高考领航新一轮数学理科总复习考点突破课件12.5数学归纳法
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高三数学总复习《数学归纳法》课件
k(2k+1),则当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2 2 k 1
2
=-k(2k+1)+(2k+1) =-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)
=-(k+1)
. 2 k 1
2
即当n=k+1时,等式也成立.
k 1 当n k 1时, 2 k 1 7 3 9
(2k 7) 3k 1 2 3k 1 9
k k 1 2 k 7 3 9 3 18 ( 3 1). 由于3k 1 1是2的倍数, 故18(3k 1 1)能被36整除,
下列命题总成立的是(
)
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 答案:D
解析:若f(3)≥9,只能推出,当k≥3时f(k)>k2,所以A不正确;若
典例某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n≥2,数列的前
n项积为n2. (1)写出这个数列的前五项; (2)写出这个数列的通项公式,并加以证明.
分析:根据数列前五项写出这个数列的通项公式,要注意观察
数列中各项与其序号变化的关系,归纳出构成数列的规律,同 时还要特别注意第一项与其他各项的差异,必要时可分段表 示,证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.本题中要特别 注意第一个步骤的处理.
《数学归纳法》新课程高中数学高三一轮复习课件
高考总复习 ·数学 ·B版（文）
1 1 [解析] 左边的通项 an 可看作 －2n， 2n－1 即当 n＝k 时， 1 1 1 1 ak ＝ － ，ak＋1＝ － ， 2k－1 2k 2k＋1 2k＋2 ∴从 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边所要添加的 1 1 项为 － . 2k＋1 2k＋2
[答案] D
高考总复习 ·数学 ·B版（文）
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1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的 推理方法． 特点：由特殊→一般． 2．数学归纳法： 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面 的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一 个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*， k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也 成立这种证明方法就叫做数学归纳法．
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1．用数学归纳法证题的方法步骤： (1)验证当n＝n0(命题中最小的正整数)时命题 成立． (2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，由 此证明当n＝k＋1时命题也成立．则由(1)(2) 知对一切n≥n0的正整数，原命题均成立．
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2．数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两 个必要条件，两者缺一不可，两步均予以证 明才具备了充分性，也就是完成了这两步的 证明才能断定命题的正确性.
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一、选择题 1．用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ 2 3 4 2n－1 2n n＋1 n＋2 1 ＋…＋ (n∈N＋)从 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边所要 2n 添加的项是 ( ) 1 1 1 A. B. － 2k＋1 2k＋2 2k＋4 1 1 1 C．－ D. － 2k＋1 2k＋1 2k＋2
高考数学(理科)一轮复习课件：第五章 第7讲 数学归纳法
要证当 n＝k＋1 时结论成立， 只需证22kk＋＋31≥ k＋2， 即证2k＋2 3≥ k＋1k＋2， 由基本不等式可得 2k＋2 3＝k＋1＋2 k＋2≥ k＋1k＋2成立， 故22kk＋＋31≥ k＋2成立.所以当 n＝k＋1 时，结论成立. 由①②可知，对任意的 n∈N*， 不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立.
的图象上，
故由所给出的两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直线 PQn 的 斜率一定存在.
故有直线 PQn 的直线方程为 y－5＝fxxnn－－45(x－4)，
令
y
＝
0
，
得
－
5
＝
x2n－2xn－8 xn－4
(x
－
4)
⇔
－5 xn＋2
＝
x
－
4
⇔
x
＝
4xxnn＋＋23.
所以 xn＋1＝4xxnn＋＋23.
证明：(1)当 n＝1 时， 左边＝2×1×12×1＋2＝18， 右边＝4×11＋1＝18， 左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1，
则当 n＝k＋1 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋ 1
x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k ＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)， 显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除， 即当n＝k＋1时命题成立. 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立.
考点 4 用数学归纳法证明几何问题 例 4：平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三 条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2)个区域. 思路点拨：用数学归纳法证明几何问题的关键是注意从n ＝k 到n＝k＋1 时图形的变化情况，为了发现这一变化规律往往 从特殊情况入手，如 n＝1,2,3，…时，图形的变化规律，从而 推出从n＝k 到n＝k＋1 时图形的变化情况.有时也可以用f(k＋1) －f(k)来探讨变化情况.
高考数学一轮复习 第3讲 数学归纳法课件 理 苏教版
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1
2
3
4
C
C
D
A
1 1 1 ＋ k ＋…＋ k＋1 k 2 ＋1 2 ＋2 2
5
考向一用数学归纳法证明等式
【例 1】►(2012· 天津)已知{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，{bn}是等比数列，且 a1＝b1＝2，a4＋b4 ＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记 Tn＝ anb1＋ an－ 1b2＋…＋ a1bn， n∈ N*，证明 Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． (1)解 设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn} 的公比为 q. 由 a1＝b1＝2，得 a4＝2＋3d，b4＝解得 q＝2.
所以 an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
考向一用数学归纳法证明等式
(2)证明 法一 ①当 n＝1 时，T1＋12＝a1b1＋12＝ 16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； ②假设当 n＝k 时等式成立， 即 Tk＋12＝－2ak＋10bk， 则当 n＝k＋1 时有 Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12， 即 Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此 n＝k＋1 时等式也成立． 由①②可知，对任意 n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn 成立．
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一种表示
数学归纳法的框图表示
助学微博
两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第 一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺 一不可，在证明过程中要防范以下两点： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适 的起始值． (2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明 n＝k＋ 1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳 法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”． 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点： (1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义． (2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用 n＝k成立的结论． (3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件012003-归纳法及其应用
1
2 在用数学归纳法证明时，第(1) 步验算n＝n0 的 n0 不一定为1， 而是根据题目要求选择合适的 起始值，如(4)，检验n的值从n ＝3开始，因此(1)不正确．第 (2)步，证明n＝k＋1时命题也 成立的过程，一定要用到归纳 假设，否则就不是数学归纳法， 如(3).
数学归纳法是一种重要 的数学思想方法，主要 用于解决与正整数有关 的数学问题．证明时步 骤(1)和(2)缺一不可， 步骤(1)是步骤(2)的基 础，步骤(2)是递推的依 据．
知识与方法回顾
知识梳理 探究 一
辨析感悟
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3
用数学归纳法证 明等式
技能与规律探究
探究二
用数学归纳法证 明不等式
归纳—猜想—证明
探究三
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立， 证明当 n＝k＋1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立．
2.数学归纳法的框图表示
1.数学归纳法原理
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )
2.数学归纳法的应用
1 (4)(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－ 2 3)条时，第一步检验 n 等于 3.( ) 1 1 1 1 (5) 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 － ＋ － ＋„－ ＝ n 2 3 4 1 1 1 ＋ ＋„＋ 2 n＋2 n＋4 2n时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题 为真，则还需要用归纳假设再证 n＝k＋2 时等式成立．( ) (6)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋ 1 时，项数都增加了一项．( )
高考一轮复习理科数学课件数学归纳法
不等式证明中的数学归纳法应用
02
选取典型的不等式证明问题，通过数学归纳法简化证明过程，
体现数学归纳法在不等式证明中的有效性。
几何级数求和公式的数学归纳法推导
03
结合几何级数的特点，利用数学归纳法推导其求和公式，展示
数学归纳法在推导公式方面的应用。
解题思路与方法总结
01
明确数学归纳法的使用条件
强调在使用数学归纳法时，必须明确问题的性质，确保问题满足数学归
多样化题型
为了全面提高学生的解题 能力，应设置多样化的题 型，包括选择题、填空题 、解答题等。
答案解析与点评
详细解析
对每道提高训练题目，都应给出详细的答案解析，帮 助学生理解解题思路和方法。
点评到位
在解析过程中，要对学生的解题思路和方法进行点评 ，指出其优点和不足，提出改进建议。
举一反三
通过答案解析和点评，引导学生举一反三，掌握一类 题目的解题方法和技巧。
定义
数学归纳法是一种数学证明方法 ，通常用于证明某个与自然数n有 关的命题P(n)对于所有正整数n都 成立。
作用
通过假设n=k时命题成立，推导 出n=k+1时命题也成立，从而证述与证明过程
原理
数学归纳法基于自然数的序性质，即若P(n)对n成立，则P(n+1)也对n+1成立 。
坚定信心，积极备战
高考是人生的重要转折点，要坚定信 心，积极备战，相信自己一定能够取 得好成绩。
制定计划，合理安排时间
制定合理的复习计划，合理安排时间 ，做到高效复习，避免盲目、无计划 的复习。
注重基础，提高能力
高考数学注重基础知识和能力的考查 ，因此要注重基础知识的学习和掌握 ，提高自己的解题能力。
高考理科数学一轮总复习课标课件
备考策略调整和心态调整
策略调整
根据学生的复习情况和考 试要求，适时调整备考策 略，如加强薄弱环节的训 练、提高解题技巧等。
心态调整
鼓励学生保持积极的心态 ，面对考试压力和挑战， 保持自信和冷静，合理安 排时间和精力进行备考。
合作与分享
倡导学生之间的合作与分 享精神，互相学习和借鉴 好的学习方法和经验，共 同提高备考效果。
难度适中，区分度高
模拟测试卷的难度设置适中， 既不过于简单也不过于复杂， 能够准确反映学生的真实水平 。同时，试题具有良好的区分 度，能够区分出不同水平的学 生。
模拟测试卷采用多种题型，包 括选择题、填空题、解答题等 ，从不同角度考查学生的数学 素养和解题能力。
学生答题情况分析报告
总体情况
通过对模拟测试卷的分析，发现大部分学生能够较好地掌握基础知识和基本技能，但在一些重点、难点知识点 的理解和应用上还存在不足。
圆锥曲线的性质和应用
包括椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的性质和应用。
解析几何中的最值问题
如利用基本不等式、柯西不等式等解决解析几何中的最值问题。
立体几何证明与计算
空间几何体的性质和应用
包括柱体、锥体、球体等空间几何体的性质和应用。
空间向量的应用
利用空间向量解决立体几何中的角度、距离等问题。
立体几何中的证明问题
感谢您的观看
THANKS
04
实例分析
结合具体题目，分析解题思路 和方法，加深对知识点的理解 和应用。
填空题答题技巧及实例分析
审题技巧
认真阅读题目，理解题意和要求，明确所填 内容。
知识储备
根据题目条件，运用数学知识和推理能力进 行计算和求解。
推理计算
高考理科数学数学归纳法及其应用复习资料PPT课件
18
参考题
题型 用数学归纳法证明几何命题
• 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任 何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平 面分成n2-n+2个区域.
• 证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两 个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.
• (2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面 分成k2-k+2个区域.
• 第一步：验证当n取③ 第一个值n0时命题 成立；
• 第二步：假设当④ n=k(k∈N*，k≥n0) 时
命题成立，证明当⑤n=k+1 时命题也成 立.
• 在完成了这两n个0 步骤以后，就可以断定命题
对于从⑥
开始的所有正整数n都成立，3
• 3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明， 缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦— —推递—关—推—系归—，—纳即—的命基题础的；正第确二性步具反有映⑧了传无递限性递. 若只有第一步，而无第二步，则只是证明 了命题在特殊情况下的正确性；若只有第 二步，而无第一步，那么假设n=k时命题 成立就没有根据，递推无法进行.
10
1
13(1
1)(1 5
1 ［ ) 1 2k 1
2k
1
1
］ 1
＞
2k
1 2k ·
2
2k 2
4k2 8k 4
2 2k 1 2 2k 1 2 2k 1
＞ 4k2 8k 3
2k 3•
2k 1
2k 11
.
2 2k 1
2 2k 1
2
• 所以当n=k+1时，不等式也成立. • 综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数, • 不等式都成立.
• (2)假设当n=k时，
参考题
题型 用数学归纳法证明几何命题
• 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任 何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平 面分成n2-n+2个区域.
• 证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两 个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.
• (2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面 分成k2-k+2个区域.
• 第一步：验证当n取③ 第一个值n0时命题 成立；
• 第二步：假设当④ n=k(k∈N*，k≥n0) 时
命题成立，证明当⑤n=k+1 时命题也成 立.
• 在完成了这两n个0 步骤以后，就可以断定命题
对于从⑥
开始的所有正整数n都成立，3
• 3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明， 缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦— —推递—关—推—系归—，—纳即—的命基题础的；正第确二性步具反有映⑧了传无递限性递. 若只有第一步，而无第二步，则只是证明 了命题在特殊情况下的正确性；若只有第 二步，而无第一步，那么假设n=k时命题 成立就没有根据，递推无法进行.
10
1
13(1
1)(1 5
1 ［ ) 1 2k 1
2k
1
1
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1 2k ·
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2k 2
4k2 8k 4
2 2k 1 2 2k 1 2 2k 1
＞ 4k2 8k 3
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2k 1
2k 11
.
2 2k 1
2 2k 1
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• 所以当n=k+1时，不等式也成立. • 综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数, • 不等式都成立.
• (2)假设当n=k时，
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件12.5数学归纳法
1 2 1 3 1 4 1 1 − 2������-1 2������
=
1 1 1 + +…+ . ������+1 ������+2 2������
证明:(1)当 n=1 则当 n=k+1 时,
1 时,左边=12
(2)假设 n=k 时等式成立,即
1 1 1 = ,右边= = .左边=右边. 2 1+1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + − +…+ − = + +…+ , 2 3 4 2������ ������+1 ������+2 2������ 2������-1
关闭
1 1 1 1 1 1 1 1- + - + … + + 2 3 4 2������-1 2������ 2������ + 1 2������ + 2
+
1 1 2������+1 2������+2
=
1 1 1 + +…+ ������+1 ������+2 2������
=
1 1 1 1 + +…+ + . ������+2 ������+3 2������+1 2������+2
3.已知 f (n)= +
关闭
D
答案
-81 2 1 3 1 <n(n>1)”,由 2 -1
������
4.用数学归纳法证明:“1+ + +… +
n=k (k>1)不等式成立,推
=
1 1 1 + +…+ . ������+1 ������+2 2������
证明:(1)当 n=1 则当 n=k+1 时,
1 时,左边=12
(2)假设 n=k 时等式成立,即
1 1 1 = ,右边= = .左边=右边. 2 1+1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + − +…+ − = + +…+ , 2 3 4 2������ ������+1 ������+2 2������ 2������-1
关闭
1 1 1 1 1 1 1 1- + - + … + + 2 3 4 2������-1 2������ 2������ + 1 2������ + 2
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=
1 1 1 + +…+ ������+1 ������+2 2������
=
1 1 1 1 + +…+ + . ������+2 ������+3 2������+1 2������+2
3.已知 f (n)= +
关闭
D
答案
-81 2 1 3 1 <n(n>1)”,由 2 -1
������
4.用数学归纳法证明:“1+ + +… +
n=k (k>1)不等式成立,推
《数学归纳法》新课程高中数学高三一轮复习课件
[证明] ①n＝1 时，左＝1>12＝右，即原不等式 成立．
②假设 n＝k 时，原结论成立 即：1＋12＋13＋…＋2k－1 1>2k成立． 当 n＝k＋1 时， 左边＝1＋12＋…＋2k－1 1＋21k＋…＋2k＋11－1>2k＋ 21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1>2k＋2k＋11－1＋2k＋11－1＋…＋ 2k＋11－1＝2k＋2k＋21k－1>2k＋12＝k＋2 1
高考总复习 ·数学 ·B版（文）
(2)b1＝lg12＝c1；b2＝lg(12＋18)＝lg58， c2＝lg68，b2<c2； b3＝lg4792，c3＝lg1102＝lg6702，∴b3<c3. 猜测：bn≤cn.
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用数学归纳法证明如下：
[证明] (数学归纳法)
①验证 n＝1，n＝2 时 bn≤cn 成立． ②假设 n＝k 时，bk≤ck 成立． 即 lg(S11＋S12＋…＋S1k)≤lg4akk成立，等价于：S11＋S12 ＋…＋S1k≤4akk ≤＝1－21k. 则当 n＝k＋1 时，S11＋S12＋…＋S1k＋Sk1＋1≤1－21k＋ 2(k＋1 1)2，
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[解] (1)由 f(x)＝x－2 2x＋2，可求得 f－1(x) ＝x＋2 2x＋2，
由 Sn＝f－1(Sn－1)，Sn＝( Sn－1＋ 2)2， ∴ Sn－ Sn－1＝ 2， ∴{ Sn}为等差数列， S1＝ a1＝ 2， ∴Sn＝2·n2， ∴n≥2 时，an＝2(2n－1)，当 n＝1 时，2(2n －1)＝2， ∴an＝2(2n－1)(n∈N＋)．
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1．用数学归纳法证题的方法步骤： (1)验证当n＝n0(命题中最小的正整数)时命题
②假设 n＝k 时，原结论成立 即：1＋12＋13＋…＋2k－1 1>2k成立． 当 n＝k＋1 时， 左边＝1＋12＋…＋2k－1 1＋21k＋…＋2k＋11－1>2k＋ 21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1>2k＋2k＋11－1＋2k＋11－1＋…＋ 2k＋11－1＝2k＋2k＋21k－1>2k＋12＝k＋2 1
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(2)b1＝lg12＝c1；b2＝lg(12＋18)＝lg58， c2＝lg68，b2<c2； b3＝lg4792，c3＝lg1102＝lg6702，∴b3<c3. 猜测：bn≤cn.
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用数学归纳法证明如下：
[证明] (数学归纳法)
①验证 n＝1，n＝2 时 bn≤cn 成立． ②假设 n＝k 时，bk≤ck 成立． 即 lg(S11＋S12＋…＋S1k)≤lg4akk成立，等价于：S11＋S12 ＋…＋S1k≤4akk ≤＝1－21k. 则当 n＝k＋1 时，S11＋S12＋…＋S1k＋Sk1＋1≤1－21k＋ 2(k＋1 1)2，
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[解] (1)由 f(x)＝x－2 2x＋2，可求得 f－1(x) ＝x＋2 2x＋2，
由 Sn＝f－1(Sn－1)，Sn＝( Sn－1＋ 2)2， ∴ Sn－ Sn－1＝ 2， ∴{ Sn}为等差数列， S1＝ a1＝ 2， ∴Sn＝2·n2， ∴n≥2 时，an＝2(2n－1)，当 n＝1 时，2(2n －1)＝2， ∴an＝2(2n－1)(n∈N＋)．
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1．用数学归纳法证题的方法步骤： (1)验证当n＝n0(命题中最小的正整数)时命题
高考数学新一轮总复习 12.5 数学归纳法考点突破课件 理
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针对训练 3．(2014·常德模拟)设 a＞0，f(x)＝a＋axx，令 a1＝1，an＋1＝f(an)，n
∈N*. (1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．
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解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；a3＝f(a2)＝2＋a a；a4＝f(a3) ＝3＋a a. 猜想 an＝n－a1＋a(n∈N*)．
• (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的 项外还要充分利用n＝k时的式子．即充分利 用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使 问题得以证明．
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针对训练 1．用数学归纳法证明：
对任意的 n∈N*，1×1 3＋3×1 5＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13， 右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立
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①当 n＝1 时，a2＝c－a11＞a1，命题成立； ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＜ak＋1 成立，则当 n＝k＋1 时， ak＋2＝c－ak1＋1＞c－a1k＝ak＋1， 故当 n＝k＋1 时，命题也成立． 由①②，知当 c＞2 时，an＜an＋1. 当 c＞2 时，令 α＝c＋ 2c2－4，则 α＋α1＝c，由 an＋a1n＜an＋1＋a1n＝c，得 an＜α.
第5课时 数学(shùxué)归纳法(理科)
第一页，共39页。
• (一)考纲点击(diǎn jī) • 1．了解数学归纳法的原理； • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题．
第二页，共39页。
• (二)命题趋势(qūshì) • 1．从考查内容看，本考点主要考查数学归
针对训练 3．(2014·常德模拟)设 a＞0，f(x)＝a＋axx，令 a1＝1，an＋1＝f(an)，n
∈N*. (1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．
第三十一页，共39页。
解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；a3＝f(a2)＝2＋a a；a4＝f(a3) ＝3＋a a. 猜想 an＝n－a1＋a(n∈N*)．
• (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的 项外还要充分利用n＝k时的式子．即充分利 用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使 问题得以证明．
第十四页，共39页。
针对训练 1．用数学归纳法证明：
对任意的 n∈N*，1×1 3＋3×1 5＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13， 右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立
第十九页，共39页。
①当 n＝1 时，a2＝c－a11＞a1，命题成立； ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＜ak＋1 成立，则当 n＝k＋1 时， ak＋2＝c－ak1＋1＞c－a1k＝ak＋1， 故当 n＝k＋1 时，命题也成立． 由①②，知当 c＞2 时，an＜an＋1. 当 c＞2 时，令 α＝c＋ 2c2－4，则 α＋α1＝c，由 an＋a1n＜an＋1＋a1n＝c，得 an＜α.
第5课时 数学(shùxué)归纳法(理科)
第一页，共39页。
• (一)考纲点击(diǎn jī) • 1．了解数学归纳法的原理； • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题．
第二页，共39页。
• (二)命题趋势(qūshì) • 1．从考查内容看，本考点主要考查数学归
高三一轮总复习理科数课件：-数学归纳法 .ppt..
试猜测 S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1 的结果，并用数学归纳法证明．
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【解】 由题意知，当 n＝1 时，S1＝1＝14； 当 n＝2 时，S1＋S3＝16＝24； 当 n＝3 时，S1＋S3＋S5＝81＝34； 当 n＝4 时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44. 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，S1＝1＝14，等式成立．
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解：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1， a21＋2a1－2＝0. ∴a1＝ 3－1(a1>0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
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「基础小题练一练」
1．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”时，在
验证 n＝1 成立时，左边应该是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解析：用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”在验证
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用数学归纳法证明等式应注意的 2 个问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成 规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值． (2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式 子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
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• 1．数学归纳法的应用 • (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数 有关的命题的证明方法，它们的表述严格 而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是 递推的基础，验算 n ＝ n0 的 n0 不一定为 1 ， 而是根据题目要求，选择合适的起始 值．第二步是递推的依据，第二步中，归 纳假设起着“已知条件”的作用，在 n＝ k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳 法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结 论”．
•
(2)在用数学归纳法证明问题的过程中， 要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变 化，防止对项数估算错误． • 2．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种， 一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出 结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想” 是“证明”的前提和“对象”，务必保证 猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法 步骤的书写．
• 解析：因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下 一个偶数为k＋2，故选B. • 答案：B
1 1 1 (2)用数学归纳法证明：“1＋2＋3＋„＋ n ＜n(n＞1)”，由 n 2 －1 ＝k(k＞1)不等式成立，_．
1 1 解析：n＝k 时，左边＝1＋2＋„＋ k ， 2 －1 当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 左边＝1＋2＋3＋„＋ k ＋„＋ k＋1 . 2 －1 2 －1 所以左边应增加的项的项数为 2k. 答案：2k
针对训练 1．用数学归纳法证明： 1 1 1 n 对任意的 n∈N ， ＋ ＋„＋ ＝ . 1×3 3×5 2n－12n＋1 2n＋1
*
1 1 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ， 1×3 3 1 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边，所以等式成立 2×1＋1 3
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1 1 1 k ＋ ＋„＋ ＝ ， 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋1 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋12k＋3 k2k＋3＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 2k＋1 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3
• 数学归纳法 • 一般地，证明一个与正整数n有关的命题， 可按下列步骤进行： 取第一个值 • (1)(归纳奠基)证明当 n n0(n0∈N*) 时 命题成立； ＝k＋ 1 • n(2)( 归纳递推 ) 假设 n ＝ k(k≥n0 ， k∈N*) 时命 题成立，证明当 • 时命题也成立．
• 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对 从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明 方法叫做数学归纳法．
2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ ， 2k＋12k＋3 2k＋3 2k＋1＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
题型二 用数学归纳法证明不等式 (2014· 安徽省级高中名校联考)已知数列{an}中，a1＝1， 1 an＋1＝c－a . n
1 ＝(k＋1)fk＋1－k＋1 －k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
• ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． • 由 (1)(2) 可 知 ： f(1) ＋ f(2) ＋ „ ＋ f(n － 1) ＝ n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． • 【归纳提升】 (1) 用数学归纳法证明等式 问题是常见题型，其关键点在于弄清等式 两边的构成规律，等式两边各有多少项， 初始值n0是几； • (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的 项外还要充分利用 n ＝ k 时的式子．即充分 利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从 而使问题得以证明．
题型一
用数学归纳法证明等式 1 1 1 设 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n∈N*)．
求证：f(1)＋f(2)＋„＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 【证明】 (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，
1 右边＝21＋2－1＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋„＋f(k －1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k
第5课时
数学归纳法(理科)
• (一)考纲点击 • 1．了解数学归纳法的原理； • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命 题．
• (二)命题趋势 • 1．从考查内容看，本考点主要考查数学归 纳法的原理和证题步骤，一般不单独命 题． • 2．从考查形式看，题型一般为解答题，常 与不等式、数列等结合在一起命题，难度 中上，考查归纳 — 猜想 — 证明的推理证明方 法．
对点演练 1 1 1 1 (1)已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－2＋3－4＋„－n＝
1 1 1 2n＋2＋n＋4＋„＋2n 时，若已假设
n＝k(k≥2 且 k 为偶数)
时命题为真，则还需要归纳假设再证 ( A．n＝k＋1 时等式成立 B．n＝k＋2 时等式成立 C．n＝2k＋2 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 )
1 (1)设数列 a －1是以 n
1 为公差的等差数列，求 c 的值；
(2)求使不等式 an＜an＋1＜3 成立的 c 的取值范围．
1 1 1 1 【解】 (1)根据题意， 得 － ＝1， 化简得 ＝ an＋1－1 an－1 an＋1－1 an－1 an 1 1 ＋1＝ ，取倒数，得 an＋1＝2－ ，对比已知条件 an＋1＝c－ ， an an an－1 得 c＝2. (2)a1＝1，a2＝c－1，由 a2＞a1，得 c＞2. 用数学归纳法证明：当 c＞2 时，an＜an＋1 对 n∈N*均成立．