中职数学正、余弦定理优质习题

合集下载

正弦余弦定理习题精选

正弦余弦定理习题精选一、选择题。

1、(2005年全国高考江苏卷) ABC D 中，3p=A ，BC ＝3，则ABC D 的周长为（）A 、33sin 34+÷øöçèæ+pB B 、36sin 34+÷øöçèæ+pB C 、33sin 6+÷øöçèæ+p B D 、36sin 6+÷øöçèæ+pB2、(2005年北京春季高考题)在ABC D 中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC D 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 3、（06湖北卷）若ABC D 的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=（） A 、153 B 、153- C 、53 D 、53-4、（06安徽卷）如果111A B C D 的三个内角的余弦值分别等于222A B C D 的三个内角的正弦值，则（）A 、111ABCD 和222A B C D 都是锐角三角形 B 、111A B C D 和222A B C D 都是钝角三角形C 、111A B CD 是钝角三角形，222A B C D 是锐角三角形 D 、111A B C D 是锐角三角形，222A B C D 是钝角三角形5、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为（）A 、6pB 、3pC 、 2pD 、 23p6、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（）Ａ、32Ｂ、3 Ｃ、158Ｄ、157、14 B 、34 C 、24 D 、238、（06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3p,a =3,b =1，则c =（）A 、1B 、 2C 、3— 1D 中，,75,45,30===C A AB 则BC =（） A 、33- B 、2 C 、 2 D 中，若1tan 3A =，150C =7，3c =，则B = ．4、（07湖南文12）在ABC D 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3,3a c C p===，则A= .5、（07重庆文13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60=60°°，则AC ＝． 7、（07天津文理15）如图，在ABC D 中，120,2,1,BAC AB AC D Ð=°==是边BC 上一点，2,DC BD =则=·BC AD __________。

正余弦定理 15道经典基础例题

正余弦定理 15道经典基础例题例1、（共5分，2分钟）在∆ABC 中,若∠A =60°,∠B =45° ,BC =3√2 ,则AC=（）A ．4√3B ．2√3C ．√3 D.√32解答:由正弦定理,可得AC sin45°=BCsin60° 所以AC =3√2√32×√22=2√3可得答案B考点: 考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆例2、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，若a 2+b 2=2c 2，则sin C 的最小值为（）A. √32 B. √22 C. 12 D. −12 解答：cos C =a 2+b 2−c 22ab=2c 2−c 22ab≥c 2a 2+b 2=12可得答案C考点：余弦定理，基本不等式，难度：★☆☆☆☆☆ 例3、（共5分，3分钟）在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°,则BC 边上的高等于( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解答：设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B.可得答案B考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例4、（共5分，3分钟）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b =5c,C =2B ，则cos C = ( ) A.725 B.−725 C.±725 D.2425 解答：由8b =5c,C =2B 及正弦定理得， 8sin B =5sin C,sin C =sin 2B ,又由正弦公式知sin 2B =2sin B cos B ,整理可得 8sin B =10sin B cos B ,cos B =45,sin B =35， cos C =cos 2B =cos 2B −sin 2B =725 可得答案A考点：正弦定理，二倍角公式，难度：★★☆☆☆☆例5、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，AB =√6,∠A =75°,∠B =45°，则AC= .解答:由正弦定理可知：ABsin [180°−(75°+45°)]=ACsin 45°⇒√6sin 60°=ACsin 45°⇒AC =2可得答案:AC=2考点：正弦定理,难度：★☆☆☆☆☆例6、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，a=4，b=5，c=6，则sin 2A sin C= .解答：sin2Asin C =2sin A cos Asin C=2ac∙b2+c2−a22bc=1可得答案sin2Asin C=1考点：正弦定理、余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例7、（共5分，3分钟）若锐角∆ABC的面积为10√3，且AB=5，AC=8,则BC 等于________．解答：由已知得的∆ABC面积为12AB∙AC sin A=20sin A=10√3，∴sin A=√32，A∈(0，π2)，可知A=π3由余弦定理得AB2+AC2−2AB∙AC cos A=49，解得BC=7可得答案BC=7考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例8、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c若a=√3，sin B=12,C=π6，则b= .解答：由sin B=12且B∈(0，π)∴B=π6或5π6，又C=π6，则B=π6可得A=π−B−C=2π3，又a=√3由正弦定理asin A =bsin B,代入可得b=1可得答案b=1考点：正弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例9、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a,b,c,若(a+b−c)(a+b+c)=ab，则角C= .解答：由(a+b+c)(a+b−c)=a2+b2−c2+2ab=ab得a2+b2−c2=−ab由余弦定理cos C=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12,C=2π3可得答案C=2π3考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例10、（共5分，2分钟）在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c..已知b−c=14a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .解答：由正弦定理知2b=3c,解得b=3c2,a=2c.则由余弦定理知cos A=b2+c2−a22bc =−14可得答案cos A=−14考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例11、（共5分，3分钟）在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知∆ABC的面积为3√15,b−c=2,cos A=−14,则a的值为 .解答：因为0<A<π，所以sin A=√1−cos2A=√154,又S∆ABC=12bc sin A=√158bc=3√15，∴bc=24解方程组{b−c=2bc−−24得b=6,c=4由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=64, 所以a=8可得答案a=8考点：同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例12、（共5分，3分钟）在∆ABC中，B=120°，AB=√2，A的角平分线AD=√3,则AC=_______.解答：由正弦定理得ABsin∠ADB =ADsin B,即√2sin∠ADB=√3sin120°,解得sin∠ADB=√22，∠ADB=45°，从而∠BAD=15°=∠DAC , 即C=30° ,|AC|=2|AB|cos30°=√6.可得答案AC=√6考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆例13、（共12分，8分钟）∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cos A，sin B)平行，（I）求A;（II）若a=√7，b=2，求∆ABC的面积．解答：（I）由m⃗⃗⃗ 与n⃗平行，则a sin B−√3b cos A=0,由正弦定理，得sin A sin B−√3sin B cos A=0又sin B≠0 ,从而tan A=√3由于0<A<π ,所以A=π3(II)由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A,而a=√7,b=2,A=π3, 得7=4+c2−2c因为c>0所以c=3故∆ABC的面积为12bc sin A=3√32可得答案（I）π3;（II）3√32.考点：平行向量的坐标运算，正弦定理，3、余弦定理，4、三角形的面积公式，难度：★☆☆☆☆☆例14、（共12分，8分钟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解答:(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sinπ3＝934.可得答案(1) C ＝π3,(2)S ∆ABC =9√34.考点：正弦定理,余弦定理,三角形面积公式, 难度：★☆☆☆☆☆例15、（共12分，8分钟）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 。

正余弦定理练习题(答案)

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2 C. 39．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ， ∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c ＝2R sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2.答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( ) A ．6 B ．26 C ．3 6 D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2，3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC22AB ·BC ＝49＋25－362×7×5 ＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19. 答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45° 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°. 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin CBC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b . 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

正弦与余弦定理练习题及答案

正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C.D ．262362．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.2363233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1B.C ．2D.12146．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos Acos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面3积为( )A.B.C.或D.或323432334328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝2，B ＝120°，则a 等于( )6 A.B ．2C.D.6329．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π310．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则433sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 14．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .3C 2C 214A216．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为315，求边b 的长．3余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 66D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.C.D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.C.或D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为AB → AC→ ，则·的值为( )3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4D ．－47．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A.B ．2C.或2D ．233338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为________．310．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.12．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2413．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝03的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．14．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；5(2)求sin(2A －)的值．π4正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin Ab sin B a sin B sin A 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.236323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝＝4.a sin Bsin A 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角32B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理＝得：sin B ＝＝，又∵a >b ，∴B <60°，a sin A b sin B b sin Aa 22∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，2则c ＝( )A ．1B.C ．2D.1214解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c ＝＝1.b sin Bc sin C 2×sin 30°sin45°6．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin Bsin A sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π27．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B.3234C.或D.或3233432解析：选D.＝，求出sin C ＝，∵AB ＞AC ，ABsin C ACsin B 32∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝AB ·AC sin A 可求面积．128．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等26于( )A. B ．26C. D.32解析：选D.由正弦定理得＝，6sin120°2sin C ∴sin C ＝.12又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝.29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则3π3A ＝________.解析：由正弦定理得：＝，a sin A csin C 所以sin A ＝＝.a ·sin C c12又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝，∴A ＝.π3π6答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.433解析：由正弦定理得＝a sin A bsin B ⇒sin B ＝＝＝.b sin Aa 4×1243332答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由＝得，a ＝＝4，a sin Ab sin B 12×sin30°sin120°3∴a ＋c ＝8.3答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S △ABC ＝bc sin A ，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C a sin A 63sin60°12×12×sin60°×c ＝18，123∴c ＝6.答案：12　614．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：依题意，sin C ＝，S △ABC ＝ab sin C ＝4，223123解得b ＝2.3答案：2315．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin3C 2C214B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .A 2解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A 2sinB sinC ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin A bsin B csin C b ＝c ＝a ＝2×＝2.sin Bsin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2.2π3π6＝×－×＝.2553101055101022又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝.π4(2)由(1)知，C ＝，∴sin C ＝.3π422由正弦定理：＝＝得a sin Ab sin Bc sin Ca ＝b ＝c ，即a ＝b ，c ＝b .510225∵a －b ＝－1，∴b －b ＝－1，∴b ＝1.222∴a ＝，c ＝.2516．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A bsin B 15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为2.15余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3 D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac321tan B 32cos B sin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc2c 22c 6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的AB → AC → 3AB → AC→ 值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A 312AB → AC→ ＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB → AC→127．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：39．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，3则边c 的值为________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216110．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cosB ∶cosC ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2312．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角a 2＋b 2－c 24C ＝________.解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22abab2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )3＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1014．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，ABsin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin C sin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝. 所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.35π4π4π4210。

正弦定理余弦定理练习题

正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。

熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。

本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。

一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。

1. 求∠ABC和∠ACB的度数。

2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。

3. 求∠BAC的弧度值。

解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。

化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。

又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。

2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。

因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。

根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。

因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。

将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。

解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。

3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。

所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题(最新整理)

，则 b=___________．
27．在 AC 中，已知 A 4 3 ， AC 4 ， 30 ，则 AC 的面积是
．
28．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，设 S 为△ ABC 的面积， S 3 (a2 b2 c2 ) ，则 C 的
4 大小为___________.
正弦定理与余弦定理
1．已知△ABC 中，a=4， b 4 3, A 30 ，则 B 等于（）
A．30°
B．30° 或 150°
C．60°
D．60°或 120°
2．已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
3．已知 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 (2a c) cos B b cos C 0 ，则角 B 的大小为（）
A．
6
B．
3
2
C．
3
5
D．
6
4．在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边.若 sin C =2， b2 a 2 3ac ，则 B =( )
sin A
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5 ，c=10，A=30°，则 B 等于（）
5
在△ABC 中，由余弦定理得，
=，
化简得，2ac+a2+c2﹣b2=2a（a+c），则 c2=a2+b2， ∴△ABC 为直角三角形，故选：B． 12．C 【解析】试题分析：由 A 的度数求出 sinA 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理求出 sinB 的值，由 b 小于 a，得到 B 小于 A，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数．解：∵A=60°，a=4 ，b=4 ，

3.正弦定理和余弦定理含答案

2
即 a b c bc ，由余弦定理得 a b c 2bc cos A
2 2 2 2 2 2
故 cos A
1 2 . ,A 2 3
2 2 2
（2）由（1）得 sin A sin B sin C sin B sin C. 又 sin B sin C 1 ，得 sin B sin C
2 ，则 a＝________. 3
13．在△ABC 中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________．答案 15 3 4
14．若 AB＝2，AC＝ 2 BC，则 S△ABC 的最大值________．答案 2 2
15．锐角△ABC 中，若答案 4
b a tan C tan C 的值是________． 6 cos C ，则 a b tan A tan B
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时，试确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解:(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝ 900t2－600t＋400＝ 10 3 1 故当 t＝时，Smin＝10 3(海里)，此时 v＝ 1 ＝30 3(海里/时)． 3 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小． 900 t－ 1 3 2＋300.
cos A 2 cos C 2c a . cos B b
(1)求
sin C 1 的值；(2)若 cos B＝，△ABC 的周长为 5，求 b 的长． sinA 4
2c－a 2ksin C－ksin A 2sin C－sin A a b c 解:(1)由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝， sin A sin B sin C b ksin B sin B 所以 cos A－2cos C 2sin C－sin A ＝ .即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， cos B sin B

正、余弦定理专题训练题

所以
因为，
由正弦定理，得
（2）由得．
由余弦定理，得
解得或（舍负）．
所以
考点：正弦定理和余弦定理．
14．（I），b=1 (2)
【解析】（I）解：在中，由，可得 .又由及a=2，，可得 .
由，得 .因为，故解得b=1.
所以，b=1.
（II）解：由，，得 .
所以，
视频
15．⑴ (2)
7．D
【解析】
【分析】
先由余弦定理求出a=7,再利用正弦定理求出此三角形外接圆的半径 .
【详解】
由余弦定理可得，所以，即，故选D．
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角ห้องสมุดไป่ตู้，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8．C
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得，进而可得解.
【详解】
在中，，， ,
19．在△ABC中，A＝，a＝，b＝4，则满足条件的△ABC有_____个.
20．在△ABC中，的对边分别为，若，，，
则 ______．
21．一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于______km.
17．（1） ;(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，根据三角形为锐角三角形求得的大小.（2）直接利用三角形的面积公式，列式计算出三角形的面积.
【详解】
（1）由正弦定理得，故，由于三角形为锐角三角形，故 .（2）由三角形的面积公式得 .

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)

【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .

正余弦定理典型例题

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正余弦定理专题练习(含答案)

正余弦定理专题2020.3一、选择题1、在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC外接圆的直径为( )A.4B.60C.5D.6【解析】选C.因为由三角形的面积公式得：S=acsin B=×1×c×=2，所以c=4，又因为a=1，cos B=，根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5.所以△ABC的外接圆的直径为==5.2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30°，那么角C等于 ( )A.120°B.105°C.90°D.75°【解析】选A.因为c=a，所以sin C=sin A=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=，即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0°<C<180°，所以C=120°.3、在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为( )A.1B.2C.D.【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=，所以sin C==，4、若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )A.(1，)B.(，5)C.(，)D.(1，)∪(，5)【解析】选D.(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2+3>x，解得<x<5.(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x+2>3，解得1<x<.故x的取值范围是(1，)∪(，5).所以S=absin C=×4×=.二、填空题5、在△ABC中，已知A=60°，tan B=，a=2，则c=________. 【解析】因为tan B=，所以sin B=，cos B=.又因为A=60°，所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin B=+.由正弦定理，得=，即c===.答案：6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为________.【解析】由余弦定理，得2accos B·tan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60°或120°.答案：60°或120°7、△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则△ABC的形状为________.【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径)，代入acos B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A，所以2sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，所以cos A=0，又A∈(0，π)，所以A=，所以该三角形为直角三角形.答案：直角三角形8、在△ABC中，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状为________.【解析】由正弦定理知b=2R·sin B，a=2R·sin A，则3b=2a·sin B可化为：3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°，所以sin B≠0，所以sin A=，所以A=60°或120°，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60°，所以△ABC为等边三角形.答案：等边三角形9、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为________.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得1-2cos A=0，所以cos A=，sin A=.再由正弦定理，得sin B==.由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<，从而cos B==.由上述结果知sin C=sin(A+B)=×=.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=.答案：10、在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是________.【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，即所以30°<B<45°.由正弦定理知：===2cos B∈(，)，故的取值范围是(，).答案：(，)三、解答题11、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C所对的边且b=6，a=2，A=30°，求ac的值.【解析】由正弦定理=得sin B===.由条件b=6，a=2，b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时，C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4，所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时，C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，所以A=C，则有a=c=2.所以ac=2×2=12.12、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行.(1)求A.(2)若a=，b=2，求sin C.【解析】(1)因为m∥n，所以asin B-bcos A=0.由正弦定理，得sin Asin B-sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，从而tan A=.由于0<A<π，所以A=.(2)由正弦定理，得=，从而sin B=，又由a>b，知A>B，所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=.13、在△ABC中，求证：(1)=.(2)=.【证明】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos A，于是==1-·2cos A=1-·2cos A===.(2)方法一：==·==.方法二：====.14、在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定△ABC的形状.【解析】由正弦定理得=，由2cos Asin B=sin C，有cos A==.又由余弦定理得cos A=，所以=，即c2=b2+c2-a2，所以a2=b2，所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c.15、所以△ABC为等边三角形.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，+=.(1)求角A的大小.(2)若a=2，△ABC的面积为，求边b，c.【解析】(1)由+=及正弦定理得+=，得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin CcosA. 因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，且sin C≠0，所以，cos A=.又0<A<π，所以，A=.(2)因为△ABC的面积S=bcsin A=bcsin=，所以，bc=4.①由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2=8，②联立①②解得，b=c=2.16、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc，sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小.(2)求△ABC的周长.【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc，得a2-b2-c2=-bc所以cos A==.又0<A<π，所以A=.由sin Asin B=cos2，得sin B=，即sin B=1+cos C，则cos C<0，即C为钝角.所以B为锐角，且B+C=，则sin=1+cos C，化简得cos=-1，解得C=，所以B=.(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，由余弦定理得AM2=b2+-2b··cos C=b2++=()2，解得b=2，所以a=2.在△ABC中c2=a2+b2-2abcos C=22+22-2×2×2×cos =12，所以c=2.所以△ABC的周长为4+2.。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝() 22226 A．－3 B.3C．－3D.6 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点，则tan ∠ECF ＝()16233A. 27B. 3C.3D.4．△中，若－lg c ＝＝－lg 2且∈ 0，π，则△ABC4ABC lg a lgsin B B2的形状是 ()A．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假如a、b、c 成等差数列，∠ B＝30°，△ ABC的面积为0.5，那么 b 为()A．1＋ 3B．3＋ 3 C.3＋ 3D．2＋ 3 36．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若 sin2－cos2＝1，则 ()A A2A．b＋c＝2a B ．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a7、若ABC的内角A知足sin 2A 2，则 sin A cos A 3A.153 B．153C．5D．5338、假如A1 B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C2的三个内角的正弦值，则A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B．A1B1C1和A2 B2C2都是钝角三角形C．A1 B1C1是钝角三角形，A2 B2C2是锐角三角形D．A1B1C1是锐角三角形，A2 B2C 2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为 a, b, c 设向量ur r ur rp (a c, b) , q (b a, c a) ,若 p // q ,则角C的大小为(A)(B)(C)(D)233 6210、已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．3Ｂ． 3Ｃ．15Ｄ．15 28711、ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则 cosBA ．1B．3C ．24 44D．2312、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=, a= 3 , b=1，3则 c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3二、填空题：13 、在ABC中，若sin A:sin B :sin C5:7:8 ，则B的大小是___________.14、在 ABC中，已知a 3 3，＝，＝°，则＝.b 4 A30sinB415、在△ ABC中，已知 BC＝12，A＝60°， B＝45°，则 AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边 BC上的中线 AD的长为．三、解答题：11 17。

正弦定理余弦定理习题及答案

正余弦定理1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.3、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-AB323πcos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

中职教育数学《正、余弦定理练习》

c2= a_2_+_b_2_-_2_a_b_c_o_s__C_
定理
正弦定理
余弦定理
解决的问题
①已知两角和任一边，求其他边和角 ②已知两边和其中一边的对角，求其他边和角
①已知三边,求各角 ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角
【解析】(1)正确.∵A＞B,∴a＞b,∴ a ＞1,
b
由正弦定理可得 a sin A＞1.
【加固训练】在△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且
cos B b . cos C 2a c
(1)求角B的大小.
(2)若 b 13，a+c=4，求a,c的值.
【解析】(1)由余弦定理知：
cos B a2 c2 b2 , 2ac
cos C a2 b2 c2 . 2ab
2
②由①得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得因为0°<B<90°,0°<C<90°, sin B sin故CB=12C.=30°, 所以△ABC是等腰的钝角三角形.
【互动探究】变式：“sin B=cos Asin C”，则△ABC的形状如何？
将上式代入 cos B 得：b
cos C 2a c
a2 c2 b2 2ac
2ab a2 b2 c2
b , 2a c
整理得：a2+c2-b2=-ac.
∴ cos B a2 c2 b2 ac 1 .
2ac
2ac 2
∵B为三角形的内角,
∴ B 2 .
3
(2)将 b 13，a c 代4,入B b22=a2+c2-2accos B,

正余弦定理练习题(含答案)

正弦定理演习题1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．26 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不合错误4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a等于( )A.6B ．2C.3D.29．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.10．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.11．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.14．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.16．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．17．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？18．在△ABC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.19．(2009年高考四川卷)在△AB C 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．余弦定理演习题1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．462．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于()A ．60° B．45°C．120° D．150° 4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不合错误6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．12．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分离是 a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数．19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．正弦定理1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B.2C.3D ．26解析：选A.运用正弦定理得：a sinA ＝b sinB ,求得b ＝asinBsinA＝ 6.2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．42B ．43C ．46D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝asinBsinA ＝4 6.3．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135°C．45° D．以上答案都不合错误 a sinA ＝b sinB 得：sinB ＝bsinA a ＝22,又∵a>b,∴B<60°,∴B＝45°. 4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sinB ＝csinC 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin Bsin A,sinAcosA ＝sinBcosB,∴sin2A＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B,或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sinC ＝AC sinB ,求出sinC ＝32,∵AB＞AC,∴∠C 有两解,即∠C＝60°或120°,∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝12AB·ACsinA 可求面积．8．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D.26sin120°＝2sinC,∴sinC＝12.又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A＝30°, △ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.解析：由正弦定理得：a sinA ＝csinC,所以sinA ＝a·sinC c ＝12.又∵a＜c,∴A＜C ＝π3,∴A＝π6.答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.解析：由正弦定理得a sinA ＝bsinB⇒sinB ＝bsinA a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a＝c,由a sinA ＝b sinB 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43, ∴a＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．解析：由正弦定理,得a ＝2R·sinA,b＝2R·sinB, 代入式子a ＝2bcosC,得2RsinA ＝2·2R·sinB·cosC, 所以sinA ＝2sinB·cosC,即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC, 化简,整顿,得sin(B －C)＝0.∵0°＜B ＜180°,0°＜C ＜180°, ∴－180°＜B －C ＜180°, ∴B－C ＝0°,B＝C. 答案：等腰三角形13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sinA ＋sinB ＋sinC ＝a sinA ＝63sin60°＝12,又S△ABC＝12bcsinA,∴12×12×sin60°×c＝183, ∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得,∠A＝30°,∠B＝60°,∠C＝90°,∴2R＝a sinA ＝1sin30°＝2,又∵a＝2Rsin A,b ＝2Rsin B,c ＝2Rsin C,∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sinB ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2.答案：215．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.解析：依题意,sinC ＝223,S△ABC＝12absinC ＝43,解得b ＝2 3.答案：2316．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝43×12＝23且c ＝2,∴c<bsinC,∴此三角形无解．答案：017．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？解：在△ABC 中,BC ＝40×12＝20,∠ABC＝140°－110°＝30°,∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°, 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°, 由正弦定理得AC ＝BC·sin∠ABC sinA＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△A BC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.解：由sin C 2cos C 2＝14,得sinC ＝12,又C∈(0,π),所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin Bsin C ＝cos2A2,得sin Bsin C ＝12[1－cos(B ＋C)],即2sin Bsin C ＝1－cos(B ＋C),即2sin Bsin C ＋cos(B ＋C)＝1,变形得 cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝1,即cos(B －C)＝1,所以B ＝C ＝π6,B ＝C ＝5π6(舍去),A ＝π－(B ＋C)＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C,得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3,B ＝π6,b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．解：(1)∵A.B 为锐角,sin B ＝1010,∴cos B＝1－sin2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin2A ＝35,∴sinA＝55,cos A ＝255,∴cos(A＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π,∴A＋B ＝π4.(2)由(1)知,C ＝3π4,∴sin C＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c,即a ＝2b,c ＝5b.∵a－b ＝2－1,∴2b －b ＝2－1,∴b＝1. ∴a＝2,c ＝ 5.20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．解：由S ＝12absin C 得,153＝12×603×sin C,∴sin C＝12,∴∠C＝30°或150°.又sin B ＝sin C,故∠B＝∠C.当∠C＝30°时,∠B＝30°,∠A＝120°.又∵ab＝603,a sin A ＝bsin B,∴b＝215.当∠C＝150°时,∠B＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理,得AC ＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于() A. 3 B.2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2,∴c＝ 2.3．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc ＝－3bc 2bc ＝－32,∵0°＜∠A＜180°,∴∠A＝150°.4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,联想到余弦定理,代入得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝32·1tanB ＝32·cosB sinB .显然∠B≠π2,∴sinB＝32.∴∠B＝π3或2π3.5．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不合错误解析：选C.a·a2＋c2－b22ac ＋b·b2＋c2－a22bc ＝2c22c＝c.6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议解析：选A.设三边长分离为a,b,c 且a2＋b2＝c2. 设增长的长度为m,则c ＋m ＞a ＋m,c ＋m ＞b ＋m,又(a ＋m)2＋(b ＋m)2＝a2＋b2＋2(a ＋b)m ＋2m2＞c2＋2cm ＋m2＝(c ＋m)2,∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－4 解析：选A.S△ABC＝3＝12|AB →|·|AC →|·sinA＝12×4×1×sinA,∴sinA＝32,又∵△ABC 为锐角三角形, ∴cosA＝12, ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 8．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为() A. 3 B ．23C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中,由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB,即3＝a2＋9－33a,∴a2－33a ＋6＝0,解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B＝A ＋C,A ＋B ＋C ＝π,∴B＝π3. 在△ABD 中, AD ＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10, ∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k,b ＝(3＋1)k,c ＝10k(k ＞0),∴c 边最长,即角C 最大．由余弦定理,得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝－12, 又C∈(0°,180°),∴C＝120°.11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．解析：S ＝12absinC,sinC ＝32,∴C＝60°或120°. ∴cosC＝±12,又∵c2＝a2＋b2－2abcosC,∴c2＝21或61,∴c＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,设a ＝2k(k ＞0),则b ＝3k,c ＝4k,cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k×4k ＝1116, 同理可得：cos A ＝78,cos C ＝－14, ∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________. 解析：∵cos C＝13,∴sin C＝223. 又S△ABC＝12absinC ＝43, 即12·b·32·223＝43, ∴b＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中,cosB ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935, ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝7×5×(－1935) ＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分离是a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.解析：12absinC ＝S ＝a2＋b2－c24＝a2＋b2－c22ab ·ab 2＝12abcosC,∴sinC＝cosC,∴tanC＝1,∴C＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1,k,k ＋1(k≥2,k∈N),则⎩⎪⎨⎪⎧ k2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4,∴k＝3,故三边长分离为2,3,4,∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．解：∵A＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B)＝1,∴cos(π－C)＝12,即cosC ＝－12. 又∵a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,∴a＋b ＝23,ab ＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝a2＋b2－2ab(－12) ＝a2＋b2＋ab ＝(a ＋b)2－ab＝(23)2－2＝10,∴AB＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1,BC ＋AC ＝2AB,两式相减,得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC·AC·sin C＝16sin C,得BC·AC＝13, 由余弦定理得cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC ＋BC 2－2AC·BC－AB22AC·BC ＝12, 所以C ＝60°.19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C ＝BC sin A, 得AB ＝sinC sinA BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中,依据余弦定理,得cos A ＝AB2＋AC2－BC22AB·AC ＝255, 于是sin A ＝1－cos2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin Acos A ＝45, cos 2A ＝cos2A －sin2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2Acos π4－cos 2Asin π4＝210. 20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．解：由正弦定理,得sin C sin B ＝c b. 由2cos Asin B ＝sin C,有cosA ＝sinC 2sin B ＝c 2b. 又依据余弦定理,得cos A ＝b2＋c2－a22bc ,所以c 2b ＝b2＋c2－a22bc, 即c2＝b2＋c2－a2,所以a ＝b.又因为(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,所以(a ＋b)2－c2＝3ab,所以4b2－c2＝3b2, 所以b ＝c,所以a ＝b ＝c,是以△ABC 为等边三角形．。