上海交通大学 矩阵理论 课件20110915
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矩阵理论_课件_11
2
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明： 当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角 矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意 定理 对任意 ， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明： 当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角 矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意 定理 对任意 ， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
《矩阵论》课件 共39页PPT资料
n
x 1
xi ;
i1
1
x
2
n i1
xi
2 2
;
x
max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2
p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一
上海交通大学matlab课件
reshape(A,m,n) %m*n=number
例： 修改矩阵A中元素的数值
Example2
三、基本运算功能
MATLAB的基本运算可分为三类 – 算术运算 – 关系运算 – 逻辑运算
基本算术运算符
运算 加 乘
左除 右除 幂次方
符号 + * \ / ^
运算 减
数组相乘 数组左除 数组右除 数组幂次方
800
600
二维绘图的图例标注说明
Legend
Light Intensity as a Function of Distance
Theory Experiment
Text
Comparison between theory and experiment.
Tick-mark
INTENSITY (lux)
逻辑函 数
all any isempty isequal isreal find
功能
如果所有的元素都是非零值，返回1；否则，返回0 如果有一个元素为非零值，那么返回1；否则，返回0 判断是否空矩阵 判断两矩阵是否相同 判断是否是实矩阵 返回一个由非零元素的下标组成的向量
三、数据与函数的可视化
MATLAB设有大量函数和命令来绘制出各种各样 的图形，具有强大的绘图功能
（数值数组、字符串数组、符号对象、元胞等）。 5) 不同结构的同名域中可以存放不同类型的内容。 6) 结构数组可以是任意维的，可以利用下标寻址。
*直接对域赋值法产生“单构架”，即1*1构架数组
Green_='一号房' %构架的域由(构架名).(域名)标识 Green_house.volume='2000立方米' Green_house.temperature=[31.2,30.4,31.6,28.7,29.7,31.1] Green_house.humidity=[62.1,59.5,57.7,61.5,62.0,61.9]
上海交通大学研究生(非数学专业)数学基础课程《矩阵理论》教学大纲.doc
2018年度中等职业教育质量年度报告黑龙江东亚学团职业高级中学2019年3月目录一、学校情况11.1学校概况 11.2学生情况 11.3教师队伍 21.4设施设备 2二、学生发展32.1学生素质 32.2在校体验 42.3资助情况 52.4就业质量 52.5职业发展 6三、质量保障措施63.1专业动态调整 63.2教育教学改革 73.3教师培养培训 83.4规范管理 83.5德育工作情况 133.6党建情况 16四、校企合作164.1校企合作开展情况和效果184.2学生实习情况 184.3集团化办学情况18五、社会贡献195.1技术技能人才培养 195.2社会服务 205.3对口支援 20六、举办者履责206.1经费保障 206.2政策措施 21七、特色创新221.加强心理健康教育22八、主要问题和改进措施222018年度黑龙江东亚学团职业高级中学质量报告1.学校情况1.1学校概况黑龙江东亚学团职业高级中学系原第一机床厂职业高级中学，成立于1980年, 学校的主要任务是为工厂培养技术工人。
1995年，齐齐哈尔第一机床厂经济效益开始滑坡，出现拖欠职工工资的情况。
1998年2月学校加入了齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）为龙头的民办教育集团——黑龙江东亚学团，学校易名为黑龙江东亚学团职业高级中学。
2008年8月20日，由齐齐哈尔市国有资产监督管理委员会、齐齐哈尔职业学院、齐齐哈尔市龙沙区人民政府和齐齐哈尔第一机床厂四家单位共同签署的文件《关于对东亚学团资产清查界定和处置的协议书》中，黑龙江东亚学团职业高中办学性质被界定为“国有公办，执行托管协议。
委托齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）进行管理”。
校园占地面积5864.64平方米，建筑面积（校舍面积）22841.32平方米，校园总面积39040.32平方米。
学校资产总额13718916.91元，固定资产7554957.64元。
1.2学生情况目前学校在籍学生257人，其中职高学籍为37人；开设计算机平面设计、计算机网络技术、航空服务、铁路客运服务、汽车运用与维修、数控技术应用、机械制造技术等专业，2018年招生人数比上一年有所减少。
矩阵理论课件-第一章 线性代数引论
推论2 V中任意一个元素y, 均可由V的一个基底 x1, … , xn唯一表出.
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
战略管理(第五讲)-上海交通大学
强竞争地位
第5讲 战略匹配与选择
定量战略计划矩阵（QSPM表） ☆在QSPM的左栏列出公司的关键外部机会与威 胁和内部优势与弱点 ☆给每个外部及内部关键因素赋权 ☆将备选的战略方案列于QSPM的顶部 ☆确定吸引力分数 ☆计算吸引力总分 ☆计算吸引力总分和
第5讲 战略匹配与选择
战略选择的优先次序：1、横向一体化、合资（联盟）；2、集 中多元化；3、横向多元化、混和多元化；4、纵向一体化
第5讲 战略匹配与选择
内部—外部矩阵
高 4.0
高
增长和建立
IFE加总评分 中
3.0
2.0
Ⅰ
Ⅱ
EFE
3.0
加中
Ⅳ
Ⅴ
总
评
分 2.0
低
Ⅶ
Ⅷ
1.0 坚持和保持
低 1.0
Ⅲ Ⅵ Ⅸ 收获或剥离
第5讲 战略匹配与选择
内部—外部矩阵分析的战略匹配 ☆增长建立区：宜采取加强型战略（市场 渗透、市场开发和产品开发）和一体化 战略（前向、后向、横向一体化） ☆坚持和保持区：宜采取市场渗透和产品 开发 ☆收获和剥离区：宜采取剥离、出售、清 算等策略
ST战略 1、进入药品销售领域（S1、 S2、S5、S6、S7、T4）
WT战略 1、建立自己的终端销售网络（W3、 W4、W5、W6、W9、T2） 2、建立药材基础（W5、T3） 3、开展保健品、卫生用品等集中 多元业务（W1、W3、W4、W5、 W6、W9、T2）
第5讲 战略匹配与选择
战略地位与行动评价矩阵 ☆选择构成财务优势（FS）、竞争优势 （CA）、环境稳定性（ES）和产业优 势（IS）的一组变量 ☆对构成FS、IS、ES、CA轴的各变量 进行评分 ☆计算FS、IS、ES、CA的平均分
上海交通大学 矩阵理论 课件20110920
内积空间与正定二次型
1
内积空间
内积空间V ：线性空间+内积。 内积：对线性空间V 中的任意两个向量α, β ，定义实数域或复数域F中的一个 数(α, β )， 称为内积。需要满足以下三点： • 共轭对称性：(α, β ) = (β, α)； • 正定性：(α, α) ≥ 0，且等号成立的充要条件是α = 0； • 双线性：(aα + bβ, γ ) = a(α, γ ) + b(β, γ )。
3
3.1
内积与矩阵
酉矩阵
酉矩阵Q：Q = (α1 , α2 , · · · , αn )中列向量是V = Rn 或V = Cn 的一组 标准正交 基。实的酉矩阵称为正交矩阵。 矩阵Q是酉矩阵⇔QQ∗ = I 。 实矩阵Q是正交矩阵⇔ QQT = I ⇔ Q−1 = QT 。 利用正交矩阵就可以将实对称矩阵对角化。
3.3
内积与正定矩阵
基α1 , α2 , · · · , αn 的度量矩阵或Gram矩阵：A = (aij )，其中aij = (αi , αj )。 设V 是n维复线性空间，则其上的内积与正定矩阵意义对应。（通过正定Hermite矩 阵可以定义内积，而从已有内积中也 可以得到相应的Hermite矩阵）。 任意n阶复矩阵A = (aij )，称y ∗ Ax =
3.2
Hermite矩 阵
Hermite矩阵：复共轭对称矩阵，即满足A = A∗ 。 Hermite矩阵的特征值均为实数，且不同特征值的特征向量彼此正交。 Hermite矩阵A可以酉对角化，即存在酉矩阵U 使得U ∗ AU = D是对角矩阵。 特别地，实对称矩阵 可以正交对角化。 （复）Hermite二次型（简称二次型）：关于未定元x = (x1 , · · · , xn )T 的复系 n ¯i xj ，其中aij = a¯ 数二次多项式f (x) = ji 。存在唯一的n阶Hermite矩 i,j =1 aij x ∗ 阵A = (aij )使得f = x Ax，该矩阵A称为二次型的矩阵。 正定二次型、正定矩阵：设f (x) = x∗ Ax是复二次型，A是Hermite矩阵，若 对任意非零向量α ∈ Cn ， 均有f (α) = α∗ Aα > 0，则称f (x)是正定二次型，A是 正定矩阵。 设A是n阶Hermite矩阵，则下列条件等价： • A是正定的； • f (x) = x∗ Ax是正定二次型； • A的特征值均为正实数； • 存在m × n阶列满秩矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵P ，使得P ∗ AP = I （即A与I 合同）。 2
1
内积空间
内积空间V ：线性空间+内积。 内积：对线性空间V 中的任意两个向量α, β ，定义实数域或复数域F中的一个 数(α, β )， 称为内积。需要满足以下三点： • 共轭对称性：(α, β ) = (β, α)； • 正定性：(α, α) ≥ 0，且等号成立的充要条件是α = 0； • 双线性：(aα + bβ, γ ) = a(α, γ ) + b(β, γ )。
3
3.1
内积与矩阵
酉矩阵
酉矩阵Q：Q = (α1 , α2 , · · · , αn )中列向量是V = Rn 或V = Cn 的一组 标准正交 基。实的酉矩阵称为正交矩阵。 矩阵Q是酉矩阵⇔QQ∗ = I 。 实矩阵Q是正交矩阵⇔ QQT = I ⇔ Q−1 = QT 。 利用正交矩阵就可以将实对称矩阵对角化。
3.3
内积与正定矩阵
基α1 , α2 , · · · , αn 的度量矩阵或Gram矩阵：A = (aij )，其中aij = (αi , αj )。 设V 是n维复线性空间，则其上的内积与正定矩阵意义对应。（通过正定Hermite矩 阵可以定义内积，而从已有内积中也 可以得到相应的Hermite矩阵）。 任意n阶复矩阵A = (aij )，称y ∗ Ax =
3.2
Hermite矩 阵
Hermite矩阵：复共轭对称矩阵，即满足A = A∗ 。 Hermite矩阵的特征值均为实数，且不同特征值的特征向量彼此正交。 Hermite矩阵A可以酉对角化，即存在酉矩阵U 使得U ∗ AU = D是对角矩阵。 特别地，实对称矩阵 可以正交对角化。 （复）Hermite二次型（简称二次型）：关于未定元x = (x1 , · · · , xn )T 的复系 n ¯i xj ，其中aij = a¯ 数二次多项式f (x) = ji 。存在唯一的n阶Hermite矩 i,j =1 aij x ∗ 阵A = (aij )使得f = x Ax，该矩阵A称为二次型的矩阵。 正定二次型、正定矩阵：设f (x) = x∗ Ax是复二次型，A是Hermite矩阵，若 对任意非零向量α ∈ Cn ， 均有f (α) = α∗ Aα > 0，则称f (x)是正定二次型，A是 正定矩阵。 设A是n阶Hermite矩阵，则下列条件等价： • A是正定的； • f (x) = x∗ Ax是正定二次型； • A的特征值均为正实数； • 存在m × n阶列满秩矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵P ，使得P ∗ AP = I （即A与I 合同）。 2
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特征值与矩阵的相似对角化、线性空间
1
特征值
n阶复矩阵A可相似对角化（可对角化）：存在对角矩阵D = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )与 可逆矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )使得A = P DP −1 ，则称A与D相似。 λi ：特征值或特征根（本征值） αi ：特征向量 |λI − A|：特征多项式
• 矩阵A的迹等于其所有特征值的和； • 设f (x)为任意多项式，λ是A的一个特征值，α是属于特征值λ的特征向量， 则f (λ)是f (A)的一个特征值，α 是属于f (λ)的特征向量； • 设A可逆且特征多项式为|λI − A|，则其逆矩阵的特征多项式为|λI − A−1 | = s −1 ni −1 i=1 (λ − λi ) ，且若α是A的属于特征值λ的特征向量，则α也是A 的属 −1 于特征值 λ 的特征向量； • 任何特征值的几何重数不超过其代数重数； • 相似矩阵具有相同的特征多项式（因此具有相同的特征值）。
2
• n维线性空间中任意n个线性无关向量均构成一组基，且任何一组基恰 含n个向量； • n维线性空间中任意r个线性无关向量均能扩充成一组基。
3.4
过渡矩阵
n维线性空间V 中两组基α1 , α2 , · · · , αn 和β1 , β2 , · · · , βn ，分别称为α−基和β −基。 它们满足 β1 = p11 α1 + p21 α2 + · · · + pn1 αn , β2 = p12 α1 + p22 α2 + · · · + pn2 αn , . . .βn = p1n α1 + p2n α2 + · · · + pnn αn , 或用矩阵形式表达为 (β1 , β2 , · · · , βn ) = (α1 , α2 , · · · , αn )P. 矩阵P 称为由α−基到β −基的过渡矩阵。 设γ ∈ V 在α−基和β −基下的坐标分别为x = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和y = (y1 , y2 , · · · , yn )T 。 则 x1 y1 y1 x1 x2 y2 y2 x2 . . =P. , = P −1 . . . . . . . . . xn yn yn xn 这个公式称为坐标Vλ ：矩阵A的特征值λ的特征子空间，其维数称为特征 值λ的几何重数。 设σ (A)（所有特征值的集合）= {λ1 , λ2 , · · · , λs }，且|λI − A| = s i=1 (λ − λi )ni ，则称正整数ni 为特征值λi 的代数重数。
1.1
特征值的性质
3
线性空间
加群+数乘（基域F） • 数乘的结合律； • 数乘关于向量加法的分配率； • 数乘关于数的加法的分配率； • 数乘的初始条件：1 · α = α，其中1 ∈ F。 记为(V, +, ·)，称其为数域F上的线性空间（或向量空间），简称其为F线性空 间。
3.3
基、维数
基：线性无关向量组α1 , α2 , · · · , αn 使得线性空间V 中任意向量和它们线性相 关。 维数：非负整数n称为V 的维数，记为dim V 。（如果不存在这样的有限整 数，称为无限维。） 重要性质： • 线性空间中任意向量α均可唯一地表示为基向量的线性组合α = k1 α1 + k2 α2 + · · · + kn αn ，其中(k1 , k2 , · · · , kn )T 称为α 关于基α1 , α2 , · · · , αn 的坐标； • n维线性空间中任意n + 1个向量必线性相关；
1.2
特征向量的性质
属于不同特征值的特征向量线性无关。
1
2
对角化主定理
一个n阶矩阵A可对角化⇔ A的每个特征值的代数重数与几何重数相等⇔ A有n个线性无关的特征向量。
3
3.1
线性空间
加群（或称交换群）
• 封闭性； • 结合律； • 交换律； • 存在零向量； • 存在负向量。
记为(V, +)。
3.2
1
特征值
n阶复矩阵A可相似对角化（可对角化）：存在对角矩阵D = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )与 可逆矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )使得A = P DP −1 ，则称A与D相似。 λi ：特征值或特征根（本征值） αi ：特征向量 |λI − A|：特征多项式
• 矩阵A的迹等于其所有特征值的和； • 设f (x)为任意多项式，λ是A的一个特征值，α是属于特征值λ的特征向量， 则f (λ)是f (A)的一个特征值，α 是属于f (λ)的特征向量； • 设A可逆且特征多项式为|λI − A|，则其逆矩阵的特征多项式为|λI − A−1 | = s −1 ni −1 i=1 (λ − λi ) ，且若α是A的属于特征值λ的特征向量，则α也是A 的属 −1 于特征值 λ 的特征向量； • 任何特征值的几何重数不超过其代数重数； • 相似矩阵具有相同的特征多项式（因此具有相同的特征值）。
2
• n维线性空间中任意n个线性无关向量均构成一组基，且任何一组基恰 含n个向量； • n维线性空间中任意r个线性无关向量均能扩充成一组基。
3.4
过渡矩阵
n维线性空间V 中两组基α1 , α2 , · · · , αn 和β1 , β2 , · · · , βn ，分别称为α−基和β −基。 它们满足 β1 = p11 α1 + p21 α2 + · · · + pn1 αn , β2 = p12 α1 + p22 α2 + · · · + pn2 αn , . . .βn = p1n α1 + p2n α2 + · · · + pnn αn , 或用矩阵形式表达为 (β1 , β2 , · · · , βn ) = (α1 , α2 , · · · , αn )P. 矩阵P 称为由α−基到β −基的过渡矩阵。 设γ ∈ V 在α−基和β −基下的坐标分别为x = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和y = (y1 , y2 , · · · , yn )T 。 则 x1 y1 y1 x1 x2 y2 y2 x2 . . =P. , = P −1 . . . . . . . . . xn yn yn xn 这个公式称为坐标Vλ ：矩阵A的特征值λ的特征子空间，其维数称为特征 值λ的几何重数。 设σ (A)（所有特征值的集合）= {λ1 , λ2 , · · · , λs }，且|λI − A| = s i=1 (λ − λi )ni ，则称正整数ni 为特征值λi 的代数重数。
1.1
特征值的性质
3
线性空间
加群+数乘（基域F） • 数乘的结合律； • 数乘关于向量加法的分配率； • 数乘关于数的加法的分配率； • 数乘的初始条件：1 · α = α，其中1 ∈ F。 记为(V, +, ·)，称其为数域F上的线性空间（或向量空间），简称其为F线性空 间。
3.3
基、维数
基：线性无关向量组α1 , α2 , · · · , αn 使得线性空间V 中任意向量和它们线性相 关。 维数：非负整数n称为V 的维数，记为dim V 。（如果不存在这样的有限整 数，称为无限维。） 重要性质： • 线性空间中任意向量α均可唯一地表示为基向量的线性组合α = k1 α1 + k2 α2 + · · · + kn αn ，其中(k1 , k2 , · · · , kn )T 称为α 关于基α1 , α2 , · · · , αn 的坐标； • n维线性空间中任意n + 1个向量必线性相关；
1.2
特征向量的性质
属于不同特征值的特征向量线性无关。
1
2
对角化主定理
一个n阶矩阵A可对角化⇔ A的每个特征值的代数重数与几何重数相等⇔ A有n个线性无关的特征向量。
3
3.1
线性空间
加群（或称交换群）
• 封闭性； • 结合律； • 交换律； • 存在零向量； • 存在负向量。
记为(V, +)。
3.2