北师大版九年级数学下册2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质(同步练习)
北师大版数学九年级下册 二次函数y=ax2的图象与性质教案与反思
第1课时二次函数y=ax2的图象与性质知人者智，自知者明。
《老子》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解拋物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知一次函数y=kx+b和反比例函数xy=k(k≠0)图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知(1)试着画出y=x2的图象【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.(2)探究y=x2的性质【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.【归纳结论】它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.拋物线顶点概念：拋物线与它的对称轴的交点叫做拋物线的顶点.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？【归纳结论】1.抛物线y=ax2（a≠0)的对称轴是狔轴，顶点是原点；a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；a0时，拋物线y=ax2的开口向上，顶点是拋物线的最低点a越大，拋物线的开口越小；3.a<0时，拋物线y=ax2的开口向下顶点是拋物线的最高点a越大，拋物线的开口越大．1.布置作业：教材“习题2.2”中第1、2题.2.成练习册中本课时的练习.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。
本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。
该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。
二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。
对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。
从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。
因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。
学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。
该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。
北师大版九年级数学下册二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质同步练习题
2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
九年级数学二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(知识讲解)Word版含解析
专题2.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.4 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像与性质（知识讲解）【学习目标】1.理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2.会用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3.掌握二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质．【要点梳理】要点一、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线．因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图像的最低点．因为抛物线y ＝x2有最低点，所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标．2.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的画法用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确．特别说明：二次函数y＝ax2（a≠0）的图像．用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，该图像是轴对称图形，对称轴是y轴．y＝ax2（a≠0）是最简单的二次函数，把y ＝ax2（a≠0）的图像左右、上下平行移动可以得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像．画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与x轴的交点，5）与y轴的交点．3.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：特别说明：顶点决定抛物线的位置．几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同．│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同．│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大， 图像两边越靠近x轴．【典型例题】类型一、作出二次函数2y ax=的图像1．画函数212y x=-的图像．举一反三：【变式1】2．画出二次函数y＝x2的图象．【变式2】3．画出二次函数y=﹣x2的图象．类型二、二次函数2y ax 的参数值4．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是 y ＝ax 2； y ＝bx 2； y ＝cx 2； y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．举一反三： 【变式1】5．如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax2上．求a 的值及点B 的坐标.【变式2】6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）类型三、二次函数2y ax =的开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点坐标7．函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x -3的图象交于点（1，b ）． 求：（1）a 和b 的值；（2）求抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）作y=ax 2的草图． 举一反三： 【变式】8．已知函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数．（1）求m 的值．（2）当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 类型四、二次函数2y ax =的增减性9．已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值；(2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？(3)k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 举一反三： 【变式1】10．已知24(2)k k y k x +-=+ 是二次函数，且函数图象有最高点．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减少． 【变式2】11．已知函数y ＝（k ﹣2）245k k x -+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增大而减小？类型五、二次函数2y ax =的综合应用12．如图，梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上，且////AB CD x 轴.A 点坐标为（a,-4），C 点坐标为（3,b ）.（1）求a ，b 的值； （2）求B ，D 两点的坐标； （3）求梯形的面积. 举一反三： 【变式1】13．在平面直角坐标系中，若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >，点O 为原点，求ABO ∆的面积.【变式2】14．抛物线y＝ax2(a＞0 )上有A 、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a为何值时， AOB为直角三角形．参考答案：1．见解析【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可．【详解】解：列表：描点、连线如下图所示：【点睛】本题考查了二次函数的画法，做题的关键是列出表格、描点、连线即可．2．图像见解析.【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．【详解】函数y＝x2的图象如图所示：【点睛】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．3．见解析【分析】首先列表，再根据描点法，可得函数的图象．【详解】列表：描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在直角坐标系中描出；连线：用平滑的线顺次连接，如图：【点睛】本题考查了二次函数图象，正确在坐标系中描出各点是解题的关键．4．a＞b＞d＞c【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．故答案为：a＞b＞d＞c．【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．5．a=1, B（2,2）2【详解】试题分析：先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.解：把点A（-4，8）代入y=ax2,得：16a=8a=12y=1x2.2x2得：再把点B（2，n）代入y=12n=2.B（2,2）.6．a1＞a2＞a3＞a4【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【详解】解：如图所示： y＝a1x2的开口小于 y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，y＝a3x2的开口大于 y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.【点睛】考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．7．（1）a=b=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析【详解】试题分析：（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.试题解析：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，把点（1，-1）代入y=ax 2中，得a=-1； （2） 在y=-x 2中，a=-1<0， 抛物线开口向下；抛物线y=ax 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）； （3）作函数y=ax 2的草图如下：8．（1）m 1＝−4，m 2＝1；（2）当m ＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【分析】（1）根据二次函数的定义求出m 的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值； 【详解】解：（1） 函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，m 2＋3m−2＝2，m ＋3≠0， 解得：m 1＝−4，m 2＝1； （2） 函数图象的开口向下， m ＋3＜0， m ＜−3，当m ＝−4时，该函数图象的开口向下； （3） m ＝−4或1，当m ＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值， m ＞−3， m ＝−4或1，当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．9．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k 的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．【详解】(1) 根据二次函数的定义得 22210k k ⎧-=⎨+≠⎩ 解得k=±2. 当k=±2时，原函数是二次函数.(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，k+1＞0，即k ＞-1，根据第(1)问得：k=2.该抛物线的解析式为2y 3x =， 抛物线的顶点为(0，0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1＜0，即k ＜-1，根据第(1)问得：k=-2.该抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为(0，0)，当k=-2时，函数有最大值为0. 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．10．（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．【详解】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k 2+k ﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k +2＜0，即可得出k 的值；（2）利用（1）中k 的值得出二次函数的解析式，利用形如y =ax 2（a ≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y 轴即可得出答案．试题解析：解：（1） 24(2)k k y k x +-=+是二次函数， k 2+k ﹣4=2且k +2≠0，解得k =﹣3或k =2． 函数有最高点， 抛物线的开口向下， k +2＜0，解得k ＜﹣2， k =﹣3；（2）当k =﹣3时，二次函数为y =﹣x 2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．11．（1）1213k k ＝，＝；（2）k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；（3）k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x 的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k 的值；（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．【详解】解：（1） 函数y ＝（k ﹣2）245kk x -+是关于x 的二次函数，k 满足2452k k +﹣＝，且k ﹣2≠0，解得：1213k k ＝，＝；（2） 抛物线有最高点，图象开口向下，即k ﹣2＜0，结合（1）所得，k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．（3） 函数有最小值，图象开口向上，即k ﹣2＞0，k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．12．（1）2a =-,9b =-；（2）(2,4)-B ，(3,9)D --；（3）25.【分析】（1）把点A ，点C 坐标分别代入解析式，即可求出a ，b 的值；（2）由B 与A 的纵坐标相等，D 与C 的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B ，D 的坐标；（3）分别求出AB ，CD 和梯形的高，即可得到答案.【详解】解：（1）当4y =-时，24a -=-，2a =±.点A 在第三象限，2a =-.当3x =时，9y =-，9b =-.（2） ////AB CD x 轴，A 点与B 点，C 点与D 点的纵坐标相同.2y x =-关于y 轴对称，(2,4)-B ，(3,9)D --.（3）由题意，得AB 4CD 6==，，梯形的高为5， 1(46)5252ABCD S =⨯+⨯=梯形. 【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.13．34. 【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线1y x =+与y 轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【详解】解：由题意得：221y x y x ⎧=⎨=+⎩解得：12x =-或1x = 点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >(1,2)A ，11(,)22B - 直线1y x =+与y 轴的交点坐标为：（0，1） 11131112224ABO S ∆=⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．141【分析】先求出AB两点坐标，再根据 AOB为直角三角形，根据勾股定理分情况列出含a 的方程进行求解.【详解】 x=-1, y=a,x=2, y=4a，A（-1，a）,B（2，4a）当AB为斜边时，AB2=AO2+BO2，即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=12，a=a>当BO为斜边时，OB2=AB2+AO2，得a=±1，a>0, a=1，AO2=1+a2<9+9a2= AB2，AO2=1+a2<4+16a2= OB2AO不是斜边，1.【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件
4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性 顶点 增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点 （最大值为k）
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
3．(3 分)若 A(－2，y1)，B(1，y2)是二次函数 y＝－23 x2 图象上的两点，则( C ) A.0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．(3 分)若原点是抛物线 y＝(m＋3)x2 的最高点，则 m 的取值范围为___m_＜__－__3___．
解：(1)∵点 A(4，0)，点 B(0，6)，∴OA＝4，易得直线 AB 的表达式为 y＝－32 x
＋6，∴S△AOP＝12 OA·yP＝12 ·4yP＝6，∴yP＝3，∴－32 xP＋6＝3，∴xP＝2，∴点 P(2，
3).又∵点 P(2，3)在抛物线 y＝ax2＋2 上，∴3＝22a＋2，∴a＝1 4
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质
二次函数y＝ax2的图象与性质 1．(2 分)如图，二次函数 y＝－3x2 的图象为( C ) A.① B．② C．③ D．④
2．(3 分)抛物线 y＝2x2，y＝－2x2，y＝1 x2 共有的性质是( B ) 2
第 13 题图
第 14 题图
三、解答题(共 36 分) 15．(10 分)如图，抛物线 y＝ax2＋2 与经过点 A(4，0)，B(0，6)的直线在第一象 限内相交于点 P，且△AOP 的面积为 6. (1)求 a 的值； (2)若将该抛物线向下平移 m 个单位长度后所得的抛物线经过点 A，求 m 的值．
解：(1)根据题意可知顶点 C(0，4)，点 A(－2，8)，点 B(2，8)，∴可设抛物线的函 数表达式为 y＝ax2＋4.将点 B(2，8)代入 y＝ax2＋4，得 8＝22a＋4，解得 a＝1，∴该抛 物线的函数表达式为 y＝x2＋4
2.2二次函数的图象和性质第二课时二次函数y=ax2与y=ax2+c
④
1).
图象为
①.
③
2).
3).
y 4x
2
③
图象为
图象为
①
o
2 2 y x 3
②.
.
x
②
④ 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 2. y = -2x 4). 图象为 .
沿y轴向上平移5个单位 得到的. 它的对称轴是 y轴 , 顶点坐标是（0，5） ,在x<0时.y值随x的增大而 增大 ； 与x轴有 2个 交点。
7.对于抛物线 y=x2和 y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说 法错误的是（ ） A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点 8.已知抛物线 y=mx2＋ n向下平移 2个单位后得到的函数图像
9.如图，直线 l 经过 A（ 3 ， 0）， B（ 0 ， 3）两点，且与二次 函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
y y 2 x 1
2
y 2 x 2
位置不同; 最大值不同: 分别是1和0..
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² -1的图象 与二次函数y=3x² 的图象. 二次函数y=3x² 一l的图象与二次函数y=3x² 的图 象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方 向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
想一想
你知道函数y=3x2-1的 大致图象和位置吗?
y 1.
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
北师大版九年级下册数学第5讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理(1)
北师大版九年级下册数学第 5 讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理【学习目标】1.经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2.会作出y=ax2 和y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3.能说出y=ax2＋c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=a x2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y 轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x 的值，求出相应的y 值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x 和y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.3.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴.要点二、二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象与性质1.二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象（1）a 0yy = ax 2+ c (c > 0)c Oxyy = ax 2 + c (c < 0) Oc x（2） a < 0yc OxyOcx2.二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象的性质y = ax 2 + c (c > 0)y = ax 2 + c (关c < 0于) 二 次 函 数y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数y= ax 2 + c (a > 0, c > 0)y = ax 2 + c (a < 0, c > 0)图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大.最大（小）当x = 0 时，y最小值=c当x = 0 时，y最大值=c 值【典型例题】类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．(2014 秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 的图象交于点P（1，m）（1）求a，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．【思路点拨】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 即可求出未知数的值；（2）把a 代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1 的图象上∴m=2×1﹣1=1 代入y=ax2∴a=1（2）二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y 轴，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．举一反三：【变式1】二次函数y =ax2与y =-2x2的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=．【答案】2.【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点【答案】A.2.已知y=(m+1)x m2+m 是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax2（a≠0）的图象性质来解答.【答案与解析】⎩⎧m 2 + m = 2由题意， ⎨m +1＞0 ，解得 m=1，∴二次函数的解析式为：y= 2x 2 .【总结升华】本题中二次函数还应该有 m+1≠0 的限制条件，但当 m +1＞0 时，一定存在 m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象与性质3. 求下列抛物线的解析式：（1） 与抛物线 y = - 1 x 2+ 3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； 2（2） 顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于 y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则| a | 相同，再由开口方向可确定 a 的符号，由顶点坐标可确定 c 的值，从而确定抛物线的解析式 y = ax 2 + c ．【答案与解析】（1） 由于待求抛物线 y = -1x 2 + 3 21形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 ， 2又顶点坐标是（0，-5），故常数项 k = -5 ，所以所求抛物线为 y = 1x 2 - 5 ．2（2） 因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为 y = ax 2 +1 ，又∵该抛物线过点（3，-2），∴ 9a +1 = -2 ，解得 a = - 1．3∴所求抛物线为 y = - 1x 2 +1．3【总结升华】本题考察函数 y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4. 在同一直角坐标系中，画出 y = -x 2 和 y = -x 2 +1的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y =-x2+1向平移个单位得到抛物线y =-x2；(2)抛物线y =-x2+1开口方向是，对称轴为，顶点坐标为；(3)抛物线y =-x2+1，当x时，随x 的增大而减小；当x时，函数y 有最值，其最值是．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答.【答案与解析】函数y =-x2与y =-x2+1的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y 轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大； 1.【总结升华】本例题把函数y =-x2+1与函数y =-x2的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数y =ax2+c(a ≠ 0) 与y =ax2 (a ≠ 0) 的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．y =ax2+c(a ≠ 0) 可以看作是把y =ax2 (a ≠ 0) 的图象向上(k > 0) 或向下(k < 0) 平移| k | 个单位得到的．举一反三：【变式】函数y = 3x2可以由y = 3x2-1 怎样平移得到？【答案】向上平移1 个单位.。
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.2 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
K12课件
4
2．2018·虹口区一模 抛物线y＝2x2－4的顶点在( B )
A．x轴上
B．y轴上
C．第三象限
D．第四象限
[解析] B 根据题意知，抛物线y＝2x2－4的对称轴为直线x＝0，故 它的顶点在y轴上．故选B.
K12课件
5
3．若在同一直角坐标系中，作函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝ －2x2＋1的图象，则它们( A ) A．都关于y轴对称 B．开口方向相同 C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
上的两个点，∴y1＝－2x12＋m，y2＝－2x22＋m.∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22，
∴y1＜y2.故选C.(也可以利用二次函数的增减性得出y1＜y2)
K12课件
7
5．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所
得新抛物线的表达式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2
B．y＝(x＋1)2＋2
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
K12课件
1
第二章 二次函数
第2课时 二次函数y＝ax2， y＝ax2＋c的图象与性质
课堂达标
素养提升
K12课件
2
课堂达标
一、 选择题
1．2017·余杭区期中 已知二次函数y＝ax2的图象经过点(－2，6)，
则下列点中不在该函数图象上的是( )D
A．(2，6)
B．(1，1.5)
C．(－1，1.5)
D．(2，8)
K12课件
3
[解析] D 把(－2，6)代入 y＝ax2 中，得 4a＝6，则 a＝32，所以这个二次函数 的表达式为 y＝32x2.A.当 x＝2 时，y＝32×22＝6，所以点(2，6)在该函数的图象 上；B.当 x＝1 时，y＝32×12＝1.5，所以点(1，1.5)在该函数的图象上；C.当 x ＝－1 时，y＝32×(－1)2＝1.5，所以点(－1，1.5)在该函数的图象上；D.当 x ＝2 时，y＝32×22＝6，所以点(2，8)不在该函数的图象上．故选 D.
2.2.4北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;
北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质课件
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
九下数学(北师版)课件-二次函数y=ax2的图象与性质
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
3．对于函数 y＝4x2，下列说法正确的是( B )
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．y 随 x 的增大而减小
D．y 随 x 的增大而增大
4．(德州中考)给出下列函数：①y＝－3x＋2；②y＝x3；③y＝2x2；④y＝3x，
最小值是 0 .
7．不画图象，说出抛物线 y＝－43x2 的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高 (低)点坐标． 解：抛物线 y＝－34x2 的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0,0)．∵a＝－43＜0，∴ 开口方向向下，最高点坐标是(0,0)．
8．二次函数 y＝x2 与一次函数 y＝－x－1 的图象在同一直角坐标系中(如图)， 大致应为( D )
自我诊断 1.若二次函数 y＝ax2 的图象经过点 P(－2,4)，则该图象必经过点
(A )
A．(2,4)
B．(－2，－4)
C．(－4,2)
D．(4，－2)
易错点：忘记由图象特征对所求的值进行判断取舍．
自我诊断 2.若二次函数 y＝(a－3)x2＋a2－2a－3 的图象如
图所示，试求 a 的值．
解：由题意可知：a2－2a－3＝0，a1＝－1，a2＝3，∵a－3＜0，∴a＝－1.
O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐
标为 ( 2，2) .
13．一个二次函数，它的图象的对称轴是 y 轴，顶点是原点，且经过点(－1， 13)． (1)求出这个二次函数的解析式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)抛物线在对称轴左侧部分，y 随 x 的增大怎样变化？这个函数有最大值还是 最小值？ 解：(1)由题意可设抛物线解析式为 y＝ax2，将点(－1，13)代入得，a＝13，∴y ＝31x2； (2)略； (3)在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，这个函数有最 小值．
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2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质
1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.
2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.
3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.
4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.
5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.
6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.
7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( ) A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大
B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点.
9.如图，函数y ＝ax 2
与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).
10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式:
(1)通过点(-3,2);(2)与y=12
x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.
11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。
3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。
所以，乐观地面对人生吧！
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。
4.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。
所以，乐观地面对人生吧！。