高中数学北师大版选修2-1练习：第三章3.2直线与双曲线的位置关系2

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2021-2022数学北师大版选修2-1课件：第三章3.2.2 直线与双曲线的位置关系

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第三章圆锥曲线与方程
有关双曲线综合问题的常见题型 (1)存在性问题 ①对这类问题，若能将所观察的对象联系其几何背景进行数与形的转化，常能将复杂抽象的问题变得直观、具体，有利探明结论． ②解析几何中的存在与否的问题常用 Δ＞0，或曲线方程本身的取值范围，或题意中变量的取值范围进行判断．
第三章圆锥曲线与方程
[解] (1)由 e＝2 33可得ca22＝43，所以 a2＝3b2，故双曲线方程可化为3xb22－yb22＝1，将点 P( 6，1)代入双曲线 C 的方程，可解得 b2＝1. 所以双曲线 C 的方程为x32－y2＝1.
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第三章圆锥曲线与方程
(2)联立直线与双曲线方程yx＝2－k3xy＋2－23＝，0得(1－3k2)x2－6 2
第三章圆锥曲线与方程
第2课时直线与双曲线的位置关系 (习题课)
第三章圆锥曲线与方程
1．直线与双曲线的位置关系及判定直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：xa22－yb22＝1(a>0，b>0)，两方程联立消去 y，得 mx2＋nx＋q＝0.
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第三章圆锥曲线与方程
位置关系相交相切相离
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第三章圆锥曲线与方程
4．双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是 F1、F2，过 F1 作倾斜角为 30°的直线，交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为____3____．解析：如图，在 Rt△MF1F2 中， ∠MF1F2＝30°.又|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝cos2c30°＝4 3 3c， |MF2|＝2c·tan 30°＝2 3 3c. 所以 2a＝|MF1|－|MF2|＝2 33c. 所以 e＝ac＝ 3.

高中数学北师大版选修2-1练习：第三章3.2 双曲线的简单性质 1 含解析

[基础达标] [~^%@*]1．双曲线x 2－y 23＝－1的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y 23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x.2.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) [~#&@%]A.x 28－y 224＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 224－y 28＝1 D ．x 24－y 212＝1解析：选D.焦点在x 轴上.ba ＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a)2＝4a 2，[%~^@*]∴a 2＝4，b 2＝12.故选D.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率e ＝3，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x.4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B ．1＋32C ．1＋2D ．1＋ 3解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°，过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则 |AC|＝2CD ＝2×BCsin 60°＝23c ，由双曲线定义|AC|－|BC|＝23c －2c ＝2a ， [@%*~#] ∴e ＝ca ＝223－2＝13－1＝3＋12. [#~^@%]5.已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19 B ．14C.13 D ．12解析：选A.由题意得1＋p2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m>0，m ＝4.∴M(1，4)，双曲线左顶点A(－a ，0)，k AM ＝41＋a，由题意41＋a＝1a，∴a ＝19. [^~#@*]6.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝ba x ＝ba<2，∴e 2＝c 2a 2＝1＋(ba)2<5，又e>1，∴e ∈(1，5)．答案：(1，5) [*%#~&]7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，则|AB|＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y 24＝1整理得3x 2－2x －5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823.答案：8238.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________． [#*%~^]解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a|1＋（3）2＝1，∴a ＝2，又b a ＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x 24－y 243＝1.答案：x 24－y 243＝19.(1)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程． [%^#*&](2)已知双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14. 所以所求双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(2)法一：椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y ＝±b a x ，则b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条渐近线方程为x ＋3y ＝0.已知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1.由椭圆方程x 264＋y 216＝1知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋λ3＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1. 10.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1. [@&~^%]故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得 [*@%#&](1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，[#&%~@] 即k 2≠13且k 2<1.(*)设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2， [%^#*~]而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) [*~%@^]＝(k 2＋1)x A x B ＋2k(x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k2＋2k 62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1.于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k2<3.(**) 由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．[能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤233，2 B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫233，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，＋∞ D ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫233，＋∞解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.2.若点O 和点F(－2，0)分别是双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP →的取值范围为________． [&@*#^]解析：因为F(－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P(x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)． [&#*^~]答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM|＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM|＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a)＝12|PF 1|－a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP|2＋|OQ|2的最小值．[~@%*^]解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2. ∵点M(5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1. [&@%^*](2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为 (3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.① [%~^@*]x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， [^@&~#]即(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k 2（k 2－3）2.当k ＝0时，|PQ|2＝24＋384k 2（k 2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直x 轴时，|PQ|2>24， [*#&@%]所以|OP|2＋|OQ|2的最小值是24.。

高中北师大版数学选修2-1学案：3.3.2 双曲线的简单性质含答案

3.2 双曲线的简单性质知识点双曲线的简单性质[填一填]设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其简单性质如下： (1)双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴的轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)都在两条平行直线x ＝－a 和x ＝a 的两侧，因此双曲线上点的横坐标满足x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线与它的对称轴的交点A 1(－a,0)，A 2(a,0)叫作双曲线的顶点．显然顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长度等于2a .设B 1(0，－b )，B 2(0，b )为y 轴上的两个点，我们把线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长度为2b .a 为实半轴长，b 为虚半轴长．(4)c a ＝e 叫作双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率，因为c >a >0，所以e ＝c a >1.b a 决定双曲线的开口大小，ba 越大，双曲线的开口就越大．(5)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .[答一答]1．等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的离心率和渐近线方程分别是什么？提示：等轴双曲线是一种特殊的双曲线，离心率为e ＝2，渐近线方程为y ＝±x .2．双曲线与椭圆的离心率有哪些异同？提示：双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e ＝ca ，但因c >a ，所以e >1.又因为双曲线与椭圆的形状不同，所以离心率的几何意义不同，对于椭圆，它决定其“扁平”程度，而对于双曲线，它决定其“张口”大小．1．关于双曲线的几何性质的几个方面：(1)双曲线的对称性与椭圆的对称性完全相同，并且含对称中心的区域称为双曲线的内部．(2)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同．(3)利用双曲线的渐近线，可以帮助我们准确地画出双曲线的草图．具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线．(4)根据关系式：c 2＝a 2＋b 2，b 2a 2＝e 2－1，e ＝ca ，可知在a ，b ，c ，e四个参数中，已知其中两个就可求得另外两个．(5)若双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的倾斜角为α(0<α<π2)，则cos α＝a c ＝1e ，即e ＝1cos α.(6)抛物线和双曲线的一支的区别：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率(曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．2．两条特殊双曲线： (1)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1是一对共轭双曲线．共轭双曲线有公共的渐近线，且焦点在以中心为圆心，半焦距c 为半径的圆上．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的共轭双曲线方程，只需将方程中的“1”改为“－1”即可．(2)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，叫作等轴双曲线，方程记为x 2－y 2＝a 2.所有的等轴双曲线的渐近线方程均为y ＝±x ，并且离心率e ＝ 2.特别地xy ＝1是一条等轴双曲线．3．关于双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有以下几个结论： (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，则双曲线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)；(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)；(5)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)．利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度．类型一由双曲线的性质求标准方程【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)实轴长为16，离心率为54；(2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．【思路探究】由双曲线的几何性质，列出关于a ，b ，c 的方程，求出a ，b ，c 的值．【解】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2a ＝16，c a ＝54，c 2＝a 2＋b 2，解得c ＝10，a ＝8，b ＝6，所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝1.∴双曲线的标准方程为：x 23－y 2＝1.规律方法根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为23，且经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)的双曲线方程．解：(1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝23，4a2－6b2＝1⇒⎩⎨⎧a2＝43，b2＝3.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.9a2－12b2＝1，解得⎩⎨⎧a2＝94，b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.类型二双曲线的渐近线【例2】求过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程．【思路探究】由于双曲线x 22－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．【解】方法1：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，将(2，－2)代入方程，得b 2＝－2(舍)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，将(2，－2)代入方程，得a 2＝2，故所求双曲线的方程为y 22－x 24＝1.方法2：因为与双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，可设双曲线的方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，将(2，－2)代入方程，得λ＝－2.所以双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1.规律方法求解双曲线的方程主要依据双曲线的焦点所在的坐标轴，设双曲线的方程．或者利用与已知双曲线有公共渐近线的双曲线系较为方便．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，焦距为226，求双曲线的标准方程．解：当双曲线的焦点在x 轴上时，由⎩⎨⎧ b a ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，由⎩⎨⎧a b ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝18，a 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为y 28－x 218＝1.综上可知，所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1或y 28－x 218＝1. 类型三求双曲线的离心率【例3】求符合下列条件的双曲线的离心率． (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成角为90°；(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .【思路探究】由题设条件直接求a ，c 的值或把ca 作为整体转化为e 的方程，解方程求之．【解】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132；若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133.综上，双曲线的离心率为132或133. (2)如图所示，∠AF 1B ＝90°，∴|F 1F 2|＝12|AB |. ∴2c ＝b 2a ，即2c a ＝b 2a 2， ∴2e ＝e 2－1.即e 2－2e －1＝0， ∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍)． ∴离心率为1＋ 2.(3)方法1：由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c .将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得 16(a 2c 2)2－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 即e ＝ca ，有e ＝1x .∴e ＝233或e ＝2.∵0<a <b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2>2，∴离心率为2.方法2：依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c ，即ab ＝34c 2. ∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2，即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0. ∴3(b 2a 2)2－10b 2a 2＋3＝0. 解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3. 又0<a <b ，∴b 2a 2＝3. ∴e ＝1＋b 2a 2＝2.方法3：如图，设A (a,0)，B (0，b )，则|AB |＝c .令∠BAO＝α，则cosα＝a c＝1e，sinα＝34ca＝34e.又sin2α＋cos2α＝1，∴316e2＋1e2＝1，即3e4－16e2＋16＝0.∴e2＝43或e2＝4，即e＝233或e＝2.又0<a<b，∴ba>1，∴e＝1＋b2a2> 2.∴离心率e＝2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的第(3)小题中，要注意条件0<a<b对离心率的限制，保证题目结果的准确性．(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为(C)A. 2B. 3C．2 D.4(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率为(D)A. 6B. 5C.62 D.52解析：(1)因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，所以双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中c＝2.又双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，所以a＝1.故该双曲线的离心率e＝ca＝2.(2)设过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－ba x ， ∴－2＝－ba ×4，∴a ＝2b .方法1：设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ， ∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.方法2：e 2＝b 2a 2＋1＝14＋1＝54，故e ＝52.——多维探究——巧妙运用双曲线的标准方程及其性质通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般不会在解答题中出现，难度中等偏下．【例4】设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【思路分析】第1步：求出双曲线的焦点坐标；第2步：根据双曲线的定义求a ，b .【解析】方法1：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.方法2：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【答案】 y 24－x 25＝1规律方法求解双曲线的标准方程最常用的方法是定义法和待定系数法．但本例可利用共焦点的曲线系方程求解，其要点是根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线方程，再根据另外一个条件求出这个系数．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则它的一条渐近线方程为( D )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝3x －1C ．y ＝－3x ＋1D.y ＝3x解析：由x 2a 2－y 23＝1，可知虚半轴长b ＝3，而离心率e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，解得a ＝1.故渐近线方程为y ＝±3x .1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( A )A.53B.43C.54D.32解析：由已知得b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝53.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( A )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析：由题意知，焦距为10，∴c ＝5，又∵P (2,1)在双曲线的渐近线上， ∴a ＝2b ，联立得a 2＝20，b 2＝5，故双曲线方程x 220－y 25＝1.3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )A. 5 B ．4 2 C ．3D.5解析：由y 2＝12x ，焦点坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝9，∴b ＝ 5. 双曲线的一条渐近线为y ＝52x . ∴d ＝353＝ 5.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为2.解析：由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c2a 2＝5，∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2.经检验符合题意．5．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .求双曲线E 的离心率．解：∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， ∴ba ＝2，∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5.。

高中数学选修2-1同步练习2.3.3直线与双曲线的位置关系(含答案)总结

直线与双曲线的地点关系一、选择题( 每题 5 分，共20 分)1．已知双曲线方程为y2x2－4＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A． 4B． 3C． 2D． 1分析：数形联合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2B. 33＋ 15＋ 1C. D.22x2y2分析：设双曲线方程为a2－b2＝1(a，b>0)，不如设一个焦点为F( c, 0)，虚轴端点为B(0， b)，则 k FB b＝－c.b又渐近线的斜率为±a，因此由直线垂直关系得－b b bc· a＝－1(－ a明显不切合) ，即 b2＝ ac，又 c2－ a2＝ b2，故 c2－a2＝ ac，两边同除以 a2，得方程 e2－ e－1＝0，解得＝5＋ 1＝1－ 5或(舍)．e2e2答案：Dx2y23．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A． (1,2]B． (1,2)C． [2 ，＋∞ )D． (2 ，＋∞)分析：依据双曲线的性质，过右焦点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60 °＝b3，则c2－ a2e2e23，即≥2＝－ 1≥ 3，故有≥4，≥2.a a e应选 C.答案：C224．是双曲线 x －y＝1 的右支上一点，、分别是圆 ( x ＋5) 2＋y 2＝4 和( x －5) 2＋y 2＝ 1上的点，则| |P9 16 M NPM－| PN | 的最大值为 ()A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9分析：设双曲线的两个焦点分别是 F 1( － 5,0) 与 F 2(5,0) ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点 P与 M 、 F 三点共线以及 P 与 N 、 F 三点共线时所求的值最大，此时 | PM |－ | PN |＝(| PF | ＋2) － (| PF | －1)＝61 2 1 2＋ 3＝ 9.答案： D二、填空题 ( 每题5 分，共 10 分)x 2 y 22225．过双曲线 C ： a 2－b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一个焦点作圆 x ＋ y ＝ a 的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠＝120°( 是坐标原点 ) ，则双曲线 C 的离心率为 ________．AOBO分析： ∵∠ AOB ＝120° ? ∠ AOF ＝60° ? ∠ AFO ＝30° ? c ＝ 2a ，∴ e ＝c＝ 2.a答案：2x 2 y 26．已知双曲线 12－ 4 ＝ 1 的右焦点为 F ，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 ________．分析：由题意知 (4,0) ，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3 ，F3x33当过 F 点的直线与渐近线平行时，知足与右支只有一个交点，画出图形，经过图形可知，－ 3 ≤ k ≤ 3 .答案：3 3－3，3三、解答题 ( 每题 10 分，共 20 分 )7．已知双曲线22A 、B 两点，试问 A 、3x － y ＝ 3，直线 l 过右焦点 F ，且倾斜角为 45°，与双曲线交于2B 两点能否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长．分析： ∵ a ＝1，＝ 3，＝ 2，b c又直线 l 过点 F 2(2,0) ，且斜率 k ＝tan 45 °＝ 1，∴ l 的方程为 y ＝ x － 2，由 y ＝ x － 2消去 y 并整理得 2x 2＋ 4x － 7＝ 0，3x 2 －y 2＝ 3设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，y 2) ，7∵ x 1· x 2＝－ 2<0，∴ A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．7 ∵ x 1＋ x 2＝－ 2， x 1· x 2 ＝－，2∴ | AB | ＝ 1＋12| x 1－ x 2| ＝ 2·x 1＋ x 22－ 4x 1x 227＝ 2·－－4× －2 ＝6.22y8．已知双曲线 x －3 ＝ 1 上存在对于直线 l ： y ＝ kx ＋4 的对称点，务实数 k 的取值范围．分析： ①当 k ＝ 0 时，明显不建立．②当k ≠0时，在双曲线上随意取两点，，设的中点的坐标为 ( 0， 0) ，由 l ⊥ ，A B AB M M x y AB1可设直线 AB 的方程为 y ＝－ k x ＋ b ，将其代入 3x 2－ y 2＝ 3 中，得 (3 k 2－1) x 2＋ 2kbx － ( b 2＋ 3) k 2＝0.明显 3k 2－1≠0，即 k 2b 2＋ 3k 2－ 1>0. ①由根与系数的关系得AB 的中点 M 的坐标为－ kb x ＝32－1，②ky 0＝3k 2b.③3k 2－ 1由于 M 均分 AB ，因此 M ( x 0， y 0) 在直线 l 上，3k 2b－ k 2b进而有 3k 2－ 1＝ 3k 2－1＋ 4，即 k 2b ＝3k 2－ 1，④将④代入①得2 2＋ 2 >0，∴ >0 或b <－1，k b k bb3 2－ 1 3 2－1即k 2>0 或k <－ 1，31∴ | k |> 3 或 | k |< 2，且 k ≠0，33 1 1∴ k > 3 或 k <－ 3 或－ 2<k <2，且 k尖子生题库☆☆☆9． (10 分 ) 设圆 C 与两圆 ( x ＋ 5) 2＋ y 2＝ 4， ( x － 5) 2＋y 2＝ 4 中的一个内切，另一个外切．(1) 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2) 已知点 M 3 5 45，(5，0) ，且 P 为 L 上动点，求 ||| －||| 的最大值及此时点P 的坐标．5，MPFP5 分析：(1) 设圆 C 的圆心坐标为 ( x ， y ) ，半径为 r .圆 ( x ＋22＝ 41，半径为 2，5) ＋ y 的圆心为 F (－ 5，0)圆 ( x － 5) 2＋ y 2＝ 4 的圆心为 F ( 5， 0) ，半径为 2.| CF 1| ＝ r ＋ 2， | CF 1| ＝ r － 2，由题意得| CF | ＝ r － 2或| CF | ＝r ＋ 2，∴ || CF 1| － | CF || ＝4.15>4，∵|FF |＝2∴圆 C 的圆心轨迹是以 1， F ( 5， 0) 为焦点的双曲线，其方程为 x 22＝1.F (－ 5，0) 4 － y (2) 由图知， || MP |－ | FP || ≤|MF |，∴当 M ， P ， F 三点共线，且点 P 在 MF 延伸线上时， | MP | － | FP | 获得最大值 |MF |，且 |MF |＝355－ 5 2＋ 455－0 2＝2.直线 MF 的方程为 y ＝－ 2x ＋ 2 5，与双曲线方程联立得y ＝－ 2x ＋ 2 5，22整理得 15x －32 5x ＋ 84＝ 0.x－ y 2＝1，41456 5解得 x ＝ 15( 舍去 ) ， x ＝5.12此时 y＝－ 255.∴当|| |－||| 获得最大值 2 时，点P 的坐标为65 2 5 .MP FP 5，－5。

2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.2 双曲线的简单性质 Word版含答案

3.2 双曲线的简单性质1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点))2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点阅读教材P80“练习以下”～P82“例3”以上的部分，完成下列问题．续表1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线是轴对称图形．( )(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小．( ) (3)双曲线x24－y29＝1的虚轴长为4.( )【解析】 (1)双曲线关于x 轴，y 轴对称． (2)双曲线的离心率越大，它的开口越大． (3)x24－y29＝1中b ＝3，∴虚轴长为2b ＝6.【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．双曲线2x 2－y 2＝－8的实轴长是( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4【解析】双曲线标准方程为y28－x24＝1故实轴长为2a ＝4 2. 【答案】 B3．双曲线x 2－y 2＝3的离心率为________．【解析】 x 2－y 2＝3可化为x23－y23＝1， ∴a ＝b ＝3，c 2＝a 2＋b 2＝6， ∴e ＝c a ＝63＝ 2.【答案】24．求双曲线x216－y29＝1的焦点坐标，实轴长、虚轴长、离心率．【导学号：32550087】【解】 ∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝16＋9＝25， ∴焦点坐标为(5,0)，(－5,0)，实轴长2a ＝8，虚轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝54.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________(1)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线25－9－k ＝1与曲线25－k －9＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【自主解答】 ∵0＜k ＜9，∴x225－y29－k ＝1的实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为234－k ，离心率34k 5. x225－k －y29＝1的实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为234－k ，离心率34－k25－k . ∴焦距相等．【答案】 A(2)已知双曲线C ：x24－y 2＝1，P 为双曲线上任意一点，设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值为________．【自主解答】设点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x24－1＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1252＋45，根据双曲线的范围知：|x |≥2，∴当x ＝125时，|PA |2的最小值为45，即|PA |的最小值为255.【答案】255(3)双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．【自主解答】将4x 2－y 2＝4变形为x 2－y24＝1，∴a ＝1，b ＝2，c ＝5，∴顶点坐标为(－1,0)，(1,0)，e ＝ca ＝5，渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .【答案】 (－1,0)，(1,0)5 y ＝±2x1．由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a ，b ，c 值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．(1)顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54；(2)焦点在y 轴上，一条渐近线为y ＝34x ，实轴长为12；(3)离心率e ＝2，且过点(－5,3)．【精彩点拨】 (1)由已知2c ＝10，e ＝c a ＝54求出a ，c 的值，代入b 2＝c 2－a 2可求得b 2，即得方程；(2)由已知得a b ＝34，2a ＝12，求出a ，b 即可；(3)设出两种双曲线方程，利用待定系数法求解．【自主解答】 (1)由双曲线的顶点在x 轴上，可设所求的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由焦距2c ＝10，e ＝c a ＝54，得c ＝5，a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9.所以，所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.(2)由双曲线的焦点在y 轴上，可设所求的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因此，2a ＝12，a b ＝34，解得a ＝6，b ＝8，则a 2＝36，b 2＝64.故所求双曲线的标准方程为y236－x264＝1.(3)因为e ＝c a＝2，所以c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x2a2－y2a2＝1，把点(－5,3)代入，得a 2＝16，所以所求双曲线的标准方程为x216－y216＝1；当焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程为y2a2－x2a2＝1，把点(－5,3)代入，得a 2＝－16，不合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x216－y216＝1.1．求双曲线方程，关键是求a ，b 的值，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ.1．将本例(2)中“焦点在y 轴上”去掉，其他不变．【解】 ∵渐近线方程为y ＝34x ，∴不妨设双曲线的方程为x216λ－y29λ＝1，又∵a ＝6，当λ＞0时，16λ＝36，∴λ＝94，∴双曲线方程为x236－y2814＝1，当λ＜0时，－9λ＝36，∴λ＝－4，双曲线方程为y236－x264＝1，∴双曲线的标准方程为x236－y2814＝1或y236－x264＝1.(1)已知双曲线x2a2－3＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62C.52D ．1【精彩点拨】直接列出离心率e 的等式即可．【自主解答】由已知得e ＝a2＋3a＝2，且a ＞0解得a ＝1. 【答案】 D(2)设F 1，F 2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．15 C ．4D ．17【精彩点拨】由定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，故4a 2＝b 2－3ab ，结合c 2＝a 2＋b 2，即可求出e . 【自主解答】由双曲线的定义知，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2，所以4a 2＝b 2－3ab ，即b2a2－3·b a ＝4，解得b a ＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b2a2，所以e ＝17.故选D. 【答案】 D1．解决本题的关键是探寻a 与c 的关系．2．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件提供的信息建立关于参数a ，b ，c 的等式，进而转化为关于离心率e 的方程，再解出e 的值．2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B ．43 C.54D ．32【解析】由题意得，b a ＝43，则e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. 【答案】 A探究1 【提示】在双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，令y ＝0，可得x ＝±a ，因此双曲线与x 轴有两个交点；而令x ＝0，方程没有实数根，说明双曲线与y 轴没有交点．为了方便画图，把点B 1(0，－b )，B 2(0，b )也画在y 轴上，称线段B 1B 2为双曲线的虚轴．此处应注意：双曲线有两个顶点，而椭圆有四个顶点．探究2 如何确定双曲线的形状？【提示】 (1)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．(2)直线x ＝±a ，y ＝±b 或x ＝±b ，y ＝±a 围成的矩形中，双曲线的渐近线即为两条对角线所在的直线．依据上述两点，可画出双曲线的大致形状．探究3 如何用几何图形解释c 2＝a 2＋b 2？a ，b ，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？【提示】由于c 2＝a 2＋b 2，a ，b ，c 就是图中Rt △OAB 的三边长，它们从另一个角度反映了参数a ，b ，c 的几何意义．探究4 双曲线的渐近线具有什么特点？【提示】双曲线的渐近线是两条直线．随着x 和y 趋向无穷大，双曲线的各支将与渐近线无限接近，但永远没有交点．由双曲线的渐近线方程只能确定a 与b 的比值，无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上．在圆锥曲线中，渐近线是双曲线特有的性质．探究5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？【提示】 (1)为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. (2)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；若已知双曲线的渐近线方程x a ±y b ＝0或y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，焦点在x 轴上；当λ＜0时，焦点在y 轴上．(3)双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .(2)经过点M (－3,23)，且与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线．【精彩点拨】 (1)因焦点的位置不确定，应分类讨论求解；(2)与双曲线x29－y216＝1有相同渐近线的双曲线方程可设为x29－y216＝λ(λ≠0)，从而达到简便运算的效果．【自主解答】 (1)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x29－4y281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y29－x24＝1.(2)法一：双曲线x29－y216＝1的渐近线方程为y ＝±43x ，当焦点在x 轴上时，设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝439a2－12b2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＝94b2＝4.∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝4312a2－9b2＝1此方程组无解．综上可知，双曲线的标准方程为x294－y24＝1.法二：设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)， ∵双曲线经过点M (－3,23)， ∴λ＝－9－316＝14. 故双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：①与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，若λ＞0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y 轴上的双曲线．②与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ＞0)或y2a2－x2b2＝λ(λ＞0)．③与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为x2a2＋λ－y2b2－λ＝1(－a 2＜λ＜b 2)．④已知渐近线方程y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．3．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A.54 B ．52 C.53或54D ．52或153【解析】当焦点在x 轴上时，b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54；当焦点在y 轴上时，a b ＝43，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝53.故选C. 【答案】 C1．双曲线y24－x29＝1的顶点坐标为( )A ．(0,2)(0，－2)B ．(3,0)(－3,0)C ．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)D ．(0,2)(3,0)【解析】由双曲线的标准方程知焦点在y 轴上，则顶点在y 轴上，且a 2＝4，则a ＝2，从而顶点坐标为(0,2)，(0，－2)．【答案】 A图3342．如图334，双曲线C ：x29－y210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( )A ．3B ．6C ．4D ．8【解析】设F 2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P 1F 1|＝|P 2F 2|， ∴|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝6. 【答案】 B3．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )【导学号：32550088】A.14 B ．13 C.24D ．23【解析】 ∵双曲线的离心率为2，∴ca ＝2，∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ |AF1|－|AF2|＝2a ，|F1A|＝2|F2A|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|AF2|2＋|F1F2|2－|AF1|22|AF2||F1F2|＝4a2＋16a2－16a22×2a×4a ＝4a216a2＝14，选A. 【答案】 A4．设F 1，F 2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为________．【解析】设|AF 2|＝x ，|AF 1|＝3x ，则2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝2x,2c ＝|AF1|2＋|AF2|2＝10x .∴离心率e ＝c a ＝10x 2x ＝102. 【答案】102 5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x216＋y211＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程．【解】椭圆x216＋y211＝1的焦点坐标为(5，0)(－5，0)，离心率为54， ∴双曲线x2a2－y2b2＝1的c ＝5， e ＝2×54＝52，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线的标准方程为x24－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)__________________________________________________________。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（） A ．3B 3C ．13-D ．134．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,23M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A ．(2,)+∞B ．2)C ．(3,)+∞D ．3)6．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．9167．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A 3B ．23C 23D 438．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（）A ．2121B ．22121C ．42121D 219．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A ．61⎛- ⎝⎦B ．62]C ．231⎤⎥⎝⎦D ．31]10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（）A ．12B ．32C ．13D ．233二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=；（Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知双曲线C 过点(3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程；（2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由3c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =，则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =，所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===，因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 11()123m m +-=⇒=-，故选C.4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.7．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．8．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥，可得13mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()2224232c a c <≤-，所以，()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为11225O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b --+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===，故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =，所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ，因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩，所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.19．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=，所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=，所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--，而12BFOSbc =，因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--，整理可得：[(21)]c a c =--，整理可得2a c =，解得22e =，故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞．【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程；（2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10．抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立，若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=，整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线．【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键.25．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=，解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。

2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第三章3.2 双曲线的简单性质 1-学习文档

[基础达标]1．双曲线x 2－y 23＝－1的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y 23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x .2.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 224＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 224－y 28＝1 D ．x 24－y 212＝1解析：选D.焦点在x 轴上.ba ＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2，∴a 2＝4，b 2＝12.故选D.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝3，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x .4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B ．1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°，过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则 |AC |＝2CD ＝2×BC sin 60°＝23c ，由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12.5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19 B ．14C.13D ．12解析：选A.由题意得1＋p2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4.∴M (1，4)，双曲线左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a ，由题意41＋a ＝1a ，∴a ＝19.6.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝b a x ＝ba <2，∴e 2＝c 2a 2＝1＋(ba)2<5，又e >1，∴e ∈(1，5)．答案：(1，5)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y 24＝1整理得3x 2－2x －5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823.答案：8238.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a |1＋（3）2＝1，∴a ＝2，又b a ＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x 24－y 243＝1.答案：x 24－y 243＝19.(1)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14. 所以所求双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(2)法一：椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程是y ＝±b a x ，则b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条渐近线方程为x ＋3y ＝0.已知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1.由椭圆方程x 264＋y 216＝1知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋λ3＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.10.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1.于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2B ．⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A. 2.若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．解析：因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM |＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM |＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12|PF 1|－a .这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2. ∵点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为 (3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.①x 1＋x 2＝2km3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6， |OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k 2（k 2－3）2.当k ＝0时，|PQ |2＝24＋384k 2（k 2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直x 轴时，|PQ |2>24，所以|OP |2＋|OQ |2的最小值是24.。

高二数学北师大版选修2-1教师用书第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案

§双曲线
．双曲线及其标准方程
．掌握双曲线的定义及其应用．(重点)
．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)
．会求双曲线的标准方程．(易混点)
教材整理双曲线的定义
阅读教材“动手实践”以下的部分，完成下列问题．
绝对值
差的
等于
我们把平面内到两定点、的距离之
)
的点的集合叫作
常数
大于零且小于
(
双曲线．定点、叫作双曲线的
焦点
．
，两个焦点之间的距离叫作双曲线的
焦距
．双曲线－＝的两个焦点分别是，，双曲线上一点到的距离是，则到的距离是( )
．
．
．或
．或
【解析】由双曲线定义知－＝，即－＝.解得＝或＝.
【答案】．设，是双曲线－＝的焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距
离．【解】因为＝，所以＝，由双曲线的定义得－＝，所以－＝，所以＝或.因为＝＋＝，所以＝，当＝时，＋＝＜，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以＝.
教材整理双曲线的标准方程
阅读教材“例”以上的部分，完成下列问题．
．双曲线－＝的焦点坐标为．【解析】＝＋＝，∴＝，
∵焦点在轴上，
∴焦点坐标为(，)，(－，)．
【答案】 (，)，(－，)
．若＝，＝，则双曲线的标准方程是．
【解析】当焦点在轴上时，双曲线的标准方程为－＝；当焦点在轴上时，双曲线的标
准方程为－＝.
【答案】－＝或－＝
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：。

数学选修2-1北师大版：第三章圆锥曲线与方程 §3 3.2

3．2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．知识点双曲线的性质1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×)3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为 2.(√)类型一双曲线的性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m＝1＋nm，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思与感悟由双曲线的方程研究性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .类型二由双曲线的性质求标准方程例2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 24＝1 D.y 28－x 24＝1 考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 B解析由已知，得双曲线的焦点在y 轴上，从而可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍， ∴2a ＋2b ＝22c . 又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4， ∴所求双曲线的方程为y 24－x 24＝1.(2)求与双曲线x 216－y 29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a 2－9b 2＝1.②联立①②得方程组无解．当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a 2－12b 2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y 294－x 24＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝|ab |a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三求双曲线的离心率例3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率解设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca －1＝0，即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟求双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 求解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率答案 2解析如图所示，在△OAB 中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c . 因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |，所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0，解得b a ＝3或b a ＝33(舍去)，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则( ) A ．实轴长为42，虚轴长为2 B ．实轴长为82，虚轴长为4 C ．实轴长为2，虚轴长为4 2 D ．实轴长为4，虚轴长为8 2 考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 答案 B解析双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 D解析由选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y 24－x 2＝1与y 2－x 24＝1，而y 24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x 24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D.3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B.54C.43D.53考点双曲线的离心率与渐近线题点渐近线与离心率的关系答案 D解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2， ∴e ＝c a ＝53，故选D.4．设双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e ＝________.考点双曲线的离心率与渐近线题点渐近线与离心率的关系答案52或 5 解析当焦点在x 轴上时，b a ＝12，所以e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e ＝52；当焦点在y 轴上时，a b ＝12，所以e 2＝1＋b 2a2＝1＋4＝5，所以e ＝ 5.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 12 6解析设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1三点共线时最小(P 在A ，F 1之间)，过AF 1的直线方程为x －3＋y 66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝11AF FF PFS S－S＝12|F 1F |·y A －12|F 1F |·y P ＝12 6.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x 2n 2－y 2m 2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，a＞0，b ＞0)．一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．4 2 考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 C解析将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x考点双曲线的离心率与渐近线题点渐近线与离心率的关系答案 B解析由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2. 故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( ) A. 2 B.32 C. 3D.62考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率答案 C解析不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，且为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 30°， ∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32，化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 A解析 ∵方程表示双曲线， ∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距求方程答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x考点双曲线的简单性质题点求双曲线的渐近线方程答案 C解析已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( ) A.103 B.52C.5D.343考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率答案 D解析设F (c,0)，则过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝b a x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2， AF →＝⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343，故选D. 二、填空题8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2，1)，则该双曲线的方程为________．考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 x 2－y 2＝1解析 ∵双曲线的渐近线方程是y ＝±x ，∴a ＝b ，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2，又双曲线经过点(2，1)，代入方程可得a 2＝1，故该双曲线的方程是x 2－y 2＝1.9．已知双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________．考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析由双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ，所以e ＝c a＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，由F 2向双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若△F 1HF 2的面积为b 2，则双曲线C 的渐近线方程为________．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 y ＝±x解析设过F 2(c,0)与渐近线bx －ay ＝0垂直的直线为l ，则l 的方程为y ＝－a b(x －c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ bx －ay ＝0，y ＝－a b (x －c )的解即为H 点的坐标，可得H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c .又△F 1HF 2的面积为b 2，所以12F HF S ＝12×2c ×ab c＝b 2，解得a ＝b ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．考点双曲线的简单性质题点求双曲线离心率答案 102解析如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又OE →＝12(OF →＋OP →)， ∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24， |PM |＝2|OE |＝a . 由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a ， ∴e ＝c a ＝102. 三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1； ②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上． (1)当|P A |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN的面积为23，求直线l 的方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其他问题解 (1)设P (x ，y )，则|P A |＝x 2＋(y －1)2 ＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋83，当y ＝13时，|P A |最小，故所求点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±253，13. (2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k 2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－k 21－2k 2， S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·41－k 21－2k 2＝23，解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D ．2考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率答案 A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点A ，B ，直线l 与y 轴的交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若P A →＝512PB →，求a 的值．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得－2＜a ＜2且a ≠±1.又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2， ∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62， 2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)． ∵P A →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169. 又∵a ＞0，∴a ＝1713.。

北师大数学选修21应用案巩固提升：第三章 32 第2课时直线与双曲线的位置关系习题课含解析

[A 基础达标]1．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝2有且只有一个交点，那么k 的值是( ) A ．±1 B ．±3 C ．±1，± 3D ．±2解析：选C.把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝2，整理得，(1－k 2)x 2－4kx －6＝0. 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，y ＝kx ＋2与双曲线渐近线平行，满足要求．当1－k 2≠0时，当y ＝kx ＋2与x 2－y 2＝2相切时，满足要求，即Δ＝0，得k ＝±3. 综上可知，满足条件的k 的值为±1，± 3.2．已知双曲线E 的中心在原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，①x 22a 2－y 22b 2＝1，②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，因为x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以4b 2＝5a 2，又因为c ＝3，所以a ＝2，b ＝5，故E 的方程为x 24－y 25＝1.3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过左焦点F 1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B.5＋1 C. 2D ．2＋ 3解析：选A.由题意得P 的横坐标为c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，k F 1P ＝b 2ac －（－c ）＝c 2－a 22ac ＝e 2－12e ＝33得e ＝ 3.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎫1，233 C ．[2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，由题意得，0＜b a ＜tan 30°＝33，即c 2－a 2a ＜33. 又因为e ＞1，所以e ∈⎝⎛⎭⎫1，233.5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 存在时，k P A ·k PB ＝( ) A.49 B.12C.23D.与P 点位置有关解析：选A.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 29－y24＝1得y 2＝367，则y 1＋y 2＝0，y 1y 2＝－367，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4×367.由于k P A ·k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝y 20＋y 1y 2x 20＋x 1x 2＝y 20－3679⎝⎛⎭⎫y 204＋1－4×367＝y 20－36794⎝⎛⎭⎫y 20－367＝49，即k P A ·k PB 为定值49，故选A.6．双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.给定四条直线：①5x －3y ＝0；②x －y －4＝0；③5x －3y －52＝0；④4x －3y ＋15＝0.如果上述直线上存在点P ，使|PF 2|＝|PF 1|＋6，则满足这样条件的直线对应的序号是________．解析：由x 29－y 216＝1，所以a 2＝9，b 2＝16，所以c 2＝25，c ＝5，由双曲线的定义，双曲线上任意一点P 满足|||PF 2|－|PF 1|＝6＜10.当直线上存在点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝6时，说明直线与双曲线的左支有公共点．由已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，对于①③两直线的斜率均为53＞43，故①③均与双曲线左支无公共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点．答案：②④7．直线l 与双曲线x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线y ＝2x 上，则直线AB 的斜率为________．解析：设l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，y ＝kx ＋b消去y 得(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为l 与双曲线交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故Δ＝8b 2＋8－16k 2＞0，① 1－2k 2≠0，由根与系数的关系知：x 1＋x 2＝4kb 1－2k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b 1－2k 2. 因为线段AB 的中点在直线y ＝2x 上，所以有b 1－2k 2＝4kb1－2k 2，得k ＝14，满足①式．当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．答案：148．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为________．解析：因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况，即A 点在双曲线的左支，B 点在右支，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ，0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，ca ≥2，即e ≥2，所以离心率的最小值为2.答案：29．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为4，且经过点()－3，26.(1)求双曲线C 的方程和其渐近线方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 有且只有一个公共点，求所有满足条件的k 的取值．解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据定义有2a ＝|（－3＋2）2＋（26－0）2－（－3－2）2＋（26－0）2|＝2，所以a ＝1，由以上可知：a 2＝1，c 2＝4，b 2＝3. 所以所求双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 渐近线方程为y ＝±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0. ①当3－k 2＝0即k ＝±3时，此时直线l 与双曲线相交于一个公共点，符合题意； ②当3－k 2≠0即k ≠±3时，由Δ＝0得k ＝±7，此时直线l 与双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的k 的所有取值为3，－3，7，－7.10．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解：(1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1，2x 1)，B (x 2，－2x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0，由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2＞0，得m ≠0. 因为x 1x 2＝－m 23，OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)(－2x 2)＝－3x 1x 2，所以m 2＝3，即m ＝±3.[B 能力提升]11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：选A.由题意得：ba ＝2，左焦点为(－c ，0)在y ＝2x ＋10上，得c ＝5，a ＝5，b ＝2 5.故双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：抛物线的准线为y ＝－p 2，焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以a 2＋⎝⎛⎭⎫p 22＝c 2.①设抛物线的准线y ＝－p2交双曲线于M ⎝⎛⎭⎫x 1，－p 2， N ⎝⎛⎭⎫x 2，－p 2两点，所以⎩⎨⎧y ＝－p2，x 2a 2－y2b 2＝1，即x 2a 2－⎝⎛⎭⎫－p 22b 2＝1，解得x ＝±a p 24b 2＋1，所以2ap 24b 2＋1＝2c .② 又因为b 2＝c 2－a 2，③ 所以由①②③，得c 2a 2＝2，所以b 2a 2＝c 2a 2－1＝1，解得ba ＝1.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x13.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，所以b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2. 因为点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0，Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.①x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6， |OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k 2（k 2－3）2≥24.当k ＝0时，|PQ |2＝24＋384k 2（k 2－3）2＝24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直于x 轴时，|PQ |2>24，所以|OP |2＋|OQ |2的最小值是24.14．(选做题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图，B 是右顶点，F 是右焦点，点A在x 轴正半轴上，且满足：|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P .(1)求证：P A →·OP →＝P A →·FP →；(2)若l 与双曲线C 的左右两支分别相交于点E ，D ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：(1)证明：双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，F (c ，0)，所以直线l 的斜率为－ab，所以直线l ：y ＝－ab(x －c )．由⎩⎨⎧y ＝－ab （x －c ），y ＝b a x ，得P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c .因为|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列，所以x A ·c ＝a 2，所以x A ＝a 2c，A ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0，P A →＝⎝⎛⎭⎫0，－ab c ，OP →＝⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，FP →＝⎝⎛⎭⎫－b 2c ，ab c ，所以P A →·OP →＝－a 2b 2c 2，P A →·FP →＝－a 2b 2c 2，则P A →·OP →＝P A →·FP →.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a b（x －c ），b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2得，⎝⎛⎭⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4b 2cx －⎝⎛⎭⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，因为点E ，D 分别在双曲线的左右两支上，所以－⎝⎛⎭⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b2＜0，所以b 2＞a 2.所以e 2＞2，所以e ＞ 2.。

2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1练习：第三章3.1 双曲线及其标准方程 1 Word版含解析.doc

[基础达标]1.双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)． 2.已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D ．x 22－y 25＝1解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1. 3.若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 解析：选C.设P 到左焦点的距离为r ，c 2＝12＋4＝16，c ＝4，a ＝2，c －a ＝2，则由双曲线定义|r －8|＝4，∴r ＝4或r ＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．4.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.a ＝3，b ＝4，c ＝5，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ＝10，|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16，F 2到PF 1的距离为6，故S △PF 1F 2＝12×6×16＝48.5.已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B ．35C.34D ．45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝22，得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 6.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________．解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k ＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.答案：－17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________．解析：A (－6，0)，C (6，0)为双曲线x 225－y 211＝1的左，右焦点．由于B 在双曲线左支上，在△ABC 中，由正弦定理知，|BC |＝2R sin A ，|AB |＝2R sin C ，2R sin B ＝|AC |＝12，根据双曲线定义|BC |－|AB |＝10，故sin A －sin C sin B ＝2R sin A －2R sin C 2R sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝1012＝56.答案：568.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|P A |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449.设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C 的圆心轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1，故C 的圆心轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10.双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x 轴的距离．解：设P 点为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0，整理，得x 20＋y 20＝25①.又∵P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 209－y 2016＝1②. 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165. 因此点P 到x 轴的距离为165.[能力提升]1.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3 B ． 5 C.5－ 3D ．5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×23＝5－ 3.2.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1. 答案：10＋13.已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b 2＝1.（437）2a 2－42b2＝1，解之得⎩⎨⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.不合题意，舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b 2＝1，42a 2－（437）2b 2＝1，解之得⎩⎨⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎨⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19，故所求方程为y 29－x 216＝1.4．设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线，所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0，所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1，所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m 2.因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0，解得0<|m |<55，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎫0，55.。