全国卷数学高考模拟试题精编七
2023年数学高考复习真题演练(全国卷)07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (含详解)
专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称． (2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称． (3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称． (4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称． 4.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期. 【方法技巧与总结】 1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 1()f x 为减函数； ④若()0f x >且()f x1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称． 【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用 题型二：复合函数单调性的判断 题型三：利用函数单调性求函数最值 题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性 题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 题型十三：函数性质的综合 【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（ ） A ．f (x )在R 上是增函数 B ．f (x )在R 上是减函数 C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（ ）． A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()()2x x f x --=的单调递减区间是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数； 2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e e x xx xf x ---=+；④()11e x f x -=+． 例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-. （1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（ ）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值． 4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ． 5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ． 题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,xm m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数2axf x a（0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（ ） A ．24y x x =- B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()3log 7b f =， ()30.8c f =-，则（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ． a c b <<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（ ）． A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1y x= B ．ln y x x =-- C ．3y x x =--D ．3=-+y x x 例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（ ）A ．()sin g x x =B ．()22g x x x =+C ．()3g x x x =-D ．()()x x g x e e -=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ) （4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）判断并证明函数()f x 在0,上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性. 题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330xxa a af x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______． 例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为( )A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（ ）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+. (1)求()1f 和()1f -的值； (2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式. 【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lglog 102022f =，则()lglg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113esin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（ ）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___. 【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则 （1）()()2f x f x M -+= （2）max min ()()2f x f x M += 题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称 C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（ ）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()3ln3e e f f f <<- B ．()()()3e ln3ef f f -<< C ．()()()3e e ln3f f f <-<D ．()()()3ln3e e f f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（ ）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（ ）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（ ）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（ ）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x π-=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x π=≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ， ()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i i i x y =+=∑（ ）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-B．((,0,3⎤-∞⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,⎡⎡+∞⎣⎣例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf xa +≤恒成立，则1a ≥ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】 1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()()xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n n g x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1xf x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；xx②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数) (2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数) (3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数) (4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤， 则a 的最小值是（ ）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x x f x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33e x x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3][1,)-∞-+∞B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．)+∞ B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+ B ．(),e -∞- C ．[]e,0- D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ 【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】 一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（ ） A ．2x y <B ．2x y >C ．x y >D ．x y <3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（ ）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于( )A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x -=+，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．240x y ++= B ．240x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lgf x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于()0,1对称 B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________． 14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ()1212xx f x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； (3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥； (3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+- ②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由. （2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇。
高考模拟试题(七)数学(后附参考答案解析)
绝密★启用前高考模拟试题（七）数学时间：120 分钟 分值：150 分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数)23(i i z -=(i 是虚数单位)，则z 的虚部是()2.-A3.-B 2.C 3.D 2.一个容量为20的样本数据，已知分组与频数分布如下：[10,20)，2个；[20,30)，3个；[30,40)，4个；[40,50)，5个；[50,60)，4个；[60,70)，2个.则样本在[10,50)上的频率为()203.A 103.B 207.C 107.D 3.已知直线012:1=++-a y ax l 和02)1(2:2=+--y a x l ，则21l l ⊥的充要条件是=a ()2.A 21.B 3.-C 31.D 4.将函数)6sin(2)(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像恰好关于原点对称，则ϕ的最小值为()6.πA 4.πB 3.πC 2.πD 5.执行下面的程序框图，当输入x 为2006时，输出的=y ()2.A 4.B 10.C 28.D6.已知向量a )2,(m =，b )0(),1(>-=n n ，且a ·b 0=，点),(n m P 在圆522=+y x 上，则|2a +b |=()34.A 37.B 102.C 8.D 7.已知三棱柱ABC O -中，OC OB OA ，，两两垂直，且12===OC OB OA ，，P 是ABC △上任意一点，设OP 与平面ABC 所成角为x ，y OP =，则y 关于x 的函数关系图像为()8.某中学在高二开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生.则恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为()43.A 83.B 169.C 329.D 9.已知)(x f 是定义在R 上的函数，若函数)2016(+x f 为偶函数，且对任意)(),2016[2121x x x x ≠+∞∈，，都有0)()(1212<--x x x f x f ，则())2017()2014()2019(.f f f A <<)2019()2014()2017(.f f f B <<)2019()2017()2014(.f f f C <<)2014()2017()2019(.f f f D <<10.已知)2,0(21cos sin πθθθ∈=-，，则=-)4sin(2cos πθθ()214.-A 47.-B 42.C 27.D 11.设点F 是抛物线x y 22=的焦点，过抛物线上一点P ，沿x 轴正向作射线x PQ ∥轴，若FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-，则点P 的坐标为())2,21(.--A )2,21(.-B )2,2(.-C )2,2(.D 12.已知函数c bx ax x x f +++=231)(23有两个极值点21x x ，，且21121<<<<-x x ，则直线03)1(=+--y a bx 的斜率的取值范围是())32,52(.-A )23,52(.-B )21,52(.-C ),32()52,(.+∞--∞ A第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知集合}21|{<<-=x x M ，}121|{2M x x y y N ∈-==，，则N M ______.14.海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶（如图），在A 处测得北侧一岛屿的顶端D 的底部C 偏北的。
2020新高考全新模拟卷7(解析版)
有
sin
2 3
=0
，
2
得
2k
,kZ
,又
.
3
2
所以 = 3
，即
f
x
sin
x
3
，
g x
sin
x
所以由
f
x
sin
x
3
向右平移
3
个单位长度可得
g
x
sin
x
的图像.
故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题.
6．已知点
P
是抛物线
【答案】AD
【解析】对于 A 中，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确 的；
对于 B 中，若 A、B 为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则 A 的对立事件与 B 的对立事件不一定互 斥，所以不正确；
对于 C 中，某个班级内有 40 名学生，抽 10 名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每 4 人中不一定必有 1 人抽中，所以是不正确的；
两式相加得到10a2 2c2 2b2 c2 3a2 e 3
故选： B
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出 AF 3a, AF1 a 是解题的关键.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
F x 在 R 上是单调递增函数
f 2x 1 f 2x 2
变形为 f 2x 1 1 1 f 2x f 2x 1 即 F 2x 1 F 2x F 2x 1 F 2x
全国卷高考文科数学模拟题及答案解析
全国卷高考文科数学模拟题及答案解析全国卷高考文科数学模拟题及答案解析本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，其中$S$为锥体的底面积，$h$为高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知$A=\{(x,y)|x+y=0,x,y\in R\}$，$B=\{(x,y)|x-y-2=0,x,y\in R\}$，则集合$A\cap B$等于（）。
A．$\{(x,y)|x=1\}$。
B．$\{(x,y)|y=-1\}$C．$\{1,-1\}$。
D．$\{(1,-1)\}$2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）。
A．$f(x)=-x+x^2+1$。
B．$f(x)=\frac{1}{x}$C．$f(x)=\log x$。
D．$f(x)=\ln 3x$3.已知函数$f(x)=\begin{cases}x(x+1),&x<0\\x(x-1),&x\geq0\end{cases}$，则函数$f(x)$的零点个数为（）。
A．1.B．2.C．3.D．44.等差数列$\{a_n\}$中，若$a_2+a_8=15-a_5$，则$a_5$等于（）。
A．3.B．4.C．5.D．65.已知$a>0$，$f(x)=x^4-ax+4$，则$f(x)$为（）。
A．奇函数。
B．偶函数。
C．非奇非偶函数。
D．奇偶性与$a$有关6.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(x,4)$，若向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$平行，则$x$=（）。
A．2.B．$-2$。
C．8.D．$-8$7.设数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_2=-8$，$a_{15}=5$，$S_n$是数列$\{a_n\}$的前$n$项和，则（）。
【最新】普通高等学校招生全国统一考试高考数学模拟试题七理PDF
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全国高考数学模拟试卷(4套)
全国高考数学模拟试卷(4套)一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最小值B. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最大值C. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得极值D. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处无极值2. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 9 $，则 $ a_5 $ 的值为多少？A. 12B. 15C. 18D. 214. 若 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为正B. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为负C. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 一正一负D. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 可以同时为零5. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + c = b + d $B. $ ad = bc $C. $ a c = b d $D. $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $6. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是等边三角形的三边长，则下列哪个选项是正确的？A. $ a^2 + b^2 = c^2 $B. $ a^2 + c^2 = b^2 $C. $ b^2 + c^2 = a^2 $D. $ a = b = c $7. 若 $ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该方程表示椭圆B. 该方程表示双曲线C. 该方程表示抛物线D. 该方程表示圆8. 已知 $ \sqrt{3} $ 是方程 $ x^2 2x + 1 = 0 $ 的根，则该方程的另一根为多少？A. $ 1 \sqrt{3} $B. $ 1 + \sqrt{3} $C. $ 2 \sqrt{3} $D. $ 2 + \sqrt{3} $9. 若 $ a $、$ b $、$ c $ 是三角形的三边长，且 $ a^2 +b^2 = c^2 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该三角形是等腰三角形B. 该三角形是等边三角形C. 该三角形是直角三角形D. 该三角形是钝角三角形10. 若 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ x + y = z $B. $ xy = z $C. $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = z $D. $ x + y + z = 0 $二、填空题（共10题，每题2分，共20分）11. 已知 $ f(x) = 2x + 1 $，若 $ f(3) = 7 $，则 $ f(1)$ 的值为______。
2021年高考数学模拟考试卷七含解析
高考数学模拟考试卷（七）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|13}A x R x =∈-，{|24}x B x N =∈<，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）复数z 满足(1)1z i i +=-，则z 的虚部等于( ) A ．i -B ．1-C ．0D ．13．（5分）“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+的” ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）函数||()sin ln x f x x x=-的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强p （单位：)mmHg 和高度h （单位：)m 之间的关系为760(hk p e e -=是自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则我战机在1000m 高空处的大气压强约是（结果保留整数）( )A ．645mmHgB ．646mmHgC ．647mmHgD ．648mmHg6．（5分）已知O 为ABC ∆所在平面内一点，若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，6AB =，4AC =，则(AO BC ⋅= )A ．5-B ．10-C ．10D ．57．（5分）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为( ) A ．712612+ B ．910+ C ．832612+ D ．926+8．（5分）已知()f x '是函数()f x 的导函数，对于任意x R ∈，都有()(23)()x f x e x f x '=++，(0)2f =-，则不等式()2x f x e <的解集为( )A ．(1,2)-B ．(1,4)-C ．(2,1)-D ．(4,1)-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学模拟七试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3C. -√3D. 0.1010010001…答案：C解析：A、B、D选项都是有理数，只有C选项是开不尽的根号，因此是无理数。
2. 函数f(x) = 2x + 3在定义域内的（）A. 单调递增B. 单调递减C. 既有增又有减D. 无单调性答案：A解析：函数f(x) = 2x + 3是一次函数，斜率k = 2 > 0，因此函数在定义域内单调递增。
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10等于（）A. 130B. 120C. 110D. 100答案：A解析：由等差数列的求和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2，得S10 = 10(3 + a10)/2。
由等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n - 1)d，得a10 = 3 + 92 = 21。
代入求和公式，得S10 = 10(3 + 21)/2 = 130。
4. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则下列哪个结论一定成立？（）A. a^2 + b^2 = 1B. a^2 - b^2 = 1C. a^2 + b^2 = 0D. a^2 - b^2 = 0答案：A解析：复数z的模|z| = √(a^2 + b^2)，若|z| = 1，则a^2 + b^2 = 1。
5. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 1)B. y = lg(x + 1)C. y = |x|D. y = x^2 - 1答案：C解析：A选项中，x - 1 ≥ 0，即x ≥ 1，因此定义域为[1，+∞)；B选项中，x + 1 > 0，即x > -1，因此定义域为(-1，+∞)；C选项中，|x|的定义域为实数集R；D选项中，x^2 - 1的定义域为实数集R。
因此，C选项定义域为实数集R。
二、填空题6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像的顶点坐标是（）答案：（2，-1）解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，因此顶点坐标为（2，-1）。
课标全国卷数学高考模拟试题精编(七)
课标全国卷数学高考模拟试题精编七【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数i 2＋i 3＋i 41－i 在复平面内对应的点与原点的距离为( )A ．1 B.22 C. 2 D ．22．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝( ) A.70 B ．4 5 C ．3 5 D ．2 53．已知α，β表示两个相交的平面，直线l 在平面α内且不是平面α，β的交线，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为( )A ．4B ．2 3C ．2 2 D. 35．已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1)个1之间有(2k －1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2 012项中1的个数为( ) A ．44 B ．45 C ．46 D ．476．(理)若函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －4)，x ＞02x ＋∫π60cos 3t d t ，x ≤0，则f(2 012)＝( )A .13B ．－43C .43D .73(文)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A .355 B .377 C .31010 D .137．点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±4xC ．y ＝±25xD ．y ＝±26x8．(理)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( ) A .16 B .14 C .13 D .12(文)在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA ＝SC ＝2，AC 的中点为M ，∠SMB 的余弦值是33，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A .3π2 B ．2π C ．6π D .6π9．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3，a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．11010．若程序框图如图所示，视x 为自变量，y 为函数值，可得函数y ＝f (x )的解析式，则f (x )＞f (2)的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(4,5]C ．(－∞，－2]D ．(－∞，－2)∪(3.5,5]11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在x ∈[－2π，2π]时的零点个数是( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．下列命题正确的序号为________． ①函数y ＝ln(3－x )的定义域为(－∞，3]；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最小值为5；③若命题p ：对∀x ∈R ，都有x 2－x ＋2≥0，则命题綈p ：∃x ∈R ，有x 2－x ＋2＜0；④若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b 的最小值为1.14．(理)10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________种．(文)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年教育支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ∧＝0.15x ＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．15．已知a 、b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是________．16．已知数列 {a n }为等差数列，a 3＝3，a 1＋a 2＋…＋a 6＝21，数列{1a n}的前n 项和为S n ，若对一切n ∈N *，恒有S 2n －S n ＞m16成立，则m 能取到的最大正整数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin x,1)，b＝(1，cos x)，且函数f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；(2)将f(x)横坐标缩短为原来的一半，再向右平移π4个单位得到g(x) ，设方程g(x)－1＝0在(0，π)上的两个零点为x1，x2，求x1＋x2的值．18．(理)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD ＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BEF；(Ⅱ)设P A＝k·AB，且二面角E－BD－C大于30°，求k的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝12BC，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求证：EG⊥平面BDF.19.(理)(本小题满分12分)随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮．据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建成公共自行车租赁系统．某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟至120分钟(含120分钟)收取1元租车服务费，120分钟至180分钟(含180分钟)收取2元租车服务费，180分钟以上的时间按每小时3元计费(不足1小时的按1小时计)，租车费用实行分段合计．现有甲、乙两人相互独立到租车点租车上班(各租一车一次)，设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为12，14，1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为14，13，2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为18，13，两人租车时间均不会超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲一周内有四天(每天租车一次)均租车上班，X 表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X 的分布列与数学期望．(文)(本小题满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎨⎧3，96≤x ＜985，98≤x ＜1044，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．20.(本小题满分12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(Ⅰ)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率； (Ⅱ)若函数y ＝2＋log m x (m ＞0且m ≠1)的图象，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2A →·F 2B →的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，证明函数f (x )只有一个零点；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△ABO 三边上的点C 、D 、E 都在⊙O 上，已知AB ∥DE ，AC ＝CB . (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，且tan ∠ACD ＝12，求⊙O 的半径r 的长． 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值． 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a ＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 课标全国卷高考模拟试题精编七1．B i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1－i ＋11－i ＝－i 1－i ＝12－12i ，所以复数i 2＋i 3＋i 41－i 在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12与原点的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.2．B 依题意得，m 2＝－21，故m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝45，选B.3．A 因为l ⊂α，l ⊥β，所以α⊥β；但若α⊥β， 则l ⊥β不一定成立，所以“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件．4．B 依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和3的矩形，因此其侧视图的面积为23，选B.5．B 依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，选B.6．(理)C 依题意得，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋13sin 3t |π60＝2x ＋13，故f (2 012)＝f (4×503)＝f (0)＝20＋13＝43，选C.(文)C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.7．D 设△F 1PF 2的三条边长为|PF 1|＝3m ，|PF 2|＝4m ，|F 1F 2|＝5m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m,2c ＝|F 1F 2|＝5m ，所以b ＝6m ，所以b a ＝6m12m ＝26，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±26x .8．(理)A 不妨设取出的三个数为x ，y ，z (x ＜y ＜z )，要满足x ＋y ＝z ，共有20种结果，从十个数中取三个数共有C 310种结果，故所求概率为20C 310＝16.(文)C 设该三棱锥的外接球球心为O ，半径为R .依题意得AC ⊥SM ，AC ⊥MB ，AC ⊥平面SMB ，故AC ⊥SB .在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝2.在△SBM 中，SM ＝3，MB ＝12AC ＝1，SB ＝3＋1－2×3×1×33＝2，易知SB 2＋BM 2＝SM 2，所以BM ⊥SB ，故SB ⊥平面ABC .又OA ＝OB ＝OC ，因此点O 在平面ABC 上的射影是点M .在直角梯形OSBM 中，OB ＝OS ＝R ，因此球心O 在线段SB 的垂直平分线ON (其中点N 是线段SB 的中点)上，由OM ⊥BM ，SB ⊥BM ，ON ⊥SB 得，四边形BMON 是矩形，因此OB 2＝BN 2＋BM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋12＝32，即R 2＝32，因此该三棱锥的外接球的表面积等于4πR 2＝6π，选C.9．D 因为a 7是a 3，a 9的等比中项，所以a 27＝a 3a 9，又公差为－2，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20，所以通项公式a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝22－2n ，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×(20＋2)＝110，故选D.10．D由程序框图知：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤22x －3，2＜x ≤51x ，x ＞5，所以f (2)＝4，所以由f (x )＞f (2)得：⎩⎨⎧ x 2＞4x ≤2或⎩⎨⎧2x －3＞42＜x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧1x＞4x ＞5，解得：x ＜－2或 3.5＜x ≤5，因此选D.11．D 记g (x )＝f (x )－12x －12，则有g ′(x )＝f ′(x )－12＜0，g (x )是R 上的减函数，且g (1)＝f (1)－12×1－12＝0.不等式f (x 2)＜x 22＋12，即f (x 2)－x 22－12＜0，g (x 2)＜0＝g (1)，由g (x )是R 上的减函数得x 2＞1，解得x ＜－1或x ＞1，即不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.12．B 由当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，知x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数又x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )草图象如下，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为4个．13．解析：命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，若已知函数是偶函数，则必有a ＝－5，b ＝5，即函数f (x )＝x 2＋5，x ∈[－5,5]，其最小值为5，命题②正确；全称命题的否定是特称命题，命题③正确；命题④中，1a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝1(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)，命题④正确． 答案：②③④14．(理)解析：若没有老运动员，其选法有：C 37＝35；若有1名老运动员，其选法有：C 12C 27＝42，所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有35＋42＝77. 答案：77(文)解析：由题意知，0.15(x ＋1)＋0.2－0.15x －0.2＝0.15. 答案：0.1515．解析：依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，因此1a ＋1b 的最小值是3＋2 2. 答案：3＋2 216．解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝3，a 1＋a 2＋…＋a 6＝21可得⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝36a 1＋15d ＝21，解得⎩⎨⎧a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝n ，1a n＝1n .∴S n ＝1＋12＋…＋1n ，∴令T n ＝S 2n －S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则T n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， T n ＋1－T n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＞12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，∴T n ＋1＞T n .∴T n 的最小值是n ＝1处取得，又T 1＝S 2－S 1＝12，∴要使S 2n －S n ＞m16恒成立，只需m 16＜S 2－S 1＝12即可，解得m ＜8，故填7. 答案：717．解：(1)由题意知f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝cos x －sin x ，∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋2，最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题设得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －π4)＋π4＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵g (x )－1＝0，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22， 由2x ＋π4＝2k π＋34π或2x ＋π4＝2k π＋54π，得x ＝k π＋π4或x ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵x ∈(0，π)，∴x 1＝π4，x 2＝π2，∴x 1＋x 2＝34π.18．(理)解：以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0，k )，B (1,0,0)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，k 2，F (1,2,0)，(1)∵BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，k 2，BF →＝(0,2,0)，CD →＝(－2,0,0)，∴BE →·CD →＝0，BF →·CD →＝0，∴CD ⊥BE ，CD ⊥BF ，∴CD ⊥面BEF(2)设面BCD 的法向量为n 1，则n 1＝(0,0,1)，设面BDE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， ∵BD→＝(－1,2,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，k 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0y ＋k 2z ＝0，∴n 2＝(2,1，－2k )，∵二面角E －BD －C 大于30°，∴cos 〈n 1，n 2〉＝2k5＋4k 2＜32 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＜3⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4k 2，即15k 2＞4， ∴k ＞21515(文)解：(1)∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ，G 是BC 的中点， ∴AD 綊BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .(2)连接GF ，易知四边形ADFE 是矩形， ∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，又EG ⊂平面BCFE ， ∴DF ⊥EG .∵EF 綊BG ，EF ＝BE ，∴四边形BGFE 为菱形，∴BF ⊥EG ，又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BDF ，DF ⊂平面BDF ， ∴EG ⊥平面BDF .19．(理)解：(1)甲、乙两人租车费用相同包括0元，1元，3元，6元， 两人都付0元的概率为P 1＝12×14＝18， 两人都付1元的概率为P 2＝14×13＝112， 两人都付3元的概率为P 3＝18×13＝124，两人都付6元的概率为P 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－14－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－13－13＝18×112＝196， 则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝2596.(2)依题意，甲每天租车费用不超过2元的概率为P ＝12＋14＝34.则P (X ＝0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫340×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P (X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫341×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝364，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝27128，P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＝2764，P (X ＝4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫344×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝81256， ∴X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝364＋2×27128＋3×2764＋4×81256＝3.(文)解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n ＝0.300，∴n ＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90. (2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150.∴其相应的频数分别为120×0.100＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18. ∴这批产品平均每个的利润1120(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)． 20．解：(Ⅰ)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形，∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c 由椭圆的定义知：|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a ∴e ＝ca ＝21＋3＝3－1 (Ⅱ)∵函数y ＝2＋log m x 的图象恒过点(1，2) ∴a ＝2，b ＝1，c ＝1， 点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①AB ⊥x 轴，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22，∴F 2A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2B →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，F 2A →·F 2B →＝4－12＝72 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1) 由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)x 2＋2y 2－2＝0消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0 (*) ∵Δ＝8k 2＋8＞0，∴方程(*)有两个不同的实根． 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根 x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)，F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)·2(k 2－1)1＋2k 2＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2) ∵1＋2k 2≥1，∴0＜11＋2k 2≤1,0＜92(1＋2k 2)≤92－1≤F 2A →·F 2B →＝72－92(1＋2k 2)＜72， 由①②知－1≤F 2A →·F 2B →＜7221．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x＋1＝－2x 2－x －1x，令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x ＝0，解得x ＝－12或x ＝1. ∵x ＞0，∴x ＝－12舍去．当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，最大值为f (1)＝ln 1－12＋1＝0.当x ≠1时，f (x )＜f (1)，即f (x )＜0. ∴函数f (x )只有一个零点．(2)显然函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x ＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x ＞0，∴f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意． ②当a ＞0时，f ′(x )≤0(x ＞0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x ＞0)，即x ≥1a ， 此时f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.由⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1a ＞0，得a ≥1.③当a ＜0时，f ′(x )≤0(x ＞0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x ＞0)，即x ≥－12a ，此时f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，＋∞.由⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1a ＜0，得a ≤－12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．22．解：(1)∵AB ∥DE ，∴OA OD ＝OBOE ，又OD ＝OE ，得OA ＝OB . 连接OC ，∵AC ＝CB ，∴OC ⊥AB .又点C 在⊙O 上，∴直线AB 是⊙O 的切线．(2)延长DO 交⊙O 于F ，连接FC .由(1)知AB 是⊙O 的切线， ∴弦切角∠ACD ＝∠F ， 于是△ACD ∽△AFC .而∠DCF ＝90°，又∵tan ∠ACD ＝tan ∠F ＝12，∴CD FC ＝12. ∴AD AC ＝CD FC ＝12，而AD ＝2，得AC ＝4. 又AC 2＝AD ·AF ，∴2·(2＋2r )＝42，于是r ＝3.23．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x 中，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α， |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取得最小值2.24．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1＝⎩⎨⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1＜x ＜4，2x －4，x ≥4.∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a ＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a ≤4. 当a ＜0时，上式成立； 当a ＞0时，a ＋4a ≥2a ·4a ＝4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时，上式取等号，此时a ＋4a ≤4成立． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．。
全国高考模拟卷数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. -22. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的几何意义是：A. 实部为0B. 虚部为0C. 位于实轴上D. 位于虚轴上3. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. y = x^2B. y = -x^2C. y = 2xD. y = -2x4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 6，S5 = 15，则数列{an}的通项公式为：A. an = 2n - 1B. an = 3n - 2C. an = 3n + 2D. an = 2n + 15. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离为：A. 1B. 2C. √5D. 36. 函数y = (x - 1)^2 + 1的图像的对称轴为：A. x = 1B. y = 1C. x = -1D. y = -17. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 下列命题中，正确的是：A. 两个向量垂直，它们的点积为0B. 两个向量平行，它们的点积为0C. 两个向量垂直，它们的叉积为0D. 两个向量平行，它们的叉积为09. 已知函数y = log2(x + 1)，则函数的值域为：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)10. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为B，则A ∩ B为：A. 空集B. {1}C. {2}D. {1, 2}二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
高考理科数学模拟试题精编(七)解析版
高考理科数学模拟试题精编(七)(考试用时：120分钟分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝1＋i ，设复数w ＝2z－z 2，则w 的虚部是()A.－1B.1C.iD.－i2．集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，S ＝{x |11＜x ＜101}，则M ∩S 中的元素个数为()A.2B.3C.4D.53．自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比(以女性为100，男性对女性的比例)统计图，则下列说法错误的是()A.近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B.我国历次全国人口普查总人口数逐次递增C.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D.第七次全国人口普查时，我国总人口性别比最高4．若a ＞0且a ≠1，则“MN ＞0”是“log a (MN )＝log a M ＋log a N ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．函数y ＝sin |2x |x 2＋1在[－π，π]的图象大致为()6．若sin α＝13，αsin ()A.－13 B.－223C.13D.2237．若直线l ：x －2y －15＝0经过双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一个公共点，则双曲线M 的方程为()A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1C.x 23－y 212＝1 D.x 212－y 23＝18．已知a ＝log 637，b ＝log 736，c ＝60.1，则()A.b ＜c ＜aB.b ＜a ＜cC.c ＜a ＜bD.a ＜b ＜c9．若定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于点(2，0)对称，且f (x )不是常数函数，则下列说法错误的是()A.f (x )＝f (－x )B.f (2＋x )＋f (2－x )＝0C.f (3)＝f (5)D.f (x ＋2)＝f (x －2)10．2023年春节期间，G 市某天8～16时的温度(单位：℃)变化曲线(如图)近似满足函数f (x )＝22cos (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π，x ∈[8，16])的图象．下列说法正确的是()A.8～13时这段时间温度逐渐升高B.8～16时最大温差不超过5℃C.8～16时0℃以下的时长恰为3小时D.16时温度为－2℃11.骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A (前轮)，圆D (后轮)的半径均为3，△ABE ，△BEC ，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，AC→·CP →达到最大值时，点P 到地面的距离为()A.32B.332C.32＋3 D.62＋312.如图，将一块直径为23的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为()A.23π－4B.43π－4C.23π－1639D.43π－1639二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数呢？许多研究者认为，之所以选用这个数，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如十二地支，十二个时辰，十二生肖，….十二进制数通常使用数字0～9以及字母A ，B 表示，其中A 即数10，B 即数11.对于如图所示的程序框图，若输入a ＝1728，k ＝12，则输出的数为________．14．在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF (含端点)上的动点，若CG →＝λCB →＋μCD→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为点F ，过原点O 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，若∠PFQ ＝120°，|OF |＝3，|OP |＝7，则椭圆C 的离心率为________．16．若对任意x ∈(0，＋∞)，都有e ax －x ＋2ax ≥1e ax －1x＋2ln x (其中e 为自然对数的底数)恒成立，则实数a 的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)在①S n ＝34n 2－kn ＋1(n ∈N *，k 为常数)，②a n ＋1＝a n ＋d (n ∈N *，d为常数)，③a n ＋1＝qa n (q ＞0，n ∈N *，q 为常数)这三个条件中任选一个，补充到下n ∈N *)的前10项和；若问题中的数列不存在，说明理由．问题：是否存在数列{a n }(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 3＝4，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性．因其独有的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M系列盲盒共有12个款式，为调查M系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前、00后人群各随机发放了50份问卷，并全部收回．经统计，有45%的人未购买该系列盲盒，在这些未购买者当中，00后占2 3 .(1)请根据以上信息填表，并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？00前00后总计购买未购买总计100附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828.(2)一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式．甲同学已经买到3个不同款，乙、丙同学分别已经买到m个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为1 3 .①求m；②设X表示三个同学中各买到自己不同款的总人数，求X的分布列和数学期望．19.(12分)如图，在四棱锥SABCD中，已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△SAD为正三角形，平面SAD⊥平面ABCD.(1)求二面角SBCA的大小；(2)在线段SC(端点S，C除外)上是否存在一点M，使得AM⊥BD？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，过抛物线x 2＝y 上任意一点P (不是顶点)作切线l ，l 交y 轴于点Q.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线过定点；(2)过直线y ＝12x －1上任意一点R 作抛物线x 2＝y 的两条切线，切点分别为S ，T ，M 为抛物线上S ，T 之间到直线ST 的距离最大的点，求△MST 面积的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝ax e 1x 与g (x )＝2xx 2＋1有相同的最大值(其中e 为自然对数的底数).(1)求实数a 的值；(2)证明：∀x ∈[0，1]，都有f (x )≥g (x )；(3)若直线y ＝m (m ∈R )与曲线y ＝f (x )有两个不同的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：x 1＋x 2＜2m.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C＝1＋2cos α2＝1＋2sin α2(α为参数)，且圆C 与x 轴交于O ，A 两点，与y 轴交于O ，B 两点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AB 的极坐标方程；(2)若点M 是直线AB 上的动点，射线OM 与圆C 交于点N (点N 异于点O )，求证：OM→·ON →为定值，并求出该定值．23．(10分)[选修4—5：不等式选讲]已知a，b，c都是正数．(1)证明：a＋b＋c≥ab＋bc＋ac；(2)若a＋b＋c＝3，证明：1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥32.高考理科数学模拟试题精编(七)1—6AADBDB7—12DBDDBA1．A由题意，得z ＝1－i ，所以w ＝2z z 2＝2(1－i)(1＋i)2＝2(1－i)2i ＝－i(1－i)－i·i＝－1－i ，所以其虚部为－1，故选A.2．A因为M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }＝{…，1，5，9，13，…}，S ＝{x |11＜x ＜101}，所以M ∩S ＝{5，9}，所以M ∩S 中的元素个数为2.故选A.3．D 由题图中的折线图可知，第五、六、七次全国人口普查总人口性别比分别为106.74，105.20，105.07，依次递减，故A 正确；由题图中的柱状图可知，我国总人口数递增，第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿，故B ，C 正确；由题图中的折线图可知，第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高，故D 错误．4．B不妨取M ＝－1，N ＝－2，满足MN ＞0，但log a (MN )＝log a M ＋log a N无意义，∴充分性不成立；当log a (MN )＝log a M ＋log a N ＞0＞0，∴MN ＞0，∴必要性成立．∴“MN ＞0”是“log a (MN )＝log a M ＋log a N ”的必要不充分条件，故选B.5．D 解法一：设f (x )＝sin |2x |x 2＋1，则f (－x )＝sin |－2x |(－x )2＋1＝sin |2x |x 2＋1＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故排除A ，C ；当x ∈π2，π时，|2x |∈[π，2π]，则sin |2x |≤0，又x 2＋1＞0，所以当x ∈π2，π时，f (x )≤0，故排除B.故选D.解法二：设f (x )＝sin |2x |x 2＋1，当x ∈－π，－π2时，|2x |∈[π，2π]，则sin |2x |≤0，又x 2＋1＞0，所以当x ∈－π，－π2时，f (x )≤0，故排除A ，B ；当x ∈0，π2时，|2x |∈[0，π]，则sin |2x |≥0，又x 2＋1＞0，所以当x ∈0，π2时，f (x )≥0，故排除C.故选D.6．B 因为α所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以cos α＝－223，故选B.7．D直线l 经过双曲线M 的一个焦点，在x －2y －15＝0中，令y ＝0，得x ＝15，所以c ＝15①.又直线l 与双曲线M 有且仅有一个公共点，所以直线l 与双曲线的一条渐近线y ＝b a x 平行，所以b a ＝12，即a ＝2b②.又c 2＝a 2＋b 2③，所以由①②③可得a 2＝12，b 2＝3，所以双曲线M 的方程为x 212－y 23＝1，故选D.8．B因为a ＝log 637＝13log 67＞13log 66＝13，b ＝log 736＝13log 76＜13log 77＝13，所以a ＞b ；因为a ＝log 637＝13log 67＜13log 663＝1，c ＝60.1＞60＝1，所以c ＞a .所以c ＞a ＞b .故选B.9．D 因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，所以选项A 正确；因为函数f (x )的图象关于点(2，0)对称，所以f (2＋x )＋f (2－x )＝0，所以选项B 正确；因为f (2＋x )＋f (2－x )＝0，所以f (x ＋2)＝－f (2－x )，用x ＋2代换x 得，f (x ＋4)＝－f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (3)＝f (3－8)＝f (－5)＝f (5)，所以选项C 正确；若f (x ＋2)＝f (x －2)，则－f (2－x )＝f (x －2)，得f (x －2)＋f (2－x )＝0，则f (x )的图象关于点(0，0)对称，与f (x )为偶函数，且f (x )不是常数函数矛盾，故选项D 错误．综上，选D.10．D 对于A ，由题图知，8～13时这段时间温度先降后升，故A 不正确；对于B ，8～16时这段时间的最大温差为22－(－22)＝42＞5，故B 不正确；对于C ，因为当x ＝13时，f (x )取得最大值，13－11＝15－13，所以f (15)＝f (11)＝0，所以8～16时0℃以下的时长为(11－8)＋(16－15)＝4(小时)，故C 不正确；对于D ，由题图知，函数y ＝22cos (ωx ＋φ)的最小正周期T ＝4×(13－11)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝22cos ＋x ∈[8，16])，将点(13，22)代入，得22cos 22，即cos 1，所以13π4＋φ＝2k π(k ∈Z )，得φ＝2k π－13π4(k ∈Z )，又0＜φ＜π，所以φ＝3π4，所以f (x )＝22cos x ∈[8，16])，f (16)＝22cos 1622cos 3π4＝222，故D 正确．故选D.11.B如图，以D 为坐标原点，AD 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A (－8，0)，C (－2，23)，圆D 的方程为x 2＋y 2＝3.所以可设P (3cos α，3sin α)，0≤α＜2π，所以AC →＝(6，23)，CP →＝(3cos α＋2，3sin α－23)，所以AC →·CP →＝63cos α＋12＋6sin α－12＝63cos α＋6sin α＝12sin当α＋π3＝π2，即α＝π6时，AC →·CP →取得最大值，此时点P 到地面的距离为32＋3＝332，故选B.12.A 由题意可知，半球形石材的体积V 1＝43π(3)3×12＝23π.由题意可知，切割成的正四棱柱为以下两种情形时，正四棱柱的体积可能取得最大值．图1情形一(正四棱柱一个底面的四个顶点在球面上)：如图1，设正四棱柱的底面正方形的边长为a ，正四棱柱的高为h ，则底面正方形的外接圆半径r ＝22a ，所以h2＋r2＝h2＋12a2＝(3)2，即a2＝6－2h2，所以正四棱柱的体积V2＝a2h＝(6－2h2)h＝－2h3＋6h.设f(x)＝－2x3＋6x，0＜x＜3，则f′(x)＝－6x2＋6＝－6(x＋1)(x －1)，所以当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以当h＝1时，V2取得最大值，(V2)max＝－2×13＋6×1＝4.情形二(正四棱柱一个侧面的四个顶点在球面上)：如图2，设正四棱柱的底面正方形的边长为a′，高为h′，则侧面长方形的外接圆半径r′＝h′2＋a′22，所以a′2＋r′2＝a′2＝(3)2，即a′2＝12－h′25，所以正四棱柱的体积V2＝a′2h′＝12－h′25·h′＝15(12h′－h′3).图2设g(x)＝15(12x－x3)，0＜x＜23，则g′(x)＝12－3x25＝－35(x＋2)(x－2)，所以当0＜x＜2时，g′(x)＞0，当2＜x＜23时，g′(x)＜0，所以g′(x)在(0，2)上单调递增，在(2，23)上单调递减，所以当h′＝2时，(V2)max＝15×(12×2－23)＝165.因为165＜4，所以情形一的正四棱柱体积最大，所以当正四棱柱的体积最大时，切割掉的废弃石材的体积为23π－4，故选A.13．解析：第一次运行，a＝1728，k＝12，则q＝144，r＝0，a＝144；第二次运行，a＝144，k＝12，则q＝12，r＝0，a＝12；第三次运行，a＝12，k＝12，则q＝1，r＝0，a＝1；第四次运行，a＝1，k＝12，则q＝0，r＝1，a＝0.输出的数为1000，运行结束．答案：100014．解析：解法一：如图所示，设点O 为正六边形ABCDEF 的中心，连接OB ，OD ，OC ，OF ，则OB ＝OD ＝CB ＝CD ，所以四边形CDOB 为平行四边形．点C ，O ，F 三点共线，且CF ＝2CO .设CB→＝a ，CD →＝b ，则CO →＝a ＋b ，CF →＝2CO →＝2a ＋2b ，所以DF →＝CF →－CD →＝2a ＋b .因为点G 为线段DF (含端点)上的动点，所以设DG→＝xDF →(x ∈R ，0≤x ≤1)，所以CG →－CD →＝xDF →，即CG →＝b ＋x (2a ＋b )＝2x a ＋(x ＋1)b ，因为CG →＝λCB →＋μCD →＝λa ＋μb ，a ，b 不共线，所以由平面向量基本定理得λ＝2x ，μ＝x ＋1，所以λ＋μ＝3x ＋1，因为0≤x ≤1，所以λ＋μ∈[1，4].解法二：如图所示，连接AC ，因为ABCDEF 是正六边形，所以AC ⊥CD ，DF ⊥CD .分别以CD ，CA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．设正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC ＝DF ＝23，则C (0，0)，D (2，0)，B (－1，3)，F (2，23).设G (2，y )，因为点G 为线段DF (含端点)上的动点，所以0≤y ≤23，所以CG →＝(2，y )，CD →＝(2，0)，CB →＝(－1，3)，所以λCB →＋μCD →＝λ(－1，3)＋μ(2，0)＝(－λ＋2μ，3λ)，又CG →＝λCB →＋μCD →，所＝－λ＋2μ＝3λ＝33y ＝1＋36y ，所以λ＋μ＝1＋32y ，因为0≤y ≤23，所以λ＋μ∈[1，4].答案：[1，4]15．解析：设F 1为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点，连接PF 1，QF 1(图略)，因为P ，Q 是过原点O 的直线与椭圆的交点，所以P ，Q 关于原点O 对称，又F ，F 1关于原点O 对称，所以由椭圆的对称性可得|PF 1|＝|QF |，|PF |＝|QF1|，且四边形PFQF 1为平行四边形，又∠PFQ＝120°，所以∠FPF1＝60°.因为|OF|＝3，|OP|＝7，所以|FF1|＝23，|PQ|＝27.在三角形PFF1中，由余弦定理得|FF1|2＝|PF|2＋|PF1|2－2|PF||PF1|cos 60°，即|PF|2＋|PF1|2－|PF||PF1|＝12①；在三角形PFQ中，由余弦定理得|PQ|2＝|PF|2＋|QF|2－2|PF||QF|cos120°，又|QF|＝|PF1|，所以|PF|2＋|PF1|2＋|PF||PF1|＝28②.①＋②得2(|PF|2＋|PF1|2)＝40，即|PF|2＋|PF1|2＝20；②－①得2|PF||PF1|＝16.所以(|PF|＋|PF1|)2＝|PF|2＋|PF1|2＋2|PF||PF1|＝20＋16＝36，即2a＝|PF|＋|PF1|＝6，所以a＝3，又c＝|OF|＝3，所以椭圆C的离心率e＝ca＝3 3 .答案：3 316．解析：因为对任意x∈(0，＋∞)，e ax－x＋2ax≥1e ax－1x＋2ln x恒成立，即e ax－1e ax＋2ax≥x－1x＋2ln x恒成立．令g(x)＝x－1x＋2ln x(x＞0)，则g(eax)≥g(x)恒成立．因为g′(x)＝1＋1x2＋2x＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x∈(0，＋∞)时，e ax≥x恒成立，即当x∈(0，＋∞)时a≥ln xx恒成立．令h(x)＝ln xx，则h′(x)＝1－ln xx2，当x∈(0，e)时，h′(x)＞0，函数单调递增，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)＜0，函数单调递减，所以h(x)max＝h(e)＝1e，所以a≥1e，则实数a的最小值为1e.答案：1 e17．解：选择①1＝S1，3＝S3－S2，＝34－k＋1，＝274－3k－3＋2k，＝3 4，＝－14，该方程组无解，所以该数列不存在．选择②a n＋1＝a n＋d(n∈N*，d为常数)，即数列{a n}为等差数列，由a1＝1，a3＝4，可得公差d＝a3－a12＝32，所以a n＝32n－12.又1a n a n＋1＝所以1a1a2＋1a2a3＋…＋1a10a11－1a2＋1a2－1a3＋…＋1a10－＝58.选择③a n＋1＝qa n(q＞0，n∈N*，q为常数)，即数列{a n}为等比数列，由a1＝1，a3＝4，可得公比q＝4＝2，所以a n＝2n1.又1a n a n＋1÷1a n－1a n＝14(n≥2)，是首项为12，公比为14的等比数列，1018．解：(1)完成2×2列联表如表所示．00前00后总计购买352055未购买153045总计5050100则K2＝100×(35×30－20×15)255×45×50×50≈9.091＞6.635，所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关．(2)①＝13，解得m＝4.②X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝14×13×13＝136；P(X＝1)＝34×13×13＋2×23×14×13＝736；P(X＝2)＝14×23×23＋2×13×34×23＝49；P(X＝3)＝34×23×23＝13，所以X的分布列为X0123P 1367364913所以E(X)＝0×136＋1×736＋2×49＋3×13＝2512.19．解：(1)解法一：如图，取AD的中点O，连接OS，OB.因为△SAD为正三角形，所以SO⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO⊂平面SAD，所以SO⊥平面ABCD.因为OA，OB⊂平面ABCD，所以SO⊥OB.因为四边形ABCD为菱形，所以AB＝AD，又∠BAD＝60°，所以△ADB为正三角形，所以OB⊥OA.以点O为坐标原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设AD ＝2a ，则S (0，0，3a )，B (0，3a ，0)，C (－2a ，3a ，0)，所以BS→＝(0，－3a ，3a )，BC →＝(－2a ，0，0).因为SO ⊥平面ABCD ，所以OS →＝(0，0，3a )是平面ABCD 的一个法向量．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·BS →＝0，·BC→＝0，－3ay ＋3az ＝0，2ax ＝0，则x ＝0，取z ＝1，则y ＝1，得n ＝(0，1，1).设二面角S BC A 的大小为θ，则|cos θ|＝|n ·OS→|n ||OS→||＝|3a2×3a |＝22，由图易知S BC A 是锐二面角，所以二面角S BC A 的大小为π4.解法二：取AD 的中点O ，连接OS ，OB .因为△SAD 为正三角形，所以SO ⊥AD .又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SO ⊂平面SAD ，所以SO ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以SO ⊥BC .因为四边形ABCD 为菱形，所以AB ＝AD ，又∠BAD ＝60°，所以△ADB 为正三角形，所以BO ⊥AD .因为AD ∥BC ，所以BO ⊥BC .又SO ∩BO ＝O ，且SO ，BO ⊂平面SOB ，所以BC ⊥平面SOB ，所以BC ⊥BS ，所以∠SBO 为二面角S BC A 的平面角．因为SO ⊥平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以SO ⊥OB ，在Rt △SOB 中，因为SO ＝OB ＝32AD ，所以∠SBO ＝π4，即二面角S BC A 的大小为π4.(2)不存在．证明如下：证法一：在空间直角坐标系中O xyz 中，因为A (a ，0，0)，S (0，0，3a )，C (－2a ，3a ，0)，B (0，3a ，0)，D (－a ，0，0)，所以SC→＝(－2a ，3a ，－3a )，BD →＝(－a ，－3a ，0).假设线段SC (端点S ，C 除外)上存在一点M (x 1，y 1，z 1)，使得AM ⊥BD .则存在0＜λ＜1，使得SM →＝λSC →，且SM →＝(x 1，y 1，z 1－3a )，1＝－2λa，1＝3λa，1＝3(1－λ)a.又AM⊥BD，所以AM→·BD→＝0，即－a(x1－a)－3ay1＝0.将x1＝－2λa，y1＝3λa代入上式，解得λ＝1，这与0＜λ＜1矛盾，故线段SC(端点S，C除外)上不存在点M，使得AM⊥BD.证法二：假设线段SC(端点S，C除外)上存在一点M，使得AM⊥BD.连接AC(图略)，则在菱形ABCD中，AC⊥BD.又AM⊥BD，且AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC，所以BD⊥SA.又由(1)得BD⊥SO，且SA∩SO＝S，所以BD⊥平面SAO，所以BD⊥AD，这与∠ADB＝60°矛盾，故线段SC(端点S，C除外)上不存在点M，使得AM⊥BD. 20．解：(1)证明：由y＝x2求导得y′＝2x.设P(x1，x21)，x1≠0，则l的方程为y－x21＝2x1(x－x1)，化简得y＝2x1x－x21①，当x＝0时，y＝－x21，则Q(0，－x21)，所以线段PQ所以线段PQ的垂直平分线的方程为y＝－12x1·y＝－12x1x＋14，所以线段PQ(2)设0，x2－S(x2，x22)，T(x3，x23)，由(1)中方程①同理知切线RS的方程为y＝2x2x－x22②，RT的方程为y＝2x3x－x23③，将R0，x02－②③，得x22－2x0x2＋x02－1＝0，x23－2x0x3＋x02－1＝0，故x2，x3为方程x2－2x0x＋x02－1＝0的两根，则x2＋x3＝2x0，x2x3＝x02－1.直线ST的方程为y－x22＝x23－x22x3－x2(x－x2)，化简得y＝(x2＋x3)x－x2x3，即y＝2x0x－x02＋1，所以|ST|＝1＋4x20·|x2－x3|＝21＋4x20·x20－x02＋1.易知抛物线上S，T之间到直线ST的距离最大的点为平行于ST的抛物线切线的切点，设M(x4，x24)，则2x4＝2x0，所以x4＝x0，M(x0，x20)，所以点M到直线ST的距离d＝|x20－x02＋1| 1＋4x20，则S△MST ＝12d·|ST|＝|x20－x02＋1|21＋4x20·21＋4x20·x20－x02＋1＝当x0＝14时，S△MST有最小值151564.21．解：(1)因为当x＝0时，g(0)＝0；当x≠0时，g(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x，所以g(x)的最大值为1.当a＝0时，f(x)＝0，不符合题意；当a≠0时，易知f′(x)＝a e1x(1－x)，①若a＜0，当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)不存在最大值；②若a＞0，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝a＝1.(2)证明：f(x)－g(x)＝x e1x－2xx2＋1＝1x记h(x)＝e x1－x2＋1 2，原命题等价于证明：∀x∈[0，1]，h(x)≤0.易知h′(x)＝e x1－x，令p(x)＝h′(x)(x∈[0，1])，则p′(x)＝e x1－1≤0，h′(x)在[0，1]上单调递减，所以h′(x)≥h′(1)＝0，所以h(x)在[0，1]上单调递增，所以h(x)≤h(1)＝0，得证．(3)证明：由(2)可知，∀x∈[0，1]，f(x)≥g(x)，∀x∈[1，＋∞)，f(x)≤g(x).记直线y＝m与曲线y＝g(x)的图象的两个交点的横坐标为x3，x4，且0＜x3＜1＜x4，不妨设0＜x1＜1＜x2.由题意可知，m＝f(x1)＝g(x3)，又f(x3)≥g(x3)，所以f(x1)＜f(x3).因为y＝f(x)在[0，1]上单调递增，所以x1＜x3，同理，可得x2＜x4，所以x1＋x2＜x3＋x4.又x3，x4是方程2xx2＋1＝m的两个根，即方程mx2－2x＋m＝0的两个根，所以x3＋x4＝2 m，所以x1＋x2＜2 m .22．解：(1)由题可得x－12＝22cosα，y－12＝22sinα.x122y－122＝12，∴圆C的普通方程为x2＋y2－x－y＝0.易得A(1，0)，B(0，1)，∴直线AB的直角坐标方程为x＋y－1＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，可得直线AB的极坐标方程，为ρcosθ＋ρsin θ－1＝0.(2)证明：设射线OM的极角为θ0，则ρM＝1cosθ0＋sinθ0，易知圆C的极坐标方程为ρ2－ρcosθ－ρsinθ＝0，即ρ＝cosθ＋sinθ，∴ρN ＝cos θ0＋sin θ0.又易知OM →与ON →同向，∴OM →·ON →＝|OM →|·|ON →|＝|ρM |·|ρN |＝|1cos θ0＋sin θ0|·|cos θ0＋sin θ0|＝1，∴OM →·ON →为定值，该定值是1.23．证明：(1)因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac ，所以a ＋b ＋c ＝a ＋b 2＋b ＋c 2＋c ＋a 2≥ab ＋bc ＋ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)因为a ＋b ＋c ＝3，所以由柯西不等式得1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝16[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a ＋1b ＋c ＋·1a ＋b ＋b ＋c ·1b ＋c ＋c ＋a＝32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32.。
普通高等学校高三招生全国统一考试仿真卷(七)数学(理)含答案【精选】.doc
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（七）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U UA B I 痧等于（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．2,8xB ．252,8x +C ．252,258x +⨯D ．2,258x ⨯4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．125．已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ）姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，在M ，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA ，OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）A ．21-πB ．112-πC ．42-πD ．1π7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．838．已知函数()20172017log x f x =+)2120173x x x -++-+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,49．在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）开始输入x结束是否输出s 2s s =1i =1i i =+A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥10．已知关于x在区间[)0,2π上有两个根12,x x ，m 的取值范围是（） A ．()B ．(⎤⎦C ．⎡⎣D ．[)0,111．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f xk -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）ABC D 12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO+的最小值为（ ） A．B ．C ．D ．第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
高考数学模拟试卷复习试题全国统一高考数学试卷理科7
高考数学模拟试卷复习试题全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A ．B．C．D．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（）A ．y=log5x+1B．y=logx5+1C．y=log5（x﹣1）D．y=log5x﹣13．（3分）极坐标方程表示（）A ．一条平行于x轴的直线B．一条垂直于x轴的直线C ．一个圆D．一条抛物线4．（3分）函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A ．1789B．1799C．1879D．18996．（3分）（•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A ．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A ．B．C．D．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．12．（4分）已知的值．13．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（4分）求．15．（4分）求展开式中的常数项．16．（4分）已知的值．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．18．（12分）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P 和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A ．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos +isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（）A ．y=log5x+1B．y=logx5+1C．y=log5（x﹣1）D．y=log5x﹣1考点：反函数．专题：计算题．分析：本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x﹣1）即可选择答案．解答：解：根据指数式与对数式的互化，由y=（0.2）﹣x+1解得x=log5（y﹣1）x，y互换得：y=log5（x﹣1）故选C点评：本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等．3．（3分）极坐标方程表示（）A ．一条平行于x轴的直线B．一条垂直于x轴的直线C ．一个圆D．一条抛物线考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；转化思想．分析：首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形．解答：解：由极坐标与直角坐标系的转换公式，可得到X=即是一条垂直于x轴的直线．所以答案选择B．点评：此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用．计算量小题目较容易．4．（3分）函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．解答：解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A ．1789B．1799C．1879D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．6．（3分）（•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．解答：解：依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，∴q推不出p．故选A．点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F考点：圆的一般方程．分析：圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．解答：解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选A．点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A ．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．解答：解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A ．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项．解答：解：当x在（﹣1，0）x∈[﹣1，0]内变化时：由于0＜1﹣x2＜1，每一个关系式的右端均为锐角．每一个关系式的左端均为两项，第一项均为π；考查第二项，由于arccos（﹣x）和arcsin（﹣x）均为锐角，所以π﹣arccos（﹣x）=钝角，（A）不正确．π﹣arcsin（﹣x）=钝角，（B）不正确．由于arcsinx为负锐角，所以π﹣arcsinx＞π，（D）不正确．故选C．点评：本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（4分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（4分）求．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则．本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算．解答：解：原式=，又．则原式=．故答案是．点评：在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n．即可完成极限计算．15．（4分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣rC5rx15﹣5r令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（4分）已知的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先对sinθ﹣cosθ=两边平方得到sinθcosθ=，再由sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）可得答案．解答：解：∵sinθ﹣cosθ=，∴∴sinθcosθ=sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）=×（1+）=点评：本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题．这里要注意三角函数的变形应用．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由sin2x＞0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集．解答：解：满足sin2x＞0 的x取值范围是，（1）而由log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13），得解得：﹣4＜x＜﹣3，5＜x＜7，（5）由（1）、（5）可知所求解集为（﹣π，﹣3）∪（2π，7）．点评：本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切函数．专题：计算题；函数思想．分析：首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A 的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tanα是增函数，即所得的角为最大角．解答：解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，．现在有tanα=tg[（α+β）﹣β]==．记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，tanα取得最大值．因为在内tanα是增函数，所以当时，∠ACB取最大值．故所求点C的坐标为（，0）．故答案为（，0）．点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．考点：子集与交集、并集运算的转换．分析：集合韦恩图求出A∪B中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可．解答：解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B元素的个数是12+12﹣4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是C203，在上面集合中，还满足A∩C=∅的集合C的个数是C83因此，所求集合C的个数是C203﹣C83=1084点评：本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．考点：用数学归纳法证明不等式；数列递推式．专题：证明题；压轴题；归纳法．分析：首先，，故xn与xn+1，的大小关系取决于xn与1的大小，猜想分两类：x1＜1和x1＞1，最后利用数学归纳法进行证明即可．解答：证：首先，，由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1，2，…）所以，xn+1﹣xn与1﹣xn2的符号相同．①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1﹣xn2＞0（n∈N）显然，n=1时，1﹣x12＞0设n=k时1﹣xk2＞0，那么当n=k+1时，因此，对一切自然数n都有1﹣xn2＞0，从而对一切自然数n都有xn＜xn+1②若x1＞1，当n=1时，1﹣x12＜0；设n=k时1﹣xk2＜0，那么当n=k+1时=，因此，对一切自然数n都有1﹣xn2＜0，从而对一切自然数n都有xn＞xn+1点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题．分析：先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为△=（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L1、直线L2的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可．解答：解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0②因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0③及k≠0．④解出③与④得到k∈（﹣1，0）∪（0，1）现设点P的坐标为，则直线L1的斜率，而直线L2的斜率，记，则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及②得，由此得到，定义域是（﹣1，0）∪（0，1）显然，1﹣k2在（﹣1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（﹣1，0）内为减函数点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据（uv）′=u′v+uv′，（arctgx）′=，根据复合函数求导数的法则求出即可；（2）根据（）′=求出y′，把x等于﹣1代入y′的值即为切线的斜率，利用切点的斜率写出切线方程即可．解答：解：（1）y′=（xarctgx2）′=x′arctgx2+x•（arctgx2）′=arctgx2+x•2x•=arctgx2+；（2），而点（﹣1，0）在曲线上，y'|x=﹣1=1，所以所求的切线方程为y=x+1点评：此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用求导法则求函数的导数，是一道中档题．高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出。
高考数学模拟考试卷七课标试题
智才艺州攀枝花市创界学校2021年高考数学模拟考试卷七第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只一项为哪一项哪一项符合目要求的.〔1〕全集I ，M 、N 是I 的非空子集，假设NM ⊇，那么必有〔〕〔A 〕N N M⊆⋂ 〔B 〕N N M ⊃⋂ 〔C 〕N M⊃ 〔D 〕N M =〔2〕在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且11141B A PB =，那么多面体BC —PB 1C 1的体积为〔〕 〔A 〕38 〔B 〕316〔C 〕4〔D 〕16〔3〕直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，那么实数a 的取值是〔〕〔A 〕－1或者2〔B 〕0或者1〔C 〕－1〔D 〕2〔4〕设ωϕω)(sin()(+=x A x f 、A 为正常数，为奇函数的是则)(0)0(),x f f R x =∈〔〕〔A 〕充要条件〔B 〕充分不必要条件〔C 〕必要不充分条件〔D 〕既不充分又不必要条件〔5〕25sin log 2222,321321,6sin 236cos 21=+-=-=c tg tg b a ,那么a 、b 、c 的大小顺序 是〔〕〔A 〕a >b >c〔B 〕c >a >b〔C 〕b >a >c〔D 〕b >c >a〔6〕复数z 满足条件,3arg ,1π=-=-z i z z i z 那么z 的值是〔〕A 11〔A 〕i 2321+-〔B 〕i 2321--〔C 〕i 2123+-〔D 〕i 2123--〔7〕522)21(-+xx 展开式的常数项是〔〕〔A 〕252〔B 〕－252〔C 〕210〔D 〕－210①假设直线a ∥平面α，直线c b ⊂，那么a ∥b ； ②假设直线a ∥平面α，⊂a平面β，b =⋂βα，a 在α内的射影为a ′，那么a ′∥b ；③假设直线a ⊥直线c ，直线b ⊥直线c ，那么直线a ∥直线b ； ④假设α、β、γ、δ是不同的平面，且满足γβδαδβγαγβα则,,,,,⊥⊥⊥⊥=⋂a ∥δ〕〔A 〕①③ 〔B 〕②④〔C 〕②〔D 〕④ 〔9〕设△ABC 的三边长a 、b 、c 满足),2(>=+n c b a n n n那么△ABC 是〔〕〔A 〕钝角三角形〔B 〕锐角三角形〔C 〕等腰直角三角形〔D 〕非等腰的直角三角形〔10〕直线2+=kx y 与椭圆1222=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当直线OA 、 OB 的斜率之和为3时，直线AB 的方程是〔〕(A)2x －e y －4＝0 (B)2x ＋3y －4＝0(C)3x ＋2y －4＝0(D)3x －2y －4＝0〔11〕如图，△ABC 是Rt △AB 为斜边，三个顶点A 、B 、C 在平面α内的射影分别是A 1、B 1、C 1.假设△A 1B 1C 1是等边三角形，且AA 1＝m ，BB 1＝m ＋2,CC 1＝m ＋1,并设平面ABC 与平面A 1B 1C 1所成的二面角的平面角为),20(πθθ<<那么θcos 的值是〔〕〔A 〕21 〔B 〕22 〔C 〕33 〔D 〕36〔12〕如图，半径为2的⊙○切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到中，PK 交⊙○于点Q ，设∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S ＝f(x)，那么f(x)的图象大致是第二卷〔非选择题一共60分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。
2023年高考数学模拟试题（七）参考答案
2023年高考数学模拟试题(七)参考答案 一㊁选择题1.A 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C图17.B 提示:对于A :如图1,连接D C 1,交D 1C 于点O ,连接B 1O ,O N ,显然O 为D C 1的中点,又M ,N 分别为B B 1,C D 的中点,所以O N ʊC C 1且O N =12C C 1,B 1M ʊC C 1且B 1M =12C C 1,所以O N B 1M ,所以四边形O NM B 1为平行四边形,所以O B 1ʊMN ,又MN ⊄平面C B 1D 1,O B 1⊂平面C B 1D 1,所以MN ʊ平面C B 1D 1,故A 正确;图2对于B :如图2,连接B N ,则四边形A B N D 为三棱锥A 1 MN D 1在平面A B C D 上的正投影,因为S 梯形A B N D =12ˑ1+2ˑ2=3,故B 错误;对图3于C :如图3,取B C 的中点E ,连接A E ,E B 1,A B 1,显然әA B E ɸәB C N ,所以øA E B =øB N C ,又øN B C +øB N C =90ʎ,所以øN B C +øA E B =90ʎ,所以A E ʅB N ,由正方体A BCD A 1B 1C 1D 1,可得B B 1ʅ平面A B C D ,AE ⊂平面A B C D ,所以B B 1ʅA E ,又B B 1,B N ⊂平面MN B ,B B 1ɘB N =B ,所以A E ʅ平面MN B ,又A E ⊂平面A E B 1,所以平面A E B 1ʅ平面MN B ,故C 正图4确;对于D :如图4,若F 为棱A B 的中点,则MN =12+22+12=6,F N =2,F M =12+12=2,所以MN2=F N2+F M 2,即øM F N =90ʎ,即әF MN ,әMN B 均为直角三角形,且MN 是公共斜边,由直角三角形的性质可知MN 为三棱锥M N F B 的外接球的直径,故外接球的半径为R =12MN =62,所以三棱锥M N F B 的外接球的表面积S =4πR 2=6π,故D 正确㊂8.C 9.D10.D 提示:将f (x )=c o s (ωx +φ)的图像向左平移π3个单位长度,得到函数g (x )=c o s ωx +ωπ3+φ的图像,又函数g (x )为奇函数,故g (x )=-g (-x ),又函数g (x )的图像关于x =-π4对称,所以g (x )=g -π2-x,所以g -π2-x=-g (x ),所以函数g (x )的周期为π,所以ω=2πT =2,又函数g (x )为奇函数,所以2π3+φ=k π+π2,所以φ=k π-π6,又φ<π2,所以φ=-π6,所以f x =c o s 2x -π6,令2k π-πɤ2x -π6ɤ2k π,得k π-5π12ɤx ɤk π+π12,k ɪZ ,所以函数f x =c o s 2x -π6的单调递增区间为k π-5π12,k π+π12(k ɪZ ),当k =0时,函数f x =c o s 2x -π6的单调递增区间为-5π12,π12,当k =1时,函数f x =c o s 2x -π6 的单调递增区间为7π12,13π12 ,因为2π3,π ⊆7π12,13π12,所以函数f x =c o s 2x -π6 在区间2π3,π上为增函数,故A 正确;因为函数f x=c o s 2x -π6关于直线x =π12对称,所以f 12 =f π6-12 ,又函数f (x )在区间-5π12,π12上是增函数,所以f π6-12 >f (0),即f 12 >f (0),故C 正确;f π2=c o s π-π6 =-c o s π6=-32,故B 正确;因为π3>1,所以-π3<-1,结合函数f x=c o s 2x -π6在区间-5π12,π12上是增函数,可得f-π3<f (-1),又f -π3=-f (0),所以-f (0)<f (-1),即f (-1)+f (0)>0,故D 错误㊂11.C 提示:因为O 为F 1F 2的中点,则S әO P F 1=S әO P F 2=2S әO P Q ,即S әO P Q S әO P F 1=P QP F 1=12,所以P Q =12P F 1,所以Q 为线段P F 1的中点,由题图可知,直线O P 的方程为y =ba x ,因为P F 2ʅO P ,所以直线P F 2的方程为y =-abx -c,联立y =b ax ,y =-ab x -c,解得x =a 2c,y =a bc,即P 的坐标为a 2c ,a b c,因为点F 1-c ,0,所以点Q 的坐标为-b 22c ,a b 2c,又点Q 在直线y =-b a x上,则有a b 2c =b a ㊃b22c ,即b =a ,因此该双曲线的渐近线方程为y =ʃx ㊂12.D 提示:由f (x )+g '(x )=1,f (x )-g'(4-x )=1,得g '(x )=-g '(4-x ),则g (x )+C 1=g (4-x )+C 2(C 1与C 2为常数),令x =2,则g (2)+C 1=g (2)+C 2,所以C 1=C 2,则g (x )=g (4-x ),故g (x )的图像关于直线x =2对称,故②正确;因为g (x )为偶函数,则g (x )=g (-x ),g'(x )=-g'(-x ),则g '(x )为奇函数,故g '(x )=-g'(4-x )=g '(x -4),即g '(x +4)=g'(x ),则g '(x )是以4为周期的周期函数,由g '(x )=-g'(4-x ),令x =2,则g '(2)=-g'(2),即g '(2)=0,故g '(2022)=g '(2)=0,故①正确;由g '(x )=-g '(4-x ),令x =1,则g '(1)=-g'(3),即g '(1)+g '(3)=0,令x =0,则g '(0)=-g '(4)=0,即g '(4)=0,故g '(1)+g '(2)+g '(3)+g'(4)=0,则g '(4k +1)+g '(4k +2)+g'(4k +3)+g'(4k +4)=0(k ɪN ),由f (x )+g '(x )=1,即f (x )=1-g '(x ),得ð2022k =1f (k )=ð2022k =11-g '(k ) =2022-ð2022k =1g'(k )=2022-g '(1)+g '(2) =2022-g '(1),由于无法得出g '(1)的值,故③错误;ð2023k =1f (k )=ð2023k =11-g '(k )=2023-ð2023k =1g '(k )=2023-[g '(1)+g '(2)+g'(3)]=2023,故④正确㊂二、填空题13.91014.x =0㊂答案不唯一,y =33x -1也满足㊂15.[1,3) 提示:由题意知可设P (-2,m ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知点A 处的斜率不为0,设点A 处的切线方程为y -y 1=k (x -x 1),联立y -y 1=k x -x 1 ,y 2=4x ,消去x得y 2-4k y +4y 1k-4x 1=0,由Δ=0得k =2y 1,所以A 处的切线方程为2x -y 1y +2x 1=0,因为切线过点P -2,m ,所以-4-y 1m +2x 1=0,同理可得点B 处的切线方程为-4-y 2m +2x 2=0,所以直线A B 的方程为-4-y m +2x =0,则直线A B 过定点N (2,0),由题意MH ʅA B ,即MH ʅHN ,故点H 的轨迹是以MN 为直径的圆,又点H 与点M 不重合,故点H 的轨迹是以MN 为直径的圆去掉点M ,其方程为(x -3)2+y 2=1(x ʂ4),又点F (1,0)在圆外,故F H 的最小值为F N =1,F H 的最大值为F M =3,故F H 的取值范围为[1,3)㊂16.[4e ,+ɕ) 提示:由已知得a >0,(a x -4)l n x <2l n a -a x l n 2⇒a x l n (2x )<2(l n a +2l n x )⇒a x l n (2x )2<l n (a x 2)⇒l n (2x )2x <l n (a x 2)a x2㊂令f (x )=l n xx ,所以f (2x )<f (a x 2),求导得f '(x )=1-l n x x2,所以f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减,且当0<x <1时f (x )<0;当x >1时,f (x )>0㊂因为x ɪ12е,12,所以2x ɪ1е,1,所以f (2x )<0,由f (2x )<f (a x 2)及f (x )=l n x x 的图像可知,2x <a x 2恒成立,即a >2x 成立,而2xɪ(4,4e ),所以a ȡ4е㊂三、解答题17.(1)由s i n A +s i n C2=s i n 2B +3s i n A s i n C ,得s i n 2A +2s i n A s i n C +s i n 2C=s i n 2B +3s i n A s i nC ,即s i n 2A +s i n 2C -s i n 2B =s i n A s i nC ,由正弦定理得a 2+c 2-b 2=a c ,由余弦定理得c o s B =a 2+c 2-b 22a c=a c 2a c =12,又因为B ɪ0,π,所以B =π3㊂(2)已知6a =2b +3c ,由正弦定理得6s i n A =2s i n B +3s i n C ,所以6s i n A =2s i n π3+3s i n π3+A,展开整理化简得s i n A -π6=13㊂又因为A ɪ0,2π3,所以A -π6ɪ-π6,π2㊂所以c o s A -π6 =1-132=223㊂所以s i n A =s i n A -π6+π6 =s i n A -π6 c o s π6+c o s A -π6 s i nπ6=13ˑ32+223ˑ12=22+36㊂18.(1)延长B A ,C D 相交于点E ,连接S E ,则S E 为平面S C D 与平面S B A 的交线l ㊂由平面S A B ʅ平面A B C D ,B A ʅA D ,A D ⊂平面ABCD ,且平面S A B ɘ平面A B C D =A B ,所以A D ʅ平面S A B ㊂又A DʊB C ,所以B C ʅ平面S A B ㊂因为S E ⊂平面S A B ,所以B C ʅS E ,所以B C ʅl ㊂(2)由(1)知S A ʅA B ,A D ʅA B ,SA ʅA D ,以A 为坐标原点,A D ,AB ,A S 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐图5标系A -x y z ,如图5所示,可得A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D 12,0,0,S (0,0,1),则B D ң=12,-1,0 ㊂设S Q ң=λS C (其中0<λ<1),则Q (λ,λ,1-λ),所以B Q ң=(λ,λ-1,1-λ)㊂设平面Q B D 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃B D ң=12x -y =0,n ㊃B Q ң=λx +λ-1 y +1-λz =0,令x =2,得y =1,z =1-3λ1-λ,所以n =2,1,1-3λ1-λ ㊂因为S A ʅ平面B D C ,所以平面B D C 的一个法向量为m =0,0,1㊂所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=1-3λ1-λ5+1-3λ1-λ2㊃1=66,解得λ=12㊂所以存在Q 为S C 的中点时,使得二面角Q B D C 的余弦值为66㊂19.(1)根据表格数据可得, x =15(6+6.2+6.4+6.6+6.8)=6.4, y=15(50+45+45+40+35)=43,所以^b =ði =1nx i yi-n x yði =1nx2i-nx 2=1369-5ˑ6.4ˑ43205.2-5ˑ6.42=-17.5,^a = y -^b x=43-(-17.5)ˑ6.4=155,故经验回归方程为^y =-17.5x +155㊂(2)由题意知η的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,由于顾客人数很多,可近似认为η服从二项分布,即η~B 8,12,P (η=k )=C k812k128-k=C k828,其中k ɪ{0,1,2,3,4,5,6,7,8}㊂故P (η=0)=C 0828=1256;P (η=1)=C 1828=132;P (η=2)=C 2828=764;P (η=3)=C 3828=732;P (η=4)=C 4828=35128;P (η=5)=C 5828=732;P (η=6)=C 6828=764;P (η=7)=C 7828=132;P (η=8)=C 8828=1256㊂所以η的分布列为表1:表1η12345678P1256132764732351287327641321256故E (η)=8ˑ12=4㊂20.(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0,则Dx 0-22,y 02,所以k A C ㊃k O D =y 0x 0+2㊃y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14㊂因为A C =5,所以点C 在圆(x +2)2+y 2=5上,又点C 在椭圆x 24+y 2=1上,所以点C x 0,y 0满足(x +2)2+y 2=5,x 24+y 2=1,消去y 整理得34x 2+4x =0,解得x 0=0,或x 0=-163<-2(舍去),又点C 在x 轴上方,所以C 0,1,所以直线A C 的斜率为12,故直线O D 的斜率为-12,所以直线A C 与直线O D 关于y 轴对称㊂设直线A C 的倾斜角θ,则c o s øP O M =c o s 2π2-θ=-co s 2θ=s i n 2θ-c o s 2θ=s i n 2θ-c o s 2θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n 2θ-1t a n 2θ+1=-35㊂(2)由题意知,直线MN 的斜率存在㊂设直线MN 的斜率为k ,k >0,则直线MN :y =k x ,直线P Q :y =-14kx ㊂设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立y =k x ,x 24+y 2=1,消去y 整理得x 2=44k 2+1,所以MN2=1+k 2164k 2+1㊂同理P Q2=1+116k2114k2+1=416k 2+14k 2+1㊂所以|MN |2㊃|P Q |2=16(4k 2+4)(16k 2+1)(4k 2+1)2ɤ164k 2+4+16k 2+1224k 2+12=100㊂所以MN ㊃P Q ɤ10,当且仅当4k 2+4=16k 2+1,即k =12时,等号成立,所以P Q ㊃MN 的最大值为10㊂21.(1)当a =1时,f'(x )=(x +1)㊃(e x-1),令f '(x )>0,解得x >0或x <-1;令f '(x )<0,解得-1<x <0㊂故f (x )在区间(-ɕ,-1),(0,+ɕ)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减㊂所以f (x )的极大值是f (-1)=e -22e,极小值是f (0)=0㊂(2)求导得f '(x )=(x +1)(e x-a ),当x ɪ[0,2]时,e xɪ[1,e 2],且f (2)=2e 2-4a ,f (0)=0,对任意的x 1,x 2ɪ[0,2],恒有f (x 1)-f (x 2)ɤa +2e 2等价于f (x )m a x-f (x )m i n ɤa +2e 2㊂若a ɤ1,则e x-a ȡ0,故f '(x )ȡ0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递增,故f(x)m a x -f(x)m i n=f(2)-f(0)=2e2-4aɤa+ 2e2,解得0ɤaɤ1㊂若aȡe2,则e x-aɤ0,故f'(x)ɤ0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递减,故f(x)m a x -f(x)m i n=f(0)-f(2)=4a-2e2ɤa+ 2e2,解得e2ɤaɤ43e2㊂若1<a<e2,由f'(x)=(x+1)㊃(e x-a)>0,解得l n a<xɤ2,故f(x)在区间(l n a,2]上单调递增;由f'(x)=(x+1)㊃(e x-a)<0,解得0ɤx<l n a,故f(x)在区间[0,l n a)上单调递减㊂所以f(x)m i n=f(l n a)= -12a(l n a)2,f(x)m a x=f(2)或f(0)㊂又f(2)-f(0)=2e2-4a,当1<aɤe22时,f(2)-f(0)ȡ0,故f(x)m a x-f(x)m i n= f(2)-f(l n a)=2e2-4a+12a(l n a)2ɤa+2e2,解得0<aɤe10,又1<aɤe22,故1<aɤe22㊂当e22<a<e2时,f(2)-f(0)<0,故f(x)m a x-f(x)m i n=f(0)-f(l n a)=12a㊃(l n a)2ɤa+2e2,令h(a)=12a(l n a)2-a -2e2,则h'(a)=12(l n a)2+l n a-1,又l n aɪ(2-l n2,2),故h'(a)>0,即h(a)在区间e22,e2上单调递增,又h(e2)=-e2< 0,则12a(l n a)2ɤa+2e2恒成立㊂综上可得,0ɤaɤ43e2㊂22.(1)由M的参数方程可得(x-1)2+ (y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y=3,所以ρ2-2ρc o sθ-2ρs i nθ=3㊂由题设知,直线l1:y=t a nα㊃x,故直线l1的极坐标方程为θ=αρɪR㊂又l2ʅl1,所以直线l2的极坐标方程为θ=α+π2,ρɪR,αɪ0,π2㊂(2)记ρ1=O A,ρ2=O B,ρ3= O C,ρ4=O D,联立直线l1与曲线M的极坐标方程得ρ2-2ρc o sα+s i nα-3=0,所以ρ1+ρ3=2c o sα+s i nα,ρ1ρ3=-3㊂同理联立直线l2与曲线M的极坐标方程得ρ2+ρ4=2(c o sα-s i nα),ρ2ρ4=-3㊂所以|A B|2+|B C|2+|C D|2+|D A|2 =2(ρ21+ρ22+ρ23+ρ24)=2{[(ρ1+ρ3)2-2ρ1ρ3]+[(ρ2+ρ4)2-2ρ2ρ4]}=2ˑ20=40㊂23.(1)由f(1)=1得a+b+c=1,因为3(a+b+c)=[(a)2+(b)2+(c)2](12 +12+12)=3,由柯西不等式得3= (a)2+(b)2+(c)212+12+12ȡ(a+b+c)2,当且仅当a=b=c=13时,等号成立,所以a+b+cɤ3㊂(2)由f xȡ2a x+b得a x2+ b-2a x+c-bȡ0,由题意知, a>0,Δ=(b-2a)2-4a c-bɤ0,则b2ɤ4a c-4a2,所以b2a2+c2ɤ4a c-4a2a2+c2=4ca-41+c2a2=4c a-1ca-12+2ca-1+2㊂因为4a c-4a2=4a c-aȡb2ȡ0,又a >0,所以cȡa,则c a-1ȡ0㊂令t=c a-1,则tȡ0,设g t=4tt2+2t+2tȡ0,当t=0时,g t=0;当t>0时,g t=4t+2t+2ɤ42t㊃2t+2=22-2,当且仅当t=2时,等号成立,所以b2a2+c2的最大值为22-2㊂(责任编辑王福华)。
高三数学全国卷模拟试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 函数 $y = x^3 - 3x^2 + 4x$ 的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若 $a > b > 0$，则下列不等式正确的是：A. $a^2 > b^2$B. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$C. $\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. $a^3 > b^3$3. 在直角坐标系中，点A(1,2)关于直线 $y = x$ 的对称点B的坐标是：A. (2,1)B. (1,2)C. (2,2)D. (1,1)4. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前n项和为 $S_n$，且 $S_n = 3^n - 2^n$，则$a_5$ 的值为：A. 125B. 63C. 35D. 315. 函数 $f(x) = \ln(x + 1) - \ln(x - 1)$ 的定义域是：A. $x > 1$B. $x < -1$C. $x > -1$ 且 $x < 1$D. $x \neq 1$6. 已知向量 $\vec{a} = (2, -3)$，$\vec{b} = (1, 2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为：A. -5B. 5C. 0D. 17. 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1 = 2$，$a_4 = 10$，则公差d的值为：A. 3B. 2C. 1D. 08. 若 $a, b, c$ 是等比数列的连续三项，且 $a + b + c = 6$，$ab + bc + ca = 12$，则 $abc$ 的值为：A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $a^2 - b^2$ 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 函数 $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ 的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{b}{a}x$，则 $a$ 和 $b$ 的关系是：A. $a = b$B. $a > b$C. $a < b$D. $a^2 = b^2$12. 在三角形ABC中，若 $a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则角A、B、C的大小分别为：A. $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$B. $45^\circ, 45^\circ,90^\circ$ C. $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ D. $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的顶点坐标是______。
2022年全国一卷理科高考数学模拟试卷(七)解析版
2022年全国一卷理科高考数学模拟试卷（七）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}3,5A =,{}1,2,5B =,则()UB A ⋂=（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,4【答案】B【解析】{}1,2,3,4,5U =,{}3,5A =,{}1,2,5B =,{}1,2,4U A ∴=,(){}1,2UBA ∴=.故选B.2．在1和2两数之间插入()n n N +∈个数,使它们与1,2组成一个等差数列,则当10n =时,该数列的所有项和为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】D【解析】设在1和2两数之间插入()n n N +∈个数,使它们与1,2组成一个等差数列{}n a , 可得1121,2a a ==,所以数列的所有项和为11212()12(12)1822a a +⨯+==.故选D.3．52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 的系数为80,则a 等于（ ）A ．3-B ．3C ．2-D ．2【答案】C【解析】二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为25103155()()rrr r r r r a T C x C a x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,由1031r -=,得3r =,所以由题意得,335()80C a -=,解得2a =-,故选C4．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子,杯子口径6cm,高8cm(不含杯脚),已知水的高度是4cm,现往杯子中放入一种直径为1cm 的珍珠,该珍珠放入水中后直接沉入杯底,且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出,则最多可以放入珍珠（ ）A ．98颗B ．106颗C ．120颗D ．126颗【答案】D【解析】作出圆锥的轴截面图如图,由题意,8OP =,14O P =,3OA =,设11O A x =,则483x =,即32x =.则最大放入珍珠的体积2211338421332V πππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭,因为一颗珍珠的体积是341326ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.由211266ππ=. 所以最多可以放入珍珠126颗.故选D.5．若实数a ,b 满足0a b <<,则下列不等式中成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b a>- C ．11a b b a+>+ D ．()()2211a b ->-【答案】D【解析】A. 当2,1a b =-=-时,11a b>,故错误；B. 当2,1a b =-=-时,11a b a <-,故错误； C. 当2,1a b =-=-时,11a b b a+<+,故错误；D. 因为0a b <<,所以0a b ->->,所以110a b ->->,所以()()2211a b ->-,即()()2211a b ->-,故正确；故选D6．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”,全国各地房价“跳水”严重,但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间,当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年11月2020年11月）根据散点图选择y a =+ln y c d x =+两个模型进行拟合,经过数据处理得到的两个回归方程分别为0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+,并得到以下一些统计量的值：注：x 是样本数据中x 的平均数,y 是样本数据中y 的平均数,则下列说法不一定成立的是（ ） A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系B ．根据0.9369y =+2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米 C ．曲线0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+的图形经过点(),x yD ．0.95540.0306ln y x =+回归曲线的拟合效果好于0.9369y =+ 【答案】C【解析】对于A,散点从左下到右上分布,所以当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系,故A 正确；对于B,令16x =,由0.9369 1.0509y =+,所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米,故B 正确；对于C,非线性回归曲线不一定经过(),x y ,故C 错误；对于D,2R 越大,拟合效果越好,故D 正确.故选C.7．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”函数()()2cos x x x e e f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()()()()()2cos 2cos x x x x x e e x e e f x f x x x---+-+-===-+-+,函数是奇函数,故排除AB,当0x >时,0x x e e -+>,2cos 0x +>,所以()0f x >,故排除D.故选C8．若不等式组010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，确定的平面区域记为M ，若20x y a +-=与M 有公共点，则a 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】画出不等式组010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，设目标函数2z x y =+，可化为直线122z y x =-+，当直线122a y x =-+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由10x y x +=⎧⎨=⎩，解得(0,1)A ，所以目标函数的最大值为max 0212z =+⨯=，要使得20x y a +-=与M 有公共点，即实数a 的最大值为2.故选D.9．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成,则该几何体与其外接球的表面积分别为（ ）A ．18,3πB ．20,3πC ．30,11πD ．32,11π【答案】C【解析】由三视图的几何体如图所示,可知几何体的表面积为115630S =⨯⨯⨯=,设该几何体外接球的半径为R ,则2R ==所以该几何体外接球的表面积为24112S ππ⎛⎫'=⨯= ⎪⎝⎭.故选C.10．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F ,且以12FF 为直径的圆与双曲线C 的右支交于Q ,直线1FQ 与C 的左支交于P ,若12F P PQ=,则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D 【答案】D 【解析】如图,连接22,PF QF .因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于Q ,故12FQ QF ⊥.设1F P x =,则2PQ x =,13FQ x =,232F Q x a =-,22F P x a =+,由2PQF 为直角三角形,故()()()2222232x a x x a +=+-,解析43x a =,故14FQ a =,22F Q a =,因为12FQF 为直角三角形,故2221644a a c +=,故e =故选D.11．函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．1BC ．D ．3【答案】B【解析】因为()2sin cos24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以()2sin sin22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令4x πθ=+则()2sin 2sin cos 2sin sin2fθθθθθθ=+=+则()()222cos 2cos222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-令()0f θ'=,得cos 1θ=-或1cos 2θ= 当11cos 2θ-<<时,()0f θ'<；1cos 12θ<<时()0f θ'>所以当1cos 2θ=时,()f θ取得最大值,此时sin θ=所以()max1222222f x =⨯+⨯⨯=故选B 12．单调递增的数列{}n a 中共有N 项,且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +,j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项,则N 的最大值为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】C【解析】假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项,对于,,b c d 来说,因为,b d d c d d +>+>,所以b d +和+c d 都不是{}n a 中的项,又由题意得,b c b d ++和+c d 中至少有一个是{}n a 中的项,所以b c +是{}n a 中的项,且b c c +>,所以b c d +=,对于,,a c d 来说,因为,a d d c d d +>+>,所以a d +和+c d 都不是{}n a 中的项,又由题意得,b c b d ++和+c d 中至少有一个是{}n a 中的项,所以a c +是{}n a 中的项,且a c c +>,所以a c d +=,所以a d =,矛盾,所以{}n a 中大于0的最多有3项,同理,{}n a 中小于0的最多有3项,加上0,故N 的最大值为7,此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意.故选C.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 已知向量()()22,1,,2m x n x ==满足m n m n ⋅=⋅,则实数x =__________.【答案】0或14【解析】m n m n ⋅=⋅可得,m n 平行且同向,因为()()22,1,,2m x n x ==,所以222x x ⨯=,解得0x =或14x =,经检验,0x =或14x =均合题意,故0x =或14x =. 14．如果复数z 满足1i z i ⋅=+,那么z =________(i 为虚数单位). 【答案】1i +【解析】∵1i z i ⋅=+,∴()()2111i i i z i i i+-+===--,∴1z i =+. 15．已知1F 、2F 为椭圆C ：222116x y a +=的左、右焦点,M 为椭圆上一点,且12MF F △内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M 恰好有两个,则a =_______ 【答案】5±【解析】由题意得内切圆的半径3322r ππ==,设12||2F F c =,因此12MF F △的面积为3()13(22)222a c a c +⨯⨯+=,设(,)M M M x y ,则3()1222M a c y c +=⨯⨯,∵满足条件的点M 恰好有两个,∴M 为椭圆短轴端点,即||4M y =, ∴35a c =,而2216a c -=,∴225a =,∴5a =±.16．已知()y f x =是奇函数,定义域为[]1,1-,当0x >时,211()12x f x x α-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（0,Q αα>∈）,当函数()()g x f x t =-有3个零点时,则实数t 的取值范围是__________. 【答案】{}111,0,122⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】当(]0,1x ∈时,易知函数2112x y x α-⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减,且0x →时,2y →,1x =时,12y,其大致图象如下,()21112x f x x α-⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在(]0,1的大致图象如下,又函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,故函数()f x 的图象如下,要使函数()()g x f x t =-有3个零点,只需函数()y f x =的图象与直线y t =有且仅有3个交点, 由图象可知,{}111,0,122t ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．故答案为：{}111,0,122⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2A C =. （1）若A ∠为钝角,求ac的取值范围； （2）若1b =,3c =,求ABC 的面积. 解：（1）由正弦定理可得,sin sin 22cos sin sin a A C C c C C===,(2分) ∵2A C =,A B C π++=,∴3B C π=-, ∵A ∠为钝角,∴02B π<<,02C <<π,22A C π=>,∴43C ππ<<,∴1cos 2C <<∴ac的取值范围是；(6分) （2）由（1）可知,2cos aC c=,所以2cos 6cos a c C C ==,由余弦定理可知,2222cos c a b ab C =+-, 即22936cos 112cos C C =+-,∵2A C =,∴C 为锐角,解得cos C =,(8分) 所以6sin 3C =,6cos 23a C ==,(10分)从而ABC 的面积为1sin 2S ab C ==分) 18.(12分) 在四棱锥P ﹣ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD ＝DC ＝AP ＝2,AB ＝1,点E 为棱PC 的中点．（1）求证：BE ⊥DC ；（2）求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值．（1）证明：依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系如图：可得()()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1B C D P E ,(2分)()()0,1,1,2,0,0BE DC ==,故0BE DC ⋅=,所以BE DC ⊥.(5分)（2）()()1,2,0,1,0,2BD PB =-=-,()2,2,2PC =- 设(),,n x y z =为平面PBD 的一个法向量,则·0·0n BD n PB ⎧=⎨=⎩ 即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩,不妨令1y =,可得()2,1,1n =．(9分) 设直线PC 与平面PDB 所成角为θ于是有·sin cos ,6n PCn PC n PCθ====, 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为3.(12分) 19.(12分) “花开疫散,山河无恙,心怀感恩,学子归来,行而不缀,未来可期”,为感谢全国人民对武汉的支持,今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”,否则定义为“非高个子”,且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,则从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.解：（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181,其升高的中位数为：168169168.52+=cm ；(3分) （2）由茎叶图可知,“高个子”有8人,“非高个子”有12人, ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人,“非高个子”为125320⨯=人, 则从这5人中选2人,至少有1人为高个子的概率23257110C P C =-=；(7分)（3）由题可知：文学院的高个子只有3人,则ξ的可能取值为0、1、2、3,故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====,2153383015(1)5628C C P C ξ⋅====, 12533815(2)56C C P C ξ⋅===,0353381(3)56C C P C ξ⋅===, 即ξ的分布列为：所以19()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.(12分) 20.(12分) 已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()M ,9m 到其焦点下的距离为10. （1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点,求AP BQ ⋅的取值范围.解：（1）已知(),9M m 到焦点F 的距离为10,则点M 到准线的距离为10. ∵抛物线的准线为2py =-,∴9102p +=, 解得2p =,∴抛物线的方程为24x y =.(4分)（2）由已知可判断直线l 的斜率存在,设斜率为k ,因为()0,1F ,则l ：1y kx =+.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭,由21{4y kx x y =+=消去y 得,2440x kx --=, ∴124x x k +=,124x x =-.(7分)由于抛物线C 也是函数214y x =的图象,且1'2y x =,则PA ：()2111142x y x x x -=-.令0y =,解得112x x =,∴11,02P x ⎛⎫⎪⎝⎭,从而AP =同理可得,BQ =分)∴AP BQ ⋅= ==∵20k ≥,∴AP BQ ⋅的取值范围为[)2,+∞.(12分) 21.(12分) 已知函数()22ln ln f x x x a x =---.（a R ∈）（1）令()()g x xf x '=,讨论()g x 的单调性并求极值； （2）令()()22ln h x f x x =++,若()h x 有两个零点；（i ）求a 的取值范围；（ii ）若方程()ln 0xxe a x x -+=有两个实根1x ,2x ,且12x x ≠,证明：12212x x e ex x +> 解：（1）因为()2ln 1x af x x x'=-- 所以()()2ln g x xf x x x a '==--,()0,x ∈+∞ 则()2x g x x-'=,所以()g x 单调递减区间为()0,2,单调递增区间为()2,+∞ 极小值为()222ln 2g a =--,无极大值. (4分) （2）（i ）()ln h x x a x =-有两个零点. 因为()1a x ah x x x-'=-= ①当0a ≤时,()0h x '>,()h x 单调递增,不可能有两个零点； ②当0a >时,令()0h x '<,得0x a <<,()h x 单调递减；令()0h x '>,得x a >,()h x 单调递增.所以()()min ln h x h a a a a ==- 要使()h x 有两个零点,即使()0h a <,得a e >,又因为()110h =>,()0h e e a =-<,所以()h x 在()1,e 存在唯一一个零点, 且a e >,()2ee0aah a =->,所以()h x 在(),ae e上存在唯一一个零点,符合题意.综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) 法二：()ln h x x a x =-有两个零点.等价于1x ≠时,ln xa x =有两个实根,（1） 令()ln x F x x =,()2ln 1ln x F x x-'= 当()0,1x ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减,且()0F x <； 当()1,x e ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减； 当(),x e ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增；()F e e =,1x +→,()F x →+∞,x →+∞,()F x →+∞.要使（1）有两个实数根,即使()a F e e >=, 综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) （ii ）()()()e ln e ln e0xxxx a x x x a x x -+=->有两个实根,令e x t x =,()ln g t t a t =-有两个零点1t ,2t ,111e x t x =,222e x t x =所以1122ln 0ln 0t a t t a t -=⎧⎨-=⎩, 所以()2121ln ln a t t t t -=-（1）()2121ln ln a t t t t +=+（2）要证12212x x e ex x +>,只需证()()12212x x x e x e e ⋅>,即证()()1212ln ln 2x x x e x e +>, 所以只需证12ln ln 2t t +>.由（1）（2）可得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t tt t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--, 只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. 设120t t <<,令21t t t =,则1t >,所以只需证1ln 21t t t ->+,即证4ln 201t t +->+ 令()4ln 21t h t t =+-+,1t >,则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++, ()()10h t h >=,即当1t >时,4ln 201t t +->+成立.所以12ln ln 2t t +>,即()()12212x x x ex e e ⋅>,即12212x x e x xe+>.(12分)(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭02πθ,曲线2C 的参数方程为2121x t ty t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 的参数).（1）将曲线1C 的极坐标方程､2C 的参数方程化为普通方程.（2）设1C ,2C 的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 解：（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin coscos sin44ππρθρθ∴+=02πθ(044)x y x ∴+≤≤=,即1C ：4(04)x y x +=≤≤由2121x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得 21,:21,x t ty t t ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩, 消去参数t ,可得22(1)(1)8x y +--= 即2C 普通方程为22(1)(1)8x y +--=.(5分) （2）由22442{(1)(1)8()(2)82x y x y x x y x y x y y +=+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨+--=+-+==⎩⎩, 即(2,2)P ,设所求圆圆心的直角坐标为(,0)a ,其中a >0.则222(2)(02)a a -+-=,解得 2a =,所求圆的半径2r ,所求圆的直角坐标方程为: 22(2)4x y -+=.即224x y x +=,所求圆的极坐标方程为4cos ρθ= . (10分) 23．[选修4-5：不等式选讲] (10分) 设函数()211f x x x ax =--++,a R ∈. （1）若12a =,求不等式()0f x >的解集； （2）若函数()f x 恰有三个零点,求实数a 的取值范围. 解：（1）若12a =,不等式()0f x >即121102x x x --++>, 则11(12)(1)02x x x x ≤-⎧⎪⎨----+>⎪⎩或1121(12)(1)02x x x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪--++>⎪⎩ 或121(21)(1)02x x x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪--++>⎪⎩, 解得1x ≤-或10x -<<或43x >, 故原不等式的解集为4(0)()3-∞⋃+∞，，；(10分) （2）由()2110f x x x ax =--++=,得211x x ax --+=-,设211()211312122x x g x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，，,()h x ax =-, 在平面直角坐标系中做出()g x 的大致图像,如图所示,结合图像分析,可知当31a -<-<-,即13a <<时,()g x 、()h x 的图像有三个不同的交点,故函数()f x 恰有三个零点时,实数a 的取值范围是(1)3，. (10分)。
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课标全国卷数学高考模拟试题精编七【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题号 一 二三选做题 总分13 14 15 16 17 18 19 20 21 得分第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数i 2＋i 3＋i 41－i 在复平面内对应的点与原点的距离为( )A ．1 B.22C. 2 D ．2 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝( ) A.70 B ．4 5 C ．3 5 D ．2 53．已知α，β表示两个相交的平面，直线l 在平面α内且不是平面α，β的交线，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 2 D. 35．已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1)个1之间有(2k －1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2 012项中1的个数为( )A ．44B ．45C ．46D ．476．(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －4 ，x ＞02x＋∫π60cos 3t d t ，x ≤0，则f(2 012)＝( )A .13 B ．－43 C .43 D .73(文)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin α的值是( )A .355 B .377 C .31010 D .137．点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±4xC ．y ＝±25xD ．y ＝±26x 8．(理)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( )A .16B .14C .13D .12(文)在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA ＝SC ＝2，AC 的中点为M ，∠SMB 的余弦值是33，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A .3π2B ．2πC ．6πD .6π 9．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3，a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．11010．若程序框图如图所示，视x 为自变量，y 为函数值，可得函数y ＝f (x )的解析式，则f (x )＞f (2)的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(4,5]C ．(－∞，－2]D ．(－∞，－2)∪(3.5,5] 11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，有⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在x ∈[－2π，2π]时的零点个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．下列命题正确的序号为________． ①函数y ＝ln(3－x )的定义域为(－∞，3]；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最小值为5；③若命题p ：对∀x ∈R ，都有x 2－x ＋2≥0，则命题綈p ：∃x ∈R ，有x 2－x ＋2＜0；④若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b的最小值为1.14．(理)10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________种． (文)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年教育支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ∧＝0.15x ＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．15．已知a 、b 都是正实数，函数y ＝2a e x＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b的最小值是________．16．已知数列 {a n }为等差数列，a 3＝3，a 1＋a 2＋…＋a 6＝21，数列{1a n}的前n 项和为S n ，若对一切n ∈N *，恒有S 2n －S n ＞m 16成立，则m 能取到的最大正整数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，且函数f (x )＝a ²b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)将f (x )横坐标缩短为原来的一半，再向右平移π4个单位得到g (x ) ，设方程g (x )－1＝0在(0，π)上的两个零点为x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．18．(理)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB 为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BEF；(Ⅱ)设PA＝k²AB，且二面角E－BD－C大于30°，求k的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝12BC ，G 是BC 的中点． (1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：EG ⊥平面BDF .19.(理)(本小题满分12分)随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮．据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建成公共自行车租赁系统．某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟至120分钟(含120分钟)收取1元租车服务费，120分钟至180分钟(含180分钟)收取2元租车服务费，180分钟以上的时间按每小时3元计费(不足1小时的按1小时计)，租车费用实行分段合计．现有甲、乙两人相互独立到租车点租车上班(各租一车一次)，设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为12，14，1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为14，13，2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为18，13，两人租车时间均不会超过4小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲一周内有四天(每天租车一次)均租车上班，X 表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X 的分布列与数学期望．(文)(本小题满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎨⎧3，96≤x ＜985，98≤x ＜1044，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．20.(本小题满分12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(Ⅰ)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率；(Ⅱ)若函数y ＝2＋log m x (m ＞0且m ≠1)的图象，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2A →²F 2B →的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)．(1)当a＝1时，证明函数f(x)只有一个零点；(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若AD ＝2，且tan ∠ACD ＝12，求⊙O 的半径r 的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝12＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0＜α＜π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．。