工程流体力学基础4

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流体力学
第4章
受力分析 （1）静力学：只有质量力和静压强。 （2）理想流体动力学：只有质量力和压强，切向 表面力（粘性力为零）。 结论：静力学的结论—单位流体所承受的合力 （质量力和法相表面力）形式可以直接用到理 想动力学中。 运动分析 （1）静力学：加速度为零，和外力等于零。 （2）理想流体动力学：加速度不为零，和外力等 于加速度引起的惯性力。 4/88
1 ∂p ∂v ∂v ∂v dy = u dy + v dy + w dy f y dy − ρ ∂y ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w 1 ∂p f z dz − dz = u dz + v dz + w dz ρ ∂z ∂x ∂y ∂z
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流体力学
第4章
流线方程：udy=vdx、ydz=wdy、wdx=udz
Du ∂p dx ∂p dx f x ρdxdydz + p − dydz − p + dydz = ρdxdydz 7/88 ∂x 2 ∂x 2 Dt
流体力学
1 ∂p Du fx − = ρ ∂x Dt
同理
第4章
除以流体微团的流体质量ρdxdydz，化简得：
p1 V1 p 2 V2 z1 + + = z2 + + ρg 2 g ρg 2 g
到静力学基本方程。
2
2
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-41)可以得
p z+ = 常数 ρg
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流体力学
沿流线s 的欧拉运动微分方程
∂v ∂v 1 ∂p + v = fs − ∂t ∂s ρ ∂s
0
流体力学
一、沿流线的伯努利方程
伯努利方程的推导：
第4章
由一维欧拉运动微分方程沿流线积分而得。 伯努利方程的限制条件 粘度为零
(1) 理想流体（理想流体动力学 基本方程） 密度为常数 (2) 不可压缩流体 时间偏导数为零 (3) 定常流动 (4) 沿流线（流线方程）
V x dr =0 fz=g
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单位重量流体所具有的压强势能； 指测压管高度，表示流体质点的压强高度，称压强水头 单位重量流体所具有的动能； 流速高度，又称流速水头
p = H γ
p
单位重量流体所具有的总势能，称测压管水头
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p v2 z＋ ＋ = H γ 2g
单位重量流体所具有的总机械能，称总水头 。
流体力学
第4章
物理意义：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线 （或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动 能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种 能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中 的一种特殊表现形式。 几何意义：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线 (或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速 度水头之和保持不变，即总水头是一常数。
(5) 质量力仅为重力（质量力已知）
流体力学
D ρ = 0 Dt
理想流体运动方程
第4章
流体是定常流动、不可压，则有连续性方程
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂p ∂u ∂u ∂u fx − =u +v +w ρ ∂x ∂x ∂y ∂z 1 ∂p ∂v ∂v ∂v fy − =u +v +w ρ ∂y ∂x ∂y ∂z 1 ∂p ∂w ∂w ∂w fz − =u +v +w ρ ∂z ∂x ∂y ∂z
2 p1 v12 p 2 v2 = z2 + + z1 + + γ 2g γ 2g
第4章
当流场的ω=0，则伯努利方程不必沿流线：
p z+ + = C （其中C在整个流场中相等） γ 2g
—— 伯努利方程
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v2
流体力学
二、伯努利方程的意义
第4章
z
p γ v2 2g
z＋
p v2 z+ + = Cl 单位重量流体所具有的位置势能； γ 2 g 指位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置水头
流体力学
弯管流量计原理 弯管是典型的急变流，其压强的分布 是不均匀的，也就是说在弯管的同一 个断面上每个点的测压管高度是不一 样的，弯管流量计就是利用急变流断 面上压强差与离心力相平衡，离心力 的大小与流速的平方成正比，因此， 流量大，压强差就大，通过测量压强 差就可以测出管内的流量。
第4章
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流体力学
第4章
在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、 fy和fz 是已知的，对理想不可压缩流体其 密度ρ为一常数。在这种情况下，式中有四 个未知数u、v、w和p，而有三个方程，再加 上不可压缩流体的连续性方程，就从理论上 提供了求解这四个未知数的可能性。
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流体力学
第4章
第2节 伯努利方程 （能量转化和守恒定律，1738 年，动能和势能的转换。）
p V2 gz + + = 常数 ρ 2
理想流体微元流束（沿流线） 的伯努利方程，方程右边的常 19/88 数对不同的流线有不同的值。
分
p V2 z+ + = 常数 ρg 2 g
流体力学
第4章
理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿 同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微 元流束）上的任意两点，则式也可写成
流体力学
上式三个方程相加，得到
第4章
1 ( f x dx + f y dy + f z dz ) − ρ = udu + vdv + wdw
∂p ∂p ∂p ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz
由于上式中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小 位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束 ）进行积分。
矢量式
∂v 1 ∂p + (v ⋅ ∇ )v = f − ∂t ρ ∂x
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流体力学
对静止流动
第4章
对恒定流动
dv =0 dt
1 f − ∇p = 0 ρ
静力学基 本方程
∂v =0 ∂t
∂u ∂v ∂w = = =0 ∂t ∂t ∂t 1 ∂p ( v ⋅∇ ) v = f − ρ ∂x
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流体力学
渐变流的重要特性：
第4章
• 流线 相互 平行或接近平行。 任一过流断面上各点的动压强分布规律与静压强分布规律相 同。
p =C 即：在同一过流断面上各点的测压管水头 z + γ
也就是说在同一平面上的测压管液面高度相同，但是不同断 面上的测压管水头值可能是不同的（位置势能可能不同）。 均匀流由于是渐变流的极限，因此也具有这个特性。 29/88 急变流没有这个特性
理想流体恒定流动中，沿 同一条流线： 1. 各点的总水头相等； 2. 各点单位重量流体的机 24/88 械能守恒。
流体力学
第4章
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流体力学
第4章
三、黏性流体的伯努利方程
2 p1 v12 p2 v2 z1 + + = z2 + + + hL γ 2g γ 2g
hL
—— 单位重量流体的机械能损失；
流体力学
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流体力学
因为
∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = d p ∂x ∂y ∂z
第4章
1 1 2 2 2 udu + vdv + wdw = d(u + v + w ) = dV 2 2 2 质量力只有重力：fx=0，fy=0，fz=-g。
1 1 gdz + dp + dV 2 = 0 ρ 2 积
第4章
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流体力学
x方向上
第4章
假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。 在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于
∂p dx p − ∂x 2
∂p dx p+ ∂x 2
由于是微元面积，所以这些压强可为 各表面上的平均压强。
设六面体质量力为fx、fy和fz ，则作用在微元六面体的流 体微团上的质量力在轴方向的分量为 fxρdxdydz 根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
将流线方程代入上式中的对应项，则得：
1 f x dx − ρ
只有沿着流线， ∂p ∂u 才能做出这步推 ∂u ∂u dx = u dx + u dy + u dz = udu 导～～ ∂x ∂x ∂y ∂z
1 ∂p ∂v ∂v ∂v f y dy − dy = v dx + v dy + v dz = vdv ρ ∂y ∂x ∂y ∂z 1 ∂p ∂w ∂w ∂w f z dz − dz = w dx + w dy + w dz = wdw 17/88 ρ ∂z ∂x ∂y ∂z
沿流线的水头损失。
所以：1）单位重量流体的能量不守恒； 2）总水头线 —— 沿程下降。
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流体力学
第4章
第3节 伯努利方程的实际应用
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流体力学
一、渐变流和急变流
第4章
1. 均匀 流与非均匀流 均 匀 流：过流断面及其平均流速沿流程不变的流动（或 流线是相互平行的直线）。 非均匀流：过流断面沿流程变化。按流速随流向变化的缓 急分为渐变流和急变流。
流体力学
在流动的理想流体中，取出 一个微元平行六面体的微团， 各边长分别为dx、dy和dz。 由于是理想流体，没有黏性， 作用在流体微团上的外力只质 量力和压强。该压强与静压强 一样，垂直向内，作用在流体 微团的表面上。
第4章
∂p dx p − ∂x 2
∂p dx p + ∂x 2
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流体力学
第4章
引入惯性力
du 1 ∂p dt = f x − ρ ∂x dv 1 ∂p = fy − ρ ∂y dt dw 1 ∂p = fz − ρ ∂z dt
流体静力学 基本方程
理想流体动力学 基本方程 9/88
流体力学
将加速度展开成欧拉表达式
第4章
∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ∂t + ∂x u + ∂y v + ∂z w = f x − ρ ∂x ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p + u + v + w = fy − ∂y ∂z ρ ∂y ∂t ∂x ∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂p u+ v+ w = fz − + ∂y ∂z ρ ∂z ∂t ∂x
1 ∂p Dv fy − = ρ ∂y Dt
1 ∂p Dw fz − = ρ ∂z Dt
实际上：由于理想运动流体和静止流体受力在形式上相同， 8/88 可以直接引用静力学基本方程导出理想流体运力学基本 方程。
流体力学
∂p du ρf x = ∂x − dt ∂p dv − ρf y = ∂y dt ∂p dw − ρf z = ∂z dt
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∂u ∂v ∂w = = =0 ∂t ∂t ∂t
流体力学
第4章
沿流线： 假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上 的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以上 式的第一式、第二式和第三式，则可得到 ∂u ∂u ∂u 1 ∂p f x dx − dx = u dx + v dx + w dx ρ ∂x ∂x ∂y ∂z
∂ v2 ∂s 2
第4章
−g
∂z ∂s
ρ =C
∂ p v2 gz + + =0 ∂s ρ 2
沿流线s 积分，得
p v2 p v2 = Cl gz + + = Cl 或 z + + γ 2g ρ 2
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流体力学
在同一条流线上取1、2两点，则有
工程流体力学基础
林培锋 linpf1982@
1
流体力学
第4章
第4章 理想流体动力学 4.1欧拉运动微分方程—牛顿第二定律 4.2伯努里方程—能量转化和守恒定律 4.3伯努里方程的实际应用 4.4恒定流动的动量定理和动量矩定理 —动量定律（动量矩定理）
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流体力学
第4章
第1节 欧拉运动微分方程式 （N-S方程、纳维斯托克斯方程）
尼尔．伯努利，1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴 趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学 ，学习逻辑、哲学、医学和数学。1724年，丹尼尔获得有关微积 分方程的重要成果，从而轰动欧洲科学界。他还把牛顿力学引入 对流体力学的研究，其著名的《流体力学》一书影响深远。他同 时是气体动力学专家。1782年3月17日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞 尔去世。 职业生涯 1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应” ：流体速度加快时。物体与流体接触的界面上的压力会减小，反 之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努 13/88 利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体。