高考数学一轮总复习 61数列的概念课后强化作业新人教B版(1)

合集下载

人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)

因为S1=a1=2,所以{Sn}是首项为2,公比为3的等比数列.
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .

高考数学总复习 6-1数列的概念课件新人教B版

点评：根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是唯一的．其中常用方法是观察法．观察 an 与 n 之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法．
(文)写出下列数列的一个通项公式： (1)1，85，175，294，…，an＝________. (2)－1，32，－13，34，－15，12，…，an＝________.
3 ．已知 {an} 的前 n 项和 Sn 求 an 时，用 an ＝
S1
n＝1，
Sn－Sn－1 n≥2.
求解应注意分类讨论．an＝Sn－Sn－1 是在
n≥2 条件下求出的，应检验 a1 是否适合．如果适合，则合写
在一块，如果不适合，则分段表示．
思想方法技巧
一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1．已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④ 综合写出项与项数的关系．
●命题趋势主要命题热点： 1．an 与 Sn 的关系 2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、求和公式． 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题．
4．数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何综合问题． 5．数列应用题． 6．探究性问题．
●备考指南 1．数列是一种特殊的函数，要善于利用函数的思想来解决数列问题． 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q)，常通过“设而不求，整体代入” 来简化运算．
(5)将数列统一为32，55，170，197，…，分子 3,5,7,9，…，是等差数列，通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，… 联想到数列 1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn ＝n2＋1，

2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】

『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列无穷数列
项数项数
有限无限
递增数列递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列与函数的关系数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；

2025版高考数学一轮总复习课时作业第六章数列6

6.1 数列的概念【巩固强化】1. 数列3，5，9，17，33，的一个通项公式（B）A. B. C. D.解：由数列3，5，9，17，33，的前5项，可知每一项都满足.故选.2. 已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（B）A. 4B. 12C. 24D. 32解：由题意，得，.故选.3. 已知数列的前项和，则（C）A. 36B. 35C. 34D. 33解：当时，；当时，，满足上式.所以，所以.故选.4. 在数列中，,,则（A）A. 20B. 30C. 36D. 28解：因为,,所以.所以.故选.5. 已知在数列中，,,则.解：当时，又当时，也适合上式.所以.故填.6. 已知正项数列中，,则数列的通项公式.解：因为,所以.两式相减,得，所以.又当时，,则,符合上式.所以.故填.7. 已知数列中，，且则2．解：由题意,知，，，，，，，,…视察可得数列从第2项起先是以6为周期的数列，故．故填2.8. （教材题改编）已知函数，设数列的通项公式为，其中.（1）求的值；解：由题意,得，所以.（2）求证：；证明：由（1），知.因为为正整数，所以,则,即，所以.（3）推断是递增数列还是递减数列，并说明理由.[答案]是递增数列.证明：因为,，所以是递增数列.【综合运用】9. 若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是（C）A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项解：，而，当且仅当时，等号成立.所以当时，取得最大值，即最大项是第14项.故选.10. 九连环是我国从古到今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环相互贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动量的最少次数，满足，且当时，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（A）A. 7B. 10C. 12D. 22解：依据题意，；;，即解下4个圆环最少移动7次.故选.11. 写出一个符合下列要求的数列的通项公式：（答案不唯一）.是无穷数列；是单调递减数列；.解：因为函数的定义域为，且在上单调递减，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是.故填（答案不唯一）.12. 已知数列中，，前项和.（1）求,；解：由,得,解得.由,得,解得.（2）求的通项公式.[答案]当时，有, 整理得.于是,,, ,,,将以上等式两端分别相乘，整理得.满足上式.所以的通项公式为.【拓广探究】13. [2024年全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，接着进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为探讨嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，，依此类推，其中.则（D）A. B. C. D.解：（方法一）因为，所以，，得到.同理，，可得，.又,，所以，.依此类推，可得，，故错误.，故错误.，得，故错误.，得，故正确.（方法二）令,则,,,,,,,,得.故选.。

高考数学一轮总复习 61数列的概念课后强化作业新人教B版

高考数学一轮总复习 61数列的概念课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n3n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列[答案] A[解析] a n ＝23－29n ＋3，∵n ∈N *，∴a n 随n 的增大而增大，故选A.[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y ＝－1x 的单调性，也可以直接验证a n ＋1－a n >0.2．(文)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12[答案] D[解析] 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －12，选D.[点评] 直接检验，S 1＝－1，排除B ，C ；S 3＝－1，排除A ，故选D.(理)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80 [答案] C [解析] ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)， ∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.3．(文)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈R )，则a 2014＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D.32[答案] A[解析] ∵a 1＝0，∴a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，∴数列{a n }的周期为3，∴a 2014＝a 1＝0，故选A.(理)(2013·麻城实验高中月考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n项之积为πn ，则π2012的值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．1[答案] D[解析] ∵a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，故数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2012＝670×3＋2，∴π2012＝(－1)670×2×12＝1.4．在数列{a n }中，已知a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ∈N ＋，n ≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →，满足OC →＝a 1007OA →＋a 1008OB →，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S 2014等于( )A ．1007B ．1008C ．2014D ．2015 [答案] A[解析] 由条件知{a n }成等差数列， ∵A 、B 、C 共线，∴a 1007＋a 1008＝1，∴S 2014＝2014(a 1＋a 2014)2＝1007(a 1007＋a 1008)＝1007.5．(文)已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 2015＝( )A ．6042B ．6048 C.16043 D.16047[答案] C[解析] ∵1a n ＋1－1a n＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列，∴1a n ＝1＋3(n－1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2，∴a 2015＝16043.(理)(2013·安徽阜阳市第一中学二模)数列11、21、12、31、22、13、41、32、23、14、…依次排列到第a 2010项属于的范围是( )A ．(0，110)B ．[110，1)C ．[1,10]D ．(10，＋∞)[答案] B[解析] 分子分母和为k ＋1的有k 项，由1＋2＋3＋…＋n ≤2010得，n ≤62，且1＋2＋3＋…＋62＝1953,2010－1953＝57，∴a 2010项为和为64的第57项，即757∈[110，1)，故选B.6．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34950B ．35000C ．35010D ．35050 [答案] A[解析] 由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.二、填空题7．(文)(2013·北京东城区综合练习)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20. (理)(2013·大连测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 3n[解析] a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .8．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] n 2＋n (n ∈N *)[解析] 由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，则a n ＝2n ，所以S n ＝n 2＋n .9．(2013·江苏调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n ，从而S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．[解析] (1)S n ＝n 2＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， ∵b n ＝2a n ＋1，∴b 1＝2a 1＋1＝23，n ≥2时，b n ＝2(2n －1)＋1＝1n，∴b n＝⎩⎨⎧23 (n ＝1)，1n(n ≥2).(2)由题设知，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，T 2n ＋1＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＋1， ∴c n ＝T 2n ＋1－T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝(b n ＋2＋b n ＋3＋…＋b 2n ＋3)－(b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1)＝b 2n ＋2＋b 2n ＋3－b n ＋1＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0， ∴c n ＋1<c n ，即数列{c n }为递减数列.能力拓展提升一、选择题11．(2013·日照市阶段训练)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点A (8,4)的定直线l 上，则数列{a n }的前15项和S 15＝( )A ．12B ．32C ．60D ．120[答案] C[解析] 解法1：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴{a n }为等差数列，由条件知(8，a 8)在直线l 上，l 经过(8,4)，∴a 8＝4，∴S 15＝15a 8＝60.解法2：可设定直线为y －4＝k (x －8)，知a n －4＝k (n －8)，得a n ＝k (n －8)＋4，则{a n }是等差数列，S 15＝15·(a 1＋a 15)2＝15·a 8＝15×4＝60.12．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学联考)如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( ) A ．32 B ．64 C ．－32 D ．－64 [答案] A [解析] 由条件知a n a n －1＝(－2)n －1(n ≥2)，∴a 5＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4＝1×(－2)·(－2)2·(－2)3·(－2)4＝(－2)10＝32.13．(文)(2013·池州一模)数列{a n }的通项公式a n ＝2n ·sin(n π2－π3)＋3n cos n π2，前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A ．1005B ．－1005C ．2013D ．－2013[答案] B[解析] a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2＝n sin n π2.由函数y ＝sin π2x 的周期是4，且a 1＝1，a 2＝2×0＝0，a 3＝3×(－1)＝－3，a 4＝4×0＝0，归纳可知数列{a n }的每相邻四项之和是一个常数－2，所以S 2013＝2013－14×(－2)＋1＝－1005，故选B.(理)(2013·德州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a 2012等于( )A.45B.35C.25D.15[答案] C[解析] ∵a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，又a 1＝45，∴a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45，∴数列{a n }以4为周期， ∵20124＝503，∴a 2012＝a 4＝25. 二、填空题14．(文)数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1－a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a nn 的最小值是________．[答案] 10[解析] 由a n ＋1－a n ＝2n －1可知，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝[2(n －1)－1]＋[2(n －2)－1]＋[2(n －3)－1]＋…＋(2×1－1)＋35＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]－(n －1)＋35＝n 2－2n ＋36.∴a n n ＝n 2－2n ＋36n ＝n ＋36n－2≥2×n ·36n－2＝10，当且仅当n ＝6时，取等号．(理)已知f (x )＝sin πx2，a n ＝f (n )＋f ′(n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝________.[答案] 1[解析] f ′(x )＝π2cos πx 2，a n ＝sin n π2＋π2cos n π2，∴a 1＝1，a 2＝－π2，a 3＝－1，a 4＝π2，且{a n }的周期为4，又2013＝503×4＋1且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，∴S 2013＝503×0＋a 1＝1. 三、解答题15．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *. (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′(1a n )，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)记b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和T n ，求证：43≤T n <2.[解析] (1)由题意及f ′(x )＝2ax ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由条件得1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2n ，累加得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝[2＋2(n －1)]×(n －1)2＝n 2－n ，∴1a n ＝(n －12)2，所以a n ＝1(n －12)2＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (3)b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2(12n －1－12n ＋1)，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝2(1－12n ＋1)<2. ∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43，∴43≤T n <2.16．(文)(2013·山东莱州一中质检)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1满足a n ＋a n ＋1＝2n ，且a 1＝1.(1)求证{a n －13×2n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .[解析] (1)由a n ＋a n ＋1＝2n ，得a n ＋1－13×2n ＋1＝－(a n －13×2n )，故数列{a n －13×2n }是首项为a 1－23＝13，公比为－1的等比数列．(2)由(1)知，a n －13×2n ＝13×(－1)n －1，即a n ＝13[2n －(－1)n ]，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝13{(2＋22＋23＋…＋2n )－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n ]} ＝13[2n ＋1－2－(－1)n －12] ＝13·2n －1－16(－1)n －12. (理)(2013·武汉市部分中学联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12an＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． [解析] (1)令b n ＝na n ，{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝12b n ＋1，∴S n －1＝12b n (n ≥2)，两式相减得b n ＋1b n＝3，又b 1＝a 1＝1，在条件式中令n ＝1,2得a 2＝1，a 3＝2，∴b 2＝2a 2＝2，∴b n ＝b 2×3n －2＝2×3n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (n ＝1)，2n ·3n －2， (n ≥2).(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a nn ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝n (n ＋1)2·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(1－n )3n －1<0，∴1f (n ＋1)>1f (n )(n ≥2)，又1f (2)＝13及a 12＝12，所以所求实数λ的最小值为13.考纲要求了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数．了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)．补充材料1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．要特别注意以下数列特点： ①自然数列，自然数的平方列． ②奇数列，偶数列．③a n ＝(－1)n ，a n ＝12[1＋(－1)n ]．④a n ＝sin n π2，a n ＝cos n π2. ⑤a n ＝k 9(10n －1)(k ＝1,2，…，9)．要注意理顺其大小规律如：2，－83，4，－325，…先变化为：42，－83，164，－325，…. (2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．(3)已知数列的前n 项和求通项公式，用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解．2．注意数列的两个性质(1)单调性——若a n ＋1>a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性——若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零常数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．3．数列求和方法(1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式求．②了解一些常见的数列的前n 项和．1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (2)倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和可用“乘公比，错位相减”法进行，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(4)裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n 的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法．(5)分组求和法当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．4．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此可用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．备选习题1．设a 1，a 2，…，a 50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字1的个数为( )A ．24B ．15C ．14D ．11[答案] A [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，⇒a 21＋a 22＋…＋a 250＝39. 故a 1，a 2，…，a 50中有11个零，设有x 个1，y 个－1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝39，x －y ＝9，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝15.故选A. 2．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列{f (n )g (n )}(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[答案] B[解析] f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )⇒f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0 ⇒[f (x )g (x )]′<0⇒0<a <1， f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52⇒2a 2－5a ＋2＝0 ⇒a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f (n )g (n )＝(12)n ， ∴{f (n )g (n )}(n ∈N *)是以12为首项，12为公比的等比数列． ∴12[1－(12)n ]1－12＝3132， ∴(12)n ＝132，∴n ＝5.故选B. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2014的值是( )A ．2012×2013B ．2013×2014C ．2010×2011D ．2011×2012[答案] B[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1，a 2＝1×2，a 3＝2×3，a 4＝3×4，猜想a 2014＝2013×2014，故选B.解法2：a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，…a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]．＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)． ∴a 2014＝2013×2014.。

高三数学第一轮总复习 61数列的概念配套训练(含解析)新人教B版

【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 6-1数列的概念配套训练（含解析）新人教B 版基础巩固强化1.数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n －1 n ≥2.D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.[答案] D[解析] a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.2．(文)(2012·河北保定模拟)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] D[解析] ∵a 3a 11＝4a 7，∴a 27＝4a 7，∴a 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.(理)在数列{a n }中，已知a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ∈N ＋，n ≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →，满足OC →＝a 1007OA →＋a 1008OB →，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S 2014等于( )A ．1007B ．1008C ．2014D ．2015[答案] A[解析] 由条件知{a n }成等差数列， ∵A 、B 、C 共线，∴a 1007＋a 1008＝1，∴S 2014＝2014a 1＋a 20142＝1007(a 1007＋a 1008)＝1007.3．(文)设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．107 B ．108 C ．10818D ．109[答案] B[解析] ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋8658，∴当n ＝7时，a n 最大．a 7＝108.(理)如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R )且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2014f 2013等于( )A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014[答案] D[解析] 令a ＝n ，b ＝1，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)， ∴f n ＋1f n＝f (1)＝2，∴f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2014f 2013＝2×1007＝2014. 4．(文)由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－n B ．n 2－n ＋1 C ．n 2＋n D ．n 2＋n ＋1[答案] B[解析] 前n －1组共有1＋2＋…＋(n －1)＝n －1n －1＋12＝n n －12个奇数，故第n 组的首项为2×n n －12＋1＝n 2－n ＋1.[点评] 可直接验证，第2组的首项为3，将n ＝2代入可知A 、C 、D 都不对，故选B. (理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是( )A ．(3,61)B ．(3,60)C ．(61,3)D ．(61,2)[答案] C[解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n ＋1的有n 项，由n n ＋12≤2014得n ≤62，且n ＝63时，n n ＋12＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．5．(2012·佛山质检)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B.72C.92D.132[答案] B[解析] ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×(－32)＋10×2＝72.6．已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．28B ．33 C.133D.128[答案] D[解析] ∵1a n ＋1－1a n ＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列，∴1a n ＝1＋3(n－1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2，∴a 10＝128. 7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 2014＝________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a 2014＝a 1＝12.8．(2012·大同调研)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] 2n ＋1－3[解析] 依题意得，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，a 1＋3＝4，因此数列{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，于是有a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，则a n ＝2n ＋1－3.9．(2012·吉林重点中学一模)已知数列{a n }，其前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝________.[答案] 100[解析] a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 7＝(122＋12＋1)－(72＋7＋1)＝100. 10．(文)(2012·山东文，20)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n . ∵T 5＝105，a 10＝2a 5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d .∴a 1＝7，d ＝7.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1，所以数列{b m }是首项为7、公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.(理)(2012·吉林质检)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项与前n 项和．[分析] (1)欲证{a n ＋1}为等比数列，只需将条件式a n ＋1＝3a n ＋2变形为a n ＋1＋1＝q (a n＋1)(其中q 为常数)即可；(2)由{a n ＋1}为等比数列，可得{a n }的通项公式，再分组求和．[解析] (1)证明：由a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝3，即数列{a n ＋1}是首项为3，公比为3的等比数列． (2)由(1)知，a n ＋1＝3·3n －1＝3n⇒a n ＝3n－1，∴S n ＝32(3n－1)－n .能力拓展提升11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 3＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 [答案] A[解析] 由S 1＝2(a 1－1)得a 1＝2；由S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4.由S 3＝2(a 3－1)得，a 3＝8. 12．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)[答案] A[解析] 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n (n －43)，选A.13．(文)(2012·浙江理，13)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.[答案] 32[解析] ∵S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2， ∴a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2，①a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝3a 1q 2＋2，②②－①得，a 1(1＋q )q 2＝3a 1q (q 2－1)， ∵q >0，∴q ＝32.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：b 2012是数列{a n }中的第________项．[答案] 5030[解析] 由前四组可以推知a n ＝n n ＋12，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，依次可知，当n ＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，a n 能被5整除，由此可得，b 2k ＝a 5k (k ∈N *)，∴b 2012＝a 5×1006＝a 5030.14．(2012·北京理，10)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.[答案] 1[解析] 本题考查了等差数列的基本量的运算以及等差数列的通项公式，前n 和的求法．由S 2＝a 3得2a 1＋d ＝a 1＋2d ，∴a 1＝d ＝12，∴a 2＝a 1＋d ＝1.15．(文)(2012·黄冈期末)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n 且S n ＋1＝32S n ＋1，(n∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{1a n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n <12S n ＋2的n 值．[解析] (1)由S n ＋1＝32S n ＋1得，当n ≥2时，S n ＝32S n －1＋1，∴S n ＋1－S n ＝32(S n －S n －1)，即a n ＋1＝32a n ，∴a n ＋1a n ＝32，又a 1＝1，得S 2＝32a 1＋1＝a 1＋a 2，∴a 2＝32，∴a 2a 1＝32.∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝(32)n －1.(2)∵数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴数列{1a n }是首项为1，公比为23的等比数列，∴T n ＝1－23n1－23＝3[1－(23)n]，又∵S n ＝2·(32)n－2，∴不等式T n <12S n ＋2化为3[1－(23)n]<632n，即得(23)n >13，∴n ＝1或n ＝2.(理)已知a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n)}是等比数列；(2)设T n＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a n)，求T n及数列{a n}的通项．[解析](1)证明：由已知a n＋1＝a2n＋2a n，∴a n＋1＋1＝(a n＋1)2.∵a1＝2，∴a n＋1>1，两边取对数得，lg(1＋a n＋1)＝2lg(1＋a n)，即lg1＋a n＋1lg1＋a n＝2.∴{lg(1＋a n)}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg(1＋a n)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝lg32n－1.∴1＋a n＝32n－1.(*)∴T n＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a n)16．(文)数列{a n}中，a1＝13.前n项和S n满足S n＋1－S n＝(13)n＋1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．[解析](1)由S n＋1－S n＝(13)n＋1得a n＋1＝(13)n＋1(n∈N*)，又a1＝13，故a n＝(13)n(n∈N*)．从而S n＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n∈N*)．(2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327，从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得，13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t，解得t＝2.(理)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且3a n＋1＋2S n＝3(n为正整数)．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，∴S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)( )A ．4nB ．4n ＋1C ．4n －3D ．4n ＋8[答案] D[解析] 第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.2．(2012·东城模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80[答案] C [解析] ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.3．(2012·安徽名校模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1、a 3、a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14[答案] B[解析] 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝4＋22×510＝13，中位数为12＋142＝13，故选B.4．(2012·湖北文，7)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2； ②f (x )＝2x； ③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ [答案] C[解析] 不妨设a n ＝2n，①∵f (x )＝x 2，∴f (a n )＝a 2n ＝4n ，∴①满足；②∵f (x )＝2x，∴f[点评] 由于对等比数列{a n }未加限制，故可取特殊等比数列{a n }进行验证，如取a n＝2n代入检验可找出不合题意的选项．5．(2012·新课标文，12)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830[答案] D[解析] ∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×10＋2342＝1830.[点评] 一般数列求和时，可依次写出数列的项，通过前面的某些项发现数列的规律及性质，求出数列的通项公式，然后再确定求和的方法．6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则a 5等于( ) A.25 B.13 C.23 D.12[答案] B[解析] 解法1：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2得，a 2＝23，a 3＝12，a 4＝25，a 5＝13. 解法2：a n ＋1＝2a n a n ＋2⇒1a n ＋1－1a n ＝12，又a1＝1⇒1 an＝n＋12⇒1a5＝3⇒a5＝13.7．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．30[答案] B[分析] 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．[解析]根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.8．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于________．[答案]2010[解析]由题意a n＋1＋a n－1＝a n(n≥2)，a n＋a n＋2＝a n＋1，两式相加得a n＋2＝－a n－1，∴a n＋3＝－a n，∴a n＋6＝a n，即{a n}是以6为周期的数列．∵2014＝335×6＋4，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴a1＋a2＋…＋a2014＝335×0＋a2011＋a2012＋a2013＋a2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝2010.11。

高考数学一轮总复习 61数列的概念与简单表示法课后强化作业北师大版

高考数学一轮总复习 61数列的概念与简单表示法课后强化作业北师大版基础达标检测一、选择题1．(文)数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项 D ．第11项[答案] B[解析] 原数列可写成2，5，8，…， ∵25＝20，∴20＝2＋(n －1)×3， ∴n ＝7.(理)已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项 [答案] C[解析] 前5项可写成4，7，10，13，16，故而可归纳通项公式为3n ＋1，故令3n ＋1＝27， ∴n ＝9.2．数列1，85，157，249，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 22n ＋1B ．a n ＝n (n ＋2)n ＋1C ．a n ＝(n ＋1)2－12(n ＋1)D ．a n ＝n (n ＋2)2n ＋1[答案] D[解析] ∵1可以看成33，∴分母为3,5,7,9，即2n ＋1，分子可以看成1×3,2×4,3×5,4×6，故为n (n ＋2)，即a n ＝n (n ＋2)2n ＋1.3．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2[答案] C[解析] 从图中可观察星星的构成规律：n ＝1时有1个，排除B 、D ；n ＝3时有6个，排除A.4．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，则a 1 000＝( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…，以6为周期，由此可得a 1 000＝a 4＝－1.故选D.5．(文)数列{－2n 2＋29n ＋3}中最大项是( ) A ．107 B ．108 C ．10813D ．109[答案] B[解析] a n ＝－2n 2＋29n ＋3 ＝－2(n －294)2＋10818，∵294＝714且n ∈N ＋， ∴当n ＝7时，a n 最大，最大值为a 7＝108. 故选B.(理)若数列{a n }(n ∈N ＋)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值 [答案] C[解析] 由题意得：a n －a n ＋1－2＝0，则a n ＋1－a n ＝－2，所以数列{a n }是以a 1＝14，d ＝－2的等差数列，则S n ＝14n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋15n ，所以当且仅当n ＝7或8时，S n 最大．6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 015的值是( ) A ．2 012×2 013 B ．2 014×2 015 C ．2 0142 D ．2 013×2 014[答案] B[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相近两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1，a 2＝1×2，a 3＝2×3，a 4＝3×4，猜想a 2 015＝2 014×2 015，故选B. 解法2：a n －a n －1＝2(n －1)， a n －1－a n －2＝2(n －2)， …a 3－a 2＝2×2， a 2－a 1＝2×1.所有等式左右两边分别相加(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1) ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]． ∴a n －a 1＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)．∴a n ＝n (n －1)．故a 2 015＝2 014×2 015. 二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k 的值为________． [答案] 8[解析] 因为S n ＝n 2－9n ，则S n －1＝(n －1)2－9(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝2n －10.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8满足上式．所以a n ＝2n －10(n ∈N ＋)．由已知5<a k <8，即5<2k －10<8. 解得7.5<k <9.又k ∈N ＋，所以k ＝8. 8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2015＝________. [答案] － 3[解析] 由已知条件可推得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3故可知数列{a n }的周期为3，所以a 2015＝a 2＝－ 3.9．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… … … … … … …按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． [答案] n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求a n 的通项公式及S 10.[解析] (1)由a 1＝S 1＝13(a 1－1)得a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，解得a 2＝14.同理a 3＝－18(2)n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．即a n ＝(－12)n，∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q＝－3411 024.(理)(2013·江西高考)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.求数列{a n }的通项公式a n .[解析] 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)2＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .能力强化训练一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55[答案] A[解析] 本题主要考查数列的求和公式和赋值法．令m ＝n ＝1，则S 1＋S 1＝S 2，即a 1＋a 1＝a 1＋a 2，所以a 2＝a 1＝1；令n ＝1，m ＝2，所以S 1＋S 2＝S 3.即a 1＋a 1＋a 2＝a 1＋a 2＋a 3，则a 3＝a 1＝a 2＝1，…，故a 10＝1，故选A.2．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(5,5)B ．(5,6)C ．(5,7)D ．(5,8)[答案] C[解析] 按规律分组：第一组(1,1)，第二组(1,2)，(2,1)，第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)，则前10组共有10×112＝55个有序实数对．第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．二、填空题3．已知数列{a n }的首项a 1＝13，且满足1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 1 007＝________.[答案]12 015[解析] 由1a n ＋1－1a n＝2知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝3为首项，以2为公差的等差数列，故1a 1 007＝1a 1＋1 006d ＝3＋2 012＝2 015. 即a 1 007＝12 015.4．(文)已知a n ＝n －98n －99(n ∈N ＋)，则在数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．[答案] 10 9[解析] a n ＝n －98n －99＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99当1≤n ≤9时，99－98n －99<0，a n 递减．当n ≥10时，99－98n －99>0，a n 递减．∴最大项为a 10，最小项为a 9.(理)若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.[答案] 4[解析] 本题考查了求数列中最大项问题，可利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1来求解；由题意可列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k ＋1a k ≥a k －1，即⎩⎨⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1k (k ＋4)(23)k≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，化简可得⎩⎨⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0解之得10≤k ≤1＋10，又∵k ∈N ＋，∴k ＝4. 三、解答题5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求a n . [解析] 由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，知S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ＋1－2n ＝2n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.6．(文)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是 a 1＝1， a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…… a n －1＝nn －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得 a n ＝n (n ＋1)2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2. (理)(2013·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n∈N ＋.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式.[解析] (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4；(2)解法1：当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－(n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1故数列{a n n }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.解法2：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，所以2S n n ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －23.整理得n ＋2n S n ＝S n ＋1－13(n ＋1)(n ＋2)，所以S n ＋1(n ＋1)(n ＋2)－S n n (n ＋1)＝13，所以数列{S n n (n ＋1)}是首项为S 12，公差为13的等差数列，所以S n n (n ＋1)＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋16，所以S n ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，所以S n －1＝(n －1)n (2n －1)6，(n ≥2)．所以a n ＝S n －S n －1＝n 2(n ≥2)．因为a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2(n ∈N ＋)．。

高考数学一轮总复习 62等差数列课后强化作业新人教B版

高考数学一轮总复习 62等差数列课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·厦门一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案] C[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝6，a 1＝4，∴d ＝－2.(理)(2013·淮南二模)已知等差数列1，a ，b ，且3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案] C[解析] 2a ＝1＋b ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，a ＝4或a ＝－2. ∵等比数列中的项不能为0， ∴a ＝4，b ＝7，∴等差数列的公差为3.2．(2013·天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案] C[解析] 因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.3．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] B[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝4a 6＋a 8＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝42a 1＋12d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，∴a n ＝－3n ＋20.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.解得173≤n ≤203，又n ∈N *，∴n ＝6.故选B.法二：S n ＝17n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32(n －376)2＋37224，∵n ∈N *，∴当n ＝6时，S n 取得最大值．故选B.4．(2013·金华一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案] D[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案] B[解析] 设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d 10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)(2013·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案] B [解析] 由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029 B.20144029 C.40174029 D.40184029[答案] B[解析] 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案] 20[解析] 依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a ＝b＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案] 110[解析] 由题意，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10(10－1)2d ＝110.(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案] 75[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75.9．(文)(2013·冀州中学检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析] ∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)．两式相减得a n ＝2a n －1，∴a n a n －1＝2.由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝317. (理)(2013·河北衡水中学模拟)设m >3，对于项数为m 的有穷数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k (k ≤m )中最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2，…，m (m >3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n }．若m ＝4，则创新数列为3,4,4,4的所有数列{a n }为________．[答案] 3,4,2,1或3,4,1,2[解析] 由数列{a n }的创新数列定义知，a 1＝3，a 2＝4，由于c 3＝4，∴a 3≤4，又{a n }是1,2,3,4的一个排列，∴a 3≠3,4，∴a 3＝1或2，由于c 4＝4， ∴当a 3＝1时，a 4＝2；当a 3＝2时，a 4＝1， ∴数列{a n }为3,4,1,2或3,4,2,1. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解析] (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3[答案] A[解析] 由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6，由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根，解之得m ＝0，或m ＝－45，则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3.(理)(2013·厦门六中月考)已知a >0，b >0，若2是4a 与2b 的等比中项，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．2 2B ．8C ．9D ．10 [答案] C[解析] 由条件知：4a ·2b ＝(2)2， ∴22a ＋b ＝21，∴2a ＋b ＝1， ∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9，等号在⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时成立．12．(2013·南昌市调研)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12[答案] A[解析] 由条件知2S 9＝S 3＋S 6，∴2a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，∵q ≠1，∴q 3＝－12.13．(文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L[答案] B[解析] 设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →等于( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1 [答案] A[解析] S 29＝S 4000⇒a 30＋a 31＋…＋a 4000＝0⇒a 2015＝0，又P (1，a n )，Q (2015，a 2015)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2015，a 2015)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2015，a 2015)＝2015＋a n a 2015＝2015，故选A. 二、填空题14．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，S k ＋S k ′＝k (k －1)2d ＋k (k －1)2d ′－4k ＝k (k －1)(d ＋d ′)2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4. 三、解答题15．(文)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析] (1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1，两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2 (n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1.(理)(2013·河北质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．16．(文)(2013·河南适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n4a n ＋1(n ∈N *)．(1)设b n ＝1a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ·2n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[解析] (1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4，∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列． 1a n＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，① 2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，② ②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.(理)(2013·广州调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n＝2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a 2n2n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n2n ＝2n －12n ，于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，所以S n ＝3－2n ＋32n .考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系．补充材料 1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ； (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则 (1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； (2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．备选习题1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6[答案] D[解析] ∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝a 3＋a 92＝0，∴S 5＝S 6.2．(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [答案] B[解析] 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.3．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案] D[解析] 由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝i i ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意S n ＝2－a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1；由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9，所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1.综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为 a n ＝12n －1，b n ＝2n －1.(2)c n ＝b na n ＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2×2－2n 1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析] (1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c ，因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n .因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。

2013高考数学第一轮复习配套课时作业 6.1 数列的概念、递推公式新人教B版

"备战2013高考数学第一轮复习配套课时作业 6.1 数列的概念、递推公式新人教B 版 "1.已知数列{n a }中112n n a a a n +,=,=+,则7a 为( )A.8B.12C.23D.29【答案】 C2.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( )A.2B.6C.7D.8【答案】 C【解析】设数字共有n 个,当数字n=6时,共有1+2+3+4+5+6=21项,所以第25项是7.3.数列{n a }中,若11121n a n a a a n+=,=,+则6a 等于( ) A.13 B.113C.11D.111【答案】 D【解析】 ∵11121n a n a a a n+=,=,+ ∴2345611111357911a a a a a =,=,=,=,=. 4.已知数列{n a }的通项公式为an a n bn c=,+其中a 、b 、c 均为正数,那么n a 与1n a +的大小关系是( )A.1n n a a +>B.1n n a a +<C.1n n a a +=D.与n 的取值有关【答案】 B【解析】分子、分母同时除以n,得n a a c b n=,+由于1y x =是减函数,故数列{n a }递增,即1n n a a +<.课后作业夯基基础巩固1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,……的一个通项公式是( ) A.(1)12nn a -+= B.na =cos 2n π C.na =cos 12n +π D.n a =cos 22n +π 【答案】 D【解析】令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确.2.已知数列{n a }的前n 项和12n n S n n +=,∈+N *,则4a 等于( )A.130B.134C.120D.132【答案】 A【解析】本小题考查了数列的前n 项和n S 与通项n a 间的递推关系,由已知得4435416530a S S =-=-=. 3.数列{22293n n -++}中最大项是( )A.107B.108C.13108D.109【答案】 B【解析】 2229122932()10848n a n n n =-++=--+, ∵291744=且n ∈N *, ∴当n=7时n a ,最大,最大值为7108a =.4.已知数列{n a }对任意的p q ,∈N *满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a 等于( )A.-165B.-33C.-30D.-21【答案】 C 【解析】 ∵26p q p q a a a a p q +=-,=+,,∈N *,∴42212a a a =+=-.∴84424a a a =+=-.于是108224630a a a ,=+=--=-.5.已知数列{n a }满足1130(31n a n a a n a n+-=,=∈+N *),则20a 等于( ) A.0 B.3-33【答案】 B 【解析】 1234503303a a a a a =,=-,=,=,=-,发现数列{n a }是以3为周期进行周期性变化的,易得B 正确.6.已知111()(n n n a a n a a n +=,=-∈N )*,则数列{n a }的通项公式是( )A.2n-1B.11()n n n -+C.2nD.n【答案】 D【解析】方法一:由已知整理得1(1)n n n a na ++=,∴11aa n n n n +=+.∴数列{n a n }是常数列, 且111a a n n ==.∴n a n =.方法二(累乘法):2n ≥时11a n n a n n ,=,-- 1122a nn a n n --=,--3322a a =, 2211a a =, 两边分别相乘得1a n n a =,又∵11a =,∴ n a n =. 7.数列{n a }中11a ,=,对于所有的2n n ≥,∈N *都有123a a a ⋅⋅⋅…2n a n ⋅=,则35a a +等于( )A.6116B.259C.2516D.3115【答案】 A 【解析】方法一:由已知得2122a a ⋅=,∴24a =.21233a a a ⋅⋅=,∴394a =. 212344a a a a ⋅⋅⋅=,∴4169a =. 2123455a a a a a ⋅⋅⋅⋅=,∴25516a =.∴359256141616a a +=+=. 方法二:由123a a a ⋅⋅⋅…2n a n ⋅=,得123a a a ⋅⋅⋅…21(1)n a n -⋅=-,∴2()(2)1n n a n n =≥-. ∴223561352416()()a a +=+=.8.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )A.21n a n n =-+B.(1)2n n n a -=C.(1)2n n n a +=D.(2)2n n n a += 【答案】 C【解析】从图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…∴123n a =+++4+ (1)2n n n ++=. 9.…中,有序数对(a,b)可以是 . 【答案】 4111()22,- 【解析】从上面的规律可以看出 1526a b a b +=,⎧⎨-=,⎩ 解上式得 412112a b ⎧=,⎪⎨⎪=-.⎩ 10.数列{n a }中122115(n n n a a a a a n ++,=,=,=-∈N *),则2012a = .【答案】 5【解析】 3214a a a =-=,432451a a a =-=-=-,543145a a a =-=--=-,6545(1)4a a a =-=---=-,7654(5)1a a a =-=---=,8761(4)5a a a =-=--=.∴数列{n a }为周期数列,6为一个周期.∴201225a a ==.11.若数列{n a }的前n 项和210(1n S n n n =-=,2,3,…),则此数列的通项公式为;数列{n na }中数值最小的项是第项.【答案】 211n a n =- 3【解析】 2n ≥时22110[(1)n n n a S S n n n -,=-=----10(n-1)]=2n-11;n=1时19n a S ,==-,也符合上式.∴211n a n =-.设第n 项最小,则 11(1)(1)n n nn na n a na n a +-≤+,⎧⎨≤-,⎩ ∴ 22211(1)(29)211(1)(213)n n n n n n n n ⎧-≤+⋅-,⎨-≤-⋅-,⎩解得91344n ≤≤.又n ∈N *,∴n=3. 12.写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,…;3715311(2)2481632,,,,,…; 101726372(3)13791113,-,,-,,-,…; (4)3,33,333,3 333,….【解】 (1)各项减去1后为正偶数,所以21n a n =+.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列12342222,,,,…,所以212n n a n -=. (3)偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子1(1)n +-,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是231+,222415161+,+,+,按照这样的规律第1、2两项可改写为22112121221++,-,+⨯+所以121(1)21n n n a n ++=-⋅+. (4)将数列各项改写为99999999993333,,,,…,分母都是3,而分子分别是234101*********-,-,-,-,…,所以1(101)3n n a =-. 13.已知数列{n a }的通项公式为230n a n n =--. (1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n 为何值时000n n n a a a ,=,>,<?【解】 (1)由230n a n n =--,得11130a =--=-30,22223028a =--=-,23333024a =--=-.设60n a =,则26030n n =--.解之,得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令2300n n --=,解得n=6或n=-5(舍去).∴60a =.令2300n n -->,解得n>6或n<-5(舍去).∴当6(n n >∈N *)时0n a ,>. 令2300n n --<,解得-5<n<6.又n ∈N *,∴0<n<6.∴当06(n n <<∈N *)时0n a ,<. 拓展延伸14.已知数列{n a }满足11132(2)n n a a a n n -=,=+-≥.(1)求23a a ,;(2)求数列{n a }的通项公式.【解】 (1)∵数列{n a }满足11132(2)n n a a a n n -=,=+-≥,∴213245712a a a a =+=,=+=.(2)由132(2)n n a a n n -=+-≥得132n n a a n --=-,由递推关系,得1235n n a a n ---=-,…322174a a a a ,-=,-=, 叠加得:147n a a -=++…+3n -22(1)(432)3222n n n n -+---==, ∴23(2)2n n n a n -=≥. 当n=1时12311112a ⨯-,===, ∴数列{n a }的通项公式232n n n a -=.。

高考数学一轮总复习第六章数列 6.1 数列的概念及其表示专用题组理新人教B版

§6.1数列的概念及其表示考点数列的概念及表示方法5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是.答案a n=解析记△OA1B1的面积为S,则△OA2B2的面积为4S.从而四边形A n B n B n+1A n+1的面积均为3S.即得△OA n B n的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.∴=3n-2,即a n=.评析△OA n B n的面积构成一个等差数列,而△OA n B n与△OA1B1的面积比为,从而得到{a n}的通项公式.本题综合考查了平面几何、数列的知识.6.(2012山东,20,12分)在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m,求数列{b m}的前m项和S m.解析(1)因为{a n}是一个等差数列,所以a3+a4+a5=3a4=84,a4=28.设数列{a n}的公差为d,则5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.由a4=a1+3d得28=a1+3×9,即a1=1.所以a n=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*).(2)对m∈N*,若9m<a n<92m,则9m+8<9n<92m+8.因此9m-1+1≤n≤92m-1,故得b m=92m-1-9m-1.于是S m=b1+b2+b3+…+b m=(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1)=-=.评析本题考查等差数列的通项公式、数列求和、不等式的求解等相关知识,考查学生的运算求解、逻辑推理能力及方程思想的应用.1。

高考数学一轮总复习 64数列的综合问题与数列的应用课后强化作业新人教B版

高考数学一轮总复习 64数列的综合问题与数列的应用课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52.(理)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1008＋a 2014＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40 [答案] B[解析] 由题意知，a 1＋a 2015＝a 2＋a 2014＝2a 1008＝10，所以a 2＋a 1008＋a 2014＝3a 1008＝15，故选B.2．(2013·广东珠海质检)在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项为3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189 [答案] C[解析] 设公比为q ，则⎩⎨⎧a 1＝3，a 1(1＋q ＋q 2)＝21，q >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2.那么a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84. 3．在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A [解析]sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cos B ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.4．(文)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C [解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．(理)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．5．(文)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. (理)(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1.6．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20 [答案] B[解析] 由题意得S n ＋1－S n(n ＋1)－n ＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n －5，因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10，而a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40，故选B.(理)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．8B．9C．10D．11[答案] D[解析]由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<2014得，2k＋1<2015，∴k≤9.∵1＋2＋22＋…＋29＝1023，∴S的值加上29后，变为S＝1023<2014，此时k的值增加1变为k＝10，再执行一次循环体后，S＝1023＋210＝2047，k＝10＋1＝11，此时不满足S<2014，输出k的值11后结束．[点评]这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥2014，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．二、填空题7．正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为A n；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为B n，则A n＋B n＝________.[答案]2n3[解析]由题意知，前n组共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，所以第n－1组的最后一个数为(n－1)2，第n组的第一个数为(n－1)2＋1，第n组共有2n－1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得A n ＝[(n －1)2＋1]＋[(n －1)2＋2n －1]2(2n －1)＝[(n －1)2＋n ](2n －1)，而B n ＝n 3－(n －1)3，所以A n ＋B n ＝2n 3.8．(文)已知1，x 1，x 2,7成等差数列，1，y 1，y 2,8成等比数列，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中垂线方程是________．[答案] x ＋y －7＝0[解析] 由条件得x 1＝3，x 2＝5，y 1＝2，y 2＝4，∴MN 的中点(4,3)，k MN ＝1，∴MN 的中垂线方程为y －3＝－(x －4)，即x ＋y －7＝0. (理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a n a n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.9．(文)(2013·武汉武昌区联考)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．[答案] －11[解析] 由题意知等差数列{a n }的公差d ＝a 3－a 12＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，依题意有(8＋x )2＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11.(理)(2013·浙江省名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若公比为32，且满足a 3·a 11＝16，则log 2a 16＝________.[答案] 5[解析] ∵数列{a n }的公比为32，且满足a 3·a 11＝16， ∴a 21(32)12＝16，又a 1>0，∴a 1＝1，a 16＝(32)15＝32，∴log 2a 16＝5. 三、解答题10．(文)(2013·池州一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2(1＋1n)2a n .(1)设b n ＝a nn 2，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解析] (1)证明：a n ＋1＝2·(n ＋1)2n 2a n ，a n ＋1(n ＋1)2＝2·a n n 2，∴b n ＋1＝2b n ， ∴数列{b n }是公比为2的等比数列． (2)由(1)知{b n }是公比为2的等比数列，又b 1＝a 112＝a 1＝1，∴b n ＝b 1·2n －1＝2n －1，∴a nn 2＝2n －1，∴a n ＝n 2·2n －1.(3)c n ＝(n ＋1)2·2n －2n 2·2n －1 ＝(2n ＋1)·2n ，∴S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)·2n .① 2S n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)×2n ＋1 ＝2＋2×2(1－2n )1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1， ∴S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)(2013·洛阳统考)已知数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ； (2)令b n ＝2log 2a n ＋1，求数列{1b n ·b n ＋1}的前n 项和T n . [解析] (1)由S n ＋1－S n ＝2n ＋1得a n ＋1＝2n ＋1，即a n ＝2n (n ≥2)．又a 1＝2，所以a n ＝2n (n ∈N *)．从而S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(2)因为b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＋1＝2n ＋1，所以1b n ·b n ＋1＝1(2n ＋1)·(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)．于是T n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝12(13－12n ＋3)＝n3(2n ＋3).能力拓展提升一、选择题11．在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{a n }的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈(13，23]，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] ∵圆x 2＋y 2＝10x ，∴(x －5)2＋y 2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长a n ＝10，最短弦长a 1＝8，∴10＝8＋(n －1)d ，∴d ＝2n －1，∵d ∈(13，23]，∴13<2n －1≤23，∴4≤n <7，又∵n ∈N *，∴n 的取值为4,5,6，故选A.12．两个正数a 、b 的等差中项是72，一个等比中项是23，且a <b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.34B.152C.54D.53 [答案] D[解析] ∵a ＋b ＝7，a ·b ＝12，b >a >0， ∴a ＝3，b ＝4.∴e ＝c a＝a 2＋b 2a ＝53. 13．(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3 [答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n(n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.二、填空题14．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．三、解答题15．(文)(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0，由条件易知q ≠1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2S 2＝S 3＋S 4，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(1－q 2)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 4)1－q ，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2013，则1－(－2)n ≥2013，即(－2)n ≤－2012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2012，即2n ≥2012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． (理)(2013·武汉武昌区联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1；正项数列{b n }满足b n －1－b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a nb n}的前n 项和T n .[解析] (1)由S n ＝2a n －1，得S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 又S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减，得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝1·2n －1＝2n －1.由b n －1－b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，且b n >0，得1b n －1b n －1＝1，又b 1＝1，∴数列{1b n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴1b n ＝1＋(n －1)·1＝n ，∴b n ＝1n. (2)a n b n ＝2n －11n＝n ·2n －1，∴T n ＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1， ∴2T n ＝1·21＋2·22＋…＋n ·2n ，两式相减，得－T n ＝1＋21＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝－1＋2n －n ·2n ， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1.16．(文)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18时符合题意，∴a n ＝2·3n －1.(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n n ln3∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n ·2n ]ln3＝2×1－32n 1－3＋n ln3＝32n ＋n ln3－1.(理)为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车．替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．[解析] (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列， {b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．{a n }的前n 项和S n ＝128×[1－(32)n ]1－32＝256[(32)n －1]． {b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n (n －1)2a ，所以经过n 年，该市更换的公交车总数为：S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n (n －1)2a . (2)若计划7年内完成全部更换，所以S (7)≥10000，所以256[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10000，即21a ≥3082，所以a ≥1461621. 又a ∈N *，所以a 的最小值为147.考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充材料1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3[答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 2．(2013·天津河北区质检)数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] ∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)∴a 2＝a 1＋a 3，∴a 3＝1，a 3＝a 2＋a 4，∴a 4＝－1，a 4＝a 3＋a 5，∴a 5＝－2.3．(2013·天津和平区质检)已知数列{an }中的前n 项和Sn ＝n (n －9)，第k 项满足7＜ak ＜10，则k 等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] C[解析] 当k ≥2时，a k ＝s k －s k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10，由7<a k <10，得7<2k －10<10，∴172<k <10，∴k ＝9. 4．已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (0≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个是该数列中的一项：现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ；②数列0,2,4,6具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则a 1＝0；④若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＋a 3＝2a 2.其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] B[解析] 数列0,1,3中a 3－a 2＝2，a 3＋a 2＝4都不是该数列中的一项，即其不具有性质P ，得命题①不正确；数列0,2,4,6经验证满足条件，即其具有性质P ，得命题②正确；若数列A 具有性质P ，因n ≥3，故其最大项a n >0，则有a n ＋a n ＝2a n >a n 不是数列中的项，故a n －a n ＝0必为数列中的一项，即a 1＝0，得命题③正确；若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＝0,0<a 2<a 3，a 2＋a 3>a 3不是数列中的项，必有a 3－a 2＝a 2，即a 3＝2a 2，因a 1＝0，故a 1＋a 3＝2a 2，得命题④正确，综上可得真命题共有3个，故应选B.5．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2012的值为( ) A.20092010 B.20102011 C.20112012 D.20122013[答案] D[解析] 由于f ′(x )＝2x ＋b ，据题意则有f ′(1)＝2＋b ＝3，故b ＝1，即f (x )＝x 2＋x ，从而1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，其前n 项和S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故S 2012＝20122013. 6．已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问使T n >10002009的最小正整数n 是多少？ [解析] (1)∵点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，∴f (1)＝a ＝13. 已知等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则当n ≥2时，a n ＝[f (n )－c ]－[f (n －1)－c ]＝a n (1－a －1)＝－23n .∵{a n }是等比数列，∴{a n }的公比q ＝13.∴a 2＝－29＝a 1q ＝[f (1)－c ]×13，解得c ＝1，a 1＝－23.故a n ＝－23n (n ≥1)．由题设知{b n }(b n >0)的首项b 1＝c ＝1，其前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，由S n －S n －1＝S n ＋S n －1⇒S n －S n －1＝1，且S 1＝b 1＝1. ∴{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，即S n ＝n ⇒S n ＝n 2.∵b n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，又b 1＝1＝2×1－1，故数列{b n }的通项公式为：b n ＝2n －1(n ≥1)．(2)∵b n ＝2n －1(n ≥1)，∴1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝∑k ＝1n1b k b k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1.要T n >10002009⇔n 2n ＋1>10002009⇔n >10009＝11119，故满足条件的最小正整数n 是112.。

高考数学第一轮复习强化训练 5.1《数列的概念》新人教版必修5

【考纲要求】1、数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 【基础知识】 1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列。

数列中的每一项叫做数列的项。

数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项。

一般记为数列{}n a2、数列的分类（1）按照数列的项数分，可以分为有穷数列和无穷数列。

（2）按照单调性分，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

3、数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集。

所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点。

4、数列的常用表示方法（1）数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

即()n a f n =。

不是每一个数列都有通项公式。

不是每一个数列只有一个通项公式。

（2）数列的递推公式如果已知数列的第一项或前几项，且任意一项n a 与它的前一项1n a -的关系可以用一个式子1()n n a f a -=来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。

5、数列的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+6、数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分。

【例题精讲】例1 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)。

（1）求此数列的通项公式；（2）数列{na n }中数值最小的项是第几项？解析：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11；n ＝1时，a n ＝S 1＝－9符合上式．∴a n ＝2n －11.设第n 项最小，则⎩⎪⎨⎪⎧na n ≤n ＋1a n ＋1na n ≤n －1a n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－11n ≤n ＋1·2n －92n 2－11n ≤n －1·2n －13，解得94≤n ≤134.又n ∈N *，∴n ＝3.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．解：(1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项a 2，a 3是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.5.1数列的概念强化训练【基础精练】1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34D.382．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定3．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A．a n＝n2－n＋1 B．a n＝n n－12C．a n＝n n＋12D．a n＝n n＋225．已知a1＝1，a n＝n(a n＋1－a n)(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式是( )A．2n－1 B．(n＋1n)n－1 C．n2D．n6．共有10项的数列{a n}的通项a n＝2 007－10n2 008－10n，则该数列中最大项、最小项的情况是( )A．最大项为a1，最小项为a10B．最大项为a10，最小项为a1 C．最大项为a6，最小项为a5D．最大项为a4，最小项为a37.已知数列{a n}的前n项和S n＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于( )A．729 B．367 C．604 D．8548．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5<a k<8，则k＝( ) A．6 B．7 C．8 D．99．数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序数对(a，b)可以是__________．10．已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n＝n2＋1，则数列{a n}的通项公式是________．【拓展提高】1.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足log2(1＋S n)＝n＋1，求数列的通项公式．2．在数列{a n}中，a1＝12，a n＝1－1a n－1(n≥2，n∈N*)，数列{a n}的前n项和为S n.(1)求证：a n＋3＝a n；(2)求a2008.【基础精练参考答案】2.B 【解析】∵a n ＋1a n ＝12<1.又a 1>0，则a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴{a n }是递减数列．3.C 【解析】由数列定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1k，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．4.C 【解析】从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.5.D 【解析】法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴数列{a nn }是常数列．且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . 法二：累乘法：n ≥2时，a n a n －1＝n n －1a n －1a n －2＝n －1n －2⋮a 3a 2＝32 a 2a 1＝21两边分别相乘得a n a 1＝n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝n .6.D【解析】a n＝2 008－10n－12 008－10n ＝1＋110n－2 008，则a n在n≤3且n∈N*时为递减数列，n≥4，n∈N*时也为递减数列，∴1>a1>a2>a3，a4>a5>a6>…>a10>1.故最大项为a4，最小项为a3.7.C【解析】a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S5＝93－53＝604.8.C【解析】由S n＝n2－9n可得等差数列{a n}的通项公式a n＝S n－S n－1＝2n－10，由5<a k<8可得5<2k－10<8且k∈Z，解得152<k<9且k∈Z，∴k＝8.9. (412，－112)【解析】从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝15a－b＝26，解上式得⎩⎪⎨⎪⎧a＝412b＝－112.10.2(1)21(2)nnan n=⎧=⎨-⎩≥【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1.2(1)21(2) nnan n=⎧=⎨-⎩≥【拓展提高参考答案】2.【解析】(1)证明：a n＋3＝1－1a n＋2＝1－11－1a n＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n－1a n＝1－11－a na n－1＝1－1a n－1－a na n－1＝1－1－1a n－1＝1－(1－a n)＝a n.∴a n＋3＝a n.(2)解：由(1)知数列{a n}的周期T＝3，a1＝12，a2＝－1，a3＝2.又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝12.。

高考一轮复习数学学案(新人教B版)第六章6-1数列的概念

数列的概念考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照____________排列的一列数数列的项数列中的____________通项公式如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用a n＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系数列{a n}的前n项和一般地，给定数列{a n}，称S n＝______________为数列{a n}的前n项和2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数______项与项间的大小关系递增数列a n＋1a n其中n∈N+递减数列a n＋1a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{a n }可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．常用结论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N +)；若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N +)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的项与项数是同一个概念．( ) (2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( ) 教材改编题1．(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9＋12n ，则在下列各数中，是{a n }的项的是( ) A ．21 B ．33 C ．152 D ．1532．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，则a 2的值是( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．63．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x ,55，…中，x ＝________.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＋1＝2S n －1，则a 10等于( ) A ．128 B ．256 C ．512 D ．1 024(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋2－3，则a n ＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 S n 与a n 的关系问题的求解思路(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．跟踪训练1 (1)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝n2D ．a n ＝n 22(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1 累加法例2 设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－4，[]＝3.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N +)，则⎣⎡⎦⎤1a 1＋1a 2＋1a3＋…＋1a 2 023等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 累乘法例3 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2，n ∈N +)，则数列{a n }的通项公式为________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列，利用累加法．(2)形如a n ＋1a n ＝f (n )的数列，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1(n ≥2)即可求数列{a n }的通项公式．跟踪训练2 (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n(2)已知数列a 1，a 2a 1，…，a na n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log 2a n ＝________.题型三数列的性质命题点1 数列的单调性例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N +，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 数列的周期性例5 若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2 024的值为( )A ．2B ．－3C ．－12 D.13听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 数列的最值例6 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －15，其最大项和最小项的值分别为( )A ．1，－17B ．0，－17 C.17，－17 D ．1，－111听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是( )A ．1 111B ．11C ．ln 11D ．sin 11 (2)已知数列{a n }的通项a n ＝2n －192n －21，n ∈N +，则数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为________．。

高考数学一轮总复习 61数列的概念课后强化作业 新人教B版(1)

人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)

高考数学总复习 6-1数列的概念课件 新人教B版

2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】

2025版高考数学一轮总复习课时作业第六章数列6

高考数学一轮总复习 61数列的概念课后强化作业 新人教B版

高三数学第一轮总复习 61数列的概念配套训练(含解析)新人教B版

高考数学一轮总复习 61数列的概念与简单表示法课后强化作业 北师大版

高考数学一轮总复习 62等差数列课后强化作业 新人教B版

2013高考数学第一轮复习配套课时作业 6.1 数列的概念、递推公式 新人教B版

高考数学一轮总复习 第六章 数列 6.1 数列的概念及其表示专用题组 理 新人教B版

高考数学一轮总复习 64数列的综合问题与数列的应用课后强化作业 新人教B版