【名师原创】江苏省启东市2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题五 立体几何 第2讲 空间中的平行于垂直

④正确，因为 BC⊥平面 PAC. 2．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点． (1)证明：平面 ADC1B1⊥平面 A1BE； (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F∥平面 A1BE？并证明你的结论． (1)证明 如图，因为 ABCD－A1B1C1D1 为正方体，所以 B1C1⊥面 ABB1A1. 因为 A1B⊂面 ABB1A1，所以 B1C1⊥A1B. 又因为 A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以 A1B⊥面 ADC1B1. 因为 A1B⊂面 A1BE，所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE.
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真题感悟 1．(2014· 辽宁改编)已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示平面．下列说法正确的是________． ①若 m∥α，n∥α，则 m∥n；②若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n； ③若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α；④若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α. 答案 ② 解析 方法一 若 m∥α，n∥α，则 m，n 可能平行、相交或异面，①错； 若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，②正确； 若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α 或 n⊂α，③错； 若 m∥α，m⊥n，则 n 与 α 可能相交，可能平行，也可能 n⊂α，④错． 方法二 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，用平面 ABCD 表示 α. ①项中，若 m 为 A′B′，n 为 B′C′，满足 m∥α，n∥α， 但 m 与 n 是相交直线，故①错．②项中，m⊥α，n⊂α， ∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故②正确．③项中，若 m 为 AA′，n 为 AB， 满足 m⊥α，m⊥n，但 n⊂α，故③错．④项中，若 m 为 A′B′，n 为 B′C′， 满足 m∥α，m⊥n，但 n∥α，故④错． 2． (2014· 辽宁)如图， △ABC 和△BCD 所在平面互相垂直， 且 AB＝BC＝BD＝2， ∠ABC＝∠DBC＝120° ，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点． (1)求证：EF⊥平面 BCG； (2)求三棱锥 D－BCG 的体积． 1 附：锥体的体积公式 V＝ Sh，其中 S 为底面面积，h 为高． 3 (1)证明 由已知得△ABC≌△DBC，因此 AC＝DC.又 G 为 AD 的中点，所以 CG⊥AD. 同理 BG⊥AD，又 BG∩CG＝G，因此 AD⊥平面 BGC.又 EF∥AD，所以 EF⊥平面 BCG. (2)解 在平面 ABC 内，作 AO⊥BC，交 CB 的延长线于 O. 由平面 ABC⊥平面 BCD，知 AO⊥平面 BDC. 又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO＝AB· sin 60° ＝ 3， 1 1 1 3 1 所以 VD－BCG＝VG－BCD＝ S△DBC· h＝ × BD· BC· sin 120° · ＝ . 3 3 2 2 2 押题精练 1.如图，AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上(异于点 A，B)，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点．有以下四个命题： ①PA∥平面 MOB； ②MO∥平面 PAC； ③OC⊥平面 PAC； ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④ 解析 ①错误，PA⊂平面 MOB；②正确；③错误，否则，有 OC⊥AC，这与 BC⊥AC 矛盾；
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(1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 思维启迪 (1)利用平面 PAD⊥底面 ABCD 的性质，得线面垂直；(2)BE∥AD 易证；
(3)EF 是A 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA⊥底面 ABCD.
AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到 △A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图(2)． (1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q， 使 A1C⊥平面 DEQ？请说明理由． 思维启迪 折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以 证明 DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明 A1F⊥平面 BCDE；第(3)问取 A1B 的中 点 Q，再证明 A1C⊥平面 DEQ. (1)证明 因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点，所以 DE∥BC. 又因为 DE⊄平面 A1CB，BC⊂平面 A1CB，所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明 由图(1)得 AC⊥BC 且 DE∥BC，所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D，DE⊥CD.
②若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n，所以②正确；③若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α 或 n⊂α，所以③错误； ④若 n⊥α，n⊥β，则 β∥α，所以④正确．所以②④正确． 热点二 平行、垂直关系的证明 例2 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，
平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
1 ∵F 为 CD 的中点，∴GF∥DE 且 GF＝ DE.∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， 2 1 ∴AB∥DE，∴GF∥AB.又 AB＝ DE，∴GF＝AB.∴四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF∥BG. 2 ∵AF⊄平面 BCE，BG⊂平面 BCE，∴AF∥平面 BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD，∴DE⊥AF.又 CD∩DE＝D，∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面 CDE.∵BG⊂平面 BCE，∴平面 BCE⊥平面 CDE. 热点三 图形的折叠问题 例3 如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，D，E 分别为 AC，
(1)当 x＝2 时，求证：BD⊥EG； (2)当 x 变化时，求三棱锥 D－BCF 的体积 f(x)的函数式． (1)证明 作 DH⊥EF，垂足为 H，连结 BH，GH，因为平面 AEFD⊥平面 EBCF，交线为 EF， DH⊂平面 AEFD，所以 DH⊥平面 EBCF，又 EG⊂平面 EBCF，故 EG⊥DH. 1 因为 EH＝AD＝ BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90° ， 2 所以四边形 BGHE 为正方形，故 EG⊥BH. 又 BH，DH⊂平面 DBH，且 BH∩DH＝H，故 EG⊥平面 DBH.又 BD⊂平面 DBH，故 EG⊥BD. (2)解 因为 AE⊥EF，平面 AEFD⊥平面 EBCF，交线为 EF，AE⊂平面 AEFD，所以 AE⊥平面 EBCF.
专题五
立体几何
总序 13
第 2 讲 空间中的平行与垂直
考情解读
(1)以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对
命题的真假进行判断，属基础题．(2)以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交 汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．
②：如果是墙角出发的三个面就不符合题意； ③：α∩β＝m，若 a∥m 时，满足 a∥α，a∥β，但是 α∥β 不正确，所以填④. (2)因为直线 l 垂直于△ABC 的边 AB，AC，故直线 l 垂直于平面 ABC，故直线 l 垂直于边 BC， 但直线 l 垂直于边 BC，不一定得到直线 l 垂直于平面 ABC，故答案填写充分不必要． 思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各 种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、 棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 设 m、n 是不同的直线，α、β 是不同的平面，有以下四个命题： ①若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β；②若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n ③若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α；④若 n⊥α，n⊥β，则 β∥α 其中真命题的序号为________． 答案 ②④ 解析 ①若 α⊥β，m∥α，则 m 与 β 可以是直线与平面的所有关系，所以①错误；
热点一 空间线面位置关系的判定 例1 (1)设 a，b 表示直线，α，β，γ 表示不同的平面，则下列命题中正确的是________．
①若 a⊥α 且 a⊥b，则 b∥α；②若 γ⊥α 且 γ⊥β，则 α∥β ③若 a∥α 且 a∥β，则 α∥β；④若 γ∥α 且 γ∥β，则 α∥β (2)“直线 l 垂直于△ABC 的边 AB，AC”是“直线 l 垂直于△ABC 的边 BC”的________条件．(填“充要”、“充 分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”) 思维启迪 判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定． 答案 (1)④ (2)充分不必要 解析 (1)①：应该是 b∥α 或 b⊂α；
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所以 DE⊥平面 A1DC.而 A1F⊂平面 A1DC，所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD， 所以 A1F⊥平面 BCDE，又 BE⊂平面 BCDE，所以 A1F⊥BE. (3)解 线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下：
如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC，所以 DE∥PQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知，DE⊥平面 A1DC，所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C⊥平面 DEQ. 思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧
由(1)知，DH⊥平面 EBCF，故 AE∥DH，所以四边形 AEHD 是矩形，DH＝AE， 故以 B，F，C，D 为顶点的三棱锥 D－BCF 的高 DH＝AE＝x. 1 1 又 S△BCF＝ BC· BE＝ × 4× (4－x)＝8－2x， 2 2 1 1 1 2 8 所以三棱锥 D－BCF 的体积 f(x)＝ S△BFC· DH＝ S△BFC· AE＝ (8－2x)x＝－ x2＋ x(0<x<4)． 3 3 3 3 3