同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程

由于 是任意非零常数，又 也是方程的解，故原方程的通解为
（ 为任意常数）．
注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：
．
如果存在 ，使得 满足微分方程，且包含在通解中，可与通解合并
．
如果 不包含在通解中，求解微分方程时，必须补上，和通解一起共同构成微分方程的解．
例2求微分方程 的解．
本课程只讨论常微分方程．
定义2微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．
在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程．
一般地， 阶微分方程记为：
．
定义3若将 代入微分方程中使之恒成立，则称 是微分方程的解（也称显式解）；若将 代入微分方程中使之恒成立，则称关系式 是微分方程的隐式解．
定义5求解微分方程 满足初始条件 的特解问题称为一阶微分方程的初值问题．记作
．
例1验证 是微分方程
的解．
解 的一阶导数 和二阶导数 分别是
，
．
把 和 代入微分方程中，
．
因此， 是微分方程的解．
如果 、 是任意常数，则解 是二阶微分方程 的通解．
例2已知 是微分方程 的通解，求满足初始条件 ， 的特解．
解将方程分离变量，得到 ，
两边积分: ，得 ，整理得方程的通解是
（ 为任意非零常数）．
由于 ，解得 ， 也是方程的解．
另外， 包含在通解中， 不含在通解中，故原方程的解为
（ 为任意常数）和 ．
例3镭的衰变有如下规律：镭的衰变速率与它的现存量 成正比．当 时， ．求镭的存量与时间 的函数关系．
解由题意得
定义1含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．
例如 下列微分方程中，
（1） ； （2） ； （3）
（4） ； （5） ．
都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．
第三篇 常微分方程
第六章 常微分方程
函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．
在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．
第一节 微分方程的概念
下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．
1．1 引例
引例1一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点 处的切线斜率为 ，求这条曲线方程．
解设所求曲线方程为 ，且曲线上任意一点的坐标为 ．根据题意以及导数的几何意义得
.
两边同时积分得
（ 为任意常数）．
又因为曲线通过（1，2）点，把 ， 代入上式，得 ．故所求曲线方程为
的形式，则方程 称为可分离变量的微分方程．此处， 为连续函数．
根据以上所述，解可分离变量的微分方程 的步骤如下：
第一步：分离变量，将方程写成 的形式；
第二步：两端积分： ；
第三步：求得微分方程的通解 ，其中 分别为 的原函数．
例1求微分方程 的通解．
解将方程分离变量，得到 = ，
两边积分，即得 ，即 ．
．
满足初始条件 ．
此微分方程为变量分离方程，变量分离，得
，
积分，得
，
即 ．
将初始条件 代入上式，得 ，故镭的衰变规律为
．
2.2齐次方程
如果一阶微分方程中，有些方程不能直接分离变量，但可以通过适当的变量代换，化为可分离变量的微分方程，齐次微分方程就是其中一种．
4．写出下列条件确定的曲线 所能满足的微分方程．
（1）曲线在任一点 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍．
（2）曲线在任一点 处的切线斜率与该点横坐标成正比．
5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了著名的Malthus人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比． 表示时间（变量）， 表示人口总数（依赖于时间变化）， 表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件．
定义4微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．
引例1中，积分后得到 为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．
设微分方程中未知函数 ，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 ；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是 ， ，上述这些条件叫做初始条件．
6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢，渐渐地，小树长高了并且长得越来越快，几年之后，绿荫底下已经可乘凉了；但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来．如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程．（设树生长的最大高度为H(m),在t(年)时的高度为 的是比例常数）
第二节 可分离变量微分方程
本节我们讨论的是一阶微分方程 的解法．
2.1可分离变量微分方程
引例微分方程 ，显然不能直接用积分法求解，但是适当地变形：
，
此时，方程右边是只含 的函数的微分，方程左边是只含 的函数的微分，对上式积分，得
，
即
（ 为任意常数）．
这就是微分方程的通解．
一般地，一阶微分方程 ，如果能变形为
．
引例2将温度为 的物体放入温度为 的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度 成正比，求物体的温度 与时间 之间的函数关系．
解依照冷却定律，冷却方程为
（ 为比例常数），
所求函数关系满足 ， ．
以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系．
下面我们介绍有关微分方程基本概念．
1.2 微分方程的基本概念
解由题意得
，
把 ， 分别代入得
,
即
，
于是微分方程的特解为
．
习题 6百度文库1
1．指出下列各微分方程的阶数．
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
(5) ；(6) ；
（7） ；（8） ．
2. 验证下列函数是所给的微分方程的解．
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
3．验证函数 是微分方程 的解，并求满足初始条件 的特解．