高二数学直线的方程练习一
直线方程高二数学选择性必修第一册)(原卷版)
专题3直线方程目录【题型一】倾斜角.............................................................................................................................1【题型二】斜率.................................................................................................................................2【题型三】直线平行与垂直.............................................................................................................3【题型四】截距式及截距应用.........................................................................................................4【题型五】动直线（含参）...........................................................................................................5【题型六】动直线与距离最值.........................................................................................................6【题型七】动直线:三角函数型（切线型）................................................................................7【题型八】双动直线.........................................................................................................................8【题型九】平行线之间的距离.........................................................................................................8培优第一阶——基础过关练.............................................................................................................9培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................11培优第三阶——培优拔尖练.. (12)【题型一】倾斜角【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）直线5πcos sin 0,0,6x y θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的斜率的取值范围为（）A ．(-∞B ．(2,)+∞C ．(D ．(,2)-∞1.（2021·北京市第十二中学高二阶段练习）直线cos 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.（2021·全国·高二期中）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，若k ⎡⎤∈⎣⎦，则α的取值范围为（）A ．20,,43πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．50,,46πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.（2022·江苏·高二专题练习）若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【题型二】斜率【典例分析】（2021·全国·高二单元测试）已知四边形OABC 各顶点的坐标分别为(0,0)O ，(2,1)A ，()1,3B ，(1,2)C -，点D 为边OA 的中点，点E 在线段OC 上，且DBE ∆是以角B 为顶角的等腰三角形，记直线EB ，DB 的倾斜角分别为α，β，则sin()αβ+=A ．35-B ．45-C ．35D ．451.（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线():12l y k x =--与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭2.（2022·全国·高二课时练习）若直线l 经过点()1,2A ，且在x 轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭3..（2022·全国·高二课时练习）设集合()3,2,,1y A x y x y R x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭，(){},4160,,B x y x ay x y R =+-=∈，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),44,-∞⋃+∞B ．()(),22,-∞--+∞C ．()()(),22,44,-∞-⋃-⋃+∞D ．()()(),44,22,-∞-⋃-⋃+∞【题型三】直线平行与垂直【典例分析】.（2022·全国·高二单元测试）已知点()1,1A -，()3,5B ，若点A ，B 到直线l 时距离都为2，则直线l 的方程不可能为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -++=C ．3y =D ．10x y --=1.（2021·四川绵阳·高二阶段练习（理））已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若AB =∅，则实数=a （）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或12..（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知0a >，0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则2112a a b+++的最小值为（）A ．2B ．4C ．45D ．953.（2021·全国·高二专题练习）已知直线21cos 20l x α+=：，若12l l ⊥，则2l 的倾斜角的取值范围是（）A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型四】截距式及截距应用【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（）A ．4B ．5C ．6D ．71.（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题：①存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；②存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有二条；③存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条．其中，所有真命题的序号是．A ．①②③B ．③④C ．②④D ．②③④2.（2022·全国·高二课时练习）过点()1,3作直线l ，若l 经过点(),0a 和()0,b ，且,a b *∈N ，则可作出这样的直线l 的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．多于33.（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线40kx y k -+-=在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A ．270x y --=B ．270x y -+=C ．260x y +-=D ．260x y +-=【题型五】动直线（含参）【典例分析】2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）不论k 为何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A ．()5,2B ．()2,3C ．()5,9D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭1.（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（）A ．(0,0)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,3)-2.（2021·湖北·高二阶段练习）无论m 为何值，直线21y mx m =++所过定点的坐标为（）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)3.已知直线0)2()3(=-++-n y n m x n m 则当m 、n 变化时，直线都通过定点【题型六】动直线与距离最值【典例分析】（2022·江苏·高二单元测试）已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）A ．(B ．⎡⎣C ．(0,D ．0,⎡⎣【变式训练】1.（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）原点到直线l ：()342220x y x y λ+-+++=的距离的最大值为（）A ．25B ．CD 2.（2021·河北·大名县第一中学高三阶段练习）已知点(2,2)P -，直线:(2)(1)460l x y λλλ+-+--=，则点P 到直线l 的距离的取值范围为__________.3.（2021·全国·高二阶段练习）对于任意实数k ，直线()()2120k x k y --＋＋＝与点()22--，的距离为d ，则d 的取值范围是（）A ．0⎡⎣B ．(C ．0⎡⎢⎣⎦D ．0⎛ ⎝⎦【题型七】动直线:三角函数型（切线型）【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=（02θπ≤≤），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M 中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P 不在M 中的任一条直线上；⑥对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A ．3B ．4C ．5D ．61.（2021·浙江省青田县中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 内，点(1,1)M ，集合{}=(,)|cos sin 2,P x y x y R θθθ-=∈，任意的点N P ∈，则||MN 的取值范围是___________.2.（2022·江苏·高二单元测试）已知直线12:10,:10,l ax y l x ay a R -+=++=∈，以下结论不正确的是（）A ．不论a 为何值，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．若1l 与2l 交于点M ．则MO3.（2021·吉林·白城一中高二阶段练习）已知集合S ={直线l sin cos |1,x y m nθθ+=其中,m n 是正常数[)0,2θ∈π}，下列结论中正确的是（）A ．当4πθ=时，S 中直线的斜率为n mB ．S 中所有直线均经过同一个定点C ．当m n ≥时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2nD ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面【题型八】双动直线【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）设R m ∈，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．1.（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．62.（2023·全国·高三专题练习）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（）AB ．5C ．D ．523.（2022·全国·高二）过定点A 的直线()0x my m R -=∈与过定点B 的直线()30mx y m m R +-+=∈交于点(),P x y ，则22||PA PB +的值为（）AB ．10C ．D ．20【题型九】平行线之间的距离【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x xc ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A ．1B ，13C ，12D ．11.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2.（2022·全国·高二课时练习）若P ，Q 分别为直线34120x y +-=与直线6810x y ++=上任意一点，则PQ 的最小值为（）A ．32B ．135C ．2310D ．523.（2022·全国·高二期末）某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和230x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（）A ．B ．C ．2D ．4培优第一阶——基础过关练1.（2022·全国·高二）直线sin 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2..（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知两点()3,4A -，()3,2B ，直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______．3.（2021·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二期中（文））“2m =-”是“直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（2022·江苏·高二课时练习）已知k ∈R ，223b k k =-+，则下列直线的方程不可能是y kx b =+的是（）A ．B ．C ．D ．5.（2022·浙江舟山·高二期末）下列对动直线()()34330m x y m m R ++-+=∈的四种表述不正确的是（）A ．与曲线C ：2220x y +=可能相离，相切，相交B ．恒过定点()3,3-C ．3m =-时，直线斜率是0D ．1m =时，直线的倾斜角是135°6.（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线()():324220l x y λλλ++++-=的距离的最大值为（）A ．5B ．25C ．D ．5广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数,x y 满足cos sin 1x y αα+=，则_______．8.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期末）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．6D ．39.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A3B C D ．3培优第二阶——能力提升练1.（2018·四川省资阳中学高一阶段练习（理））已知()11αtanαx x 0,2x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭为直线的倾斜角，且则倾斜角α的取值范围为_________2..（2022·全国·高二）设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对3..（2022·全国·高二课时练习）已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（）A ．24B ．20C ．4D ．04.（2022·全国·高二专题练习）已知0a b >>0，，直线xy b a+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．105.（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（）A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直6.（2021·江苏·高二专题练习）已知直线:10(00)l Ax By C A B ++-=>>，恒过定点()0m，，若点()22，到直线l 的最大距离为2，则112A C+的最小值为（）A ．14B ．34C ．4D ．927.（2022·全国·高二课时练习）对于直线系:cos (1)sin 2M x y θθ+-=，02θπ≤≤，下列说法错误的有（）．A ．存在定点C 与M 中的所有直线距离相等B ．M 中不存在两条互相平行的直线C ．M 中存在两条互相垂直的直线D ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上8.（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）已知m R ∈，动直线1l ：10x my +-=过定点A ，动直线2l ：230mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为______.9..（2021·湖北·武汉市第十一中学高二阶段练习）若动点()11,M x y ，()22,N x y 分别在直线70x y ++=与直线50x y ++=上移动，则MN 的中点P 到原点的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．培优第三阶——培优拔尖练.1.（2022·全国·高二课时练习）1:1l x =与直线sin cos 1042x y ππααα⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭的夹角是（）A ．αB ．2πα-C ．2πα-D ．πα-2.（2023·全国·高三专题练习）曲线13y =与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭U B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）过坐标原点O 作直线l ：()()2160a x a y ++--=的垂线，垂足为(),H s t ，则22s t +的取值范围是（）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,84.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[)0,36.2023·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 三个数成等差数列，直线0bx ay c -+=恒过定点A ，且A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为（）A ．23B ．43C ．2D ．47.（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）直线系:(3)cos sin 2A x y αα-+=，直线系A 中能组成正三角形的面积等于______.8.（2021·江苏·高二专题练习）设m R ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点()P x y ，，则PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．⎡⎣D ．5⎡⎣9.（2021·全国·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线m 被直线1:10l x y +-=与2:30l x y +-=所截得的线段为AB ，则AB 的长为（）A ．1BC D ．2。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
高二数学直线的方程测试卷
典型例题一例1 直线l 过点P （－1 ：3） ：倾斜角的正弦是54：求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切 ：注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：54sin =α ： 所以：34tan ±=α ： 直线过点P （－1 ：3） ：由直线的点斜式方程得到：()1343+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程 ：在计算中 ：要注意当不能判断倾斜角α的正切时 ：要保留斜率的两个值 ：从而满足条件的解有两个．典型例题二例2 求经过两点A （2 ：m ）和B （n ：3）的直线方程．分析：本题有两种解法 ：一是利用直线的两点式 ：二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式 ：只涉及到n 与2的分类 ：如果选用两点式 ：还要涉及m 与3的分类．解：法一：利用直线的两点式方程∵直线过两点A （2 ：m ）和B （n ：3）（1）当3=m 时 ：点A 的坐标是A （2 ：3） ：与点B （n ：3）的纵坐标相等 ：则直线AB 的方程是3=y ：（2）当2=n 时 ：点B 的坐标是B （2 ：3） ：与点A （2 ：m ）的横坐标相等 ：则直线AB 的方程是2=x ：（3）当3≠m ：2≠n 时 ：由直线的两点式方程121121x x x x y y y y --=--得： 223--=--n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程（1）当2=n 时 ：点B A ,的横坐标相同 ：直线AB 垂直与x 轴 ：则直线AB 的2=x ： （2）当2≠n 时 ：过点B A ,的直线的斜率是23--=n mk ： 又∵过点A （2 ：m ）∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：()223---=-x n mm y 说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件 ：并体会分类讨论的思想方法．典型例题三例3 把直线方程()00≠=++ABC c By Ax 化成斜截式______ ：化成截距式______． 分析：因为0≠ABC ：即0≠A ：0≠B ：0≠C ：按斜截式、截距式的形式要求变形即可．解：斜截式为BC x B A y --= ：截距式为A C x -+BC Y -＝1说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．典型例题四例4 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．分析：将直线的方程化为斜截式 ：得出直线的斜率 ：再由斜率和倾斜角的关系 ：得出关于θ的一个三角不等式即可．解：已知直线的方程为323cos --=x y θ ：其斜率3cos θ-=k ． 由313cos ≤=θk ：得31tan ≤α ：即33tan 33≤≤-α． 由[)πα,0∈ ：得),65[6,0πππα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈． 说明：解题易得出错误的结果⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππα ：其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．典型例题五例5 直线l 经过点)2,3( ：且在两坐标轴上的截距相等 ：求直线l 的方程． 分析：借助点斜式求解 ：或利用截距式求解． 解法一：由于直线l 在两轴上有截距 ：因此直线不与x 、y 轴垂直 ：斜率存在 ：且0≠k ． 设直线方程为)3(2-=-x k y ：令0=x ：则23+-=k y ：令0=y ：则kx 23-=．由题设可得k k 2323-=+- ：解得1-=k 或32=k ． 所以 ：l 的方程为)3(2--=-x y 或)3(322-=-x y ．故直线l 的方程为05=-+y x 或032=-y x ．解法二：由题设 ：设直线l 在x 、y 轴的截距均为a ． 若0=a ：则l 过点)0,0( ：又过点)2,3( ：∴l 的方程为x y 32=：即l ：032=-y x ． 若0≠a ：则设l 为1=+a ya x ．由l 过点)2,3( ：知123=+aa ：故5=a ．∴l 的方程05=-+y x ．综上可知 ：直线l 的方程为032=-y x 或05=-+y x ．说明：对本例 ：常见有以下两种误解：误解一：如下图 ：由于直线l 的截距相等 ：故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ：则直线方程为32-=-x y ：若1-=k ：则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为01=-+y x 或05=-+y x ．误解二：由题意 ：直线在两轴上的截距相等 ：则可设直线方程为1=+aya x ．由直线过点)2,3( ：得123=+aa ：即5=a ：也即方程为05=-+y x ． 在上述两种误解中 ：误解一忽视了截距的意义 ：截距不是距离 ：它可正可负 ：也可以为0．显见 ：当1=k 时 ：直线01=--y x 的两轴上的截距分别为1和－1 ：它们不相等．另外 ：这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中 ：没有注意到截距式方程的适用范围 ：同样也产生了漏解．典型例题六例6 已知在第一象限的ABC ∆中 ：)1,1(A 、)1,5(B ：3π=∠A ：4π=∠B ：求：(1)AB 边的方程 ：(2)AC 和BC 所在直线的方程． 分析：(1)当直线与x 轴平行时或垂直时 ：不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知AC 、BC 的斜率 ：根据点斜式方程即可得出结果．解：(1)如图 ：AB 的方程为1=y )51(≤≤x ．(2)由AB ∥x 轴 ：且ABC ∆在第一象限知AC 的斜率33tan==πAC k ：BC 的斜率1)4tan(-=-=ππBC k ． 所以 ：AC 边所在直线的方程为)1(31-=-x y ：即0313=-+-y x ． BC 边所在直线的方程为)5(11--=-x y ：即06=-+y x ．说明：(1)AB 边是一条线段 ：要注意变量x 的取值范围．(2)解题中 ：要注意画出图形 ：便于直观地得到所求直线所具备的条件．典型例题七例7 若ABC ∆的顶点)4,3(A ：)0,6(B ：)2,5(--C ：求A ∠的平分线AT 所在的直线的方程．分析：两个条件确定一条直线．要求AT 的方程 ：已知点A 的坐标 ：只要再找出AT 的斜率或点T 的坐标就可以了．在三角形中 ：A ∠的平分线有下列性质：(1)TAB CAT ∠=∠ ：(2)AT 上任一点到两边AB 、AC 的距离相等 ：(3)ABCA TBCT =．用其中任何一个性质 ：都可以确定第二个条件．解法一：∵10)24()53(22=+++=AC ：54)63(22=+-=AB ：∴T 分BC 所成的比为2===ABACTB CT λ． 设T 的坐标为),(y x ：则：3721625=+⨯+-=x ：3221022-=+⨯+-=y ：即)32,37(-T ．由两点式得AT 的方程为3733732432--=++x y ：即0177=--y x ． 解法二：直线AC 到AT 的角等于AT 到AB 的角 ：43)5(3)2(4=----=AC k ：346304-=--=AB k ．设AT 的斜率为k (34-<k 或34>k ) ：则有 k k k k )43(14343143-+--=+-． 解得7=k 或71-=k （舍去）．∴直线AT 的方程为)3(74-=-x y ：即0177=--y x ．解法三：设直线AT 上动点),(y x P ：则P 点到AC 、AB 的距离相等 ：即：574352434+-=-+y x y x ：∴037=-+y x 或0177=--y x结合图形分析 ：知037=-+y x 是ABC ∆的角A 的外角平分线 ：舍去． 所以所求的方程为0177=--y x ．说明：(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容 ：其方法主要是待定系数法（如解法一、解法二）和轨迹法（如解法三）．要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化．点斜式是直线方程最重要的一种形式 ：要加强这方面的训练．(2)解法三涉及到后面将要学到的知识．这里先把它列出来 ：作为方法积累．典型例题八例8 求过点)4,5(--P 且分别满足下列条件的直线方程： (1)与两坐标轴围成的三角形面积为5 ：(2)与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点 ：且53∶∶=BP AP ．分析：对于(1) ：既可借助于截距式求解 ：也可以利用点斜式来求解 ：对于(2) ：利用截距式求解较为简便．解法一：设所求的直线方程为1=+b ya x ． 由直线过点)4,5(--P ：得145=-+-ba ：即ab b a -=+54．又521=⋅b a ：故10=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧=-=+,10,54ab ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a ． 故所求直线方程为1425=+-y x 和125=-+yx ：即： 02058=+-y x 和01052=--y x ．解法二：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ：它与两坐轴的交点为)0,54(kk- ：)45,0(-k ．由已知 ：得5544521=-⋅-kk k ：即k k 10)45(2=-． 当0>k 时 ：上述方程可变成01650252=+-k k ：解得58=k ：或52=k ．由此便得欲求方程为02058=+-y x 和01052=--y x ．(2)解：由P 是AB 的分点 ：得53±==PB AP λ． 设点A 、B 的坐标分别为)0,(a ：),0(b ．当P 是AB 的内分点时 ：53=λ． 由定比分点公式得8-=a ：332-=b ．再由截距式可得所求直线方程为03234=++y x ．当点P 是AB 的外分点时 ：53-=λ．由定比分点公式求得2-=a ：38=b ．仿上可得欲求直线方程为0834=+-y x ．故所求的直线方程为03234=++y x ：或0834=+-y x ．说明：对于(1) ：应注意对题意的理解 ：否则 ：就较易得到ab b a -=+54 ：且10=ab ：从而遗漏了10-=ab 的情形 ：对于(2) ：应当区分内分点与外分点两种不同的情形．必要时 ：可画出草图直观地加以分析 ：防止漏解． 求直线的方程时 ：除应注意恰当地选择方程的形式外 ：还应注意到不同形式的方程的限制条件．如点斜式的限定条件是直线必须存在斜率 ：截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为0 ：两点式的限定条件是直线不与x 轴垂直 ：也不与y 轴垂直．除此以外 ：还应注意直线方程形式之间的相互转化．典型例题九例9 已知两直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的交点为)3,2(P ：求过两点),(11b a Q 、),(22b a Q 的直线方程．分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答． 解法一：∵)3,2(P 在已知直线上 ：∴⎩⎨⎧=++=++0132********b a b a ∴0)(3)(22121=-+-b b a a ：即322121-=--a a b b ．故所求直线方程为)(3211a x b y --=-． ∴0)32(3211=+-+b a y x ：即0132=++y x ． 解法二：∵点P 在已知直线上 ：∴⎩⎨⎧=++=++0132********b a b a 可见),(111b a Q 、),(222b a Q 都满足方程0132=++y x ： ∴过1Q 、2Q 两点的直线方程为0132=++y x ．说明：解法二充分体现了“点在直线上 ：则点的坐标满足直线方程 ：反之 ：若点的坐标满足方程 ：则直线一定过这个点”．此解法独特 ：简化了计算量 ：能培养学生的思维能力．典型例题十例10 过点)4,1(P 引一条直线 ：使它在两条坐标轴上的截距为正值 ：且它们的和最小 ：求这条直线方程．分析：利用直线方程的点斜式 ：通过两截距之和最小求出直线的斜率 ：从而求出直线方程．或借助直线方程的截距式 ：通过两截距之和最小 ：求出直线在两轴上的截距 ：从而求出直线的方程．解法一：设所求的直线方程为)1(4-=-x k y ．显见 ：上述直线在x 轴、y 轴上的截距分别为k41-、k -4． 由于041>-k：且04>-k 可得0<k ． 直线在两坐标轴上的截距之和为：945)4()(5)4()41(=+≥-+-+=-+-=k k k k S ：当且仅当kk 4-=- ：即2-=k 时 ：S 最小值为9．故所求直线方程为)1(24--=-x y ：即062=-+y x ．解法二：设欲求的直线方程为1=+bya x (0>a ：0>b )． 据题设有141=+ba ： ① 令b a S +=． ②①×② ：有94545)41)((=+≥++=++=ba ab bab a S ． 当且仅当b a a b 4=时 ：即b a =2 ：且141=+ba ：也即3=a ：6=b 时 ：取等号．故所求的直线方程为163=+yx ：即062=-+y x ．说明：在解法一中 ：应注意到0<k 这个隐含条件．否则 ：由)4(5kk S +-= ：将很有可能得出错误的结果．如145)4(5=-≥+-=k k S ：145)4(5=-≤+-=kk S 等等． 在解法二中 ：应注意运算过程中的合理性 ：即讲究算理 ：不然 ：将会使运算过程不胜其繁．如采取下述方法：由① ：用a 来表示b ：再代入②中 ：把S 化归成a 的函数．从解题思维方法上说无可厚非 ：但这种方法将使运算难度陡然增加．不如保持本质、顺其自然好．典型例题十一例11 已知523=+b a ：其中a 、b 是实常数 ：求证：直线010=-+by ax 必过一定点．分析与解：观察条件与直线方程的相似之处 ：可把条件变形为01046=-+b a ：可知6=x ：4=y 即为方程010=-+by ax 的一组解 ：所以直线010=-+by ax 过定点（6 ：4）．说明：此问题属于直线系过定点问题 ：此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好 ：当然现在也可以研究 ：并且也有一般方法．典型例题十二例12 直线l 过点M （2 ：1） ：且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ．点O 是坐标原点 ：（1）求当ABO ∆面积最小时直线l 的方程 ：（2）当MA MB 最小时 ：求直线l 的方程．解：（1）如图 ：设OA a = ：OB b = ：ABO ∆的面积为S ：则ab S 21=并且直线l 的截距式方程是a x ＋by＝1 由直线通过点（2 ：1） ：得a 2＋b1＝1 所以:2a ＝b111-＝1-b b因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上 ：所以上式右端的分母01>-b ．由此得:b b b b a S ⨯-=⨯=121111112-++=-+-=b b b b2111+-+-=b b 422=+≥ 当且仅当=-1b 11-b ：即2=b 时 ：面积S 取最小值4 ： 这时4=a ：直线的方程是:4x ＋2y＝1即:042=-+y x（2）设θ=∠BAO ：则MA ＝θsin 1 ：MB ＝θcos 2 ：如图 ： 所以 MA MB ＝θsin 1θcos 2＝θ2sin 4当θ＝45°时MA MB 有最小值4 ：此时1=k ：直线l 的方程为03=-+y x ． 说明：此题与不等式、三角联系紧密 ：解法很多 ：有利于培养学生发散思维 ：综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时 ：长10.4025米 ：在40°时 ：长10.4050米 ：已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示 ：试求出这个方程 ：并且根据这个方程 ：求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20 ：10.4025）和（20 ：10.4050） ：根据直线的两点式方程 ：得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l 20t ⨯当t ＝25°时 l 2025⨯即当t ＝25°时 ：铁棒长为10.4031米． 说明：直线方程在实际中应用非常广泛．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时 ：长10.4025米 ：在40°时 ：长10.4050米 ：已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示 ：试求出这个方程 ：并且根据这个方程 ：求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20 ：10.4025）和（20 ：10.4050） ：根据直线的两点式方程 ：得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l 20t ⨯当t ＝25°时 l 2025⨯即当t ＝25°时 ：铁棒长为10.4031米． 说明：直线方程在实际中应用非常广泛．。
高二数学直线方程试题
高二数学直线方程试题1.曲线经过伸缩变换T得到曲线，那么直线经过伸缩变换T得到的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得直线经过伸缩变换得到的直线方程为，整理得【考点】图象的伸缩变换.2.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．3.已知直线经过点.（1）若直线的方向向量为，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求此时直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由直线的方向向量可得直线的斜率，根据点斜式可得直线方程。
（2）注意讨论截距是否为0，当截距均为0时，直线过原点，设直线方程为，将点代入即可求得，当截距不为0时可设直线为，同样将点代入即可求得。
（1）由的方向向量为，得斜率为，所以直线的方程为：（6分）（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.【考点】1直线的方向向量；2直线方程的点斜式和截距式。
4. 若原点在直线上的射影为，则的方程为____________________. 【答案】 【解析】设所求直线的斜率为，则依题意有，而，所以，所以所求直线的方程为即.【考点】1.直线的方程；2.两直线垂直的判定与性质. 5. 若则坐标原点到经过两点的直线的距离为_________________. 【答案】1 【解析】根据成立，可得点都在直线上，因此，原点到经过这两点的直线的距离.【考点】1.直线的方程；2.点到直线的距离.6. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，， 且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程. 【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程． 试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0, 解得x=−,y=，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−,）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点， ∴x 0−=6,y 0+=6， 解得x 0=,y 0=，∴C （,）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3． ∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0, 由已知，直线AB 的斜率k AB =-1, ∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【考点】1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.7. 与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线方程为 . 【答案】3x+4y-11=0【解析】两直线平行,它们的斜率相等,设与直线3x+4y+1=0平行的直线方程为3x+4y+c=0，再把原点的坐标（1，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线方程,c=-11,所以直线方程为3x+4y-11=0.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．8. .若<α<2π,则直线+=1必不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】判断出cos α>0,sinα<0,由直线方程截距式知直线过一、三、四象限.故选B.【考点】根据角的象限判断三角函数符号，直线的图像问题9.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．【答案】直线方程为：；.【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.试题解析：点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：.【考点】直线方程.10.已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．【答案】2x+9y-65=0【解析】本题考察的知识点主要是写出一个点的坐标和直线的斜率.通过点B在角平分线上，和直线AB的中线可以求出B点的坐标.再通过角平分线定理，求出直线BC的斜率.从而写出直线BC 的方程.试题解析：因为点B在直线上，设B,所以A,B两点的中点坐标为，又因为该点在AB边的中线上，解得,所以B（10,5）.设直线BC的斜率为k,,,有角平分线性质可得.，解得k=.所以.【考点】1.三角形中线的性质.2.三角形角平分线的性质.3.直线方程的求解.11.圆:+=1,圆与圆关于直线对称,则圆的标准方程为 .【答案】+=1【解析】设（-1,1）关于直线的对称点为，则，解得（2，-2），所以圆的标准方程为+=1.【考点】1、求点关于直线的对称点；2、圆的标准方程.12.已知直线不通过第四象限，则的取值范围是 ________.【答案】【解析】∵直线不过第四象限,所以①，解之得；②，综上所述a的取值范围是.【考点】直线的一般式方程.13.已知直线经过两点（2，1），（6，3）（1）求直线的方程（2）圆C的圆心在直线上，并且与轴相切于点（2，0）, 求圆C的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）由直线的两点式方程可直接得出，或者先由两点求其斜率，再用直线的点斜式方程；（2）求圆的方程，只需确定其圆心和半径，由题意可知，圆心横坐标是2，代入直线方程求其纵坐标，从而圆心确定，因为圆C与轴相切，所以半径就是圆心的纵坐标的绝对值，从而圆的方程确定.试题解析：（1）由题可知：直线l经过点(2, 1), (6, 3)，由两点式可得直线l的方程为：整理得： 5分（2）依题意：设圆C的方程为：其圆心为,∵圆心C在上，∴2－2·＝0，∴k＝－1,∴圆C的方程为即 12分【考点】1、直线的方程；2、圆的方程.14.过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是()A．x－2y＋7＝0B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0D．2x＋y－5＝0【答案】B【解析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=-2，所求直线的方程为y-3=-2（x+1）即2x+y-1=0，故选B【考点】本题考查了直线的方程及位置关系点评：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是15.过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_________________．【答案】或【解析】当所求直线过原点时，截距均为0，此时直线为，当直线不过原点时可设直线为直线为【考点】直线方程点评：本题中直线方程截距式只能表示在两坐标轴上截距都不为零的直线，当截距相等时可同时为0，因此需分情况讨论16.点关于直线的对称点为则直线的方程为__________．【答案】【解析】∵，，∴AB的中点M坐标为（1,6），由题意点M在直线L上，又，∴直线的方程为，即【考点】本题考查了点关于直线对称问题点评：利用对称性求出所给直线的斜率等知识是解决此类问题的常用方法17.已知是函数图象上的点，则点到直线的最小距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，当过点P的切线与直线平行时点P到此直线的距离最短，因而所以点,由点到直线的距离公式可知.18.根据下列条件求直线方程（1）过点（2，1）且倾斜角为的直线方程；（2）过点（-3，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.【答案】(1) (2);.【解析】(1)由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为.再根据直线过点（2,1）可写出直线的点斜式方程，最后化为一般式；（2）直线在两坐标轴截距相等，有两类：过原点或斜率为-1.设直线方程为或，把点（-3,2）代入求出直线方程.19. .过点(2,1)且与直线平行的直线方程是_______.【答案】【解析】设所求直线3x+4y+m=0，因为此直线过点(2,1)，所以,所以所求直线方程为.20.在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有A．105个B．35个C．30个D．15个【答案】C【解析】解：因为在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有30个，选C21.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程【答案】y=2x或x+y-3=0【解析】当直线的截距为0时，设直线为y=kx，把点（1,2）代入得k=2，此时直线为y=2x，当直线的截距不为0时，设直线为x+y=a，把点（1,2）代入得a=3，此时直线为y="2x" x+y-3=0,综上符合题意的直线为y=2x或x+y-3=022.与直线平行的抛物线的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为23.过点（1，0）且与直线平行的直线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】直线的斜率为。
高二数学直线方程的四种形式(1)练习
高二数学直线方程的四种形式（1）练习1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（）.A20y++-B360y+++=C．40x+-=D．40x++=2. 已知直线的方程是21y x+=--，则（）. A．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B．直线经过点(2,1)--，斜率为1C．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D．直线经过点(1,2)-，斜率为1-3. 直线l过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b在l上，则b的值为（）.A．2003 B．2004 C．2005 D．20064. 直线y ax b=+（0a b+=）的图象是( )5．方程331--=+xy表示过点＿＿＿＿＿＿、斜率是＿＿＿＿、倾斜角是＿＿＿、在y轴上的截距是＿＿＿＿＿＿＿＿的直线。
6.过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
7.过点P(2, 3)，并且在x轴上的截距是在y轴上的截距2倍的直线的方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
8. 已知点(1,2),(3,1)A B，则线段A B的垂直平分线的方程是 .9. 在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3-的直线方程 .10．求经过点(1,2)，且与直线23y x=-平行的直线方程.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿11．直线48y x=+与坐标轴所围成的三角形的面积＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12. 直线l的倾斜角比直线122y=+的倾斜角大45ο，且直线l的纵截距为3，则直线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿13. 已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B--，(0,2)C，求B C边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.（写成点斜式）14．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。
（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册专题训练：直线方程 分层练习题含答案解析
3.直线方程基础过关练 ......................................................................................................................... 1 能力提升练 ......................................................................................................................... 5 培优拔尖练 . (9)基础过关练1.（2022·全国·高二）直线sin 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.【详解】∵直线sin 10x y α--=的斜率sin [1k α=∈-,1]， 设直线sin 10x y α--=的倾斜角为(0)θθπ<…，则[]tan 1,1θ∈-，解得30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：A.2..已知两点()3,4A -，()3,2B ，直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______． 【答案】3k ≥或1k ≤-【分析】根据题意作图如下，结合图形可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，根据随着倾斜角的变化直线斜率的变换规律，分直线l 的倾斜角小于90和大于90两种情况分别求出直线l 的斜率k 的取值范围即可. 【详解】如图所示：因为直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，当直线l 的倾斜角小于90时，有PB k k ≥；当直线l 的倾斜角大于90时，有PA k k ≤， 由直线的斜率公式可得，()()41211,33232PA PB k k ----==-==---，所以直线l 的斜率k 的取值范围为3k ≥或1k ≤-.故答案为：3k ≥或1k ≤- 3. “2m =-”是“直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行的判定与性质结合充分条件、必要条件判定即可.【详解】若直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行，则24m =，可得2m =±. 当2m =时，直线1l ：2460x y +-=，直线2l ：230x y +-=，两直线重合，不符合题意. 所以“直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行”等价于“2m =-”. 所以“2m =-”是“直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行”的充要条件. 4.（2022·江苏·高二课时练习）已知k ∈R ，223b k k =-+，则下列直线的方程不可能是y kx b =+的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据直线斜率k 与y 轴上的截距b 的关系判断选项即可得解. 【详解】2223(1)2b k k k =-+=-+，∴直线的方程y kx b =+在y 轴上的截距不小于2，且当1k =时，y 轴上的截距为2，故D 正确，当1k =-时，6b =, 故B 不正确，当3b =时，0k =或2k =，由图象知AC 正确. 5.（2022·浙江舟山·高二期末）下列对动直线()()34330m x y m m R ++-+=∈的四种表述不正确的是（ ）A ．与曲线C ：2220x y +=可能相离，相切，相交B ．恒过定点()3,3-C ．3m =-时，直线斜率是0D ．1m =时，直线的倾斜角是135° 【答案】A【分析】根据过定点的直线系求出恒过点()3,3-可判断B ，由点与圆的位置关系可判断A ，由直线方程可判断CD.【详解】直线()()34330m x y m m R ++-+=∈可化为()33430x m x y +++-=， 令30x +=，3430x y +-=，解得3x =-，3y =， 所以直线恒过定点()3,3-，而该定点在圆C ：2220x y +=内部， 所以必与该圆相交．当3m =-时，直线方程为3y =，故斜率为0，当1m =时，直线方程为0x y +=，故斜率为1-，倾斜角为135°. 6.（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线()():324220l x y λλλ++++-=的距离的最大值为（ ）A B ．25C ．D 【答案】C【分析】求出直线l 过的定点P ，当OP l ⊥时，原点到直线l 距离最大，则可求出原点到直线l 距离的最大值；【详解】因为()()324220x y λλλ++++-=可化为()342220x y x y λ+-+++=， 所以直线l 过直线3420x y +-=与直线22=0x y ++交点，联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩可得22x y =-⎧⎨=⎩ 所以直线l 过定点()2,2P -，当OP l ⊥时，原点到直线l 距离最大，最大距离即为||OP ，==7.已知实数,x y 满足cos sin 1x y αα+=_______． 【答案】1【分析】实数,x y 满足cos sin 1x y αα+=表示点(,)x y 在直线cos sin 1x y αα+=以看作点(,)x y 到原点的距离，最小值是原点到直线cos sin 1x y αα+=的距离，根据点到直线的距离公式求解.【详解】因为实数,x y 满足cos sin x y αα+＝1cos sin 1x y αα+=上点到原点的距离，cos sin 1x y αα+=的距离，1=，1.8.设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A ．B ．C ．6D ．3【答案】C【解析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到PA 与PB 的关系，利用均值不等式求最值.【详解】直线10x my ++=可整理为()1my x =-+，故恒过定点()1,0-，即为A 的坐标； 直线230mx y m --+=整理为()32y m x -=-，故恒过定点()2,3，即为B 坐标； 又两条直线垂直，故可得22218PA PB AB +==， 即()2218PA PB PA PB +-=整理得()()2211924PA PB PA PB PA PB =+-≤+ 解得6PA PB +≤，当且仅当PA PB =时取得最大值. 9.若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 之间的距离为（ ） A3BCD．3【答案】D【分析】由两条直线平行求出a ，再利用平行间距离公式计算作答. 【详解】依题意，由(2)30a a --=解得3a =或1a =-，当3a =时，直线1:360l x y ++=，2:360l x y ++=，直线1l 与2l 重合，不符合题意，即3a ≠， 当1a =-时，直线1:60l x y -+=，22:03l x y -+=，直线1l 与2l 平行，则1a =-， 所以1l 与2l之间的距离2|6|d -=能力提升练1.已知()11αtan αx x 0,2x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭为直线的倾斜角，且则倾斜角α的取值范围为_________【答案】3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】根据基本不等式，求得()11x x 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围．【详解】当0x > 时，1112x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ ，即tan 1α≥，所以,42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭当0x < 时，1112x x ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭，即tan 1α≤-，所以,24ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦综上所述，,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦2..（2022·全国·高二）设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对【答案】A【分析】先画出线段AB ，之后连接P A ，PB 求得P A ，PB 的斜率，通过观察图像找到直线l 斜率的取值范围【详解】如图所示，直线PB ，P A 的斜率分别为1PB k =，3PA k =-结合图形可知1k ³或3k ≤-3.已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（ ） A ．24 B ．20C ．4D ．0【答案】D【分析】由两直线垂直得10m =，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案. 【详解】由两直线垂直得24(5)0m ⋅+⨯-=，解得10m =， 所以原直线直线420mx y +-=可写为10420x y +-=，又因为垂足为()1,p 同时满足两直线方程，所以代入得1014202150p p n ⨯+-=⎧⎨⨯-+=⎩，解得212p n =-⎧⎨=-⎩，所以-10-1220m n p +=+=，故选:D4.已知0a b >>0，，直线x y b a+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．10【答案】B【分析】由题意可得1ab =，然后利用基本不等式可求得9a b +的最小值 【详解】因为直线x y b a+=在x 轴上的截距为1， 所以10b a+=，即1ab =， 因为0a b >>0，，所以96a b +≥，当且仅当9a b =，即13,3a b ==时取等号，所以9a b +的最小值为6，5.不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行 B ．都经过一个定点。
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析1.已知直线l经过点P(-2,1)（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.试题解析：（1）直线斜率为得（2）或x+y+1=0.【考点】函数及其性质的应用.2.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．3.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．4.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.【答案】【解析】令，则，令，则，所以【考点】求直线的横纵截距5.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．【答案】直线方程为：；.【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.试题解析：点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：.【考点】直线方程.6.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .【答案】或.【解析】直线的截距式中要求截距不为0，而直线的截距相等进可以全为0，因此本题应该分类讨论，截距不为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得；截距为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得，∴满足题意的直线有两条：或.【考点】直线的截距及截距式方程.7.已知直线不通过第四象限，则的取值范围是 ________.【答案】【解析】∵直线不过第四象限,所以①，解之得；②，综上所述a的取值范围是.【考点】直线的一般式方程.8.已知直线过点（0，7），且与直线平行，则直线的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据两直线平行斜率相等，设过P与直线l平行的直线方程是 y=-4x+m把点P（0，7）代入可解得 m，从而得到所求的直线方程解：设过P与直线l平行的直线方程是y=-4x+m，把点P（0，7）代入可解得 m=7，故所求的直线方程是y=-4x+7．故选C【考点】直线方程点评：本题考查根据两直线平行和垂直的性质，利用待定系数法求直线方程的方法9.已知直线方程为,且在轴上的截距为,在轴上的截距为，则等于（）A．3B．7C．10D．5【答案】A【解析】因为直线方程为，所以令，得令，得所以【考点】本小题主要考查直线在两坐标轴上的截距的求法，考查学生的运算能力.点评：注意直线在坐标轴上的截距与距离不同，截距可正可负也可以为零.10.一束光线通过点射到轴上，再反射到圆上，求反射点在轴上的横坐标的活动范围（）A．（0，1 ）B．（1-2，0）C．（1-2，1）D．（1，2-1）【答案】C【解析】因为根据求出点关于x轴的对称点M′，利用反射光线过M′与圆心，即可求得直线方程；A的取值范围是反射后射到圆，临界状态时的取值范围．利用圆心到直线的距离等于半径，从而可求得临界状态时反射光线的方程，进而可求A的活动范围（1-2，1），选C11. .过点(2,1)且与直线平行的直线方程是_______.【答案】【解析】设所求直线3x+4y+m=0，因为此直线过点(2,1)，所以,所以所求直线方程为.12.在等腰中,,顶点为直线与轴交点且平分,若，求（1）直线的方程；（2）计算的面积.【答案】（1）；（2）【解析】第一问中利用等腰中,,，顶点为直线与轴交点且平分,可知两点关于直线对称，利用方程组很容易得到。
高二数学直线方程试题
高二数学直线方程试题1. 点A （2,2）关于直线x-y-1=0的对称点的坐标为 .【答案】. 【解析】设，根据题意有：解得，故的坐标为.【考点】求点关于已知直线对称点问题. 2. 直线和坐标轴所围成的三角形的面积是A ．2B ．5C ．7D ．10【答案】B 【解析】直线和坐标轴的交点分别为和，三角形的面积，故B 正确.【考点】直线的方程及应用.3. 如果,那么直线不通过第 象限.【答案】二 【解析】将直线写成：.当,那么.故.因此直线恒过一、三、四象限；当时，那么,故,因此直线恒过一、三、四象限，综上可得直线不经过第二象限. 【考点】直线的点斜式方程.4. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，， 且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程. 【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程． 试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0, 解得x=−,y=，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−,）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点， ∴x 0−=6,y 0+=6， 解得x 0=,y 0=，∴C （,）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3． ∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0, 由已知，直线AB 的斜率k AB =-1, ∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【考点】1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.5.直线关于直线对称的直线方程为______ __．【答案】【解析】设点在所求直线上,点关于的对称点为，点在直线上，由解得将其代入直线中有，即所求直线方程为.【考点】直线关于直线的对称问题.6.点为圆的弦的中点,则直线的方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于点为圆的弦的中点,而圆心为（1,0），那么弦所在直线的斜率与AB的垂直平分线的斜率互为负倒数，故可知为1，故可知答案为，选D.【考点】直线方程点评：主要是考查了直线方程的求解，属于基础题。
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析1.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.【考点】直线和圆的方程的应用．2.已知直线,，则它们的图像可能为( )【答案】D【解析】由直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y-a=0，可得直线l1：y=ax+b，l2：y=bx-a．分类讨论：a＞0，b＞0；a＜0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＜0．根据斜率和截距的意义即可得出．【考点】直线的一般方程.3.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．试题解析：(1)直线,则,直线AC的方程为, 2分由所以点C的坐标．. 4分(2),所以直线BC的方程为, 5分,即．. 7分, 8分点B到直线AC:的距离为. 9分则．. 10分【考点】点到直线的距离、直线方程.4.已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．【答案】2x+9y-65=0【解析】本题考察的知识点主要是写出一个点的坐标和直线的斜率.通过点B在角平分线上，和直线AB的中线可以求出B点的坐标.再通过角平分线定理，求出直线BC的斜率.从而写出直线BC 的方程.试题解析：因为点B在直线上，设B,所以A,B两点的中点坐标为，又因为该点在AB边的中线上，解得,所以B（10,5）.设直线BC的斜率为k,,,有角平分线性质可得.，解得k=.所以.【考点】1.三角形中线的性质.2.三角形角平分线的性质.3.直线方程的求解.5.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由直线的参数方程为得，，所以，直线的斜率为，选A。
高二数学直线方程试题
高二数学直线方程试题1.已知点M（2，－3），N（－3，－2），直线与线段ＭＮ相交，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵直线ax+y-a+1与线段MN相交，∴M，N在ax+y-a+1=0的两侧，或在ax+y-a+1=0上∵M（2，-3），N（-3，-2），∴（2a+3-a+1）（-3a+2-a+1）≤0∴（a+4）（-4a+3）≤0∴（a+4）（4a-3）0．【考点】直线与线段的位置关系2.曲线经过伸缩变换T得到曲线，那么直线经过伸缩变换T得到的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得直线经过伸缩变换得到的直线方程为，整理得【考点】图象的伸缩变换.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将点代入得，即，所以所求直线方程为，故选择.【考点】直线方程及两条直线的位置关系.4.已知曲线上过点的切线方程为，则实数的值为（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】根据题意可知切线方程过点，所以，故选B．【考点】点与直线的位置关系．5.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.【考点】直线和圆的方程的应用．6.过点且与圆相切的直线方程是 .【答案】【解析】经验证点在圆上，圆的圆心为,直线的斜率不存在，则所求切线的斜率为0，又因为切线过点，所以切线方程为，即。
高二数学直线方程试题
高二数学直线方程试题1.曲线经过伸缩变换T得到曲线，那么直线经过伸缩变换T得到的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得直线经过伸缩变换得到的直线方程为，整理得【考点】图象的伸缩变换.2.过点P(3，4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A，B，过A，B分别作两轴的垂线交于点M，则点M的轨迹方程是。
【答案】【解析】设M（x，y）由题意可知A（x，0），B（0，y），因为A，B，P三点共线，所以,共线，＝(3−x，4)，＝(−3，y−4)，所以（3-x）（y-4）=-12，即4x+3y=xy，所以点M的轨迹方程为：4x+3y=xy．.【考点】轨迹方程．3.已知直线,，则它们的图像可能为( )【答案】D【解析】由直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y-a=0，可得直线l1：y=ax+b，l2：y=bx-a．分类讨论：a＞0，b＞0；a＜0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＜0．根据斜率和截距的意义即可得出．【考点】直线的一般方程.4.已知A（3，1），B（-1，2）若∠ACB的平分线方程为，则AC所在的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知直线和直线关于直线对称。
设点关于直线的对称点为，则有，即。
因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即。
故C正确。
【考点】1点关于直线的对称点；2直线关于直线的对称直线。
5.与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线方程为 .【答案】3x+4y-11=0【解析】两直线平行,它们的斜率相等,设与直线3x+4y+1=0平行的直线方程为3x+4y+c=0，再把原点的坐标（1，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线方程,c=-11,所以直线方程为3x+4y-11=0.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．6.直线的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线方程一般式化成斜截式可化为所以故选C【考点】直线方程一般式化成斜截式7.过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.【答案】x＋2y－5＝0【解析】由，得的斜率关系，且过定点，，将两条直线方程设出来，；，进而分别将其与轴的交点,的坐标，设线段的中点，根据中点坐标公式，得，联立消去参数，得中点的轨迹方程.试题解析：设,因为，且过定点，所以设；，∴与轴交点，与轴交点，因为是线段的中点，所以，，消去，得x＋2y－5＝0，另外，当=0时，中点为（1，2），满足上述轨迹方程；当不存在时，中点为（1，2），也满足上述轨迹方程，综上所述，的轨迹方程为x＋2y－5＝0.【考点】1、两条直线的位置关系；2、轨迹方程.8.过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是()A．x－2y＋7＝0B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0D．2x＋y－5＝0【答案】B【解析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=-2，所求直线的方程为y-3=-2（x+1）即2x+y-1=0，故选B【考点】本题考查了直线的方程及位置关系点评：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是9.直线过点且与圆相切,若切点在第四象限,则直线的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，即。
高二数学直线方程的两点式和一般式同步练习测试
高二数学直线方程的两点式和一般式同步练习测试(含解析)直线方程是高二数学学习的重点知识点，以下是直线方程的两点式和一样式同步练习测试，请大伙儿认真练习。
一、选择题(每小题3分，共18分)1.过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程是()A. =B.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0C. =D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0【解析】选B.选项A是直线的两点式，然而该方程不能表示与坐标轴垂直的直线，因此不能选A.而B选项的式子是两点式的变形，它能够表示所有情形下的直线，C，D明显不合题意，因此选B.2.(2021佛山高一检测)直线+ =1过一、二、三象限，则()A.a0，bB.a0，b0C.a0，bD.a0，b0【解析】选C.直线交x轴负半轴，交y轴正半轴，因此a0，b0.3.(2021焦作高一检测)过P(4，-3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.设直线方程为y+3=k(x-4)(k0).令y=0得x= ，令x=0得y=-4k-3.由题意，=-4k-3，解得k=- 或k=-1.因而所求直线有两条.【一题多解】选B.当直线过原点时明显符合条件，当直线只是原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a0，则直线方程为+ =1，把点P (4，-3)的坐标代入方程得a=1.因此所求直线有两条.4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角为45，则a -b的值为()A.0B.1C.-2D.2【解析】选D.由题意直线过(0，-1)，故b=-1，倾斜角为45，斜率为1，得a=1，因此a-b=2.5.(2021驻马店高一检测)直线l1：(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2：x-y+1=0的斜率相同，则m等于()A.2或3B.2C.3D.-3【解析】选C.直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则=1，即2m2 -5m+2=m2-4，m2-5m+6=0，解得m=2或3，当m=2时，2m2-5m+2=0，-(m 2-4)=0，则m=2不合题意，仅有m=3.【误区警示】本题易忽视当m=2时，2m2-5m+2=0且-(m2-4)=0而错选A.6.直线l：Ax+By+C=0过原点和第二、四象限，则()A.C=0，BB.C=0，A0，B0C.C=0，ABD.C=0，AB0【解析】选C.由直线l过原点知C=0.又直线过第二、四象限，因此- 0，因此AB0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.直线2x-4y-8=0的斜率k=________，在y轴上的截距b=________.【解析】直线方程化为斜截式，得y= x-2，因此k= ，b=-2.答案：-28.直线l过点P(-2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P 恰为AB的中点，则直线l的方程为________.【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为点P恰为AB的中点，因此x=-4，y=6，即A，B两点的坐标分别为(-4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为+ =1.即为3x-2y+12=0.答案：3x-2y+12=09.(2021南阳高一检测)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，-2)，则直线l方程为________.【解析】设在y轴上的截距为a(a0)，因此方程为+ =1，代入点A，得- =1，即a2-3a+2=0，因此a=2或a=1，因此方程为：+y=1或+ =1，即x+2y-2=0或2x+3y-6=0.答案：x+2y-2=0或2x+3y-6=0【变式训练】过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.【解析】设直线方程为+ =1，则解得a=2，b=3，则直线方程为+ =1，即3x+2y-6=0.答案：3x+2y-6=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】设所求直线l的方程为y=kx+b.因为k=6，因此方程为y=6x+b.令x=0，因此y=b，与y轴的交点为(0，b);令y=0，因此x=- ，与x轴的交点为.依照勾股定理得+b2=37，因此b=6.因此直线l的方程为6x-y6=0.【变式训练】一条直线通过点A(-2，2)，同时与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程.【解析】设所求直线的方程为+ =1，因为A(-2，2)在直线上，因此- + =1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，因此|a||b|=1.②由①②可得(i) 或(ii)由(i)解得或方程组(ii)无解.故所求的直线方程为+ =1或+ =1，所求直线的方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.11.(2021日照高一检测)已知直线ax-y+2a+1=0.(1)x(-1，1)时，y0恒成立，求a的取值范畴.(2)a 时，恒有y0，求x的取值范畴.【解题指南】第(1)问可依照数形结合求出结论，在第(2)问中注意到方程是关于x，y的一次式，也是关于a，y的一次式，因此可借助一次函数解决.【解析】(1)令y=f(x)=ax+(2a+1)，x(-1，1)时，y0.只需即解得即a- .(2)令y=g(a)=(x+2)a+1，看作a的一次函数，a 时，y0，只需即解得教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
高二数学直线的方程练习题
高二数学直线的方程练习题在高二数学学习中，直线的方程是一个重要的知识点。
掌握直线方程的求解方法对于解决与直线相关的问题具有重要意义。
本文将从不同的角度出发，给出一些关于直线方程的练习题。
1. 直线的一般方程1.1 给出直线过两个已知点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，求直线L的一般方程。
解析：首先计算直线L的斜率k。
根据斜率的定义，有 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
然后，代入直线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 中的点和斜率，化简得到直线的一般方程 Ax + By + C = 0。
示例题：过点P(2, 3)和Q(4, 7)的直线L的一般方程为2x - y + 1 = 0。
2. 直线的截距式方程2.1 给出直线与x轴和y轴的坐标交点分别为A(a, 0)和B(0, b)，求直线L的截距式方程。
解析：直线与x轴的交点可以看作是y坐标为0的点，直线与y轴的交点可以看作是x坐标为0的点。
根据直线截距式的定义，直线的截距式方程为 x/a + y/b = 1。
示例题：过点A(2, 0)和B(0, 3)的直线L的截距式方程为 x/2 + y/3 = 1。
3. 直线的点斜式方程3.1 给出直线L的斜率k和过直线上一点P(x1, y1)，求直线的点斜式方程。
解析：根据直线的斜率定义，可以写出直线L的点斜式方程为 y -y1 = k(x - x1)。
示例题：直线L的斜率为2，过点P(3, 4)，则直线L的点斜式方程为 y - 4 = 2(x - 3)。
4. 直线的两点式方程4.1 给出直线上两个已知点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，求直线L的两点式方程。
解析：直线的两点式方程可以通过点斜式转化得到。
首先计算直线的斜率k，然后代入直线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 中的任意一点的坐标得到直线的两点式方程。
示例题：过点P(1, 2)和Q(3, 6)的直线L的两点式方程为 2x - y - 2 = 0。
数学高二上册《平面解析几何(一)-直线方程》练习题
专题二十七 平面解析几何(一)——直线方程（一）知识梳理：1、直线的倾斜角及斜率①直线的倾斜角α的定义：取值范围：_____________________②直线的斜率k 的定义：____________________________当α＝______时，斜率k 不存在过),(),,(222111y x P y x P 的直线斜率k=_____________2、直线方程的5种形式及其适用范围：(1)点斜式：(2)斜截式：____________________________________________(3)截距式：____________________________________________(4)两点式：(5)一般式：____________________________________________（二）例题讲解：考点1：直线的倾斜角和斜率例1、下列说法正确的是（ ）但不一定有斜率任一直线都有倾斜角，，则若直线的倾斜角是则此直线的倾斜角是直线的斜率为，则此直线的斜率为直线的倾斜角是.0sin .,tan .tan .D C k B k A >==αααααα易错笔记：_____,0cos sin 02=-=+=++b a c by ax 则，且的倾斜角为、设直线例ααα易错笔记：),2()2,4.[]4,0.[),2(]4,0.[),0.[),1(),1,2(32πππππππππ⋃⋃D C B A l m B A l （ ）的倾斜角的取值范围是两点，那么直线经过、已知直线例易错笔记：考点2：直线的方程倍，求该直线的方程倾斜角的且倾斜角是直线已知直线过点、例23),3,1()1(4x y P =--（2）一条光线从点A(3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线 所在的直线方程。
（3）求过点A(4,1),且在两坐标轴上得截距相等的直线方程易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是 （ ）A. B. C. D.－2，－32、直线x=3的倾斜角 （ ）A.是0B.是2π C.是π D.不存在3、直线x+y －2=0的倾斜角为 （ ） A. B.C. D. 4、过点(3，2)、(2，-1)的直线的斜率是 （ ）A ．3 B.-3 C.31 D.31- 5、直线2x + 3y - 4 =0的斜率为 （ ） (A)23 (B) -23 (C)32 (D) -32 0,0.0,0.0,0.0,0.6<<><>><>--=bc ab D bc ab C bc ab B bc ab A bc x b a y ，则（ ）经过第一、二、三象限、若直线 7、 直线l ：2x+3y -12=0与两坐标轴围成的三角形的面积是 （ ）(A)3 (B)6 (C)12 (D)24表示的直线都可以用方程经过定点表示以用方程不经过原点的直线都可表示的直线都可用方程经过任意两不同点表示的直线都可以用方程经过定点 题的是、下列四个命题中真命b kx y b A D by a x C y y x x x x y y y x P y x P B x x k y y y x P A +==---=---=-),0(.1.))(())((),(),,(.)(),(.)(8121121222111000009、如图，已知直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ，则（ ）A ．321k k k <<B ．213k k k <<C ．123k k k <<D ． 231k k k <<二、填空题10、已知直线l 的倾斜角为︒135，且过点)3,(),1,4(--m B A ，则m 的值为______.11、已知直线l 的倾斜角为︒135，且过点)2,1(，则直线的方程为____________.12、设直线的斜率为k ，且11<<-k ，则直线倾斜角α的取值范围是___________________13、已知直线的斜率为4，且在x 轴上的截距为2，此直线方程为____________.14、直线042=+-y x 关于y 轴对称的直线方程为________________. ______11)0)(,0(),0,(),2,2(15=+≠ba ab b C a B A 共线，则、已知三点 16、过点)3,2(P 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程___________________________17、已知A （2，3），B （1，2），直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，直线l 斜率k 的取值是___________________三、解答题，1）连成的直线的倾斜角为120度。
直线的点斜式方程 基础练习 高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册
1．2直线的方程1.2.1直线的点斜式方程一、单项选择题1 (2023厦门国贸协和双语高级中学期中)直线y＝3x－1的倾斜角是()A. 30°B. 40°C. 60°D. 90°2 方程y－y0＝k(x－x0)()A. 可以表示任何直线B. 不能表示过原点的直线C. 不能表示与y轴垂直的直线D. 不能表示与x轴垂直的直线3 (2023南阳唐河县鸿唐高级中学月考)与直线y＝－32x斜率相等，且过点(4，－3)的直线方程为()A. y－3＝－32(x＋4)B. y＋3＝32(x－4)C. y－3＝32(x＋4)D. y＋3＝－32(x－4)4 已知直线l的斜率是直线y＝3x＋1的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为()A. y＝2x－ 3B. y＝－3(x－2)C. y＝－3x＋2D. y＝3x－25 (2023惠州博罗县博师高级中学期末)已知直线l1的方程是y＝ax＋b，直线l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列图形中正确的是()A BC D 6 已知直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若直线l 不经过第二象限，则实数a 的取值范围为( )A. (2，＋∞)B. [－2，3]C. [2，＋∞)D. [4，＋∞)二、 多项选择题7 (2023全国课时练习)已知直线l 过点P (1，3)，且与x 轴和y 轴围成一个内角为π6的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是( )A. y －3＝－3(x －1)B. y －3＝－33(x －1)C. y －3＝33(x －1)D. y －3＝3(x －1)8 若直线y ＝kx ＋b 不经过第一象限，则点(k ，b )可能在( )A. 第二象限B. 第三象限C. 第四象限D. 坐标轴上三、 填空题9 过点(4，－2)，且倾斜角为150°的直线方程的点斜式为________．10 已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若直线l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________．11 直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________．四、 解答题12 分别求出经过点P (3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图象．(1) 斜率k ＝2；(2) 与x 轴平行；(3) 与x 轴垂直．13 已知直线y＝kx＋3k＋1.(1) 求证：直线恒过一定点；(2) 当－3≤x≤3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．【答案解析】1．2 直线的方程1.2.1 直线的点斜式方程1. C 设直线y ＝3x －1的倾斜角为θ，则直线的斜率k ＝tan θ＝ 3.又0°≤θ<180°，所以θ＝60°.2. D 因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y －y 0＝k (x －x 0)不能表示与x 轴垂直的直线．3. D 由题意，得所求直线的斜率为－32，所以直线方程为y ＋3＝－32(x －4). 4. C 因为直线l 的斜率是直线y ＝3x ＋1的斜率的相反数，所以k l ＝－ 3.因为在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝－3x ＋2.5. A 对于A ，由l 1的图象知a <0，b >0，由l 2的图象知a <0，b >0，故A 正确；对于B ，由l 1的图象知a <0，b >0，由l 2的图象知a <0，b <0，矛盾，故B 错误；对于C ，由l 1的图象知a >0，b <0，由l 2的图象知a <0，b >0，矛盾，故C 错误；对于D ，由l 1的图象知a >0，b >0，由l 2的图象知a <0，b <0，矛盾，故D 错误．6. C 若直线l 的斜率不存在，即a ＝2，则直线l ：x ＝15不经过第二象限；若直线l 的斜率存在，即a ≠2，则直线l ：y ＝3a －1a －2x －1a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1a －2≥0，－1a －2≤0，解得a >2.综上，实数a 的取值范围为[2，＋∞).7. ABC 由题意，直线l 的倾斜角可以是π6或π3或5π6或2π3，所以直线l 的方程可以为y －3＝－33(x －1)或y －3＝－3(x －1)或 y －3＝33(x －1)或y －3＝3(x －1)，由y －3＝3(x －1)，整理，得y ＝3x ，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形．故选ABC.8. BD 因为直线y ＝kx ＋b 不经过第一象限，所以k ＜0，b ≤0或k ＝0，b ≤0，则点(k ，b )可能在第三象限或坐标轴上．故选BD.9. y ＋2＝－33(x －4) 由题意知k ＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y －(－2)＝－33(x －4)，即y ＋2＝－33(x －4). 10. 4 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1，所以2m －1＝7，解得m ＝4.11. (－∞，0] 因为直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，所以k ≤0.12. (1) 2x －y －2＝0，其图象如l 1所示．(2) y ＝4，其图象如l 2所示．(3) x ＝3，其图象如l 3所示．13. (1) 由y ＝k (x ＋3)＋1，易知当x ＝－3时，y ＝1，所以直线恒过定点(－3，1).(2) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ·(－3)＋3k ＋1>0，k ·3＋3k ＋1>0， 解得k >－16. 故实数k 的取值范围是(－16，＋∞).。
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析1.求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.【答案】.【解析】先根据所求直线与直线垂直求出所求直线的斜率，然后设出切点，由，计算出的值，接着计算出的值，最后可写出切线的方程：，并化成一般方程即可.试题解析：因为直线的斜率为，所以垂直于直线并且与曲线相切的直线的斜率为设切点为，函数的导数为所以切线的斜率，得代入到得，即∴所求切线的方程为即.【考点】1.两直线垂直的判定与性质；2.导数的几何意义.2.已知直线,，则它们的图像可能为( )【答案】D【解析】由直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y-a=0，可得直线l1：y=ax+b，l2：y=bx-a．分类讨论：a＞0，b＞0；a＜0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＜0．根据斜率和截距的意义即可得出．【考点】直线的一般方程.3.过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为。
【答案】【解析】联立和，即可解得交点P．设过点P且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为3x+y+m=0．把点P代入可得m即可．【考点】直线的一般方程和平行关系.4. .若<α<2π,则直线+=1必不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】判断出cos α>0,sinα<0,由直线方程截距式知直线过一、三、四象限.故选B.【考点】根据角的象限判断三角函数符号，直线的图像问题5.点(a，b)关于直线x+y=0对称的点的坐标是【答案】【解析】设对称点为，则有，解得，所以所求点为【考点】点关于线的对称点6.已知直线经过直线2x＋y－2＝0与x－2y+1＝0的交点，且与直线的夹角为，求直线的方程．【答案】，或【解析】属于点斜式求直线方程，先求交点即直线经过的点，在求其斜率。
由直线可知这条直线斜率为故此求这条直线的倾斜角，从而求出所求直线的倾斜角，再根据斜率的定义求斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可。
高二数学直线方程1
y - y0 0 点 方 向 式 行 列 式 形 式 v
注： (1)直线L的点方向 式方程不能表示坐标平 面
内与x轴、y轴平行的 直线；但行列式方程 x x0 u y y0 v 0能表示所有的直线。
(2)当u 0时，直线L与y轴平 行 . L：x x 0
(3)当v 0时，直线L与x轴平 行 . L：y y 0
直 线 方 程 (一)
一、点方向式方程
经过点P(x0 ,y 0 ), 且与已 知向量d平行的直线是唯一的。
Q(x,y)
O
y
l P(x0,y0)
d
x
设非零向量d (u ,v), 点Q(x ,y)是直线L上任意 一点，则PQ//d
又 PQ (x - x 0 , y - y0 ) , 由PQ//d的充要条件知：
(2)以 方 程 (1)的 解为坐标的点都在直线 L上 。
我们把满足以上两条的方程(1)叫做直线L的方 程；直线L叫做方程(1)的图形。
如果d (u , v)坐标u 0且v 0, 那么方程(1)可化为 ：
x x0 y y0 u v
或 x - x0 u
直 线 L的 点 方 向 式 方 程
(4)经过点A(-5 ，1)，且与B(1， - 2)，C(3， - 2)
二.直线的两点式方程：
请同学们完成下题 ： 求经过A（ 3 ， 2）B（3， 7）两点的直线方程。ຫໍສະໝຸດ 经过两点能唯一确定一条直线。
设A（x1 ,y1）, B(x2 ,y 2 )是直线L上不同 的两点，则直线L的一 个方向向量是：
例1：求满足下列条件 的直线方程： (1)经过点A(4， 6)，且与B(-3， - 1)，C(4， - 5) 所在直线平行的直线方 程。 (2)经过点A(-1 ，2)，且与直线3x 4y 12 0 平行的直线平行的直线 方程。 在直线平行的直线方程 。 所在直线平行的直线方 程。
高二数学复习考点题型讲解与提升练习1---直线方程综合高频考点题
高二数学复习考点题型讲解与提升练习直线方程常考综合考点必刷题一、单选题1．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·江苏·高二单元测试）已知()0,2A ，()2,1B ，过点()1,0C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．()(),21,-∞-+∞C ．()2,1-D ．(][),21,-∞-+∞3．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为k ，且1k -≤≤α的取值范围是（ ）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭4．（2022·全国·高二单元测试）对于直线l ：10ax ay a+-=（0a ≠），现有下列说法： ①无论a 如何变化，直线l 的倾斜角大小不变； ②无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限； ③无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限； ④当a 取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知直线l 310y -+=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 的倾斜角是3πB ．直线l 在x 轴上的截距为1C ．若直线m ：310x +=，则l m ⊥D ．过()2与直线l 30y -=6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知()1,0A -，()0,3B ，若直线:210l ax y a ++-=上存在点P ，满足PA PB AB +=，则l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．（2022·全国·高二单元测试）直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为（ ）A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．3x －2y －6＝0D ．2x ＋3y ＋6＝08．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）①直线12y x +=在y 轴上的截距为1；②直线10x +=的倾斜角为150；③直线3y ax a =-必过定点（3，0）；④两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=.以上四个命题中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线()():324220l x y λλλ++++-=的距离的最大值为（ ）A B ．25 C ．10．（2021·四川省绵阳南山中学高二期中（理））在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和260x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（ ）A ．．7C ．5D ．11．（2022·江苏·高二单元测试）已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（ ）A ．(B ．⎡⎣C ．(D ．⎡⎣12．（2021·江苏·高二期中）已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13．（2022·江苏·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为 A ．()4,0-B ．()3,1--C ．()5,0-D ．()4,2--14．（2019·湖北·随州市第一中学高二期中）已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则a b +的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．715．（2021·全国·高二单元测试）点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b R +∈，则111a b++的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题16．（2021·江苏苏州·高二期中）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．17．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高二期中）下列说法中，正确的是（ ） A ．直线53y x =-在y 轴上的截距为3 B10y -+=的倾斜角为60︒ C ．(1,3)A ，(2,5)B ，(2,3)C --三点共线D ．过点(3,4)且在,x y 轴上的截距相等的直线方程为70x y +-= 18．（2022·全国·高二单元测试）下列说法错误的是A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x yy x x --=--D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=19．（2021·全国·高二单元测试）下列说法正确的是（ ） A ．点（2，0）关于直线y ＝x +1的对称点为（﹣1，3）B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线方程为112121y y x xy y x x --=--C ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0或x ﹣y ＝0D ．直线x ﹣y ﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是820．（2021·山东枣庄·高二期中）下列说法正确的是（ ）A ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x yy x x --=--B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 21．（2021·福建省福州高级中学高二期中）已知直线()1:120l a x ay +++=，()2:110l a x a y +--=，则（ ）A ．1l 恒过点()2,2-B ．若12l l //，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限22．（2022·全国·高二单元测试）已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是23 三、填空题23．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______24．（2021·浙江·高二单元测试）若直线l 的倾斜角的变化范围为,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则直线斜率的取值范围是_______.25．（2018·湖北湖北·高二期中（理））过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______.26．（2021·天津河西·高二期中）直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=分别交x 轴､y 轴的正半轴于A ､B 两点，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为___________.27．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设点()2,0A -和()0,3B ，在直线l ：10x y -+=上找一点P ，使PA PB +取到最小值，则这个最小值为__________28．（2021·江苏·高二单元测试）过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________.四、解答题29．（2021·北京市第四十三中学高二期中）已知平面内两点(8,6)(22)A B -，，． （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过(2,3)P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程；（3）一束光线从B 点射向（2）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程．30．（2021·重庆市朝阳中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()0,4A ，()2,6B -，()8,0C -.（1）求边AB 所在直线的方程；（2）求边AC 上的中线BD 所在直线的方程.31．（2018·湖北湖北·高二期中（文））已知直线:120()l kx y k k R -+-=∈． （1）求证：无论k 取何值，直线l 始终经过第一象限；（2）若直线l 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B 点，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．32．（2022·全国·高二单元测试）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0（k ∈R ）． （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．33．（2020·安徽省太和第一中学高二期中）设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB 面积最小时，求AOB 的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.34．（2021·湖北·沙市中学高二期中）在ABC ∆中，(1,2)A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为74460x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为211540x y -+=.（1）求点C 坐标； （2）求直线BC 的方程.35．（2021·上海·复旦附中高二期末）已知点()1,0A -和点B 关于直线l ：10x y +-=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．参考答案：1．A【分析】由“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”得到a ＝－2或a ＝1，即得解.【详解】解：若a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行； 若“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”，∴(1)20a a +-=，解得a ＝－2或a ＝1，∴“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的充分不必要条件． 故选：A 2．D【分析】画出图形，由图可知，BC k k ≥或AC k k ≤，从而可求得答案 【详解】因为过点()1,0C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 有公共点， 所以由图可知，BC k k ≥或AC k k ≤， 因为10121BCk-==-或20201ACk -==--， 所以1k 或2k ≤-， 故选：D3．B【分析】由1k -≤≤1tan α-≤≤ 【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为1k -≤≤1tan α-≤≤结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ． 4．C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误． 【详解】直线l ：10ax ay a+-=（0a ≠），可化简为：210x y a +-=，即21y x a =-+，则直线的斜率为1-，倾斜角为135︒，故①正确；直线在y 轴上的截距为210a >，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当a 取不同数值时，可得到一组斜率为1-的平行直线，故④正确； 故选：C 5．D【分析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B. 令y ＝0可得；C.求出直线m 斜率即可判断；D. 30y t -+=，将()2代入即可. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，直线l 310y -+=，即13y =+，其斜率k =6π，A 错误；对于B ，直线l 310y -+=，令y ＝0，可得x =l 在x 轴上的截距为B 错误；对于C ，直线m ：310x +=，其斜率m k 1≠-，故直线m 与直线l 不垂直，C 错误；对于D 30y t -+=，将()2代入，可得t ＝0，即要求直线为30y -=，D 正确；故选：D 6．A【分析】根据题意，求得直线l 恒过的定点，数形结合只需求得AB 线段与直线l 有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.【详解】对直线:210l ax y a ++-=，变形为()12y a x -=-+，故其恒过定点()2,1M -， 若直线l 存在点P ，满足PA PB AB +=，只需直线l 与线段AB 有交点即可.数形结合可知，当直线l 过点B 时，其斜率取得最大值，此时212l k ==，对应倾斜角4π； 当直线l 过点A 时，其斜率取得最小值，此时111l k ==--，对应倾斜角为34π. 根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线l 的倾斜角的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：A. 7．B【分析】先求出定点M 的坐标，再设出与直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax ＋y ＋3a －1＝0得()()310x a y ++-=，由3010x y +=⎧⎨-=⎩，得31x y =-⎧⎨=⎩，∴M （－3，1）． 设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为()2306x y C C ++=≠-，=，解得:C ＝12或C ＝－6（舍去），∴直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋12＝0． 故选：B ． 8．B【分析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.【详解】对于①，直线12y x +=，令0x =，则1y =-，直线在y 轴上的截距为-1，则①错误；对于②，直线10x +=的斜率为150，则②正确； 对于③直线()33y ax a a x =-=-，由点斜式方程可知直线必过定点（3，0），则③正确；对于④，两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离为d =，则④错误. 故选：B. 9．C【分析】求出直线l 过的定点P ，当OP l ⊥时，原点到直线l 距离最大，则可求出原点到直线l 距离的最大值；【详解】因为()()324220x y λλλ++++-=可化为()342220x y x y λ+-+++=，所以直线l 过直线3420x y +-=与直线22=0x y ++交点， 联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩可得22x y =-⎧⎨=⎩所以直线l 过定点()2,2P -，当OP l ⊥时，原点到直线l 距离最大，最大距离即为||OP ，故选：C. 10．D【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线210x y ++=和260x y ++==，1340x y c -+=和2340x y c -+=125c c -=，于是有：12125c c c c -=-= 故选：D 11．A【分析】先求得直线l 的定点，进而求得点P 到直线l 的最大距离，然后检验点(2,1)P --是否可能在直线l 上即可【详解】:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=可化为：()22310x y x y λ+-+-+= 设直线l 的定点为A ，点P 到直线l 的距离为d ，则有：{x +y −2=02x −3y +1=0可得：()1,1A 为直线l 的定点则有：PA =PA 为点P 到直线l 的最大距离若(2,1)P --在直线l 上，则有：()2124310λ---+-++=，即50-= 可得：(2,1)P --不可能在直线l 上，则有：0d >综上可得：0d <≤故选：A 12．A【分析】直线l 过定点P （1，1），且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出PA 、PB 的斜率，从而得出l 的斜率m -的取值范围,即得解【详解】设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=，令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ． 31421PA k --==--，213314PB k --==--．直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥， 则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦． 故选：A【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．13．A【分析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标【详解】设C （m ，n ），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭代入欧拉线方程得：242033m n++-+=整理得：m-n+4=0 ① AB 的中点为（1，2），40202AB k -==--AB 的中垂线方程为()1212y x -=-， 即x-2y+3=0．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得11x y =-⎧⎨=⎩∴△ABC 的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 14．A【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果. 详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13，所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-， 所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果. 15．A【分析】由题意曲线C 为圆，22(6)(6)222t x y a =++---，且22(6)(6)x y ++-表示曲线C 上的点M 到点()6,6N -的距离的平方，结合圆的特征可得点()6,3M -，由此可得22max (66)(36)222t a b =++----=，于是3a b +=，故()14a b ++=，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．【详解】曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=，表示圆心为()2,0A ，半径为5的圆．2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点， 所以直线AN 的方程为()324y x =--，由()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2223x y =-⎧⎨=⎩（舍去），∴当63x y =⎧⎨=-⎩时，t 取得最大值，且22max (66)(36)222t a b =++----=，∴3a b +=， ∴()14a b ++=，∴()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭，当且仅当11b a a b+=+，且3a b +=，即1,2a b ==时等号成立． 故选A ．【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将22(6)(6)x y ++-转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值． 16．AC【分析】给出特殊值可以确定选项AC 的正误，由直线恒过定点可判断选项B 的正误，利用直线垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程可确定选项D 的正误. 【详解】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12k =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线垂直，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC.【点睛】本题主要考查两条直线之间的位置关系，直线恒过定点及其应用，直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．BC【分析】结合直线截距的意义、直线倾斜角和斜率的概念以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.【详解】A ：直线53y x =-在y 轴上的截距为-3，故A 错误；B 101y y -+=⇒=+，所以直线的斜率为tan k α== 则倾斜角=60α︒，故B 正确；C ：由(13)(25)(23)A B C --，、，、，可得(12)(48)AB BC ==--，，，， 所以14AB BC =-，A 、B 、C 三点共线，故C 正确；D ：过点(34)，且在x 、y 轴截距相等的直线方程为70x y +-=或43y x =，故D 错误. 故选：BC 18．ACD【分析】对于A ．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B ．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C ．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D ．过原点的直线也满足条件．【详解】解：对于A ．当0a =，两直线方程分别为1y =和2x =，此时也满足直线垂直，故A 错误，对于B ．直线的斜率sin k α=-，则11k -，即1tan 1θ-，则[0θ∈，3][,)44πππ，故B 正确，对于C ．当12x x =，或12y y =，时直线方程为1x x =，或1y y =，此时直线方程不成立，故C 错误，对于D ．若直线过原点，则直线方程为y x =，此时也满足条件，故D 错误， 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大． 19．ACD【解析】通过对称性判断A ；两点式方程的体积判断B ；截距式方程判断C ，三角形的面积判断D ；【详解】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（12，32） 满足直线y ＝x +1，并且两点的斜率为﹣1，所以点（2，0）关于直线y ＝x +1的对称点为（﹣1，3）， 所以A 正确；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，过（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 两点的直线方程为112121y y x x yy x x --=--，所以B 不正确；经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程 为x +y ﹣2＝0或x ﹣y ＝0，所以C 正确；直线x ﹣y ﹣4＝0，当x ＝0时，y ＝﹣4，当y ＝0时，x ＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：1442⨯⨯=8，所以D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查. 20．BC【解析】运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C 的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误．【详解】对于A ：当12x x ≠，12y y ≠时，过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，故A 不正确；对于B ：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标1322⎛⎫⎪⎝⎭，， 满足直线方程1y x =+, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y =x +1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；对于C ：直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线20x y --=与坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=，所以C 正确；对于D ：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x +y −2=0 或 y =x ，所以 D 不正确； 故选：BC.【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为0的情况，属于基础题． 21．BD【分析】A.直线写成()20a x y x +++=，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有()()211a a a +-=；C.两直线垂直，根据公式有()()110a a a a ++-=；D.根据直线2l 不经过第三象限，求实数a 的取值范围.【详解】()()1:12020l a x ay a x y x +++=⇔+++=，当020x y x +=⎧⎨+=⎩，即2,2x y =-=，即直线恒过点()2,2-，故A 不正确；若12l l //，则有()()211a a a +-= ，解得：212a =，故B 正确；若12l l ⊥，则有()()110a a a a ++-=，得0a =，故C 不正确； 若直线2l 不经过第三象限，则当10a -≠时，101a≥-，01a a -≤- ，解得：01a ≤<，当10a -=时，直线2:1l x =，也不过第三象限， 综上可知：01a ≤≤时，2l 不经过第三象限，故D 正确. 故选：BD 22．AC【分析】当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，即可判断A 、D ，设出P 坐标，根据最短使PQ 与直线垂直求解P 坐标，即可判断C ，由两点式求出直线方程，即可判断B ． 【详解】解：当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，Q45=，故A 正确； 故PQ 的长度范围为4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，2435<，故D 错误；设35,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3514413PQm k m +-==--，解得1325m =， 故P 为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确； 此时直线PQ 的方程是114113112525y x --=--，即4370x y +-=，故B 错误，故选：AC ． 23．1【详解】：121212,,,12k k k k m ==-∴⋅=-直线互相垂直，即12()1,12m m⋅-=-∴=24．⎣ 【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为正切函数tan y α=在,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，当,63ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，tan α∈⎣，所以斜率tan k α=∈⎣【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.25．13⎡⎣【解析】化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ， 令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为=r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13=CN ，所以MN 的取值范围是13⎡⎣.故答案为：13⎡⎣.【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 26．240x y +-=【分析】由题可得直线恒过定点()2,1P ，可设方程为()10,0x y a b ab+=>>，则211ab+=，利用基本不等式可得142AOB S ab =≥△，即求. 【详解】∵直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=， ∴1(23)0x y m x y --+--=，由10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩， ∴直线恒过定点()2,1P ，可设直线方程为()10,0x y a b a b +=>>，则,0,0,A a B b ，211a b+=，又211ab+=≥8ab ≥，当且仅当4,2a b ==时取等号， ∴142AOB S ab =≥△，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为142xy+=，即240x y +-=. 故答案为：240x y +-=.27【解析】求出点B 关于直线l ：10x y -+=的对称点为C ，连结AC ，则AC 交直线l 于点P ，点P 即为所求的点，此时PA PB PA PC +=+，()min PA PB AC +=. 【详解】解：设点B 关于直线l ：10x y -+=的对称点为(),C m n线段BC 的中点3,22m n +⎛⎫⎪⎝⎭在10x y -+=上 则31022m n +-+=()1又1l BC k k ⋅=-，311n m-⨯=-()2解()()12得，()2,1;2,1m n C ==AC ==【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用， 属于中档题. 28．45y x =【解析】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053a a b a b b ⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线l 的方程为45y x =. 故答案为：45y x =【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.29．（1）34230x y --=；（2）4310x y ++=；（3）1127740x y ++=.【分析】(1)先求AB 的中点坐标为(5,2)-，利用两直线垂直121k k =-，则134AB k k =-=，再利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用两直线平行12k k =，则43AB k k ==-，再利用点斜式写出直线方程即可；（3）先利用点关于直线的对称点求(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n '，BB '的中点在直线l 上，BB l '⊥，则斜率乘积为 1，联立方程可解148(,)55B '--，86115142785B Ak '-+∴==-+，再利用点斜式写出直线方程即可.【详解】（1）8252+=，6222-+=-，∴AB 的中点坐标为(5,2)-， 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34， ∴由点斜式可得32(5)4y x +=-， ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=； （2）由点斜式43(2)3y x +=--， ∴直线l 的方程4310x y ++=，（3）设(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n '，∴2324{22431022n m m n -=-++⨯+⨯+=，解得145{85m n =-=-，∴148(,)55B '--，86115142785B A k '-+==-+， 由点斜式可得116(8)27y x +=--，整理得1127740x y ++= ∴反射光线所在的直线方程为1127740x y ++=. 30．（1）40x y +-=；（2）2100x y -+=.【分析】（1）直接由两点式求边AB 所在直线的方程；（2）求出点D 的坐标为（－4，2），再利用两点式求中线BD 所在直线的方程. 【详解】（1）由两点式得边AB 所在直线的方程为406420y x --=---，即40x y +-=； （2）由题意，得点D 的坐标为（－4，2），由两点式，得BD 所在直线的方程为()()426224x y ---=----，即2100x y -+=.31．（1）证明见解析； （2）面积S 的最小值为4，直线l 的方程为240x y +-=． 【分析】（1）先将直线方程化成点斜式，求得x 、y 的值，可得定点坐标，再根据定点在第一象限，可得直线l 始终经过第一象限；（2）法一：先求得A 、B 的坐标，可得ABC 的面积为S 表达式，再利用基本不等式，求得S 的最小值及此时的k 值，进而得到此时直线l 的方程．法二：设直线的方程为1x y a b +=(0,0)a b >>，则12S ab =，直线l 过定点(2,1)，所以211a b+=，利用基本不等式求得8ab ≥，则可得S 的最小值及此时的,a b 的值，进而得到此时直线l 的方程．【详解】（1）因为直线:120l kx y k -+-=，即1(2)y k x -=-，令20x -=，求得2x =，1y =， 即直线l 过定点(2,1)且在第一象限，所以无论k 取何值，直线l 始终经过第一象限．（2）方法一：因为直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，所以0k <， 令0y =，解得21k x k-=；令0x =，得12y k ，即21,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭，(0,12)-B k ， ∴112111(12)()44222k S OA OB k k k k -⎛⎫=⋅=-=--+ ⎪⎝⎭， ∵0k <，∴0k ->，则144k k -+≥=-， 当且仅当14k k -=-，也即12k =-时，取得等号，则()1114444422S k k ⎛⎫=--+≥⨯+= ⎪⎝⎭，∴4S ≥，从而S 的最小值为4， 此时直线l 的方程为122y x =-+，即240x y +-=． 方法二：因为直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，设(),0A a ，()0,B b ，设直线的方程为1x y a b +=(0,0)a b >>，则12S ab =， 又直线l 过定点(2,1)，所以211ab+=，又因为0a >，0b >，所以211ab=+≥即：1，所以8ab ≥， ∴4S ≥，即S 的最小值为4， 此时21a b=，解得4a =，2b =，所以直线l 的方程为142xy+=，即：240x y +-=．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题和直线方程，涉及三角形的面积、截距的定义，以及利用基本不等式求面积最值，考查计算能力．32．（1）证明见解析；（2）[0,)+∞；（3）S 的最小值为4，直线l 的方程为x －2y ＋4＝0． 【分析】（1）直线方程化为y ＝k （x ＋2）＋1，可以得出直线l 总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y 轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为y ＝k （x ＋2）＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点（－2，1）． （2）直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l不经过第四象限，则0120k k ≥⎧⎨+≥⎩解得k ≥0，故k 的取值范围是[0,)+∞．（3）依题意，直线l 在x 轴上的截距为12kk+-，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A 12,0k k +⎛⎫-⎪⎝⎭，B （0，1＋2k ）． 又120kk+-<且1＋2k ＞0，∴k ＞0．故S ＝12|OA ||OB |＝12×12k k+×（1＋2k ）＝1214+4k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12×（4＋4， 当且仅当4k ＝1k，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．33．(1)证明见解析；(2) 10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A ax a +=+，则()1252521AOBa S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长； (3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ； (2)由()1520a x y a ++--=得， 当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A ax a +=+， 又由5205201B A y a ax a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOBa a a Sa a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号.()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数， 即52a +，521aa ++均为整数， 523211a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=. 【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.34．（1）()66C ，（2）2180x y +-= 【分析】（1）由AC 边上的高BE 所在的直线方程可得kAC ．利用点斜式可得AC 方程,与CM 方程联立解得C 坐标．（2）设B 点坐标，可得中点M 坐标代入CM 方程，与BE 方程联立，可得点B 坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程． 【详解】（1）AC 边上的高为74460x y +-=，故AC 的斜率为47， 所以AC 的方程为()4217y x -=+， 即47180x y -+=，因为CM 的方程为211540x y -+=21154047180x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，，解得66x y =⎧⎨=⎩ 所以()66C ，. （2）设()00,B x y ，M 为AB 中点，则M 的坐标为0012,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭， 0000122115402274460x y x y -+⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩解得0028x y =⎧⎨=⎩， 所以()2,8B ， 又因为()6,6C ，所以BC 的方程为()866626y x --=-- 即BC 的方程为2180x y +-=.【点睛】本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 35．（1）30x y +-=（2）0y =或1x =-【解析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m -+⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩ ，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以点()1,0A -关于直线l ：10x y +-=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =-，则直线1l 为：()21y x -=--，即30x y +-=.（2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h == 又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b=，即1b a =-或3b a =+又1b a =-，解得：10a b =⎧⎨=⎩ 或12a b =-⎧⎨=⎩则直线2l 为：0y =或1x =-31 / 31。
高二数学 上学期直线的方程例题一 试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学上学期直线的方程例题〔一〕A (1,2),且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4,求这条直线的方程.解:由,可设直线方程为1=+by a x 又因直线过点A (1,2),所以121=+b a 所求直线与两坐标轴正半轴相交,故.421,0,0=ab b a 且∴所求直线方程为142=+y x 即042=-+y x . 0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得的线段的中点,恰好是坐标原点,求该直线方程. 解:设所求直线与1l 、2l 的交点分别是A 、B ，设A 〔x 0,y 0〕因为A 、B 分别在1l 、2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++(2)0653(1) 0640000y x y x ①+②得：,0600=+y x 即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为：06=+y x例3．直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程. 说明：由题意知所围三角形为直角三角形，而根据直角三角形面积公式，直线方程应设为截距式较好.解:设直线方程为1=+by a x ∵直线斜率61=k ,∴61=-a b . 又,321=ab 解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1616b a b a 或 所求直线方程为：066066=--=+-y x y x 或例3．过点P 〔2，1〕作直线l 交x ，y 正半轴于A 、B 两点，当PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.解:设直线l 的方程为)2(1-=-x k y ,分别令00==x y 和得)21,0(),0,12(k B k A -- 当且仅当PB PA k k ⋅±==,112时即取到最小值4.又1,0-=∴k k所以直线l 的方程为:03=-+y x 说明:此题在求解过程中运用了根本不等式,同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除1=k 这一情形.A (1,4)是纵横截距的绝对值相等的直线一共有()条说明:此题应注意直线方程截距式的适用前提是横、纵截距都存在且都不为零，同时注意体会分类讨论思想。
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高二数学直线的方程练习一
班级姓名学号成绩
一、填空题
1．若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是
2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=
3．点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为
4．点Ｍ（４，m）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则
5．以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是
6．过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是
7．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是__________
8．直线0
+
x
+n
y
x和的位置关系是
m
y
2
2=
+
+
=
9．如图1，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，
则必有
10．已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边
AB上的中线所在的直线方程为
11．已知点)4,5
A,的距离相等的直线方程为
C且与B
(-
(-
A和),
2,3(
B则过点)2,1
12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是
13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是
14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为
二、解答题
15、直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0，没有公共点，求实数m的值.
16、①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;
②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是105
3的直线的方程.
17、已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.
18、已知正方形的中心直线01=+-y x 和022=++y x 的交点，正方形一边所在直线方程为053=-+y x ，求其他三边所在的直线方程。
19、已知直线l:y=ax+2和A(-1，4)，B(3，1)两点，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围.
20、直线l过点P(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l 的方程.
(2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程.
高二B 部参考答案
1. ３０°；
2. -6；
3. 2
1；4.m ＝３，n ＝５；5.3x+y+4=0；6.x+2y-4=0；7.（-2，1）；8.垂直；9. k 1<k 3<k 2； 10.x+5y-15=0.11.x+4y-7=0或x=-1;12.x+y-3=0或2x-y=0;13.26
1;14.2x-y+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0.
16.m=0或m=-1;17.x=1或3x-4y-3=0.。