NormalDistribution

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定性数据的统计描述、正态分布以及应用(normaldistribution)

-2.58 -1.96 -1
0
1 1.96 2.58
标准正态分布
-1～1 -1.96～1.96 -2.58～2.58
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
曲线下面积分布规律
68.27%
68.27%
95.00%
95.00%
-2.58 -1.96 -1
99.00%
0
1 1.96 2.58μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ
标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为：μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
一般正态分布为一个分布族:N(m,2) ；标准
正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应用
u曲线下面积
0.5
f(X)
1 u X2
0.4
-∞
u0.3
(u)
五．正态分布的应用
1．许多医学指标服从正态分布或近似正态分布，如同性别、同年龄儿童的身高，同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白量等，及实验中的误差。
2. 估计医学参考值范围医学正常值范围
定义：又称参考值范围，是指特定健康人群的解剖、生理、生化等各种数据的波动范围。习惯上是确定包括95%的人的界值。
e 2dX
2
0.2
附表（标准正态分布
0.1
左侧曲线下面积）就
0.0
是根据此公式和图形
-4 -3 -2 -1 0 1 X
2
3
4
制定的
曲线下面积分布规律
查附表
68.27%
( 1 .9 6 ) P (u 1 .9 6 ) ?
95.00%

标准常态分布StandardNormalDistribution

1/3
+
1/2
1/3
+ 1/3 = 1
+
1/2 = 1
0
1/3 1/2 2/3
1
4
Probability Density Function (pdf)
• To calculate probabilities we define a probability density function f(x).
• The probability that a continuous variable X will assume any particular value is zero. Why?
The probability of each value
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
1/3
• The density function satisfies the following
conditions
– f(x) is non-negative,
P(x1<=X<=x2)
Area = 1 x1 x2
– The total area under the curve representing f(x) equals 1.
– Between 2,500 and 3,500 gallons – More than 4,000 gallons – Exactly 2,500 gallons
f(x) = 1/(5000-2000) = 1/3000 for x: [2000,5000] P(2500X3000) = (3000-2500)(1/3000) = .1667
When the number of values approaches infinity (because X is continuous) the probability of each value approaches 0.

钱小军《概率论与数理统计》chap06-normal distribution

P(0.0 z 1.0)
English Version: Appendix B A-4
标准正态分布表.xls 中文版：参加附赠CD
2/22/2019
Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008
16
-3
2/22/2019
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
ab E ( x) 2
(b a) 2 Var( x) 12
2/22/2019
Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008
8
Normal Distribution 正态分布
Normal Distribution is one of the most important distributions in the probability statistics. One hand, it is very common in nature; the other hand, it has so many excellent properties. A lot of distributions can be described by it. 正态分布是概率统计中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布; 另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述。
Probability Density Function of Standard Normal
Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008 17
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
Probability of Standard Normal Distribution

医学统计学课件之正态分布(Normal Distribution)

“弃真”、“假阳性”、“误诊”
Ⅱ类错误本质为不拒绝实际上不成立的H0 犯该类错误的最大概率为 “存伪”、“假阴性”、“漏诊”
两类错误此消彼长，欲同时减少他们的唯一手段——增大样本含量
返回
严密的科研设计是保证假设检验结论正确性的前提
选用合适的检验方法，必须以符合其适用条件为前提
正确理解假设检验的统计意义
假设检验与可信区间的联系与区别
返回
计量资料的t检验计量资料的ANOVA 计数资料的卡方检验非参数的秩和检验
Example
从
总体中重复随机抽样10000次，
每次抽取n为9的样本
其中，2个样本的观测值及其均数和标准差：
身高观测值
均数标准差
1 125 124 117 116 125 132 122 118 115 121.56 5.55
准差进行反映的，也叫标准误。
结论
只要抽样，则必定存在抽样误差
标准误越小，意味着抽样误差越小；反之，则大
抽样误差的大小反映的就是样本统计量对总体参数的偏离程度
尽量减少抽样误差的最佳方法——增大样本含量均为反映离散程度的统计指标
不同
定义单个原始观测值对均数样本均数对总体均数
正态分布（Normal Distribution）
u变换
标准正态变换
目的
标准正态分布曲线下面积规律
双侧95%或99%面积（1.96与2.58）
单侧95%或99%面积（1.645与2.32）
正态性检验（Normality test）
符合正态概率密度函数矩法偏度系数与峰度系数 W检验或D检验原始目测法 P-P plot Q-Q plot
返回
可信区间

Normal Distribution34正态分布

Home Entertainment Pg 176 #1, 4, 6, 7, 9, 10, 14, 15, 17
TEST – Tuesday Jan. 12, 2010
h
8

3.4 Normal Distribution
≡ a symmetrical, bell-shaped histogram used in statistical analysis Not perfectly found “in the real world”
Approximate only Approaches normal distribution with enough data
RULE OF THUMB • ~68% of data w/in 1σ of the mean • ~95% of data w/in 2σ of the mean • ~99.7% of data w/in 3σ of the mean
h
2
3.4 Normal Distributions
Notation used to describe normal distribution, of variable X, is:
Mean, median, mode are equal and fall on line of symmetry
Notation:
X~N(x,2)
Mean Variance
x
2
Area under any normal curve is 1
The percent of data lies between 2 values is equal to area under curve b/t these values
h

正态分布(normal distribution)

正态分布
(normal distribution)
3.1 随机变量

变量和随机变量
变量取值的相对频率说明了具有某个性质的观察对象的出现的可能性。

随机变量
离散型：性别、血型、子女数、事故数连续型：身高、体重
随机变量的概率分布

概率函数（Probability Function)，或者说概率密度函数（Probability Density Function) 、密度函数分布函数(Distribution Function)。用此函数的大小来说明变量取某些值的可能性当变量的取值包括了所有可能的取值时，分布函数值为1 当变量具备了以上两个函数之后，称它具有某种分布（Distribution)
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 3 1 2 1
3
3.2.4正态曲线下面积的分布规律
-
正态曲线下的面积规律

X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。对称区域面积相等。
f (X )
1
2
e

( X 值表表中的面积是指p(u<x), 也记作 φ（x）
标准正态分布曲线下面积(u)
u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
u 0
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
3.2.5 正态分布的应用

1．估计参考值范围(reference interval) 参考值范围又称正常值范围(normal range)。什么是参考值范围：

Normal Distribution 讲义

Graphs of Normal Probability Distributions
One of the most important examples of a continuous probability distribution is the normal distribution. This distribution was studied by the French mathematician Abraham de Moivre (1667–1754) and later by the German mathematician Carl Friedrich Gauss (1777–1855), whose work is so important that the normal distribution is sometimes called Gaussian. The work of these mathematicians provided a foundation on which much of the theory of statistical inference is based.
We see that a general normal curve is smooth and symmetrical about the vertical line extending upward from the mean . Notice that the highest point of the curve occurs over . If the distribution were graphed on a piece of sheet metal, cut out, and placed on a knife edge, the balance point would be at . We also see that the curve tends to level out and approach the horizontal (x axis) like a glider making a landing.

正态分布英文表达

正态分布英文表达IntroductionNormal distribution, also known as Gaussian distribution, is a probability distribution used to describe the distribution of continuous variablesin the natural world. It is a fundamental conceptin statistics and plays a critical role in empirical research across a wide range of disciplines, including economics, psychology, and physics. This article will provide an overview of normal distribution, including its properties, characteristics, and applications.Properties of the Normal DistributionThe normal distribution is an infinite probability distribution, meaning that it extends indefinitely in both positive and negative directions. It is defined by two parameters: the mean and the standard deviation. The mean represents the average value or center of the distribution, while the standard deviation represents the spread or dispersion of the distribution.The probability density function of the normal distribution is bell-shaped, with a single peak at the mean. The curve is symmetric around the mean and the area under the curve is equal to one. The standard normal distribution, which has a mean of zero and a standard deviation of one, is often used as a baseline for comparison in statistical analyses.The empirical rule, also known as the 68-95-99.7 rule, provides a rough guideline for the proportion of data that falls within a certain number of standard deviations from the mean. Specifically, about 68% of the data falls within one standard deviation, 95% falls within two standard deviations, and almost all (99.7%) falls within three standard deviations.Characteristics of the Normal DistributionOne of the most important characteristics of the normal distribution is that it is a continuous distribution. This means that the random variable can take on any value within a certain range, and the probability of any given value occurring isinfinitesimal. Another characteristic of the normal distribution is that it is unimodal, meaning thatit has a single mode or peak.Additionally, the normal distribution is asymptotic. This means that as the tails of the distribution extend further away from the mean, the probability of a given data point occurring becomes increasingly small. However, the curve never touches the x-axis or reaches zero probability, making it an open-ended distribution.Applications of the Normal DistributionThe normal distribution has many applications in both theoretical and applied statistics. One of the most common applications is in hypothesis testing. For example, if we want to test whether the mean of a sample of data is significantly different from a known population mean, we can use the normal distribution to calculate theprobability of obtaining our sample mean given the population mean and standard deviation.Another application of the normal distribution is in the construction of confidence intervals. Aconfidence interval is a range of values that is likely to contain the true population parameterwith a certain degree of confidence. By using the normal distribution, we can construct confidence intervals around the sample mean or other statistics.The normal distribution is also frequently used in regression analysis, where it is assumed thatthe errors follow a normal distribution. This assumption is necessary for many statistical models, including linear regression and logistic regression.Finally, the normal distribution is a useful tool in quality control and process improvement. It can be used to model the distribution of defects, errors, or other measures of quality in a process, and to identify outliers or deviations from expected performance.ConclusionThe normal distribution is a basic but powerful concept in statistics that is applicable to a wide range of fields. Its properties and characteristicsmake it a useful tool for hypothesis testing, confidence interval construction, regression analysis, quality control, and many other applications. By understanding the normal distribution, researchers and practitioners can better analyze and interpret their data, leading to more accurate and reliable results.。

三种分布介绍(正态分布,伯努利分布,泊松分布)

1、正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

当μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。

概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

2、伯努利分布如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写为：伯努利分布（二点分布）的期望E(X)=p，D(X)=p(1-p)。

（其中，离散数据的方差计算公式为D(X)=E{[X-E(X)]^2}）n重伯努利分布（二项分布）的期望E(X)=np，D(X)=np(1-p)。

3、泊松分布在统计学上，只要某类事件满足三个条件，它就服从"泊松分布"。

三个条件分别是：①事件X的发生是小概率事件②事件X的发生是随机而且互相独立的③事件X发生的概率相对稳定。

泊松分布的公式为：各个参数的含义：单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率，即P（X=k）事件X发生k次的概率，λ表示事件X稳定发生的概率。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似。

设X~B（n,p)，当n很大,p很小,且λ＝np适中时,有P(x=k)≈λ^k/k! ·e^(-λ)，推导过程如下所示：为第二重要极限公式，上面的推到会涉及到。

C++normal_distribution高斯正态分布函数的用法示例

C++normal_distribution⾼斯正态分布函数的⽤法⽰例图 1 显⽰的是正态(或⾼斯)分布。

它是⼀条连续的贝尔曲线，期望两边的值是相等的，可以理解为期望就是平均值。

它是⼀个概率分布，因此曲线下⽅的⾯积是1。

正态分布是由两个参数完全定义的：期望和标准差，它们是衡量期望两边的值如何分布的⼀种⽅式。

图 1 正态分布期望和标准差分别是⽤希腊字母 µ 和σ来表⽰的，变量 x 有 n 个样本，这些是由下⾯的公式定义的：因此，期望就是值的和除以值的个数⼀换句话说，也就是平均值。

可以通过值和期望的差值的平⽅⼦和除以 n-1，然后对结果开⽅来得到标准差。

对于不同的期望和标准差的值，正态分布的相对宽度和⾼度分布曲线的变化是相当⼤的。

但是，分布值总是如图 1 所⽰。

这意味着，如果知道⼀个符合正态分布的变量的期望和标准差，例如在⼤量⼈⼝中个体的⾝⾼，就可以知道95% 的⼈⾝⾼不超过期望的 2σ。

标准正态分布的期望为 0，标准差为 1。

uniform_distribution 模板定义了可以产⽣随机浮点值的分布对象类型，默认是 double 类型。

默认构造函数创建的是标准正态分布，因此期望是 0，⽅差是 1.0:std::normal_distribution<> dist; // mu: 0 sigma: 1下⾯展⽰了如何创建⼀个有特定值和标准差的正态分布：double mu {50.0}, sigma {10.0};std::normal_distribution<> norm {mu, sigma};这⾥定义了⼀个⽣成 double 值的分布对象，期望为 50.0，标准差是 10.0。

为了⽣成值，可以将⼀个随机数⽣成器传给 norm 函数对象。

例如：std::random_device rd;std::default_random_engine rng {rd()};std::cout << "Normally distributed values: "<< norm (rng) << " " << norm (rng) << std::endl; // 39.6153 45.5608可以通过调⽤对象的成员函数 mean() 和 stddev() 来获取它的期望值和标准差：std::cout<<"mu: "<< norm.mean () << " sigma: " << norm.stddev ()<< std::endl; // mu: 50 sigma: 10通过调⽤⽆参数的成员函数 param()，可以得到⼀个封装了这两个值的 param_type 对象。

probability distribution的表达式 -回复

probability distribution的表达式-回复Probability distribution（概率分布）是概率论中用来描述随机变量（random variable）所有可能取值及其对应概率的函数或规律。

概率分布可以用数学公式、图形、表格等形式来表示，它是概率论的基础，广泛应用于统计学、工程学、经济学、自然科学等领域。

概率分布主要分为离散概率分布和连续概率分布两类。

1. 离散概率分布（Discrete Probability Distribution）离散概率分布用于描述离散型随机变量，即随机变量只能取有限个或可数个值的情况。

离散概率分布的表达式通常用概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）表示。

概率质量函数是一个函数，它给出了在每一个可能取值上的概率。

常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

伯努利分布（Bernoulli distribution）是最简单的二值离散概率分布。

它描述了一次实验的结果只有两种可能性（成功或失败）的情况。

伯努利分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)其中，X为随机变量，k为随机变量的取值（0或1），p为成功的概率。

二项分布（Binomial distribution）描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数的概率分布。

二项分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为随机变量，k为随机变量的取值，n为试验的次数，p为成功的概率，C(n,k)为组合数。

泊松分布（Poisson distribution）用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，X为随机变量，k为随机变量的取值，λ为单位时间（或单位空间）内事件的平均发生率。

C++生成随机数：正态分布（normaldistribution）

C++⽣成随机数：正态分布（normaldistribution）⾸次写博客，见谅！win32控制台程序1 #include "stdafx.h"2 #include <stdio.h>3 #include <iostream>4 #include <time.h>5 #include <stdlib.h>6 #include <math.h>78using namespace std;91011double gaussrand()12 {13static double V1, V2, S;14 static int phase = 0;15 double X;16double a[100];17 srand((unsigned)time(NULL));1819for (int i = 0; i<100; i++)20 {21 if ( phase == 0 )22 {23 do24 {25 double U1 = (double)rand() / RAND_MAX;26 double U2 = (double)rand() / RAND_MAX;27 V1 = 2 * U1 - 1;28 V2 = 2 * U2 - 1;29 S = V1 * V1 + V2 * V2;30 }31 while(S >= 1 || S == 0);32 X = V1 * sqrt(-2 * log(S) / S);33 }34 else35 X = V2 * sqrt(-2 * log(S) / S);36 phase = 1 - phase;37 //X = X * 0.04 + 40;38 a[i] = X;39 cout<<a[i]<<endl;40 }41return0;42 }4344int main(int argc, char* argv[])45 {47 gaussrand();48 return0;49 }这样⽣成的⾼斯分布随机数序列的期望为0.0，⽅差为1.0。

正态分布(Normal distribution).

卫
固定σ ，随μ 不同，曲线位置不同，称μ为位置参数，
生
固定μ ，σ越大，曲线形状不同，称σ为形状参数。
系正态分布的表示法： N（μ，σ2）
公共卫生系
图2-5 正态分布参数位置变化示意图
公共卫生系
图2-6 正态分布变异度不同变化示意图
三、正态曲线下面积规律
公（一）、正态分布曲线下面积为1（100％）
系 ⑶求正常成年男子白细胞的95％的参考值范围
双侧参考值范围
2、正态分布法：正态分布资料，样公本含量足够大
共双侧：参考值范围公式：
卫
X uS
生单侧：参考值范围公式：
系 X u S 或
X uS
例：估计某单位101名正常成年女子血清
公
总胆固醇的参考值范围。假设该资料服从正态分布。
公
共
正态分布
卫
生 (Normal distribution)
系
一、概念： (Gauss分布)
公
总体分布
共正态分布是描述连续型变量值的
卫分布，医学资料许多服从正态分生布。
系直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
公共卫生系
µÆ ýÊ £¨f©£
ÐÂ ± ø Óª Õ½ Ê¿ ÍÈ ²¿ ¼¡ Á¦ £¨kg£© Ö·²¼
共（二）、区间面积：区间表示方法：μ±uσ
x us
卫
u=1时，区间面积为68.25％
u=1.96时，区间面积为95%
生
u=2.58时，区间面积为99％
系
区间面积含义：
表示此区间的变量值个数占全部变量值
个数的百分比或表示变量值在此区间出现的概率（P）

对数正态分布lognormaldistribution

对数正态分布lognormaldistribution为了⽅便后⾯的描述，我们先定义正态分布的两个参数为：均值mean表⽰为µN, 标准差standard deviation 表⽰为σN（对应⽅差Variance 表⽰为σ2N）。

为了区分，我们⽤m和v分别表⽰对数正态分布的均值和⽅差, 他们与其对应的正太分布的关系如下：lognormal均值: m LogN=eµN+σ2N/2；lognormal⽅差: v LogN=(eσ2N−1)e2µN+σ2N.另外：lognormal 众数(mode) = eµN−σ2N;lognormal 中位数(median) = eµN.⽣成符合lognromal distribution 的随机数(n个数)，⽆论是Python还是Matlab, 都利⽤µN和σN来⽣成对数正态分布随机数：1. Python (numpy)import numpy as npy0 = np.random.lognormal(mu_N, sigma_N, n)⽰例：我们取µN=0.5，σN=0.5, n=10000, 执⾏并画出Python⽣成的随机数histogram (bin数量取50)如下:2. Matlab%% method 1: build-in matlab makedist functionpd = makedist('Lognormal', 'mu' ,mu_N,'sigma',sigma_N);rng('default'); % For reproducibilityy1 = random(pd,n,1);% logx = log(y1); %logx distributed as normal distribution with mu and sigma% mean(logx); % 可以验证为 mu_N%% method 2: build-in matlab lognrnd functionrng('default'); % For reproducibilityy2 = lognrnd(mu_N, sigma_N, [n,1]);%% method 3: from normal distriutionrng('default'); % For reproducibilityz = randn([n,1]); %standard normalx = mu_N + sigma_N.*z;% x follows normal distribution N(mu_N, sigma_N)y3 = exp(x); % y follows lognormal distribution⽰例：我们取µN=0.5，σN=0.5, n=10000, 执⾏并画出Matlab⽣成的随机数histogram (bin数量取50)如下:Processing math: 100%。

java 正态分布计算

java 正态分布计算Java是一种非常流行的编程语言，被广泛应用于各种领域。

在Java 中，我们可以使用正态分布来进行统计分析和概率计算。

正态分布（也称为高斯分布）是一种连续概率分布，常用于描述自然界和社会现象中的许多随机变量。

本文将介绍如何在Java中使用正态分布进行计算。

一、导入相关库在Java中，我们可以使用Apache Commons Math库来进行正态分布的计算。

首先，我们需要导入相关的库文件。

在Java中，可以使用以下代码导入Apache Commons Math库：importmons.math3.distribution.NormalDistribution;二、创建正态分布对象在使用正态分布进行计算之前，我们需要创建一个正态分布对象。

在Apache Commons Math库中，可以使用NormalDistribution 类来创建正态分布对象。

以下是创建正态分布对象的代码示例：NormalDistribution normalDistribution = new NormalDistribution();三、计算概率密度函数（PDF）概率密度函数（Probability Density Function，PDF）是正态分布的核心概念之一，用于描述随机变量在某个特定取值点的概率密度。

在Java中，可以使用normalDistribution对象的density方法来计算概率密度函数。

以下是计算概率密度函数的代码示例：double x = 1.5; // 需要计算概率密度函数的取值点double pdf = normalDistribution.density(x); // 计算概率密度函数System.out.println("概率密度函数的值为：" + pdf);四、计算累积分布函数（CDF）累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）用于描述随机变量小于等于某个特定取值点的概率。

正态分布-标准差

正態測試
相關分佈
n R˜Rayleigh(σ)是瑞利分佈，如果 Y˜N(0,σ2) 是兩個獨立常態分佈。
n
是卡方分佈具有ν自由度,如果
,這裏 X˜N(0,σ2) 和這裏 Xk˜N(0,1)
常態分佈的機率密度函數，參數為μ = 12， σ = 3，趨近於n = 48、p = 1/4的二項分佈的
機率質量函數。
常態分佈 - 維基百科，自由的百科全書
常態分佈
維基百科，自由的百科全書
常態分佈（normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分佈，記為：
/w/index.php?title=%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83&variant=zh-tw&printable=yes
2009-6-14
常態分佈 - 維基百科，自由的百科全書
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近似常態分佈平均數為μ = λ 且方差為σ2 = λ. 這些近似值是否完全充分正確取決於是用者的使用需求
n 2.3 生成函數 n 2.3.1 矩生成函數 n 2.3.2 特徵函數
n 3 性質 n 3.1 標準化正態隨機變量 n 3.2 矩(英文:moment) n 3.3 生成正態隨機變量 n 3.4 中心極限定理 n 3.5 無限可分性 n 3.6 穩定性 n 3.7 標準偏差
n 4 正態測試 n 5 相關分佈 n 6 參量估計
機率密度函數
常態分佈的機率密度函數均值為 μ 方差為σ2 (或標準差 σ) 是高斯函數的一個實例：