北京市丰台区2013届高三下学期统一练习(二)--数学(文)
2013年高考文科数学北京卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x ≤＜=-，则A B = ( )A .{0}B .{1,0}-C .{0,1}D .{1,0,1}- 2.设a ，b ，c R ∈，且a b >，则( )A .ac bc >B .11a b< C .22a b >D .33a b >3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A .1y x=B .xy e -=C .21y x =-+ D .lg||y x = 4.在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.在ABC △中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =( )A .15B .59 CD .16.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )A .1B .23C .1321D .6109877.双曲线221y x m-=( )A .12m ＞ B .1m ≥ C .1m ＞D .2m ＞8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A .3个B .4个C .5个D .6个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 . 10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 .11.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = .12.设D 为不等式组02030x x y x y ≥，≤，≤，⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 .13.函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥＜⎧⎪=⎨⎪ ⎩的值域为 .14.已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C .若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12≤≤λ，01≤≤μ）的点P 组成，则D 的面积为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若π(,π)2α∈，且()f α=α的值.16.（本小题满分13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥.E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）BE ∥平面PAD ； （Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD .18.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x x =++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.19.（本小题满分14分）直线y kx m =+（0m ≠）与椭圆W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； （Ⅱ）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形.20.（本小题满分13分）给定数列1a ，2a ，，n a .对1,2,,1i n =-，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i-项1i a +，2i a +，，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值； （Ⅱ）设1a ，2a ，，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a ＞.证明：1d ，2d ，，1n d -是等比数列； （Ⅲ）设1d ，2d ，，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d ＞.证明：1a ，2a ，，1n a -是等差数列.【解析】设正方体的棱长为a则11()()(00000D D a C ，，，，，，则222111999PB a a a =++=222441999PD a a a =++=1499PD =14PC PA ====PC PA 49a 2119PB a =+故共有4个不同取值，故选根据数形结合知(1)0，到D 的距离最小值为13．【答案】(2)∞－，【解析】当1x ≥时，12log log x ≤【答案】3【解析】AP AB AC μλ=+，2()1AB =，，1()2AC =，，则(x AP =－，,,μμ 得2--3,x y λ⎧=⎪⎪⎨0-23,x y ≤≤⎩可得111304()()(3)26A B C ，，，，，11A B ＝22(4-3)+2=5，两直线距离2|9-6|3521d ==+∴113S A B d ⋅＝＝． 三、解答题15．【答案】（1）()f x 的最小正周期为（2）9π16α=【解析】（1）因为()2cos (f x ＝1AB CD CD ，＝＝所以BE DE，且AB DE所以ABCD为平行四边形。
2013年北京市丰台区高三二模理科数学试题及答案
（Ⅱ） PE BE，PE DE， ,所以，可由DE,BE,PE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），……………………………………………………………5分
设PE=a，则B(0,4-a,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，……………………7分
（Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P= ，………..5分
.………………………….10分
的分布列为:
X
0
1
2
3
4
P
………………………….11分
X~B(4， ), .………………………….13分
17.（本小题13分）
图（1）图（2）
解:（Ⅰ） ， ,DE PE,……………….2分
， DE 平面PEB,
① 或者② ，
若①成立，即有 ，
若②成立，即有 ，
有 或者 ，
显然 = N*，所以 .
综上所述， .
………………..14分
即得b2n A， dn=22n-1；………………………………………8分
（Ⅲ）（1）当n=1时，所以因为 ，所以S1=1；………………..9分
（2）当n≥2时，由（Ⅱ）知，数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A，则 ，且k<n，使得
.………………..11分
下面讨论正整数k与n的关系：
数列 中的第n项不外如下两种情况：
45
78
23
65
79
207
81
60
42
101
38
163
154
22
27
36
151
49
103
北京丰台区高三二模理科数学试题
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64. 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ） (1,)+∞7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 728. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。
北京市丰台区2013届高三下学期统一练习(二)数学文试题(Word解析版)
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 【答案】A【解析】2(34)3443i i i i i +=+=-+，所以虚部为3，选A. 2. 若a ∈R ，则“a ＝1”是“1a =”的（A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】若1a =，则1a =±。
所以“a ＝1”是“1a =”的充分而不必要条件，选C. 3. 设向量a =(4，x ),b =(2,-1),且a ⊥b ，则x 的值是 （A ）8 （B ）-8 （C ）2 （D ） -2 【答案】A【解析】因为a b ⊥ ,所以设420a b x ⋅=⨯-=，解得8x =，选A.4. 双曲线22123x y -=的离心率为（A ）132 （B ）133 （C ）102 （D ）103【答案】C【解析】由双曲线的方程可知222,3a b ==，所以222,5a c a b ==+=，即离心率51022c e a ===，选C. 5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=- （D ） sin(2)3y x π=+【答案】D【解析】因为函数的周期是π，所以2T ππω==，解得2ω=，排除A,B.当12x π=时，s i n (2)s i n 11232y πππ=⨯+==为最大值，所以sin(2)3y x π=+图象关于直线12x π=对称，选D.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）24 （B ） 20+42 （C ）28 （D ）24+ 42 【答案】B【解析】由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，该几何体的下部是边长为2的正方体，所以该几何体的表面积为，215242220422S =⨯+⨯⨯⨯=+.选B ．7.在平面区域02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +≤的概率大于18，则b 的取值范围是（A ） (,1)-∞ （B ） (0,1) （C ）(1,4) （D ） (1,)+∞ 【答案】D【解析】其构成的区域D 如图所示的边长为2的正方形，面积为S 1=4，满足x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的等腰直角三角形，其面积为222122b S b =⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足x y b +≤的概率22248b b P ==,由题意令2188b >，解得1b >,选D ．8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ①当a=2，m=0时，直线l 与图象G 恰有3个公共点； ②当a=3,m=14时，直线l 与图象G 恰有6个公共点； ③(1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③ 【答案】D【解析】设[0,2)x ∈，则(2,0]x -∈-，故()(2)()f x x x f x -=-=，所以当[0,2)x ∈时，()(2)f x x x =-。
北京市丰台区高三数学下学期统一练习(二)理(丰台二模)(含解析)
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 【答案】A解析2(34)3443i i i i i +=+=-+，所以虚部为3，选A. 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）0 【答案】B 解析因为,a b 方向相反，所以设,0b ma m =<，则有(4,)(,1)(,)x m x mx m ==，所以4mx m x=⎧⎨=⎩，解得22m x =-⎧⎨=-⎩，选B.3.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-6 【答案】A解析展开式的通项公式为4421441()(1)kkk k k k k T C xC x x--+=-=-，由420k -=，解得2k =，所以常数项为2234(1)6T C =⨯-=，选A.4. 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“1322a a a +=”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 【答案】C解析若{a n }为等差数列，一定有1322a a a +=。
若1322a a a +=，不妨取数列，0,0,0,2,0，满足1322a a a +=，当数列不是等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“1322a a a +=”的充分而不必要条件，选C.5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-【答案】C解析因为函数的周期是π，所以2T ππω==，解得2ω=，排除A,B.当12x π=时，si n(2)si n 11232y πππ=⨯+==为最大值，所以sin(2)3y x π=+图象关于直线12x π=对称，选C.6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ） (1,)+∞【答案】D解析其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72 【答案】B解析从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间，可用133C =中选法，而6与8可以交换位置有222A =种方法，把6与8及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有336A =种方法，利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是32636⨯⨯=.选B ．8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③ 【答案】D解析①当a=4时，偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：存在直线l ，如y=0，与图象G 恰有5个公共点；故①正确；②若对于[0,1]m ∀∈，由于偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a≤2；故②正确；③(1,)m ∀∈+∞，偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：(4,)a ∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；其中正确命题的序号是①②③．选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。
北京市丰台区2013年第二学期高三综合练习(二)
北京市丰台区2013年第二学期高三综合练习（二）数学（理科）（丰台二模）（时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数)43(i i +的虚部为 ( )3.A i B 3.4.C i D 4.2．设向量),,4(),1,(x b x a ==若a ，b 共线且方向相反，则x 的值是 ( )2.A 2.-B 2.±c 0.D4)1.(3xx -展开式中的常数项是 （ ） 6.A 4.B 4.-C 6.-D4．已知数列},{n a 则 “{}n a 为等差数列”是,,2231a a a =+的( )A .充要条件B ．必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D ．既不充分又不必要条件5．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线=x 12π对称的是 ( ) )32sin(.π+=x y A )32sin(π-=⋅x y B )32sin(π+=⋅x y C )32sin(π-=⋅x y D 6．在平面区域⎩⎨⎧≤≤≤≤10,10y x 内任取一点P(x ，y)，若(x ，y)满足b y x ≤+2的概率大于,41则b 的取值范围是 ( ))2,.(-∞A )2,0.(B )3,1.(c ),1.(+∞D7．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 ( )A18 B.36 C ．54， D ．728．已知偶函数),)((R x x f ∈当]0,2(-∈x 时，2()(x x f -=),x +当),2[+∞∈x 时，).)()(2()(R a x a x x f ∈--=有关偶函数)(x f 的图象G 和直线)(:R m m y l ∈=的3个命题如下： ①当a-4时，存在直线L 与图象G 恰有5个公共点；②若对于],1,0[∈∀m 直线L 与图象G 的公共点不超过4个，则;2≤a ),,1(+∞∈∀m ③),,4(+∞∈∃a 使得直线L 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等，其中正确命题的序号是 ( )A ．①② B①③ C．②③ D．①②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案 填在题中横线上．9．圆θρ cos 2=的半径是 10.已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得(x ，y)的一组数据如下：(0，1)，(1，2)，(2，4)，(3，5)，其回归方程为=yˆ,4.1a x +则a 的值是 11.如图，已知⊙0的弦AB 交半径OC 于点D ；若OC BD AD ,3,4==,4=则CD 的长为12.若双曲线)0(13:222>=-a y ax C 的离心率为,2则抛物线x y 82=的焦点到C 的渐近线的距离是 13.曲线211)(=+=xEx x x x f 处的切线方程是在21=x 处的切线与直线x y =和y 轴围成三角形的面 积为14.在圆2522=+y x 上有一点P(4，3)，点E ，F 是y 轴上两点，且满足∣ PE ∣=∣PF ∣，直线PE ，PF 与圆交于C ，D ，则直线CD 的斜率是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且.2sin 3)(sin 22A C B =+(I)求A 的度数；(Ⅱ)若,5,7==AC BC 求△ABC 的面积S ．根据以上信息，解决下列问题：(I)写出下面频率分布表中a ，b ，x ，y 的值；(Ⅱ)某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将(I) 中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天 数用X 表示，求X 的分布列和均值EX ．17．（本小题共13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于点E ，现将 △ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置如图(2)．（I ）求证：PB ⊥DE; (Ⅱ)若PEIBE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为,30 求PE 的长．18.（本小题共13分）已知函数-+=221ln 2)(ax x x f ).()12(R a x a ∈+ （I ）当21-=a 时，求函数],1[)(e E x f =/上的最大值和 最小值； (Ⅱ)若a>0，讨论)(x f 的单调性．19.（本小题共14分）已知椭圆14:22=+y x C 的短轴的端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点)21,(m M 满足,0=/m 且.3±=/m（I ）求椭圆C 的离心率P ；(Ⅱ)用m 表示点E ，F 的坐标；(Ⅲ)若△BME 的面积是△A MF 面积的5倍，求m 的值．20.（本小题共14分）已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n 3=,2-等比数列}{n b 中，.1,3411+==a b a b 记集合=A =∈=B N n a x x n *},,|{*},,|{N n b x x n ∈=,B A U=把集合 中的元素按从小到大依次排列，构成数列}.{n c(I)求数列}{n b 的通项公式，并写出数列}{n c 的前4项；(Ⅱ)把集合A C 中的元素从小到大依次排列构成数列},{n d 求数列}{n d 的通项公式，并说明理由； (Ⅲ)求数列}{n c 的前n 项和 n S。
2013年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2013年北京，文1，5分】已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-≤<，则A B =I （ ） （A ）{0} （B ）{}10-，（C ）{}01， （D ）{}101-，， 【答案】B【解析】1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-I ＝，故选B ． （2）【2013年北京，文2，5分】设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）（A ）ac bc > （B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >【答案】D 【解析】：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D ．（3）【2013年北京，文3，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）（A ）1y x = （B ）x y e -= （C ）21y x =-+（D ）lg y x =【答案】C【解析】A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0)+∞，上是增函数，故选C ． （4）【2013年北京，文4，5分】在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A【解析】()i 2i 12i -=+，其在复平面上的对应点为()1,2，该点位于第一象限，故选A ．（5）【2013年北京，文5，5分】在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（ ）（A ）15 （B ）59（C ）5 （D ）1【答案】B【解析】根据正弦定理，sin sin a b A B =，则515sin sin 339b B A a ==⋅=，故选B ． （6）【2013年北京，文6，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）1321（D ）610987【答案】C【解析】依次执行的循环为1S =，i 0=；23S =，i 1=；1321S =，i 2=，故选C ．（7）【2013年北京，文7，5分】双曲线221yx m-=的离心率大于2的充分必要条件是（ ）（A ）12m > （B ）1m ≥ （C ）1m > （D ）2m >【答案】C【解析】该双曲线离心率1me +=，由已知1>2m +，故1m >，故选C ．（8）【2013年北京，文8，5分】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ．建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,0D ，10,()0D a ,，1()0C a a ,,，,(0)0C a ,，0(,)B a a ,，1()B a a a ,,，(),0,0A a ，1,()0A a a ,，221,,333P a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则PB =u u u r，PD a =u u u r ，1PD ==u u u u r，11PC PA a ==，PC PA ==，1PB u u u r ，故共有4个不同取值，故选B ． 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2013年北京，文9，5分】若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 【答案】2；1-【解析】根据抛物线定义12p =，∴2p =，又准线方程为12px =-=-．（10）【2013年北京，文10，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ． 【答案】3【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式133133V =⨯⨯⨯=，故该棱锥的体积为3．（11）【2013年北京，文11，5分】若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ． 【答案】2；122n +-【解析】由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．（12）【2013年北京，文12，5分】设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ．【解析】区域D 表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知()1,0到D 的距离最小值为()1,0到直线2x -y =0（13）【2013年北京，文13，5分】函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为_______．【答案】()2-∞，【解析】当1x ≥时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当1x <时，1022x <<，即022x <<；故()f x 的值域为()2-∞，． （14）【2013年北京，文14，5分】向量(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r （12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 ． 【答案】3【解析】AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，()2,1AB =u u u r ，()1,2AC =u u u r ．设()P x y ，，则()1,1AP x y =-+u u u r．∴1212x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得233233x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,∵12λ≤≤，01μ≤≤，可得629023x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩，如图．可得()13,0A ，()14,2B ，()16,3C ，21214325A B (-)+==，两直线距离2521d ==+，∴11·3S A B d ==． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2013年北京，文15，13分】已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期及最大值；（2）若(,)2παπ∈，且2()f α=，求α的值．解：（1）21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+1cos2sin 2cos42x x x =+11sin 4cos422x x =+2sin(4)4x π=+所以，最小正周期242T ππ==，当()4242x k k Z πππ+=+∈，即()216k x k Z ππ=+∈时，max 2()2f x =． （2）因为22()sin(4)4f παα=+=，所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<， 所以5442ππα+=，即916πα=．（16）【2013年北京，文16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此在在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613．（2）解法一：根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413．解法二：此人停留的两天共有13种选择，分别是：()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，()5,6，()6,7，()7,8，()8,9，()9,10，()10,11，()11,12，()12,13，()13,14，其中只有一天重度污染的为()4,5，()5,6，()7,8，()8,9，共4种，所以概率为2413P =． （3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． （17）【2013年北京，文17，14分】如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （1）PA ⊥底面ABCD ； （2）//BE 平面PAD ；（3）平面BEF ⊥平面PCD ． 解：（1）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，PA ∴⊥底面ABCD ．（2）因为//AB CD ，2CD AB =，E 为CD 的中点，所以//AB DE ，且AB DE =．所以ABED 为平行四边形．所以//BE AD ．又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ．（3）因为AB AD ⊥，而且ABED 为平行四边形，所以BE CD ⊥，AD CD ⊥．由（1）知PA ⊥底面ABCD ，空气质量指数日期14日13日12日11日10日9日8日7日6日1日037798615812116021740160220143572586100150200250所以PA CD ⊥．所以CD ⊥平面PAD ．所以CD PD ⊥．因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以//PD EF ．所以CD EF ⊥．所以CD ⊥平面BEF ．所以平面BEF ⊥平面PCD ．（18）【2013年北京，文18，13分】已知函数2()sin cos f x x x x x =++．（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围． 解：（1）因为曲线()y f x =在点()()a f a ，处与直线y b =相切，所以()()2cos 0f a a a '=+=，()b f a =．解得0a =，()01b f ==．（2）解法一：令()0f x '=，得0x =．()f x 与()f x '的情况如下：所以函数()f x ()01=是()f x 的最小值． 当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点；当1b >时，()()222421421f b f b b b b b b -=≥-->-->，()01f b =<，所以存在()12,0x b ∈-，()20,2x b ∈，使得()()12f x f x b ==．由于函数()f x 在区间()0-∞，和(0)+∞，上 均单调，所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1)+∞，．解法二：因为2cos 0x +>，所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增；当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减． 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，所以b 的取值范围是(1,)+∞．（19）【2013年北京，文19，14分】直线()0y kx m m =+≠，W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．（1）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；（2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形． 解：（1）因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设1,2A t ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =AC =（2）解法一：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC OB ⊥，所以0k ≠．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消y 并整理得()222148440k x kmx m +++-=．设11()A x y ，，22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+．所以AC 的中点为224,1414kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 因为M 为AC 和OB 的交点，且0m ≠，0k ≠，所以直线OB 的斜率为14k-．因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 解法二：因为四边形OABC 为菱形，所以OA OC =，设()1OA OC r r ==>，则A ，C 两点为圆222x y r +=与椭圆2214x y +=的交点，联立方程2222214x y r x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得224(1)3r x -=，所以A ，C 两点的横坐标相等或 互为相反数．因为点B 在W 上，若A ，C 两点的横坐标相等，点B 应为椭圆的左顶点或右顶点．不合题意．若A ，C 两点的横坐标互为相反数，点B 应为椭圆的上顶点或下顶点．不合题意． 所以四边形OABC 不可能为菱形（20）【2013年北京，文20，13分】给定数列1a ，2a ，L L ，n a ．对1,2,3,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +，L L ，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-． （1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；（2）设1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，证明1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列；（3）设1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列．解：（1）111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=，333716d A B =-=-=． （2）因为1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，所以11n n a a q -=．所以当1,2,3,,1k n =-L 时，1k k k k k d A B a a +=-=-，所以当2,3,,1k n =-L 时，11111(1)(1)k k k k k k k k d a a a q q q d a a a q +------===--，所以1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列． （3）解法一：若1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，则1210n d d d -<<<<L ， 1a ，2a ，L L ，1n a -应是递增数列，证明如下：设k a 是第一个使得1k k a a -≤的项，则1k k A A -=，1k k B B -≤，所以111k k k k k k d A B A B d ---=-≥-=，与已知矛盾．所以，1a ，2a ，L L ，1n a -是递增数列．再证明n a 数列{}n a 中最小项，否则k n a a <（2,3,,1k n =-L ），则 显然1k ≠，否则11111110d A B a B a a =-=-≤-=，与10d >矛盾；因而2k ≥，此时考虑11110k k k k k d A B a a ----=-=-<，矛盾，因此n a 是数列{}n a 中最小项．综上，()2,3,,1k k k k n d A B a a k n =-=-=-L ，k k n a d a ∴=+，也即1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列． 解法二：设d 为121n d d d -⋯，，，公差．对12i n ≤≤-，1i i B B +≤Q ，0d >，111i i i i i i i i A B d B d d B d A +++=+≥++>+=．又因为11{}i i i A max A a ++=，，所以11i i i i a A A a ++=>≥．从而121n a a a -⋯，，，是递增数列． 因此1,2()1i i A a i n ==⋯-，，．又因为111111B A d a d a =-=-<，所以1121n B a a a -<<<⋯<．因此1n a B =．所以121n n B B B a -==⋯==．所以i i i i n i a A B d a d ==+=+．因此对1,22i n =⋯-，，都有11i i i i a a d d d ++-=-=，即121n a a a -⋯，，，是等差数列．。
2013丰台二模北京市丰台区2013届高三下学期统一练习二文综
北京市丰台区2013届下学期高三年级二模考试文综试卷第一部分（选择题共140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
图1为我国城市居民出游率随出行距离变化曲线图。
读图，回答第1题。
1. 我国城市居民出游率A. 0～15km间的增幅最小B. 15～60km间约为60％C. 60～500km间约为20％D. 超出1500km无法统计图2为某区域简易天气图（单位：百帕）。
读图，回答第2、3题。
2. 此时A. 华北地区柳絮飘飞B. 东北地区候鸟南飞C. 海南岛上暴雨倾盆D. 横断山脉雪线较低3. 若控制图示东北部区域的天气系统快速西移，可能引起沿岸A. 风暴潮B. 暑热缓解C. 海啸D. 山林大火图3为我国黄河三角洲示意图。
黄河三角洲是世界上暖温带保存最完善的湿地生态系统。
近年来，该三角洲土地面积增长速度缓慢。
读图，回答第4～6题。
4. 黄河三角洲土地面积增长速度缓慢的原因可能有①黄土高原水土流失程度减轻②干支流兴修水库，拦蓄大量泥沙③毁林开荒，植被覆盖率降低④人类过度引水，使下游水量减少A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④5. 东营市曾经盐碱地广布，主要是因为A. 地势较低洼，河水带来大量盐碱物质B. 旱涝交替频繁，盐碱物质逐渐累积C. 工业生产过程中，盐碱物质排放量高D. 耕作历史悠久，盐碱物质聚集地表6. 黄河三角洲湿地生态系统的主要功能是A. 涵养水源，大量削减土壤中的盐碱量B. 净化水质，为城市提供直接饮用水源C. 调节气候，改变气候特征与气候类型D. 保护野生的动植物，维护生物多样性图4为某大洲沿90°经线局部地区地形剖面图。
读图，回答第7～9题。
7. 该大洲为A. 亚洲B. 大洋洲C. 北美洲D. 南美洲8. 甲海域沿岸A. 有暖流流经B. 有著名渔场C. 多温带气旋活动D. 多火山地震灾害9. 棉花生长条件较优越的地区是A. aB. bC. cD. d图5为非洲大陆年均温点位分布图（单位：摄氏度）。
2013年高三数学二模理科试卷(丰台区有答案)
2013年高三数学二模理科试卷（丰台区有答案）丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数的虚部为（A）3（B）（C）4（D）2.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反，则x的值是（A）2（B）-2（C）（D）03.展开式中的常数项是（A）6（B）4（C）-4（D）-64.已知数列{an}，则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的（A）充要条件（B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分又不必要条件5.下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（A）（B）（C）（D）6.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A)18(B)36(C)54(D)728.已知偶函数f(x)（x∈R），当时，f(x)=-x(2+x)，当时，f(x)=(x-2)(a-x)（）. 关于偶函数f(x)的图象G和直线:y=m（）的3个命题如下：①当a=4时，存在直线与图象G恰有5个公共点；②若对于，直线与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；③，使得直线与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.圆的半径是________。
10.已知变量具有线性相关关系，测得的一组数据如下：，其回归方程为，则的值是。
11.如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。
12.若双曲线C:的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是______。
2013届北京市丰台区高三期末数学文科试题(WORD精校版)
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)43 (B) 83(C) 4 (D) 8 3．“0x >”是“12x x+≥”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)13 (B)12 (C) 23 (D) 565．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+(D) 72sin()216x y π=+6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为.(A)3(B)6(C) 7(D) 107．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0),B(0,1)，点C 在第一象限内，6AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ,μ的值是(A)3，1 (B) 1，3(C)33，1 (D) 1，33S S n =+开 始 结 束S =0, n =0输出S n =n +1 n >3? 否是8．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，则 (A) ()0,1,x ∀∈都有f(x)>0 (B) ()0,1,x ∀∈都有f(x)<0 (C) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)=0 (D) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)>0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．不等式组2,0,1x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是___________.11．设1233,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， . 12．圆()221x a y -+=与直线y=x 相切于第三象限，则a 的值是 ．13．已知ABC ∆中，AB=3，BC=1，tanC=3，则AC 等于______. 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，____(3)mn a m =≥． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本题共13分 ）函数2()l g (23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()(04)g x x a x =-≤≤的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围． 16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求s i n ()αβ+的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅ 的值.y xBAO14 12，14 34，38，316…17．（本题共13分 ）如图，三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1; (Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1． 18．（本题共14分 ）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值. 19．（本题共13分 ）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴．直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=32， 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值． 20．（本题共14分 ）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令()4,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值；若不存在，说明理由.NMC 1B 1ABCA 1丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BACCBDAB二、填空题：9．20； 10.12； 11. 3； 12．-2 （写2±给3分）； 13．2； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分（Ⅱ）∵A B B = ，∴B A ⊆．..….…………………………………………… 9分∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅ 的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，yxBAO3c o s 5α=， 12sin 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分 ∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=- ． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………11分∴9224OA OB -⋅= ．∴18OA OB ⋅=- ． ……………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，………………10分 ∴OA OB ⋅ =1||||cos 8OA OB AOB ∠=- ．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点. (Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1;(Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴MN ∥BC 1．........................................................4分∵11111, MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面， ∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分又∵AB ⊥BC ，1AA AB A = ，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]xxxf x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同． 又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f e e--=--=． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=32， 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值．解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=（1,01a b ><<）． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=32时，A 3(,)22a -,C 13(,)22a ．………………………………….……5分 又∵54AC =, ∴15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． …………………………..7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-21a m -,m),C(211m a-,m) ．……………….……………9分 ∵OC ⊥AN ，0OC AN ⋅=（*）． ……………………………............................................…10分∵OC =（211m a-,m ），AN =（21a m -,-1-m)，代入（*）并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ， ∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令()4,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y x y x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1（2，2），1(4,0)B ． ….…….…….…......3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可 得，11n n nn n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*）…….………………………..5分∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ….……………………………………………9分∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分 ∴422(1)(1)i b i i i i ==++，()122iy i i c -==， ∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑ =111112(1)2231n n -+-++-+ =12(1)1n -+，…………….……..11分 2111(1)11112211222212nn i n ni c =-=+++==--∑ ． …………………….……12分 欲使11n ni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n -， 只需1112n n n -<-+， ………………………………………………….…………13分 *110(),012n n n N n -≥∈-<+ ，∴不存在正整数N ，使n≥N 时， 11n niii i b c ==<∑∑成立．…………………….14分。
北京市丰台区高三二模数学理科含答案
北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64.已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ）(1,)+∞7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A)18 (B) 36 (C) 54 (D) 728.已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。
北京市丰台区高三数学下学期统一练习试题(二) 理(含解析)北师大版
2013年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）2．（5分）（2013•丰台区二模）设向量=（x，1），=（4，x），且，方向相反，则x的值是（），方向相反，可得=解：∵向量，，方向相反，则3．（5分）（2013•丰台区二模）展开式中的常数项是（）解：∵=•=65．（5分）（2013•丰台区二模）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）．中的函数的最小正周期都是=4；把代入，不满足条件，排除中的函数的最小正周期都是代入，故此函数的图象关于直线对称，故满足条件．代入，没有取得最值，故不满足条件，排除6．（5分）（2013•丰台区二模）在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足2x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是（）大于=××b=P=，由题意令＞，解得时7．（5分）（2013•丰台区二模）用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰中选法，而可以交换位置有种及之间的一个奇数“捆绑”一个整体与剩下的两个奇数全排列共有种方法，再利中选法，而可以交换位置有种及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是8．（5分）（2013•丰台区二模）已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（﹣2，0]时，f（x）=﹣x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x﹣2）（a﹣x）（a∈R）．关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：①当a=4时，存在直线l与图象G恰有5个公共点；②若对于∀m∈[0，1]，直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•丰台区二模）圆ρ=2cosθ的半径是 1 ．10．（5分）（2013•丰台区二模）已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为，则a的值等于0.9 ．解：∵==把样本中心点代入回归直线方程11．（5分）（2013•丰台区二模）如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D，若AD=4，BD=3，OC=4，则CD的长为 2 ．12．（5分）（2013•丰台区二模）若双曲线C：的离心率为，则抛物线y2=8x的焦点到C的渐近线距离是．的离心率为，所以b=，由点到直线的距离公式可得：故答案为：．13．（5分）（2013•丰台区二模）曲线在处的切线方程是3x+y﹣4=0 ，在x=x0处的切线与直线y=x和y轴围成三角形的面积为 2 ．解：由题意可得）x==）处的切线斜率为﹣（（，S==214．（5分）（2013•丰台区二模）在圆x2+y2=25上有一点P（4，3），点E，F是y轴上两点，且满足|PE|=|PF|，直线PE，PF与圆交于C，D，则直线CD的斜率是．中，tan∠GOA=，．三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•丰台区二模）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得再由，（Ⅰ）∵．∴∵sinA≠0，∴（Ⅰ）写出下面频率分布表中a，b，x，y的值；（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良频数频率y，…..（，，，17．（13分）（2013•丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB 于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为的一个法向量为=，）和向量的坐标，建立关于参数可得，…（的法向量，令因此是面，，即，或的长为．…（18．（13分）（2013•丰台区二模）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．﹣=，对＜及＞时，f′（﹣﹣﹣．…．，…．时，由，（，）②a=时，由或）＜）的单调减区间是（19．（14分）（2013•丰台区二模）已知椭圆C：的短轴的端点分别为A，B，直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，）满足m≠0，且．（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；（Ⅲ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．（Ⅰ）利用椭圆的离心率计算公式（Ⅲ）利用三角形的面积公式及其关系得到，∴，=，y=，，∴，∴（Ⅲ）∵，，∠AMF=∠BME，∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴∵m≠0，∴整理方程得又∵20．（14分）（2013•丰台区二模）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式，并写出数列{c n}的前4项；（Ⅱ）把集合∁U A中的元素从小到大依次排列构成数列{d n}，求数列{d n}的通项公式，并说明理由；（Ⅲ）求数列{c n}的前n项和S n．使．由以上的讨论，即可得出数列或者=，可得。
2013年高三文科一模数学试卷(丰台区带答案)
2013年高三文科一模数学试卷（丰台区带答案）丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（文科）一、选择题1.复数z=在复平面内对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.若集合A=,B={-2,-1,0,1,2},则集合()等于(A){-2,-1}(B){-2,-1,0,1,2}(C){-2,-1,2}(D)3.设为等比数列的前项和，，则（）(A)2(B)3(C)4(D)54.执行右边的程序框图所得的结果是（A）3（B）4（C）5（D）65.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是（A）（B）（C）（D）6.已知命题p:,命题q:,则下列命题为真命题的是(A)(B)(C)(D)7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是(A)2(B)4(C)(D)8.如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程，那么正确的选项是(A)y=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y(B)y=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y(C)y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y(D)y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y二．填空题9.若，则=。
10.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：40,50)，50,60)，…，90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在70,80)内的人数是________11.直线x-y+2=0被圆截得的弦长为_________。
12．已知变量满足约束条件，则的最大值为________。
13．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中点，则.14.已知实数若方程有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数的取值范围是。
三．解答题15.已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的值域.16．如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）在线段PA上,是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
北京丰台区高三二模理科数学试题
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64.已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ）(1,)+∞7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A)18 (B) 36 (C) 54 (D) 728.已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A)①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9.圆2cos ρθ=的半径是________。
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北京市丰台区2013届高三下学期统一练习（二）数学（文）试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的（A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 3. 设向量a =(4，x ),b =(2,-1),且a ⊥b ，则x 的值是 （A ）8 （B ）-8 （C ）2 （D ） -24. 双曲线22123x y -=的离心率为（A （B ） （C （D5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=- （D ） sin(2)3y x π=+6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A ）24 （B ） 20+42 （C ）28 （D ）24+ 427.在平面区域02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +≤的概率大于18，则b 的取值范围是（A ） (,1)-∞ （B ） (0,1) （C ）(1,4) （D ） (1,)+∞8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ① 当a=2，m=0时，直线l 与图象G 恰有3个公共点； ② 当a=3,m=14时，直线l 与图象G 恰有6个公共点； ③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 过点(0,2)P 且与直线20x y -=平行的直线方程为 .10. 已知变量,x y 具有线性相关关系，测得(,)x y 的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5)，其回归方程为ˆ 1.4yx a =+，则a 的值等于 . 11. 等差数列{a n }中，a 3=5,a 5=3,则该数列的前10项和S 10的值是_______. 12.若tan()2x π-=，则tan 2x 的值是 .13. 若函数()(0,1)xf x a a a =>≠在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是 。
14. 已知直线x=2,x=4与函数2log y x =的图象交于A,B 两点，与函数4log y x =的图象交于C,D 两点，则直线AB,CD 的交点坐标是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 本小题13分） 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm ）的统计数据用茎叶图表示（如图）. （Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差； （Ⅱ）从身高超过180cm 的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率.15 16 17 18 9 8 8 5 5 1 1 0 2 1 96 92 3 4 72 3 5第一组第二组17. （本小题13分）如图，多面体EDABC 中，AC ，BC ，CE 两两垂直，AD //CE ，ED DC ⊥，12AD CE =，M 为BE 中点.（Ⅰ）求证：DM //平面ABC ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCD .18．（本小题13分）已知函数 21()ln (1)(0)2f x a x a x x a =-++≥. （Ⅰ）若直线l 与曲线()y f x =相切，切点是P(2,0)，求直线l 的方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.19.（本小题14分）已知椭圆C ：2214x y +=，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,12) 满足0m ≠，且m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ；（Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；（Ⅲ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关.20. （本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c . （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n c 的前50项和50S ；（Ⅲ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，写出数列{}n d 的通项公式，并说明理由.参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 2x -y +2=0； 10.0.9；11.25； 12.34； 13. 116或21； 14. (0,0). 三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S . 解: （Ⅰ） 22sin ()2.B C A +=22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴=∴= ……………………….4分60,0=∴<<A A π °. …………………….6分（Ⅱ）在ABC ∆中,60cos 2222⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分31023852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆ AC AB S ABC . …………………….13分 16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm ）的统计数据用茎叶图表示（如图）. （Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；（Ⅱ）从身高超过180cm 的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率.解: （Ⅰ）11(168168169170171171175175181182)17310x cm =+++++++++=,………………………….3分()()()()()222222211168173168173169173...18117318217323.610S cm ⎡⎤=-+-+-++-+-=⎣⎦;………………………….6分 答: 第一组学生身高的平均值为173cm ,方差为23.62cm 。
（Ⅱ）设“甲、乙在同一小组”为事件A ， ………………………….7分身高在180以上的学生别记为a,b,c,d,e,其中a,b 属于第一组，c,d,e 属于第二组。
15 16 17 18 9 8 8 5 5 1 1 0 2 1 96 92 3 4 72 3 5第一组第二组(a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e).其中两位同学在同一小组的4种结果是：(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) . ……….11分∴52104)(==A P . 答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为25. ………………………….13分 17. （本小题13分）如图，多面体EDABC 中，AC ，BC ，CE 两两垂直，AD //CE ，ED DC ⊥，12AD CE =，M 为BE 中点.（Ⅰ）求证：DM //平面ABC ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCD . 解：（Ⅰ）设N 为BC 中点，连结MN ，AN , M 为BE 中点,∴MN//EC ，且MN=21EC ,AD //EC ，且AD =21EC ,∴四边形ANMD 为平行四边形, ……………………….3分 ∴ AN //DM DM ⊄平面ABC ，AN ⊂平面ABC ,∴ DM //平面ABC ; ……………………….6分（Ⅱ） CE BC AC BC ⊥⊥,,C CE AC = ,∴⊥BC 平面ACED ,⊂DE 平面ACED ,∴⊥BC DE , ……………………….9分 ∵DE ⊥DC ,又 ⊥DE BC ,C DC BC = ,∴ DE ⊥平面BCD . ……………………….12分 ⊂DE 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD . ……………………….13分18. （本小题13分）设函数 21()ln (1)(0)2f x a x a x x a =-++≥. （Ⅰ）若直线l 与曲线()y f x =相切，切点是P(2,0)，求直线l 的方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.解：（Ⅰ）∵P (2,0)在函数f (x )的图象上，∴f (2)=0∴02)1(22ln =++-a a ,即(ln 22)0,a -=,ln 220,0a -≠∴= . ……………………….2分 ∴f (x )=212x x -，∴()1f x x '=-, ∴(2)1f '=, ……………………….4分 ∴直线l 的方程为y =x -2，即x -y -2=0 . ……………………….5分 （Ⅱ）()f x 的定义域为{|0}x x >, ……………………….6分(1)()()(1)a x x a f x a x --'=-++=, ………………………7分由()0f x '=得1,x x a ==或,①当1a =时,()0f x '≥在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x=1时，()0f x '=，∴()f x 的单调递增区间是（0，+∞）； ………………………8分 ②当a =0时，,()01f x x '>⇔>，()001f x x '<⇔<<，∴()f x 的单调递增区间是（1，+∞），()f x 的单调递减区间是（0，1）；……9分 ③当01a <<时,()001f x x a x '>⇔<<>，或，()01f x a x '<⇔<<，∴()f x 的单调递增区间是（0，a ）和（1，+∞），()f x 的单调递减区间是（a ，1）； ………………………11分 ④当1a >时,()001f x x x a '>⇔<<>，或，()01f x x a '<⇔<<，∴()f x 的单调递增区间是（0，1）和（a ，+∞），()f x 的单调递减区间是（1，a ）.19.（本小题14分）已知椭圆C ：2214x y +=，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,12) 满足0m ≠，且m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；（Ⅲ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关. 解：（Ⅰ）依题意知2a =,3=c ,23=∴e ; ………… 3分（Ⅱ） )1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ………………………4分 ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……………6分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭………………………8分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ………………………10分 （Ⅲ）据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +- …………………12分∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, ………………13分 令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ………………14分20. （本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n c 的前50项和50S ；（Ⅲ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，写出数列{}n d 的通项公式，并说明理由.解：（Ⅰ）设等比数列{}n b 的公比为q ，11431,18b a b a ===+=，则q 3=8，∴q =2，∴b n =2n -1， ………………………3分（Ⅱ）根据数列{a n }和数列{}n b 的增长速度，数列{}n c 的前50项至多在数列{a n }中选50项，数列{a n }的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，由2n -1<148得，n ≤8,数列{b n }的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a n }中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a 46=136>128，故数列{c n }的前50项应包含数列{a n }的前46项和数列{b n }中的2，8，32，128这4项. …………………6分所以S 50=14646()28321282a a +++++=3321; ………………………8分（Ⅲ）据集合B 中元素2，8，32，128∉A ，猜测数列{}n d 的通项公式为d n =22n -1. …9分证明如下：b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，若∃m∈N*,使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b2n-1∈A，则b2n+1∈A.因为b1∈A，重复使用上述结论，即得b2n-1∈A（n N*∈）。