2016_2017学年高中数学第3章导数及其应用章末分层突破学案
高中数学 第3章《导数及其应用》复习 精品导学案2 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏教版选修1-1复习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0.2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值一定比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。
( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是课堂探究：2.已知函数f(x)＝x－alnx．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3
3.3.3 导数的实际应用1．会利用导数解决实际问题中的最优化问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．1．最优化问题在经济生活中，人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的________或________，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．【做一做1】下列问题不是最优化问题的是( )A．利润最大 B．用料最省C．求导数 D．用力最省2．求实际问题的最大(小)值的步骤(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，注明定义域．(2)求函数的导数f′(x)，解方程________，确定极值点．(3)比较函数在________和________处的函数值的大小，最大(小)者为实际问题的最大(小)值．实际问题中的变量是有范围的，即应考虑实际问题的意义，注明定义域．【做一做2】求实际问题的最值与求函数在闭区间上的最值的主要区别是________________．利用导数解决实际问题时应注意什么？剖析：(1)写出变量之间的函数关系y＝f(x)后一定要写出定义域．(2)求实际问题的最值，一定要从问题的实际意义去分析，不符合实际意义的极值点应舍去．(3)在实际问题中，一般地，f′(x)＝0在x的取值范围内仅有一个解，即函数y＝f(x)只有一个极值点，则该点处的值就是问题中所指的最值．题型实际问题中最值的求法【例1】某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p 元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．反思：根据课程标准的规定，有关函数最值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数在这点取得极大(小)值，那么不与区间端点的函数值比较，就可以知道这就是实际问题的最大(小)值．【例2】将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小？分析：设其中一段长为x cm ，则另一段长为(100－x ) cm ，然后用x 表示出正方形与圆的面积之和S ，求出方程S ′＝0的根，该根即为所求．反思：在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A ．2033cm B ．100 cmC ．20 cmD ．203cm2某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2x，x ，则总利润最大时，每年生产的产品数量是( )A ．100单位B ．150单位C ．200单位D ．300单位3把长40 cm 的铁丝围成矩形，当长为__________ cm ，宽为__________ cm 时，矩形面积最大．4将长为52 cm 的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为__________．5某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N *)．(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数__________； (2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为__________． 答案：基础知识·梳理1．最佳方案 最佳策略 【做一做1】C2．(2)f ′(x )＝0 (3)区间端点 极值点 【做一做2】求实际问题的最值需先建立数学模型，写出变量之间的函数关系y ＝f (x )，并写出定义域典型例题·领悟【例1】解：设利润为L (p )，由题意可得L (p )＝(p －20)·Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ＞0)，∴L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则L (30)＝23 000.∵0＜p ＜30时，L ′(p )＞0；p ＞30时，L ′(p )＜0，∴p ＝30时，L (p )取得极大值．根据实际问题的意义知，L (30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23 000元．【例2】解：设弯成圆的一段铁丝长为x cm ，则另一段长为(100－x ) cm ，记正方形与圆的面积之和为S cm 2，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.∴S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42＝x 24π＋x 216－252x ＋625(0＜x ＜100)．又S ′＝x 2π＋x 8－252.令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.当0＜x ＜100π4＋π时，S ′＜0；当100π4＋π＜x ＜100时，S ′＞0.所以当x ＝100π4＋π时，S 取得极小值，也为最小值．故当弯成圆的铁丝长度为100π4＋π cm 时，正方形和圆的面积之和最小．随堂练习·巩固1．A 设圆锥的高为h cm ，则V (h )＝π3(400－h 2)h ，h ∈(0,20)．令V ′(h )＝π3(400－3h 2)＝0，得h ＝2033.2．D 当x ＞400时，利润f (x )＝80 000－20 000－100x ， ∴当x ＞400时，f (x )＜20 000. 当0≤x ≤400时，f (x )＝R (x )－20 000－100x ＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000.∴当x ＝300单位时，利润为最大． 3．10 104．78 cm 2设剪成的2段中其中一段为x cm ，则另一段为(52－x ) cm ，围成两个矩形的面积和为S cm 2.依题意知，S ＝x 6×2x6＋－x10×－x 10＝118x 2＋350(52－x )2，S ′＝19x －325(52－x )，令S ′＝0，解得x ＝27.则另一段为52－27＝25(cm)．此时S min ＝78 cm 2.5．(1)T ＝x －x 2x ＋8(2)16件 (1)由题意知，每日生产的次品数为px 件，正品数为(1－p )x 件，∴T ＝200(1－p )x －100px ＝200x －300px ＝200x －900x24x ＋32＝x －x 2x ＋8.(2)T ′＝－2xx ＋－x －x 2x ＋2＝－x ＋x －x ＋2.令T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0＜x ＜16时，T ′＞0；当x ＞16时，T ′＜0.∴当x ＝16时，T 取得最大值，即当日产量定为16件时，获得最大盈利．。
2016_2017学年高中数学章末分层突破3学案
章末分层突破[自我校对]①共面向量定理②坐标表示③加减运算④坐标运算________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉为钝角；③若a 是直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中错误命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【精彩点拨】 紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法． 【规范解答】 ①错误，如在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b ＜0，即cos 〈a ，b 〉＜0，得π2＜〈a ，b 〉≤π，而钝角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0，不是l 的方向向量；④错误，如在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则它们两两共面，但AB →，AD →，AA 1→不共面．【答案】 D [再练一题]1．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________.图31【解析】 由题知AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，从而有x ＝1，y ＝14.【答案】 1 14和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．在四棱锥P ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．【精彩点拨】 (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． 【规范解答】 以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1,1,1)，(1)∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD . 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2 y －1 ＝0，－1－2 z －1 ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD .[再练一题]2.如图32所示，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：图32(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .【证明】 (1)法一 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b ，则有P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)，∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a2.∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)，∴MN →＝12AD →＋12AP →.又∵MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . 法二 易知AB →为平面PAD 的一个法向量． AB →＝(b,0,0)，又MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∴AB →·MN →＝0，∴AB →⊥MN →.又MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .(2)由(1)可知，P (0,0，a )，C (b ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，0，D (0，a,0)． 所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b2x 1－az 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令y 2＝1，则n 2＝(0,1,1)， ∵n 1·n 2＝0. ∴n 1⊥n 2，即平面PMC ⊥平面PDC .(1)若两条异面直线的方向向量分别为a ，b ，所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.(2)直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|.(3)二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，根据情况确定．如图33，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图33(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CD B 的平面角的余弦值．【精彩点拨】 (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【规范解答】 (1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2.如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD . 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD .所以∠A ′HO 为二面角A ′CD B 的平面角． 结合图(1)可知，OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302.所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′CD B 的平面角的余弦值为155. [再练一题]3．如图34，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，点E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：图34(1)求异面直线AF 和BE 所成的角； (2)求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值． 【解】 (1)由题意得A (2,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，22，B (2,2,0)，E (1,1, 2)，C (0,2,0)． ∴AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，BE →＝(－1，－1, 2)，∴AF →·BE →＝1－2＋1＝0.∴直线AF 和BE 所成的角为90°. (2)设平面BEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又BC →＝(－2,0,0)，BE →＝(－1，－1, 2)， 则n ·BC →＝－2x ＝0，n ·BE →＝－x －y ＋2z ＝0， ∴x ＝0，取z ＝1，则y ＝2，∴平面BEC 的一个法向量为n ＝(0, 2，1)．∴cos 〈AF →，n 〉＝AF →·n |AF →|·|n |＝522222×3＝53333.设直线AF 和平面BEC 所成的角为θ，则sin θ＝53333，即直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值为53333.“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，用向量法解立体几何问题，下列等价关系是从“数”与“形”两方面建立的，它们在向量方法中有重要的作用．设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则：①l ∥m ⇔a ∥b ；②l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；③α∥β ⇔u ∥v ；④l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0；⑤l ⊥α⇔a ∥u ；⑥α⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0.如图35，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.图35(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 【精彩点拨】 根据面面垂直的性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系求二面角的平面角，根据向量的坐标建立方程求线段的比值．【规范解答】 (1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形， 所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角， 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为1625.(3)证明：设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)．解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ. 所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.[再练一题]4.如图36，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且FD ＝12EA ＝1.图36(1)求多面体EABCDF 的体积；(2)求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值；(3)记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．【解】 (1)如图，连接ED ，∵EA ⊥底面ABCD 且FD ∥EA ， ∴FD ⊥底面ABCD ，∴FD ⊥AD ， ∵DC ⊥AD ，FD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面FDC ，∴V E FCD ＝13AD ·S △FDC ＝13×2×12×1×2＝23，V E ABCD ＝13EA ·S ▱ABCD ＝13×2×2×2＝83，∴多面体EABCDF 的体积V 多面体＝V E FCD ＋V E ABCD ＝23＋83＝103.(2)以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AE 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0)，E (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，F (0,2,1)，∴EC →＝(2,2，－2)，EB →＝(2,0，－2)，E F →＝(0,2，－1)，设平面ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －2z ＝0，2y －z ＝0，取y ＝1，则z ＝2，x ＝1，∴平面ECF 的一个法向量为n ＝(1,1,2)， 设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，EB →〉|＝|n ·EB →||n ||EB →|＝243＝36.(3)如图，取线段CD 的中点Q ，连接KQ ，直线KQ 即为所求的直线．1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →【解析】 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.【答案】 A2．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.【答案】 D3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D ．32a 2 【解析】 由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.【答案】 D4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.【解析】 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.【答案】 125．(2016·全国卷Ⅲ)如图37，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图37(1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 【解】 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB . (2)取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ， 且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5. 以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .由题意知P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2， PM →＝(0,2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525.所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.。
高中数学第3章导数及其应用常见函数的导数导学案苏教
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.2.1常见函数的导数导学案苏教版选修1-1学习目标：1．能按照导数的概念推导部份大体初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：大体初等函数的导数公式的应用．课前预习：1．在上一节中，咱们用割线逼近切线的方式引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？2．用导数的概念求下列各函数的导数：（1）bkxxf+=)(（bk,为常数）；（2）Cxf=)(（C为常数）；（3）xxf=)(；（4）2)(xxf=；（5）3)(xxf=；（6）xxf1)(=；（7）xxf=)(．试探由上面的结果，你能发觉什么规律？3．大体初等函数的导数：课堂探讨：1.利用求导公式求下列函数导数．（1）5-=xy；（2）xxxy=； (3)3sinπ=y；（4）xy4=；(5)x y 3log =； （6）)2sin(x y +=π； （7）)2cos(x y -=π．5.已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．课堂检测：1．求下列函数的导函数（1）2y x -= （2）35y x =（3）41y x =（4）2x y =（5）4log y x = （6）ln y x =π=-（8）3cos()2y xπ=+（7）sin()2y x。
高中数学人教B版必修3学案第3章 章末分层突破 Word版含解析
章末分层突破
[自我校对]
①()＋()
②()＋()＝
③包含的基本事件的个数基本事件的总数
.
()必然事件：在条件下，一定会发生的事件，叫做相对于条件的必然事件，简称必然事件.
()不可能事件：在条件下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件的不可能事件，简称不可能事件.
()确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件的确定事件，简称确定事件.
()随机事件：在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件的随机事件，简称随机事件.
()事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母，，，…表示.
.对于概率的定义应注意以下几点
()求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.
()只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件的概率.
()概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
()概率反映了随机事件发生的可能性的大小.
()必然事件的概率为，不可能事件的概率为，故≤()≤.
对一批盘进行抽检，结果如下表：
()
()从这批盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
()为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售
个盘，至少需进货多少个盘？
【精彩点拨】结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率.
【规范解答】()表中次品频率从左到右依次为.
()当抽取件数越来越大时，出现次品的频率在附近摆动，所以从这批盘中任抽一个是次品的概率约是.
()设需要进货个盘，为保证其中有个正品盘，则(－)≥，因为是正整数，。
人教版高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末复习提升学案
人教版高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末复习提升学案知识网络知识归纳1.对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比Δy Δx 的极限，即lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率. 2.曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： (1)判断P 点是否在曲线上；(2)如果曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可得方程为x ＝x 0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为f ′(x 0).3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.4.判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件. 5.利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.(2)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号. 6.求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值，例如：f (x )＝x 3，x ∈(－1,1). (2)求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.7.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x 0，使f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数的最值.题型一 导数几何意义的应用导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1).① 又已知y 1＝f (x 1)②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程.切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.例1 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值.解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0.①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1 x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型.跟踪训练1已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m∶y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由.解(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0).将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(x)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线.综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.例2已知函数f(x)＝x－2x＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性.解由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜22时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0即a＝22时，仅对x＝2，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ＞0即a＞22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0＜x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：此时f (x )在在⎝⎛⎭⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增. 反思与感悟 求解函数y ＝f (x )单调区间的步骤： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为减区间.特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0. (1)解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2(e x)′. ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x －1(1＋x 2)2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [](x －1)2＋2(1＋x 2)2e x. 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). (2)证明 当x ＜1时，由于1－x 1＋x2＞0，e x ＞0，故f (x )＞0.同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)，知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1).下面证明∀x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证1－x1＋x2e x＜1＋x1＋x2e－x.此不等式等价于(1－x)e x－1＋xe x＜0.令g(x)＝(1－x)e x－1＋xe x，则g′(x)＝－x e－x(e2x－1).当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0，即(1－x)e x－1＋xe x＜0.所以∀x∈(0,1)，f(x)＜f(－x).又因为x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2).因为x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.题型三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值. 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).例3已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值.(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值. 解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，又因为当x＝－1，x＝23时，函数分别取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根.所以23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×23.于是a＝－12，b＝2，则f(x)＝－x3－12x2＋2x.当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2,2).又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即8x＋y＋14＝0.(2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－3 2.跟踪训练3已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)，(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.(1)解f′(x)＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－4x＝(x＋2)(x－2)x，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a ).(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强. 例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1).(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a ). 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在(－∞，a )和(3a ，＋∞)上是减函数，在(a,3a )上是增函数. 当x ＝a 时，f (x )取得极小值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a .因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数.当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1， 所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，23上是减函数， 在⎝⎛⎭⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数. 要使f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎨⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪训练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163. 证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减.故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163， 最小值为f (1)＝－113. 所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x3－4x≤163成立.1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.。
第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算、定积分
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考试要求
1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根 据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能 求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的形式)的导数；5.了解定积分的概念及 简单应用．
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感悟提升
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导 数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直 于x轴，切线方程为x＝x0. 2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点 坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐 标是解题的关键.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 导数的运算
1.下列求导运算不正确的是( A )
A.(sin a)′＝cos a(a 为常数)
C.(
x)′＝2
1 x
B.(sin 2x)′＝2cos 2x D.(ex－ln x＋2x2)′＝ex－1x＋4x
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误. 由导数公式及运算法则知B、C、D正确.
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角度2 求曲线的切点坐标
例2 (2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲 线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 __(_e，__1_)__，此时切线方程为____x_－__e_y_＝__0___.
高中数学第3章导数及其应用导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修11
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修1-1学习目标：1.掌握用导数法求解函数单调性、极值、最值、参数等问题.2.理解导数与方程、函数、不等式等知识的综合.重点：导数与方程、函数、不等式等知识的综合课前预习：1.已知e为自然对数的底数,则函数y=xex的单调递增区间是2.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线通过点(0,-1),则x0的值为3.函数f(x)的概念域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点个.4.等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程.课堂探讨：一、若函数xaxxxf221ln)(2--=存在单调递减区间,求实数a的取值范围.二、已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线, 求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.3、已知x>0,证明不等式x >ln(1+x).五、已知函数f(x)=ax-ln x,x ∈(0,e],g(x)x x ln =，其中e 是自然常数,a ∈R.(1)当a=1时,求f(x)的极值,并证明f(x)>g(x)21+恒成立.(2)是不是存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.课堂检测：1.函数f(x)的概念域为(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,则函数y=xf(x)( ).A.存在极大值 B .存在极小值 C .是增函数 D.是减函数2.函数x x y 33+=在(0,+∞)上的最小值为3.已知函数f(x)=aln x+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是 .4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=05.若函数b ae ae x f x x ++=1)( (a>0)在点(2,f(2))处的切线方程为x y 23=, 求a,b 的值.。
18版高中数学第三章导数及其应用章末分层突破学案1_1
第三章 导数及其应用[自我校对]①斜率②y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) ③f ′(x )±g ′(x ) ④f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) ⑤fx g x －f x gx[g x2(1)函数y ＝f (x )“在点x ＝x 0处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).(2)函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点Q (x 1，y 1)，则切线斜率为f ′(x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得斜率为y 1－y 0x 1－x 0，又由y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可得切点(x 1，y 1)，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由.【精彩点拨】 (1)求fx →f －＝0→求得a(2)设直线m 与y ＝g x 相切→求出相应切线的斜率与切线方程→ 检验切线是否与y ＝f x 相切→得结论【规范解答】 (1)因为f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，且f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0，得a ＝－2.(2)因为直线m 过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y ＝g (x )相切的直线方程. 设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)， 又因为g ′(x 0)＝6x 0＋6. 所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0).将点(0,9)代入，得9－3x 20－6x 0－12＝－6x 20－6x 0， 所以3x 20－3＝0，得x 0＝±1.当x 0＝1时，g ′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为y ＝12x ＋9；当x 0＝－1时，g ′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)， 所以切线方程为y ＝9.下面求曲线y ＝f (x )的斜率为12和0的切线方程：因为f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， 所以f ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12.由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，f (0)＝－11，此时切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，f (1)＝2，此时切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝12x ＋9不是公切线. 由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.当x ＝－1时，f (－1)＝－18，此时切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时，f (2)＝9，此时切线方程为y ＝9， 所以y ＝9是公切线.综上所述，当k ＝0时，y ＝9是两曲线的公切线.此题直线m 恒过点，是解题的突破口，即若m 是fx ，g x 的公切线，则切线必过点，一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的情况.[再练一题]1.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.【导学号：97792054】【解】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上. ∵f (x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2.∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26). (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18). 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.x )＜0，则f (x )在这个区间上为减函数.应注意：在区间内f ′(x )＞0[或f ′(x )＜0]是f (x )在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而不是必要条件.如果f (x )在某个区间上为增函数，那么f ′(x )≥0；如果f (x )在某个区间上为减函数，那么f ′(x )≤0.利用导数研究函数单调性的步骤为： (1)求f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0； (3)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1](1)求f (x )的单调区间和值域；(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]，若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围.【导学号：97792055】【精彩点拨】 (1)求f ′(x )，列表，求单调区间及最值；(2)任意存在型问题，转化为f (x )的值域是g (x )值域的子集. 【规范解答】 (1)f ′(x )＝－4x 2＋16x －7－x ＝－x －x －－x，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝72(舍去).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2时，f (x )是减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f (x )是增函数. 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]. (2)对函数g (x )求导，得g ′(x )＝3(x 2－a 2). ∵a ≥1，当x ∈[0,1]时，g ′(x )＜3(1－a 2)≤0， 且g ′(x )＝0的根为有限个. ∴当x ∈[0,1]时，g (x )为减函数. ∴当x ∈[0,1]时，g (x )∈[g (1)，g (0)]. 又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ， 即g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]. 任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]. 存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝－f (x 1)， 则[1－2a －3a 2，－2a ][－4，－3]，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a －3a 2≤－4， ①－2a ≥－3， ②解①式得a ≥1或a ≤－53，解②式得a ≤32.又a ≥1，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.1.利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集.2.已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是转化为恒成立问题.[再练一题]2.已知a ∈R 函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围. 【解】 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )＞0时，(－x 2＋2)e x＞0， 注意到e x＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2).同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞).(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立. 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0， 注意到e x＞0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立.设y ＝x ＋1－1x ＋1， 则y ′＝1＋1x ＋2＞0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 则y ＜1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.最值与极值的不同.函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小；而最值是在整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a ＞13，且当x ∈[1,4a ]时，f (x )≥a 3－12a 恒成立，试确定a 的取值范围.【规范解答】 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1且f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3.当x ＜－1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜3时，f ′(x )＜0， 因此x ＝－1是函数的极大值点， 极大值为f (－1)＝6；当－1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当x ＞3时，f ′(x )＞0， 因此x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－26. (2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2＝3(x ＋a )(x －3a )，a ＞13，∴当1≤x ＜3a 时，f ′(x )＜0； 当3a ＜x ≤4a 时f ′(x )＞0.∴x ∈[1,4a ]时，f (x )的最小值为f (3a )＝－26a 3. 由f (x )≥a 3－12a 在[1,4a ]上恒成立得－26a 3≥a 3－12a . 解得－23≤a ≤23.又a ＞13，∴13＜a ≤23.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，23.一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具.[再练一题]3.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导函数f ′(x )＞0的x 的取值范围为(1,3).(1)求f (x )的解析式及f (x )的极大值；(2)当x ∈[2,3]时，求g (x )＝f ′(x )＋6(m －2)x 的最大值.【解】 (1)由题意知f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)·(x －3)(由题意f ′(x )＞0的x 的范围(1,3)可知a ＜0)，∴在(－∞，1)上f ′(x )＜0，f (x )是减函数， 在(1,3)上f ′(x )＞0，f (x )是增函数， 在(3，＋∞)上f ′(x )＜0，f (x )是减函数.因此f (x )在x 0＝1处取得极小值－4，在x ＝3处取得极大值.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－4，f＝3a ＋2b ＋c ＝0，f＝27a ＋6b ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝6，c ＝－9， ∴f (x )＝－x 3＋6x 2－9x .则f (x )在x ＝3处取得极大值f (3)＝0.(2)g (x )＝－3x 2＋12x －9＋6(m －2)x ＝－3(x 2－2mx ＋3)，g ′(x )＝－6x ＋6m ＝0，得x ＝m .①当2≤m ≤3时，g (x )max ＝g (m )＝3m 2－9；②当m ＜2时，g (x )在[2,3]上是递减的，g (x )max ＝g (2)＝12m －21； ③当m ＞3时，g (x )在[2,3]上是递增的，g (x )max ＝g (3)＝18m －36. 因此g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧12m －21， m ＜2，3m 2－9， 2≤m ≤3，18m －36， m ＞3.考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数.证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e－2.【精彩点拨】 (3)中要借助于(2)的结论，构造函数.【规范解答】 (1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 由已知，f ′(1)＝1－ke ＝0，∴k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设k (x )＝1x －ln x －1，则k ′(x )＝－1x －1x＜0，即k (x )在(0，＋∞)上是减函数，由k (1)＝0知，当0＜x ＜1时，k (x )＞0，从而f ′(x )＞0， 当x ＞1时，k (x )＜0，从而f ′(x )＜0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).(3)由(2)可知，当x ≥1时，g (x )＝xf ′(x )≤0＜1＋e －2，故只需证明g (x )＜1＋e －2在0＜x ＜1时成立.当0＜x ＜1时，e x＞1，且g (x )＞0， ∴g (x )＝1－x ln x －xe x＜1－x ln x －x . 设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0,1)， 则F ′(x )＝－(ln x ＋2)， 当x ∈(0，e －2)时，F ′(x )＞0， 当x ∈(e－2,1)时，F ′(x )＜0，所以当x ＝e －2时，F (x )取得最大值F (e －2)＝1＋e －2. 所以g (x )＜F (x )≤1＋e －2. 综上，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2.利用导数解决不等式问题如：证明不等式，比较大小等，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式或比较大小常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.[再练一题]4.已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.【导学号：97792056】【解】 (1)f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x＝x ＋x －x，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，则a ＝4.(2)因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax ，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a ).(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )＝x －x 2＋x ＋x＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要符合问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅得到一个根，若能判断出函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.某企业拟建造如图31所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元.设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .图31【规范解答】 (1)设容器的容积为V ， 由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此0＜r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0＜r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0＜r ≤2. 由于c ＞3，所以c －2＞0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m ＞0. 所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2). ①当0＜m ＜2，即c ＞92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′＜0； 当r ∈(m,2)时，y ′＞0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点. ②当m ≥2，即3＜c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′＜0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点.综上所述，当3＜c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c ＞92时，建造费用最小时r ＝320c －2.利用导数解答实际问题的一般步骤1.利用题设中的条件建立目标函数.2.根据题目中所要求解的问题，利用导数解答，通常是通过判断函数的单调性来求最值.[再练一题]5.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产需占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将工厂的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出工厂获得最大年利润时的年产量.(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额为y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？【解】 (1)工厂的实际年利润为：W ＝2 000t －st (t ≥0)，W ＝2 000t －st ＝－s ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1 000s 2＋1 0002s ，当t ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 000s 2时，W 取得最大值.所以工厂取得最大年利润的年产量为⎝⎛⎭⎪⎫1 000s 2吨.(2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2. 将t ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 000s 2代入上式，得：v ＝1 0002s －2×1 0003s4， v ′＝－1 0002s 2＋8×1 0003s 5＝1 0002－s3s 5.又令v ′＝0，得s ＝20.当0<s <20时，v ′>0； 当s >20时，v ′<0，所以s ＝20时，v 取得最大值.故在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格为20元.1.函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )【解析】 ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.【答案】 D2.设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1).又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数.f ′(x )＝11＋x ＋11－x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上为增函数.故选A. 【答案】 A3.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处切线方程是________.【解析】 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x .所以当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y ＝2x .【答案】 y ＝2x 4.函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.【解析】 ∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－xx －2＝－1x －2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝x x －1取得最大值2.【答案】 25.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】 f ′(x )＝(2x ＋3)e x，则f ′(0)＝3. 【答案】 36.已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1).∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 【答案】 17.已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.【解析】 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 【答案】 38.函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为__________.【解析】 由题知y ′＝e x＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .【答案】 y ＝－1e。
高中数学 第三章 导数应用章末分层突破学案(含解析)北师大版选修2-2(2021年最新整理)
2016-2017学年高中数学第三章导数应用章末分层突破学案（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章导数应用章末分层突破学案（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章导数应用［自我校对]①单调性与极值②单调性③极值④导数⑤最大值、最小值问题利用导数研究函数的单调性(1)求函数的定义域，并求导；（2)研究导函数f′(x）的符号，解不等式f′（x）>0或f′（x)〈0；(3)确定函数的单调性或单调区间.在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号,常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等.求函数f(x）＝ln x－错误!(x－1）2－x的单调区间。
【精彩点拨】按照求单调区间的步骤求解。
【规范解答】函数的定义域为(0,＋∞）.f′(x)＝错误!－错误!x－错误!＝错误!＝错误!.令f′（x)〉0,得0<x<1，令f′(x）〈0，得x>1.∴f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1,＋∞)。
[再练一题]1。
已知函数f(x）＝x3－ax－1，讨论f（x)的单调区间.【解】f′(x）＝3x2－a.（1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f（x)在（－∞，＋∞)上为增函数.（2）当a>0时，令3x2－a＝0,得x＝±错误!，当x〉错误!或x〈－错误!时，f′（x）〉0；当－3a3〈x<错误!时，f′（x）〈0.因此f(x)在错误!，错误!上为增函数，f(x）在错误!上为减函数.综上可知，当a≤0时，f（x）在R上为增函数.当a〉0时，f（x)在错误!，错误!上为增函数，在错误!上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值（1）确定函数f（x)的定义域；（2）解方程f′(x)＝0的根；（3）检验f′(x）＝0的根的两侧f′（x）的符号.若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值;若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值；否则，此根不是f（x）的极值点。
安徽省2016-2017学年高二数学学案：第3章 章末分层突破 Word版含解析
章末分层突破[自我校对]①回归分析②独立性检验③相关系数④相互独立事件回归分析分析两个变量线性相关的常用方法：(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小． 下表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄/周岁3456789身高/cm90.897.6104.2110.9115.6122.0128.5年龄/周岁10111213141516身高/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.5173.0(1)年龄和身高之间具有怎样的相关关系？(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？(3)如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？【精彩点拨】 本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．【规范解答】 (1)设年龄为x ，身高为y ，则＝(3＋4＋…＋15＋16)x 114＝9.5，＝(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7，y 114x ＝1 491，y ＝252 958.2，x i y i ＝18 990.6，14 ≈17 554.1，∑14 i ＝12i ∑14 i ＝12i ∑14 i ＝1x y ∴x －14()2＝227.5，y －14()2≈9 075.05，∑14 i ＝12i x ∑14 i ＝12i y x i y i －14 ＝1 436.5，∑14 i ＝1x y ∴r ＝∑14i ＝1xiyi －14x y ∑14i ＝1x 2i －14(x )2∑14i ＝1y 2i －14(y )2≈0.999 7.1 436.5227.5×9 075.05因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．(2)由(1)得b ＝＝≈6.314，∑14i ＝1xiyi －14x y ∑14i ＝1x 2i －14(x )2 1 436.5227.5a ＝－b ＝131.985 7－6.314×9.5≈72，y x ∴x 与y 的线性回归方程为y ＝6.314x ＋72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)．(3)如果身高相差20 cm ，年龄相差≈3.168206.314≈3(岁)．[再练一题]1．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数x 3033353739444650成绩y 3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归直线方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验；(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．【解】 (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：次数x i 成绩y i x 2i y 2i x i y i 30309009009003334 1 089 1 156 1 1223537 1 225 1 369 1 2953739 1 369 1 521 1 4433942 1 521 1 764 1 6384446 1 936 2 116 2 0244648 2 116 2 304 2 20850512 5002 6012 550由上表可求得＝39.25，＝40.875，x y ＝12 656，8∑i ＝1x2i ＝13 731，i y i ＝13 180，8∑i ＝1y2i 8∑i ＝1x∴b ＝≈1.041 5，8∑i ＝1xiyi －8xy8∑i ＝1x 2i －8x 2a ＝－b ＝－0.003 88，y x ∴回归直线方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用回归直线方程y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.独立性检验独立性检验问题的基本步骤为：(1)找相关数据，作列联表．(2)求统计量χ2.(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度． 考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．【精彩点拨】 提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断．【规范解答】 由已知得到下表：药物处理未经过药物处理总计青花病25185210无青花病60200260总计85385470假设经过药物处理跟发生青花病无关．根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝≈9.788.470×(25×200－185×60)2210×260×85×385因为χ2＞7.879，所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．[再练一题]2．某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼与身高达标2×2列联表身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100(1)完成上表．(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系(χ2值精确到0.01)?参考公式：χ2＝.n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )【解】 (1)身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(2)根据列联表得χ2＝≈1.33＜2.706，100×(40×15－35×10)275×25×50×50所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系.1．(2015·湖北高考)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【解析】 因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝by ＋a ，b >0，则z ＝by ＋a ＝－0.1bx ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．【答案】 C2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元)8.28.610.011.311.9支出y (万元) 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝－b .据此估计，y x 该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解析】 由题意知，＝＝10，x 8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝＝8，y 6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．【答案】 B3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据x 345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为＝bx ＋a ，则( )y^ A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0【解析】 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线＝bx ＋a 的斜率b ＜0，当x ＝0时，＝a ＞0.故y ^ y^ a ＞0，b ＜0.【答案】 A4．(2016·全国卷Ⅲ)如图31是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.图31(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i ＝9.32，t i y i ＝40.17，＝0.55，≈2.646.∑7 i ＝1∑7i ＝1∑7 i ＝1 (yi －y )27参考公式：相关系数r ＝，回归方程＝a ＋bt 中斜∑ni ＝1(ti －t )(yi －y )∑n i ＝1 (ti －t )2∑n i ＝1 (yi －y )2y ^ 率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝，a ＝－b .∑ni ＝1(ti －t )(yi －y )∑ni ＝1(ti －t )2y－t 【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得＝4，(t i －)2＝28，＝0.55，t ∑7i ＝1t ∑7 i ＝1 (yi －y )2(t i －)(y i －)＝t i y i －y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∑7 i ＝1t y ∑7 i ＝1t ∑7i ＝1∴r ≈≈0.99.2.890.55×2×2.646因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由＝≈1.331及(1)得y 9.327b ＝＝≈0.103.∑7i ＝1 (ti －t )(yi －y )∑7i ＝1(ti －t )2 2.8928a ＝－b ≈1.331－0.103×4≈0.92.y t 所以y 关于t 的回归方程为＝0.92＋0.10t .y^将2016年对应的t ＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. y^ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。
高中数学第三章Ⅰ章末分层突破学案新人教B版必修98
第三章基本初等函数（Ⅰ）[自我校对]①分数指数幂 ②互为反函数 ③对数函数④解析式y ＝log a x (a >0，a ≠1) ⑤log a N ⑥解析式y ＝x α⑦越来越慢⑧越来越快爆炸式增长握各种变形．如N 1b＝a ，a b＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【精彩点拨】 (1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出．【规范解答】(1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.－1＋116＋18＋110＝14380.[再练一题]1．计算：【解】 (1)原式＝－4－1＋12×(2)4＝－3.)时要借助于指数、对数函数的单调性．涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y ＝af (x )和y ＝log a f (x )的函数，一般要先求f (x )的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y ＝f (a x)和y ＝f (log a x )的函数，则要根据a x和log a x 的范围，利用函数y ＝f (x )的性质求解．(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．【精彩点拨】(2)由f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2，结合二次函数的性质即可求解．【规范解答】故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴32≤log 2x ≤3，∴f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝32时，f (x )min ＝－14.[再练一题]【导学号：60210098】【解】 令k ＝2x(0≤x ≤2)，∴1≤k ≤4，则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12k 2－3k ＋5.又y ＝12(k －3)2＋12，k ∈[1,4]，∴y ＝12(k －3)2＋12在k ∈[1,3]上是减函数，在k ∈[3,4]上是增函数，∴当k ＝3时，y min ＝12；当k ＝1时，y max ＝52.即函数的最大值为52，最小值为12.用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．对于图象的判断与选择可利用图象的变换、也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)【精彩点拨】 由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可．【规范解答】 当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x＜log a x ，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a a 2<log a x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>x对0＜x ≤12时恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>12，解得22＜a ＜1，故选B. 【答案】 B [再练一题]3．若log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，则函数f (x )＝ax ＋1的图象大致是( )【解析】 由log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，可得0＜a ＜1，函数f (x )＝a x ＋1＝a ·a x，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A. 【答案】 A(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组中两个值的大小： (1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log53，log63，log73.【精彩点拨】利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较．【规范解答】(1)∵1.10.9>1.10＝1，log1.10.9<log1.11＝0,0＝log0.71<log0.70.8<log0.70.7＝1，∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.(2)∵0<log35<log36<log37，∴log53>log63>log73.[再练一题]4．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞b＞a【解析】∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.【答案】 CA．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c【解析】【答案】 D注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．【精彩点拨】(1)结合f(3)<f(5)，与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式．(2)由g (x )为增函数，结合a 讨论，求出a 的取值范围．【规范解答】<m <32. ∵m ∈N ，∴m ＝0或1.综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u＝32－3a >0，无解；②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u＝22－2a >0，解得a <2.∴实数a 的取值范围为1<a <2. [再练一题]6．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P 、Q 的大小． 【解】 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1. 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ；当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1.又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得P>Q.1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )【解析】 ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.【答案】 D2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.【答案】 C3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )【导学号：97512060】A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【解析】 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．【答案】 B4．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图象上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________. 【解析】 ∵点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x的图象上， ∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x∴f －1(x )＝log 2(x －1) 【答案】 log 2(x －1)5．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解析】 (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}．(2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解．当a ＝0时，x ＝1，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1即at 2＋(a ＋1)t －1≥0， 对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
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第3章 导数及其应用章末分层突破[自我校对] ①f x ＋Δx －f xΔx(Δx →0)②f ′(x 0) ③导数的运算法则 ④导数的应用 ⑤函数的最值切线方程.还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现.对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解.求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程.【精彩点拨】 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.【规范解答】 设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0.∵y ′＝3x 2－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2，∴切线方程为y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0).又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或k ＝－54.故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y－1＝0.[再练一题]1.(2016·淮安高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝－3，f 1 ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－3，①1＋a ＋b ＋c ＝0.②∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2.【答案】 f (x )＝x 3－3x 2＋21.)＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点.2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内.另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围.已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围.【精彩点拨】 (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围.【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数. ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a3时，f ′(x )＞0； 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数. 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]. [再练一题]2.(2016·湘潭高二检测)设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x)＝x (1－e x).若x ＜0，则1－e x＞0，所以f ′(x )＜0； 若x ＞0，则1－e x＜0，所以f ′(x )＜0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞). (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立.即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2).1.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.注意事项：(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. (2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x－y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值.【精彩点拨】 (1)利用f ′(1)＝3、f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0、f (1)＝4构建方程组求解；【规范解答】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：由表可知，函数y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.[再练一题]3.已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值.(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围.【解】 (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴ f (x )＝13x 3－12x2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ∈(－1,2]时，f ′(x )＜0，函数单调递减.∴x ＜0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ，∵x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，∴ 76＋d ＜16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0，∴d ＜－7或d ＞1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论.已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0.(1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值. 【精彩点拨】 (1)求出函数f (x )的最小值用a 表示解方程可得a 的值；(2)构造函数g (x )＝f (x )－kx 2，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k 的取值范围，即得其最小值.【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞).f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f (x a ＝1. (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0，故k ≤0不合题意. 当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx － 1－2k ]x ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时，1－2k2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立.故k ≥12符合题意.②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时， g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立.故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.[再练一题]4.(2016·南京高二检测)设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0). (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝ f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值.【解】 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x， 当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减.①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b;②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【解析】 先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出a 的值. ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1).∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 【答案】 12.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.【导学号：24830093】【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 33.(2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.【导学号：24830094】【解析】 f ′(x )＝ x －1 －x x －1 2＝－1x －12，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 24.(2014·辽宁高考改编)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x ，φ′(x )＝ 2x －4 x 3－ x 2－4x －3 3x2x6＝－x 2－8x －9x 4＝－ x －9 x ＋1 x 4＞0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－ x －9 x ＋1x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值.而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上可知－6≤a ≤－2. 【答案】 [－6，－2]5.(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性. 【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数.综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.章末综合测评(三) 导数及其应用 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.) 1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于________.【解析】 平均速度为V ＝ 3＋Δt 2＋3－ 32＋33＋Δt －3＝6＋Δt .【答案】 6＋Δt2.若f ′(x 0)＝－3，则当h →0时，f x 0＋h －f x 0＋3hh趋于常数________.【解析】f x 0＋h －f x 0＋3h h ＝4×f x 0＋h －f x 0－3h4h.∵f ′(x 0)＝－3，∴当h →0时，f x 0＋h －f x 0－3h4h趋于－3，故当h →0时，f x 0＋h －f x 0－3hh趋于－12.【答案】 123.(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.【解析】 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 【答案】 34.已知曲线f (x )＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是________. 【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2，由f ′(x )＝0得x ＝－1，又f (－1)＝1－2－2＝－3，∴点M 的坐标为(－1，－3).【答案】 (－1，－3)5.函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为__________.【解析】 由题知y ′＝e x＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .【答案】 y ＝－1e6.下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(x 2)′＝1x ；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x e x ′＝x －1e x ，其中正确的有________(填序号).【解析】 由于(sin x )′＝cos x ，故①错误；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2，故②错误；由于(log 3x )′＝1x ln 3，故③错误；由于x 2＝2x ，故④错误；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫－x e x ′＝－e x －x e xe x 2＝x －1ex，所以⑤正确.【答案】 ⑤7.函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间是________.【解析】 ∵y ＝x sin x ＋cos x ，∴y ′＝x cos x ，令y ′＝x cos x ＞0，且x ∈(π，3π)，∴cos x ＞0，且x ∈(π，3π)，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2，∴函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π28.(2016·徐州高二检测)函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )在区间上的值域为________.【解析】 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增.∴f (x )的最大值在x ＝π2处取得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值在x ＝0处取得，f (0)＝12.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2 9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________.【解析】 由题意可知f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＜0，在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，即b ＜x (x ＋2)在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，由于y ＝x (x ＋2)在(－1，＋∞)上是增函数且y (－1)＝－1，所以b ≤－1.【答案】 (－∞，－1]10.如图1，是y ＝f (x )的导函数的图象，现有四种说法： ①f (x )在(－2，－1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点.以上说法正确的序号是________(填序号).图1【解析】 由函数的图象可知：f ′(－2)＜0，f ′(－1)＝0，f (x )在(－2，－1)上是减函数，①不正确；x ＝－1时f ′(1)＝0，函数在(－3，－1)递减，在(－1,2)单调递增，所以x ＝－1是f (x )的极小值点，所以②正确；f (x )在(－1,2)上f ′(x )＞0，所以函数在(－1,2)上是增函数，所以③正确；函数在(－1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x ＝2是f (x )的极大值点，所以④不正确.【答案】 ②，③11.已知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋a ，若f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ＋n 的值为________.【解析】 ∵f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋a ，∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，∵f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ，n 为f ′(x )＝0的两个根，根据韦达定理可得，m ＋n ＝－－63＝2，∴m ＋n 的值为2.【答案】 212.若a ＞2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点.【解析】 ∵f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ，又a ＞2，∴2a ＞4.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减，又f (0)＝1，f (2)＝83－4a ＋1＝113－4a ，由a ＞2知f (2)＜0，∴函数f (x )在(0,2)上只有1个零点. 【答案】 113.(2016·郴州高二检测)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则f (0)＋f (2)与2f (1)的大小关系为________.【解析】 依题意，当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； 当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故当x ＝1时，f (x )取得极小值也为最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，∴f (0)＋f (2)≥2f (1).【答案】 f (0)＋f (2)≥2f (1)14.已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________.【解析】 f ′(x )＝x 2＋x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或1，则f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴x ＝1是极小值点.∵f (x )的图象不经过第四象限，即当x ＞0时，f (x )≥0.∴f (1)＝13＋12－2＋m ≥0，∴m ≥76.【答案】 m ≥76二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值.【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，解得：a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)得y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0，或x ＝1 当x ＞1或x ＜0时，y ′＜0，函数在(－∞，0)，(1，＋∞)内单调递减；当0＜x ＜1时，y ′＞0，函数在(0,1)单调递增.∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－1,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞). (2)f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a .因为f (x )在区间[－1,2]上f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[－1,2]上单调递增， 因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－1,2]上的最小值为－7.17.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0). (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值.【解】 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2). (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a ＞0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18.(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【解】 设火车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k ·203，∴k ＝1200， 则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0＜x ≤100). 由f ′(x )＝ax 3－40 000100x2＝0，得x ＝2035. 当0＜x ＜2035时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当2035＜x ≤100时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.∴当x ＝2035时，f (x )取极小值也是最小值，即速度为2035 km/h 时，总费用最少. 19.(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f (x )＝x (x －a ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值，试写出g (a )的表达式. 【解】 (1)由题意知函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋x －a 2x ＝3x －a2x(x ＞0) ①若a ≤0，则f ′(x )＞0，故f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3.当0＜x ＜a 3时，f ′(x )＜0，当x ＞a3时，f ′(x )＞0.故f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞.由于函数在某一点处没有增减性， 故函数的单调区间的情况为： 若a ≤0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；若a ＞0，f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞. (2)①若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝ f (0)＝0.②若0＜a ＜6，f (x )在[0，a 3 ]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a3，2上单调递增， 所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－2a 3a3.③若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减， 所以g (a )＝f (2)＝2(2－a ).综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤0，－2a 3a3 ，0＜a ＜6，2 2－a ，a ≥6.20.(本小题满分16分)(2016·洛阳高二检测)设函数f (x )＝a (x ＋1)2ln(x ＋1)＋bx (x ＞－1)，曲线y ＝f (x )过点(e －1，e 2－e ＋1)，且在点(0,0)处的切线方程为y ＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥0时，f (x )≥x 2；(3)若当x ≥0时，f (x )≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围. 【解】 (1)f ′(x )＝2a (x ＋1)ln(x ＋1)＋a (x ＋1)＋b ，∵f ′(0)＝a ＋b ＝0，f (e －1)＝a e 2＋b (e －1)＝a (e 2－e ＋1)＝e 2－e ＋1，∴a ＝1，b ＝－1.(2)f (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x ，设g (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x －x 2，(x ≥0)，g ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)－x ， (g ′(x ))′＝2ln(x ＋1)＋1＞0，∴g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )≥g ′(0)＝0，∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (0)＝0.∴f (x )≥x 2.(3)设h (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x －mx 2，h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋x －2mx ， 由(2)中知(x ＋1)2ln(x ＋1)≥x 2＋x ＝x (x ＋1)， ∴(x ＋1)ln(x ＋1)≥x ， ∴h ′(x )≥3x －2mx ，①当3－2m ≥0即m ≤32时，h ′(x )≥0，∴h (x )在[0，＋∞)单调递增，∴h (x )≥h (0)＝0，成立.②当3－2m ＜0即m ＞32时，h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(1－2m )x ，h ′′(x )＝2ln(x ＋1)＋3－2m ，令h ′′(x )＝0，得x 0＝e 2m －32－1＞0，当x ∈[0，x 0)时，h ′(x )＜h ′(0)＝0，∴h (x )在[0，x 0)上单调递减， ∴h (x )＜h (0)＝0，不成立. 综上，m ≤32.。