2.2.3两条直线位置关系
新高考 高中数学 选修一 课件+类型题2.2.3 两条直线的位置关系
二、两条直线的垂直
对坐标平面内的任意两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，有 l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 .
如果 B1B2≠0， 则 l1 的斜率 k1＝－AB11， l2 的斜率 k2＝－AB22. 又可以得出：l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
知识拓展：
1．两直线相交的判定方法 (1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直 线相交． 2．直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m为 参数且m≠C)． (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为 参数)．
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，
解得λ＝11，∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
类型二、两条直线的平行关系
例 2、判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1， －1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)． [思路探索] 求出斜率，利用“l1∥l2⇔k1＝k2”判断，注意公 式成立的条件．
解：法一 解方程组 x－2y＋4＝0 x＋y－2＝0 得 P(0,2)．
因为
l3
的斜率为3，且 4
l⊥l3，所以直线
l
的斜率为－4，由斜截式 3
可知 l 的方程为 y＝－43x＋2，
山东省武城县第二中学高中数学一轮复习 2.2.3 两条直线的位置关系
山东省武城县第二中学高中数学一轮复习：2.2.3 两条直线的位置关系【学习目标】1.能通过解方程组探求两直线平行、相交、重合的条件。
2.熟练掌握两条直线位置关系的判定方法及性质的应用，并能准确求得直线相交时交点的坐标。
【自主整理】两条直线相交、平行与重合的条件 （1）代数方法判断两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 的位置关系，可以用方程组⎨⎧=++=++0111C y B x A C y B x A 的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下： 方程组的（2）几何方法判断两条直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=的位置关系，也可用两直线的斜率和在y 轴上的截行【典型例题】考点一 两条直线平行、相交、重合的判定例1.已知直线02:1=++-a y ax l ，01)2(:22=+-+y a ax l .问当a 为何值时，直线1l 与2l ：（1）相交；（2）平行；（3）重合。
（一）精妙思路点拨可根据两直线平行、重合、相交所满足的条件进行分类讨论。
（二）名师分析解题（1）若1A 、2A 、1B 、2B 全不为0时 联立方程组⎩⎨⎧=+-+=++-01)2(022y a ax a y ax得：121==a a A A ，21221--=a B B ，1221+=a C C ，由2121B BA A =得1-=a 或1=a ， 由2121C CA A =得1-=a ， 所以：当1≠a 且1-≠a 时，2121B B A A ≠，1l 与2l 相交； 当1=a 时，212121C CB B A A ≠=，1l 与2l 平行；当1-=a 时，212121C CB B A A ==，1l 与2l 重合。
（2）若1A ，2A ，1B ，2B 中有为0的时 当0=a 时，方程组化为⎩⎨⎧=+-=+-01202y y ，这时1l 与2l 平行；当022=-a 时即2±=a ，方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-0120222x y x 此时两直线相交。
两直线的位置关系公式
两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。
在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。
下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。
1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。
此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。
如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。
相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。
直线相交的条件是它们的斜率不相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。
重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。
这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。
在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。
直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
最新人教版高中数学必修2第三章《两条直线的位置关系》
数学人教B 必修2第二章2.2.3 两条直线的位置关系1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件．2．会判断两条直线相交、平行和重合，并会求两条直线的交点坐标．3．理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件，并能熟练运用这一条件判断两条直线是否垂直．1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：111222轴________ __________________ ______________【做一做1】直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2； ②若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2. 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．两条直线垂直的条件(1)设直线l 1，l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，A 2，B 1，B 2均不为0)，则l 1⊥l 2⇔________.(2)设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔________.与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行与垂直的直线若直线l ′与l 平行，则l ′可设为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )； 若直线l ′与l 垂直，则l ′可设为Bx －Ay ＋D ′＝0.过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0； 过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. 【做一做2】下列直线中与直线x －3y ＋3＝0垂直的是( )． A ．3x ＋y －1＝0 B ．3ax ＋ay －a ＝0 C ．3x －y ＋1＝0 D ．x ＋3y ＋3＝01．关于直线的对称问题剖析：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则①l 关于x 轴对称的直线方程是Ax ＋B (－y )＋C ＝0； ②l 关于y 轴对称的直线方程是A (－x )＋By ＋C ＝0； ③l 关于原点对称的直线方程是A (－x )＋B (－y )＋C ＝0； ④l 关于y ＝x 对称的直线方程是Bx ＋Ay ＋C ＝0；⑤l 关于直线y ＝－x 对称的直线方程是A (－y )＋B (－x )＋C ＝0； ⑥l 关于点P (x 0，y 0)对称的直线方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.求点关于点的对称点，点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线，直线关于直线的对称直线问题，其实质都是中点问题与垂直问题的结合．2．教材中的“思考与讨论”已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，如何用这两条直线的斜率k 1，k 2以及b 1，b 2，判定这两条直线平行或者重合？证明你的结论，并说明与直线y ＝kx ＋b 平行的直线可表示为y ＝kx ＋b 1(b 1≠b )． 剖析：l 1∥l 2的条件是k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1与l 2重合的条件是k 1＝k 2且b 1＝b 2.证明：设直线l 1，l 2的一般式分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则k 1＝－A 1B 1，b 1＝－C 1B 1，k 2＝－A 2B 2，b 2＝－C 2B 2，而当A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－C 1B 2≠0时，l 1∥l 2，所以当k 1＝k 2且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.又因为当A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)时，l 1与l 2重合，所以当k 1＝－A 1B 1＝－λA 22＝k 2，b 1＝－C 1B 1＝－λC 22＝b 2时，l 1与l 2重合，所以k 1＝k 2且b 1＝b 2时，l 1与l 2重合．题型一 判断两直线的位置关系【例1】判断下列直线的位置关系．(1)已知两条直线l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)已知两条直线l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0.分析：利用判断两直线位置关系的条件，可以用斜率形式，也可以用一般形式．反思：(1)①判断两条直线平行，首先判断其斜率相等(斜率存在时)，即k 1＝k 2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b 1≠b 2.如果两条直线斜率不存在，两条直线为x ＝a 1，x ＝a 2，只需a 1≠a 2即可；②判断两直线平行，也可用系数比．(2)判断两直线垂直：①如果斜率都存在，只判断k 1k 2＝－1；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；②利用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断．题型二 利用两直线的位置关系定参数【例2】已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？分析：根据两条直线相交、平行、重合的条件列方程或不等关系求解． 反思：利用两直线的位置关系定参数问题一定不要忽视特殊情况，即斜率为0或斜率不存在的情况，再者注意对结果进行检验．题型三 求与已知直线平行或垂直的直线方程【例3】已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程． 分析：本题可根据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出所求直线的斜率后用点斜式求解，也可利用直线系方程的方法来求解．反思：求经过点A (x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行或垂直的直线方程，当l 的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．题型四 对称问题【例4】光线由点A (－1,4)射出，在直线l ：2x ＋3y －6＝0上反射，已知反射光线过点B ⎝⎛⎫3，6213，求反射光线所在直线的方程． 分析：根据反射规律，所求反射光所在直线除了过点B 外，还经过A 关于l 的对称点A ′. 反思：点关于直线的对称一般要利用中点坐标公式及直线的垂直来综合解决，至于光的反射问题一定要看清谁做镜面，及入射光与反射光经过的点．题型五 易错辨析【例5】求经过点A (2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程． 错解：∵所求直线与2x ＋ay －10＝0垂直，∴根据l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1，得所求直线的斜率为a2，∴根据点斜式得l ：y －1＝a2(x －2)，整理得ax －2y －2a ＋2＝0.错因分析：漏掉a ＝0时特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k 1k 2＝－1来求．【例6】当a 为何值时，直线x ＋2ay －1＝0和直线(3a －1)x －ay －1＝0平行？错解：由3a －11＝－a 2a ≠1，得3a －1＝－12.∴a ＝16，∴当a ＝16时，两直线平行．错因分析：漏掉对a ＝0时的讨论，要知道利用上述分式条件容易丢解，克服的办法是先将特殊情况讨论完．1已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－12过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝03已知两直线l 1：(3＋a )x ＋4y －5＋3a ＝0与l 2：2x ＋(5＋a )y －8＝0. (1)l 1与l 2相交时，a ≠__________； (2)l 1与l 2平行时，a ＝__________； (3)l 1与l 2重合时，a ＝__________； (4)l 1与l 2垂直时，a ＝__________.4求和直线4x ＋3y ＋5＝0平行且在x 轴上的截距为－3的直线方程． 答案： 基础知识·梳理 1．(1)平行A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 有一个交点 A 1A 2≠B 1B 2 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)k 1＝k 2且b 1≠b 2 k 1＝k 2且b 1＝b 2 k 1≠k 2 【做一做1】C ①错，②③④正确． 2．(1)A 1A 2＋B 1B 2＝0 (2)k 1k 2＝－1 【做一做2】A 典型例题·领悟【例1】(1)解法一：直线l 1化为斜截式为y ＝－35x ＋65，直线l 2化为斜截式为y ＝－35x －310，由此可知l 1的斜率为k 1＝－35，在y 轴上的截距为b 1＝65，l 2的斜率为k 2＝－35，在y 轴上的截距为b 2＝－310.因为k 1＝k 2＝－35，b 1＝65≠－310＝b 2，所以l 1∥l 2.解法二：因为36＝510≠－63，所以l 1∥l 2.(2)解法一：由直线l 1的方程，知l 1的斜率为k 1＝12；由直线l 2的方程，知l 2的斜率为k 2＝－2. 显然，k 1k 2＝12×(－2)＝－1，所以l 1⊥l 2.解法二：因为3×2＋(－6)×1＝6－6＝0， 所以l 1⊥l 2.【例2】解：∵直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， ∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0，∴(m －3)(m ＋1)≠0，∴m ≠3且m ≠－1. 故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3.∴m ＝－1. 故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．综上所述，当m ≠3且m ≠－1时，两直线相交；当m ＝－1时，两直线平行；当m ＝3时，两直线重合．【例3】(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解．由l ：3x ＋4y －20＝0，得k l ＝－34.设过点A 且平行于l 的直线为l 1， 则kl 1＝k l ＝－34，所以l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.解法二：利用直线系方程求解．设过点A 且平行于直线l 的直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由点A (2,2)在直线l 1上，得3×2＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－14. 故直线l 1的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)解法一：设过点A 与l 垂直的直线为l 2. 因为k l kl 2＝－1，所以kl 2＝43，故直线l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.解法二：设l 2的方程为4x －3y ＋m ＝0. 因为l 2经过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋m ＝0，解得m ＝－2. 故l 2的方程为4x －3y －2＝0.【例4】解：如图所示，设点A 关于直线l ：2x ＋3y －6＝0的对称点A ′的坐标为(x 0，y 0)，则y 0－4x 0＋1＝32，即3x 0－2y 0＝－11.①∵AA ′的中点在直线l 上， ∴2⎝⎛⎭⎫x 0－12＋3⎝⎛⎭⎫y 0＋42－6＝0，即2x 0＋3y 0－2＝0.② 由①②解得⎩⎨⎧x 0＝－2913，y 0＝2813.由两点式方程可得反射光线所在直线的方程为y －6213＝6213－28133＋2913(x －3)，即13x －26y ＋85＝0.【例5】正解1：①当a ＝0时，已知直线化为x ＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l 的斜率为0，∵直线l 过点A (2,1)，∴直线l 的方程为y －1＝0(x －2)，即y ＝1. ②当a ≠0时，已知直线2x ＋ay －10＝0的斜率为－2a，∵直线l 与已知直线垂直，设所求直线斜率为k ，∴k ·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，∴k ＝a 2.∵直线l 过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝a2(x －2)，即ax －2y －2a ＋2＝0.所求直线l 的方程为y ＝1或ax －2y －2a ＋2＝0. 又y ＝1是ax －2y －2a ＋2＝0的一个特例， 因此上两条直线可合写成ax －2y －2a ＋2＝0.正解2：根据题意可设直线l 的方程为ax －2y ＋D ＝0， 又点A 在直线l 上，∴2a －2×1＋D ＝0，∴D ＝2－2a ，∴所求直线l 的方程为ax －2y ＋2－2a ＝0.【例6】正解1：①当a ≠0时，由3a －11＝－a2a ≠1，得3a －1＝－12，∴a ＝16.②当a ＝0时，直线方程分别为x ＝1和x ＝－1，两直线平行． 综上，当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．正解2：由两直线平行，得⎩⎪⎨⎪⎧1·(－a )＝(3a －1)·2a ， ①1·(－1)≠(3a －1)·(－1). ② 由①可得a ＝0或a ＝16，由②可得a ≠23.∴当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．随堂练习·巩固1．D 两条直线的斜率分别为a 和a ＋2且相互垂直，即a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 2．A 与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.3．(1)－7或－1 (2)－7 (3)－1 (4)－133 由题意知A 1＝3＋a ，B 1＝4，C 1＝－5＋3a ，A 2＝2，B 2＝5＋a ，C 2＝－8.则D 1＝(3＋a )(5＋a )－8＝a 2＋8a ＋7，D 2＝－32－(－5＋3a )(5＋a )＝－(3a 2＋10a ＋7)． 当D 1≠0，即a ≠－7或－1时，l 1与l 2相交； 当D 1＝0，D 2≠0，即a ＝－7时，l 1与l 2平行； 当D 1＝0，D 2＝0，即a ＝－1时，l 1与l 2重合；当A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＝－133时，l 1与l 2垂直． 4．解：与直线4x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程可设为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c4，由题意得－c4＝－3，故c＝12，所以所求的直线方程为4x＋3y＋12＝0.。
2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.3两条直线的位置关系基础过关练题组一两条直线的相交、平行与重合1.下列说法中,正确的个数为( )①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等;③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线相交;④若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.A.1B.2C.3D.42.(2019湖南岳阳一中高二月考)若直线l1,l2在x轴上的截距都是m,在y轴上的截距都是n,则l1,l2的位置关系是( )A.平行B.重合C.平行或重合D.相交或重合3.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)4.(2020河北正定一中高二月考)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于( )A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-35.(2019湖北天门高二期中)已知直线l1经过点A(m,1),B(-3,4),直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,实数m的值为( )A.3B.-1C.-3D.16.(2020江苏宿迁高二月考)直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点坐标是.7.若直线l与直线3x-2y=6平行,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为.8.已知直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+a2-1=0,求满足下列条件的a的取值范围.(1)l1与l2相交;(2)l1∥l2;(3)l1与l2重合.题组二两条直线的垂直9.(2019山东济南高二月考)与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )x+4 B.y=2x+4A.y=12x+4C.y=-2x+4D.y=-1210.(2020河南平顶山高一期末)下列四组直线中,互相垂直的一组是( )A.2x+y-1=0与2x-y-1=0B.2x+y-1=0与x-2y+1=0C.x+2y-1=0与x-y-1=0D.x+y=0与x+y-3=011.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=512.(2020辽宁沈阳高二期末)已知直线4x+my-6=0与直线5x-(m-1)y+8=0垂直,则实数m的值为( )A.-4或5B.-4C.5D.4或-513.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形14.(2020湖南娄底高二联考)过点P(3,0)且与直线x-2y+3=0垂直的直线的方程为.题组三两条直线的位置关系的应用15.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )A.(3,4)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,8)16.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .17.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2√2),B(0,2-2√2),C(4,2),则△ABC是.(填△ABC的形状)能力提升练题组两直线位置关系的应用1.(2019湖南长沙高二月考,)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k=( )A.-2B.-12C.2 D.122.(2020山东东营一中高二期末,)已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,若O,A,B,C四点共圆,则y的值是( )A.19B.194C.5D.43.(2019山西临汾一中高二期中,)设集合A={(x,y)|y-3x-1=2,x,y∈R},B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B=⌀,则实数a的值为( ) A.4 B.-2C.4或-2D.-4或24.(多选)(2020河南郑州一中高二月考,)若直线l 1的倾斜角为α,且l1⊥l2,则直线l2的倾斜角可能为( )A.90°-αB.90°+αC.|90°-α|D.180°-α5.(多选)(2020河北沧州高二期中,)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( )A.(2,0)B.(0,2)C.(4,6)D.(6,4)6.(2020河北保定高二期末,)已知过原点O的一条直线与函数y=log 8x的图像交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C,D两点.(1)证明:点O,C,D在同一条直线上;(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.7.(2020湖南长沙雅礼中学高一月考,)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求四边形ABCD为直角梯形时,m和n的值.8.(2020江西南昌高二期末,)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l 上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.答案全解全析基础过关练1.A 若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行或重合,所以①不正确;若两条直线都垂直于x 轴,则这两条直线的斜率都不存在,所以②不正确;若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行或重合,所以④不正确;显然③正确.故选A.2.D 当mn≠0时,l 1,l 2重合;当m=n=0时,l 1,l 2可能相交,也可能重合.故选D.3.C 由方程组{3x +2y +6=0,2x +5y -7=0得{x =-4,y =3,故选C. 4.A 因为直线y=ax-2的斜率存在且为a,所以a+2≠0,直线3x-(a+2)y+1=0可化为y=3a+2x+1a+2.因为两条直线平行,所以3a+2=a 且1a+2≠-2,解得a=1或a=-3.5.A 显然m≠-3,k AB =4-1-3-m =3-3-m,k CD =m+1-m -1-1=-12,由于l 1∥l 2,所以3-3-m=-12,解得m=3,满足题意. 6.答案 (2,3)解析 直线方程可化为m(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.因为对任意m∈R,方程恒成立,所以{2x -y -1=0,x +3y -11=0,解得{x =2,y =3,故直线恒过定点(2,3).7.答案 15x-10y-6=0解析 由题意知直线l 的斜率k=32,设直线l 的方程为y=32x+b(b≠-3).令y=0,得x=-2b 3,所以-2b 3-b=1,解得b=-35,故直线l 的方程为y=32x-35,即15x-10y-6=0.8.解析 (1)因为l 1与l 2相交,所以a(a-1)≠2,所以a≠-1且a≠2. 故当a≠-1且a≠2时,l 1与l 2相交. (2)因为l 1∥l 2, 所以{a (a -1)-2=0,2(a 2-1)-6(a -1)≠0,解得a=-1.故当a=-1时,l 1∥l 2.(3)因为l 1与l 2重合, 所以{a (a -1)-2=0,2(a 2-1)-6(a -1)=0,解得a=2.故当a=2时,l 1与l 2重合.9.D 因为直线y=2x+1的斜率为2,所以与其垂直的直线的斜率是-12,故所求直线的斜截式方程为y=-12x+4.10.B 由两条直线垂直的条件易知B 选项中的两条直线互相垂直.11.B 线段AB 的中点坐标为(2,32),因为直线AB 的斜率k=1-23-1=-12,所以线段AB 的垂直平分线的斜率为2.由直线的点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y=5.12.A 依题意可得4×5-m(m-1)=0,即m 2-m-20=0,所以m=-4或m=5. 13.C 由已知得k AB =-1-12-(-1)=-23,k AC =4-11-(-1)=32,所以k AB ·k AC =-1,即AB⊥AC,故三角形ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. 14.答案 2x+y-6=0解析 设所求直线方程为2x+y+c=0,由直线过点P(3,0)得2×3+0+c=0,解得c=-6,故所求直线方程为2x+y-6=0.15.A 设顶点D 的坐标为(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有k AB =k DC ,k AD =k BC ,所以{0-11-0=3-n 4-m,n -1m -0=3-04-1,解得{m =3,n =4.所以顶点D 的坐标为(3,4). 16.答案 -2;2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2=m2,若l 1⊥l 2,则m2=-1,∴m=-2.当m=-2时,关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两个实数根,∴m=-2满足题意. 若l 1∥l 2,则k 1=k 2,即关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4×2×m=0, ∴m=2.17.答案 直角三角形解析 由已知得,AB 边所在直线的斜率k AB =2-2√2-(2+2√2)0-2=2√边所在直线的斜率k CB =2-2√2-20-4=√22,AC 边所在直线的斜率k AC =2-(2+2√2)4-2=-√2,所以k CB ·k AC =-1,所以CB⊥AC,所以△ABC 是直角三角形.能力提升练1.B 由方程组{2x +3y +8=0,x -y -1=0解得{x =-1,y =-2.将(-1,-2)代入x+ky=0,得k=-12.2.B 由题易知AB⊥BC,所以k AB ·k BC =-1,即4-03-2×y -40-3=-1,解得y=194.3.C 集合A 表示直线y-3=2(x-1),即y=2x+1上的点,但除去点(1,3),集合B 表示直线4x+ay-16=0上的点,当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-4a =2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.4.ABC (1)当α=0°时,l 2的倾斜角为90°(如图1);(2)当0°<α<90°时,l 2的倾斜角为90°+α(如图2);(3)当α=90°时,l 2的倾斜角为0°(如图3);(4)当90°<α<180°时,l 2的倾斜角为α-90°(如图4).故直线l 2的倾斜角可能为90°-α,90°+α ,|90°-α|,但不可能为180°-α.5.AC 设B 点坐标为(x,y),根据题意可得{k AC ·k BC =-1,|BC |=|AC |,即{3-43-0·3-y 3-x=-1,√(x -3)2+(y -3)2=√(0-3)2+(4-3)2,整理可得{x =2,y =0或{x =4,y =6,故B(2,0)或B(4,6).6.解析 (1)证明:设点A,B 的横坐标分别为x 1,x 2.由题意,知x 1>1,x 2>1,A(x 1,log 8x 1),B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1),D(x 2,log 2x 2),且log 8x 1x 1=log 8x 2x 2,又k OC =log 2x 1x 1=3log 8x 1x 1,k OD =log 2x 2x 2=3log 8x 2x 2,所以k OC =k OD ,即点O,C,D 在同一条直线上. (2)由(1)知B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1). 由直线BC 平行于x 轴,得log 2x 1=log 8x 2,所以x 2=x 13,将其代入log 8x 1x 1=log 8x 2x 2,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由x 1>1,知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1,所以x 1=√3,于是A(√3,log 8√3). 7.解析 若四边形ABCD 是直角梯形, 则有2种情形,如图所示:①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1).∴m=2,n=-1. ②AD∥BC,AD⊥AB,∴{k AD =k BC ,k AD ·k AB =-1,即{2-n2-m =2-(-1)4-5,2-n 2-m·-1-n 5-m=-1,解得{m =165,n =-85.综上,{m =2,n =-1或{m =165,n =-85.8.解析 如图,直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l 1的斜率k 1=tan 60°=√3.∵l 1与l 2平行或重合, ∴l 2的斜率为√3.∵l 2是线段AB 的垂直平分线, ∴k AB =2-m+1m -1=3-m m -1=-√33,解得m=4+√3.。
2.2.3 两条直线的位置关系
张喜林制2.2.3 两条直线的位置关系教材知识检索考点知识清单1． 两条直线相交、平行与重合的条件已知两条直线的方程为：.0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l21l l 与相交的条件是 或21l l 与平行的条件是 且 或21l l 与重合的条件是 =/λ（)0或2．两条直线垂直的条件已知两条直线,0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 21l l 与垂直的条件是要点核心解读1．判定两条直线相交、平行的方法方法一：解由两直线方程组成的方程组，由方程组的解的情况判定两直线的位置关系，这种方法虽然思路清晰，但运算较繁琐．方法二：利用斜率判断，但要保证两直线的斜率都存在．,:,:22221111b x k y l b x k y l +=+=21l l 与相交的条件是：;21k k =/21l l 与平行的条件是：21k k =且⋅=/21b b,0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l21l l 与相交的条件是：;0A 21211221B B A A B A B =/=/-或 21l l 与平行的条件是：0012211221=/-=-C B C B B A B A 且或⋅=/=212121C C B B A A 具体步骤如下：(1)给222111C B A C B A 、、、、、赋值；(2)计算;,1221212211C B C B D B A B A D -=-=(3)若,01=/D 则21l l 和相交；(4)若,0,021=/=D D 则21l l 和平行．2．判定两条直线垂直的方法已知两条直线如下：,0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l21l l 与垂直的条件是：.02121=+B B A A设1l 的斜率2111,l B A k -=的斜率,222B A k -=则有.121-=k k 具体步骤如下：(1)给222111C B A C B A 、、、、、赋值；(2)计算;2121B B A A M +=(3)若M=O ，则;21l l ⊥若M≠0，则21l l 与不垂直．3．与直线0:=++C By Ax l 平行或垂直的直线若直线l l 与/平行，则/l 可设为);(0C D D By Ax =/=++若直线/l 与l 垂直，则/l 可设为.0/=+-D Ay Bx过点),(00y x 且与0=++C By Ax 平行的直线可表示为;0)()(00=-+-y y B x x A过点),00y x （且与0=++C By Ax 垂直的直线可表示为.0)()(00=---y y A x x B 典例分类剖析考点1 已知两直线垂直或平行，求直线方程命题规律考查两直线垂直或平行时斜率之间的关系，依已知条件写出直线方程（如例1）．[例1] 求满足下列条件的直线L 的方程．(1)过点P(2，-1)且与直线0623=--y x 平行；(2)过点P(l ，-1)且与直线0132=++y x 垂直．[答案] (1)解法一：已知直线0623=--y x 的斜率 ⋅=231k 已知直线与L 平行，l ∴的斜率⋅=23k 由点斜式得L 的方程为),2(231-=+x y 即.0823=--y x解法二：设直线的方程为,023=+-C y x 由点P （2，-1）在直线上，得,0)1(223=+-⨯-⨯C .8-=∴C 故直线L 的方程为.0823=--y x(2)解法一：直线0132=++y x 的斜率,32/-=k 由垂直条件得L 的斜率,231/=-=k k 由点斜式得L 的方程为),1(231-=+x y 故L 的方程为.0523=--y x 解法二：由L 与直线0132=++y x 垂直可设L 的方程为 .023=+-C y x 点P(l ，-1)在L 上， =+-⨯-⨯∴C )1(213,0得l C ∴-=,5的方程为.0523=--y x母题迁移 1．已知),0,3().0,1()3,0(C B A 、、-求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）．考点2 求参数的值命题规律已知两直线平行或垂直求参数的值．[例2] (1)直线,04)3()2(:21=+-++y m m x m l ,01)3(42:2=--+y m x l 如果,//21l l 求m 的值．(2)直线3)1(:1=-+y a ax l 与2)32()1(:2=++-y a x a l 互相垂直，求a 的值．[答案] (1)解法一：当21l l 的斜率都存在时，由,//21l l 得,422m m =+解得,4-=m 当21l l 的斜率不存在时，21l l 与的方程分别为,21,54=-=x x 显然.3,//21=m l l 故4-=m 或3=m 即为所慕． 解法二：若,//21l l 则有 ⎩⎨⎧=/-⨯--⨯-=⨯---⨯+②①.0)3(44)1()3(,02)3()3(4)2(22m m m m m m m 解得.4-=m当3=m 时，直线21l l 与的方程分别为,21,54=-=x x 显然,//21l l 综上所述.34=-=m m 或 (2)解法一：当a=l 时，;,52,32121l l y l x l ⊥==故为为 当23-=a 时，1l 的方程为2,32523l y x =+-的方程为,225=-x 显然21l l 、不垂直； 当1=/a 且23-=/a 时，由121-=⋅k k 得,13211-=+-⨯-a a x a 解得.3-=a 综上所述，当a=l 或a= -3时，⋅⊥21l l解法二：利用,02121=+B B A A 即,0)32)(1()1(=+-+-a a a a.31-==a a 或解得[点拨] 用斜率来判断两直线的平行或垂直时，应分有无斜率两种情况加以讨论j 而用一般式Ax+ By+C=0判断时，要注意A 、B 为零时的特殊情况，即方程中x 和y 的系数有字母参数时，应分等于零和不等于零两种情况讨论，以避免遗漏特殊情况．母题迁移 2．已知两条直线0111=++y b x a 和+x a 2012=+y b 的交点为P(2，3)，求过两点 ),(),(2211b a B b a A 、的直线方程．考点3 两相交直线命题规律已知两直线相交，求交点坐标或求其相关参数．[例3] 已知两条直线+-=++x m l my x l )2(:,056:21,0215=+m y 当m 为何值时，:21l l 与(1)相交；(2)平行；(3)重合．[答案].0215)2(:,056:21=++-=++m y x m l my x l (1)当01221=/-B A B A 即0)2(15=/--m m 即5=/m 且3-=/m 时，21l l 与相交． (2)当⎩⎨⎧=/-=-,0,012211221C B C B B A B A 即⎩⎨⎧=/-=--,0182,0)2(152m m m 即5=m 时，21l l 与平行． (3)当⎩⎨⎧=-=-,0,02211221l C B C B B A B A 即⎩⎨⎧=-=--,0182,0)2(152m m m 即3-=m 时，21l l 与垂合． 综上可知，当5=/m 时且3-=/m 时，21l l 与相交；当5=m 时，;//21l l 当3-=m 时，21l l 与重合．母题迁移 3．求经过两直线042:1=+-y x l 和+x l :202=-y 的交点P ，并且与直线0543:3=+-y x l 垂直的直线L 的方程．优化分层测讯第一课时 两条直线平行或重合学业水平测试1．下列说法正确的个数有( )．①若两直线21l l 和的斜率相等，则;//21l l ②若,//21l l 则两直线的斜率相等；③若直线21l l 和中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则21l l 与相交；④若直线21l l 与的斜率都不存在，则⋅21//l lA.1个B.2个C.3个 D ．4个2．直线02=+-k y x 与0124=+-y x 的位置关系是( )．A ．平行B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．若直线022=++y ax 与023=--y x 平行，那么实数a 为( )．3.-A 6.-B 23.-C 32.D 4．已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为5．直线012=++y x 与直线0336=++y x 的位置关系为6．已知直线0653:1=-+y x l 和,03106:2=++y x l 求证：⋅21//l l高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．若方程01)253()26(22=-++-+--a y a a x a a 表示平行于y 轴的直线，则a 的值是( )．32.A 21.-B 1.C D ．不存在 2．直线04)1(2:1=+++y m x l 与直线023:2=-+y mx l 平行，则m 的值为( )．2.A3.-B 32.-或C 32.--或D3．直线014=-+y Ax 与直线03=--C y x 重合的条件是( )．0,12.=/=C A A ⋅=-=41,12.C A B 41,12.-=/-=C A C 41,12.-=-=C A D 4．（2009年上海）已知直线01)4()3(:1=+-+-y k x k l 与:2l 032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )．A.l 或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或25．下列叙述中，直线21l l 与一定平行的是( )．1l ①的斜率为2,2l 经过点);8,4()4,2(B A 、1l ②经过点2),3,5().3,3(l Q P -平行于x 轴，但不经过P 、Q 两点；1l ③经过点2),2,5()0,1(l N M h --经过点、)3,4(-R );5,0(S 1l ④的斜率为2,5l 经过点⋅)7,2()6,1(B A N①.A ②.B ③.C ④.D6．已知直线L 的方程为),(,0),(111y x P y x f =和),(222y x P 分别是直线L 上和直线L 外的点，则方程 ,),(),(211x f y x f y x f （--0)2=y 表示( )．A ．与L 重合的直线B ．过点1P 且与L 垂直的直线C ．过点2P 且与L 平行的直线D ．不过点2P 但与L 平行的直线7．已知直线--=⋅+-+-x k l y k x k l )3(2:01)4()3(:21与032=+y 平行，则k 的值是( )．A.l 或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或28．过点（-1，3）且斜率为23-k 的直线1l 与过点)0,2(k -且斜率为32+k k 的直线2l 平行，则实数k 的值是( )． 91.或-A 91.或B 9.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知直线L 过直线01053:1=--y x l 和01:2=++y x l 的交点，且平行于,052:3=-+y x l 则直线L 的方程是10.过点(2，1)且与直线0132=++y x 平行的直线方程为11.方程0=++C By Ax 与方程0122=+++C By Ax 表示两平行直线的条件是12．直线022:=--y x l 关于点(2，3)对称的直线/l 的方程是三、解答题（10分x4 =40分）13.已知两条直线,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，:21l l 与(1)相交；(2)平行；(3)重合．14.已知集合|),{(},123|),{(y x B a x y y x A =+=--=},15)1()1(2=-+-y a x a 当a 取何值时，∅=B A ？15.直线L 与直线024=-⋅-x x 平行且L 与两坐标轴所围成的三角形的周长为12，求直线L 的方程．16.已知三角形ABC 的顶点为),5,2()3,3().1,6(C B A 、(1)求AC 边上的中线的中点坐标；(2)求一点D ，使A 、B 、C 、D 四点能构成平行四边形．第二课时两直线相交和垂直学业水平测试1．给出下列四个命题：①若两条直线互相平行，则这两条直线的斜率相等；②若两条直线的斜率相等，则这两条直线互相平行；③若两条直线互相垂直，则这两条直线斜率的乘积等于-1;④若两条直线的斜率乘积等于-1，则这两条直线互相垂直，其中，正确命题的个数为( )．A.l 个B.2个C.3个D.4个2．直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，那么a 的值等于( )．1.A 31.-B 32.-C 2.-D 3．直线3)23(=+-y x 和直线2)32(=-+y x 的位置关系是( )．A ．相交但不垂直B ．垂直C ．平行D ．重合4．过点(3，5)且与073)5(3=-+++-m y m mx 垂直的直线方程为5．已知直线024=-+y mx 与052=+-n y x 互相垂直，且垂足为(1，p)，则p n m ++的值为6．当a 为何值时，直线01)1()2(:1=--++y a x a l 与直线:2l 02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．若点A （3，-4）与点B(5，8)关于直线L 对称，则直线L 的方程为( )．0166.=++y x A 0226.=--y x B 0166.=++y x C 0166.=-+y x D2．由三条直线033,022=--=+-y x y x 和0526=++y x 围成的三角形是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．已知两直线02:1=-+y mx l 和043)2(:2=+-+y x m l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则m 的值为( )．31.-或A 31.或-B 212.-或C 221.-或D 4.若点PP （a,b ）与点)1,1(+-a b Q 是轴对称的两点，则对称轴的方程是( )．0.=+y x A 0.=-y x B 01.=-+y x C 01.=+-y x D5．直线L 过点（-1，2）且与直线0432=+-y x 垂直，则L 的方程是( )．0123.=-+y x A 0723.=++y x B 0532.=+-y x C 0832.=+-y x D6．若三条直线021010832=+++=--=++k ky x y x y x h 、相交于一点，则k 的值为( )． 2.-A 21.-B 2.C 21.D 7．过直线042=+-y x 和05=+-y x 的交点，且垂直于直线02=-y x 的直线方程是( )．082.=++y x A 082.=--y x B 0.82.x y x C -+ 082.=+-y x D8．（2008年四川）将直线x y 3=绕原点逆时针旋转,90o 再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为( )．3131+-=⋅x y A 131+-=⋅x y B 33-=⋅x y C 131+=⋅x y D 二、填空题（5分x4 =20分）9．求过直线012=+-y x 和013=-+y x 的交点，且与直线03=-y x 垂直的直线方程是10．已知.023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 若,21l l ⊥则m 的值为11.直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 互相垂直，则a 的值为12.点P(3，5)关于直线023:=+-y x l 的对称点/P 的坐标是三、解答题（10分x4 =40分）13．求与直线0534=+-y x 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程．14.已知两条直线,0)1(:,04:21=++-=++b y x a l by ax l 若,21l l ⊥且1l 过点（-1，1），求a 、b 的值．15.求过直线053=-+y x 和0432=+-y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．16．已知点A 的坐标为（-4，4），直线L 的方程为.023=-+y x求：(1)点A 关于直线L 的对称点,/A(2)直线L 关于点A 的对称直线/l 的方程．。
新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.3 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件含答案
2．2.3 两条直线的位置关系第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点 两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理 两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一 两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟 两条直线位置关系的判定方法 设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二 两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三 两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟 利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学 知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4； 把l 2化为x －3y ＋2＝0， 所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6， 因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行． 跟踪训练1 解 因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0， 直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， 所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0， 即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0， 所以(m －3)(m ＋1)≠0， 解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一 已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二 设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解 设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0， 令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0， 即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析 当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解 设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.2.3 两条直线的位置关系
(2)l1:2x-y+4=0,l2:4x+2y-3=0;
1
(3)l1:y=3x-2,l2:y=- 3 x.
解:(1)∵3×25=5×15,3×(-1)≠15×(-3),
∴l1∥l2.
(2)∵2×2≠(-1)×4,2×4+(-1)×2≠0,
l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1;
l1与l2平行⇔A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1或A1C2≠A2C1;
l1与l2重合⇔A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ∈R).
4.(1)若l1:y=2x+5,l2:y=2x-3,则l1与l2
(2)若l1:x+2y-3=0,l2:-2x+4y+6=0,则l1与l2
3
= 3-2,
3 1
故交点的坐标为 ,- .
5 5
判断两条直线的位置关系时,若易求直线的斜率k和截距b,则可通过k,b判
断.若已知直线方程的一般式,则可通过系数判断.
【变式训练1】 判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.
(1)l1:y=-3x+4,l2:y=3x-4;
(2)l1:x-4y+3=0,l2:2x-8y-1=0;
第二章
2.2.3 两条直线的位置关系
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位 素养阐释
1.能根据斜率判定两条直线的位置关系.
2.能根据两条直线的平行或垂直求直线的方程.
3.重点提升数学运算和逻辑推理素养.
高中数学课件：第二章 2.2.3 第一课时 两条直线相交、平行与重合的条件
[通一类] 3．求经过直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋2y－5＝0的交点且 斜率为－1的直线的方程．
x－y＋1＝0 解：法一：由题意，得 x＋2y－5＝0
法二：所求直线方程为 x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)． 将点 A(2,3)的坐标代入，有 7 2＋3×3－4×λ(5×2＋2×3＋6)＝0，∴λ＝－22， 7 故所求直线为 x＋3y－4－22(5x＋2y＋6)＝0， 即 x－4y＋10＝0.
[悟一法]
(1)两条直线的交点坐标是直线方程对应方程组的解；
提示：不一定．当A2· 2＝0时不成立． B
3．下列各组直线中，相交的有哪些？平行的有哪些？ (1)a：2x－y＋1＝0；b：x＋2y＝0 (2)c：y＝2x＋3；d：x－y＋1＝0 (3)e：x－3y＝0；f：2x－6y＋4＝0 1 (4)g：2x＋y－1＝0；h：4x＋2y－2＝0
提示：相交的有(1)(2)；平行的有(3)(4)．
[研一题] [例2] (1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平 行的直线方程； (2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直 线平行的直线方程．
[自主解答]
2 (1)法一：已知直线的斜率为－3，因为所
2 求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是－3，根据点斜 2 式，得到所求直线的方程是 y＋4＝－3(x－1)， 即 2x＋3y＋10＝0.
有无数 个解
重合
A1 B1 C1 λC2(λ≠0) 或 A ＝ B ＝ C
2 2 2
高中人教数学B版必修2：第二章第21课时 2.2.3 两条直线的位置关系——垂直
解析：∵kl＝1，l⊥l′，∴kl′＝－1，l′的倾斜角为135°.
9．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(0,2)，C(a,0)，若AB⊥BC，则a＝________.
答案：4
解析：因为kAB＝ ＝2，所以直线BC的斜率存在，且kBC＝ ＝－ .由2· ＝－1，得a＝4.
∴AC边的垂直平分线所在直线的斜率为2.
又AC边的中点为(2,1)，
∴AC边的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
能力提升
12．(5分)(1)求点P(2,3)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点P′的坐标；
(2)求l1：x＋7y－6＝0关于直线l：x＋y－2＝0的对称直线l2的方程．
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求AC边的垂直平分线所在直线的方程．
解：(1)∵A(4,0)，B(6,6)，C(0,2)，
∴kAB＝ ＝3，∴AB边上的高所在直线的斜率为－ .
又AB边上的高所在的直线过点C，
∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝－ (x－0)，
即x＋3y－6＝0.
(2)∵直线AC的斜率kAC＝ ＝－ ，
C．y＝ x－1D．y＝－ x－1
答案：D
解析：因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，所以与直线l：y＝3x＋1垂直的直线的斜率为－ ，经观察只有选项D中的直线的斜率为－ ，故选D.
2．已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则a的值为()
A．－ B.
又两直线垂直，则k1·k2＝－1，即－ · ＝－1，无解，故不存在实数a使方程成立．
综合①②，可得a＝0.
2.2.3两条直线的位置关系1教案学生版
2.2.3 两条直线的位置关系(一)【学习要求】1．理解直线相交、平行、重合的概念，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合．2．会求两条直线的交点，会利用平行、重合研究直线的其它问题．【学法指导】通过把研究两条直线的相交、平行与重合问题， 转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力， 以及数形结合能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．两条直线相交的条件：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2相交的条件是 A 1B 2－A 2B 1≠0 或 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) ． 2．两直线平行的条件：(1)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2平行的条件有两种表达形式： ① A 1B 2－A 2B 1＝0 且 B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0 ；②A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线的方程可表示为 Ax ＋By ＋D ＝0 (C≠D) ．3．两直线重合的条件：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2重合的条件是 A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0) 或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． 4．设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1与l 2相交的条件是： k 1≠k 2 ；l 1与l 2平行的条件是： k 1＝k 2且b 1≠b 2 ；l 1与l 2重合的条件是： k 1＝k 2且b 1＝b 2 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]已知两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则这两条直线相交、平行、重合的条件是怎样的？ 探究点一 两条直线的位置关系问题1 两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交、平行、重合与两条直线对应的方程组的解有怎样的关系？问题2 阅读教材82页，你能说出两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交、平行、重合的条件是怎样的吗？问题3 已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，用斜率判定l 1与l 2相交、平行、重合的条件是怎样的？问题4 若两直线平行，它们的斜率一定相等吗？探究点二 判定两条直线的位置关系例1 已知直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，求证：当C 1≠C 2时，l 1与l 2平行．跟踪训练1 已知A(2, 3)，B(－4, 0)，P(－3, 1)，Q(－1, 2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．例2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(－1,2)，y ＝12x ＋1；(2)(1，－4)，2x ＋3y ＋5＝0.跟踪训练2 已知直线l 1：(m －2)x ＋2y ＋m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋3＝0，当m 为何值时，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1∥l 2；(3)l 1与l 2重合．例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．跟踪训练3 求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－72)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行或重合，则m 的值是 ( )A ．－8B ．0C ．2D ．10解析：由题意可知，k AB ＝4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8. 2．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是 ( )A ．相交B ．平行C ．重合D ．不确定解析： 直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠0，∴l 1∥l 2.3．经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l 1与过点C(4,5)和点D(a ，－7)的直线l 2平行，则a 等于 ( )A ．1B ．4C ．52D ．44解析： 因为k 1＝2－1－3－1＝－14，又l 1∥l 2，所以k 2＝－7－5a －4＝－14，故a ＝52.课堂小结：1．在两条直线相交、平行和重合的条件中，有一个共同的代数式A 1B 2－A 2B 1.2．判定两条直线平行的方法有三种：A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0具有一般性，对含字母系数的两条直线平行的问题，用此式可避免讨论，非常方便；应用A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2或k 1＝k 2且b 1≠b 2时，必须在A 2B 2C 2≠0以及斜率存在条件下方可使用．。
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
25
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
两条直线的位置关系(1)两条直线的相交、平行与重合
Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可.
当堂达标
堂达标
1.判断下列各对直线是否平行 : （p91练习A）
(1) 3x+4y-5=0, 6x+8y-7=0
平行
(2) y=3x+4, 2y-6x+1=0
平行
(3) x=3, 3x+5=0
平行
(4) x+y=0 , x-y=0
不平行
2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方
程是(
)
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析:因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求
直线斜率k= 12 ,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.
答案:A
课堂小结
判断两直线位置关系的解法有三种:
一是根据方程组的解的个数判定;
二是根据方程的系数间的关系判定;
三是化成斜截式方程判定.
作业布置
P91练习A1，2，3
感谢观看
(方法二)(1)因为 A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,
所以 A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以两直线相交.
4 + 3-2 = 0,
= 2,
解方程组
得
= -2,
+ 2 + 2 = 0,
所以两直线的交点坐标为(2,-2).
1
(2)因为 A1=1,B1=2,C1=-2,A2=2,B2=4,C2=-1,所以 A1B2-A2B1=1×41
典例解析
2.2.3(1) 两条直线相交、平行与重合的条件
k1=k2且b1 ≠b2
有斜率的两条直线 L1∥L2
k1=k2且b1 ≠b2
当斜率不存在时，如 何判定平行呢？
解答 :如图当直线l1，l2斜率均不存在时，
不妨设这两直线方程为x = a1与x = a2，
则l1 //l2 α α 1≠ 2
y
o
x a1
l1
x a2
l2
x
结论
（1）当直线l1，l2 斜率存在时， l1 :y = k1x + b1，l2 :y = k2x + b2 , 直线l1 //l2的等价条件是k1 = k2，且b1 b2， 即l1 //l2 k1 = k2，且b1 b2
解： （1）因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为
1 y xb 2
5 b . 由于所求直线过点（-1,2） ，代入方程，得 2
因此所求方程为
y
1 5 x , x 2 y 5 0. 2 2 即
（2）设所求的直线方程为
2 x 3 y D＝0.
由于所求直线过点（1,-4） ， 代入方程，得 D＝10. · 因此，所求直线方程为
BC2 BC1 B(C2 C1 ).
当 B 0 时， 已知 C1 C2 ， 所以 BC2 -BC1 0 ， 因此两直线平行.
当 B＝0 时，由直线方程的定义，知 A 0 ，于是 两条直线的方程变为 C2 C1 x . x A A， 这是两条与 x 轴垂直的直线，所以它们平行或重 合.又由于 C1 ≠C2 ，所以它们是平行的直线.
引入平面直角坐标系后，我 们用方程表示直线，直线的 方程就是直线上每一个点的 坐标满足的一个关系式，即 二元一次方程. 怎样通过方
高中数学平面解析几何初步两条直线的位置关系两条直线相交平行与重合的条件高数学
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求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1，2)的直 线 l 的方程．
解：法一：设直线 l 的斜率为 k，因为直线 l 与直线 3x＋4y ＋1＝0 平行，所以 k＝－34． 又因为直线 l 过点(1，2)，
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解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0， 得(m－2)2≠4 即 m－2≠±2， 所以当 m≠4 且 m≠0 时 l1 与 l2 相交． (2)由 A1B2－A2B1＝0 得 m＝0 或 m＝4， 当 m＝0 时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3 ＝0，此时 l1∥l2； 当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0， 此时 l1∥2． 故 m＝0 或 m＝4 时，两直线 l1∥l2． (3)由12/13(/2202)1知，直线 l1 与 l2 不可能重合．
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1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直 线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单 独讨论．
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1．已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
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【解】 (1)k1＝12－－((－－21))＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
课时作业2：2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.3 两条直线的位置关系一、基础达标1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( )A ．(－4，－3)B ．(4，3)C ．(－4，3)D ．(3，4)答案 C解析 由方程组⎩⎨⎧3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝3故选C.2．已知过A (－2，m )和B (m ，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是 ( ) A ．－8B ．0C ．2D ．10答案 A解析 由题意可知，k AB ＝4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8.3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)，且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.32答案 A解析 由于直线l 与经过点(－2，1)且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2. ∵k l ＝1－（－1）－a －2－（a －2）＝－1a ，∴－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，∴a ＝－23.4．以A (1，3)和B (－5，1)为端点的线段AB 的中垂线方程是( )A ．3x －y ＋8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0答案 B 解析 k AB ＝3－11＋5＝13，AB 的中点坐标为(－2，2)，AB 的中垂线与AB 垂直且过AB 的中点，故k ＝－3，∴方程为y －2＝－3(x ＋2)即3x ＋y ＋4＝0.5．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________． 答案 x －2y －1＝0解析 与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1，0)代入x －2y ＋c ＝0，解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.6．直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过A (－2，－1)，B (3，4)，则l 1与l 2的位置关系为________． 答案 平行或重合解析 ∵直线l 1的倾斜角为45°， ∴k 1＝1.又∵直线l 2过A (－2，－1)，B (3，4)， ∴k 2＝4－（－1）3－（－2）＝1.∴k 1＝k 2，∴l 1与l 2平行或重合．7．已知A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，求点D 的坐标，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD . 解 设点D 的坐标为(x ，y )，由题意知直线CD 、AD 的斜率都存在． 因为k AB ＝2－（－1）2－1＝3，k CD ＝yx －3且CD ⊥AB ，所以k AB k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1.① 因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1.② 由①②可得，x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0，1)． 二、能力提升8．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( )A ．(5，2)B ．(2，－5)C ．(－5，－2)D ．(－2，－5)答案 C解析 设P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点应在x ＋y ＝0上，可排除A 、B ，而(－2，－5)与P (2，5)显然关于原点对称，但不关于直线x ＋y ＝0对称．故选C.9．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则定点坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(3，1)D ．(3，－1)答案 D解析 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由⎩⎨⎧x －y －4＝0，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，，交点为(3，－1)．故选D.10．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 答案 x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析 设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0， 即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0. 令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ； 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.11．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ，1，直线l 2经过点M (1，1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________． 答案 －6解析 由题意得，l 1∥l 2，∴k 1＝k 2， ∵k 1＝－a2，k 2＝3，∴－a2＝3，∴a ＝－6. 三、探究与创新12．(1)求与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56的直线的方程．(2)求过两条直线x －y ＋5＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程．解 (1)设直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)，令x ＝0，则在y 轴上的截距为b ＝－λ3；令y ＝0，则在x 轴上的截距为a ＝－λ2，由a ＋b ＝－λ2－λ3＝56得λ＝－1， ∴所求直线方程为2x ＋3y －1＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧x －y ＋5＝03x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－187y ＝177，即已知的两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－187，177.设所求直线方程为－2x －3y ＋C ＝0， 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫－187，177代入方程得，C ＝157，故所求直线方程为－2x －3y ＋157＝0， 即14x ＋21y －15＝0.13．如图，△ABC 的顶点B (3，4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．解 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23，∴k AB ＝－1k EC ＝32.∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0. 由⎩⎨⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1，1)． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42.而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0. ∴C (5，2)，|AC |＝（5－1）2＋（2－1）2＝17.。
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例3.判断下列各组中的两条直线是否垂直 （1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 （2）y=3x+1与y= x+5 3
（3）2x＝7与3y-5=0
例4.求证：直线Ax+By+ C 1=0与直线 Bx-Ay+ C 2 =0垂直.
证明：因为 AB＋B(-A)＝0 所以这两条直线垂直
结论4：
可设N(t,8-2t).又A是线段MN的中点，
由中点坐标公式得M(-t,2t-6)，因为 点M在直线x-3y+10=0上，所以 -t-3(2t-6)+10=0，解得t=4,有 M(-4,2),N(4,0)，所求直线方程为 x+4y-4=0.
解：设点A关于l的对称点为 A( x0 , y0 ),则
答案：x+2y-5=0
线关于点对称问题
例3：直线4x+y-1=0关于点P（2,3）对称的直 线方程？
答案：4x+y-21=0
点关于点对称问题
应用中点坐标公式求解
小结：
1、两直线相交、平行、重合、垂直的条件
2、平行直线系与垂直直线系 3、对称问题：1、点关于直线对称 2、直线关于直线对称 3、线关于点对称 3、点关于点对称
当B 0时，已知 C1 C2，所以
BC 2 BC 1 0,因此两直线平行；
当B = 0时，由直线方程的定义 ，知A 0， C1 C2 两直线方程为： x= ,x = , 都 与x轴 垂 直 A A 又由于 C1 C2，所以两直线平行。
结论2：
由例1所证结论，我们把与直线 Ax+By+C=0平行的直线方程 表示成Ax+By+D=0 （D C）， 其中D待定（平行直线系）
一般地，我们把与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ，其中D待 定（垂直直线系） 同样可证明与直线y=kx+b（k 0）垂直的
1 直线可表示为y= x+ b1 k
例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程： （1）（－1，3），y=2x-3
（2）（1，2），2x+y-10=0
例题.设三条直线
l1 : x 2 y = 1, l2 : 2x ky = 3, l3 : 3kx 4 y = 5
（1）若三条直线交于一点，求k的值； （2）若三条直线不能构成三角形，求k的值.
16 k = 1或k = 3
2 2 6 16 k = 4, , ,1, 3 3 3
变式题：
过点A（0，1）的直线l与直线x3y+10=0和2x+y-8=0交于M、N， 若MN恰好被点A平分，求此直线l 的方程. 析：所求直线与两已知直线的交点关 于点A对称，可以先设出所求直线与已 知直线的交点，利用中点坐标公式和 点在直线上两个条件求解.
解：因为点N在直线2x+y-8=0上，故
例题讲解
已知直线 l1 : Ax By C1 = 0, l 2 : Ax By C 2 = 0, 例1 求证：当 C1 C2时，l1与l 2 平行. 证明：因为 AB BA = 0, 所 以l 1与l 2 平 行 或 重 合 。 又 因 为 BC2－BC1＝B(C 2 C1 )
A1A2+B1B2=0
结论： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
特殊情况下的两直线垂直．
当两条直线中有一条直线斜率不存在，另一条 直线的斜率为0时，两直线垂直。
l1 l2 k1 k2 = 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
注：有唯一解时，方程组的 解即为交点坐标
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0
l1与l2相交
L1∥L2
A1 B1 A1B2－A 2 B1 0或 （A 2 B2 0） A 2 B2
A1 B1 C1 = A2 B2 C2
（A 2 B2C2 0）
x
结论1: y=kx+b 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 = k2且b1 = b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立。 特殊情况下的两直线平行:
两直线的斜率都不存在时，互相平行.
1．两条直线平行 (1)两条不重合直线 l1：y＝k1x＋b1 和 l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若 l1∥l2，则 k1＝k2 ；反之，若 k1＝k2，则 l1∥l2 ，如图所示． (2)如果不重合的两直线 l1，l2 的斜率都不存在，那么它们的倾 斜角都是 90°，从而它们互相平行．
同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1
例2.求通过下列各点且与已知直线 平行的直线方程。
1 (1)( 1,2), y = x 1 2
(2)(1,4),2 x 3 y 5 = 0
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0. 那么L1⊥L2
62 28 62 13 13 所求直线方程为 y = ( x 3) 29 13 3 13 即 13x 26y 85 = 0 .
y0 4 3 = , x0 1 2 2 x0 1 3 y 0 4 6 = 0 2 2
29 x = , 0 3 x0 2 y 0 11 = 0 13 , 即 2 x0 3 y 0 2 = 0 y = 28 . 0 13
或A1B2－A2 B1＝0而B1C2－B2C1 0或A1C2－A2C1 0
l1与l2重合 A1 = A2 , B1 = B2 , C1 = C2 ( 0)
A1 B1 = C1 = ( A2 B2C2 0) A2 B2 C2
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
解析几何中的常见对称问题
例题1：求点P（2，4）关于直线2 x-y+1=0的对称点的坐标？
答案（6/5, 22/5）
点关于直线对称问题：垂直平分法
练一练 求点P（3，5）关于直线x-3y+2=0 的对称点的坐标？
答案（5，-1）
点关于直线对称问题：垂直平分法
直线关于直线对称问题
例题2：直线2x+y-4=0关于直线x-y+1=0对称 的直线方程？
2.2.3
两条直线的位置关系
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0
那么，这两条直线相交、平行、重合的条件是什么？
两条直线的位置ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系：
解析几何：方程观点
联立两直线的方程→二元一次方程组
方程组的解
唯一解(相交) 无数解(重合) 无解(平行)