练习册-2-第二章

第二章 牛顿定律
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第二章 牛顿定律
2-1 牛顿定律
【学习指导】
一、牛顿第一定律
定律内容：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。

定律意义：引入了惯性的概念，惯性——物体保持其原有运动状态的一种属性；定性确定了力的概念，力——是使物体的运动状态发生改变的原因。

二、牛顿第二定律
定律内容：运动的变化与所加的动力成正比，且发生在该力所沿的直线上。

定律意义：定量确定了力的概念；引入了质量的概念，质量——是物体惯性大小的量度。

定律的数学形式：F ma =
在直角坐标系下：,y x x x y y dv dv F m
ma F m
ma dt dt
====
在自然坐标系下：2
,n n dv v F m ma F m
ma dt
ττρ
====
三、牛顿第三定律
当物体A 以力1F 作用在物体B 上时，物体B 必以力2F 作用在物体A 上，且1F 与2F
大小
相等、方向相反，并在同一直线上。

2-2 几种常见的力
【学习指导】
一、万有引力
1122122
, 6.6710/m m F G
G N m kg r -==⨯⋅
若忽略地球的自转，则地球表面附近的物体所受的万有引力叫重力。

2
M P mg
g G
R
==
二、弹性力（弹力 包括拉力、支撑力等）。

胡克定律 f kx =-，k 叫弹簧的倔强系数。

三、摩擦力
滑动摩擦力：,k k k f N μμ=——滑动摩擦系数。

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14 最大静摩擦力：max ,s s s f N μμ=——静摩擦系数。

注意：静摩擦力)0(N f μ≤≤是一个范围概念，只有最大静摩擦力才能用等式
N f μ=m ax 表示。

惯性系中，静摩擦力由平衡条件求出。

【典型例题】
【例2-1】 将质量为m 的小球用绳挂在倾角为α的光滑斜面上,当用力使斜面体以加速度a 向左方运动时，如例2.1图a ，求绳中的张力Ｔ和小球对斜面的正压力Ｎ。

【解】 所求Ｔ、Ｎ都与小球有关，故选小球为研究对象。

图（b ）中给出了斜面静止时
小球的受力情况。

Ｔ为绳中张力，Ｇ＝ｍｇ为重力，N N '= 为来自斜面的正压力。

当斜面体
向左加速运动时，小球将随同斜面体一起加速运动，出现与N '
方向相反的加速度分量。

根据
牛顿第二定律N G T '++ 沿N '
方向的分量方程
cos sin N mg ma αα'-=-
Ｎ′将随加速度ａ的增大而减小，直到减小至零与斜面脱离接触。

因此，在题中未给出a 的范围的情况下，小球有两种可能的受力情况，与此相应，应该建立两种不同的力学方程，得出两种不同的解答。

(1)加速度a 较小，小球还没有离开斜面
根据图(b)所示的受力情况，由牛顿第二定律得:
且N=-N ′,当N ′=０时，由cos sin 0g a αα-=，可得a gctg α=
第二章牛顿定律
当0
gctgα>时，小球就离开斜面了。

由于受力情况已发生变化，
(cos sin)0
N m g a
αα
'=-<出现的负值，已经没有意义。

(2)a gctgα
>，小球已经离开斜面
图(c)表示小球离开斜面后的受力情况。

此时，牛顿第二定律表示为
cos
T ma
θ=sin0
T mg
θ-=
由此解得/
T tg g a
θ
==
讨论在有些问题中，随着运动情况变化，物体的受力情况（力的数目，力的方向）也相应变化。

处理这样的力学问题，应该分别不同情况建立方程，得出不同的解答。

【例2-2】一根不可伸长的轻绳，跨过(轻)定滑轮。

绳的一端挂有m＝１kg的重物，在绳的另一端施一力F。

当F＝9.8Ｎ时，系统处于平衡状态。

如果从某一时刻开始，拉力按Ｆ＝9.8＋４t－２t２(SI)的规律作用。

问当拉力变为9.8N时，重物的最大速度是多少?
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16 【例2-3】 光滑桌面上放置一固定的圆环带，半径为R 。

一物体贴着环带内侧运动，如图2.3所示。

物体与环带间的滑动摩擦系数为μ。

设在某一时刻物体经过A 点时的速度为v 0。

求此后t 时刻物体的速率和从A 点开始所经过的路程。

【解】 物体受力：环带对它的压力N ，方向指向圆心；摩擦力
f ，方向与运方向相反，
大小为f N μ=-
另外，在竖直方向受重力和水平桌面施给物体的支撑力，二者互相平衡，与运动无关 设物体的质量m ，由牛顿运动定律可得方程：
切向f ma τ= 法向2
/N mv R = 联立求解得：2
/t a v R μ=-
即
2dv v dt
R
μ-=
分离变量并积分，得 0
01/v
t
v v dv dt v v
R
v t R
μ
μ-
=⇒=
+⎰⎰
再对时间积分，且利用初始条件t ＝０时，S ＝０，得 0ln(1)
R
S v t R
μ
μ
=+
【讨论】 为什么存在摩擦力而不能迫使m 静止呢?原因是摩擦力f 虽然迫使m 减速，
但是f 的大小取决于N ，而N 又取决于v 。

当v 减小时，则N 减小，相应的f 减小，也就越难于减速。

当v →0时，f →０，使a t →0，从而使m 的滑行成为无限的过程。

这与物体在桌面上的滑行是不同的，桌面给予的摩擦力是不变的，故能迫使m 减速到静止。

【分类习题】
一、选择题
1．下面说法正确的是
（A ）物体在恒力作用下，不可能作曲线运动； （B ）物体在变力作用下，不可能作直线运动；
（C ）物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下，作匀速园周运动； （D ）物体在不垂直于速度方向力的作用下,不可能作园周运动； （E ）物体在垂直于速度方向，但大小可变的力的作用下，可以作匀速曲线运动. 2．如图2.4所示,一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角速度ω 绕其对称轴旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对碗
静止，其位置高于碗底4cm,则由此可推知碗旋转的角速度约为：
（A ）13rad/s . （B ）17rad/s .
（C ）10 rad/s . （D ）18rad/s.
3．把一块砖轻放在原来静止的斜面上，砖不往下滑动，如图2.5所示，斜面与地面之间无摩擦，则
图2.5
图2.4
图2.3
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（A ） 斜面保持静止. （B ） 斜面向左运动. （C ） 斜面向右运动. （D ） 无法判断斜面是否运动. 4．如图2.6所示，弹簧秤挂一滑轮，滑轮两边各挂一质量为m 和2m 的物体，绳子与滑轮的质量忽略不计，轴承处摩擦忽略不计，在m 及2m 的运动过程中，弹簧秤的读数为
（A ） 3mg . （B ） 2mg . （C ） 1mg . （D ） 8mg / 3. 二、填空题
1. 一质量为m 1的物体拴在长为l 1的轻绳上，绳子的另一端固定在光滑水平桌面上,另一质量为 m 2的物体用长为l 2的轻绳与m 1相接,二者均在桌面上作角速度为ω的匀速圆周运动,如图
2.7所示.则l 1, l 2两绳上的张力
2．质量分别为A m 和B m 的两滑块A 和B ，由弹簧水平连接置于桌面上（图2.8），两滑块与桌面间的摩擦系数均为μ。

系统在拉力F 作用下
匀速运动，如忽然撤消拉力F 的瞬间，两者加速度
=A a ，=B a 。

3．质量相等的两物体A 和B ，固定于弹簧的两端，并竖直放于光滑水平面C 上（图2.9），若迅速移走C 的瞬间，两物体加速度分别为=A a ，=B a 。

4．用轻绳AB 和BC 连接静止的质量为m 的小球，（图2.10，θ角已知），剪断绳AB 前后的瞬间，绳BC 的张力之比='
:T T ；剪后瞬间，小球的切向加速度的大小=t a 。

5．一架轰炸机在俯冲后沿一竖直面内的圆周轨道飞行,如图2.11所示,如果飞机的飞行速率为一恒值v =640km/h ，为使飞机在最低点的加速度不超过重力加速度的7倍（7g ）,则
图2.6
＜ ＜ ＜ ＜
图2.6
a
图2.7
图2.8
图
2.11
图2.9
图2.10
18 他的视重（即人对坐椅的压力） = . 三、计算题
1．半径为R 的直立圆筒，可绕其轴转动。

一小物体紧靠在其内壁上（图2.12），已知其间的静摩擦系数为μ，要使物体不下落，圆筒旋转的角速度ω至少为多少？
2．在倾角为α的圆锥体侧面，距轴为R 处放一质量为m 的小物体，圆锥体绕竖直轴以匀角速ω转动（图2.13）。

为使物体相对锥体静止不动，物体与锥面间的静摩擦系数μ至少为多少？
3. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度成正比,比例系数为
k ,忽略子弹的重力,求：
（1） 子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数关系式； （2） 子弹射入沙土的最大深度.
图2.13。