1.3 二次根式的运算(1)
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是 ．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是 ．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（ ）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为 ．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（ ）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（ ） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（ ）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12． 化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝ ．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。
1.3二次根式的运算(2)
12 + 27
= 2 3 +3 3
= ( 2 + 3) 3
（化简） 化简） （逆用分配率） 逆用分配率） 二次根式的 加减类似于 什么运算？ 什么运算？
=5 3
彗眼识真
⑴ ⑵
3+
2 =
下列计算哪些正确，哪些不正确？ 下列计算哪些正确，哪些不正确？ （不正确 不正确） 不正确
5
a+ b =a b
a − b = a −b
回首页
先化简，再求出近似值（精确到 先化简，再求出近似值（精确到0.01 ）
1 1 12 − − 1 3 3
练习：P14页课内练习1。
计算: 计算
(1) 27 − 3 6 × 2 3 (2) −3 3• 6 8 (3)
(
48 − 27 ÷ 3
)
P14 T2
计算
( )( (2) ( 2 − 2 )( 3 + 2 2 )
(1) 2 2 − 3 3 3 3 + 2 2
)
P14 T3、T4 、
本堂课我们学到 了什么新知识？ 了什么新知识？
（不正确 不正确） 不正确 （不正确 不正确） 不正确 （正确 正确） 正确
⑶
⑷
a a +b a = (a+b) a
1 3 1 3a − 2 2a = a −
⑸
a = 0
（不正确） 不正确
1.计算： 计算： 计算
(1) 3 3 − 2 3, (2) 3 2 + 3 − 2 2 − 3 3, (3) 8 + 18 + 12, (4) 27 − 2 3 + 45.
二次根式的加减法
二次根式和立方根式
二次根式和立方根式二次根式和立方根式是数学中常见的一类特殊运算符号，用于表示对一个数进行平方根和立方根运算。
在数学中，它们有着重要的应用和意义。
本文将详细介绍二次根式和立方根式的定义、性质和运算规则。
一、二次根式二次根式是对一个数进行平方根运算的表示形式。
对于一个非负实数a，它的平方根被记为√a，读作"根号a"。
根号a是一个非负实数b，满足b的平方等于a。
即b^2 = a。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
√16 = 4，因为4的平方等于16。
根号0 = 0，因为0的平方等于0。
根号2是一个无理数，因为不存在有理数的平方等于2。
二次根式具有以下性质和运算规则：1. 二次根式与指数运算的关系：√a = a^（1/2）。
例如，√4 = 4^(1/2) = 2。
2. 二次根式的运算法则：a) 二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
b) 二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。
例如，√8 / √2 = √(8 / 2) = √4 = 2。
c) 二次根式的化简：对于任意非负实数a和b，若a > b，则√(a +b) ≠ √a + √b。
二、立方根式立方根式是对一个数进行立方根运算的表示形式。
对于一个实数a，它的立方根被记为³√a，读作"立方根a"。
³√a是一个实数b，满足b的立方等于a。
即b^3 = a。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
³√27 = 3，因为3的立方等于27。
³√(-1) = -1，因为-1的立方等于-1。
立方根式具有以下性质和运算规则：1. 立方根式与指数运算的关系：³√a = a^（1/3）。
例如，³√8 =8^(1/3) = 2。
2. 立方根式的运算法则：a) 立方根式的乘法：³√a * ³√b = ³√(a * b)。
八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版
ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意： 如果被开方数是带 分数，应先化成假 分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
新浙教版八年级下1.3二次根式的运算(2)
6 14和 7 13
1 3a 2 2a a a 0（不正确）
1 ⑸ 3
3.下列二次根式中，可与 3 合并的二次根式 是（ Ｂ ） 5 Ａ 18 Ｂ 12 Ｃ 3 Ｄ 9 4.下列各式中，计算正确的是（ Ｃ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
2 2
3 3 2
5 3
a
4
7 b
x 3
7
x 1
7 (a b )
例3 计算
(1)(2 2 3 3)(3 3 2 2) (2)(2 2)(3 2 2) (3)(2 3 3 2)
练习
2
(1)(1 5)( 5 1) (2)(1 2 3)( 3 2) (3)(3 5 5 2)
2
例4
求当
a 2
2
时,代数式
(a 1) (a 2 )(a 1) 的值.
1、下列计算正确吗?
4 6 10
10 7
2 2 4
3
2 3 2 3
2、下列计算哪些正确，哪些不正确？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
3 2 5
（不正确） （不正确） （不正确）
a b a b
a b a b
a a b a (a b) a （正确）
例1 化简
1 1 12 1 3 3
练一练：
2 1 3 (1) ( 24 12) 3 6 2
1 16 2 125 125 5
例2 计算
练一练
(1) 6 8 12 (1) 27 3 6 2
1 5 ( 2) 3 3 2 (3) 2 1 2 2 (2) 3 3 6 (3) 32
练习
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
术作品的面积为多少平方厘米？
解：
（2）三张长方形连接在一起的总长度为:
10 2
20 2
A
B
？
C
30 2
10 2 20 2+30 2=60 2cm
AB=5 2cm
AC=60 2 4=15 2cm
正方形的边长BC AC AB
= (m)
.
C
∴BE=AE÷0.8=
AEΒιβλιοθήκη FD
(m)
∴AB = +
= (m)
，
∵CF= BE=
=
.
∴DF=1.6CF= (m)
∴CD = +
=
(m)
答：这个小男孩经过的总路程约为7.71米.
∵CD= m
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
E
G
D
图2
F
B
例题分析
例7 如图，一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上
2022-2023学年浙教版八年级数学下册《1-3二次根式的运算》同步测试题(附答案)
2022-2023学年浙教版八年级数学下册《1.3二次根式的运算》同步测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分28分）1．下列各式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．计算：﹣＝（）A．﹣B．C．D．04．已知x＝﹣2，y＝+2，则+的值为（）A．2B．﹣4C．4D．﹣25．下列二次根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．6．计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（）A．﹣1B．﹣2C．2﹣D．17．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2二．填空题（共7小题，满分28分）8．化简，结果得．9．计算：（3+）÷＝．10．若最简二次根式与可以合并，则a+b＝．11．若x＝2﹣，则代数式x2﹣4x﹣3的值为．12．规定a⊗b＝•+，则（2⊗4）⊗＝．13．已知，则＝．14．三角形的三条边长分别为a，b，c，其面积S可用公式来求，其中p＝（a+b+c），若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则用上述公式可求得其面积为．三．解答题（共6小题，满分64分）15．计算：．16．计算：（﹣3）÷2．17．计算或化简：（1）；（2）．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，AB＝，AC＝，BC＝．（1）求△ABC的周长；（2）求BD的长度．19．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1，类似地，＝﹣，＝+；…．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝，＝；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，求m的值；（3）计算：．20．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+（2）若a＝，①求4a2﹣8a+1的值；②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2﹣5a++2＝．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．解：A.＝＝2，因此选项A不符合题意；B.是最简二次根式，因此选项B符合题意；C.＝x，因此选项C不符合题意；D.＝，因此选项D不符合题意；故选：B．2．解：A．，故选项A计算错误，不符合题意；B．与不是同类项，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；C．，故选项C计算正确，符合题意；D．，故选项B计算错误，不符合题意．故选：C．3．解：﹣＝＝0，故选：D．4．解：+＝，当x＝﹣2，y＝+2时，x+y＝﹣2++2＝2，xy＝（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1，∴原式＝＝﹣2．故选：D．5．解：A、＝2，能与合并，故此选项不符合题意；B、＝2与不是同类二次根式，不能与合并，故此选项符合题意；C、＝4，能与合并，故此选项不符合题意；D、＝6，能与合并，故此选项不符合题意；故选：B．6．解：（﹣2）2021（+2）2020＝[（﹣2）×（+2）]2020×（﹣2）＝（﹣1）2020×（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，故选：B．7．解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分）8．解：＝﹣（）＝2﹣．故答案为：2﹣．9．解：原式＝3÷+÷＝+1．故答案为：+1．10．解：∵最简二次根式与可以合并，∴a﹣11＝2﹣b，∴a+b＝13．故答案为13．11．解：x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣7＝（x﹣2）2﹣7，当x＝2﹣时，原式＝（2﹣﹣2）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故答案为：﹣2．12．解：由题意可得：（×+）⊗＝（2+）⊗＝⊗＝+＝+．故答案为：+．13．解：设＝a，＝b，则a2＝5+x2，b2＝1+x2，∴a2﹣b2＝（5+x2）﹣（1+x2）＝4，∴（a+b）（a﹣b）＝4，∵﹣＝1，∴a﹣b＝1，∴（a+b）×1＝4，∴a+b＝4，∴∵+＝4，故答案为：4．14．解：∵三角形的三边长分别为2，3，4，p＝（a+b+c），∴p＝×（2+3+4）＝，∵面积S可用公式来求，∴S＝＝＝，故答案为：．三．解答题（共6小题，满分64分）15．解：＝3﹣1﹣+＝3﹣1﹣+2＝4﹣．16．解：原式＝（3﹣）×﹣（4+4+5）＝2×2﹣4﹣4﹣5＝4﹣4﹣4﹣5＝﹣9．17．解：（1）＝＝；（2）＝＝＝﹣．18．解：（1）△ABC的周长为++＝3+2+5＝8+2；（2）∵△ABC是直角三角形，∴AB•BC＝AC•BD，∴BD＝＝＝．19．解：（1）＝﹣，＝﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）∵＝2﹣m，∴（2+m）（2﹣m）＝1，∴8﹣m2＝1，∴m2＝7，∴m＝；（3）＝﹣1+﹣+﹣+•+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．20．解：（1）原式＝×（+++…+）＝×（﹣1）＝10＝5；（2）①∵a＝，∴4a2﹣8a+1＝4×﹣8×（1）+1＝5；②a3﹣3a2+a+1＝﹣3+（）+1＝7+5﹣（9）++1+1＝0；2a2﹣5a++2＝2×++2＝2；故答案为：0，2．。
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教学设计2
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教学设计2一. 教材分析《二次根式的运算》是浙教版数学八年级下册1.3节的内容，主要包括二次根式的加减乘除运算规则，以及二次根式的混合运算。
这部分内容是学生学习二次根式知识的重要环节，也是进一步学习函数、方程等数学知识的基础。
教材内容通过实例引入，引导学生探究二次根式的运算规律，从而掌握二次根式的运算方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数的基本概念，以及整式的加减乘除运算。
但二次根式的运算相对于整式运算，具有更大的复杂性，需要学生克服恐惧心理，勇于探究和尝试。
同时，学生需要理解二次根式的运算规律，将已有的整式运算经验迁移到二次根式运算中。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算规则，掌握二次根式的混合运算方法。
2.能够正确进行二次根式的运算，并解决实际问题。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算规则。
2.二次根式的乘除运算规则。
3.二次根式混合运算的顺序和技巧。
五. 教学方法1.实例引入：通过具体的二次根式运算实例，引导学生观察和总结二次根式的运算规律。
2.小组合作：学生进行小组讨论和实践，培养学生的合作意识和团队精神。
3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生在实践中掌握二次根式的运算方法。
4.反馈评价：及时给予学生反馈，鼓励学生自主发现和纠正错误。
六. 教学准备1.PPT课件：制作含有实例、练习题的PPT课件，方便学生直观地理解和掌握二次根式的运算方法。
2.练习题：准备一定数量的练习题，用于学生在课堂上的练习和巩固。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，方便板书和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的二次根式运算实例，引导学生进入学习状态，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示二次根式的加减乘除运算规则，以及二次根式混合运算的顺序和技巧。
2015春四清导航八年级科学、数学下册(浙教)课件二次根式乘除法
14．(8 分)已知正方形边长为 a，面积为 S. (1)a＝3 6，求 S； 1 (2)a＝3 12，求 S.
解：(1)S＝a2＝(3 6)2＝54
1 4 2 (2)S＝a ＝( 12) ＝ 3 3
2
15．(10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝ 90°， S△ABC＝ 18 cm2， BC＝ 3 cm， CD⊥AB 于 点 D，求 AC，CD 的长．
2 6 解：AC＝2 6 cm，CD＝ cm 3
【综合运用】 16．(10 分)先阅读下列解答过程，然后再回答： 形如 m± 2 n的化简， 只要我们找到两个数 a， b 使 a＋b＝m，使得( a)2＋( b)2＝m， a× b＝ n，那么 便有 m± 2 n＝ （ a± b）2＝ a± b(a＞b)． 例如：化简 3＋2 2. 提示：首先把 3＋2 2化成 2＋2 2＋1，这里 m 2 )2 ＋ 1 ， n ＝ 2 ×1 ， 则 3. 3＋2 2＝ 2＋1）2＝ 2＋1. 利用上述方法化简：
1．3 二次根式的运算 第1课时 二次根式的乘除法
) A．( 6)2＝± 6 B. （－7）2＝－7 C. 3× 6＝3 2 D. 6÷ 2＝3 2．(4 分)下列计算不正确的是( B ) A. 24× 6＝ 24×6＝ 4×6×6 ＝ 22× 62＝2×6＝12 B. 2×103× 0.2＝20 10 2 27 2 27 9 3 C. 3× 8 ＝ 3× 8 ＝ 4＝2 D. 2 1 ＝3 2 1 40＝3 1 1 20＝
1 45÷
7 . 10
(3) 6
1.3二次根式的运算(2)
1 2 =2 3− 3− 3 3 3
= 3 ≈ 1.73
1 2 = (2). 27 − 3 6 × 2 3 (2). −3 3• 6 8 (3).( 48 − 27 ) ÷ 3
练习1
先化简,再求出近似值(精确到0.01). 先化简,再求出近似值(精确到0.01).
D A 4m B 6m E 7m C
两
已知a = 3 + 2，
种 方 法
b = 3 − 2， a − ab + b
2 2
.
提高题
不用计算器比较根式的大小. 不用计算器比较根式的大小
6 + 14和 7 + 13
解:∵ 6 + 14 ）= 6+2 84 +14=20+2 84 √ √ （
2
（ 7 + 13 ） = 20+2 91
（不正确 不正确） 不正确 （不正确 不正确） 不正确 （正确 正确） 正确
⑶
⑷
a a +b a = (a+b) a
1 3 1 3a − 2 2a = a −
⑸
a = 0
（不正确） 不正确
例3先化简，再求出近似值（精确到0.01）
1 1 12 − − 1 3 3
解 原式= 22 × 3 − 3 − 4 × 3 原式 2 2
A
Ｂ
C
二次根式的加减类似于整式的加减， １.二次根式的加减类似于整式的加减， 二次根式的加减类似于整式的加减 可以运用合并同类项 分配律等 合并同类项， 可以运用合并同类项，分配律等． 二次根式的代数式相乘， ２.二次根式的代数式相乘，可看成是 二次根式的代数式相乘 多项式相乘． 多项式相乘． 二次根式加减的基本步骤： ３.二次根式加减的基本步骤： 二次根式加减的基本步骤 先化简，再合并． 先化简，再合并．
16.2二次根式的运算(第1课时)讲解与例题
二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则 对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)． 分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)． 分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除． 解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值． 分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用． 解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)． 证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2，主要讲述了二次根式的加减乘除运算方法。
这部分内容是中学数学中的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次根式的基本运算方法，为后续学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数等基础知识，对于数学运算有一定的认识。
但二次根式的运算相对于其他运算更为复杂，需要学生能够灵活运用已知知识，进行推理和计算。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答疑问。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握二次根式运算的规律，以及如何将实际问题转化为二次根式运算问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式运算，使学生能够直观地理解二次根式的实际意义。
2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式运算的规律，培养学生的观察能力和推理能力。
3.小组合作法：学生在小组内进行讨论交流，共同解决二次根式运算问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，以便于展示和讲解二次根式的运算方法。
2.练习题：准备一些二次根式运算的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式运算的概念，例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的加减乘除运算方法，引导学生观察和总结运算规律。
初中数学浙教版八年级下册第1章 二次根式1.3 二次根式的运算-章节测试习题(17)
章节测试题1.【题文】阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：.分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：∵，∴再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而当时，分母有最小值2，∴的最大值是2．解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．【分析】本题考查材料阅读题.【解答】（1），，而，，，；（2）由，，得，，∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，∴的最大值为2；当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，∴的最小值为．2.【题文】阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请任用其中一种方法化简：①；②为正整数）；（2）化简：．【答案】（1）①；②；（2）.【分析】本题考查材料阅读题.【解答】（1）①原式；；．3.【答题】下列对于二次根式的计算正确的是（）A. B. 2＝2C. 2＝2D. 2＝【答案】C【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【解答】A.原式=2，∴A选项错误；B.原式＝，∴B选项错误；C.原式＝2，∴C选项正确；D.原式＝6，∴D选项错误．选C．4.【答题】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个正方形，则剩余部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．【解答】从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是，留下部分（即阴影部分）的面积是：（cm2）．选D．5.【答题】下列各式与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查同类二次根式的定义，同时熟练化简最简二次根式的方法，最后做出判定．【解答】A.=与是同类二次根式．B.与不是同类二次根式.C.与不是同类二次根式.D.与不是同类二次根式.选A.6.【答题】下列二次根式的运算：①；②；③；④；其中运算正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键．【解答】①×=2，正确，②-=，正确，③=，正确，④=2④不正确；选C．7.【答题】与最简二次根式能够合并，则m的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 7【答案】A【分析】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解题的关键．【解答】，∵与最简二次根式能够合并，∴，∴，选A．8.【答题】如果a＝，b＝﹣2，那么a与b的关系是（）A. a+b＝0B. a＝bC. a＝D. a＞b【答案】A【分析】本题考查了分母有理化，找出分母有理化因式﹣2是解答本题的关键．【解答】∵a＝＝＝﹣（﹣2），而b＝﹣2，∴a＝﹣b，即a+b=0．选A．9.【答题】若最简二次根式与是同类二次根式，则b的值是（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键在于根据同类二次根式的定义列出方程．【解答】由最简二次根式与是同类二次根式可得，解得，选B.10.【答题】“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设，再两边平方得，又因为，故x＞0，解得，，根据以上方法，化简的结果是（）A. B. C. D. 3【答案】D【分析】本题考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．【解答】原式＝+﹣＝++﹣（﹣）＝3﹣2++﹣+＝3．选D．11.【答题】计算：（）×=______．【答案】【分析】本题考查二次根式的混合运算.【解答】原式=．故答案是．12.【答题】面积为的矩形，若宽为，则长为______．【答案】2【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握矩形的面积公式以及二次根式的除法法则是解题的关键．【解答】由题意，可知该矩形的长为：÷==2．故答案为2.13.【答题】已知最简根式和是同类根式，则______．【答案】【分析】本题考查了同类二次根式的概念以及解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的概念是关键．【解答】由题意得：，解得，∴．14.【答题】当时，代数式x2＋2x＋2的值是______.【答案】18【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．【解答】x2＋2x＋2=（x+1）2+1，当时，原式=．故答案为18．15.【答题】观察下列等式：第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：a3==2-，第4个等式：a4=，……按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n=______．（2）a1+a2+a3+…+a n=______.【答案】（1）；（2）.【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题.【解答】（1）∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：a3==2-，第4个等式：a4=，……∴第n个等式：；故答案为：；（2）==；故答案为：．16.【题文】计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质和乘法公式，往往能事半功倍．【解答】（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝＝.17.【题文】（1）填空：（只填写符号：）①当，时，______；②当，时，______；③当，时，______；④当，时，______；⑤当，时，______；⑥当，时，______；……则关于与之间数量关系的猜想是______．（2）请证明你的猜想；（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．【答案】（1）①=，②=，③=，④＞，⑤＞，⑥＞，≥2（≥，≥）；（2）见解答；（3）4.【分析】本题考查了二次根式的应用，完全平方公式的应用，准确进行运算判断出两个算式的大小关系是解题的关键．【解答】（1）①当m=2，n=2时，由于，，∴=2；②当m=3，n=3时，由于，，∴=；③当m=，n=时，由于，，∴=；④当m=4，n=1时，由于，，∴＞；⑤当m=5，n=时，由于，，∴＞2；⑥当m=，n=6时，由于，，∴＞2；则关于与之间数量关系的猜想是≥2（≥，≥）；（2）证明：根据非负数的性质（）2≥0，∴m2+n≥0，整理得≥2；（3）面积为1平方米的长方形镜框长与宽相等，即为正方形时，周长最小，∴边长为1，周长为1×4=4．18.【答题】下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查同类二次根式.【解答】A.与是同类二次根式，选项不符合题意；B.与不是同类二次根式，选项符合题意；C.与是同类二次根式，选项不符合题意；D.与是同类二次根式，选项不符合题意；选B．19.【答题】下列计算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【分析】本题考查二次根式的加减.【解答】A.与不能合并，∴A选项错误；B.与不能合并，∴B选项错误；C.原式3，∴C选项错误；D.原式3×3×2＝18，∴D选项正确．选D．20.【答题】的计算结果是（）A. 5B.C.D. 【答案】C【分析】本题考查二次根式的加减.【解答】原式＝2＝3．选C．。
1.3二次根式的运算(1,2,3)
1.3 二次根式的运算（1）【要点预习】1.二次根式的运算法则：(1)____(0,0)a b ≥≥； (2)____(0,0).a b =≥>【课前热身】1. = . 答案：92. .3.,则此长方形的面积是 .答案：4.(2008广州中考的倒数是 .【讲练互动】【例1】计算：.解：(1)原式=(2)原式.(3)原式20. 【绿色通道】二次根式乘除运算的一般步骤：一是运用法则，化归为根号内的实数运算；二是完成要根号内相乘、相除（约分）等运算；三是化简二次根式. 【变式训练】 1. 计算：；.答案：(1)(2)；(3)(4)○【例2】若一个等边三角形的高为，求此等边三角形的面积.分析：根据题意作出图形，由于三角形的高已知，故要求面积的关键是求等边三角形的边长，这可在△ABD中由勾股定理可求得.解：如图，AD是等边△ABC的一条高，且AD=设等边△ABC的边长为x cm，则BD=CD=12x cm.∵AB2=BD2+AD2，∴(22212x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴23244x=，x2=32，∵x>0，∴x=∴S△ABC=12⨯=【黑色陷阱】注意当题中没有预定精确度的要求时，最后结果可用化简的二次根式表示. 【变式训练】2.如图, Rt△ABC中,∠ACB=90°, BCAC=求斜边AB上的高CD.解：∵∠ACB=90°, ∴AB2=AC2+BC2=(2227+=.∵AB>0，∴AB=.∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CD，∴AC BCCDAB⋅===【黑色陷阱】【同步测控】基础自测○1.(2007淮安中考)）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：4DCBADCBA2. 的结果是……………………………………………………………（ ）A. B. 答案：B3. 下列各式，计算正确的是…………………………………………………………………（ ）A .= B.=C.=D. 答案：C4.(2007厦门中考)= .5.如果等边三角形的高是3cm ，那么它的边长是___________cm.答案：6.方程0+的解是 .答案：x =7.计算：； ； (4).答案：；(2)(3)(4)8.cm ，下底是上底的2，求这个梯形的面积(精确到0.1cm 2)．解：S =12=cm 2. 能力提升9.,则此直角三角形的面积是……（ ）A.2B.4C.8D.解析：=于是可得此直角三角形2=. 答案：A10. (2007青岛中考)1-＝ .解析：原式11211 -==-=.答案：111.不等式>的解是 .解析：不等式两边同除以x<=--.答案：x<-○12.==后，认为它们是一样的. 因此他认为一个化简过程：==2=是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说理由.==成立的前提是必须满足a≥0且b>0，而本题在化简过程都不符合这一前提，故化简不对.解：不对.等都无意义.创新应用○13.已知等腰三角形的两边长分别为方程组41==①②的两个根，求这个等腰三角形的面积.分析：先利用加减消元法求得x，y的值，然后分x为腰长、y为底边及x为底边、y为腰长两种情况进行讨论，最后利用勾股定理分别求得两种情况下的等腰三角形底边上的高的长，进而求得这等腰三角形的面积.解：①+②，得x 5，∴x=①-②，得3=，∴y ==..===∴S 12=S 12=.1.3 二次根式的运算（2）【要点预习】1.二次根式的运算法则：整式运算的均适用于二次根式的运算.二次根式的加减运算实质是把合并.【课前热身】1.）A.±B.C.D.12答案：B2.（2007_________．答案：11＝_______．3. 计算：)答案：2【讲练互动】【例1】先化简，再求出近似值. (精确到0.01)=≈.解：原式 5.20【绿色通道】可以合并的项的特征是所含的二次根式完全相同，合并的方法与多项式中合并同类项的方法一样.【变式训练】1.的结果是………………………………………………………( )Ｂ.1 C.Ｄ.答案：A【例2】计算:(2).解：(1)原式.(2)原式2121+-=. 【绿色通道】二次根式的四则混合运算的次序是先乘除，后加减；同时运算律同样适用于二次根式的计算. 【变式训练】 2.计算：(1) (2)答案：1. 【例3】计算：(1) ； (2) 22-.解：(1)原式=6612-=-.(2)原式=()()20502050+--=【绿色通道】多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式相乘. 【变式训练】 3.计算：(1)(5⎛+ ⎝； (2) .答案：(1)(2)5-【同步测控】基础自测1.(2007威海中考)下列计算正确的是………………………………………………………（ ）4=D.(11+-=答案：C2.(2007荆门中考)下列计算错误．．的是………………………………………………………( )= = D.3= 答案：D3. (2007绍兴中考)下列计算正确的是………………………………………………………( )= 答案：A4.（2007 ．5. (2007黄冈中考)计算：2)= . 答案：16. (2007十堰中考)计算：21)＝_________________.答案：3-7. (2007宜昌中考)的结果是 .答案：8.计算：； ； (3)(2007温州中考021)(1)+-；(4)-⋅ (5) (1+.答案：(1)-1；(3)(4)18-；(5)能力提升9. (2007临汾中考)的结果是………………………………（ ） A. 6 B.34 C.632+ D.12解析：先分别对每个二次根式化简，得原式＝(12== 答案：D10. 计算)211+的结果是………………………………………………………（ ）＋1 B.)31C.1D.-1解析：原式=))1111⎡⎤=⎣⎦.答案：A11. (2008烟台中考)已知2,2a b ==） A. 3 B. 4 C. 5 D.6 解析：原式5.答案：C12. (2007桂林中考)规定运算：()a b a b *=-，其中a、b为实数，则)3+.333+=. 答案：3○13. (2008徐州中考) 已知21,23.x x x =--求的值解：原式=)22(1)41141x --=--=-. ○14.2-=.2=2=，x =创新应用○15. 阅读下列解题过程2==.==请回答下列问题(1)______________________.(2)利用上面所提供的解法,请化简：+.(3)不计算近似值,试比较与-的大小, 并说明理由. 分析：对于(1)，注意到1==(2)，可依次取n =2，3，…，99代入即可进行化简；对于(3)可用倒数法进行比较，即通过它们倒数大小的比较，进而来比较这两数的大小.解：(2))119-+++⋅⋅⋅+===；=<,<, .1.3 二次根式的运算（3）【要点预习】1.二次根式的应用：在日常生活和生产实践中，在解决一些问题,尤其是涉及 边长计算的问题时，经常用到 及其运算.【课前热身】1. 下列计算中，正确的是…………………………………………………………………（ ）A.=3C.=3- 答案：B2. 在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠,记,,.AB c BC a AC b === (1)若:b a =则:a c = ；(2)若:3,b c c == a = .答案：2；(2)【讲练互动】【例1】一铁路路基的横断面是梯形ABCD ,如图,已知AD =BC ,CD =8m,路基的高度DE =6m,斜坡BC的坡比是求路基下底宽AB 的长度(精确到0.1m). 解：作CF ⊥AB 于F , 则CF=DE =6m. ∵ i BC=CF BF =∴BF=在Rt △ADE 中, AD=BC , DE=CF , ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF , ∴AE=BF=m. ∵EF=CD=8m, ∴AB=(8)m.【绿色通道】坡比是坡的垂直高度与水平宽度的比值. 有关坡比问题，往往通过作梯形的两条高（这两条高相等），将问题转化为解两个直角三角形和一个长方形的问题来解. 【变式训练】1. 水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE =30米，坝顶宽CD =10米，求大坝的截面的周长 (结果精确到0.01). 答案：198.07mFE DCBA【例2】如图，B 地在A 地的正东方向，两地相距282km ，A ，B 两地之间有一条东北走向的高速公路，A ，B 两地分别到这条高速公路的距离相等．上午8:00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A 地的正南方向P 处．至上午8:20，B 地发现该车在它的西北方向Q 处，该段高速公路限速为110km ／h ，问该车有否超速行驶?分析：要判断汽车有否超速，必须求出汽车在PQ 路段的速度，由于该路段行驶时间已知为20分钟，故只需求出PQ 的长即可，亦即求出PC 和CQ 的长即可，这可分别通过△APC 和△BCQ 来求得.解：由题意, 得∠ACP =∠BCQ =45°,∠B =45°,AP ⊥AB , 则 △ APC 和△BCQ 均为等腰直角三角形.又AC=BC=12AB=142km. ∴PC =228AC =km, PQ =142=km, ∴PQ =42km.∴V =12613PQ=km/h. ∴超速行驶. 【变式训练】2. 从一张斜边为30cm 等腰直角三角形的纸板中剪一个尽可能大的正方形，某同学分别给出了两种不同的剪法,但他不知道这两种剪法哪个正方形的面积大?你能通过计算帮他解决这个问题吗?分析：只需求出这两个正方形的边长即可，图甲中正方形的边长显然是以斜边的一半即15cm 为斜边的等腰直角三角形的直角边的长；图乙中正方形的边长显然为斜边长的三分之一，即10cm.解：S 1=2225222= ⎪⎝⎭；S 2=2301003⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴S 1>S 2.【同步测控】基础自测1. 一个正方形鱼池的边长是6cm,另一个正方形鱼池的面积比第一个大45cm 2,则另一个鱼池的边长为……………………………………………………………………………………（ ）FE D CBAQPCBAA.8B.9C.10D.11 答案：B2. 如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相 距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了…………………（ ） A.41米 B.41米 C.3米 D.9米 答案：B3. 在一道坡比为1∶7的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离为10米，则这两棵小树的高度差为 …………………………………………………………………………………( ) A.2米 B.2米 C.5米 D.5米 答案：B4. (2007莱芜中考)王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，这时王英同学离A 地的距离是……………………………………（ ） A. 150m B.503m C.100m D.1003m答案：D5. 一个等腰三角形的腰长为10，底上的高为3，则底为 . 答案：276. 若10的整数部分是x ,小数部分是y ,则22x y -的值为 . 答案：61010-7. (2007辽宁中考)已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 答案：(2)n8.某村兴修水利,要挖一条深为1米,上口宽为1.5米的灌水渠道.如图是渠道横断面的示意图.已知渠道两侧内坡的坡比均为2∶1.AB CD EFG(1)求渠道内坡AB 和渠道底面宽BC 的长;(2)已知渠道总长为500米,求挖出的土石方是多少立方米? 答案：(1)0.55m, BC =0.5m ；(2)500立方米. 能力提升 ○9.若16x x +=，0＜x ＜1，则1x x-的值是……………………………………（ ） A ．2- B ．－2C ．±2D ．±2解析：()222114642x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0＜x ＜1，故1x x <，即12x x-=-. 答案：A10. (2007苏州中考)如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积. 然后分别取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积. 用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是…………………（ ） A.931()44⨯ B.1031()44⨯ C.931()42⨯ D.1031()42⨯ 解析：边长为1的正△A 1B 1C 1的面积为2211311224⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2后，易证得△A 1B 2C 2≌△A 2B 1C 2≌△A 2B 2C 1≌△A 2B 2C 2，故△A 2B 2C 2的面积为△A 1B 1C 1的面积的14，即3144⨯，同理，△A 3B 3C 3的面积为△A 2B 2C 2的面积的14，即△A 1B 1C 1的面积的214⎛⎫ ⎪⎝⎭，亦即23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，以此类推，△A n B n C n 的面积为△A 1B 1C 1的面积的114n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即13144n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.当n =10时，即得正△A 10B 10C 10的面积. 答案：C11. (2007佳木斯中考)如图，等腰直角△ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰，做第一个等腰直角△ADE ；再以所做的第一个等腰直角△ADE 的斜边上的高AF 为腰，做第二个等腰直角△AFG ；……以此类推，这样所做的第n 个等腰直角三角形的腰长为 ．AB CEFG解析：由于等腰直角三角形中直角边是斜边的22=，由于本题中第一个等腰直角三角形的直角边恰为第二个等腰直角三角形的斜边长，故每次变化腰长缩小为原来的2倍，以此类推，便可求得第n 个等腰直角三角形的腰长.答案：2n⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC =45°，∠ACB =30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.分析：本题即求森林公园中心A 点到公路BC 的距离AH 与300米的半径的大小关系. 解：作AH ⊥BC 于H . 设AH=x m.∵∠ABC =45°，∠ACB =30°，∴BH=x m, CH =3x m. ∵BC =1000m, ∴31000x x +=, ∴31x =+≈366m>300m, ∴不会穿过该森林公园.○14. (2007宁夏中考)如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC △的三个顶点在格点上，求ABC △中AB 边上的高．分析：要求AB 边上的高，只需求出△ABC 的面积和AB 边的长即可.解：∵S △ABC =1115332311232222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=∴AB 边上的高=252422ABC S AB ==△.创新应用14. 如图，自卸车车厢的一个侧面是长方形ABCD ，AB =3米，BC =0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度为45°，问此时车厢的最高点A 距离地面多少米（精确到0.01米）？分析：作AP ⊥CE 于P ， DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q 后，车厢的最高点A 距离地面即为AQ ，PQ (DF )，1.2米三线段的和.解：作AP ⊥CE 于P ，DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q .ABC∵∠DCE=45°，∴∠DAQ=45°.∴AQ=DQ=22=m，PQ=DF=3222=m.∴AP=23722 2.4824+=≈m.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
二次根式深度理解-概述说明以及解释
二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。
它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。
二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。
例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。
本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。
在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。
然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。
最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。
通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。
二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。
2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。
具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。
2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。
2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。
八下第一章教案
第1章二次根式目录1.2 二次根式的性质 (1) (2)1.2 二次根式的性质（2） (4)1.3 二次根式的运算（1） (7)1.3 二次根式的运算（2） (10)1.3 二次根式的运算(3) (13)1.2 二次根式的性质 (1)【教学目标】1．经历二次根式的性质:()a a =2(a≥0),aa =2= ⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a 的发现过程,体验归纳,猜想的思想方法2．了解二次根式的上述两个性质.3．会运用上述两个性质进行有关的计算.【教学重点、难点】重点：本节的重点是二次根式性质：()a a =2(a≥0),aa =2=⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a 难点：aa =2=⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a 【教学过程】一、 引入新课1）提问：2的平方根是什么？什么数的平方是2？（2±）得到：（2）2=2 （－2)2=22）提问：（2)7=？ （?)21?()2122=-=选三个中下游的学生回答，教师鼓励学生大胆发言。
二、 新课讲授1、由上面的提问得到什么样的结论？()a a =22、那么对于上面的性质，a 能小于0吗？（不能，a 必须大于等于0）()a a =2（a≥0）3、提问：?22= ?2=?)5(2=-=-5？?0?02==请几个中游的学生回答。
（ 2，2 ；5，5 ；0，0 ）4、议一议：2a与a有什么关系？当a≥0时，2a=？当a ＜0时，2a=？经学生讨论后，指定一名学生（程度中下）回答，再指定一名学生（程度较好）点评。
教师总结：2a==a ⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a5、提问：π-=-?)7(2=？？）（=-23π 三、讲解例题例1、计算（1）22)15()10(--（2）[]222)2(22+∙--按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：1） 应用哪一个性质？具体怎么算？ 2）计算顺序应该怎样？第一题选择中下游学生回答，第二题选择中上游学生回答。
北师大八年级数学(上)二次根式的运算(1)
北师大八年级数学（上）二次根式的运算（1）【要点预习】1.二次根式的运算法则：(1) ____(0,0)a b a b ⨯=≥≥； (2) ____(0,0).a a b b=≥>【课前热身】1. 计算：（1）3·27= .（2）302＝ .2.若长方形的长与宽分别是6与2,则此长方形的面积是 .3.(08广州)3的倒数是 .【讲练互动】【例1】计算：(1)315⨯； (2) 32223513459⋅÷； (3)421.6100.410⨯⨯.【变式训练】1. 计算：(1)714⨯； (2)3755⨯；(3)532.5100.510⨯⨯； (4)132222⨯÷.【例2】若一个等边三角形的高为26cm ，求此等边三角形的面积.2.如图, Rt △ABC 中,∠ACB=90°, BC=3, AC=26, 求斜边AB 上的高CD.【基础自测】1. (07淮安)计算28⨯的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 162. 计算：1238÷⨯的结果是（ ） A.22 B.42 C.22D.2 3. 下列各式，计算正确的是…（ ）A .233363⋅= B.535256⋅=C.233266⋅=D.233265⋅= 4.(07厦门)计算153= .5.如果等边三角形的高是3cm ，那么它的边长是___________cm.6.方程22240x +=的解是 .7.计算： (1)55； (2)243⨯；(3)1238÷⨯； (4) 114828⨯÷.8.已知梯形的上底为6cm ，下底是上底的2倍，高为15cm ，求这个梯形的面积(精确到0.1cm 2)．【能力提升】9.已知直角三角形的斜边长为10，一条直角边为2,则此直角三角形的面积是（ ）A.2B.4C.8D.5DCBA10. (07青岛)计算：2613⨯-＝ .11.不等式226x ->的解是 .12.小刚在学习了a a bb=与a a b b=后，认为它们是一样的.因此他认为一个化简过程：202054555---⨯==---545-⋅=-=42=是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说理由.【创新应用】13.已知等腰三角形的两边长分别为方程组534531x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①②的两个根，求这个等腰三角形的面积.1.3 二次根式的运算（2）【要点预习】1.满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2.二次根式的运算法则：整式运算的 均适用于二次根式的运算. 二次根式的加减运算实质是把 合并.【课前热身】1.计算26⋅，结果应是…（ ）A.23±B.23C.43D.12 2.（07长春）计算：182+＝_________． 3. 计算：()()3131+-＝_______．【讲练互动】 【例1】先化简，再求出近似值. (精确到0.01)：2132412362-+.【例2】指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么．1.填空题(1)71化为最简二次根式为________(2)在36、34、932中最简二次根式为________(3)化下列各式为最简二次根式160=____ y 18x 2=____(x ＞0)(4)当x ＜2时，化简44x -x 2+=________(5)当x ＞0时，y x4化为最简根式为________ 2.选择题(1)下列各式化为最简根式正确为( ) A.32= 3×2=6 B.43b 125a =-5ab 25aC.31=33D.--2(-1)=+1(2)下列各式中最简二次根式为( )A.8aB.5xC.23b a +D.b a a 24+(3)下列各二次根式是最简二次根式的是( )A.4aB.1-x 2C.a31 D.y x 2(4)二次根式： 55x ,14,2x ,211a ,12a ,4a 中最简二次根式的个数是( )A.5B.4C.3D.2【变式训练】1.计算482375+- 的结果是…( ) A.3B.1C.53D.6375- 【例2】计算: (1)1243222-⨯； (2)1(205)5123+÷-⨯.【变式训练】2.计算：(1) 118263-⨯； (2)1251(20) 5.82-÷【例3】计算：(1) (2332)(32)--； (2) 22(2552)(2552)+--.【变式训练】 3.计算：(1)()25352233⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭； (2) (236)(236)+---.【基础自测】1.(07威海)下列计算正确的是（ ） A.532-=B.824+=C.2733=D.(12)(12)1+-=2.(07荆门)下列计算错误．．的是 ( ) A.14772⨯= B.60523÷= C.9258a a a += D.3223-= 3. (07绍兴)下列计算正确的是 ( ) A.236⨯= B.235+= C.842= D.422-= 4.（07长沙）计算：188-= ．5.(07黄冈)计算：(52)(52)+-= .6.(07十堰)计算：2(21)-＝_________________.7.(07宜昌)化简154122⨯+的结果是 .8.计算：(1)28218+-； (2)777-；(3)(07温州)0218(31)(1)-++-；(4)()321262352--⋅+.(5) (123)(123)+++-.【能力提升】9.(07临汾)计算112(75348)3+-的结果是（ ）A. 6B.34C.632+D.1210. 计算()()22121-+的结果是（ ）A.2＋1B.()321- C.1D.-111. (08烟台) 已知52,52a b =+=-，则227a b ++的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D.6 12.下列运算中，错误的有 （ ） ①1251144251=， ②4)4(2±=-，③22222-=-=-，④2095141251161=+=+ (A) 1个 ( B) 2个 (C) 3个 (D) 4个13. 满足32<<-x 的整数x 是（ ）A.1B.0和1C.0、1和－1D.－1和0 14. 下列化简计算正确的是 （ ）(A)2·3＝ 6 (B) 2＋3＝ 6 (C) 8＝3 2 (D) 4÷2＝2 15. 计算271331332÷⨯的结果是 ( )(A)331 (B)312 (C)36 (D) 6216. 下列二次根式有意义的范围为x ≥3的是（ ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
）
2、如果： x − 2 + 6 − y + z − 6 z + 9 = 0 求
x = 2，y = 6，z = 3即：x ⋅ y ⋅ z = 36 = 6
x •
y •
z 的值：
1 1 ( 32 + 0.5 − 2 ) − ( − 48 ) 3 8
(3)
5.25 × 10 1.3 × 10
9
7
例2
一个正三角形路标如图 所示， 所示，若它的边长为 个单位， 2 2 个单位，求这个 路标的面积。 路标的面积。
类比 迁移 感悟
二次根式的加减法
合并二次根式： 合并二次根式：
6 3 + 3 3 = (6 + 3 ) 3 = 9 3
6 3+6 2 =
乘法规律公式推广式： 乘法规律公式推广式：
(2).如果a1、a2、 、an ≥ 0 ...... 则：a1 • a2 • ... • an = a1 • a2 • ... • an
练一练: 练一练: 计算
2 1 (1) 3 40 − ( +2 ) 5 10
பைடு நூலகம் 练习3 练习
一个直角三角形的两条直角边分别长2 2cm与 10cm， 求这个直角三角形的面积。 求这个直角三角形的面积。
1 2 S = × 2 2 × 10 = 2 （cm ） 5 2 练习4 综合练习） 练习 （综合练习）
化简后漏写乘号， 乘法关系被误认为 带分数关系
计算: 例3 计算:
归纳
1 2 12 − 4 + 3 48 27
4 3 + 12 3 解:原式 = 4 3 − 原式 9 4 = (4 − + 12 ) 3 9 根号前的有理因式 要写成假分数，不 140 3 能写成带分数 = 9
二次根式的化简 要细心
上一页
二次根式有下面的性质
ab = a × b (a ≥ 0, b ≥ 0) a a ( a ≥ 0, b > 0 ) = b b
根据二次根式的性质可以得到
a × b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) a b = a (a ≥ 0, b > 0) b
例1
(1)
2× 6
2 27 (2) 1 × 3 10
(1) 4 + 9 = 13 ( 2) 2 + 2 = 2 2 (3)2 3 + 3 3 = 5 6 ( 4) a 2 + b 2 = a + b 2
（ ） （ ） （ ） （ ）
先化简，再求出近似值： 先化简，再求出近似值：
1 1 12 − − 1 3 3
计算: 例3 计算:
试一试：
1 2 12 − 4 + 3 48 27
根式化简时漏 乘系数
学生甲: 解:原式 = 2 3 − 36 3 + 12 3
= −22 3
根式化简时错 将分母作分子
计算: 例3 计算:
试一试：
1 2 12 − 4 + 3 48 27
学生乙: 3 + 12 3 解:原式 = 4 3 − 4 9
3 = 16 3 − 4 9 8 3 书写不 = 11 规范 9
复习提问
二次根式的乘法运算法则是什么？ 1、 二次根式的乘法运算法则是什么？用文 字语言怎么表达？ 字语言怎么表达 ？ 对于运算的结果有什么 要求？ 要求？ （1） a b = ab a ≥ 0, b ≥ 0 ）
(
)
（2） 二次根式相乘：被开方数相乘， ） 二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变； 根指数不变； （3） 尽量化简。 ） 尽量化简。
合并同类项： 合并同类项：
2 2 2 2 2
6ab+3ab=(6+3)ab=9ab 6ab+6ab=
2
6 3 + 3 3 =9 3
6 2 + 5 2 = 11 2
观察 探 究
9 3 + 11 2 = ?
108 = 6 3
27 = 3 3
练一练: 练一练
1.判断下列计算是否正确 判断下列计算是否正确: 判断下列计算是否正确
1 2 (3 6 − 2 ) − ( 24 + 2 ) 6 3
(1 ) a • b =
a = b
a •
b
（a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积 各因式的算术平方根的
a (a ≥ 0, b > 0) b
a a = (a ≥ 0, b > 0) b b
复习提问
二次根式的除法运算法则是什么？ 2 、 二次根式的除法运算法则是什么 ？ 用文字语言怎么表达？ 用文字语言怎么表达 ？ 对于运算的结果有 什么要求？ 什么要求？ （1） ）
a a (a ≥ 0, b > 0 ) = b b
（2） 二次根式相除：被开方数相除， ） 二次根式相除：被开方数相除， 根指数不变； 根指数不变； （3） 尽量化简。 ） 尽量化简。