谢科安正方形专题讲座下
(谢科安)2018年8月5日讲座讲稿(有关抛物线的一些性质)
追根溯源之抛物线四川达州谢科安相当长一段时间，各大群出现了怪题怪解：将固有结论嵌入到题设中（又不作提示）构成“难题”。
这些题让人一时难以下手，有些解法悄然用了相关结论，以致于我们百思不得其解。
正所谓“城门失火，殃及池鱼”，二次函数题也不例外，受到了很大影响。
本专题就是要追根溯源，把关于抛物线的相关结论晒给大家，并引导大家理清结论的来由，从而认清那些“难题”的真面目及命题者的“大法本质”。
可以用这些“题根”命制新题还是不错的，但是要做好引导，让学生更好地思考并解答问题。
要得到这些结论，不得不提“平移思想”。
有时候根据函数图像的定性，利用平移手段，很容易解决一些看似复杂的问题。
当以下问题穿插在一些综合题里面的时候，我们就可以采用平移的方式来处理，将抛物线顶点移动至原点处，以便减少运算量。
解决此类问题，着重用设参消参来处理。
问题一：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，连接AO ，并过点A 作AO 的垂线与y 轴相交于点B ，再过点B 作y 轴的垂线，与此抛物线相交于点C 、点D .求证：AB=CB=DB .证明：辅助线如图所示，不妨令A (-m ，am 2)，则BE =a EO AE 12=.从而，a BOBO BE AB =∙=2.又a BODB CB ==22，故AB=CB=DB .练习题：已知，如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴交于点A 、点B ，点A 在点B 左侧，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线的对称轴于点E ，点F 在此对称轴左侧的抛物线上，且∠EFD =90°.求点F 的坐标.问题二：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且AB 平行于x 轴.点C 在此抛物线上，且满足∠ACB =90°，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D .求证：aCD 1=.证明：不妨令AB=2m ，AD =n ，则C (n-m ，a (m-n )2)，A (-m ，am 2).从而，CD =am 2-a (m-n )2=an (2m-n ).又CD 2=BD AD ∙=n (2m-n ).由以上两式相除，得aCD 1=.练习题：已知，如图，抛物线y =x 2-1交x 轴于点A 、点B ，直线y =a (a ＞0)交抛物线于点C 、点D ，点E 在此抛物线上，且∠CED =90°，点E 到CD 的距离是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.结合问题一和问题二，你发现了什么？已知，如图，抛物线2ax y ，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且位于y 轴同侧，过点A 作y 轴的垂线，垂足为C .(1)若AC=BC ，求证：∠CBO =90°；(2)若∠CBO =90°，求证：AC=BC .问题三：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C .在y 轴负半轴上一点D ，满足∠ADC =∠BDC .求证：CO =DO .证明：不妨令A (x 1，ax 12)，B(x 2，ax 22)，D (0，b )，则bax x b ax x-=--222211，即b x ax =21.试问：这一步怎么来？及AB ：2121)(x ax x x x a y -+=，即C (0，-b ).故CO=DO .练习题1：已知，抛物线y =52x 2+1433顶点为D ，直线l 交抛物线于点A 、点B ，交y 轴于点C .若∠AOC =∠BOC ，求证：直线l 过定点.练习题2：2011年武汉市中考数学压轴题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A (－3，0)，B (－1，0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M ，直线y ＝－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现在将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD (含端点C )只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0，3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E 、F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.A BCOx yDM 图1Q EO x y F图2问题四：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，过点A 的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于点C .求证：AC=BC .证明：令AB ：y=kx+b ，联立抛物线2ax y =，得一元二次方程ax 2-kx -b =0有两个相等的实数根，即此方程的判别式△=k 2+4ab =0，且此实数根为a k 2=kb 2-，即点A 的坐标为(kb 2-，-b ).又B (0，b )，故AC=BC .变式：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，过点A 的直线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于点C .若AC=BC ，试说明直线AB 与抛物线的位置关系.点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，a )，AB 不与x 轴平行.又点D 在y 轴上，且AD=BD .求证：AB =2CD .证明：不妨令AB ：y=kx+a ，与抛物线241x ay =联立，得x 2-4kax -4a 2=0，即ka x x B A 4=+，24a x x B A -=∙，故a a k y y B A 242+=+，2a y y B A =∙，及AB =∆∙+12k =4a (k 2+1).令D (0，D y )，由AD=BD ，得))(()(4)(22222B A B A B A B A B A B A D y y y y y y a y y x x y y y -++-=-+-=-，即a a k y D 322+=，故CD =2a (k 2+1)，所以，AB =2CD .练习题：已知，如图，抛物线241x y =+1，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，2)，AB 不与x 轴平行.又点D 在y 轴上，且AD=BD .求证：AB =2CD .点，且在y 轴同侧，连接AB 并延长交y 轴于点C (0，-a )，分别过点A 、点B 作y 轴的垂线，垂足分别为点D 、点E .求证：a CE CD 111=+.证明：不妨令AB ：y=kx-a ，与抛物线241x ay =联立，得x 2-4kax +4a 2=0，即ka x x B A 4=+，24a x x B A =∙，从而，a a k a x x k y y y y B A B A E D 242)(2-=-+=+=+，2222161a x x ay y y y B A B A E D =∙∙=∙=∙.故aa y y a y y a y y a y a y CE CD E D E D E D E D 1)(211112=+++∙++=+++=+.练习题：已知，如图，抛物线2--412x x y =与直线y=kx -2k -4相交于点A 、点B ，过点C (2，-4)作y 轴的平行线，再分别过点A 、点B 作此平行线的垂线，垂足分别为点D 、点E .问：CECD 11+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.问题七：已知，A、B、C、D均是抛物线y=ax2+bx+c上的点，且CD∥AB，E、F在CD上，且AE∥BF∥抛物线对称轴.求证：CE=DF.证明：将抛物线的顶点移动至原点处，则抛物线解析式变为y=ax2.令直线AB的解析式为y=kx+b1，并与抛物线y=ax2联立，得x A+x B=a k，令直线CD的解析式为y=kx+b2，并与抛物线y=ax2联立，得x C+x D=a k，故x A+x B=x C+x D，即CE=DF.变式：已知，A 、B 、C 、D 均是抛物线y=ax 2+bx+c 上的点，且E 、F 在CD 上，且AE ∥BF ∥抛物线对称轴.若CE=DF ，求证：四边形ABFE 是平行四边形.练习题1：已知，如图，抛物线2ax y ，其中a ＞0.点A 、点B 、点C 均是此抛物线上的点(如图所示)，且BC ∥OA ，BC 与y 轴相交于点D .求证：BC-OA =2BD .练习题2：2018年益阳市中考数学压轴题如图，抛物线y＝12x2－32x－n(n＞0)与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点点C．(1)如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；(2)如图1，在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上．若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E．若AE∶ED＝1∶4，求n的值．yB A OC图1yBA OCED图2问题八：已知，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C ，且∠AOB =90°.若△AOB 的面积为S ，求证：(1)CO =a1；(2)直线AB 的解析式为ax a y 11S 224+∙-±=.证明：令A (x 1，ax 12)，B (x 2，ax 22)，则a 2x 1x 2=-1，AB ：y =a (x 1+x 2)x -ax 1x 2，即C (0，a1)，故ax x 1)(21S 12∙-=，x 2-x 1=2a S ，及x 1x 2=21a -，故a (x 1+x 2)=1S 24)(2421221-±=+-±a x x x x a ，从而，AB ：ax a y 11S 224+∙-±=.练习题1：已知，直线y=kx-2与抛物线y=ax 2(a ＜0)交于点A 、点B ，连接AO 、BO ，若∠AOB =90°，则a 的值为.变式：已知，如图，直线y=kx-k 与抛物线y=ax 2-2ax +a +2(a ＜0)交于点A 、点B ，C 为此抛物线的顶点，连接CA 、CB ，若CA ⊥CB ，则a 的值为.练习题2：已知，抛物线221x y ，点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，且∠AOB =90°.若△AOB 的面积为17，求直线AB 的解析式.问题九：已知，如图，抛物线241x ay =，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，a ).请证明以下结论：(1)24a x x B A -=∙；(2)2a y y B A =∙；(3)θ2sin aAB =，其中θ是直线AB 与x 轴的夹角度数；(4)aBC AC 111=+；(5)△AOB 的面积为θsin 22a ，其中θ是直线AB 与x 轴的夹角度数；(6)△AOB 的面积的平方为3a AB ∙.练习题1：已知，抛物线2--412x x y =与直线y=kx -2k -2相交于点A 、点B .(1)求B A x x ∙和B A y y ∙的值；(2)若点C 的坐标为(2，-2)，求BCAC 11+的值；(3)AB 的长度和△AOB 的面积(用含k 的式子表示).已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝54x ＋m 与x 轴交于点A (－3，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c经过A 、C 两点，与x 轴的正半轴交于点B ．(1)求m 的值及抛物线的函数表达式；(2)设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于F ．是否存在这样的点E ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探究1212M P M PM M 是否为定值，并写出探究过程．O A B xyCx ＝1已知，如图，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、C(0，54)两点，与x轴正半轴交于点B，对称轴为直线x＝2．(1)求抛物线C1的函数表达式；(2)设点D(0，2512)，若F是抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试探究1M1F＋1M2F是否为定值，请说明理由；(3)将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y＝－14(x－h)2，其中h＞1．若当1＜x≤m时，y≥－x恒成立，试求m的最大值．线与抛物线只有一个交点B ，且与y 轴相交于点C .求证：AB=AC .证明：令B (x B ，y B )，则AB =a x aB +241.由问题四可知y C +y B =0，即AC =a x aB +241，故AB=AC .变式1：已知，如图，抛物线241x ay =，其中a ＞0.点A 的坐标为(0，a )，点B 是此抛物线上一点，点C 是y 轴负半轴上一点.若AB=AC ，试判断直线BC 与此抛物线的位置关系.是此抛物线上一点，点C是y轴正半轴上一点且AB=AC，过点B作BC的垂线，试判断此直线与抛物线的位置关系.问题十一：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 在抛物线内部，过点A 作x 轴的垂线，与此抛物线相交于点B ，垂足为点C .若∠BOC=∠BAO ，求点A 的轨迹.解：令B (m ，am 2)，则OC=m ，BC=am 2.易知，△BCO ∽△OCA ，即aBC OC AC 12==，故点A 的轨迹为ay 1=.练习题：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 在抛物线内部，且点A 的纵坐标为a1，过点A 作x 轴的垂线，与此抛物线相交于点B ，垂足为点C .求证：∠BOC=∠BAO .问题十二：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C .过点B 作x 轴的垂线，垂足为点D ，并与AO 的延长线交于点E .求证：DE=CO .证明：构造如图所示辅助线.令A (x 1，ax 12)，B (x 2，ax 22)，则AB ：y =a (x 1+x 2)x -ax 1x 2，即C (0，-ax 1x 2)，1ax DO CO -=.又1ax OF AF -=，故OF AF DO CO =，即△COD ∽△AFO .从而，AE ∥CD ，即四边形CODE 是平行四边形，故DE=CO .练习题：已知，如图，抛物线241x y =，直线AB ：y=kx +2与抛物线相交于点A 、点B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点C ，并与AO 的延长线交于点D .求CD .问题十三：已知，如图，抛物线241x py =.过点A (0，p )作x 轴的平行线与此抛物线相交于点B ，点C 位于点O 与点B 之间的抛物线上，再过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为点D .若∠E =∠CAB ，求证：△BDE 的周长为定值.证明：令p=a 2，易知，B (2a 2，a 2).令C (2ka ，k 2)，则D (2ka ，a 2)，即AD =2ka ，CD =a 2-k 2，BD =2a (a-k )，故AC =a 2+k 2，即△CDA 的周长为2a (a+k ).又△BDE ∽△CDA ，即△BDE 的周长=∙CD BD △CDA 的周长=p a k a a ka k a a 44)(2)(2222==+∙--，故△BDE 的周长为定值.注：用巧设减轻计算量，以达事半功倍之效.练习题1：已知，如图，抛物线241x y ，过点A (0，1)作x 轴的平行线与此抛物线相交于点B ，点C 位于点O 与点B 之间的抛物线上，再过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为点D .若∠E =∠CAB ，求△BDE 的周长.练习题2：2015年武汉市中考数学压轴题已知，抛物线y ＝12x 2＋c 与x 轴交于点A (－1，0)、点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E (m ，n )是第二象限内一点，过点E 作EF ⊥x 轴交抛物线于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接CE ，CF ．若∠CEF ＝∠CFG ，求n 的值并直接写出m 的取值范围(利用图1完成你的探宄)；(3)如图2，点P 是线段OB 上一动点(不包括点O ，B )，PM ⊥x 轴交抛物线于点M ，∠OBQ ＝∠OMP ，BQ 交直线PM 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，求△PBQ 的周长．。
2021年人教版八年级数学下册第十八章《18.2.3正方形的性质》公开课课件
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
正方形（1）
正方形（1）
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形（1）
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
C、EF＜FD D、无法确定
F
B
C
正方形（1）
4.如图：在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE， 连接BE，则∠AEB为 15°．
B
A
E
C
D
正方形（1）
练习：
5、如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB
上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，
则PE+PF= 5 ． A
D
E
P
O
F
B
C
正方形（1）
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
正方形（1）
探究：正方形有什么性质，请同学们归纳、总结？ 归纳：正方形的性质
1、边： 对边平行，四条边相等； 2、角： 四个角都是直角； 3、对角线：对角线互相垂直、平分且相等，
每一条对角线平每一组对角； 4、对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形；
正方形（1）
正方形是轴对 称图形，它的 对称轴是什么？
AB=BC’，得到的图形是什么图形？再改变∠B的大小， 使∠B=90°，得到的图形是什么图形？
A
D一组邻边
平行四边形 相等
AA
D’ D’ D
正菱方形形
B
C
一个角是 直角
BB
CC’’ C
八年级数学下册第一部分基础知识篇第11课正方形C组冲击金牌课件新版浙教版
OB OC，BAC BOC 90
B, A,O, C四点共圆，ABO ACO.
∵在△BAO和△CGO中，BA CG，ABO ACO，OB OC，
△BAO ≌△CGO，
OA OG 6 2，AOB COG.
∵BOC COG BOG 90， AOG AOB BOG 90，
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如
果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，
完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，
一二
AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=AC，E是BC上一点， 读联
且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.
得：CE CF，BE DF，BCE DCF ∵ECG 45，BCD 90，即BCE ECG DCG 90∵ECG 45，
BCE 45 DCG 90
即BCE DCG 45∵BCE DCFDCF DCG 45，FCG 45 ECG FCG。又CE CF，CG CG，△CEF △CFG（SAS）GE GF
后求解。
解题技巧 G
2.如图，以Rt△BCA的斜边BC为一边在
△BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形
的中心为O，连接AO，如果AB=4，
AO= 6 2 ，那么AC的长为（ ）
一二四三
A.12 B.16 C.4 D.8
解： 在AC上截取CG AB 4，连接OG，
读联悟解
∵四边形BCEF是正方形，BAC 90，
2019/5/25
(2024年)幼儿园中班科学《认识正方形》优质课件pptx
激发幼儿的想象力和创造力，同时加深对正方形在生活中的应用的了解。
25
06
总结回顾与拓展延伸
2024/3/26
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关键知识点总结回顾
正方形的定义和性质
正方形的对称性
正方形是四边等长且四个角都是直角 的四边形。
正方形具有轴对称和中心对称的性质。
正方形与长方形的区别
长方形对边相等，但四边不一定等长； 正方形四边等长。
2024/3/26
13
校园内环境观察
01
02
03
花坛和草坪
校园内的花坛或草坪可能 呈正方形，可以让孩子们 观察它们的边界和形状。
2024/3/26
游乐设施
一些游乐设施，如正方形 跳房子图案，也可以让孩 子们了解正方形。
校园建筑
一些校园建筑可能有正方 形的窗户、门或其他设计 元素，可以让孩子们寻找 并观察。
2024/3/26
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课程背景及意义
课程背景
正方形是几何学中的基础图形，对于幼儿来说，认识和了解正方形不仅有助于 培养他们的形状认知能力，还能为日后学习更复杂的几何知识打下基础。
意义
通过本课程的学习，幼儿能够掌握正方形的基本特征，如四条边等长、四个角 都是直角等，从而培养他们的观察、比较和归纳能力。
游戏意义
培养幼儿的动手能力和创造力，同时加深对正方形组合变化的认识。
2024/3/26
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“画画”游戏——创意绘制以正方形为主题的画作
游戏介绍
提供绘画材料和纸张，让幼儿以正方形为主题进行创意绘画。
2024/3/26
游戏规则
教师引导幼儿想象以正方形为基础的各种形象，如房子、窗户、田地等，并提供绘画材料供 幼儿自由创作。幼儿可独立完成或与同伴合作完成画作，完成后可互相欣赏和交流。
(谢科安)正方形专题讲座(下) 可下载 可修改 优质文档
（1）求证:2PA２＝PB２＋PD２,2AQ２＝BQ２＋DQ２；
（2） BP＝BE＋BA， DQ＝DA＋DG；
（3）CE= PD，CG= BQ；
（4）GE－GC=2GH；
（5）GE＋GC=2CH；
（6）PE2－PG2=EG·GC；
（7）S四PQEG=S⊿APQ；
（8）如果N是EG的中点，求证：△QNP是等腰直角三角形；
（9）过P、Q分别做AD、AB的平行线交于点R，连接AR，求证：AR⊥EG，AR=PR=QR；
（10）若∠BAE=15°，则GP＋GC=GE；
（11）已知正方形边长为a，令BE=x，BDG=y，请问x、y之间有何数量关系；
（12）设DP=x，求S矩PHCF=f(x)；
（13）已知正方形边长为a，求S△EGC的最大值；
（14）已知正方形边长为a，设DG=x，求S⊿AEG=f(x)；
（15）求BP·DQ的值；附：设BP=x，DQ=y，求y=f(x)；
（16）若S△ABE=6，O为BD上动点，求OG＋OC的最小值；
（17）点X在BC上，点Y在AB上，若S△ABE=6，求折线GX＋XY＋YG的最小值。
,
已知，正方形ABCD，AB=x，如图， EAF＝45°，如果AN⊥EG，
（1）求∠BAE；
（2）求PF和PD；
（3）求 和 的值；
（4）求证：AM=2PN；
（5）求PQ＋PN的值；
（6）求EM：PG的值；
（7）求AG·PG和AE－PM的值；
（8）求AM·AN＋EM·EP的值；
（9）求AE·AP＋PN·EN的值；
求y关于x的函数关系式；
3、如图，在正方形ABCD中，被两条与边平行的线段EH、GF分割成四个小矩形，P是EH与GF的交点，若矩形PECF的面积恰是矩形AGPH的2倍，试确定∠FAE的大小。
2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册19.3.3 正方形 第2课时课件(共15张PPT)
∴BE=AF=AE.
∴四边形AFBE为平行四边形,
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEA=90°，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴BE∥AF，
∴四边形AFBE是正方形．
【当堂检测】
3.如图，在四边形ABCD中，点G在BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分 ∠GCD，过点D作DE⊥CE于点E，DF⊥CF于点F. （1）求证：四边形DECF是矩形；
分析：由垂直的定义得出∠DEC=∠DFC=90°，由角平
分线和平角的定义得∠ECF=90°，即可证明四边形
DECF是矩形.
证明：（1）∵DE⊥CE，DF⊥CF， ∴∠DEC=∠DFC=90°，
∴∠DCE+∠DCF= 1 （∠BCD+∠DCG）=90°，
2
∵CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，
即∠ECF=90°，
3.正方形既是矩形，也是菱形，同时也是特殊的平行四边形.
【当堂检测】
1.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，下列可以判定四边形是
正方形的是（ D ）
A.∠D=90°
B.AB=CD
C.AC=BD
D.BC=CD
分析：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，能使这个四边形是正方 形的是邻边相等，即BC=CD.
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形.
第十九章 四边形 19.3.3 矩形、菱形、正方形
第2课时
一、学习目标
1.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形 之间的联系和区分 2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证
沪科初中数学八年级下册《19.3.3正方形》课件2
点O是边长为2的正方形ABCD对角
线AC与BD的交点，则两R
正方形重合部分的
面积是
A DQ
O
B
CP
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正方形是特殊的矩形
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正方形的概念： 有__一_组__邻_边__相_等_且__有_一__个_角__是_直__角_的__ _______ 的平行四边形是正定义 方形．
_有__一_个__角__是__直__角___的菱形是正方 形 _有__一__组_邻__边__相__等_____的矩形是正方形
19．3．3正方形
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创设情景一
菱形
有一个角是
直角
正方形
正方形
正方形是特殊的菱形
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情景二
A
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
D
A
D
B
C
B
C
问题：
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形 ？
当CD移动到C D 位置，此时AD ＝AB，四 边形ABCD还是矩形吗？
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1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( B ) 2. A、四个角相等． 3. B、对角线互相垂直平分． 4. C、对角互补． 5. D、对角线相等．
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D） A、四条边相等． B、对角线互相垂直平分． C、对角线平分一组对角． D、对角线最相新初等中数．学精品课件设计
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四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
四边形 平行四边形
矩形
正 方 菱形
形
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正方形的性质：
最新冀教版八年级数学下册22.6正方形公开课优质PPT课件(3)
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交 于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可 使平行四边形ABCD成为正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
A
D
A
D
O
O
B
C
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
B
C
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。
数学八年级 (下册)
22.6
正方形
请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形。
-------正方形
正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形（spuare）。
大
家
正方形 矩形
谈
谈
实验与观察一：折叠矩形纸片
正方形 菱形
实验与观察二：转动菱形模型
①、正方形既是邻边相等的特殊矩形，又 是有一个角是直角的特殊菱形。
2、以《完美的正方形 》为题写 一篇１００字左右的小文章，谈 谈你对正方形的认识，题材不限 .
谢谢指导！
②、正方形既具有矩形的性质有 具有菱形的性质。
思考： 正方形的对称中心在哪
里？对称轴有几条，各在 什么位置？
图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形
对边平行且相 等
四边都相等
四个角都是直 角
对角线互相平 分
对角线互相垂 直
对角线相等
对角线平分每一 组对角
中心对称
矩形பைடு நூலகம்
菱形
正方形
正方形的性质
平行四边形
陕西省石泉县池河中学人教版八年级数学下册18.2.3正方形(教案)
2.教学难点
-正方形性质的推理与证明：理解并掌握正方形性质之间的逻辑关系，能够进行简单的证明。
-难点解析：学生对几何证明的逻辑推理能力较弱，需要通过具体示例和图示，逐步引导学生理解证明过程。
-举例：证明正方形对角线互相垂直平分。
-正方形判定方法的灵活运用：能够将判定方法应用于不同类型的几何题目中。
-难点解析：学生在应用判定方法时可能会出现混淆，需要通过多种题型和例题，帮助学生掌握判定方法的适用场景。
-举例：在复杂图形中识别出正方形，并说明判定依据。
-实际问题中的正方形应用：将正方形的性质和计算方法应用于解决实际问题。
-难点解析：学生可能难以将理论知识与实际情境联系起来，需要通过生活实例，指导学生如何将正方形知识应用于解决问题。
-举例：计算给定正方形地毯的面积，或计算正方形花坛的周长。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正方形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过正方形的情况？”比如，我们教室地面的瓷砖就是正方形的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形的奥秘。
3.正方形的周长与面积计算。
4.正方形与矩形、菱形的联系与区别。
5.实际问题中的应用：利用正方形的性质解决相关问题。
本节课将结合教材内容，通过讲解、示例、练习等形式，帮助学生掌握正方形的性质、判定方法及计算，提高学生的几何图形识别和应用能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念，通过正方形的性质学习，提高学生对平面几何图形的认知和理解能力。
【最新】湘教版八年级数学下册第二章《正方形》公开课课件1.ppt
说一说
观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边 形是正方形？
也可以先判定四边形是 菱形，再判定这个菱形有一 个角是直角.
可以先判定四边形 是矩形，再判定这个矩 形有一组邻边相等.
例2 如图2-60， 已知点A′，B′， C′， D′分别是正方形
ABCD 四条边上的点， 并且AA′= BB′= CC′= DD′.
在Rt△ECN中，
由勾股定理得EN2=CN2+CE2，
即(8-x)2=x2+42，
解得x=3，故选A.
x
中考 试题
例2
如图，ABCD是正方形，点G是BC上 的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE， 交AG于F. 求证：AF=BF+EF.
解析 ∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°. ∵ DE⊥AG，∴ ∠DEG=∠AED=90°. ∴ ∠ADE+∠DAE=90°. 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴ ∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE， ∴ ∠AFB=∠DEG=∠AED.
求证：四边形
是正方形.
A'B'C'D'
图2-60
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB = BC = CD = DA.
又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′， ∴ D′A = A′B = B′C = C′D.
又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， ∴ △AA′D′≌△BB′A′ ≌△CC′B′≌△DD′C′.
图2-60
∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′. ∴ 四边形 A'B'C'D'是菱形. 又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°， ∴ ∠2 +∠3 = 90°.
谢科安正方形专题讲座下
谢科安正方形专题讲座下TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】已知，在正方形A B C D中，边长为a如图， E A G＝45°，（1）求证:2PA２＝PB２＋PD２,2AQ２＝BQ２＋DQ２；（2）2BP＝BE＋BA，2DQ＝DA＋DG；（3）CE=2PD，CG=2BQ；（4）GE－GC=2GH；（5）GE＋GC=2CH；（6）PE2－PG2=EG·GC；（7）S四PQEG =S⊿APQ；（8）如果N是EG的中点，求证：△QNP是等腰直角三角形；（9）过P、Q分别做AD、AB的平行线交于点R，连接AR，求证：AR ⊥EG，AR=PR=QR；（10）若∠BAE=15°，则GP＋GC=GE；（11）已知正方形边长为a，令BE=x，BDG=y，请问x、y之间有何数量关系；（12）设DP=x，求S矩PHCF=f(x)；（13）已知正方形边长为a，求S△EGC的最大值；（14）已知正方形边长为a，设DG=x，求S⊿AEG=f(x)；（15）求BP·DQ的值；附：设BP=x，DQ=y，求y=f(x)；（16）若S△ABE=6，O为BD上动点，求OG＋OC的最小值；（17）点X在BC上，点Y在AB上，若S△ABE=6，求折线GX＋XY＋YG的最小值。
,已知，正方形ABCD ，AB =x ，如图，∠EAF ＝45°，如果AN ⊥EG ，（1）求∠BAE ；（2）求PF 和PD ；（3）求A E B M 和P Q E G 的值； （4）求证：AM =2PN ；（5）求PQ ＋PN 的值；（6）求EM ：PG 的值；（7）求AG ·PG 和AE －PM 的值；（8）求AM ·AN ＋EM ·EP 的值；（9）求AE ·AP ＋PN ·EN 的值；（10）求证：EG 2=4·AN ·MN ；（11）求证：NA －NE =2NP ； （12）求证：P G P E M N N G B E B C N A N E P C N P B P P N+++-===。
课件 5.3.2正方形(2)【慕联】初中完全同步系列浙教版数学八年级下册
02
会运用正方形的性质定理解决一些有关正方形 的论证和计算等问题.
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形同 时具有矩形和菱形的所有性质，于是就有以下定理：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对 角线平分一组对角.
做一做
已知：如图，在正方形ABCD中。G是对角线BD上的一点，GE⊥CD， GF⊥BC，E,F分别为垂足，连结AG,EF.求证：AG=EF.
对角相等 邻角互补
四个角 都是直角
对角线相等 轴对称图形 且互相平分 中心对称图形
对角线互相垂 直平分，每条 对角线平分一 组对角
轴对称图形 中心对称图形
对角线互相垂 直平分且相等 每条对角线平 分一组对角
轴对称图形 中心对称图形
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题 测试，假如达到90分以上，就说明你 已经很好的掌握了这节课的内容，有 关情况将记录在你的学习记录上，亲 爱的同学再见！
∵ 四边形ABCD是正方形.
∴ AD∥BE.
A
D
1
∴ ∠1=∠3.
2
∵ ∠2=∠3
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠2=22.5°
B
C
3 E
做一做
3、如图，在正方形ABCD中，M是正方形内一点，且 MC=MD=AD.求∠BAM的度数.
∵ 四边形ABCD是正方形， A
D
MC=MD=AD.
∴ △MCD是正三角形.
∴ 四边形FCEG是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴ EF=CG（矩形的两条对角线相等），
∴ AG=EF.
做一做
1、正方形具有而菱形不一定有的性质是（ D ）
八年级数学下册 第一部分 基础知识篇 第11课 正方形(A组)夯实基础课件
一四二三
解： 根据正方形面积(miàn jī)等于其对角线乘积的一半可得,
读悟画解
1ACEF50, 且由正方形两条对角线相等(xiāngděng)得
2A C E, F1A2C 5， 0A C 1， 0
2
由菱形面积等于对角线乘积的一半得,
1ACBD120，
2
则BD=24,在Rt△OAB中, O A 1A C 5,O B 1B D 1,2
解题技巧
第11课 正方形
组 夯实 基础 A
(hānɡ shí)
第一页，共十二页。
解题技巧
D 1.下列判断(pànduàn)错误的是（ ）
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形(jǔxíng)
C.四条边都相等的四边形是菱形
一二四三
D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
关系的三 得 角 第 形 二 的 G 点 次 ,在 相 D 碰 上 A ,且 似 D 撞 可 G 1点 D,A 为
F找运出动关系。
第H 三 ,在 D 上 ,且 次 C D 1 D H 为 ,第 CM 四 ,在 C 上 ,且 次 B C 6 1 M B 为 , C
3
3
第五 N ,在 D 次 上 ,A 且 A 为 1 N A ,第 D 六 E 点 ,A 次 1 E A 回 . B到
A.3
B.4
C.5
D.6
解： ∵四边形ABCD是边长为9的正方形,
∴BC=CD=9且∠C=90°. ∵BE:EC=2:1,BE+EC=BC=9,
EC1BC3. 3
由折叠(zhédié)的性质可得EH=DH=CD-CH=9-CH.
）B
一二四三 读联悟解
湘教版八年级数学下册第二章《正方形》公开课课件
（1）画一个正方形，使它的边长为2cm，并且求它的对角线. （2）画一个正方形，使它的对角线长为2cm ，并且求它的边长．
1.已知正方形的一条边长为1cm，求它的对角线长．
解：
已知：正方形ABCD
则： AB＝BC＝1
D
C
AC2 AB2 BC2
A
B
AC AB2 BC2
AC 12 12 2
答：∠CAB为45°
D
C
(1) 因为△ABC为等腰直角三角形
∴ ∠CAB+∠BCA＝90°
1
CAB 90 45
A
2
B
(2) ∵ 正方形每一条对角线平分一组对角
1
1
CAB A 90 45
2
2
矩形
有一个角是直角
正方形
一组邻边相等
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角
正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角． 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点 的直线都是它的对称轴.
如图，正方形ABCD被它的两条对角线AC，BD分成了四个三角形， 它们是什么样的特殊三角形？它们全等吗？
由于正方形的对角线相等， 且互相垂直平分，因此 从而△OAB，△OBC， △OCD，△ODA都是等腰直 角三角形，并且它们彼此全 等（SAS）
D
C
O
A
B
你能利用“正方形的两条对角线所在的直线都是它的对 称轴”，说明图中的四个三角形全等吗？
2 答：正方形的对角线为
cm
1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 3:39:44 PM 3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 4、智力教育就是要扩大人的求知范围 5、最有价值的知识是关于方法的知识。 6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
广东省肇庆市高要区金利镇八年级数学下册18.2.3正方形(第1课时)教案新人教版
正方形教学内容人教版八年级下册(课题）正方形的性质教学目标（一）知识与技能：了解正方形与平行四边形的关系;认识正方形的特征（二)数学思考：经历探索正方形有关性质的过程,再观察中寻找新知（三)问题解决：会用正方形的性质解决一些实际问题(四)情感态度：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值教学重点：熟练掌握正方形的性质教学难点:利用正方形的性质解决实际问题教具准备：多媒体课件教学时数：2课时教学过程：第 1 课时一、基本训练激趣导入想一想1．矩形的定义：2．菱形的定义：3．通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形？二、提出目标指导自学1．正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角2．试用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形来．3．通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形？4．你再想想，具备什么条件的菱形是正方形？5．通过1、3、4我们发现:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2)有一个角是直角的平行四边形（矩形）三、合作学习引导发现6。
性质(几何语言）平行四边形矩形菱形正方形图形DCBA DCBA DCBADCBA边AB∥DC，AD∥AB=DC，AD BC AB∥，AD∥AB=DC，AD BCAB∥ ,AD∥______________AB===AB∥，AD∥______________AB===角_____A∠=∠______D∠=∠____________90A∠=∠=∠=∠=︒_____A∠=∠_____D∠=∠____________90A∠=∠=∠=∠=︒对角线1(1)________2AO==1______2BO==(1)______AC=1(2)________21________2AOBO=====（1)____AC BD(2）1__________2AO==1______________2BO==（3)一条对角线平分一组对角(1)____AC BD1(2)_____21_______2AOOB=====(3）(同菱形）7.矩形，菱形，正方形都是的平行四边形。
专题 正方体截面的探究(课件)2021-2022学年高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
第三章：教学过程
【设计意图】启发学生从截面多边形的边数、边界线的长度、 边界线的位置关系来研究截面的性质.让学生经历“确定对象— —探究性质——论证判断”的研究过程，学会研究数学问题的基 本方法和常规思路，加深对截面实质的理解，培养学生发现问 题、分类讨论、作图表达、推理论证的能力，积累从具体到抽 象的数学探究活动经验.
讲述内容
“正方体截面的探究”是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修 订）》附录中的数学探究活动案例11.此案例让学生在熟悉的正方体中，全 面准确地认识一个空间几何体.
教学作用
通过教师精心设计问题串，引导学生有目的地分组开展探究活 动，提高学生参与度.让学生经历选题、开题、做题、结题四个 环节，积累数学探究的经验.
设计意图：数学源于生活，生活中处处有数学，截面是很多现实问题的载体. 在日常的生 产和生活中寻找截面，能激发学生的好奇心和求知欲.让学生在教材中寻找截面，既能回 顾相关的数学知识，又能认识到截面问题不是陌生的，加强学生的直观感知能力.从现实 生活和高中数学的学习，认识到研究截面问题的必要性，同时让学生体会用一个平面去截 空间几何体，形成截面问题，是空间问题平面化的一个比较常用的方法.
第三章：教学过程
设计意图：通过三个图形和老师的不断追问，让学生准确理解截面的定义，强化概念， 研究截面问题转化为研究交线问题，用线研究面，为后面的探究活动打下坚实的基础.
第三章：教学过程
设计意图：通过多种探究形式，培养学生的动手能力、创新能力；通过观察和汇总探究结果，培养学 生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力.
做中学
将从“现象到理性”的 “做中学”的思想贯穿
于整个探究活动中
信息技术
熟练应用当前的信 息处理手段，提高 数学探究的有效性
18.2.3+正方形+++课件++2023—2024学年人教版数学八年级下册
正方形
新知巩固
巩固练习
或
四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，添加下列哪个
条件 ∠ABC=9A0C°=BD ，可使四边形ABCD为正方形。
巩固练习
四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB，
请你添加一个条件
，使四边形ABCD
为正方形。
新知应用
如图，四边形ABCD是正方形 ，点E、F、M、N分别是正
人教版数学八年级下册
《正方形》第一课时
房梅花
课件说明
教学流程图
问题导入
请将下列图片分类。
四个角都是直的哪些内容？ 从哪些角度学习的呢？
学习内容 学习角度
对 判 性定 称 定 质义 性
边 角对 角
线
新知探究 正方形
性质
对称性
定义
判定
新知探究
请组长带领组员，动手操作几何画板上的图形， 探究正方形的定义和判定，并结合正方形EFGH，探 究正方形的性质和对称性。最后证明你的结论。
新知探究
新知归纳
∵ 四边形ABCD是正方形
性
质
∴ AB=BC=CD=AD
几
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
何
语
OA=OC OB=OD
言
AC⊥BD AC=BD
思考：图中有几个
AC平分∠BAD、∠BCD
等腰直角三角形？
BD平分∠ABC、∠ADC
新知归纳
判
∵ 四边形ABCD是菱形
定 几
布置作业
必做题——课本P59 第1、2、3题 选做题——练习册 第11、13题
感谢聆听
方形ABCD四条边上的点，且 AE=BF=CM=DN 。试判 断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论。
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已知,在正方形ABCD中,边长为a如图, EAG＝45°,
(1)求证:2PA２＝PB２＋PD２,2AQ２＝BQ２＋DQ２;
(2)2BP＝BE＋BA,2DQ＝DA＋DG;
(3)CE=2PD,CG=2BQ;
(4)GE－GC=2GH;
(5)GE＋GC=2CH;
(6)PE2－PG2=EG·GC;
(7)S四PQEG =S⊿APQ;
(8)如果N就是EG的中点,求证:△QNP就是等腰直角三角形;
(9)过P、Q分别做AD、AB的平行线交于点R,连接AR,求证:AR⊥EG,AR=PR=QR;
(10)若∠BAE=15°,则GP＋GC=GE;
(11)已知正方形边长为a,令BE=x,BDG=y,请问x、y之间有何数量关系;
(12)设DP=x,求S矩PHCF=f(x);
(13)已知正方形边长为a,求S△EGC的最大值;
(14)已知正方形边长为a,设DG=x,求S⊿AEG=f(x);
(15)求BP·DQ的值;附:设BP=x,DQ=y,求y=f(x);
(16)若S△ABE=6,O为BD上动点,求OG＋OC的最小值;
(17)点X在BC上,点Y在AB上,若S△ABE=6,求折线GX＋XY＋YG的最小值。
,
已知,正方形ABCD,AB=x,如图, EAF＝45°,如果AN⊥EG,
(1)求∠BAE ;
(2)求PF 与PD ;
(3)求A E B M 与P Q E G
的值; (4)求证:AM =2PN ;
(5)求PQ ＋PN 的值;
(6)求EM :PG 的值;
(7)求AG ·PG 与AE －PM 的值;
(8)求AM ·AN ＋EM ·EP 的值;
(9)求AE ·AP ＋PN ·EN 的值;
(10)求证:EG 2=4·AN ·MN ;
(11)求证:NA －NE =
2NP ; (12)求证:
P G P E M N N G B E B C N A N E P C N P B P P N
+++-===。
例题:
1、正方形ABCD中,BE=EF,FM⊥EF,
求证:AF+CM=FM;
2、正方形ABCD中,M为边AD上一动点
(不与A、D重合),作等腰梯形BMNC,其
中BM∥CN,BC=MN,AB=1,AM=x,CP=y,
求y关于x的函数关系式;
3、如图,在正方形ABCD中,被两条与边平行的线段EH、GF分割成四个小矩形,P就是EH与GF的交点,若矩形PECF的面积恰就是矩形AGPH 的2倍,试确定∠FAE的大小。
4、如图,E就是正方形ABCD边CD上一动点,BE的垂直平分线交对角线AC于点G,垂足为H,连接BG,并延长交AD于F,连接EF,若AC=a,则△DEF的周长为多少？
5、在正方形ABCD内部有两点E、F,∠EAF=∠ECF=45°,AB=1,求S△
ABE+S△ADF+S△EFC的值。