2021高考数学人教版一轮复习练习：第二章 第4节 幂函数与二次函数

多维层次练10

[A级基础巩固]

1．(多选题)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a的取值范围可以是()

A．(－∞，2] B．[2，3]

C．[3，＋∞) D．[－3，－2]

解析：f(x)图象的对称轴为x＝a，

若f(x)在(2，3)上单调递增，则a≤2，若f(x)在(2，3)上单调递减，则a≥3，

因此选项A、C、D满足．

答案：ACD

2．已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：p：由|m＋1|<1得－2

q：因为幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减．

所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.

所以p是q的必要不充分条件．

答案：B

3．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()

A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关

解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.

所以M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．答案：B

4．(2020·广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]是具有相同的单调性，则k的取值范围是()

A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)

C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析：易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．

依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，

所以抛物线的对称轴k

2≥1，所以k≥2.

答案：B

5．(多选题)已知定义在[1－a，2a－5]上的偶函数f(x)在[0，2a－5]上单调递增，则函数f(x)的解析式可能是()

A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝－a|x|

C．f(x)＝x a D．f(x)＝|x－a|

解析：因为函数f(x)是定义在[1－a，2a－5]上的偶函数，所以1－a＋2a－5＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的定义域是[－3，3]．研究的区间是[0，3]，从而能够得到A，C项对应的函数都满足在[0，3]上

是增函数，B 项f (x )＝－a |x |在[0，3]上是减函数，D 项不是偶函数，故选AC.

答案：AC

6．(2020·荆州质检)若对任意x ∈[a ，a ＋2]均有(3x ＋a )3≤8x 3，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．(－∞，0]

D ．[0，＋∞)

解析：因为y ＝x 3在R 上是增函数，

由(3x ＋a )3≤8x 3，得3x ＋a ≤2x ，即x ≤－a ，

所以∀x ∈[a ，a ＋2]时，x ≤－a 恒成立．

所以a ＋2≤－a ，因此a ≤－1.

答案：B

7．已知幂函数f (x )＝x a

的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则函数g (x )＝(x －1)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2上的最小值是________，最大值为________． 解析：由f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，12， 得2a ＝12

，知a ＝－1， 所以g (x )＝x －1x ＝1－1x 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2上单调递增， 所以g (x )min ＝1－2＝－1，g (x )max ＝g (2)＝12

. 答案：－1 12

8．已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12

，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________．

解析：设f (x )＝x a ，则4a

＝12，所以a ＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15

. 答案：15

9．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足10，则实数a 的取值范围为________．

解析：由题意得a >2x －2x 2对1

⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， 所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －2x 2max ＝12，所以a >12. 答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，＋∞ 10．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .

(1)求m 的值；

(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．

解：(1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，

当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.

(2)由(1)得，f (x )＝x 2，

当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，

当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，

即B ＝[2－k ，4－k )，

因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，

则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，

得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围是[0，1]．

[B 级 能力提升]

11.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图所示)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有

BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b

＝( )

A ．0

B ．1 C.12 D ．2

解析：因为BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，

所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫23，13，