2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试卷

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2020届河南省高考适应性测试数学(理)试题解析

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--≤，{}1B x x =<，则A B =（）A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1,1-答案：B先求出集合A ，然后求两集的交集即可. 解：解：因为{}2545014A x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =< 所以{}11A B x x ⋂=-≤<．故选：B 点评：本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知复数201711i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：C利用41i =化简后再由复数的除法法则计算出z 后可得z ，从而得z 的虚部．解：由201711i z i-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，则z i =，其虚部为1．故选：C ．点评：本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．3．顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为（） A ．28x y =B ．24x y =C ．28y x =D ．24y x =答案：A根据抛物线的概念和性质，即可求出结果. 解：设抛物线方程为22x py =，由题意可知，22p-=-，得4p =，所以所求抛物线的方程为28x y =．故选：A . 点评：本题考查抛物线的概念和性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4．函数()cos xf x e x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D先求出函数的导数()sin xf x e x '=+，可得当0x >时，则()0f x '>，从而函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C ，再由22cos 022f e e ππππ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，排除除选项B ，得出答案. 解：由()cos xf x e x =-，则()sin xf x e x '=+当0x >时，e 1x >则()sin 0xf x e x '=+>，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C又22cos 022f e e ππππ--⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭（），排除除选项B 故选：D 点评：本题考查函数图像的识别，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（）A ．5B ．3C ．6D ．4答案：A执行程序框图，依此写出每次循环时的,k S 的值并判断，直到当0S <时，退出循环，输出k 的值. 解：第一次循环：615S =-=，112k =+=，0S >，不满足0S <执行循环；第二次循环：523S =-=，213k =+=，0S >，不满足0S <执行循环；第三次循环：330S =-=，314k =+=，0S =，不满足0S <执行循环；第四次循环：044S =-=-，415k =+=，0S <，退出循环，此时输出5k =. 故选:A 点评：本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.6．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间满足2152y x x =-．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5药的药物功效的平均值为（） A ．18药物单位 B ．15药物单位 C ．20药物单位 D ．10药物单位答案：B设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，根据方差概念计算出222126x x x ++⋅⋅⋅+，再计算出()()222126126126152y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，可得y ．解：设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，则()()()()222222221261266630x x x x x x x x xx-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-=⨯=，所以222126180x x x ++⋅⋅⋅+=．于是()()22212612612615290y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则126156y y y y ++⋅⋅⋅+==．故选：B ．点评：本题考查均值和方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．本题还考查统计与数学文化，考查数据处理能力．7．函数f （x ）＝2sin 2（ωx ﹣6π）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f （x ）在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A ．B ．12C ．2D ．1 答案：D由函数的最小正周期得到ω的值，再根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，结合余弦函数的性质得到函数的最小值；解：解：因为()22sin 1cos 263f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=解得1ω=，所以()1cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以72,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()min 12f x =- 故选：D 点评：本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.8．连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x ，y ，z ，那么点(),,P x y z 到原点O 的A ．13108B ．427C ．1172D ．16答案：A根据题意可知点(),,P x y z 的情况共有216种，由点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，列出满足条件的所有情况，再根据古典概型即可求出结果. 解：由题意可知，所有点(),,P x y z 的情况共有666216⨯⨯=种，点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，所以满足条件的点P 有()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,1,4，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3，()1,4,1，()2,1,1，()2,1,2，()2,1,3，()2,2,1，()2,2,2，()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()3,1,1，()3,1,2，()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2，()3,3,1，()4,1,1共26个，故点P 到原点O 的概率为2613216108=．点评：本题考查古典概型，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题． 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知cos ,cos 2==-ABCB bS C a c且b，则a +c ＝（） A ．B ．CD ．答案：D利用余弦定理角化边可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得3B π=，根据三角形面积公式可得3ac =，再根据余弦定理可求得结果. 解：因为cos cos 2B b C a c=-，所以222222222a c b b ac a b c a c ab+-=+--，化简得222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=，所以1sin 2ABCSacB4，所以22ac =，所以3ac =，又2222cos b a c ac B =+-，所以23()2a c ac ac =+--，所以2()3312a c ac +=+=，所以a c +=. 故选：D. 点评：本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，属于基础题.10．设A 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上一点，且A 在第四象限，O 为坐标原点，若向量m ＝（1，1），10,OA =且2OA m ⋅=-，则该双曲线的离心率为（） A ．BC．3D由已知可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，由10,OA =且OA 2m ⋅=-，可得22210a t c=，2at b a=-，建立关于,a b 的方程，解之，再由双曲线离心率的公式可得选项. 解：由已知可得A 为直线b y x a =-上一点，且A 在第四象限，故可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，2c OA t t a===，其中c =，22210a t c ∴=，22,b aOA m t t t a b a⋅=-=-∴=-，0,0t b a >∴>>，2222102a a t c b a ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，2222221042a a a b b ab a =+-+，2231030a ab b ∴-+=，即(3)(3)0a b a b --=，0b a >>，3b a ∴=.所以该双曲线的离心率为c a ==== 故选：A. 点评：本题考查求双曲线的离心率的问题，关键在于由已知条件得出关于,,a b c 的方程，属于中档题.11．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（）A B C ．52D ．3答案：A作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案. 解：如图所示，因为2,120AC BC ACB ==∠=，可得ABC 的面积为11sin 22224ABC S AC BC ACB ∆=⋅∠=⨯⨯⨯=设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，作圆E 的直径CD ，连接SD ，因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为1323S ABC V SD -=⨯⨯=，解得23SD =，由正弦定理，可得4sin sin 30AC ACCD ABC ===∠，2227SC CD SD =+=，设球的半径为R ，则227R SC ==，解得7R =.故选：A.点评：本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12．已知函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e =的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（）A ．1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1(1,]e e-C ．1[1,]e e-D ．1[1,]e e+答案：B根据函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()xg x e =的图象上存在两对关于直线y x=对称的点，则函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，利用导数法，可得a 的取值范围. 解：解：因为函数()21,f x x ax x e e ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e = 的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，所以函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，即方程ln x a x x =-，1()x e e ≤≤有两解，令ln x y x x =-，1()x e e≤≤，则221ln x xy x -+'=，当11x e≤<时，0y '<，函数y 为减函数；当1x e <≤时，0y '>，函数y 为增函数. 故当1x =时，min 1|1x y y ===，又111||x e x ey e y e e e ===+=-，，所以当1=x e时，1max y e e =+，画出函数图象，如图：由图可知a 的取值范围1(1,]e e-. 故选：B. 点评：本题考查函数的对称性、导数与函数的应用，函数与方程的根的关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于综合题. 二、填空题13．函数f （x ）＝22,01,0x x x nx x ⎧+⎨>⎩，则f （f （1e ））＝_____．答案：﹣1先计算出11e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()1f -得值，由此得出结果. 解：依题意得1(1)1e f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 点评：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知向量a (3,),b (6,8)==m 若a 与b 平行，则m ＝_____．答案：4根据向量平行的坐标表示直接列式求解. 解：由题意可知若a 和b 平行，则386m ⨯=，解得：4m = 故答案为：4 点评：本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型.15．4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．答案：145先将4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭化简为()()444132x x x -+，由此可知4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，从而可求得结果.解：因为()()4444132231x x x x x =-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，故4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()()2044133244444C C 2C 1C 32C 1⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯ ()322231340444444C 32C 1C 32C C 3145⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=．故答案为：145 点评：本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．三、双空题16．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为______；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线MC 与AC 所成角的余弦值为_______．答案：15325117首先可证1BD AC ⊥，在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，可得1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在1BB 上取一点G ，由10BD EG ⋅=，求出G 点的位置，从而得到动点M 轨迹，即可求出动点M 的轨迹围成的图形的面积，显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值；解：解：如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，所以1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,EG t =-．由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =，所以EFG 的边为点M 的运动轨迹．由题意得FG =3344EF AC ==⨯=，动点M的轨迹围成的图形的面积为12⨯=．显然当M 与G 重合时，MC与平面ABCD 所成角最大．因为()4,0,4M，()1C ，所以()1MC =-，(1MC =-=因为直线AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以11143cos ,17217MCn MC n MC n===，即异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为17．故答案为：；17. 点评：本题考查空间中点、线、面的位置关系，利用空间向量法解决立体几何问题，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于难题．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）()2325nn T n =-⋅+.（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥可得出1n n n a S S -=-，然后对1a 的值是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行验证，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）求得数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n T . 解：（1）当1n =时，111213a S ==+=；当2n ≥时，()()11121212nn n n n n a S S ---=-=+-+=.13a =不适合12n na .综上所述，13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）由（1）可得()()13,121212,2n n n n b n a n n -=⎧=-=⎨-⋅≥⎩. 当1n =时，13=T ；当2n ≥时，()123133********n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅，得()()12312323252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，上式-下式得()()()22318123222222212321212n n nnn T n n ----=+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅-()5322n n =-+-⋅，()2325n n T n ∴=-⋅+，13=T 满足()2325n n T n =-⋅+，因此，()2325nn T n =-⋅+.点评：本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题. 18．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A ，B 两个目标投掷，先向目标A 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A 的概率为45，套中目标B 的概率为34，假设小华每次投掷的结果相互独立．（1）求小华恰好套中一次的概率；（2）求小华总分X 的分布列及数学期望．答案：（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =. （1）分为套中目标A 和套中目标B 两种情形，结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即可得结果；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5求出相对应的概率，再计算期望即可. 解：（1）设“小华恰好套中一次”为事件A ，则()411131125445448P A =⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，()1111054480P X ==⨯⨯=；()4111154420P X ==⨯⨯=；()131********P X ==⨯⨯⨯=；()43133254410P X ==⨯⨯⨯=；()1339454480P X ==⨯⨯=；()4339554420P X ==⨯⨯=；∴X 的分布列为：()0123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评：本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．已知12(F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝2|PF 1|．（1）求椭圆C 的标准方程：（2）过点Q （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为点M ′，证明：直线NM ′过定点．答案：（1）22196x y +=；（2）直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）由椭圆的定义和已知条件得111222,3PF PF a PF a +==，又由112PF F F ⊥可得出点P 的坐标，代入椭圆的标准方程中可解出,a b ，从而得出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，点M 、N 的坐标，直线l 的方程与椭圆的方程联立可得点M 、N 的坐标的关系，再表示出直线NM '的方程，将点M 、N 的坐标的关系代入可得直线NM ′所过的定点. 解：（1）由12(F F得c =，22223a b b ∴=+=+，由椭圆的定义得122PF PF a +=，212PF PF =，111222,3PF PF a PF a ∴+==， 112PF F F ⊥，所以点P 的坐标为23a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入椭圆的方程中有22222(31a ab ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=，又22223,3a b b a =+=-，222313a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=-，解得29a =或295a =，当295a =，226305b a =-=-<，故舍去；当29a =，223936b a =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22196x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率必然存在,故设直线l 的方程为(4)y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，联立方程组22196(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222322448180k x k x k +++-=，()()()222222443248181681440kk k k ∆=-+-=-+>，解得267k <，21222432k x x k +=-+，2122481832k x x k -⋅=+，又()22,N x y ，()11,M x y '-，设直线NM '的方程为()()()21212222121y y y y y y x x x x x x x x --+-=-=---，21212122122221222121212121y y y y y y y x y x y x y x y x x y x x x x x x x x x x x ++++-∴=-+=-+-----2112212121y y y x y x x x x x x ++=---()()()()21122121214444k x k x k x x k x x x x x x x ++++⋅++⋅=---()()1212122121824k x x kkx x k x x x x x x x ++++=---222222212124481824824323232k k k k k k k k k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-++⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=--- ()()()()22212116363232k kx x x k x x k =+-+-+()()221169432k x x x k ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，当94x =-时，0y =，所以直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点评：本题考查椭圆的定义和简单的几何性质，求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中直线过定点的问题，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属于较难题.20．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为2时，证明：DB 1⊥平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．答案：（1）见解析，（2）3223[]27-- （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ；（2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a bn --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围.解：（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上，因为2211PB PH HB =+1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232= 所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),(0,2,1),(4,4,1)D D EF B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-++=，所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =,所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B , 设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥，设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11x =，则4(1,1,)3a bn --=，取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角，则4cos cos ,2a b m nm nm nθ+-⋅=-=-=+， 0,sin 0,sinθπθθ≤≤∴>==则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--，点评：此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.21．设函数f （x ）＝x ln x ，g （x ）＝ae x （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线也与曲线y ＝g （x ）相切，求a 的值．（2）若函数G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）存在两个极值点． ①求a 的取值范围；②当ae 2≥2时，证明：G （x ）＜0．答案：（1）21a e =；（2）①10a e<<；②证明详见解析. （1）首先求切线方程，设切点()00,P x y ，利用导数的几何意义列式求解；（2）①由条件转化为y a =与ln 1xx y e +=有两个交点，利用函数的导数求解； ②首先由已知条件22a e≥，转化为()22ln ln xx G x x x ae x x e e =-≤-，再通过构造函数()22ln xx x e e F x x-=，利用导数证明()0F x <恒成立. 解：（1）()ln 1f x x '=+，()11f '=，()10f =，则切线方程为1y x =-设切线与()y g x =相切于点()00,P x y ，则0000011x xae y ae y x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得：02x =，01y =，21a e =；（2）①()ln xG x x x ae =-，0x >，()ln 1x G x x ae '=+-，当()0G x '=时，ln 1e xx a +=，若函数()G x 有两个极值点，即y a =与ln 1xx y e +=有两个交点，设()()ln 10xx h x x e+=>， ()1ln 1x x x h x e --'=，设()1ln 1t x x x=--， ()2110t x x x'=--<，即函数()t x 在()0,∞+上单调递减，且()10t =，∴在区间()0,1()0h x '>，在区间()1,+∞()0h x '<，()h x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，并且()11h e=，当x →+∞时，()0h x →，当0x →时，()h x →-∞，若y a =与()y h x =有两个交点时，10a e<<；②()()()ln x G x f x g x x x ae =-=-，当2222ae a e≥⇔≥，()22ln ln x x G x x x ae x x e e=-≤-，令()222ln 2ln xx x x e e e F x x x x e-==-⋅， ()()222211212xx x e x x e e F x x x e x x e-⋅-'=-⋅=-⋅，显然01x <<时，()0F x '>,()F x ∴在()0,1上单调递增，当()0,1x ∈时，()()210F x F e<=-<，当1x >时，()()()2222111221xx e x x e x F x x x e x e x ---⎛⎫'=-⋅=- ⎪-⎝⎭，令()221x e x H x e x =--，1x >，()()222101x e H x e x '=+>-， ()H x ∴在()1,+∞上单调递增，又()20H =,()1,2x ∈时，()0H x <，当()2,x ∈+∞时，()0H x >,∴当()1,2x ∈时，()0F x '>，当()2,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x ∴在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，当1x >时，()()2ln 210F x F ≤=-<，综上所述，()()0G x F x ≤<，所以()0G x <.点评：本题考查导数的几何意义，根据极值点的个数求参数的取值范围，以及证明不等式，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的难点是第三问，需构造函数()222ln 2ln x x x x e e e F x x x x e -==-⋅，函数的变形求解.22．在直角坐标系xOy 中，P （0，1），曲线C 1的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求||PM |﹣|PN ||．答案：（1）10x y +-=，2240x y x +-=，（2（1）把曲线C 1的参数方程消去参数t 可得普通方程，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=两边同乘以ρ，把互化公式代入可得直角坐标方程；（2）把曲线C 化成标准参数方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，然后利用t 的几何意义求解||PM |﹣|PN ||解：解：（1）曲线C 1的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得普通方程为10x y +-=，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=，所以其直角坐标方程为2240x y x +-=（2）曲线C 1过点P （0，1），则其参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将其代入方程2240x y x +-=得，22()(1)4()0222-++-⨯-=，化简得(22104140t ++=∆=-=>，，设上式方程的根为12,t t，所以12121t t t t +=-=，所以12PM PN t t -=-===点评：本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题.23．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值；（2）证明：92+a b b a ab答案：（1）45；（2）证明见解析（1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.解：（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，， ∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab ，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==，所以92+a b b a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 点评：本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.。

2020届河南省高三适应性测试理科数学试题

2020届河南省高三适应性测试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}0A x x =≥，(){}2lg B x y x x==-，则A B =I （） A ．[)0,+∞B ．()1,+∞C ．{}[)01,+∞UD ．(](),01,-∞+∞U 2．已知复数()211z i =-（i 为复数单位），则z =（）A ．2iBC ．12D ．143．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A ．月工资增长率最高的为8月份B ．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C ．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D ．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知p ：()523450123451x a a x a x a x a x a x +=+++++，则24a a +的值为（） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 5．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若AOB V 的面积为22b ，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3 D6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用n a 表示解下()9,n n n *≤∈N 个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a 满足11a =，且1121,,22,,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数则解下5个环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（）A ．6 B．8+ C．4+ D．4+8．已知函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．己知平行四边形ABCD 中，2AB AD ==，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM CM ⋅u u u u r u u u u r 的最小值为（）A ．916-B ．916C ．12-D ．1210．已知正方形ABCD ，其内切圆I 与各边分别切于点E ，F ，G 、H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =（）A ．2πB ．21π-C ．12D ．π142- 11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（） A ．6 B ．3 C ．0 D ．3-12．如图，在四棱锥P ABCD -中，2PA PB PC PD ====，底面ABCD 是边长为的正方形，点E 是PC 的中点，过点A ，E 作棱锥的截面，分别与侧棱PB ，PD 交于M ，N 两点，则四棱锥P AMEN -体积的最小值为（）A ．3BC ．9D 13．已知函数()()2ln f x x x =-．则函数()f x 在1x =处的切线方程为___________． 14．已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，且1a ，2a ，4a 成等比数列，5=15S ，则4a =__________．15．现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是__________．（填写字母）16．设1F ，2F 是椭圆22:14x C y +=的两个焦点，过1F 的直线1l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆C 交于C ，D 两点（点A ，D 在x 轴上方），则四边形ABCD 面积的最大值为___________.17．如图，在三棱柱111—ABC A B C 中，1BCC V 为正三角形，AC BC ⊥，12AC AA ==，1AC =，点P 在线段1BB 上，且11A P AA ⊥.（1）证明：11AA C P ⊥；（2）求1BC 和平面1A CP 所成角的正弦值.18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC V 的面积S ；（2）若cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长． 19．已知O 为坐标原点，点()0,1F ，M 为坐标平面内的动点，且2，FM ，2OM OF ⋅u u u u r u u u r 成等差数列．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线T ，过点()0,2N 作直线l 交曲线l '于C ，D 两点，试问在y 轴上是否存在定点Q ，使得QC QD ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数()()1sin cos x f x axe x x x =+++．（1）当1a =，π2x ≥-时，求()f x 的最小值；（2）若函数()()sin cos f x x g x xx --=，π7π,00,44x ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ，若函数()g x 的导函数()g x '存在零点，求实数a 的取值范围．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有()N n n *∈份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中()2k k k n *∈≤≤N ，份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为()01p p <<．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取遂份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中的()2k k k n *∈≤≤N ，份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为1ξ；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为2ξ；（ⅰ）若12E E ξξ=，试运用概率与统计的知识，求p 关于k 的函数关系()p f k =，（ⅱ）若1p =，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k 的最大值（ln 41386=．，ln51609=．，ln61792=．，ln71946=．，ln8 2.079=，ln9 2.197=）22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为2cos 2sin cos sin x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足2OA OM OB =⋅，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）． 23．已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0a >，0b >，4a b M +=，求2221a b a b +++的最大值．参考答案1．B【解析】【分析】先化简集合B ,再求A B I 得解.【详解】由题得(){}2lg {1B x y x xx x ==-=或0}x <，所以A B =I ()1,+∞.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，考查对数复合函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数2111(1)222i z i i i i i ====---g ，则1||2z =．故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．C【解析】【分析】根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A 错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B 错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D错误．【详解】解：对于选项A ：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A 错误；对于选项B ：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B 错误；对于选项C ：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D ：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D 错误，故选：C ．【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．4．C【解析】【分析】利用二项式展开式的通项求出24,a a 即得解.【详解】由题得5(1)x +的展开式的通项为515r r r T C x -+=，令32552,3,10r r a C -=∴=∴==；令14554,4,5r r a C -=∴=∴==,所以2410515a a +=+=.故选：C.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项求系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．A【解析】【分析】不妨设(c,0)F ，求出||AB ,得2122,2bc c b a⨯⨯=化简即得解. 【详解】不妨设(c,0)F ，联立,,x c bc x c y b a y x a =⎧⎪∴==⎨=⎪⎩. 所以2||bc AB a=，所以2222122,2,20,2bc c b c ab a ab b a b a⨯⨯=∴=∴-+=∴=.所以222,c c a e a =∴==故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．C【解析】【分析】根据题意，由5a 逐项地推到1a ，再利用1a 的值即可算出结果．【详解】()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩Q 为偶数为奇数， 54332211222(21)244(22)888(21)81616a a a a a a a a ∴=+=-+==+=+=-+==，故选：C【点睛】本题主要考查数列的递推关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．C【解析】【分析】由已知中几何体的三视图，我们可以判断出该几何体是底面是一个底和高均为2的等腰三角形，侧面由一个底和高均为2=腰三角形，分别求出各面面积，累加可得结果．【详解】由三视图得几何体原图如图所示，该几何体是一个在俯视图为底面的三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，高为2，一个侧面由一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC AB ==，底边AD 长为，故其表面积为211222422S =⨯⨯+⨯⨯=+.故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中判断出几何体各面的形状是解答本题的关键． 8．A【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【详解】函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当63x ππ-<<时，63333x πωπππωπω-+<+<+，Q 当0x =时，33x ππω+=，由于函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以，632332πωπππωππ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得12ω≤，0ω>Q ，所以，102ω<≤，因此，ω的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A ．【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中等题． 9．A 【解析】【分析】以BD 的中点为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，以CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线BC的方程为y =，设点(,M x ，(10)x -≤≤，求出OM CM ⋅u u u u r u u u u r的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.【详解】如图所示，以BD 的中点为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，以CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(0,B C -，所以直线BC 的方程为y =设点(,M x ，(10)x -≤≤，所以(,(,)OM x CM x ==u u u u r u u u u r，所以2223343OM CM x x x x x ⋅=++=+u u u u r u u u u r，当38x =-时，OM CM ⋅u u u u r u u u u r 取到最小值916-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究. 10．B 【解析】【分析】由题意，计算正方形EFGH 与圆I 的面积比，利用条件概率公式求出(|)P B A 的值．【详解】由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ，则圆I 的半径为r a =，面积为2a π；正方形EFGH ，面积为22a ；∴所求的概率为22222(|)1a a P B A a πππ-==-．故选：B ．【点睛】本题考查条件概率和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 11．B 【解析】【分析】先求出函数的周期为6，求出(0),(1),(2),(3),(4),(5)f f f f f f 的值即得解. 【详解】由题得()()6[(3)3]3[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以函数的周期为6. 由题得(0)0,(1)1683,f f ==-+=(2)(2)(23)(1)3f f f f =--=-+==， (3)(3)(33)(0)f f f f =--=-+=，(4)(4)(43)(1)(1)3f f f f f =--=-+=-=-=-， (5)(5)(53)(2)(2)3f f f f f =--=-+=-=-=-所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f f +++++=，所以()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f f f f ++++++++++=.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期的判断和应用，考查函数的奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．D 【解析】【分析】如图所示，设PHN α∠=,则180PHM α∠=-o ,设三棱锥M PAE -的高为1h ，三棱锥N PAE -的高为2h，先求出12)6P AMENV h h -=+，再求出12h h +21=114sin α-，求出12h h +的最大值即得解.【详解】如图所示，设PHN α∠=,则180PHM α∠=-o ,设三棱锥M PAE -的高为1h ，三棱锥N PAE -的高为2h ，由题得2AC ==,2,1,PA PE AE ==∴=所以112PAES=⨯=V由题得()12121)326P AMEN M PAE N PAEV V V h h h h---=+=⨯+=+，因为2,1,PB PD OB OD PO====⊥平面ABCD,所以30DPO BPO∠=∠=o,所以1211,22h PM h PN==,所以121()2h h PM PN+=+.在△PHN中，由正弦定理得sinsin(150)PHPNαα⨯=-o,在△PHM中，由正弦定理得sinsin(30)PHPMαα⨯=-o,所以1212h h+=sin(sin(150)PHαα⨯-osin)sin(30)PHαα⨯+-o1=2PHsin(sin(150)αα-osin)sin(30)αα+-o在△PHE中，1sin60,2PEPHPH PH===∴=o所以12h h+=3sin(sin(150)αα-osin)sin(30)αα+-o2221=113sin144sinααα=--，当90α=o时，12h h+取最小值43，所以P AMENV-取最小值463故选：D.【点睛】本题主要考查空间几何体体积的计算和最值的求法，考查正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13．10x y+-=【解析】【分析】先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．【详解】解：Q()()2lnf x x x=-2()x f x lnx x-'∴=+， ()11f '∴=-，()10f =故切线方程为：(1)y x =--，即10x y +-=．故答案为：10x y +-=．【点睛】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题． 14．4 【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，解方程2111()(3)a d a a d +=+g和1541552a d ⨯=+即得1,a d ，即得解. 【详解】设等差数列的公差为d ，由题得2111()(3)a d a a d +=+g 和1541552a d ⨯=+. 11a d ∴==，所以41314a =+⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的基本量的计算，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15．K 【解析】【分析】由题得1,2,L 8E J ===,假设4H =,再推出矛盾，得到假设不成立，再假设4,K =得到答案. 【详解】由题得1,2,L 8E J ===,假设4H =,则3,4F G ==,此时白色的“4”在灰色的“4”的左边，不符合题意，所以假设不成立.假设4,K =则由题得：白2，灰3，白7，灰8；灰1，白5，白6，灰7；白1，灰2，灰4，白8；白3，白4，灰5，灰6. 故答案为：K . 【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16．4 【解析】【分析】四边形ABCD 为平行四边形4ABCD OAB S S =Y V ，设直线AB的方程x my =()()1122,,,A x y B x y，联立2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，121222,414y y y y m m ∴+==-++111121221OAB OF A OF B S S OF y y y S ∆=+=-=-==V V ‖再用换元法求其最大值即可. 【详解】22:14x C y +=222224,1,3a b c a b ===-=c =()1F四边形ABCD 为平行四边形4ABCD OAB S S ∴=Y V设直线AB的方程x my =-()()1122,,,A x y B x y2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22410m y +--=1212214y y y y m ∴+==-+111121221OAB OF A OF B S S OF y y y S ∆=+=-=-==V V ‖令211m t +=≥OAB S ==V 令()+6, [,)91g t t t t=+∈+∞ 2()1, [91,)g t t t '=-∈+∞ 令29()1>0, g t t'=-，则( 3,)t ∈+∞ 9()+6g t t t =+在[1,3)t ∈上为减函数， 9()+6g t t t =+在()3,t ∈+∞上为增函数，()()312g t g ≥=，即9()+612g t t t=+≥≤16OABS==≤=V44ABCD OABS S∴≤=Y V四边形ABCD面积的最大值为4故答案为：4【点睛】考查圆锥曲线的综合应用，结合导数求最值，是难题.17．（1）证明见解析；（2）20【解析】【分析】(1)要证明11AA C P⊥,只需证明1AA⊥平面11AC P,只需证明111AA AC⊥,由1AC=，12AC AA==，所以22211A C A A AC=+，所以1A A AC⊥,因为11AC AC∥，所以111AA AC⊥，又11A P AA⊥,则易证.(2)取BC中点O，证明1C O⊥平面ABC，建立空间直角坐标系，1BC和平面1A CP所成角的正弦值就是(10,BC=-u u u u r和设平面1A CP的一个法向量(),,n x y z=r所成角的余弦值【详解】（1）证明：由1AC=，12AC AA==，所以22211A C A A AC=+，所以1A A AC⊥，因为11AC AC∥，所以111AA AC⊥，又11A P AA⊥，1111A P A C A=I.所以1AA⊥平面11AC P，所以11AA C P⊥.（2）解：由（1）知1AA AC⊥，又11AA CCP，所以1AC CC⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =I ，所以AC ⊥平面11BCC B ，AC ⊂平面ABC ，所以平面11BCC B ⊥平面ABC .取BC 中点O ，由1BCC V 为正三角形知1C O BC ⊥，1C O ⊂平面11B BCC ，又平面11BCC B I 平面ABC BC =，所以1C O ⊥平面ABC ，以O 为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0C -，()0,1,0B，(1C ，(1A，30,2P ⎛ ⎝⎭，132,,22A P ⎛=-- ⎝⎭u u u r，50,,22CP ⎛= ⎝⎭u u ur ，(10,BC =-u u u u r，设平面1A CP 的一个法向量(),,n x y z =r ，则10n A P ⋅=r u u u r 且0n CP ⋅=r u u u r，所以43050x y y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，取5z =，则x =-y =()n =-r.所以111cos ,BC n BC n BC n ⋅===u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，所以直线1BC 和平面1A CP. 【点睛】考查证明线线垂直的方法以及线面角的向量坐标求法，中档题.18．（1（2）BD =【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出=BC 1sin 2S AB BC ABC =⋅⋅∠即可求解；（2）先求出sin 4DAC∠=，sin 4ACD ∠=，再利用正弦定理求出2AD =，求出cos BAD ∠=4-，再利用余弦定理求出BD =【详解】（1）由tan ABC ∠=cos ABC ∠=sin ABC ∠= 在ABC V 中，1AB =，3AC CD ==，由余弦定理，知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，所以291BC =++，即23240BC +-=，解得=BC 3BC =-（舍），所以ABC V 的面积11sin 12262S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=．（2）在ADC V 中，因为cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，所以sin 4DAC ∠==sin ACD ∠=由正弦定理sin sin CD ADDAC ACD=∠∠，所以32AD ==，又()cos cos cos cos sin sin BAD DAC ACD DAC ACD DAC ACD ∠=∠+∠=∠∠-∠∠16164=-=-，在ABD △中，由余弦定理，知22292cos 1272BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=++=所以BD =【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．（1）24x y =（2）存在，定点()0,0Q【解析】【分析】（1）设(),M x y()11y y =+≥-，化简即得解；（2）设l 的方程为2y kx =+，与24x y =联立得到韦达定理，再把韦达定理代入QC QD⋅u u u r u u u r 即得解. 【详解】（1）设(),M x y ，由条件知1FM OM OF =+⋅u u u u r u u u u r u u u r，()11y y =+≥-．两边平方得，2222121x y y y y +-+=++，所以24x y =（满足1y ≥-），所以点M 的轨迹方程为24x y =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设l 的方程为2y kx =+，与24x y =联立得，2480x kx --=，所以216320k ∆=+>，124x x k +=，128x x =-．又设()11,C x y ，()22,D x y ，()00,Q y ，则()()()()110220121020,,QC QD x y y x y y x x y y y y ⋅=-⋅-=+--u u u r u u u r()()12102022x x kx y kx y =++-+-()()()()()()()222221201200012281422k x x k y x x y k k y y =++-++-=-++-+-()2200284y y k =---为定值，从而得00y =，所以存在定点()0,0Q ，使得QC QD ⋅u u u r u u u r为定值4-．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．（1）1cos1e -+．（2）3π44π1122,,e -⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦U 【解析】【分析】（1）利用导数求出()f x 的减区间为π,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为[)1,-+∞，即得()f x 的最小值；（2）等价于cos x x a e =-在7π,00,4π4⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 上有解，设()cos x xm x e =-，利用导数求出函数的单调性即得解. 【详解】（1）当1a =时，()()e 1sin cos xf x x x x x =+++，()()()()()1e sin 1cos sin 1e cos x x f x x x x x x x x '=++++-=++当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0x e >，cos 0x ≥，所以cos 0x e x +>．当π2x >时，e 1x >，cos 1x ≤，所以cos 0x e x +>，所以当π2x ≥时，cos 0x e x +>．故由()0f x '≥，得1x ≥-；由()0f x '<，得1π2x -≤<-，所以()f x 的减区间为π,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为[)1,-+∞，所以()f x 的最小值为()11cos1f e-=-+．（2）由题意得，()sin xg x ae x =+，π7π,00,44x ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ，函数()g x '有零点，即()cos 0xg x ae x '=+=在7π,00,4π4⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 上有解，所以cos xxa e =-，设()cos x x m x e =-，则()sin cos xx xm x e+'=．若()0m x '≥，则sin cos 0x x +≥，04πx ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，解得3ππ44x -≤≤，且0x ≠；若()0m x '<，则sin cos 0x x +<04πx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得3π7π44x <<，所以()m x 在π,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在3π7π,44⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数．而4ππ4m e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()01m =-，3π43π4m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π47π4m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又7π412e -->-，所以4π12e a -≤<-，或3π412a --<≤，所以实数a的取值范围是3π44π1122,,e e -⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦U ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性和有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．（1）115（2）（ⅰ）()1*11,2kp k k n k ⎛⎫=-∈≤≤ ⎪⎝⎭N ．（ⅱ）8 【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（ⅰ）先求出12,E E ξξ，再化简12E E ξξ=即得解；（ⅱ）由12E E ξξ>，得到ln 04kk ->，再利用导数解不等式得解. 【详解】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A ，则()242466115A A P A A ==，即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为115．（2）（ⅰ）由题意知1E k ξ=，2ξ取值的可能有1，1k +，()()211kp p ξ==-， ()()2111kp k p ξ=+=--，所以()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由12E E ξξ=，得()11kk k k p =+--，即()11kp k -=，所以111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以p 关于k 的函数关系()1*11,2kp k k n k ⎛⎫=-∈≤≤ ⎪⎝⎭N ．（ⅱ）由题意知，12E E ξξ>，所以()11k k k k p >+--，即()11kk p ->，所以()11k p k <-，又141e p -=-，所以141e kk -⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边同时取对数，得ln 4k k ->-，即ln 04kk ->，设()ln 4x f x x =-，则()114f x x '=-，易知函数()f x 在()4,+∞上单调递减，()8ln82 2.07920.0790f =-=-=>，()99ln 9 2.197 2.2504f =-=-<，所以k 的最大值为8．【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立重复试验的概率的计算，考查随机变量的期望的计算，考查利用导数解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．（1）22182x y +=，160x y +-=；（2）22280x y x y +--=（除去原点()0,0）．【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程得：()()2222cos sin cos sin 24x y θθθθ+=+++=，所以曲线C 的直角坐标方程为22182x y +=．又由cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 16ρθρθ+=，将极坐标与直角坐标的转化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得直线l 的直角坐标方程为160x y +-=．（2）在极坐标系内，设(),0M ρ，()1,A ρθ，()2,B ρθ，则222211cos sin 182ρθρθ+=，22cos sin 16ρθρθ+=，由22OA OM OB =⋅得，212ρρρ=，即21211ρρρ=，所以22cos sin cos sin 8216θθθθρ++=，从而得()2222cos sin cos sin 8216ρθθρθρθ++=，且0ρ≠，转化为直角坐标方程为228216x y x y ++=，所以点M 的轨迹方程为22280x y x y +--=（除去原点()0,0）．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．（1）6；（2）65．【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可．（2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．【详解】解：（1）因为()2231f x x x =+--所以()7,2,51,21,7, 1.x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪-+≥⎩函数图象如下所示：所以()()max 16M f x f ===．（2）2212122221221221a b a b a b a b ⎛⎫+=--=-+ ⎪++++++⎝⎭，令2x a =+，21y b =+，由条件知210x y +=，2x >，1y >，所以(212121414441010105x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，等号成立条件为25x y ==，即3a =，34b =．所以2221a b a b +++的最大值为46255-=．【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

2020届河南省高三适应性测试理科数学试题(wd无答案)

2020届河南省高三适应性测试理科数学试题一、单选题(★★★) 1. 已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．(★★) 2. 已知复数（为复数单位），则（）A ．B ．C ．D ．(★★) 3. 2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A ．月工资增长率最高的为8月份B ．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C ．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D ．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元(★) 4. 已知：，则的值为（）A ．7B ．8C ．15D ．16(★★) 5. 已知双曲线：的一个焦点为，过作轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 6. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，数列满足，且则解下5个环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．16D ．22(★★★) 7. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（）A ．6B ．C ．D ．(★★★) 8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 己知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 已知正方形，其内切圆与各边分别切于点，，、，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（）A．B．C．D．(★★) 11. 已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（）A．B．C．D．(★★★★) 12. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为的正方形，点是的中点，过点，作棱锥的截面，分别与侧棱，交于，两点，则四棱锥体积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知函数．则函数在处的切线方程为___________．(★★) 14. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，且，，成等比数列，，则__________．(★★★) 15. 现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是__________ ．（填写字母）(★★★★) 16. 设，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，过与平行的直线与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为___________.三、解答题(★★★) 17. 如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点在线段上，且.（1）证明：；（2）求和平面所成角的正弦值.(★★★) 18. 如图，在梯形中，∥ ，．（1）若，且，求的面积；（2）若，，求的长．(★★★) 19. 已知为坐标原点，点，为坐标平面内的动点，且2，，成等差数列．（1）求动点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点作直线交曲线于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．(★★★) 20. 已知函数．（1）当，时，求的最小值；（2）若函数，，若函数的导函数存在零点，求实数的取值范围．(★★★) 21. 某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取遂份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为；（ⅰ）若，试运用概率与统计的知识，求关于的函数关系，（ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值（，，，，，）(★★★) 22. 已知在平面直角坐标系内，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）把曲线和直线化为直角坐标方程；（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．(★★★) 23. 已知函数．（1）求函数的最大值；（2）已知，，，求的最大值．。

河南省2020届高三高中毕业班高考适应性考试(开封市二模)数学(理)试题

2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}0A x x =≥，(){}2lg B x y x x ==-，则A B =I（）A ．[)0,+∞B ．()1,+∞C ．{}[)01,+∞UD ．(](),01,-∞+∞U2．已知复数()211z i =-（i 为复数单位），则z =（）A ．14B ．12C D ．2i 3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降；相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A ．月工资增长率最高的为8月份B ．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C ．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D ．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知p ：()323450123451x a a x a x a x a x a x +=+++++，则24a a +的值为（）A ．7B ．8C ．15D ．165．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若AOB △的面积为22b ，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D．36．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用n a 表示解下()9,n n n *≤∈N个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a 满足11a =，且1121,,22,,n n n a n a a n ---⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数则解下5个环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（）A ．6B．8+C．4+D．48．已知函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．己知平行四边形ABCD 中，2AB AD ==，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM CM ⋅u u u u r u u u u r的最小值为（）A ．916-B ．916C ．12-D ．1210．已知正方形ABCD ，其内切圆I 与各边分别切于点E ，F ，G 、H ，连接EP ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFCH 外，则()P B A =（） A ．2πB ．21π-C ．12D ．π142- 11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．6B ．3C ．0D ．3-12．如图，在四棱锥P ABCD -中，2PA PB PC PD ====，底面ABCD的正方形，点E 是PC 的中点，过点A ，E 作棱锥的截面，分别与侧棱PB ，PD 交于M ，N 两点，则四棱锥P AMEN-体积的最小值为（）A ．3B C ．9D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省2020届高三高中毕业班高考适应性考试(开封市二模)数学(理)试题及其答案

2020 年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A {x | x 0} ， B {x | y lg(x 2 x)} ，则 A B
A．[0, )
B． (1, )
an
22aann
1 1
-1, n为偶数 +2, n为奇数
，则解下 5
个环所需的最少移动次数为
第1页,共11页
A．7
B．10
C．16
D．22
7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，
可得出这个几何体的表面积是
A．6
B． 8+4 6
C． 4+2 6
D． 4+ 6
8．已知函数
y
sin
x
3
A． 9 16
B．知正方形 ABCD ，其内切圆 I 与各边分别切于点 E、F、G、H ，连接 EF 、FG 、GH 、HE .现向正方形 ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件 A ：豆子落在圆 I 内，事件 B ：豆子落在四边形 EFGH 外，则 P(B | A)
A．月工资增长率最高的为 8 月份
B．该销售人员一年有 6 个月的工资超过 4000 元
C．由此图可以估计，该销售人员 2020 年 6，7，8 月的平均工资将会超过 5000 元
D．该销售人员这一年中的最低工资为 1900 元
4．已知 (x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 ，则 a2 a4 的值为
(
0)
在区间
6
,
3

河南省2020年高考适应性测试有答案数学理

河南省2020年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题（理）本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{|3},{1,0,1}x M y R y N =∈==-，则下列结论正确的是（） A ．{0,1}M N =IB ．(0,)M N =+∞UC ．()(,0)R C M N =-∞UD ．(){1,0}R C M N =-I 2．i 是虚数单位，复数31z i =+的虚部是（） A ．0B ．-1C ．1D ．-i3．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为m ，则函数2y x y mx =-=与的图象所围成的封闭图形的面积为（） A ．6256 B ．2506 C ．3756 D ．12564．函数(01)||xxa y a x =<<的图象大致形状是（）5．已知函数(),(0,)mf x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则（） A ．4m ≥ B ．2m ≥ C ．4m ≤ D ．2m ≤6．设实数x ，y 满足221x y +≤，则点(,)x y 不在区域11,11x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩内的概率是（）A ．14B ．21π-C ．2πD ．187．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则cos2sin 2θθ+= （）A ．15-B ．12-C ．15D ．128．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（） A ．0x y += B ．10ex y e -+-= C ．10ex y e +--=D ．0x y -= 9．ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量(1,3),(cos ,sin ),//p q B B p q ==且cos cos 2sin ,b C c B a A C +=∠则= （） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>，在区间[a ，b]上是增函数，且(),(),f a M f b M =-=则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[a ，b]上（） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值-M11．已知F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（） A ．2B ．3C ．4D ．512．已知函数731,,1,222()111,[0,],362x x x f x x x ⎧-⎛⎤∈ ⎪⎥⎪+⎝⎦=⎨⎪-+∈⎪⎩函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．14[,]23B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24[,]33D ．1[,1]2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河南省2020届高三(5月份)高考数学(理科)适应性试卷及答案解析

河南省2020届高三（5月份）高考数学（理科）适应性试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2iz i+=，则z =（） A.12i -B.12i +C.2i +D.2i -2.设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则下列选项正确的是（）A.()1,3A B ⋂=B.[)1,4A B =C.(]1,4AB =- D.{}0,1,2,3,4AB =3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据()()1,,2,,50i i x y i =，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8385.71yx =-，则下列结论中不正确的是（） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(),x yC.若某应聘大学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.83kgD.若某应聘大学生身高为170cm ，则可断定其体重必为55.39kg4.“0m =”是“直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知向量()3,1a =，()1,3b m =-，若向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（）A.()1+∞B.()1++∞C.(()1133,+++∞D.(()1133,+++∞6.设函数()sin f x x x =，[]0,2x π∈，若01a <<，则方程()f x a =的所有根之和为（）A.43π B.2πC.83π D.73π 7.若对任意正数x ，不等式22214a x x++恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.[0，)+∞B.1[,)4-+∞C.1[,)4+∞ D.1[,)2+∞8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（） A.15B.25C.35D.459.已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（）A.1B.2C.3D.410.已知过双曲线22:184x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A ，B ，过原点与弦AB 中点D 的直线交直线3x =-于点E ，若AEF 为等腰直角三角形，则直线l 的方程可以为（）A.(30x y +-+=B.(30x y -++=C.(30x y +--=D.(30x y +++=11.设n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且3245n n S n T n +=+.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且143a a AP AB ACb λ+=⋅+⋅，则实数λ的取值为（） A.2825B.325-C.328D.1825-12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：S=12×弦×矢+12×矢2.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：V=12×圆面积×矢+12×矢3.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000m 2，建筑容积约为340000m 3，估计体育馆建筑高度(单位：m )所在区间为（）参考数据: 323+18000×32=608768，343+18000×34=651304，363+18000×36=694656，383+18000×38=738872，403+18000×40=784000.A. (32,34)B. (34,36)C. (36,38)D. (38,40)第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.若x ，y 满足线性约束条件604400x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.14.过抛物线216x y =的焦点F 的直线AB 被F 分成长度为m ，n 的两段()m n >，请写出一个m ，n 满足的等量关系式______.15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{}n a （单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金1a （万元）的3倍，已知2212200a a +=，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______万元.三、解答题（题型注释）满足AB AD ⊥，4AB =，AC =2BCD BCA ∠=∠，ABC 的面积为4.（1）求BC的长；（2）求ACD△的面积.17.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.（2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附参考公式和数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.且2BC =，1BF EF CE AD ====，AB =ABF ⊥平面BCEF .（1）证明：AB CE ；（2）求二面角A DF C --的余弦值. 19.已知圆(22:16C x y -+=，点()G ，P 是圆C 上一动点，若线段PG 的垂直平分线和CP 相交于点M . （1）求点M 的轨迹方程E .（2）已知直线():0l y kx m m =+≠交曲线E 于A ，B 两点.①若射线BO 交椭圆221164x y +=于点Q ，求ABQ △面积的最大值；②若OA OB ⊥，OD 垂直AB 于点D ，求点D 的轨迹方程. 20.已知函数()()xf x xex R -=∈.（1）判断函数()f x 的单调性；（2）若方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，求实数a 的取值范围；（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：()12ln ln 2x x +>.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为1cos sin x t ay t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的一般方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，若125PA PB ⋅=，求直线l 的一般方程.22.已知函数()2f x x x m =-++.（1）若1m =，求不等式()3f x x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.四、新添加的题型23.函数222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.参考答案1.B【解析】1.根据复数的除法运算，可求12z i =-，再根据复数与共轭复数的关系，即可求出结果. 因为()22212i ii z i i i++===-，所以12z i =+. 故选：B. 2.C【解析】2.先化简集合,A B ，结合选项进行判断.因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A B ⋂=，(]1,4A B =-.故选：C 3.D【解析】3.根据线性回归方程分析，x 的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差.由于线性回归方程中x 的系数为0.83，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；线性回归方程必过样本中心点(),x y ，故B 正确；由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1cm ，其体重约增加0.83kg ，故C 正确；当某大学生的身高为170cm 时，其体重估计值是55.39kg ，而不是具体值，故D 不正确. 故选：D 4.B【解析】4.试题分析：若0m =，则圆()()22112x y -+-=的圆心)1,1(到直线0=+y x 的距离为2，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切，则圆心到直线距离为22|11|=-+m ，解得0=m 或4，故必要性不成立. 5.C【解析】5.先由向量的夹角为锐角，由向量数量积，求出1m >-a ，b 共线时，求出133m =+，进而可求出结果.因为()3,1a =，()1,3b m =-，所以()313a b m ⋅=-+；因为向量a ，b)130m -+>，解得1m >-又当向量a ，b共线时，()10m -=，解得：1m =+ 所以实数m 的取值范围为(()1133,+++∞.故选：C. 6.D【解析】6.先进行化简函数()f x ，利用三角函数的对称性进行求解即可． ∵()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,2x π∈， ∴()[]2,2f x ∈-，又01a <<，∴方程()f x a =有两根1x ，2x ，由对称性得1233322x x πππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，解得1273x x π+=.答案： D7.B【解析】7. 原不等式即2214a x x ++，再利用基本不等式求得24x x+的最大值，可得a 的范围．解：依题意得，当0x >时，2222144x a x x x+=++ 恒成立，又因为44x x+，当且仅当2x =时取等号，所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +，解得a 的取值范围为1[,)4-+∞．故选：B ． 8.A【解析】8.结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有222364233390C C C A A =种分配方案，其中甲、乙两人被分配到同一路口有123418C C =种可能，所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为181905=. 故选：A. 9.D【解析】9.构造函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.设函数()22ln g x x =，()[]33h x x =-，则()()222ln()2ln g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为定义域上的为偶函数，作出函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-的图象，如图所示，当10x -<<时，()6h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当01x <<时，()3h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当1x =时，()()0g x h x ==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln3g x ≤<，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数()[]22ln 33f x x x =-+共4个零点.故选：D.10.A【解析】10.先由题意，得()F -，设:l x my m =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程代入双曲线C 的方程，消去x ，根据韦达定理，以及题中条件，得到22,22D m m ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得直线OD 的方程为2m y x =，求出33E m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，推出EF l ⊥，得到EF AF =，根据题意，求出(3m =±-，即可得出结果.由22:184x y C -=得其左焦点为()F -，则由题意可设:l x my m =-≠，代入双曲线C 的方程，消去x ，整理得()22240m y --+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系，得1222y y m +=-，∴122y y +=()121222m y y x x ++=-=D ⎝⎭∴直线OD 的方程为2my x =.令x =，得y =，即,33E m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线EF0m m --=-，∴EF l ⊥，则必有EF AF ===解得13y =±. 又2211184x y -=，∴13x=-，∴(3m =±-，从而直线l的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=. 故选：A. 11.B【解析】11.由3245n n S n T n +=+，结合数列的n a 与n S 的关系，分别求得{}n a ，{}n b 的通项公式，进而得到143a ab +的值，再结合向量的共线定理，即可求解. 由题意，n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且3245n n S n T n +=+，不妨取232n S n n =+，245n T n n =+，当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，161n n n a S S n -=-=-，验证得当1n =时上式成立，综上数列{}n a 的通项公式为61n a n =-，同理可得，数列{}n b 的通项公式为81n b n =+，则1432825a ab +=，又由点P 在直线BC 上，设BP k BC =，()()1AP AB BP AB kBC AB k AC AB k AB k AC =+=+=+-=-+2825AB AC λ=+⋅，即28125k -=，325k λ==-.故选：B. 12.B【解析】12.分析：根据所给近似体积公式分别计算ℎ=32,32,36,38,40时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为ℎ(m)，则V =12×18000ℎ+12ℎ3，若ℎ=32，则V =304383；若ℎ=34，则V =325652，若ℎ=36，则V =347328，325652<340000<347328，∴34<ℎ<36，故选B. 13.12【解析】13.由线性约束条件，作出可行域， z 的几何意义为直线的截距，移动直线可得经过A 点，z 取最大值.由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，22z x y y x z =+⇒=-+，z 的几何意义为直线的截距，作直线2y x =-，平移该直线，当直线经过点()6,0A 时，2z x y =+取得最大值，即maxz 26012=⨯+=. 故答案为：1214.()4mn m n =+【解析】14.先由题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：4y kx =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到212168y y k +=+，再由题意，得到128y y m n +=+-，121212y y m n kx x x x ，求得2216m nk mn，从而得到()288m n m n m n-+=+-+，求解，即可得出结果. 由题意，()0,4F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：4y kx =+，由2416y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y ，得到216640x kx --=，所以12121664x x k x x +=⎧⎨=-⎩，所以()212128168y y k x x k +=++=+，又过抛物线216x y =的焦点F 的直线AB 被F 分成长度为m ，n 的两段()m n >，所以14y m =-，24y n =-，128y y m n +=+-，所以121212y y m n kx x x x ，因此222222221212121221612816m n m nm n mnkx x x x y y mnx x ，所以()221216888m n y y k m n m n-+=+=+=+-+，即()()()2216m n m n m n -=+-+，整理得：()4mn m n =+. 故答案为：()4mn m n =+. 15.200【解析】15.设等差数列{}n a 的公差为d ，且满足2212200a a +=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()111254553102a d a a a ⨯+⨯+⨯=+，再利用基本不等式求最值即可. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且满足2212200a a +=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()()111125455310210102002a d a a d a a ⨯+⨯+⨯=+=+≤==，当且仅当1210a a ==时等号成立. 故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元. 故答案为：20016.（1）2BC =；（2）10.【解析】16.（1）由ABC 的面积求得sin BAC ∠的值，进而求得cos BAC ∠，然后在ABC 中利用余弦定理可求得BC 的长；（2）利用勾股定理得出AB BC ⊥，进而推导出DCA BCA CAD ∠=∠=∠，可得出AD CD =，过顶点D 作AC 的垂线，垂足为E ，在Rt ADE △中，利用正弦定理可求得DE 的长，然后利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积.（1）由已知11sin 4sin 422ABC S AB AC BAC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯∠=△，可得sin BAC ∠=，又AB AD ⊥，所以0,2BAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5BAC ∠==. 在ABC 中，由余弦定理2222cos 4BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，2BC ∴=；（2）由（1）可得：222AC AB BC =+，所以AB BC ⊥，故2BAC BCA π∠+∠=.由AB AD ⊥，得2BAC CAD π∠+∠=，所以∠=∠BCA CAD ，.又2BCD BCA ∠=∠，所以DCA BCA CAD ∠=∠=∠，所以ACD △为等腰三角形，即AD CD =.在ACD △中，过顶点D 作AC 的垂线，垂足为E ，且2ADE CAD π∠+∠=，ADE BAC ∴∠=∠，sin sin cos 2CAD ADE ADE π⎛⎫∴∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭，在Rt ADE △中，由正弦定理sin sin DE AECAD ADE=∠∠，可得sin cossin sin AE CAD AE ADEDE ADE ADE∠∠===∠∠所以111022ACD S AC DE =⋅=⨯=△. 17.（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关；（2）分布列见解析，75.【解析】17.（1）根据题中数据可得22⨯列联表，再利用2K 计算公式得出，即可判断出结论．（2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903P +==．利用二项分布列的计算公式即可得出X 的分布列及其数学期望．解：（1）2×2列联表如下：()2901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，.因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关. （2）X 的可能取值为65，70，75，80，且10201903P +==.()3331165327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()22312270339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()21312475C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. X 的分布列为所以()6570758075279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18.（1）证明见解析；（2.【解析】18.（1）取BC 中点M ，连接CF ，MF ，先由题中条件，得到CF BF ⊥，再由面面垂直的性质，以及线面垂直的判定定理，证明AB ⊥平面BCEF ，进而可得出ABCE ；（2）先由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面ADF 和平面DFC 的法向量，根据向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，进而可得出结果. （1）证明：取BC 中点M ，连接CF ，MF ，因为四边形BCEF 为等腰梯形，2BC =，1BF EF CE AD ====，所以//CM EF ，1CM EF ==，所以四边形EFMC 为平行四边形，所以EC MF =，三角形BMF 为等边三角形，所以60CBF ∠=︒，30BCF ∠=︒，90BFC ∠=︒，即CF BF ⊥，又因为CF ⊂平面BCEF ，平面ABF ⊥平面BCEF ，平面ABF 平面BCEF BF =，所以CF ⊥平面ABF ，因为AB平面ABF ，所以CF AB ⊥，又因为AB BC ⊥，BC CF C =，BC ⊂平面BCEF ，CF ⊂平面BCEF ，所以AB ⊥平面BCEF ，又因为CE ⊂平面BCEF ，所以ABCE .（2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，所以可求得(A，(D，1,022F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C .则31,2DF ⎛=-⎝，()0,1,0AD =，(0,1,DC =. 设向量()111,,a x y z =为平面ADF 的一个法向量，则00a DF a AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111110220x y y -=⎪⎨⎪=⎩，所以令2z =，则43,0,3a ⎛= ⎝；设向量()222,,b x y z =为平面DFC 的法向量，则00b DF bDC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222221022x y y -=⎨⎪-=⎩，令z =(23,b =，所以533cos ,a b a b a b⋅<>==，又二面角A DF C --的平面角为钝角，所以二面角A DF C --的余弦值为33-. 19.（1）2214x y +=；（2）①ABQ ∆面积的最大值为3；②22455x y x ⎛⎫+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】19.（1）根据题意，化简得4GM MC PM MC GC +=+=>，再结合椭圆的定义即可取得点M 的轨迹方程；（2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 的方程为y nx =，得到Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用根与系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得OABS的表示，利用基本不等式，求得OABS面积的最大值；当BO 所在直线斜率不存在时，设l 的方程为1y kx =+，联立方程组，结合面积公式和基本不等式，求得OABS的最大值，即可得到结论；②由①和OA OB ⊥，化简得到()22415k m +=，进而得到OD =.（1）由圆(22:16C x y -+=，可得圆心C ，半径4r =，因为4GC =<，所以点G 在圆C 内，又由点M 在线段PG 的垂直平分线上，所以GM PM =，所以4GM MC PM MC GC +=+=>，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以G ，C 为焦点的椭圆，其中2a =，c =2431b =-=，所以点M 的轨迹方程为2214x y +=.（2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 所在直线方程为y nx =，由2214y nxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22414B x n =+，同理221614Q x n =+，21Q B x x =，所以2OQ OB =，即Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=. 由>0∆得22410k m +->，且122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，则241AB k ==+，又由O 到直线l的距离d =∴222214141212OAB m m k k S ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭==≤=△.当且仅当222214141m m k k =-++，即22241m k =+时等号成立. 故ABQ △面积的最大值为33OAB S =△. 当BO 所在直线斜率不存在时，假设()0,1B ，则()0,2Q -，l 的方程为1y kx =+（其中0k >）.联立22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224180k x kx ++=，则2841A k x k -=+. ∴2112121231241224ABQ A k S BQ x k k k=⋅==≤=+⨯+△，综上可得，ABQ ∆面积的最大值为3.②由①知122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，即()()2212121212(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=，代入解得()22415k m +=，又OD ==所以点D 的轨迹是以O 的圆（去掉x 轴上的两个点），故点D 的轨迹方程为2245x y x ⎛+=≠ ⎝⎭. 20.（1）在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】20.（1）先求解导数()f x '，通过求解不等式，判断函数单调性；（2）利用单调性求解函数的值域，结合图象变化趋势可得212310,a a e ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，然后求解不等式可得结果；（3）构造函数()()()11F x f x f x =+--，判断单调性得出()()11f x f x +>-，结合函数()f x 的单调性可得122x x +>，从而可证结论.（1）因为()x f x xe -=，所以()()1xf x x e -'=-，令()0f x '>可得1x <；令()0f x '<可得1x >；所以函数()xf x xe -=在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）由（1）可得函数()xf x xe -=在1x =处取得最大值，()()max 11f x f e==，所以函数()xf x xe -=的值域为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，且x →+∞时，()0f x →；因为方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，所以212310,a a e ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，即22310a a -+->，21231a a e -+-<，解得112a <<. 即实数a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（3）证明：由()()12f x f x =，12x x ≠，不妨设12x x <，构造函数()()()11F x f x f x =+--，(]0,1x ∈，则()()()()211110x x xF x f x f x e e +'''=++-=->，所以()F x 在(]0,1x ∈上单调递增，()()00F x F >=，也即()()11f x f x +>-对(]0,1x ∈恒成立.由1201x x <<<，则(]110,1x -∈，所以()()()()()()()1111211211f x f x f x f x f x +-=->--==，.即()()122f x f x ->，又因为12x -，()21,x ∈+∞，且()f x 在()1,+∞上单调递减，所以122x x -<，即证122x x +>.即()12ln ln 2x x +>. 21.（1）22143x y +=；1x =或()tan 1y x α=⋅-；（20y -=或0y +-.【解析】21.（1）由曲线C 和直线l 的参数方程，消去参数，即可求得曲线C 和直线l 的一般方程；（2）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.（1）由题意，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），即cos 2sin x αα⎧=⎪⎪⎨=（α为参数），平方相加，可得曲线C 的一般方程为22143x y +=，由直线l 的参数方程为1cos sin x t a y t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为()tan 1y x α=⋅-.当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =.（2）将l 的参数方程1cos sin x t a y t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入22143x y +=，整理得()2224sin 3cos 6cos 90t t ααα++⋅-=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则122294sin 3cos t t αα⋅=-+， ∴229124sin 3cos 5PA PB αα⋅==+，解得2tan 3α=，即tan α=tan α=，所以直线l0y --=0y +=.22.（1）{}1x x ≤；（2）(][),31,-∞--+∞.【解析】22.（1）求出函数的两个零点，再利用零点分段法解不等式，即可得到答案；（2）利用绝对值不等式，将()1f x ≥恒成立等价于21m +≥恒成立，再解绝对值不等式，即可得到答案；解：（1）当1m =时，()12,13,1221,2x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩.当1x ≤-时，由()3f x x ≥，得51x ≤，解得15x ≤，所以1x ≤-；当12x -<<时，由()3f x x ≥，得33x ≤，解得1x ≤，所以11x -<≤；当2x ≥时，()3f x x ≥，解得1x ≤-，所以无解.综上()3f x x ≥的解集为{}1x x ≤（2）()222x x m x x m m -+≥--+=++，当且仅当()()20x x m -+≤时等号成立，故()1f x ≥恒成立等价于21m +≥恒成立，由21m +≥，可得3m ≤-或1m ≥-，所以m 的取值范围是(][),31,-∞--+∞.23.e (],1-∞【解析】23.将0a =代入，求出函数的导数得出()0f x '>恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性1x e x >+可得()2111a x -+≥，进而可得结果.当0a =时，∵()222ln x f x x e x =-，∴()222222x x f x xe x x e x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1x g x e x =--,()()100x g x e g ''=->=, 所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立， ∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.。