2019届高考数学一轮复习选考部分专题反射变换与旋转变换学案(无答案)苏教版选修4-2

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高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案(无答案)苏教版选修4-2

—————————— 教育资源共享步入知识海洋 ————————投影变换、切变变换【考纲下载】1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换——投影变换与切变变换；2．掌握投影变换与切变变换的几何意义及其矩阵表示.一、【知识回顾】请阅读教材P26--31页内容，并回答以下问题：问题1投影变换的概念：像1010,0010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这样将平面内图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，我们称之为，相应的变换称做。

问题2：切变变换的概念：像101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦这样将平面上的点沿x 轴（或y 轴）方向平移的矩阵，称为，相应地变换称为 .问题3：投影变换是映射，但不是 .（1）投影变换主要研究：11000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，20001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵11000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到轴上，即(,)(,0)x y x →.与矩阵20001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到轴上，即(,)(0,)x y y →.与矩阵31010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点沿垂直于x 轴方向投影到上，即(,)(,)x y x x →.（3）切变变换保持图形的大小不变二、【预习检测】1、直线x+y=5在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100 对应的变换作用下得到的图形是。

2、向量a →在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝ 3、A （0，0），B （1，2）在矩阵M 作用下分别变换为点A ‘（0，0），B ’（1.5，2.5），求变换对应的矩阵M 。

4、已知1012A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，a →＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b →＝1x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若A a →与A b →的夹角为135o ，求x.三、【应用举例】探究1直线y x =-在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形.探究2曲线221x y +=在矩阵0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形？探究3设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点没平行于直线y x=的方向投影到x轴上，试求：（1）点(3,2)A在这个投影变换作用下得到的点A'的坐标；（2）这个投影变换对应的变换矩阵.探究4求直线1x=在矩阵1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换作用下得到的图形的表达式.探究5直线:230l x y++=在矩阵1201M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l'，求l'的方程.复习检测1. 已知投影变换T 对应的矩阵为1000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则平面上点(3,1)P 在投影变换T 作用下得到的点的坐标是 .2. 已知变换T 是将平面内图形沿垂直于x 轴方向投影到直线2y x =上的变换则变换矩阵M = .3. 已知变换T 是将平面内的点没垂直于直线y x =的方向投影到直线y x =上的变换，则变换矩阵M = .4. 已知直线5x y +=在矩阵M 对应的变换作用下得到点(5,5)，则变换矩阵M = .5. 椭圆2219x y +=在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到什么图形？6. 写出将点(,)x y 变换成点(3,)x y y -的变换对应的矩阵M .7. 已知直线F 在矩阵1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定的变换作用下得到直线10x y +-=，求直线F 的方程. 8.。

高考数学一轮复习选考部分专题反射变换与旋转变换学案(无答案)苏教版选修4-2

—————————— 教育资源共享步入知识海洋 ————————反射变换与旋转变换一、【知识回顾】1.反射变换的有关概念2. 常用的几种反射变换矩阵3．旋转变换的概念二、【自学检测】1.关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；2. 关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；3.旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为 .4.已知直线ＡＢ过（２,１），（－２，－２）两点,求:(1) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程；(2) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程.（3）已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标.三、【应用举例】探究1求直线y=4x 在矩阵01⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦作用下变换所得的图形.探究2求曲线≥0)在矩阵10⎡⎢⎣01⎤⎥-⎦作用下变换所得的图形.探究3若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M ．.四、【检测反思】1. 将图形变换为关于x 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于y 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .2.求△ABC 在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .3.求出曲线y=1x(x>0)在矩阵M=1-⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦作用下变换得到的曲线.4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.5.求曲线经M1=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦和M2=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.。

2019版高考数学一轮复习第12章选4系列 12.1 坐标系教案文

解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程
为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ
＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
A．k≤－43 B．k≥－34 C．k∈R D．k∈R但k≠0
解析由曲线C：ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ， ∴x2＋y2＝2x，联立xy＋2＋kyx2＋＝22＝x，0，化为(1＋k2)x2＋(4k－2)x＋4＝0.
∵直线l与曲线C有交点， ∴Δ＝(4k－2)2－16(1＋k2)≥0，化为16k≤－12，解得k≤－34. ∴k的取值范围是k≤－34.故选A.
3．小题热身
(1)(2017·东营模拟)在极坐标系中，已知点P 2，6π ，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝ 3
C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝ 3
解析先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，6π 转化为
点x＝ρcosθ＝2cos
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝
π 4
(ρ∈R)，设C2与C3的
交点为M，N，求△C2MN的面积．
(1)用转化公式；(2)理解ρ1，ρ2的几何意义，化成ρ的二次方程后，利用韦达定理求ρ1，ρ2.
解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋ 4＝0.

2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关矩阵与变换学案选修4-2

选修42 矩阵与变换1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2，MX ＝Y 且Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋y －x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，－x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 2. 点（－1，k ）在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为（－2，－4），求m ，k 的值.解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，将点（1，1），（－1，2）分别变换成（1，1），（－2，4），求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，c ＋d ＝1. 由题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，联立两个方程组，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝43，b ＝－13，c ＝－23，d ＝53.即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 43－13－23 53. 4. 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ）在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210对应的变换作用下得到点Q（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即x ＋2y ＝x′，x ＝y′，所以x ＝y′，y ＝x′－y′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′·x′－y′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－y′22＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.5. 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d . ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量（1）矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2）行矩阵与列矩阵的乘法规则[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21].（3）二阶矩阵与列向量的乘法规则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2. 几种常见的平面变换（1）当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，对应的变换是恒等变换.（2）由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k （k>0，且k≠1）确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换.（3）反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称.（4）当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.（5）将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.（6）由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1（k∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.3. 线性变换的基本性质（1）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .（2）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.（3） A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λA α，A （α＋β）＝A α＋A β.（4）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. 4. 二阶矩阵的乘法（1） A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2.（2）矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. [备课札记]1 二阶矩阵的运算1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y .若A α＝B α，求实数x ，y 的值.解：A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，由A α＝B α，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.变式训练已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，满足AX ＝B ，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝5，－2a －b ＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝1，此时X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤71. , 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程), 2) （1）（2017·苏北四市期中）求椭圆C ：x 29＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012对应的变换作用下所得的曲线的方程. （2）设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程.解：（1）设椭圆C 上的点（x 1，y 1）在矩阵A 对应的变换作用下得到点（x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤13012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1，所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1. （2） MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，设（x ，y ）是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 对应的变换作用下对应的点为（x′，y ′）.则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin 2x ′，即y′＝2sin 2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程为y ＝2sin 2x. 变式训练在平面直角坐标系xOy 中，设点A （－1，2）在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.解：设B′（x ，y ），依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A′（1，2）.则A′B →＝（2，2），A′B′→＝（x －1，y －2）.记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，所以点B′的坐标为（－1，4）., 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＋2a ＝0.（1）求实数a 的值；（2）求A 2. 解：（1）设直线l 上任一点M 0（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上的点M （x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.代入l′方程得（ax 0＋y 0）－（x 0＋ay 0）＋2a ＝0，即（a －1）x 0－（a －1）y 0＋2a ＝0. 因为（x 0，y 0）满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2.（2）由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 44 5.变式训练（2017·镇江期末）已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解：设直线x －y －1＝0上任意一点P （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（x′，y ′），由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y. 因为P′（x′，y ′）在直线x －y －1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即（－1－b ）x ＋（a －3）y －1＝0. 因为P （x ，y ）在直线x －y －1＝0上，所以x －y －1＝0.因此⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＝1，a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.备选变式（教师专享）已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .解：设直线l ：x ＋y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y ′）.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx ＋ny y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝mx ＋ny ，y ′＝y. 又点M′（x′，y ′）在l′上，所以x′－y′＝1，即（mx ＋ny ）－y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1., 4 平面变换的综合应用), 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.求证：（1）（MN ）α＝M （N α）；（2）这两个矩阵不满足MN ＝NM .证明：（1）因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012，所以（MN ）α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为N α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M （N α）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以（MN ）α＝M （N α）.（2）由（1）知MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012，所以这两个矩阵不满足MN ＝NM .备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （－1，2），C （0，3）.求△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0对应的变换作用下所得到的图形的面积.解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A （0，0），B （－1，2），C （0，3）在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A ′（0，0），B ′（－2，－1），C ′（－3，0）.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′·|y B ′|＝32.1. （2017·南京、盐城模拟）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值.解：（解法1）取直线l ：ax ＋y －7＝0上点A （0，7），B （1，7－a ）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b （7－a ）－1，所以A （0，7），B （1，7－a ）在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b ），B ′（3，b （7－a ）－1）.由题意，知A′，B ′在直线l′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b （7－a ）－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13.（解法2）设直线l 上任意一点P （x ，y ），点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q （x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y ′＝－x ＋by. 因为点Q （x′，y ′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0. 即27x ＋（－x ＋by ）－91＝0，也即26x ＋by －91＝0. 又点P （x ，y ）在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0.所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.2. 已知在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.（1）求a ，b 的值，（2）求曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程.解：（1）由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（2）设曲线C 上任一点M′（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下得到点M （x ，y ），∵ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋y 0，y ＝2y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12y ，y 0＝12y.∵ 点M′在曲线C 上，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＝1. 故所求曲线方程为x 2－xy ＋12y 2＝1.3. 已知a ，b ∈R ，若在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3所对应的变换作用下把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a ，b.解：设直线2x －y ＝3上任意一点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点A 0（x 0，y 0），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ＋ay ，y 0＝bx ＋3y. ∵ 2x 0－y 0＝3，∴ 2（－x ＋ay ）－（bx ＋3y ）＝3. 即（－2－b ）x ＋（2a －3）y ＝3. 此直线即为2x －y ＝3， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 4. 二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. 设直线l 上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′（x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y.又m ：x′－y′＝4，所以直线l 的方程为（x ＋2y ）－（3x ＋4y ）＝4，即x ＋y ＋2＝0.1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点（x 0，y 0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的点为（x′，y ′），则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x′，y 0＝3y′. 所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.2. 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by＝1.（1）求实数a ，b 的值；（2）若点P （x 0，y 0）在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.解：（1）设直线l 上一点（x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得点（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y.代入直线l′，得2x ＋（b ＋3）y ＝1，∴ a ＝2，b ＝－2.（2） ∵ 点P （x 0，y 0）在直线l 上，∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.3. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，求二阶矩阵M .解：依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4.M ＝A 4＝（A 2）2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16.4. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a 的值.解：设P （x ，y ）为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x ＋2y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′. 代入ax －y ＝0，整理，得－（2a ＋1）x′＋ay′＝0. 将点（1，1）代入上述方程，解得a ＝－1.几种特殊的变换反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为（x ，y ）→（x ，－y ），变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为（x ，y ）→（－x ，y ），变换前后关于y 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为（x ，y ）→（－x ，－y ），变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为（x ，y ）→（y ，x ），变换前后关于直线y ＝x 对称. 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为（x ，y ）→（x ，0）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为（x ，y ）→（0，y ）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（x ，x ）；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（y ，y ）；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2.第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（对应学生用书（理）194～197页）1. 设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.解：∵ B ＝BAA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 3a ＋4c 3b ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12.∴ B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. 2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12，从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－20 3.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 52x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－（x －1）λ－（x ＋5）＝0，得x ＝3. ∴ 矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 523，∴ M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64514.4. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量，求实数a 的值.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1. 5. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P （－1，2）在M 对应的变换作用下得到点Q ，求点Q 的坐标.解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4. ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4， ∴ 点Q 的坐标为（－2，4）.1. 逆变换与逆矩阵（1）对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.（2）若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1. （3）利用行列式解二元一次方程组. 2. 特征值与特征向量（1）设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（2）从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量., 1 求逆矩阵与逆变换), 1) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.求矩阵C ，使得AC ＝B .解：因为det （A ）＝2×3－1×1＝5，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525.由AC ＝B ，得（A －1A ）C ＝A －1B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 45－15－35. 变式训练（2017·常州期末）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X.解：由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2.由AX ＝B ，得X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤47＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12., 2 求特征值与特征向量), 2) 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113的特征值及对应的特征向量.解：特征多项式f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－1λ－3＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8.由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.将λ1＝2代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.同理，当λ2＝4时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.变式训练（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值.解：因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. 所以矩阵A 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.令f （λ）＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d .若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵. 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c＋d ＝6 ①.由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2 ②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－12－13 12.备选变式（教师专享）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且在矩阵M 对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两个方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36., 4 特征值与特征向量的综合应用), 4) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.解：因为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6.由f （λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以A 5α＝2×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋1×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307. 变式训练已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧M α1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，所以M 2β＝M 2（α1＋2α2）＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.1. （2017·苏州期初）已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝2. 因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110－514.2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点（－1，3）变换为（0，8）.（1）求矩阵M ；（2）求曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下的新曲线方程.解：（1）设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. （2）设原曲线上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下的对应点为P ′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝6x ＋2y ，y ′＝4x ＋4y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′－y′8，y ＝－2x′＋3y′8，代入x ＋3y －2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，即曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的新曲线方程为x －2y ＋4＝0.3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值.解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，λ＝－4. 4. （2017·无锡期末）已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，（0，1）分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M. （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值.解：（1）设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 4，得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－32－4 4. （2）设矩阵M 的特征多项式为f （λ），∴ f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3324λ－4＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6.令f （λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1. 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点（2，3）变成点（3，4）.（1）求a ，b 的值；（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，故⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. （2）由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1－5 4.2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：（解法1）设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以a ＝－1，2a ＋6b ＝－2，c ＝0，2c ＋6d ＝3.解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012.根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.（解法2）在A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝A－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3. 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6.解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2，求逆矩阵M －1的特征值.解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－112. M －1的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－101λ－12＝（λ－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12，令f （λ）＝0，解得λ＝1或λ＝12.所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1和12.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.解：矩阵M 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f （λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6（4α1－3α2）＝4（M 6α1）－3（M 6α2）＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×（－1）6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 错误![备课札记]。

2019届高三数学一轮复习题详解 (11)

1 x′＝3×3＝1， x′＝3x，得 ∴点 A′的坐标为(1，－1). y ∴ － 2 y′＝2， y′＝＝－1. 2
x ＝， x ′＝ 3 x ， (2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点.由伸缩变换 φ：得 3 2y′＝y， y＝2y′.
x′＝3x，在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ： 2y′＝y.
1 (1)求点 A3，－2经过 φ 变换所得点 A′的坐标；
(2)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程.
解
x′＝3x， (1)设点 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ： 2y′＝y，
θ，代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0， θ
得 ρ2－8ρcos θ －10ρsin θ ＋16＝0，
所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ －10ρsin θ ＋16＝0.
考点三曲线极坐标方程的应用【例 3－1】 (2017· 全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ ＝4. (1)设点 M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；
x′ x＝ λ ，程的求法是将代入 y＝f(x)，整理得 y′＝h(x′)为所求. y ′ y＝ μ 2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点 P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.
【训练 1】
sin θ
π －4
解 (1)圆 O：ρ＝cos θ ＋sin θ ，即 ρ2＝ρcos θ ＋ρsin θ ，

2019届高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案(无答案)苏教版选修4-2

投影变换、切变变换【考纲下载】1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换——投影变换与切变变换；2．掌握投影变换与切变变换的几何意义及其矩阵表示.一、【知识回顾】请阅读教材P26--31页内容，并回答以下问题：问题1投影变换的概念：像1010,0010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这样将平面内图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，我们称之为，相应的变换称做。

2、向量a →在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝3、A（0，0），B（1，2）在矩阵M作用下分别变换为点A‘（0，0），B’（1.5，2.5），求变换对应的矩阵M。

4、已知1012A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，a→＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b→＝1x⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若A a→与A b→的夹角为135o，求x.三、【应用举例】探究1直线y x=-在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形.探究2曲线221x y+=在矩阵0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形？设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点没平行于直线y x=的方向投影到x轴上，试求：（1）点(3,2)A在这个投影变换作用下得到的点A'的坐标；（2）这个投影变换对应的变换矩阵.探究4求直线1x=在矩阵1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换作用下得到的图形的表达式.探究5直线:230l x y++=在矩阵1201M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l'，求l'的方程.1. 已知投影变换T 对应的矩阵为1000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则平面上点(3,1)P 在投影变换T 作用下得到的点的坐标是 .2. 已知变换T 是将平面内图形沿垂直于x 轴方向投影到直线2y x =上的变换则变换矩阵M = .3. 已知变换T 是将平面内的点没垂直于直线y x =的方向投影到直线y x =上的变换，则变换矩阵M = .4. 已知直线5x y +=在矩阵M 对应的变换作用下得到点(5,5)，则变换矩阵M = .5. 椭圆2219x y +=在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到什么图形？6. 写出将点(,)x y 变换成点(3,)x y y -的变换对应的矩阵M .7. 已知直线F 在矩阵1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定的变换作用下得到直线10x y +-=，求直线F 的方程.。

苏教版高中数学选修4-2 2.2.3反射变换_学案设计2(无答案)

反射变换【学习目标】1.反射变换2.线性变换【学习过程】一、预习教材，思考下列问题：1.题：求圆C：22(2)(2)2x y-+-=在矩阵1001M-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作用下变换所得的几何图形.反思：两个几何图形有何特点？归纳：问1：若将一个平面图形F在矩阵1M的作用变换下得到关于y轴对称的几何图形F'，则如何来求出这个矩阵1M呢？问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？归纳练习1.求出曲线2y x =在矩阵1001M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦作用下变换所得的图形。

2.求出曲线lg (0)y x x =>在矩阵0110M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的曲线.总结：反射变换、轴反射、中心反射等概念，结合前例并指出反射变换矩阵。

二、例题与练习例．求直线y=4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001对应变换作用下得到的图形。

解题后反思：变换前后的图像之间有何关系？课堂练习：1.求平行四边形OBCD 在矩阵1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的几何图形，并给出图示，其中(0,0),(2,0),(3,1),(1,1)O B C D2.求出曲线y =0110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦作用下变换得到的曲线。

课后练习：1. 求矩形OBCD 在矩阵0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换成的图形，其中(0,0),(2,0),(2,1),(0,1)O B C D 2.求出曲线y =11001M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦和20110M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的曲线. 3.求2(0)y x x =≥在11001M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦21001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦31001M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦40110M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦分别作用下变换得到的曲线.4、设T 是以 ox 轴为轴的反射变换，则变换T 的矩阵为（）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 Ｂ、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 Ｃ、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 Ｄ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 5、求出椭圆14)2y (x 22=-+ 在矩阵1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换所得的图形.。

苏教版高中数学选修4-2 2.2.4旋转变换_学案设计1(无答案)

旋转变换【学习目标】1.旋转变换：2.矩阵的相等：【学习目标】一、知识梳理1．_______________________________________________________________称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．2．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为____________________;当旋转中心为原点且顺时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为____________________．3．旋转变换只会改变几何图形的______________，不会改变几何图形的_______________，旋转中心在旋转过程中______________，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180o的变换相当于关于定点作中心反射变换．二、例题讲解例1．求出曲线xy =- 1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线，及变换对应的矩阵．例2．已知A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90°后得到的图形，并求出其顶点坐标．π，得到椭圆C′．例3．已知椭圆C：x2 + y2 + xy = 3，将曲线C绕原点O顺时针旋转4(1)求椭圆C′ 的标准方程； (2)求椭圆C 的焦点坐标．三、练习巩固1.若点A 在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(1，0)，求α．2.设点P 的坐标为（1，－2），T 是绕原点逆时针方向旋转3π的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵，并求点P 在T 作用下得到的点P′ 的坐标．3.若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A （0，0），B （1，C （0，2），A′（0，0），C′1），试求矩阵M 以及点B′ 的坐标．4.将抛物线E ：y 2 = 4x 绕它的顶点逆时针旋转60°，得到曲线E′，求曲线E′ 的焦点坐标和准线方程．5.已知曲线C ：xy = 1．(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′ 的方程；(2)求曲线C 的焦点坐标．。

2019届一轮复习苏教版恒等变换伸压变换反射变换学案

2019届一轮复习苏教版恒等变换伸压变换反射变换学案1.掌握恒等、伸压、反射变换的特点，熟知常用的恒等、伸压、反射变换矩阵的特点.2.了解恒等、伸压、反射变换的矩阵表示及其几何意义.3.能用矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点).[基础·初探]1.恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换，都能把自身变成自身.因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换.我们把矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E .2.伸压变换矩阵M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012把平面上每一个点P 都沿y 轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x 轴上的点没变；矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1把平面上每一个点P 都沿x 轴方向伸长为原来的2倍，只有y 轴上的点没变.像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y 轴或x 轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换.3.反射变换 (1)反射变换的概念像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形F ′的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点.(2)反射变换的分类与矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1对应的变换是关于x 轴的轴反射变换. 与矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换是关于y 轴的轴反射变换. 与矩阵M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点的中心反射变换. 与矩阵M 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0对应的变换是关于直线y ＝x 的轴反射变换. 4.线性变换一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换.[思考·探究]1.设单位向量i ＝(0，1)，j ＝(1，0)，以i ，j 为邻边的正方形称为单位正方形，则单位矩阵对单位正方形作用后得到一个什么样的图形？【提示】由于Ei ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， Ej ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.所以单位矩阵对单位正方形作用后的图形仍为单位正方形.2.如何理解伸压变换？【提示】伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸.以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12为例，它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变，x 轴上方的点垂直向x 轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，而x 轴下方的点也垂直向x 轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，又因为x 轴上的点的纵坐标都为0，所以“原地不动”.类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的变换则是将平面上点的纵坐标保持不变，将y 轴左边的点的横坐标向左拉伸为原来的2倍，y 轴右边的横坐标向右拉伸为原来的2倍，而y 轴上的点的横坐标都为0，所以“原地不动”.3.反射变换的作用是什么？【提示】根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点(向量)或平面图形变为它的轴对称或中心对称图形.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：伸压变换的应用求直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎢⎦⎥⎥0 12对应的变换作用下所得的图形. 【导学号：30650011】【精彩点拨】矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的是沿y 轴方向的伸压变换，它使得平面上的点变换前后横坐标保持不变，而纵坐标变为原来的一半，从而可用求轨迹方程的代入法(相关点法)求其轨迹.【自主解答】任意选取直线y ＝4x 上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的变换作用下变为P ′(x 0′，y 0′)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 012y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0′y 0′. 则有：⎩⎨⎧x 0＝x 0′，12y 0＝y 0′，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0′，y 0＝2y 0′.又因为点P 在直线y ＝4x 上，所以y 0＝4x 0，即有2y 0′＝4x 0′.因此y 0′＝2x 0′，从而直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12作用下变成直线y ＝2x .利用伸压变换解决问题的类型及方法：(1)已知曲线C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解.(2)已知曲线C ′是曲线C 在伸压变换作用下得到的，求与伸压变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解.(1)若将本例变为：一直线l 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的变换作用下变成直线y ＝2x ，求该直线的方程.(2)若本例变为：直线y ＝4x 在二阶矩阵M 对应的沿y 轴方向伸压变换作用下变成了另一条直线y ＝2x ，试求矩阵M .【解】 (1)任意选取直线l 上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的变换作用下变为P (x 0′，y 0′)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 012y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0′y 0′则有⎩⎨⎧x 0′＝x 0y 0′＝12y 0. 又因为点P ′(x 0′，y 0′)在直线y ＝2x 上，所以y 0′＝2x 0′，即有12y 0＝2x 0，因此y 0＝4x 0，从而求得该直线为y ＝4x .(2)设P (x 0，y 0)为直线y ＝4x 上的任意一点，P ′(x 0′，y 0′)是P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的伸压变换作用下得到的点，则此点在直线y ＝2x 上.设伸压变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ≠0)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0ky 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0′＝x 0，y 0′＝ky 0，所以⎩⎨⎧x 0＝x 0′，y 0＝1k y 0′.将其代入y ＝4x 中，得4x 0′＝1k y 0′，即y 0′＝4kx 0′.又y 0′＝2x 0′，∴4k ＝2，得k ＝12，所以所求矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12. 反射变换的应用求直线y ＝6x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110对应的变换作用下所得的图形的表达式. 【精彩点拨】先求出y ＝6x 上任意一点P (x 0，y 0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下得到点P ′(x 0′，y 0′)的坐标，再用代入法求解.【自主解答】任意选取直线y ＝6x 上的一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下得到的点为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x ′0，x 0＝y ′0.又因为点P (x 0，y 0)在直线y ＝6x 上，所以y 0＝6x 0，则有x ′0＝6y ′0. 所以y ′0＝x ′06，从而可知直线y ＝6x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下变成直线y ＝x 6.求曲线C (或点)在反射变换下得到的曲线C ′的表达式(或点的坐标)同伸压变换，使用代入法(相关点法).在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0对应的变换下得到的直线过点P (4，1)，求实数k 的值.【导学号：30650012】【解】设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝x .代入直线y ＝kx ，得x ′＝ky ′.将点P (4，1)代入上式，得k ＝4.[真题链接赏析](教材第16页例2)验证圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a ＞0，b ＞0)对应的伸压变换下变为椭圆x 2＋y 24＝1，试求a ，b 的值.【命题意图】本题主要考查求伸压变换T 作用下得到的曲线的方程，同时考查了函数方程思想、转化与化归思想.【解】设P (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在伸压变换下变为另一个点P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝ax 0，y ′0＝by 0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0a ，y 0＝y ′0b .又点P (x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1，所以x ′20a 2＋y ′20b 2＝1，即x 2a 2＋y 2b 2＝1.由已知条件可知，椭圆方程为x 2＋y 24＝1.所以a 2＝1，b 2＝4.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝1，b ＝2.1.恒等变换将直线x ＋2y －1＝0变换为________. 【解析】恒等变换保持原图形不变. 【答案】 x ＋2y －1＝02.如图2-2-1，把△ABC 变成△A ′B ′C ′的变换矩阵可能是________.(其中A (0，－1)，B (1，0)，C (0，1)，A ′(0，－1)，B ′(2，0)，C ′(0，1))图2-2-1【解析】注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的2倍，而纵坐标保持不变，它可能对应的是沿x 轴方向的伸压变换，对应的变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 3.函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14变换作用下的结果为________.【导学号：30650013】【解析】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得：y ′＝14x ′2.把x ′，y ′换为x ，y ，即得y ＝14x 2.【答案】 y ＝14x 24.已知双曲线x 24－y 23＝1，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的反射变换把双曲线变成的曲线是________.【解析】设双曲线上任意一点P (x ，y )在反射变换下对应点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′，y ＝y ′.代入双曲线方程，得x′24－y′23＝1，∴双曲线x24－y23＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001对应的反射变换下所得图形仍是它本身.【答案】x24－y23＝1我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

【新部编版】2019-2020届高考数学一轮复习选考部分专题反射变换与旋转变换学案(无答案)苏教版选修4-2

反射变换与旋转变换一、【知识回顾】1.反射变换的有关概念2. 常用的几种反射变换矩阵3．旋转变换的概念二、【自学检测】1.关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；2. 关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；3.旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为 .4.已知直线ＡＢ过（２,１），（－２，－２）两点,求:(1) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程；(2) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程.（3）已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标.三、【应用举例】探究1求直线y=4x 在矩阵01⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦作用下变换所得的图形.探究2求曲线≥0)在矩阵10⎡⎢⎣01⎤⎥-⎦作用下变换所得的图形.探究3若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M ．.四、【检测反思】1. 将图形变换为关于x 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于y 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .2.求△ABC 在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .3.求出曲线y=1x (x>0)在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦作用下变换得到的曲线.4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.5.求曲线经M1=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦和M2=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.。

2019-2020学年高二数学《反射变换与旋转变换》学案

2019-2020学年高二数学《反射变换与旋转变换》学案
教学目标:
教学重点:
教学难点:
一、问题的情境引入
P汽车图片问题。

1、课本
18
P大风车叶片问题。

2、课本
22
二、新课讲解
1、反射变换矩阵：
2、反射变换及相关概念：
3、线性变换：
4、旋转变换矩阵：
5、旋转变换及相关概念：
三、典型例题
例1、已知格纸上有一面小旗子如图所示，请在格纸中画出它关于x轴、关于y轴和关于原点对称的图形，并利用矩阵计算进行验证。

例2、求直线4y x =在矩阵0
1⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦
作用下变换所得的图形。

例3、已知A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90︒后所得到的图形，并求出其定点坐标，画出其示意图。

思考：若将题中条件改为矩形ABCD 绕原点顺时针旋转30︒，其结果又会如何呢？
四、课堂总结：。

[配套K12]2019届高考数学一轮复习第11单元选考4系列听课学案理

第十一单元选考4部分第67讲坐标系课前双击巩固1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系(1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的,记为ρ.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为x= ,y=ρsin θ,由此得ρ2= ,tan θ=(x≠0).3.常用简单曲线的极坐标方程圆心为,r的圆过点与极轴平行的课堂考点探究探究点一平面直角坐标系中的伸缩变换1 (1)曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C',则曲线C'的方程为.(2)曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则曲线C的方程为.[总结反思] 平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下所得曲线方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y'=h(x'),即为所求变换之后曲线的方程.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换的作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.式题 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:则点A经过变换后所得的点A'的坐标为.(2)双曲线C:x2-=1经过伸缩变换φ:后所得曲线C'的焦点坐标为.探究点二极坐标与直角坐标的互化2 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为y=x,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于P,Q两点,求|OP|·|OQ|的值.[总结反思] (1)直角坐标方程化为极坐标方程时,将x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.式题 [2017·大庆实验中学月考]已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)A,B为曲线C上两个点,若OA⊥OB,求+的值.探究点三简单曲线的极坐标方程及应用3 [2017·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.[总结反思] 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解,然后再次利用互化公式即可得相关结论.极坐标方程化为直角坐标方程,只需将ρcos θ和ρsin θ分别换成x和y即可.式题 [2017·黄冈中学三模]在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x+y-4=0,曲线C2:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若曲线C3的极坐标方程为θ=αρ>0,0<α<,且曲线C3分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.第68讲参数方程课前双击巩固1.参数方程的定义一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数(*),并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫作这条曲线的,联系变数x,y的变数t叫作参变数,简称.2.直线、圆、椭圆的参数方程(t为参数)(θ为参数)(θ为参数)椭圆+=1(a>b>(φ为参数)3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是(t是参数).若M1,M2是l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则:(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α);(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|·|M0M2|=|t1t2|;(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=;(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,2a)的直线l的倾斜角为,点P(x,y)为直线l上的动点,且|AP|=t.圆C以C(2a,2a)为圆心,为半径,Q(x,y)为圆C上的动点,且CQ与x轴正方向所成的角为θ.(1)分别以t,θ为参数,求出直线l和圆C的参数方程;(2)当直线l和圆C有公共点时,求a的取值范围.[总结反思] 几种常见曲线的参数方程:(1)直线的参数方程.过点P(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).(2)圆的参数方程.若圆心为点M0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为(θ为参数).(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数).(4)双曲线-=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数).(5)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).式题 [2017·长沙二模]在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(s为参数),曲线C的参数方程为(t为参数),若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.探究点二参数方程与普通方程的互化2 [2017·临汾三模]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.[总结反思] (1)消去参数的方法一般有三种:①利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数;②利用三角恒等式消去参数;③根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法,从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.式题 [2017·湖北六校二联]已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P 是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.探究点三直线的参数方程3[2017·雅安三诊]平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.[总结反思] (1)直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:①若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;②若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0;③设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为t M=.式题 [2017·鹰潭一模]在直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程;(2)求+的取值范围.探究点四圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设曲线C与直线l交于点A,B,求+的最小值.[总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题.式题在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:ρ(cos θ-2sin θ)=7距离的最小值.第69讲不等式的性质及绝对值不等式课前双击巩固1.不等式的性质(1)如果a>b,那么;如果b<a,那么,即a>b⇔b<a.(2)如果a>b,b>c,那么,即a>b,b>c⇒.(3)如果a>b,那么a+c> ,即a>b⇒a+c> .推论:如果a>b,c>d,那么,即a>b,c>d⇒.(4)如果a>b,c>0,那么ac> ;如果a>b,c<0,那么ac< .(5)如果a>b>0,那么a n b n(n∈N,n≥2).(6)如果a>b>0,那么(n∈N,n≥2).2.基本不等式(1)如果a,b∈R,那么a2+b2,当且仅当时,等号成立.(2)如果a>0,b>0,那么,当且仅当时,等号成立.(3)如果a>0,b>0,那么称为a,b的平均,称为a,b的平均.(4)如果a>0,b>0,c>0,那么,当且仅当时,等号成立.(5)对于n个正数a1,a2,…,a n,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当时,等号成立.课堂考点探究探究点一绝对值三角不等式的应用1[2017·湖南长郡中学二模]若对于实数x,y,有|x+y+1|≤,≤,求证:≤.[总结反思] (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便.式题若x,y满足|x-3y|<,|x+2y|<,求证:|x|<.探究点二绝对值不等式的解法2 [2017·内蒙古包钢一中一模]已知函数f(x)=|x+2|-|2x-2|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)设g(x)=x-a,若对任意x∈[a,+∞),都有g(x)≥f(x),求a的取值范围.[总结反思] 常见的绝对值不等式的解法:(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.(2)对形如|x+a|±|x-b|≥c(≤c)这种不等式问题,常用“零点分段讨论法”去掉绝对值符号化为若干个不等式组问题求解,其一般步骤为:①求零点;②划分区间,去绝对值符号;③分别解去掉绝对值符号之后的不等式;④取每个结果的并集.(3)通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.式题 [2017·沈阳东北育才学校九模]已知函数f(x)=|2x+1|-|x|+a.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥0;(2)若方程f(x)=2x有三个不同的解,求a的取值范围.探究点三绝对值不等式的证明与应用3 [2017·武汉三模]设函数f(x)=+|x-2m|(m>0).(1)求证:f(x)≥8恒成立;(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.[总结反思] 含有绝对值的不等式的证明方法:①去掉绝对值符号(|x|≤a⇔-a≤x≤a(a>0),|x|>a⇔x>a或x<-a(a>0))再证明;②利用绝对值不等式的性质(||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)来证明.式题 [2017·宣城二调]已知f(x)=|ax-1|,若实数a>0,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若<|k|存在实数解,求实数k的取值范围.第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式课前双击巩固1.证明不等式的常用方法(1)比较法①求差比较法:a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b,只要证明即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法:a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为求商比较法.(2)分析法从所要证明的出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法.(4)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法.(5)反证法的步骤①作出否定的假设;②进行推理,导出;③否定,肯定.2.柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式①柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(+)(+)≥(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).②柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.③二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥,当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.(2)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.课堂考点探究探究点一柯西不等式的应用1 已知x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1.(1)求++的最小值;(2)求证:x2+y2+z2≥.[总结反思] 对于若干个单项式的平方和,因为其符合柯西不等式(a2+b2+…+c2)(m2+n2+…+p2)≥(am+bn+…+cp)2,所以只要补足另一个平方和多项式,便可利用柯西不等式来求最值.式题 [2017·长沙雅礼中学二模]已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求证:2≤+≤4.探究点二利用综合法、分析法证明不等式2[2017·衡水中学二模]已知定义在R上的函数f(x)=|x-2m|-|x|,m∈N*,且f(x)<4恒成立.(1)求实数m的值;(2)若α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证:+≥18.[总结反思] (1)利用综合法证明不等式时,常用的不等式有:①a2≥0;②|a|≥0;③a2+b2≥2ab,它的变形形式又有(a+b)2≥4ab,≥等;④≥(a≥0,b≥0),它的变形形式又有a+≥2(a>0),+≥2(ab>0),+≤-2(ab<0)等.(2)用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证”“只需证”这样的“关键词”.式题 [2017·武汉二调]若正实数a,b满足a+b=,求证:+≤1.第十一单元选修4部分1.课时安排第67讲坐标系考试说明 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.【课前双基巩固】知识聚焦2. (1)极径极角(2)ρcos θx2+y2【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将代入曲线C的方程得+y'2=1;(2)根据题意,将代入变换后所得曲线的方程,即可得曲线C的方程.(1)+y'2=1(2)4x2+9y2=1[解析] (1)因为所以代入曲线C的方程得C':+y'2=1.(2)根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.变式题(1)(1,-1)(2)(-5,0),(5,0)[解析] (1)设A'(x',y'),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,于是x'=3×=1,y'=×(-2)=-1, ∴A'的坐标为(1,-1).(2)设曲线C'上任意一点P'(x',y'),将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,即为曲线C'的方程,知C'仍是双曲线,其焦点坐标分别为(-5,0),(5,0).例2[思路点拨] (1)将圆的标准方程化为一般方程,把x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入圆的一般方程和直线的直角坐标方程并化简即可;(2)将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程,利用|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|即可.解:(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-2)2=4,即x2+y2-2x-4y+3=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,则C1的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0.∵直线C2的直角坐标方程为y=x,∴直线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).(2)设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ),将θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,得ρ2-5ρ+3=0,∴ρ1·ρ2=3,∴|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|=3.变式题解:(1)由ρ2=,得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得曲线C的直角坐标方程是+y2=1.(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,由OA⊥OB,设A(ρ1,α),则B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.例3[思路点拨] (1)设P(ρ,θ)(ρ>0),利用已知条件得出M点坐标,根据|OM|·|OP|=16列方程可得C2的极坐标方程,再将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设B(ρB,α)(ρB>0),由|OA|=2,ρB=4cos α,即可求出△OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+,所以△OAB面积的最大值为2+.变式题解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴C1的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0.∵∴x2+(y-1)2=1,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴(ρcos θ)2+(ρsin θ-1)2=1,即ρ2-2ρsin θ=0,∴C2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=,ρ2=2sin α,则==×2sin α(cos α+sin α)=,又0<α<,∴当α=时,取得最大值.【备选理由】例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,意在考查基本运算能力,转化与化归思想、方程思想与数形结合思想;例2主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,综合性较强.1[配例2使用]在极坐标系中,已知曲线C:ρ=2sin,P为曲线C上的动点,定点Q.(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程;(2)求P,Q两点间的最短距离.解:(1)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sin=2sin θ-2cos θ,∴ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,即(x+1)2+(y-1)2=2.(2)易知Q的直角坐标为,∵曲线C的圆心为(-1,1),半径为,点Q在圆C外,∴|PQ|min=-=-.2 [配例3使用] [2017·深圳一模]在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,)且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos,直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.解:(1)∵ρ=4cos,∴ρ=4cos θcos+sin θsin=2(cos θ+sin θ),∴ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),∴x2+y2=2x+2y,∴曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4.(2)当α=时,直线l的方程为x=2,∴|AB|=2≠,不符合题意.当α≠时,设tan α=k,则l的方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,∴圆心C(1,)到直线kx-y-2k+=0的距离d==,由d2+=4,得+=4,解得k=±,∴tan α=±,∵α∈[0,π),∴α=或.第68讲参数方程考试说明 1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【课前双基巩固】知识聚焦1.参数方程参数【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)依据直线的参数方程和圆的参数方程的概念可直接写出它们的参数方程;(2)将圆C的参数方程化为普通方程,再将直线l的参数方程代入,利用Δ≥0即可求出a 的取值范围.解:(1)依题意,直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).圆C的参数方程为(θ为参数).(2)将圆C的参数方程化为普通方程得(x-2a)2+(y-2a)2=2,将直线l的参数方程代入,得+=2,整理得t2-at+a2-2=0,因为直线l和圆C有公共点,所以Δ=(-a)2-4(a2-2)≥0,解得-2≤a≤2.变式题解:直线l的普通方程为x+y=2,曲线C的普通方程为y=(x-2)2(y≥0),联立两方程得x2-3x+2=0,求得两交点的坐标分别为(1,1),(2,0),所以|AB|=.例2[思路点拨] (1)由题意知y=3-2sin αcos α-2cos2α=3sin2α-2sin αcosα+cos2α=(sin α-cos α)2,将x整体代入即可得y=x2,根据x=sin α-cosα=2sin,可知-2≤x≤2.将ρsin=m展开可得ρsin θ-ρcos θ=m,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得y-x=m.(2)联立C1,C2的直角坐标方程,可得m=x2-x,-2≤x≤2,求x2-x的范围可得实数m的取值范围.解:(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,∴m=x2-x=-,∵-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,∴-≤m≤6.变式题解:(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,由得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=.(2)C2的参数方程为(θ为参数),设点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,故当sin(θ-φ)=1时,d取得最大值,最大值为+.例3[思路点拨] (1)由消去参数α,求得曲线C的普通方程.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得y=x+2,从而求得直线l的倾斜角.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,利用韦达定理结合参数的几何意义求得|PA|+|PB|的值.解:(1)由消去参数α,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1·t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.变式题解:(1)∵直线l过点P且倾斜角为α,∴直线l的参数方程为(t为参数).(2)把代入x2+y2=1,得t2+(cos α+3sin α)t+2=0,∵直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N,∴Δ=(cos α+3sin α)2-8>0,即sin2>,又α∈[0,π),∴<sin≤1,又t1+t2=-(cos α+3sin α),t1t2=2,∴+=-=-==sin,∵<sin≤1,∴<sin≤,∴+的取值范围是(,].例4[思路点拨] (1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,两边同乘ρ,利用ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,可得结果;(2)将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程并化简,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,利用韦达定理、直线参数的几何意义及三角函数的有界性,求+的最小值.解:(1)由ρ=6sin θ,得ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.(2)将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程并化简,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,则Δ=4(cos α-sin α)2+4×7>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则又直线l过点P(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==≥=2.故+==≥,所以所求的最小值为.变式题解:(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,∴C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴其普通方程为+=1,∴C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)由t=,得P(-4,4),设Q(8cos θ,3sin θ),故M-2+4cos θ,2+sin θ,ρ(cos θ-2sin θ)=7可化为x-2y=7,故M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|5cos(θ+φ)-13|其中tan φ=,从而当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值,为.【备选理由】例1考查了圆的参数方程与普通方程的转化,直线与圆相交求弦长;例2考查了直线的参数方程与普通方程,圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的应用;例3考查了曲线的极坐标方程与参数方程的转化,以及曲线参数方程的应用;例4考查了曲线参数方程与极坐标方程之间的转化,以及曲线极坐标方程的应用.以上几题覆盖了曲线参数方程与极坐标方程的几种常见组合,是对例题的补充.1 [配例2使用] [2017·珠海调研]已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=2.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.解:(1)曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将代入,化简得ρ=4cos θ,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.(2)∵直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,联立得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2),(4,0),∴所求弦长为=2.2 [配例3使用]已知直线l的参数方程为(t为参数),以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin.(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若P点的直角坐标为(2,1),求||PA|-|PB||的值.解:(1)易得直线l的普通方程为y=x-1.因为曲线C的极坐标方程为ρ=4sin=4sin θ+4cos θ,即ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0(或写成(x-2)2+(y-2)2=8).(2)点P(2,1)在直线l上,且在圆C内,把代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-t-7=0, 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-7<0,即t1,t2异号,所以||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.3[配例4使用]在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρ2=,直线l:2ρsin=.(1)判断曲线C与直线l的位置关系,写出直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求|AB|的值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴的交点为P(0,),将P(0,)代入椭圆方程左边得0+<1,故点P(0,)在椭圆的内部,所以直线l 与曲线C相交.直线l的参数方程为(t为参数).(2)由(1)知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为+=1,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得3+=15,即t2+2t-8=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t2+t1=-2,t2t1=-8,所以|AB|===6.4[配例4使用] [2018·岳阳一中月考]直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数),曲线C1:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ.(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|.解:(1)曲线C1:(φ为参数),化为普通方程是x2+(y-1)2=1,展开可得x2+y2-2y=0,可得其极坐标方程为ρ2-2ρsin θ=0,即ρ=2sin θ.曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ,即ρ2=ρ(-2cos θ+2sin θ),化为直角坐标方程是x2+y2=-2x+2y.(2)直线l:(t为参数),化为普通方程是y=-x,可得其极坐标方程是θ=(ρ∈R),∴|OA|=2sin=,|OB|=-2cos+2sin=-2×+2×=4,∴|AB|=|OB|-|OA|=4-.第69讲不等式的性质及绝对值不等式考试说明 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件: |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)b<a a>b (2)a>c a>c(3)b+c b+c a+c>b+d a+c>b+d(4)bc bc (5)> (6)>2. (1)≥2ab a=b (2)≥a=b(3)算术几何(4)≥a=b=c(5)≥3. (1)ab≥0(2)(a-b)(b-c)≥0【课堂考点探究】例1[思路点拨] 借助绝对值三角不等式进行证明.证明:==x+y+1-y++≤|x+y+1|++≤×=,所以≤.变式题证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|≤[|2(x-3y)|+|3(x+2y)|]<×=.例2[思路点拨] (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f(x)≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的图像,数形结合求得满足x∈[a,+∞)时g(x)≥f(x)的a的取值范围.解:(1)f(x)=当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,∴x∈⌀;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,∴-≤x<1;当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,∴1≤x≤6.综上,f(x)≥-2的解集为.(2)函数y=f(x)的图像如图所示.∵g(x)=x-a,-a表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2,∴当-a≥2,即a≤-2时,符合题意;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,∴a≥2+,即a≥4.综上,a≤-2或a≥4.变式题解:(1)当a=-1时,不等式f(x)≥0可化为|2x+1|-|x|-1≥0,∴或或解得x≤-2或x≥0,∴不等式f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|,令g(x)=2x+|x|-|2x+1|,则g(x)=作出函数y=g(x)的图像,如图所示,易知A-,-,B(0,-1), 结合图像知,当-1<a<-时,函数y=a与y=g(x)的图像有三个不同的交点,即方程f(x)=2x有三个不同的解,∴a的取值范围为.例3[思路点拨] (1)先根据绝对值三角不等式可得+|x-2m|≥,再根据基本不等式可得+2m≥2=8,即证f(x)≥8恒成立;(2)原问题等价于解+|1-2m|>10,分1-2m≥0和1-2m<0两种情况进行讨论,分别求解不等式再取并集即可.解:(1)证明:由m>0,得f(x)=+|x-2m|≥==+2m≥2=8,当且仅当=2m且(x-2m)≤0,即m=2且-4≤x≤4时取等号,所以f(x)≥8恒成立.(2)f(1)=+|1-2m|(m>0).当1-2m<0,即m>时,f(1)=1+-(1-2m)=+2m,由f(1)>10,得+2m>10,化简得m2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以<m<1或m>4.当1-2m≥0,即0<m≤时,f(1)=1++(1-2m)=2+-2m,由f(1)>10,得2+-2m>10,此不等式在0<m≤时恒成立.综上,实数m的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).变式题解:(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4.因为a>0,所以-≤x≤,因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},所以解得a=2.(2)因为=≥=,所以要使<|k|存在实数解,只需|k|>,解得k>或k<-,所以实数k的取值范围是∪.【备选理由】这里选用的三个例题,涉及求绝对值不等式的解、由解集求参数、不等式的证明,以及不等式恒成立等问题,希望通过练习提高学生的解题能力.1 [配例1使用]已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,所以-7<|x-1|<3,得-2<x<4,故不等式|g(x)|<5的解集为{x|-2<x<4}.(2)因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5.2[配例2使用] [2017·山西实验中学模拟]已知函数f(x)=|x-2|+|x+4|,g(x)=x2+4x+3.(1)求不等式f(x)≥g(x)的解集;。

反射变换和旋转变换导学案

反射变换和旋转变换导学案几种常见的平面变换（二）反射变换和旋转变换班级姓名学习目标1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。

2、掌握反射变换和旋转变换的几何意义及其矩阵表示。

3、从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：（1）=1M 把一个几何图形变换为与之关于y 轴对称的图形（2）??=2M 把一个几何图形变换为与之关于x 轴对称的图形（3）??=3M 把一个几何图形变换为与之关于原点对称的图形（4）??=4M 把一个几何图形变换为与之关于直线y=x 对称的图形（5）=5M 把一个几何图形变换为与之关于直线y=-x 对称的图形一般地，称形如M 1,M 2,M 3,M 4,M 5这样的矩阵称为，对应的变换称为，其中（3）称为，其余称为，其中定直线称为，定点称为。

（二）阅读教材，解决下列问题：假设大风车的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如图。

已知大风车上一点P(x ，y)，它围绕旋转中心O 逆时针旋转θ角到另外一点P’(x’，y’)。

因此，旋转前后叶片上的点的位置变化可以看做是一个几何变换思考：怎样用矩阵来刻画这一变换？矩阵??通常称为，对应的变换称为，其中的角θ称为，点O 称为。

旋转变换只改变集合图形的，不改变几何图形的。

图形的旋转由和决定。

二、例题精析例1、求直线4y x =在矩阵0110对应的变换作用下所得的图形.例2、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.例3、求出ABC ?在矩阵212323-21对应的变换作用下得到的图形, 其中)2,0(),3,1(),0,0(CB A三、课堂练习：1、已知曲线xy=1,将它绕坐标原点顺时针旋转45°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？2、若曲线C:)(x f y =在矩阵0110M ??=?作用下变换得到的曲线x y lg =,求出曲线C.四、课堂小结知识点：思想方法：五、课外作业1、整理本节课所学内容2、课本34:5,6,7,8P。

【新】2019届高考数学一轮复习第11单元选考4系列听课学案理

第十一单元选考4部分第67讲坐标系课前双击巩固1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系(1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的,记为ρ.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为x= ,y=ρsin θ,由此得ρ2= ,tan θ=(x≠0).3.常用简单曲线的极坐标方程圆心为过点课堂考点探究探究点一平面直角坐标系中的伸缩变换1 (1)曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C',则曲线C'的方程为.(2)曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则曲线C的方程为.[总结反思] 平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下所得曲线方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y'=h(x'),即为所求变换之后曲线的方程.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换的作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.式题 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:则点A经过变换后所得的点A'的坐标为.(2)双曲线C:x2-=1经过伸缩变换φ:后所得曲线C'的焦点坐标为. 探究点二极坐标与直角坐标的互化2 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为y=x,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于P,Q两点,求|OP|·|OQ|的值.[总结反思] (1)直角坐标方程化为极坐标方程时,将x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.式题 [2017·大庆实验中学月考]已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)A,B为曲线C上两个点,若OA⊥OB,求+的值.探究点三简单曲线的极坐标方程及应用3 [2017·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.[总结反思] 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解,然后再次利用互化公式即可得相关结论.极坐标方程化为直角坐标方程,只需将ρcos θ和ρsin θ分别换成x和y即可.式题 [2017·黄冈中学三模]在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x+y-4=0,曲线C2:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若曲线C3的极坐标方程为θ=αρ>0,0<α<,且曲线C3分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.第68讲参数方程课前双击巩固1.参数方程的定义一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数(*),并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫作这条曲线的,联系变数x,y的变数t叫作参变数,简称.2.直线、圆、椭圆的参数方程(t为参数)(θ为参数)(θ为参数)椭圆(φ为参数)3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是(t是参数).若M1,M2是l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则:(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α);(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|·|M0M2|=|t1t2|;(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=;(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,2a)的直线l的倾斜角为,点P(x,y)为直线l上的动点,且|AP|=t.圆C以C(2a,2a)为圆心,为半径,Q(x,y)为圆C上的动点,且CQ与x轴正方向所成的角为θ.(1)分别以t,θ为参数,求出直线l和圆C的参数方程;(2)当直线l和圆C有公共点时,求a的取值范围.[总结反思] 几种常见曲线的参数方程:(1)直线的参数方程.过点P(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).(2)圆的参数方程.若圆心为点M0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为(θ为参数).(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数).(4)双曲线-=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数).(5)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).式题 [2017·长沙二模]在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(s为参数),曲线C的参数方程为(t为参数),若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.探究点二参数方程与普通方程的互化2 [2017·临汾三模]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.[总结反思] (1)消去参数的方法一般有三种:①利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数;②利用三角恒等式消去参数;③根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法,从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.式题 [2017·湖北六校二联]已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.探究点三直线的参数方程3[2017·雅安三诊]平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.[总结反思] (1)直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:①若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;②若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0;③设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为t M=.式题 [2017·鹰潭一模]在直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程;(2)求+的取值范围.探究点四圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设曲线C与直线l交于点A,B,求+的最小值.[总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题.式题在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:ρ(cos θ-2sinθ)=7距离的最小值.第69讲不等式的性质及绝对值不等式课前双击巩固1.不等式的性质(1)如果a>b,那么;如果b<a,那么,即a>b⇔b<a.(2)如果a>b,b>c,那么,即a>b,b>c⇒.(3)如果a>b,那么a+c> ,即a>b⇒a+c> .推论:如果a>b,c>d,那么,即a>b,c>d⇒.(4)如果a>b,c>0,那么ac> ;如果a>b,c<0,那么ac< .(5)如果a>b>0,那么a n b n(n∈N,n≥2).(6)如果a>b>0,那么(n∈N,n≥2).2.基本不等式(1)如果a,b∈R,那么a2+b2,当且仅当时,等号成立.(2)如果a>0,b>0,那么,当且仅当时,等号成立.(3)如果a>0,b>0,那么称为a,b的平均,称为a,b的平均.(4)如果a>0,b>0,c>0,那么,当且仅当时,等号成立.(5)对于n个正数a1,a2,…,a n,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当时,等号成立.课堂考点探究探究点一绝对值三角不等式的应用1 [2017·湖南长郡中学二模]若对于实数x,y,有|x+y+1|≤,≤,求证:≤.[总结反思] (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便.式题若x,y满足|x-3y|<,|x+2y|<,求证:|x|<.探究点二绝对值不等式的解法2 [2017·内蒙古包钢一中一模]已知函数f(x)=|x+2|-|2x-2|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)设g(x)=x-a,若对任意x∈[a,+∞),都有g(x)≥f(x),求a的取值范围.[总结反思] 常见的绝对值不等式的解法:(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.(2)对形如|x+a|±|x-b|≥c(≤c)这种不等式问题,常用“零点分段讨论法”去掉绝对值符号化为若干个不等式组问题求解,其一般步骤为:①求零点;②划分区间,去绝对值符号;③分别解去掉绝对值符号之后的不等式;④取每个结果的并集.(3)通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.式题 [2017·沈阳东北育才学校九模]已知函数f(x)=|2x+1|-|x|+a.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥0;(2)若方程f(x)=2x有三个不同的解,求a的取值范围.探究点三绝对值不等式的证明与应用3 [2017·武汉三模]设函数f(x)=+|x-2m|(m>0).(1)求证:f(x)≥8恒成立;(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.[总结反思] 含有绝对值的不等式的证明方法:①去掉绝对值符号(|x|≤a⇔-a≤x≤a(a>0),|x|>a⇔x>a或x<-a(a>0))再证明;②利用绝对值不等式的性质(||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)来证明.式题 [2017·宣城二调]已知f(x)=|ax-1|,若实数a>0,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}.(1)求a的值;(2)若<|k|存在实数解,求实数k的取值范围.第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式课前双击巩固1.证明不等式的常用方法(1)比较法①求差比较法:a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b,只要证明即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法:a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为求商比较法.(2)分析法从所要证明的出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法.(4)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法.(5)反证法的步骤①作出否定的假设;②进行推理,导出;③否定,肯定.2.柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式①柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(+)(+)≥(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).②柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.③二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥,当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.(2)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.课堂考点探究探究点一柯西不等式的应用1 已知x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1.(1)求++的最小值;(2)求证:x2+y2+z2≥.[总结反思] 对于若干个单项式的平方和,因为其符合柯西不等式(a2+b2+…+c2)(m2+n2+…+p2)≥(am+bn+…+cp)2,所以只要补足另一个平方和多项式,便可利用柯西不等式来求最值.式题 [2017·长沙雅礼中学二模]已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求证:2≤+≤4.探究点二利用综合法、分析法证明不等式2 [2017·衡水中学二模]已知定义在R上的函数f(x)=|x-2m|-|x|,m∈N*,且f(x)<4恒成立.(1)求实数m的值;(2)若α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证:+≥18.[总结反思] (1)利用综合法证明不等式时,常用的不等式有:①a2≥0;②|a|≥0;③a2+b2≥2ab,它的变形形式又有(a+b)2≥4ab,≥等;④≥(a≥0,b≥0),它的变形形式又有a+≥2(a>0),+≥2(ab>0),+≤-2(ab<0)等.(2)用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证”“只需证”这样的“关键词”.式题 [2017·武汉二调]若正实数a,b满足a+b=,求证:+≤1.第十一单元选修4部分1.课时安排第67讲坐标系考试说明 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.【课前双基巩固】知识聚焦2. (1)极径极角(2)ρcos θx2+y2【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将代入曲线C的方程得+y'2=1;(2)根据题意,将代入变换后所得曲线的方程,即可得曲线C的方程.(1)+y'2=1(2)4x2+9y2=1[解析] (1)因为所以代入曲线C的方程得C':+y'2=1.(2)根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.变式题(1)(1,-1)(2)(-5,0),(5,0)[解析] (1)设A'(x',y'),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,于是x'=3×=1,y'=×(-2)=-1, ∴A'的坐标为(1,-1).(2)设曲线C'上任意一点P'(x',y'),将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,即为曲线C'的方程,知C'仍是双曲线,其焦点坐标分别为(-5,0),(5,0).例2[思路点拨] (1)将圆的标准方程化为一般方程,把x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入圆的一般方程和直线的直角坐标方程并化简即可;(2)将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程,利用|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|即可.解:(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-2)2=4,即x2+y2-2x-4y+3=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,则C1的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0.∵直线C2的直角坐标方程为y=x,∴直线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).(2)设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ),将θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,得ρ2-5ρ+3=0,∴ρ1·ρ2=3,∴|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|=3.变式题解:(1)由ρ2=,得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得曲线C的直角坐标方程是+y2=1.(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,由OA⊥OB,设A(ρ1,α),则B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.例3[思路点拨] (1)设P(ρ,θ)(ρ>0),利用已知条件得出M点坐标,根据|OM|·|OP|=16列方程可得C2的极坐标方程,再将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设B(ρB,α)(ρB>0),由|OA|=2,ρB=4cos α,即可求出△OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+,所以△OAB面积的最大值为2+.变式题解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴C1的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0.∵∴x2+(y-1)2=1,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴(ρcos θ)2+(ρsin θ-1)2=1,即ρ2-2ρsin θ=0,∴C2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=,ρ2=2sin α,则==×2sin α(cos α+sin α)=,又0<α<,∴当α=时,取得最大值.【备选理由】例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,意在考查基本运算能力,转化与化归思想、方程思想与数形结合思想;例2主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,综合性较强.1 [配例2使用]在极坐标系中,已知曲线C:ρ=2sin,P为曲线C上的动点,定点Q.(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程;(2)求P,Q两点间的最短距离.解:(1)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sin=2sin θ-2cos θ,∴ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,即(x+1)2+(y-1)2=2.(2)易知Q的直角坐标为,∵曲线C的圆心为(-1,1),半径为,点Q在圆C外,∴|PQ|min=-=-.2 [配例3使用] [2017·深圳一模]在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,)且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos,直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.解:(1)∵ρ=4cos,∴ρ=4cos θcos+sin θsin=2(cos θ+sin θ),∴ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),∴x2+y2=2x+2y,∴曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4.(2)当α=时,直线l的方程为x=2,∴|AB|=2≠,不符合题意.当α≠时,设tan α=k,则l的方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,∴圆心C(1,)到直线kx-y-2k+=0的距离d==,由d2+=4,得+=4,解得k=±,∴tan α=±,∵α∈[0,π),∴α=或.第68讲参数方程考试说明 1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【课前双基巩固】知识聚焦1.参数方程参数【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)依据直线的参数方程和圆的参数方程的概念可直接写出它们的参数方程;(2)将圆C的参数方程化为普通方程,再将直线l的参数方程代入,利用Δ≥0即可求出a 的取值范围.解:(1)依题意,直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).圆C的参数方程为(θ为参数).(2)将圆C的参数方程化为普通方程得(x-2a)2+(y-2a)2=2,将直线l的参数方程代入,得+=2,整理得t2-at+a2-2=0,因为直线l和圆C有公共点,所以Δ=(-a)2-4(a2-2)≥0,解得-2≤a≤2.变式题解:直线l的普通方程为x+y=2,曲线C的普通方程为y=(x-2)2(y≥0),联立两方程得x2-3x+2=0,求得两交点的坐标分别为(1,1),(2,0),所以|AB|=.例2[思路点拨] (1)由题意知y=3-2sin αcos α-2cos2α=3sin2α-2sin αcosα+cos2α=(sin α-cos α)2,将x整体代入即可得y=x2,根据x=sin α-cos α=2sin,可知-2≤x≤2.将ρsin=m展开可得ρsin θ-ρcos θ=m,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得y-x=m.(2)联立C1,C2的直角坐标方程,可得m=x2-x,-2≤x≤2,求x2-x的范围可得实数m的取值范围.解:(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,∴m=x2-x=-,∵-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,∴-≤m≤6.变式题解:(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,由得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=.(2)C2的参数方程为(θ为参数),设点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,故当sin(θ-φ)=1时,d取得最大值,最大值为+.例3[思路点拨] (1)由消去参数α,求得曲线C的普通方程.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得y=x+2,从而求得直线l的倾斜角.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,利用韦达定理结合参数的几何意义求得|PA|+|PB|的值.解:(1)由消去参数α,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1·t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.变式题解:(1)∵直线l过点P且倾斜角为α,∴直线l的参数方程为(t为参数).(2)把代入x2+y2=1,得t2+(cos α+3sin α)t+2=0,∵直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N,∴Δ=(cos α+3sin α)2-8>0,即sin2>,又α∈[0,π),∴<sin≤1,又t1+t2=-(cos α+3sin α),t1t2=2,∴+=-=-==sin,∵<sin≤1,∴<sin≤,∴+的取值范围是(,].例4[思路点拨] (1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,两边同乘ρ,利用ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,可得结果;(2)将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程并化简,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,利用韦达定理、直线参数的几何意义及三角函数的有界性,求+的最小值.解:(1)由ρ=6sin θ,得ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.(2)将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程并化简,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,则Δ=4(cos α-sin α)2+4×7>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则又直线l过点P(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==≥=2.故+==≥,所以所求的最小值为.变式题解:(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,∴C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴其普通方程为+=1,∴C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)由t=,得P(-4,4),设Q(8cos θ,3sin θ),故M-2+4cos θ,2+sin θ,ρ(cos θ-2sin θ)=7可化为x-2y=7,故M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|5cos(θ+φ)-13|其中tan φ=,从而当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值,为.【备选理由】例1考查了圆的参数方程与普通方程的转化,直线与圆相交求弦长;例2考查了直线的参数方程与普通方程,圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的应用;例3考查了曲线的极坐标方程与参数方程的转化,以及曲线参数方程的应用;例4考查了曲线参数方程与极坐标方程之间的转化,以及曲线极坐标方程的应用.以上几题覆盖了曲线参数方程与极坐标方程的几种常见组合,是对例题的补充.1 [配例2使用] [2017·珠海调研]已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=2.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.解:(1)曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将代入,化简得ρ=4cos θ,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.(2)∵直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,联立得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2),(4,0),∴所求弦长为=2.2 [配例3使用]已知直线l的参数方程为(t为参数),以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin.(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若P点的直角坐标为(2,1),求||PA|-|PB||的值.解:(1)易得直线l的普通方程为y=x-1.因为曲线C的极坐标方程为ρ=4sin=4sin θ+4cos θ,即ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ, 所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0(或写成(x-2)2+(y-2)2=8).(2)点P(2,1)在直线l上,且在圆C内,把代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-t-7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-7<0,即t1,t2异号,所以||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.3[配例4使用]在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρ2=,直线l:2ρsin=.(1)判断曲线C与直线l的位置关系,写出直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求|AB|的值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴的交点为P(0,),将P(0,)代入椭圆方程左边得0+<1,故点P(0,)在椭圆的内部,所以直线l与曲线C相交.直线l的参数方程为(t为参数).(2)由(1)知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为+=1,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得3+=15,即t2+2t-8=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t2+t1=-2,t2t1=-8,所以|AB|===6.4 [配例4使用] [2018·岳阳一中月考]直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数),曲线C1:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ.(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|.解:(1)曲线C1:(φ为参数),化为普通方程是x2+(y-1)2=1,展开可得x2+y2-2y=0, 可得其极坐标方程为ρ2-2ρsin θ=0,即ρ=2sin θ.曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ,即ρ2=ρ(-2cos θ+2sin θ),化为直角坐标方程是x2+y2=-2x+2y.(2)直线l:(t为参数),化为普通方程是y=-x,可得其极坐标方程是θ=(ρ∈R), ∴|OA|=2sin=,|OB|=-2cos+2sin=-2×+2×=4,∴|AB|=|OB|-|OA|=4-.第69讲不等式的性质及绝对值不等式考试说明 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)b<a a>b (2)a>c a>c(3)b+c b+c a+c>b+d a+c>b+d(4)bc bc (5)> (6)>2. (1)≥2ab a=b (2)≥a=b(3)算术几何(4)≥a=b=c(5)≥3. (1)ab≥0(2)(a-b)(b-c)≥0【课堂考点探究】例1[思路点拨] 借助绝对值三角不等式进行证明.证明:==x+y+1-y++≤|x+y+1|++≤×=,所以≤.变式题证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|≤[|2(x-3y)|+|3(x+2y)|]<×=.例2[思路点拨] (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f(x)≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的图像,数形结合求得满足x∈[a,+∞)时g(x)≥f(x)的a的取值范围.解:(1)f(x)=当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,∴x∈⌀;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,∴-≤x<1;当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,∴1≤x≤6.综上,f(x)≥-2的解集为.(2)函数y=f(x)的图像如图所示.∵g(x)=x-a,-a表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2,∴当-a≥2,即a≤-2时,符合题意;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,∴a≥2+,即a≥4.综上,a≤-2或a≥4.变式题解:(1)当a=-1时,不等式f(x)≥0可化为|2x+1|-|x|-1≥0,∴或或解得x≤-2或x≥0, ∴不等式f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|,令g(x)=2x+|x|-|2x+1|,则g(x)=作出函数y=g(x)的图像,如图所示,易知A-,-,B(0,-1),结合图像知,当-1<a<-时,函数y=a与y=g(x)的图像有三个不同的交点,即方程f(x)=2x有三个不同的解,∴a的取值范围为.例3[思路点拨] (1)先根据绝对值三角不等式可得+|x-2m|≥,再根据基本不等式可得+2m≥2=8,即证f(x)≥8恒成立;(2)原问题等价于解+|1-2m|>10,分1-2m ≥0和1-2m<0两种情况进行讨论,分别求解不等式再取并集即可.解:(1)证明:由m>0,得f(x)=+|x-2m|≥==+2m≥2=8,当且仅当=2m且(x-2m)≤0,即m=2且-4≤x≤4时取等号,所以f(x)≥8恒成立.(2)f(1)=+|1-2m|(m>0).当1-2m<0,即m>时,f(1)=1+-(1-2m)=+2m,由f(1)>10,得+2m>10,化简得m2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以<m<1或m>4.当1-2m≥0,即0<m≤时,f(1)=1++(1-2m)=2+-2m,由f(1)>10,得2+-2m>10,此不等式在0<m≤时恒成立.综上,实数m的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).变式题解:(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4.因为a>0,所以-≤x≤,因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},所以解得a=2.(2)因为=≥=,所以要使<|k|存在实数解,只需|k|>,。

苏教版高中数学选修4-2 2.2.3反射变换_学案设计1(无答案)

反射变换【学习目标】1. 反射变换2. 线性变换【学习过程】一、知识梳理1．_________________________________________________的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点．2．(1)变换T 使图形F 变成与F 关于x 轴对称的图形，则变换矩阵为________________；(2)变换T 使图形F 变成与F 关于y 轴对称的图形，则变换矩阵为________________；(3)变换T 使图形F 变成与F 关于原点对称的图形，则变换矩阵为________________；(4)变换T 使图形F 变成与F 关于直线y=x 对称的图形，则变换矩阵为____________．3.二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做_____________．一般地，12()M λλ+=αβ______________________________，其中12,λλ为任意实数．二、例题讲解1.求出曲线4y x =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换所得的图形．2.已知矩阵0101,1010M N -==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．在平面直角坐标系中，设直线2x - y + 1 = 0在变换T M ，T N 先后作用下得到曲线F ，求曲线的方程F ．3.计算0110x y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，并说明其几何意义．三、巩固练习1.若曲线y = x 2（x ≥0）在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y = x 2（x ≤0），求矩阵M ．2.求出曲线y = sinx 在矩阵1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换所得的图形．3.椭圆2219x y +=在经过矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换后所得的曲线是什么图形？4.利用矩阵变换的方法求曲线y = 10x 关于原点对称的曲线的方程．5.已知点P(3，1)在轴反射变换T 下的新坐标为Q(1，3)．(1)求反射变换所对应的变换矩阵M ；(2)求曲线y 2 = x 在变换T 作用下所得到的图形．。

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反射变换与旋转变换
一、【知识回顾】
1.反射变换的有关概念
2. 常用的几种反射变换矩阵
3．旋转变换的概念
二、【自学检测】
1.关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；
2. 关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；
3.旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为 .
4.已知直线ＡＢ过（２,１），（－２，－２）两点,求:
(1) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-1010对应变换下的方程；
(2) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-1010对应变换下的方程.
（3）已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标.
三、【应用举例】
探究1
求直线y=4x 在矩阵01⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦
作用下变换所得的图形.
探究2
求曲线≥0)在矩阵10⎡⎢⎣
01⎤⎥-⎦作用下变换所得的图形.
探究3
若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M ．
.
四、【检测反思】
1. 将图形变换为关于x 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于y 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .
2.求△ABC 在矩阵M=10-⎡⎢
⎣ 01⎤⎥⎦作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .
3.求出曲线y=
1x (x>0)在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦
作用下变换得到的曲线.
4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M=
1
⎡
⎢
⎣
1
⎤
⎥
⎦
作用下变换得到的曲线.
5.求曲线经M1=
1
⎡
⎢
⎣
1
⎤
⎥
-⎦
和M2=
1
⎡
⎢
⎣
1
⎤
⎥
⎦
作用下变换得到的曲线.。