高一物理必修2 竖直平面内的圆周运动的临界问题
圆周运动临界问题 高一下学期物理人教版必修2
（2）水在最高点速率v=3m/s时水对桶底的压力？
解：（1）以最高点处的水为研究对象，当桶底对水没有支持力 时，水刚好不流出，由牛顿第二定律和向心力公式得
mg mvm2in / r vmin gr 2m / s
（2）设桶底在最高点处对水的支持力为FN，由牛顿第二定律和 向心力公式得
它们到转轴的距离分别为r、2r，两物块与转盘间的动摩擦因
数均为μ．当转盘以某角速度匀速转动时，A、B均一起随转盘
转动，则以下说法正确的是（
）
A.两物体所受的静摩擦力均指向圆心
B.两物体所受的静摩擦力的大小相等
C.当角速度增大到一定程度时，两物体同时开始滑动
D.当角速度增大到一定程度时，B物体先开始滑动
fA 2m r 2; fB m 2r 2 fA fB
分析：设转盘角速度为ω0时，物体刚开始滑动。
m ' g m ' R02 0 g / R
B
A
RA r RB 2r 0A 0B
故在转盘角速度一定时，B物体比A物体更容易滑动。
专题讲座：圆周运动中的临界问题
一、水平面内的圆周运动的临界问题
mg FN mv2 / r FN mv2 / r mg 6.25N
由牛顿第三定律知水对桶底的压力大小为6.25N,方向竖直向上.
例2.长L=0.4m，质量可忽略的细杆，其下端固定于O点，上端
连接着一个质量为m=2.0kg的小球A，A绕O点做圆周运动，在A
通过最高点时，（g=10m/s2)
课堂小结
临界问题----三部曲 步骤一：会不会---判断是否出现滑动、脱离、松弛； 步骤二：啥时会---确定临界状态，求出对应临界值； 步骤三：是否会---进行比较，确定状态，具体分析.
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
竖直平面内的圆周运动临界问题(超级经典全面)
B、a处为拉力，b处为推力
C、a处为推力，b处为拉力
D、a处为推力，b处为推力
b
a
例：长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量
为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心 在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速 率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到 （ B）
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
练习习题
7.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的 内侧运动如图5－8－9所示，经过最高点而不 脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速 度经过最高点时，对轨道的压力值是（ ）
A.0
B.mg
C.3mg
D.5mg
2、用长为l的细绳，拴着质量为m的小球，在竖直平面 内做圆周运动，则下列说法中正确的是（ ） A.小球在最高点所受的向心力一定是重力 B.小球在最高点绳的拉力可能为零 C.小球在最低点绳子的拉力一定大于重力 D.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则它在最 高点的速率为
A .O
C B
2、轻杆和圆管模型 ：
N
能过最高点的临界条件：
mg
v临界＝0
O
杆（管的下壁）对球的支持力FN=mg
N
mg O
小结二:有支撑的物体
小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动
1、临界条件： 由于支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度V临界=0，此时弹力
等于重力
FN mg
2、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
由牛顿第二定律有
FN＋mg＝ mv^2/L
2.6 N(1分)
(3分) ∴mvF^N2＝/L
－mg＝
根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力大小为2.6 N，方向
竖直面内圆周运动的临界问题分析
ʏ赵世渭 吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为 恰好出现 ,也可理解为 恰好不出现 ㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂ 图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半 图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂ 图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。
6.4圆周运动的临界问题人教版(教材)高中物理必修二PPT
题述的过程存在着“起止点”，对应着临界状态； ➢ 若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述
的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。
（2）方法突破——步骤：
[写秦军势如破竹，说明故事的背景。] 24.《离骚》中表明自己即使佩带芳草和玉佩，但是自己光明纯洁的品质没有亏损的两句： 1、 关于烛之武
共享经济的迅速崛起和发展绝非偶然，伴随着经济水平的发展，消费日益多元化和细分化，传统粗放型经济模式已经不能完全资源的高效配置。而共享经济能有效的调整供需需求 ，将闲置资源进行合理配置，更好的满足差异化的需求。同时，共享经济借助互联网形成了全新的社交信赖体系，并通过社群和分享的方式，颠覆着传统产业形态的发展。
＝20 m /s，故 B 正确。
绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运 动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为L=60cm，求：
明确：当权者不注意选拔人才，有权者的嫉妒。 微：1．则名微而众寡（细小，轻微 2、 请学生思考：
（1）最高点水不留出的最小速度？ 荆轲刺秦王的历史背景
3、让学生展开想象，想象烛之武在漫长的岁月里是怎样渴望为国立功，实现自己的报负的。 6．情景交融．意境旷达，极写自己羁旅之愁和孤独之感的句子是：万里悲秋常作客，百年多病独登台。 且举世誉之而不加劝，举世非之而不加沮。
是：FT＝0。
（4）水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类： 一类是与摩擦力有关的临界问题；一类是与弹力有关的临界问题。 第一、与摩擦力有关的临界极值问题
物①心体如；间果恰只好是不摩发擦生力相提对供滑向动心力的，临则界有条F件m＝是物m体vr间2 恰，好静达摩到擦最力大的静方摩向擦一力定。指向圆
竖直面内圆周运动的临界问题
竖直面内圆周运动的临界问题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--竖直面内圆周运动的临界问题1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”.2.绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，－F N＋mg＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心并随v的增大而增大1(多选)如图所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( )A.甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力B.乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力C.丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力D.丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR2长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s，g取10 m/s2，则此时小球将( )A.受到18 N的拉力B.受到38 N的支持力C.受到2 N的拉力D.受到2 N的支持力3(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝ m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g＝10 m/s2)( )≥0 ≥4 m/≥2 5 m/s ≤2 2 m/s4一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小5质量为m 的小球在竖直平面内的圆管中运动，小球的直径略小于圆管的口径，如图4所示.已知小球以速度v 通过圆管的最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v2通过圆管的最高点时( )A.对圆管的内、外壁均无压力B.对圆管外壁的压力等于mg 2C.对圆管内壁的压力等于mg2D.对圆管内壁的压力等于mg 6杂技演员表演“水流星”，在长为 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝ kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( )A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N( BC ) ( D )( CD )（ A ） ( C ) ( B )。
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题一．竖直面内的临界问题： a 无支撑模型：1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=rmv 2临界上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v 临界=rg .②能过最高点的条件：v ≥v 临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mg rv m N -=2③不能过最高点的条件：v<v 临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）. b 有支撑模型：2、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 v 临界=0.②图（a ）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N=mg ；当0<v<rg 时，杆对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0. 当v=rg 时，N=0；当v>rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大. ③图（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0. 当v=gr 时，N=0.当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大.④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v 临界=gr .当v>gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动.c 类似问题扩展如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点到斜面底边的距离s OC =L ，求：小球通过最高点A 时的速度v A ．二．平面内的临界问题 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s 2）三．绳的特性引发的临界问题如图所示，质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长L A =2m ，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g =10m/s 2．求： （1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ （2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？模型一 圆周运动中的渐变量和突变量例1：如图所示，细线栓住的小球由水平位置摆下，达到最低点的速度为v ，当摆线碰到钉子P 的瞬时（ ）A ．小球的速度突然增大B ．线中的张力突然增大P 小球C O B A θ θ ωAB 30°45°CC ．小球的向心加速度突然增大D ．小球的角速度突然增大模型二 圆周运动与平抛运动相结合例2：如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。
竖直面内圆周运动的临界问题分析
竖直面内圆周运动的临界问题分析竖直面内圆周运动特点：1、运动特点：速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
---变速率圆周运动2、受力特点： 实质：沿半径方向的合力提供向心力，产生向心加速度，即牛顿第二定律在曲线运动中的运用。
F n 合＝ma n = mv 2/r=mr 2ω1）过最低点：所需的向心力是向上，而重力向下，据：F -mg = mv 2/r 得：F >mg 所以弹力（拉力、支持力）必然向上且大于重力。
2）过最高点：所需的向心力是向下，而重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论临界问题。
讨论： 的意义：例题1：（07理科综合）如图所示，质量为m 的小物块位于半径为R 的半球物体顶端，若给小物体水平速度 ，则物块（ ）A 、立即做平抛运动， BC 、落地速度大小为 ；D 、落地速度方向与地成450。
若给小物体水平速度 ；则小物块对半球物体顶端的压力 。
例题2：杂技演员表演的“水流星”，是一根细长绳的一端系着一个盛了水的容器，以绳的另一端不圆心，使容器在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，N 为圆周最低点，M 为圆周最低点，若“水流星”通过最低点的速度为 ，则下列说法正确的是（ ） 。
A 、“水流星”过最高点速度为0；gR v =gR v 2=gR v 2=gR v 5=2gR v =B 、“水流星”过最高点时，有水从容器中流出；C 、“水流星”过最高点时，水对容器底没有压力；D 、“水流星”过最高点时，绳对容器有向下的拉力。
③弹力既可能向上又可能向下，如管内转、杆连球、环穿球类（有支撑）。
这种情况下，速度大小v 可以取任意值。
但可以进一步讨论：①当v= 时，②当 时，③当v= 时，④当 时，例题3：（04年理综）轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则（ ）。
竖直平面圆周运动的临界问题
竖直平面内圆周运动的临界问题
物理情景 图示 在最高点的临界特点 做圆周运动条件
T=0
v2 mg m r
细绳拉着小球 在竖直平面内 运动 小球在竖直放 置的光滑圆环 内侧运动 小球固定在轻 杆上在竖直面 内运动 小球在竖直放 置的光滑管中 运动
v gr
在最高点时速 度应不小于
gr
N=0
v2 mg m r
v gr
在最高点时速 度应不小于
gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点速度 应大于0 在最高点速度 应大于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
;
F1
V1
G
思考：在最高点时，什么时候 外管壁对小球有压力，什么时 候内管壁对小球有支持力?什么 时候内外管壁都没有压力？ 临界速度：F 0, v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力； 当v>v0，外壁对球有向下的压力。
作业：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长 为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平 轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求： （１）当小球在最高点的速度 为多大时，小球对杆的作用力 为零？ （２）当小球在最高点的速度 分别为６m/s和1.5m/s时，杆对 小球的作用力的大小和方向 （３）小球在最高点的速度能 否等于零？
A mg FN
v2 mg FN m r
思考：小球过最高点的最小速度 是多少?
FN 0, v0 gr
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
高中物理必修二64专题：竖直面内的圆周运动及圆周运动的临界问题(解析版)
6.4 专题：竖直面内的圆周运动及圆周运动的临界问题一、基础篇1.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。
已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)()A．1 rad/s B. 2 rad/sC. 3 rad/s D．3 rad/s解析：选B对A有μ1m A g≥m Aω2r，对A、B整体有(m A＋m B)ω2r≤μ2(m A＋m B)g，代入数据解得ω≤ 2 rad/s，故B正确。
2.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则()A．绳的拉力可能为零B．桶对物块的弹力不可能为零C．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力一定增大D．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力仍保持不变解析：选D由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于零，故A错误。
绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为零，故B错误。
由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，所以绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C 错误，D 正确。
3.如图所示，杂技演员在表演节目时，用细绳系着的盛水的杯子可以在竖直平面内做圆周运动，甚至当杯子运动到最高点时杯里的水也不会流出来。
下列说法中正确的是( )A ．在最高点时，水对杯底一定有压力B ．在最高点时，盛水杯子的速度可能为零C ．在最低点时，细绳对杯子的拉力充当向心力D ．在最低点时，杯和水受到的拉力大于重力解析：选D 水和杯子恰好能通过最高点时，在最高点细绳的拉力为零，由它们的重力提供向心力，它们的加速度为g ，此时水对杯底恰好没有压力。
竖直平面内圆周运动的临界问题
6．质量为 m 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动， ． 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动， 则当小球以2 若经最高不脱离轨道的临界速度为 v ，则当小球以 v 速 度经过最高点时， 度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为
例题3、质量是 的汽车在拱桥上以速度 前进， 的汽车在拱桥上以速度v前进 例题 、质量是m的汽车在拱桥上以速度 前进， 桥面的圆弧半径是R， 桥面的圆弧半径是 ，求汽车过桥最高点时受 桥的摩擦力。（已知动摩擦因数是µ 。（已知动摩擦因数是 桥的摩擦力。（已知动摩擦因数是 ）
临界问题的分析
V
FN mg O
杆
球刚好过最高点时的速度？ 球刚好过最高点时的速度？此时杆对 球的作用力多大？ 球的作用力多大？ V=0 F =mg
N
当绳子对小球的作用力为小球重力 的两倍时,小球的速度多大? 的两倍时,小球的速度多大?
竖直平面内圆周运动的临界问题： 竖直平面内圆周运动的临界问题：
N mg O 绳 mg O 轨道 mg O 杆 N mg O 管道
作业本:P 作业本 16 7、8、9 、 、 P18 11、1、2、3、4 、 、 、 、
1．长为 0.5m的轻杆 ． 的轻杆OA（不计质量），A端插个质量 （不计质量） 端插个质量 的物体，在竖直平面内绕O点做圆周运动 点做圆周运动， 为 2.0kg 的物体，在竖直平面内绕 点做圆周运动，求 在下述的两种情况下，通过最高点时物体对杆的作用力． 在下述的两种情况下，通过最高点时物体对杆的作用力． （1）杆做匀速圆周运动的转速为 1.0r/s； ） （2）杆做匀速圆周运动的转速为 2.0r/s ． ）
刚好过最高点的速度？此时杆( 刚好过最高点的速度？此时杆(绳、轨道) 轨道) 对球的作用力多大？ 对球的作用力多大？
高一物理必修2_竖直平面内的圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m Rv 临界（2）小球能过最高点条件：v（当v（3）不能过最高点条件：v（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）（2）当0< vF 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力） （3）当v=F =0（4）当vF 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）【案例剖析】例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mg图6-11-1a b图6-11-2 bC ．开始运动时，绳的拉力为2v m LD解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L-=，20v F m mg L=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L =，v 以，A 、B 、C 均不正确。
故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力 解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；当v =时，F = 0故A 正确。
竖直平面内的圆周运动与临界问题 (2)
力提供向心力
mg m v2 v gL 10 0.9 3m / s
L
（3）当球在最高点的速度为v1=6m/s时，设杆对球的作用力为F1 取竖直向下为正，则有
F mg m v2
1
l
F1
v2 m
l
mg
6N
F
mg
杆对球的作用力为竖直向下6N
O
当球在最高点的速度为v2=1.5m/s时，设杆对球的作 用力为F2仍取竖直向下为正，则有
T=0
mg m v2 r
v gr
N=0
v2 mg m
r
v gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点时速 度应不小于
gr
在最高点时速 度应不小于
gr
在最高点速度 应大于0
在最高点速度 应大于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的N临界条件也不N 同。
1如图所示，细杆的一端与一小球相连，可
绕过O点的水平轴自由转动.现给小球一初速
度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小
球轨道的最低点和最高点.则杆对球的作用
力可能是（AB ）
b
A. a处为拉力，b处为拉力
B. a处为拉力，b处为推力
C. a处为推力，b处为拉力
O
D. a处为推力，b处为推力
a
实例二：杆模型 2如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为Ｌ ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平轴在 竖直平面内转动，g=10m/s2，求：
高中物理必修二 新教材 讲义 专题提升三 竖直平面内圆周运动的两种模型及临界问题
专题提升三竖直平面内圆周运动的两种模型及临界问题[学习目标]1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型。
2.学会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型的方法。
3.分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。
提升1竖直平面内圆周运动的两种模型1.两种模型特点(1)轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。
其特点是在最高点无支撑。
(2)轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。
其特点是在最高点有支撑。
2.竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较项目轻绳模型轻杆模型情景图示最高点受力特征除重力外，物体可能受到向下的弹力除重力，物体可能受到向下或向上的弹力受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0，即mg＝mv2minR，即v min＝gRv＝0时F向＝0，即F N＝mg v＝物体能否过最高点的临界速度F N表现为拉力(压力)还是支gR的意义持力的临界速度过最高点的条件最高点的速度v≥gR最高点的速度v≥0过最低点受力分析F N－mg＝mv2R，轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件F N－mg＝mv2R，存在对杆拉力或对管压力的最大值【思考】汽车过凸形桥最高点是哪类模型？提示汽车过凸形拱桥最高点相当于杆只有支持力而没有压力的情况，此时mg－F N＝m v2R，过最高点的临界条件是F N＝0，v＝gR。
轻绳模型【例1】(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(重力加速度为g)()A.小球在圆周最高点时的向心力一定等于重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为glD.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝gl，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。
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高一物理必修2 竖直平面内的圆周运动的临界问题【学习目标】1．了解竖直平面内的圆周运动特点。
2．掌握物体在竖直平面内做圆周运动过最高点的运动情况及受力情况分析方法。
3．掌握物体在竖直平面内做圆周运动时临界问题的分析方法。
【教材解读】竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m Rv 临界（2）小球能过最高点条件：v（当v（3）不能过最高点条件：v<（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）图6-11-1a b图6-11-2 b（2）当0< vF 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）（3）当v=F =0（4）当vF 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）【案例剖析】例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mgC ．开始运动时，绳的拉力为2v m LD解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L -=，20v F m mg L=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L=，v =A 、B 、C 均不正确。
故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力 解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B不正确；当v = F = 0故A正确。
当0< vmg > F > 0，F 为支持力故D 正确。
当vF >0，F 为拉力，故C 不正确。
故选：A 、D例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？ （２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？ 解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。
即：20v mg m R≤，则最小速率0v ==（2）水在最高点速率大于v 0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F ，由牛顿第二定律有F + mg =2v m R， F = 2v m R -mg = 6.25N ，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F / ＝F = 6.25N ，方向竖直向上。
【知识链接】如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R （约为6400km ）。
地面上有一辆汽车，重量是G = mg ，地面对它的支持力是F 。
汽车沿南北方向行驶，不断加速。
根据上面的分析，汽车速度越大，地图6-11-4图6-11-3面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员 与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压 力是多少？他这时可能有什么感觉？（g 取10m/s ２）【目标达成】1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ）A ．是拉力B ．是推力C ．等于零D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零解析：到最高点临界速度为v =临当v v =临界时，F ＝0；当v v >临界时，F 为拉力。
故选：A 、C2．（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）A ．a 处为拉力，b 处为拉力B ．a 处为拉力，b 处为推力C ．a 处为推力，b 处为拉力D ．a 处为推力，b 处为推力解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0v ≤<时，F mg <向，此时为推力，当v >F mg>向，此时为拉力。
故选：A 、B 3．长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。
现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v ，则下列叙述正确的是 （ ）A ．vB ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C ．v 由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D ．v解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度0v ≥， A 错；由2v F m L=向得，v 增大，F 向增大， B 对；当0< vF 随v 减小而增大（F 为支持力），当vF 随v 增大而增大（F 为拉力）, C 错，D 对。
故选：B 、D4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ）图6-11-5图6-11-6A ．0B ．mgC ．3mgD ．5mg解析：到最高点临界速度为v ，则：2v mg m R=；当速度为2v 时，则：2(2)v F mg mR +=（F 为压力）；由上两式解得：F = 3mg 。
故选：C5．长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v 和2v ，细线所受拉力分别为1F 、2F ，则 （ ）A ．1vB ．2v = 0C ． 1F = 5mgD ．2F = 0解析：小球恰能通过最高点，细线拉力2F = 0，有22v mg m L=，得2v恒得：221211222mv mg L mv =+，解得：1v 211v F mg m L-=，解得16F mg =。
故选：A 、D6．质量可忽略，长为L 的轻棒，末端固定一质量为m 的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v 必须满足的条件为 （）A ．vB ．vC ．v ≥D ．v 解析：小球到最高点速度1v ≥0，由机械能守恒得：221222mv mg L mv =+，解得：v≥ C7．如图6-11-7所示，一个高为h 的斜面，与半径为R 的圆形轨道平滑地连接在一起。
现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B 而不落下，则斜面的高度h 应为多大？解析：小球到达顶端B 速度为v ，则：22v mgm R ≤解得：v 2122mgh mg R mv =+ 解得：52h R ≥8．如图6-11-8所示，杆长为L ，杆的一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O 在竖直平面内作圆周运动，求：（1）小球在最高点A 时速度A v 为多大时，才能使杆对小球m 的作用力为零？（2）小球在最高点A 时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度是多少？ （3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, A v = 0.4m/s, 则在最高点A 和最低点B 时, 杆对小球m 的作用力各是多大? 是推力还是拉力?解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆周运动的向心力由重力mg 提供，2Amv mg L= 解得：A v =(2) 若小球m 在最高点A 时受拉力F ，则图6-11-8图6-11-721v F mg m L+= 解得1v =>若小球m 在最高点A 时受推力F ，则22v mg F m L -=解得：2v =<可见A v =m 的作用力F 在推力和拉力之间突变的临界速度.(3) 杆长L = 0.5m时，临界速度v ==临，A v = 0.4m/s <v 临,杆对小球有推力A F 。
由2A Av m g Fm L -=解得： 2A A v F mg m L=-＝（20.50.40.5100.5⨯⨯-）N = 4.84N ，由A 到B 只有重力做功，机械能守恒，设B 点所处水平面为参考面，则有2211222A B mv mg L mv +=解得：B v ==，在最低点B ，小球m 受拉力B F ，由2B B v F mg m L -=解得220.5 4.5(0.510)0.5B B v F mg m L ⨯=+=⨯+N = 25.3N 【拓展提高】9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道D 点为轨道最高点，DB 为竖直线，AC 为水平线，AE 为水 平面，今使小球自A 点正上方某处由静止释放，且从A 点进入 圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D ，则小球在通过D 点后 （ ）A ．会落到水平面AE 上B ．一定会再次落到圆轨道上C ．可能会落到水平面AE 上D ．可能会再次落到圆轨道上 解析：小球刚好能过最高点时速度v D 后作平抛运动，下落高度为R 时间为t x = vt >R ，所以，小球一定落在AE 上。
故选：A 10．如图6-9-10所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放 置，AB 段平直，质量为m 的小球以水平初速度0v 射入圆管。
（1）若要小球能从C 端出来，初速度0v 多大？ （2）在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪 几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件？解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是0v 临＝，此时需要初速度为0v ，由机械能守恒 ：2012R 2mv mg ＝ 得0v =因此要使小球能从C 端出来需C 0v >，故入射速度0v >图6-11-9BA图6-11-10（2）小球从C 出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识 2C v mg m R=由机械能守恒定律：220C 112+22mv mg R mv ＝ 联立解得0v =②对下管壁有压力，此时应有2C v mg m R>，相应的入射速度0v 应满足0v <<③对上管壁有压力，此时应有2C v mg m R<，相应的入射速度0v 应满足0v >。