第一章 1.3.2 命题的四种形式 Z
课件3：1.3.2 命题的四种形式
1.四种命题的概念 把命题“如果p，则q”看作原命题，则它的 ①逆命题是“___如__果__q，__则__p___”； ②否命题是“___如_果__非__p_，_则__非__q__”； ③逆否命题是“__如__果__非__q，__则__非_p___”．
2．四种命题间的关系
逆命题
否命题
逆否命题
3．四种命题的真假性关系 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定 与原命题真假性相同的是__逆__否__命__题__． (2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真 假性__没__有__关_系___．
[答案] 若a<1，则a≤1 [解析] 原命题亦即其逆否命题的逆否命题，只需要 写出“若a>1，则a≥1”的逆否命题即可．这里要注意 两者的同真同假的特点，有时需要通过真假性的统一 性来判断答案是否正确．
6．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p， 则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命 题．
第一章 常用逻辑用语 §1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
在商品大战中，广告成了一道美丽的风景线．几乎所 有的广告商都熟悉这样的命题变换艺术：“拥有的人 们都幸福，幸福的人们都拥有”．初听起来，是几句 赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句话，变 成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”．哪个家庭 不希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通过这样 巧妙的命题变换达到了目的.
当 a<0 时，二次函数 f(x)＝ax2－2ax－3 开口向下，只需满 足 Δ≤0 即可，
即aΔ<≤00 ，所以a4<a20＋12a≤0 ， 所以a－<30≤a≤0 ， 所以－3≤a<0. 综上所述，a 的取值范围是[－3,0]．
1、1-3-2命题的四种形式
选修1-1 1.3.2命题的四种形式一、选择题1．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题[答案] A3．命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是()A．a、b都不是偶数，则a＋b不是偶数B．a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数C．a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数D．a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数[答案] D[解析]注意：“都是”的否定为“不都是”．4．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．能被6整除的整数，一定不能被3整除[答案] B[解析]9能被3整除，但不能被6整除，排除A；9不能被6整除，但能被3整除，排除C；12能被6整除，也能被3整除，排除D.5．与命题“若a∈A，则b∉A”等价的命题是()A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∉AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A[答案] D[解析]逆否命题与原命题等价．6．如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是() A．若p，则q B．若¬p，则¬qC．若¬q，则¬p D．以上都不对[答案] B[解析]因为命题，“若q，则p”为真，所以“若¬p，则¬q”为真．7．已知命题甲：p⇒q，命题乙：q⇒p，命题丙：¬p⇒¬q，命题丁：¬q⇒¬p.(1)若甲真则乙为真；(2)若乙真则丙为真；(3)若丙真则丁为真；(4)若丁真则甲为真．说法正确的是()A．(1)(2) B．(3)(4)C．(2)(3) D．(2)(4)[答案] D[解析]原命题与它的逆否命题真值相同．命题“q⇒p”的逆否命题是“¬p⇒¬q”．命题“¬q⇒¬p”的逆否命题是“p⇒q”．8．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则命题a<0”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案] A[解析]原命题为真，故逆否命题为真．逆命题为真，故否命题为真．9．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．4 B．3C．2 D．0[答案] C[解析]当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．10．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”为真，故逆否命题为真，逆命题为假，故否命题为假．二、填空题11．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是____________________．[答案]若x>－3，则x2＋x－6≤012．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________；逆否命题是____________________．[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3，或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：若x＋y≠8，则x≠3，或y≠5.13．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．[答案]假[解析]假如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．14．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．[答案]若A∪B≠B，则A B若A B，则A∪B≠B三、解答题15．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．16．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.[解析]若a>b，由c≤0知b≥b＋c，∴a>b＋c.∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c≤0，若有a≤b＋c成立，则a≤b.17．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．[解析] 解法1：是真命题．∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题．解法2：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．。
1.3.2_命题的四种形式
C充分不必要
D不充分不必要
练习4、
注、等价法 1.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. （转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的 （ Ａ ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
充分条件与必要条件
练习： 1．设p是q的充分不必要条件，则 p是 q 的 必要不充分 条件．
2.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
3：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
2．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否 命题： ；
3．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是
偶数”的否命题和逆否命题． 4．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的 真假.
5. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根” 的逆否命题 ④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题 A.①② C.①②③ B.②③ D.③④
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
1.3.2命题的四种形式
例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式， 2.把下列命题改写成 把下列命题改写成“ q”的形式 的形式， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题， 同时指出它们的真假。 同时指出它们的真假。 两个全等的三角形的三边对应相等； （1）两个全等的三角形的三边对应相等； 四边相等的四边形是正方形； （2）四边相等的四边形是正方形； 负数的平方是正数； （3）负数的平方是正数； 例3.设原命题是“当c>0时，若a>b，则 3.设原命题是 设原命题是“ >0时 ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否 ac>bc” 写出它的逆命题、 命题，并分别判断它们的真假. 命题，并分别判断它们的真假.
例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、 1.写出命题“ 写出命题 =0,则ab=0”的逆命题、 的逆命题 否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。 否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。 =0,则ab=0是真命题 是真命题； 解：原命题：若a=0,则ab=0是真命题； 原命题： 逆命题： ab=0， =0是假命题 是假命题； 逆命题：若ab=0，则a=0是假命题； 否命题： ≠0， ab≠0”是假命题 是假命题； 否命题：若a≠0，则ab≠0”是假命题； 逆否命题： ab≠0， ≠0”是真命题 是真命题； 逆否命题：若ab≠0，则a≠0”是真命题； 副产品：原命题为真， 副产品：原命题为真，它的否命题不一 定为真；原命题为真， 定为真；原命题为真，它的逆否命题一定 为真. 为真.
3．把下列命题写成“若p则q”的形式，并 把下列命题写成“ 的形式， 判断其真假. 判断其真假. (1)实数的平方是非负数； (1)实数的平方是非负数 实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形 等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整 (3)能被 整除的数既能被3整除也能被2 能被6 除； (4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所 (4)弦的垂直平分线经过圆心 弦的垂直平分线经过圆心， 对的弧. 对的弧.
原创2：1.3.2 命题的四种形式
(2)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 m·n<0. 否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n≥0.
题型二 四种命题真假的判断 【例 2】 有下列四个命题： ①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题； ②“若 a>b，则 a2>b2”的逆否命题； ③“若 x≤－3，则 x2－x－6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是________． [思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关 知识判断真假．
4分
即 4a－7≥0，
解得 a≥74.
8分
因为 a≥74，所以 a≥1，所以原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．12 分
【题后反思】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即 互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个 命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
(2)“如果 p，则 q”的否定为“如果 p，则綈 q”，其否命题为
“如果綈 p，则綈 q”． (3)命题的否定的真假性与原命题相反，而否命题的真假性与原 命题的真假性没有关系．
题型一 四种命题之间的转换 【例 1】 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直 于平面； (2)如果 x>10，那么 x>0； (3)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0. [思路探索] 可先分清命题的条件和结论，写成“若 p，则 q” 的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．
解 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内 的两条相交直线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线， 那么直线不垂直于平面； 逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内 的两条相交直线． (2)逆命题：如果 x>0，那么 x>10； 否命题：如果 x≤10，那么 x≤0； 逆否命题：如果 x≤0，那么 x≤10.
第一章1.3.2命题的四种形式
解 ： 逆 命 题 ： 若 方 程 x 2+ 2 x + 3 m = 0 无 实 根 ，
则m＞2,假命题.
否 命 题 : 若 m ≤ 2 , 则 方 程 x 2+ 2 x + 3 m = 0 有 实
根,假命题.
逆 否 命 题 : 若 方 程 x 2+ 2 x + 3 m = 0 有 实 根 , 则 m≤2,真命题.
确的可举一反例进行否定.
（2）对于命题在判断它的真假时, 如果直接判断有难度可以利用原
命题与逆否命题、逆命题与否命
题的等价性，先判断等价命题的
真假，由等价命题的真假确定原
来命题的真假.
变式训练 2 .已知命题：若m＞2,则方程 x 2+ 2 x + 3 m = 0 无 实 根 . 写 出 该 命 题 的 逆命题、否命题和逆否命题，并判 断真假.
( x - 1 ) 2+ ( y - 1 ) 2+ ( z - 1 ) 2≥ 0 , ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛 盾，因此a、b、c中至少有 一个大于0.
规律方法总结
于原命题与逆否命题等价，因此，
如果证原命题为真有困难时，可以通
过证明它的逆否命题为真命题，来间 接地证明原命题为真命题.由此引出一 种新的证明方法——反证法.
故“如果f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0” 是真命题.
（2）逆否命题：如果
f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)，则a+b<0,是真 命题. 因为一个命题和它的逆否命题等价， 证明：
1.3.2命题的四种形式
么它的逆命题用那种形式表述？ 若q,则p
1 写出下列命题的逆命题并判断真假：
(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂 直于平面； (2)两个全等三角形的面积相等； (3)若三角形是等腰三角形，则三角形两腰上的中线相等．
解:(1)如果直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两 条相交直线．这是真命题．
我们来把这个命题改写一下:
若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数.
定义我们把如它果一的个条命件题与的结条论件交和换结论,得分到别
是新另的一命个题命:题的结论和条件,那么我们把这样
的 原若两 命f(个 题x),命是另题一周叫个期做叫互函做逆数原命命,则题题.f其的(x中逆)是一命个题正命.弦题函叫数做．
原命题：同位角相等,两直线平行． 真 逆命题：两直线平行,同位角相等． 真
否命题：同位角不相等,两直线不平行．真
逆否命题：两直线不平行, 同位角不相等．
真
原命题：若 x2 3x 2 0 ,则 x 2 ． 假 逆命题：若 x 2 ,则 x2 3x 2 0 ． 真 否命题：若 x2 3x 2 0 ,则 x 2 ． 真 逆否命题：若 x 2 ,则 x2 3x 2 0 ．假
逆否命题 真 真 假 假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这 四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系．
2 证明：若 p2 q2 2 ，则 p q 2 ．
分析:将“若 p2 q2 2 ，则 p q 2 ”视为原
逆否命题：若两个角不相等,则这两个角不是对 真
顶角．
2021年高中数学第一章常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式课件7新人教B版选修2_1
(4)假设x2＋y2＝0，那么x，y全为0.
逆命题：假设x，y全为0，那么x2＋y2 ＝0； 否命题：假设x2＋y2≠0，那么x，y不全为0； 逆否命题：假设x，y不全为0，那么x2＋y2≠0
(5)假设a＋b是偶数，那么a，b都是 偶数
逆命题：假设a，b都是偶数，那么a＋b是偶数； 否命题：假设a＋b不是偶数，那么a，b不都是偶数； 逆否命题：假设a，b不都是偶数，那么a＋b不是偶数.
命题的四种形式
命题的四种形式
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
表述形式
若p,则q 若q ,则 p
若p,则 q 若q,则 p
关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法： 首先：把原命题整理成“假设p，那么q〞． 其次： (1)“换位〞得到“假设q,那么p〞，即为逆命题； (2)“换质〞(分别否认)得到“假设非p，那么非q
(3)原命题：若 m>14，则 mx2－x＋1＝0 无实根．(真)
否命题：若 m≤14，则 mx2－x＋1＝0 有实根．(真)
逆否命题：若 mx2－x＋1＝0 有实根，则 m≤14.(真)
(4)原命题：假设abc＝0，那么a＝0或b＝0或c＝ 0.(真)
否命题：假设abc≠0，那么a≠0且b≠0且 c≠0.(真)
A.逆命题 B.逆否命题 D.以上判断都不对
C.否命题
[答案] B
逆否命题：假设a≠0且b≠0且c≠0，那么
(5)原命题：假设x2－2x－3＝0，那么x＝3或x＝－1.(真)
否命题：假设x2－2x－3≠0，那么x≠3且x≠－1.(真)
逆否命题：假设x≠3且x≠－1，那么x2－2x－ 3≠0.(真)
▪ 2.写出以下命题的否命题及命题的否认形式，并 判断真假．
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 命题的四种形式课件 新人教B版选修2-1.pptx
互否 命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的 否定 和 结论的否定 ，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做 原命题，那么另一个叫做原命题的__否__命__题__
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_结__论__的__否__定__和__ 互为逆 _条__件__的__否__定___，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题 否命题 叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_逆__否__命__题___
11
类型一 四种命题的关系及真假判断
命题角度1 四种命题的写法 例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否 命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0；
解答
原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0. 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数. 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0. 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－ 2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④
B.①③④
C.②③④
答案 解析
D.①④
21
类型二 等价命题的应用 例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a) ＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
第一章 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.2 命题的来自种形式1学习目标
1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和 逆否命题.
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 3.会利用命题的等价性解决问题.
命题的四种形式
（1）原命题的真假和逆命题的真假没有关系； （2）原命题的真假和否命题的真假没有关系。 说明：对于命题在判断真假时，如果直接判断有难度可 以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性， 先判断等价命题的真假，再确定原来命题的真假。
变式：若将例2中的命题改为:
2 2
若关于x的不等式x (2a 1) x a 2 0的解集为空集， 则a 2, 其余不变，应如何作答？
1.3.2 命题的四种形式
一、命题的四种形式
如果p ,则 q， 其中p为命题的条件，q为命题的结论，
若p为原命题条件，q为原命题结论，则：
原命题： 如果p ,则 q 逆命题： 如果q, 则 p （条件和结论“换位”所得）
即分别否定
否命题： 如果 p,则 q（条件和结论“换质”所得） 逆否命题：如果q ,则 p （条件和结论“换位”又 “换质”所得）
二、四种命题之间的关系:
原命题 若p则q 逆命题 若q则p
Hale Waihona Puke 互逆互 否互为
逆否
互 否
否命题 若﹁ p则﹁ q
互逆
逆否命题 若﹁ q则﹁p
题型一 命题的四种形式的转换及真假判断 练习：试写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真 假： 1、 原命题： a 与 b 是两向量，如果 a 垂直于 b ，则 a b 0 （真） 逆命题： a与b 是两向量， （真） 如果a b 0, 则a垂直于b.
否命题： a与b 是两向量，如果a不垂直于b , 则a b 0. 如果 a b 0 ，则 a 不垂直于 b 。 逆否命题： a与b 是两向量，
（真）
（真）
1.3.2命题的四种形式
逆否命题：“若x 2且y 3, 则x y 5”
练习：
证明：若a b 2a 4b 3 0, 则a b 1
2 2
逆否命题为：若a b 1, 则a 2 b 2 2a 4b 3 0
命题的否定与否命题 区别： 1）概念：命题的否定形式是直接对命题的
解得
7 a 4
4a 7 0
，所以原命题为真，
又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真。
课堂小结：
通过这节课的学习，你学到了那些知识呢？
1、四种命题形式： 原命题：若p则q. 否命题： 若¬ p则 ¬ q.
真
（3）四条边都相等的四边形是正方形. 改写:若一个四边形的四条边都相等,则它是正方形. 假 逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边都相等真 . 否命题:若一个四边形的四条边不都相等,则它不是 正方形. 逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边 不都相等. (4) 若a2>b2,则a>b. 逆命题: 若a>b,则a2>b2. 否命题:若a2≤b2,则a≤b. 假 假 真 假
1.3.2
命题的四种形式
知识回顾
1.命题的概念
判断 一个语句是不是命题，关键能否判断真假。
2.能指出命题的条件和结论
有些命题可改写成：“若p,则q”的形式 其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
3.命题的否定（非）
命题的否定是只否定原命题的结论，即“若p,则¬ q” 全称命题和存在性命题的否定
下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件 和结论之间分别有什么关系?
假 逆否命题:若a≤b,则a2≤b2. 假
四种命题的真假性间有什么规律呢？
21-22版：1.3.2 命题的四种形式（步步高）
1．3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.理解并掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.3.能够利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念四种命题的定义命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．( × )3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．( √ ) 4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．( √ )一、四种命题的概念例1 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题． (1)相似三角形对应的角相等； (2)当x >3时，x 2－4x ＋3>0； (3)正方形的对角线互相平分．解 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角不对应相等；逆否命题：若两个三角形的三个角不对应相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x >3，则x 2－4x ＋3>0；逆命题：若x 2－4x ＋3>0，则x >3；否命题：若x ≤3，则x 2－4x ＋3≤0；逆否命题：若x 2－4x ＋3≤0，则x ≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形． 反思感悟 四种命题的写法(1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题． (2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．跟踪训练1 写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)若sin α＝12，则tan α＝3；(2)若a ＋b 是偶数，则a ，b 都是偶数； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)当1<x <2时，x 2－3x ＋2<0； (5)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.解 (1)逆命题：若tan α＝3，则sin α＝12.否命题：若sin α≠12，则tan α≠ 3.逆否命题：若tan α≠3，则sin α≠12.(2)逆命题：若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数． 否命题：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数． 逆否命题：若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数． (3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． (4)逆命题：若x 2－3x ＋2<0，则1<x <2. 否命题：若x ≤1或x ≥2，则x 2－3x ＋2≥0. 逆否命题：若x 2－3x ＋2≥0，则x ≤1或x ≥2. (5)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0. 否命题：若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠0. 逆否命题：若a ≠0，且b ≠0，则ab ≠0. 二、四种命题的真假判断 例2 下列命题：①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题； ②“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ①②解析 ①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；②“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“若a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．故填①②. 反思感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握． 跟踪训练2 按要求写出下列命题并判断真假． (1)“正三角形都相似”的逆命题；(2)“若m >0，则x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆否命题； (3)“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．(2)原命题的逆否命题为“若x 2＋2x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m <0，∴m <－1，即m ≤0成立，故为真命题．(3)原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”．∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数，故为真命题． 三、等价命题的应用例3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．解 方法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下： 二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上， 令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题． 方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假． 因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 即4a －7≥0，解得a ≥74＞1，所以原命题为真，故其逆否命题为真． 延伸探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假．解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0， 所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题．反思感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练3证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A答案 B解析命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是()A．若a，b，c成等差数列，则a＋c≠2bB．若a，b，c不成等差数列，则a＋c≠2bC．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列D．若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 D解析命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是“若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列”．3．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题； ②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；③当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的应用 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 命题：“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”． ∵该逆命题为真命题，∴由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，得1≤m ≤2.1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。
1.3.2命题的四种形式
小试牛刀
（1）若f (x)是正弦函数，则f (x)是周期函数； （2）若f (x)是周期函数，则f (x)是正弦函数； （3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数； （4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。
(1)(2)互为 ___逆_命__题___,(1)(3)互为 __否__命_题____, (1)(4)互为 __逆_否__命_题___,(2)(3)互为 __逆_否__命_题___。
命题3：若A开关不闭合，则B灯不亮。 假命题
命题4：若B灯不亮，则A开关不定亮。(真)
p
q
命题2：若B灯亮，则A开关一定闭合。(假)
命题3： 若A开关不闭合，则B灯不亮。(假)
命题4： 若B灯不亮，则A开关不闭合。(真)
请观察上面命题2-4中的条件和结论与命 题1中的条件和结论有什么区别与联系？
思维提升：判断“若a+b≠5,则a≠2或b≠3”的真假。
逆否命题：“若a=2且b=3,则a+b=5”。
总结
1、四种命题的概念
知识层面：2、会根据已知命题写出逆命题、否命题、
逆否命题 3、四种命题的相互关系、真假关系
方法层面：12、 、体 体会 会从归具纳体总到结一的般思的想思方想 法方法
3、体会“正难则反”的思想方法
例题
分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假：
（1）若 x 5, 则 x2 25。
（2）若a b，则 ac2 bc2。
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 等。
思考： 根据表格，四种命题的真假性是否
有一定的关系呢？
【做一做】 与命题“如果x>2,则x2>4”互逆的命题是 ( D ) A.如果x>2,则x2<4 B.如果x≤2,则x2≤4 C.如果x2≤4,则x≤2 D.如果x2>4,则x>2
课件1：1.3.2命题的四种形式
§1.3.2 命题的四种形式
高中数学选修2-1·同步课件
1．知识与技能 通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利 用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决 有关问题． 2．过程与方法 通过实例，让学生去发现四种命题形式间的逻辑关系， 并能用命题间的关系去验证某些命题． 3．情感态度与价值观 在学习过程中，让学生通过具体的命题，经过归纳， 初步的解释说明，感受探索的乐趣．
重点：会分析四种命题的相互关系． 难点：正确地写出原命题的否命题．
1．四种命题真假判断： (1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假． (2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假． (3)原命题为真，它的逆否命题一定为真． (4)互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一 个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它 们同真同假． 综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真 命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．
[说明] 命题的否定形式与否命题是两个不同的概念， 要注意区别，不能混淆．
写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真 假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根； (2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数； (3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.
[解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m ＝0无实根，假命题．
解法二：先判断原命题的真假． 因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋ a2＋2≤0 的解集非空， 所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即 4a－7≥0，解得 7 a≥4. 因为 a≥74>1，所以原命题为真． 又因为原命题与逆否命题等价，所以逆否命题为 真．
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你能据此说出反证法的原理么? 互为逆否命题的两个命题的等价性是反证法的 逻辑基础.
练习2 书P23 练习A
练习3 把下列命题改成“若p则q”的形式，并写出 它的逆命题、否命题与逆否命题,同时判断 它们的真假. (1) 两个全等三角形相似.
假
假
”当c>0时“是大 前提,写其它命 题时应保留.
否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc. 真 逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b. 真
例2 的
把下列命题改成“若p则q”的形式，并写出它
逆命题、否命题与逆否命题,同时判断它们的 真假. （1）两个全等三角形的三边对应相等. 改写:若两个三角形全等,则这两个三角形的三边 对应相等. 真 逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个 三角形全等. 真 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形 不是三边对应相等. 真 逆否命题:若两个三角形不是三边对应相等,则这 真 两个三角形不全等.
观察前面这些每四个命题之间的真假关系,你能得出怎 样的结论?
一般地,互为逆否命题的两个命题,要么都是 真命题,要么都是假命题.即互为逆否的两个 命题同真假.
注:四个命题中真命题的个数要么是0,要么 是2,要么是4. 互为逆否命题的两个命题可以认为是等 价命题.
练习1 判断命题:“若x2≠1,则x≠1”的真假.
两条平行直线的同位角相等
改写１：若两直线平行，则同位角相等 改写２：若两个角是两条平行线的同位角， 则这两个角相等
例3 写出下列命题的否定与否命题， 并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y； （2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2； （3）p：正方形的四条边相等； （4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0 有非空实解集，则a2-4b≥0。 命题的否定：若x＞y,则5x 5y 否命题：若x y,则5x 5y
改写:若两个三角形是全等三角形,则它们相似. 逆命题:若两个三角形相似,则它们是全等三角形. 否命题:若两个三角形不是全等三角形,则它们不相 似. 真 假 假
逆否命题:若两个三角形不相似,则它们不是全等三 真 角形.
(2) 负数的平方是正数. 改写:若一个数是负数,则这个数的平方是正数. 真
逆命题: 若一个数的平方是正数,则这个数是负数. 假 否命题: 若一个数不是负数,则这个数的平方 假
一般地,四种命题的形式
原命题: 逆命题:
否命题:
若p则q 若q则p
若非p则非q
非p、非q分别表 示p和q的否定
逆否命题: 若非 q则非 p
四种命题之间的 关系
原 命 题 与 逆 否 命 题 同 真 假 。
原命题
若p则q
互逆
逆命题
若q则p
互 否
互 否
互逆
否命题
若﹁p则﹁q
逆否命题
若﹁q则﹁p
原 命 题 的 逆 命 题 与 否 命 题 同 真 假。
（2）四条边相等的四边形是正方形. 改写:若一个四边形的四条边相等,则它 假 是正方形. 逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条 边相等. 真
改写形式 有时不是 惟一的.
否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它 不是正方形. 真 逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的 四条边不全相等. 假
如 改 写 “ 两 条 平 行 线 的 同 位 角 相 等 ” .
1.3.2 命题的四种形式
命题:能够判断真假的语句叫做命题.
思考下面的命题②③④与命题①有何关系? ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; ②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等; ③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不 相等; ④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不 全等.
②与①互 为逆命题 ③与①互 为否命题 ④与①互为 逆否命题
不是正数.
逆否命题:若一个数的平方不是正数,则这个数不
是负数.
真
练习4 如果否命题为“若x+y≤0,则x≤0”,写出相应的 原命题,逆命题与逆否命题. 原命题:若x+y>0,则x>0.
逆命题:若x>0,则 x+y>0. 逆否命题:若x≤0,则 x+y≤0.
练习5 写出命题“若x≠y,则x2≠y2”的逆命题、否命 题与逆否命题, 并判断真假.
逆命题: 否命题: 若x2≠y2,则x≠y. 若x=y,则x2=y2. 真 真 假
逆否命题: 若x2=y2,则x=y.
小结: 四种命题的一般形式及相互关系 四种命题的真假关系
练习：写出下列命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
（4）p：任意素数都是奇数；
（5）p：每个指数函数都是单调函数；
（6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等；
友情提醒:
1、P∨q的否定形式为: ┒P且┒q 2、P∧q的否定形式为: ┒P或┒q
例1 写出命题“ 若a=0,则ab=0 ”的逆命题、否命题
与逆否命题,并判断它们的真假.
原命题 真 逆命题: 若ab=0,则a=0. 否命题:若a≠0,则ab≠0. 逆否命题:若ab≠0,则a≠0. 假 假 真
练习1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题, 并判断它们的真假. (1) 若a2>b2,则a>b. 逆命题: 若a>b,则a2>b2. 否命题:若a2≤b2,则a≤b. 逆否命题:若a≤b,则a2≤b2. (2) 当c>0时,若a>b,则ac>bc. 逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b. 真 真 假 假
命题的否定与否命题是完全不同的概 念
1．原命题“若P则q” 的形式，它的非命题 “若p，则q”；而它的否命题为 “若┓p， 则┓q”，既否定条件又否定结论。 2．任何命题均有否定，无论是真命题还是 假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提 出来的。 3．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题， 两者的真假性必然是一真一假，一假一真； 而否命题与原命题可能是同真同假，也可 能是一真一假。