log 0.71b =<=，且0.70.7log 0.8log 00b =>=，即01b <<，由正切函数性质可知3tan 04c π=<，即0c <，故c b a <<，故选：A.4. 函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）A. ()01，B. ()12，C. ()23，D. ()34，【答案】B 【解析】【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案. 【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数，当0x +→时，()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>，故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，，故选：B5. 奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（） A. 72-B.32 C.72D.552【答案】A 【解析】【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=， ()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+， ()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.6. 函数()πcos 2x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=的部分图像大致是（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为()πcos sin 2x x x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭==,()()()sin sin x xf x f x x x--==-=--. 所以()f x 为奇函数,故AB 选项错;()0,,sin 0x x π∈>()0f x >,故D 选项错;故选:C .7. 已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是（） A. 5[,4)2 B. 5[,)2+∞ C. 511[,)22 D. 5[,4]2【答案】A 【解析】【分析】求出π3x ω+的范围，数形结合得到关于2ππ33ω+的范围，求出ω的取值范围. 【详解】2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππ2ππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故[)2ππ2π,3π33ω+∈，解得：5[,4)2ω∈. 故选：A8. 已知函数f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤3x 2−8x +16,x >3，若方程()y f x m =-有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=（）． A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】B 【解析】【分析】作出f (x )图像，由图可知方程()y f x m =-的4个不同的零点为函数y ＝f (x )与函数y ＝m 图像的四个交点的横坐标，由图可知，1212x x x x =+且3x 48x +=.【详解】作函数()f x =()22log 1,13816,3x x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩的图像如图，()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，可得3x 48x +=，且()()2122log 1log 1x x -=-，即为()()2122log 1log 10x x -+-=，即有()()12111x x --=，即为1212x x x x =+，可得()343412118x x x x x x ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分.9. 下列命题为真命题的是（） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若0a b >>，则22a b >C. 若0a b <<，则22a ab b <<D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解. 【详解】对于A ：当0c ，22ac bc =，故A 错误；对于B ：0a b >>，∴22a b >，故B 正确；对于C ：当2a =-，1b时，则24a =，2ab =，21b =，则22a ab b >>，故C 错误；对于D ：0a b <<，∴11a b>，故D 正确；故选：BD.10. 下列说法正确的是（）A. 命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤.B. 2()lg f x x =与()2lg g x x =为同一函数C. 若幂函数()y f x =的图象过点，则(9)2f =D. 函数2x y =和2log y x =的图象关于直线y x =对称【答案】AD 【解析】【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知A 正确；根据两个函数的定义域不同，可知B 不正确；利用待定系数法求出()f x 的解析式，再根据解析式求出(9)f ，可知C 不正确；根据函数2xy =与2log y x =互为反函数，可知D 正确.【详解】对于A ，命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤，故A 正确；对于B ，2()lg f x x =与()2lg g x x =的定义域不同，所以不为同一函数，故B 不正确；对于C ，设()f x x α=，则(2)2a f ==12α=，所以12(9)93f ==，故C 不正确；对于D ，函数2xy =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD11. 已知函数()sin(3)f x x ϕ=+22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【答案】AC 【解析】【分析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，Z k ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确；对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题12. 已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A. 函数1()6y f x x =-有3个零点 B. 关于x 的方程*1()0(N )2n f x n -=∈有24n +个不同的解C. 对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D. 当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-，当322x <≤时，()42f x x =-，当23x <≤时，则3122<≤x ，1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当34x <≤时，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当46x <≤时，则232<≤x，11()2822x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当68x <≤时，则342<≤x，1()1282x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，对于A ，由1()06f x x -=，得1()6f x x =，令16y x =，由图象可知16y x =与()y f x =的图象只有3个交点，所以函数1()6y f x x =-有3个零点，所以A 正确，对于B ，当1n =时，1()02f x -=，即1()2f x =，由图象可知12y =与()y f x =的图象只有3个交点，所以关于x 的方程1()02f x -=有3个不同的解，而当1n =时，246+=n ，所以B 错误，对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图可知函数()f x 的图象的每一个上顶点都在曲线32y x =上，所以3()2≤f x x恒成立，所以C 正确，对于D ，当1n =时，则[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，当2n =时，则[2,4]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1112222⨯⨯=，当3n =时，则[4,8]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1114242⨯⨯=， ……，当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为11111(22)222n n n --⨯-⨯=，所以D 正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________．【答案】12 【解析】【分析】由于17633πππ-=-，进而结合诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：12.14. 已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示. 则函数()f x 的解析式为_________.【答案】()2sin(2)3f x x π=+【解析】【分析】根据最值可求A ，根据周期可求ω，代入特殊值可求ϕ. 【详解】由图可知，2A =，313341234T πππ=-=， ∴T π=，2T ππω==，∴2ω=，又0ω>，∴2ω=.∴()()()2sin 2,0f x x ϕϕπ=+≤<，当3x π=时，()222sin 02333f k k Z πππϕϕππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，解得3πϕ=.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+.15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.【解析】【分析】计算出等边ABC 的边长，计算出由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，则3a ππ=，解得3a =，所以，由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积为222113sin 323236424a a ππππ⨯-⨯=⨯-=-，所以该勒洛三角形的面积3934242S ππ⎛-=+⨯-= ⎝⎭.故答案为：92π-. 16. 函数())ln2f x x =是定义在R 上的奇函数，且关于x 的不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为________.【答案】[0,)+∞ 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性求解实数a ；再利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题，利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解即可. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，由函数()f x 为R 上的奇函数，可得()()))()22ln2ln2ln 140f x f x x x ax x -+=+=+-=，即221414ax x a +-=⇒=，则实数4a =；所以())ln2f x x =，任取12,R x x ∈，设12x x <，则()()))1212ln2ln2f x f x x x -=-=，2112142xx x +<，1<，则ln10<=，所以()()12f x f x <，则函数()f x 为R 上增函数；又函数()f x 为R 上的奇函数，所以不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，转化为()()()222sin cos cos f m m x f x f x -≥-=-，即22sin cos m m x x -≥-对x ∀∈R 恒成立，所以2sin sin 210x m x m +--≤对x ∀∈R 恒成立，即()()222sin 42sin 3sin 132sin 42sin 2sin 2sin x x x m x x x x---+-≥==-+----，令2sin t x =-，因1sin 1x -≤≤，则12sin 3x ≤-≤，即13t ≤≤，则332sin 4442sin x t x t-+-=+-≥-，当且仅当t =时取等号，由双勾函数的单调性知：t ⎡∈⎣，函数单调递减，t ⎤∈⎦，函数单调递增，当1t =时，340t t +-=，当3t =时，340t t+-=，所以342sin 402sin x x≤-+-≤-，所以0m ≥，故实数m 的取值范围为[)0,∞+. 故答案为：[)0,∞+.【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为03(,)5y ，且3(,2)2παπ∈. （1）求sin α的值；（2）求9cos()cos(23sin()tan()2ππααπααπ-+++⋅-）的值.【答案】（1）45-（2）14【解析】【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解；（2）由同角三角函数的关系即可求解. 【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为M 03(,)5y ∴35=cos α ∵3(,2)2παπ∈ ∴sin 0α<∴4sin 5α==-. 【小问2详解】原式cos sin cos sin 1tan cos tan sin tan ααααααααα--++===-⋅ 又∵sin tan s 43co ααα==- ∴原式4113443-==-18. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ．【解析】【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得2720084848224048528m S x x =++≥=⨯+=，当且仅当72008x x=，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =．所以，设计矩形停车场南北侧边长30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．19. 设函数()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）π，37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）最大值为1；最小值为2- 【解析】【分析】（1）代入正弦函数的周期公式与单调递减区间即可求解；（2）根据正弦函数单调区间与定义域即可求出最大值和最小值. 【小问1详解】由题知，()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，令3222,Z 242k x k k πππππ+≤-≤+∈，得37,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】因为384x ππ≤≤，所以50244x ππ≤-≤，所以当242x ππ-=即38x π=时，()f x 有最大值，最大值为1；当5244x ππ-=即34x π=时，()f x 有最小值，最小值为20. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度v （米/秒）之间满足关系：5102033vq v =⨯≤≤（），其中q 表示燕子耗氧量的单位数．（1）当该燕子的耗氧量为720个单位时，它的飞行速度大约是多少？（2）若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：lg20.3≈，lg30.48≈）【答案】（1）31（米/秒）（2）8（米/秒）【解析】【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将5v表示为对数，然后求出v 即可．（2）记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ，则可得21523v v -=，然后化为对数运算即可．【小问1详解】当720q =时，5720102v=⨯，即5272v=，所以22222lg 3log 72log 8log 932log 33 6.25lg 2v ==+=+=+≈，所以31v ≈，即它的飞行速度大约是31（米/秒）．【小问2详解】记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ，则213q q =，即21551023102v v ⨯=⨯⨯，所以21523v v -=，212log 35v v -=，所以212lg35log 358lg2v v ⎛⎫-==⨯≈⎪⎝⎭，所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）． 21. 已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； (2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值．【答案】(1) (,2][2,)-∞-+∞；(2) 2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --； (3)1,2a b ==；【解析】【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b ≤-，则413b b-≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1) 1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥； (2) 1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，，当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，； (3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2ax =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增， [)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-，则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．【点睛】本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中． 22. 设函数()212x x af x =+-(a 为实数). （1）当0a =时，求方程1|()|2f x =的实数解；（2）当1a =-时，（ⅰ）存在[1,2]t ∈使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，求k 的范围；（ⅱ）设函数()2,g x x b =+若对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，求实数b 的取值范围.【答案】（1）=1x -或23log 2x = （2）（ⅰ）(3,)+∞；（ⅱ）3[,1]2-- 【解析】【分析】（1）将0a =代入()f x 中，直接求方程1|()|2f x =的实数根即可；（2）将1a =-代入()f x 中，根据指数函数的性质判断()f x 的单调性. （ⅰ）根据条件，可得()2min2k t t>+，求出()2min2t t +，即可得到k 的取值范围；（ⅱ）求出()f x 和()g x 的值域，根据条件得到11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，再求出实数b 的取值范围. 【小问1详解】当0a =时，()21x f x =-，则1|()|2f x =⇔1212x -=-或1212x -=⇔=1x -或23log 2x =.【小问2详解】当1a =-时，1()212x xf x =--. 因2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，12x y =在(,)-∞+∞上单调递减，所以1()212x xf x =--在R 上单调递增. （ⅰ）因为存在[1,2]t ∈，使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，所以22(2)(2)f t t f t k ->-，所以2222t t t k ->-，所以只需()2min2k t t>+，又当[1,2]t ∈时，()2min23t t+=，所以3k >，即k 的取值范围为(3,)+∞.（ⅱ）当[0,1]x ∈时，()2g x x b =+的值域为[,2]b b +；当[0,1]x ∈时，1()212x x f x =--的值域为1[1,]2-. 因为对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，所以11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，所以1122b b ≤-⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得312b -≤≤-，所以实数b 的取值范围为3[,1]2--. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

2022-2023学年湖北省襄阳市第五中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年湖北省襄阳市第五中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（） A ．{}0,1,2,3 B ．{}0,3C ．{}3D ．∅【答案】A【分析】由对数的单调性求得集合A ，根据正弦函数性质求得集合B ，进而求其交集.【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A xx =-<<-∣ 又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---，所以{}0,1,2,3A B =. 故选：A2．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由条件可得2OA OB=，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设BOC α∠=，则122OA l l OB αα⋅==⋅，所以2OA OB =，所以2222221222211422312OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα⋅-⋅--====⋅, 故选：CA ．31313-B ．21313C ．2D ．3-【答案】A【分析】根据正弦函数的定义直接计算即可. 【详解】因为角θ的终边经过点(2,3)-，所以222(3)13r =+-=，3313sin 1313θ-==-. 故选：A4．已知函数()()sin 3f x x Z πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()32f x =有唯一解，则满足条件的ω的个数是（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】对ω进行分类讨论，当0ω>，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定3x πω+的范围33,3ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由()32f x =，得到27,3333πωπππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)1,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0ω>时,0,,,,33333x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ ∵()32f x =有唯一解，根据正弦函数sin y x =的图象可得3327,33πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，解得[)1,6ω∴∈ 又,12,3,45,，，Z ωω∈∴= 当0ω<时,0,,,,33333x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭335334，πωπππ⎛⎤∴+∈-- ⎥⎝⎦解得(]65，ω∈--, 又,5,Z ωω∈∴=-, 综上所述, 12,3,4,5,5,，ω=-【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的ω值时，利用函数图像求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.5．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（） A ．3 B ．32π- C ．532π- D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限. 【详解】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos30,sin30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-. 故选：C.6．sin3，()cos sin 2，()tan cos3的大小关系是（） A ．cos(sin 2)sin3tan(cos3)>> B ．cos(sin 2)tan(cos3)sin3>> C ．sin3cos(sin 2)tan(cos3)>> D ．tan(cos3)sin3cos(sin 2)>>【答案】A【解析】利用三角函数函数值的正负和正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性判断即可.【详解】因为32ππ<<,所以1cos30-<<,可得()tan cos30<,因为3224ππ<<,所以sin 212<<,可得1sin 22222πππ-<-<-, 因为()()cos sin 2sin sin 2,sin 3sin 32ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,又因为03π<-<1sin 2222πππ-<-<-2π<, 由正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性知,()sin 3sin sin 22ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即()tan cos3<()0sin3cos sin 2<<. 故选:A【点睛】本题考查利用三角函数函数值的正负和正弦函数的单调性比较大小;特殊角三角函数值的运用和选取合适的临界值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()f x x =，设函数()()7log g x f x x =-，则函数()g x 的零点个数为（）A ．6B ．8C ．12D ．14【答案】C【分析】根据函数奇偶性即()()2f x f x -=可以得到函数()f x 为周期函数，把函数()g x 的零点个数转化成方程()7log 0f x x -=的根的个数，即在同一坐标系中()y f x =和7log y x =图像的交点个数.【详解】依题意可知，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x -= 所以，()()()()22f x f x f x f x =-=--=+，即函数()f x 是以2为周期的偶函数；令()()7log 0g x f x x =-=，即()7log f x x =，在同一坐标系中分别作出()y f x =和7log y x =的图像如下图所示：由图像可知，两函数图像共有12个交点，即函数()g x 共由12个零点. 故选：C.8．定义：{()()}N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和．若2()log x f x =，2()(1)2g x a x =-+，{()()}6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(32log 2,0⎤-⎦C ．(]22log 6,0-D ．2log 32,04-⎛⎤⎥⎝⎦【分析】直接利用定义形函数的性质结合函数大致图象，进一步利用分类讨论思想和不等式的组的解法的应用求出结果．【详解】解：根据函数的定义{()()}N f x g x ⊗可转换为满足()22log 12x a x <-+的整数解的x 的和，当0a >时，做出函数2()log x f x =和2()(1)2g x a x =-+的大致图象，如图所示：结合图形可得()()f x g x <的解集中整数解的个数有无数个，不符合题意当0a =时，()2g x =，由()2f x =，解得4x =或14x =．在1,44⎛⎫⎪⎝⎭内有3个整数解1,2,3，即{()()}6N f x g x ⊗=，所以0a =，符合题意；当a<0时，做出函数2()log x f x =和2()(1)2g x a x =-+的大致图象，如图所示：若{()()}6N f x g x ⊗=，又()0,x ∈+∞，且()()1012f g =<=，所以不等式()22log 12x a x ≤-+的整数解为1,2,3．只需满足()()()()03344a g f g f ⎧<⎪>⎨⎪≤⎩，即22042log 392log 4a a a ⎧<⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得2log 3204a -<<．综上，所以{()()}6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围为2log 32,04-⎛⎤⎥⎝⎦．9．设函数()()cos f x x ωϕ=+（ω，ϕ是常数0ω>，π02ϕ<<）若()f x 在区间π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5π11π242424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的周期为2πB ．()f x 的单调递减区间为πππ,π(Z)63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的对称轴为ππ(Z)122k x k =+∈D ．()f x 的图象可由()sin g x x ω=的图象向左平移5π6个单位得到【答案】B【分析】由于函数()()cos f x x ωϕ=+（ω，ϕ是常数0ω>，π02ϕ<<）若()f x 在区间π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，可得04ω<≤，由π5π11π242424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得函数的一个对称中心和相邻和对称轴，即可得ω与φ的值，即可得函数()f x 的解析式，结合余弦型函数的周期性、单调性、对称性、图象变换逐项判断即可.【详解】解：函数()cos()(f x x ωϕω=+，ϕ是常数，0ω>，π0)2ϕ<<，若()f x 在区间π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则12π5ππ22424ω⋅≥+，04ω∴<≤．π5π11π242424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()f x 的图象关于直线π3x =对称，πππ122k ωϕ∴⨯+=+，Z k ∈①，且ππ3n ωϕ⨯+=，Z n ∈．两式相减，可得4()2n k ω=--，故2ω= 或6ω=（舍去）．当2ω=时，则由①可得π3ϕ=，()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．综上，()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故它的周期为2ππ2=，故A 错误；令ππ2π22π3k x k ≤+≤+，Z k ∈求得ππππ63k x k -≤≤+，Z k ∈可得函数的减区间为πππ,π(Z)63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确．令π2π3x k +=，求得ππ26k x =-，Z k ∈，故()f x 的对称轴为直线ππ26k x =-，Z k ∈，故C 错误；5π5ππ⎛⎫⎛⎫误. 故选：B ．二、多选题10．下列结论正确的是（） A ．若a b >，则lg lg a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若,a b c d >>，则22ac bd > D ．若22ac bc >，则a b >【答案】BD【分析】根据对数函数、不等式的性质等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若1,2,a b a b =-=->，但lg ,lg a b 没有意义，所以A 选项错误.B 选项，由于22a b a b >⇔>，所以B 选项正确.C 选项，若2,1,1,2a b c d ====-，则,a b c d >>，但22ac bd <，所以C 选项错误.D 选项，由于22ac bc >，则20c >，所以a b >，D 选项正确. 故选：BD11．关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题，其中正确的是（） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的图象关于原点对称 C ．()f x 的图象关于直线π2x =对称 D ．()f x 的图象关于点(π，0)对称【答案】BCD【分析】求得()f x 的奇偶性判断选项AB ；利用π()2f x -与π()2f x +是否相等判断选项C ；利用(2π)f x +与()f x --是否相等判断选项D.【详解】∵1()sin sin f x x x=+的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}， ()()11()sin sin ()sin sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称.故A 错误，B 正确； ∵ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫-=-+=+⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫+=++=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭∴ππ()()22f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线π2x =对称，故C 正确；又()()11(2π)sin 2πsin sin 2πsin f x x x x x+=++=++()()11()sin sin sin sin f x x x x x-=-+=-+--，∴(2π)()f x f x +=--，∴()f x 的图象关于点(π，0)对称，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足当[)0,2x ∈时，()11f x x =--，当2x ≥时，()()2f x f x λ=-，λ为非零常数，则下列说法正确的是（） A ．当1λ=时，()20251f =B ．当0λ<时，()f x 在[)2022,2023单调递增C ．当2λ=时，记函数()12x g x λ-=与()f x 的图象在[]0,10的m 个交点为()(),1,2,,i i x y i m =，则()156miii x y =+=∑D ．当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4N n n ∈上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ACD【分析】确定函数周期为2，计算得到A 正确，计算得到()()10112022f x x λ=-，B 错误，计算函数的交点，相加得到C 正确，根据函数的单调性，计算最值得到值域，得到答案.【详解】1λ=，当2x ≥时，()()2f x f x =-，函数周期为2，()()202511f f ==，A 正确；当0λ<时，取[)2022,2023x ∈，[)120220,x -∈，()()10112022f x x λ=-，函数单调递减，B 错误；()[](),0,1112,1,2x x f x x x x ⎧∈⎪=--=⎨-∈⎪⎩，2λ=，当2x ≥时，()()22f x f x =-，函数简图如图所示，根据图像()122x g x -=与()f x 的图像交点分别为()1,1，()3,2，()5,4，()7,8，()9,16，故()156mi i i x y =+=∑，C 正确；当2x ≥时，()()2f x f x λ=-，()()24nf x n f x λ+=，函数简图如图所示：1λ<-，根据图像知，函数在[]44,43n n --和[]41,4n n -上单调递增，在()43,41n n --上单调递减，*N n ∈，现考虑x 轴上每4个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最后一段即可，()()()()()()()212122max 4343411n n n f x f n f n n f λλλ---=-=---==，()()()()()()()()21212121min 41414131n n n n f x f n f n n f f λλλλ----=-=---===，故值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，D 正确.故选：ACD三、填空题13．已知()33,011,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,若函数()()g x f x a =-有两个零点，则a 的取值范围为___________.【答案】[0,)+∞【分析】由题意可得()y f x =与y a =有两个交点，作出()y f x =的图象，结合图象即可得答案. 【详解】解：令()()0g x f x a =-=，则有()f x a =，因为()g x 有两个零点，所以()y f x =与y a =有两个交点，作出()y f x =的图象，如图所示：由此可得[0,)a ∈+∞. 故答案为：[0,)+∞.14．已知函数()()3sin 06f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是______.【答案】3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出ω，再利用正弦函数的图象即可求出值域.【详解】解：因为()23sin 3cos 3cos 6263f x x x x ωωωπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2ω=，则()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52666x πππ-≤-≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()332f x -≤≤.3⎡⎤15．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=，则tan β的最大值为______．【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得2tan tan 2tan 1=+αβα，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：由()21sin sin sin cos cos αβααβ+=，得2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 2tan 1αααααβαααα===+++，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 0,α∈+∞，则2tan 1tan 12tan 12tan tan αβααα==≤++当且仅当12tan tan αα=，即tan α=时，取等号，所以tan β16．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()000f x f x +-=，则称点()()00,x f x 是曲线()f x 的“优美点”．已知21,0()2,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，则曲线()f x 的“优美点”个数为______．【答案】5【分析】由曲线()f x 与曲线()f x --交点个数即可得到曲线()f x 的“优美点”个数. 【详解】曲线()f x 的“优美点”个数即曲线()f x 与曲线()f x --交点个数. 由21,0()2,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，可得()()21,0()2,0x x x f x x x x ⎧--->⎪--=⎨⎪-----≤⎩，即21,0()2,0x x f x x x x x ⎧-+<⎪-=⎨⎪-+≥⎩，则21,0()2,0x x f x x x x x ⎧-<⎪--=⎨⎪-≥⎩，同一坐标系内作出()y f x =（实线）与()y f x =--的图像（虚线）.由图像可得两函数图像共有5个交点，则曲线()f x 的“优美点”个数为5 故答案为：5四、解答题17．设函数π()tan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调区间； (2)求不等式()3f x ≤【答案】(1)()f x 的单调增区间为52,2,Z 33k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2)42,2,Z 33k k k ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据正切型函数的单调区间公式即可求解；（2）根据正切函数特点，利用整体思想即可求解.【详解】（1）令π,Z 2232x k k k ππππ-<-<+∈，解得522,Z 33k x k k ππππ-<<+∈，所以()f x 的单调增区间为52,2,Z 33k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 不存在单调减区间.（2）π()tan 323x f x ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭所以ππ,Z 2233x k k k πππ-<-≤+∈，所以不等式()3f x ≤42,2,Z 33k k k ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦， 18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y 单位：毫克/立方米）随着时间x 单位：小时）变化的关系如下：当04x ≤≤时，1618y x=--；当410x <≤时，152y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值，【答案】(1)8(2)24-【分析】（1）将给定的数值代入相应的公式即可；（2）列出方程后，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩则当04x ≤≤时，由64448x -≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤. 当410x <≤时，由2024x -≥，解得48x <≤，综合得08x ≤≤.所以，若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时. （2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤时，浓度()()110251286g x x a x ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦161014ax a x=-+-- ()1614414ax a x=-+---[]144,8x -∈，而14a ≤≤，∴[]4,8，故当且仅当14x -=y有最小值为4a -.令44a -≥，解得244a -≤≤， ∴a的最小值为24-19．已知πsin(2π)cos 2()πcos tan(π)2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)若角α终边有一点(P m ，且1cos 2α=，求m 的值； (2)求函数2π()2()12g x f x f x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的值域．【答案】(1)1m = (2)()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角函数的诱导公式即可化简()f α，再由三角函数的定义即可求出m 的值；（2）对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得()()()()πsin 2πcos sin sin 2cos πsin tan cos tan π2f αααααααααα⎛⎫-+ ⎪-⋅-⎝⎭===⋅⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，1cos 2α==，可得0m >， 1m ∴=；（2）因为()cos f αα=，所以()cos f x x =， ()22π2cos cos 12cos sin 12⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭g x x x x x22sin sin 3x x =-++21252sin 48⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭x ，因为[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =，所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．已知函数π()sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中ω为常数，且(0,2)ω∈．(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知函数π()cos 3g x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若存在12,[0,π]x x ∈，均有()()12f x g x =，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【分析】根据函数π()sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭，由ππsin 066ω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭求解；（2）由[]10,x π∈，得到()1f x 的值域A ，由[]20,x π∈，得到()2g x 的值域B ，根据存在12,[0,π]x x ∈，均有()()12f x g x =，由A B ⋂≠∅求解.【详解】（1）解：因为函数π()sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππsin 066ω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则ππ,Z 66k k ωπ-+=∈，即61,Z k k ω=-+∈，又因为(0,2)ω∈，所以1ω=，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由[]10,x π∈，得1132666x πππ≤+≤，则11sin 212x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()1112f x -≤≤；由[]20,x π∈，得24333x πππ≤+≤，则211cos 32x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()2112m g x m --≤≤-，因为存在12,[0,π]x x ∈，均有()()12f x g x =，所以112m -≥-且11m --≤，解得322m -≤≤，所以实数m 的取值范围322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．21．已知函数5()cos 416g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求()g x 的值域；(2)若关于x 的方程2()(2)()3g x m g x +-+-0m =有解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得544,633x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再利用余弦函数的性质可求得函数的值域，（2）根据题意可得m 2()2()3()1g x g x g x ++=+，令()1s g x =+，则222s m s s s +==+，然后根据对勾函数的性质可求得答案.【详解】（1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，544,633x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以51cos 41,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以53()cos 410,62g x x π⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由2()(2)()30g x m g x m +-+-=，得2()g x +2()3[()1]g x m g x +=+，因为3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()10g x +≠，所以m 2()2()3()1g x g x g x ++=+，令()1s g x =+，则222s m s s s+==+，51,2s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质知2m s s =+在上单调递减，在52⎤⎥⎦上单调递增，所以当s =m=，因为当1s =时，3m =，当52s =时，523352102m =+=，所以m 的最大值为3310，所以23310m s s ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．因此m的取值范围为3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22．已知函数()121xaf x =+-为定义域内的奇函数. (1)求a 的值；(2)设函数()22913x mx g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意[)13,x ∈+∞，总存在(]2,2x ∈-∞使得()()()12712f x g x m-<成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2a =； (2)3m >.【分析】（1）根据()f x 是奇函数，由特殊值的函数值求得参数，再验证即可；（2）对参数m 的取值分类讨论，根据指数型复合函数的单调性，结合函数最值，即可求得结果. 【详解】（1）因为0x ≠，()f x 是奇函数，所以()()220f f +-=，解得2a =，此时()()222112*********xxx x xa a f x f x -⋅+-=+++=++=----，是奇函数. 故2a =.（2）当3x ≥时，28x ≥，故22217,0217x x -≥<≤-，则()2121x f x =+-91,7⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又因为229103xmx -+⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立；故当0m <时，()()7102f x m -<恒成立，符合条件. 当0m >时，()()7110,2f x m m ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦当2m ≥时，根据复合函数单调性可得y =22913x mx -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在(],2-∞上单调递增，(22941310,33x mx m -+-⎛⎫⎤∈ ⎪⎦⎝⎭，所以41313m m->，令()41313m h m m -=-，因为41313,m y y m-==-都在()0,+∞上单调递增，故()h m 在()0,∞+单调递增，又()30h =，所以3m >；当0<2m <时，根据复合函数单调性可得y =22913x mx -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在()0,m 单调递增，在(),2m 单调递减，故(2229910,33x mx m-+-⎛⎫⎤∈ ⎪⎦⎝⎭，所以令2913m m->， 2913,my y m -==-都是()0,2m ∈上的单调递增函数，故2913m y m--=也是()0,2上的单调增函数，又当2m =时，51302y -=-<，故29130m m --<在()0,2上恒成立，故2913m m->在()0,2无解，即02m <<不满足条件；综上所述，3m >.。