广东省广州市天河中学2017高考数学(理科)一轮复习基础知识检测：抛物线02.doc

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备战2017广东天河地区高考高三数学(理科)一轮复习试题精选：函数02

函数0215.给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】C【解析】①在区间(0,)+∞上,只有12y x =，3y x =是增函数，所以①错误。

②由log 3log 30m n <<，可得3311log log m n <<，即33log log 0n m <<，所以01n m <<<，所以②正确。

③正确。

④当2x ≤时，231x -≤，由2132x -=，可知此时有一个实根。

当2x >时，由31log (1)2x -=，得13x -=，即13x =+，所以④正确。

所以正确命题的个数为3个。

选C.16.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则123x x x ++的取值范围是A ． ]6311(， B ．），（326320 C ．2026]33（， D ．），（6311【答案】D【解析】22=66(3)3y x x x -+=--，所以对称轴为3x =，当343x +=-时，73x =-，所以要使互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则有1233()()()4f x f x f x -<==<，不妨设123x x x <<，则有1703x -<<，233,2x x +=，236x x +=，所以1237663x x x -+<++<，即1231163x x x <++<，所以123x x x ++的取值范围是11(,6)3，选D,如图。

广东广州市天河中学2017高考数学一轮复习函数的奇偶性和周期性02基础知识检测文

函数的奇偶性与周期性02基础热身1．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图像( ) A ．关于点(1,0)对称 B ．关于点(0,1)对称C ．关于点(－1,0)对称D ．关于点(0，－1)对称 3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．能力提升5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f (|x |)为偶函数；②f (x )＋f (－x )为非奇非偶函数；③f (x )－f (－x )为奇函数；④[f (x )]2为偶函数．其中正确判断的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜－2或x ＞2}7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2009)＋f (2011)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算8．已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f －12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a 0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．12．(13分)设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)<3，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(1) 求a ，b ，c 的值；(2)当x <0时，f (x )的单调性如何？证明你的结论．难点突破13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①任意x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2) 判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集．答案解析【基础热身】1．D [解析] 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又因为f (x )＋g (x )＝e x，所以g (x )＝e x －e －x 2.2．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，所以g (x )的图像关于原点(0,0)对称，当x ＝0时，有f (0)－1＝0，此时f (0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B [解析] 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.4．－1 [解析] 设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x为奇函数．又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.【能力提升】5．B [解析] 对于①，用－x 代替x ，得f (|－x |)＝f (|x |)，所以①正确；对于②，用－x 代替x ，得f (－x )＋f (x )＝f (x )＋f (－x )，所以②错误；对于③，用－x 代替x ，得f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]，所以③正确；易知④错误．6．B [解析] ∵f (x )＝2x－4(x ≥0)，∴令f (x )＞0，得x ＞2.又f (x )为偶函数且f (x －2)＞0，∴f (|x －2|)＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或x ＜0，∴{x |x ＜0或x ＞4}．7．C [解析] 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2009)＝f (1)，f (2011)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2009)＋f (2011)＝0.8．A [解析] ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∴x 2－x 1>0时，f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)， ∴c >a >b .即b <a <c . 9．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) [解析] 通过f (x )(x ∈R )图像的草图得知函数f (x )(x ∈R )在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．10．2 8 [解析] 由题意得f (x ＋a )＝(x ＋a )2－4(x ＋a )＋3＝x 2＋(2a －4)x ＋a 2－4a ＋3，因为f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，a ＝2.f [f (a )]＝f [f (2)]＝f (－1)＝8.11．－8 [解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.12．[解答] (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠－cb ，则－c b ＝0，∴c ＝0，于是得f (x )＝ax b ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3，∴8b －32b <3，即0<b <32.又b ∈Z ，∴b ＝1，则a ＝1.a ＝1，b ＝1，c ＝0符合f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x.已知函数f (x )是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f (x )在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,1－1x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴函数f (x )在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．【难点突破】13．[解答] (1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0；再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0.对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x )．又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1.又∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0.又f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)．又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≤－2或x ≥83，∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥83.。

广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习导数和函数的极值、最值01基础知识检测文

导数与函数的极值、最值01基础热身1．下列命题中正确的是( ) A ．导数为0的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是最小值2．函数y ＝x ＋1x的极值情况是( )A ．既无极小值，也无极大值B ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值C ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值D ．当x ＝1时，极小值为2，当x ＝－1时，极大值为－23．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图K15－1，则( )图K15－1A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点能力提升5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e6．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．98．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <329．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能．．．为y ＝f (x )的图像是( )图K15－210．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.12．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．13．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________．14．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像在点P (1，f (1))处的切线为3x ＋y －3＝0. (1)求函数f (x )的解析式及单调区间；(2)求函数在区间[0，t ](t >0)上的最值．15．(13分)已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.(1)若f (x )在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；(2)在(1)的条件下，若函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝k 的图像恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)当a ＝25时，求函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2上的最值；(3)函数f (x )在[1,2]上恒有f (x )≥3成立，求a 的取值范围．答案解析【基础热身】1．B [解析] 根据可导函数极值的判别方法，如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．2．D [解析] 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝1－1x 2＝x 2－1x2，令y ′＝0，3．D [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a ＝5.4．A [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．【能力提升】5．A [解析] y ′＝e x ＋a ＝0，e x＝－a ，x ＝ln(－a )，∵x ＞0，∴ln(－a )＞0且a ＜0. ∴－a ＞1，即a ＜－1.6．A [解析] 由题意可得f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，令f ′(x )＝0得x ＝－22(舍正)，列表如下：f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0单调递减，故选A. 7．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D. 8．A [解析] 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.9．D [解析] 设F (x )＝f (x )e x，∴F ′(x )＝e x f ′(x )＋e x f (x )＝e x (2ax ＋b ＋ax 2＋bx ＋c )，又∵x ＝－1为f (x )e x的一个极值点，∴F ′(－1)＝e －1(－a ＋c )＝0，即a ＝c ，∴Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4a 2，当Δ＝0时，b ＝±2a ，即对称轴所在直线方程为x ＝±1；当Δ>0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a >1，即对称轴在直线x ＝－1的左边或在直线x ＝1的右边．又f (－1)＝a －b ＋c ＝2a －b ＜0，故D 错，选D. 10.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x ＝x －1x >0，x >0，得x >1.由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x ＝x －1x <0，x >0，得0<x <1，∴f (x )在x ＝1时，取得最小值f (1)＝12－ln1＝12.11．11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝0，f ′ －1 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －n －1＝0，－6m ＋n ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，检验知当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3时，函数没有极值．所以m ＋n ＝11.12．4 [解析] ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2，∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 [解析] ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx .∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝c >0，f 2 ＝13×23－22＋c <0，解得0＜c ＜43.14．[解答] (1)由P 点在切线上得f (1)＝0，即点P (1,0)，又P (1,0)在y ＝f (x )上，得a ＋b ＝－1，又f ′(1)＝－3⇒2a ＝－6，所以a ＝－3，b ＝2.故f (x )＝x 3－3x 2＋2.f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )>0，解得x >2或x <0，∴f (x )的增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间是(0,2)．(2)当0<t ≤2时，f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )max ＝f (0)＝f (3)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－2，当t >3时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2，f (x )min ＝f (2)＝－2.15．[解答] (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由已知得f ′(1)＝0，f (1)＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＋2＝－1，解得b ＝1，c ＝－5.经验证，b ＝1，c ＝－5符合题意．(2)由(1)知f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2x －5.由f ′(x )＝0得x 1＝－53，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：根据上表，当x ＝－3时函数取得极大值且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27，当x ＝1时函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.根据题意结合上图可知k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，22927. 【难点突破】16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x .令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞单调递增．所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e.(2)法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x ， ①若a ≤1，当x >1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x >1－a ≥0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1.②若a >1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1，此时，若x ∈(1，x 0)，则g ′(x )<0，故g (x )在该区间为减函数．所以x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (1)＝1－a <0，即f (x )<ax －1，与题设f (x )≥ax －1相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(－∞，1]．法二：依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .当x >1时，因为g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x >0，故g (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以g (x )的最小值是g (1)＝1，所以a 的取值范围是(－∞，1]．。

广东省广州市天河中学2017高考数学(理科)一轮复习基础知识检测：合情推理和演绎推理.doc

合情推理与演绎推理基础热身1．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是() A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．已知命题：若数列{a n}为等差数列，且a m＝a，a n＝b(m≠n，m、n∈N*)，则a m＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，b m＝a，b n＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到b m＋n＝()A.m－n b ma n B.n－m b na mC.n－mb n a m D.n－mb m a n4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24图K67－1A ．105B ．106C ．107D ．10810．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 (n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋1 ＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2(n ∈N *)”，其结果为________．13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为____________(n ∈N *)．图K67－214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定C mx ＝x · x －1 ·…· x －m ＋1 m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn.②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z.答案解析【基础热身】1．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 81，b n>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.2．D[解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的b na m，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－m b na m.故b m＋n＝n－m b na m.4．①③④[解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析] f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x＝f1(x)，f6(x)＝(cos x)′＝－sin x＝f2(x)，f n＋4(x)＝…＝…＝f n(x)，故可猜测f n(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cos x，故选C.6．A[解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析] y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2＋3n4 n ＋1 n ＋2[解析]∵1k k ＋1 k ＋2＝12⎣⎡⎦⎤1k k ＋1 －1 k ＋1 k ＋2 ，依次裂项，求和得n 2＋3n 4 n ＋1 n ＋2. 13．f (n )＝2n 2－2n ＋1 [解析] 由f (1)＝1，f (2)＝1＋3＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f (n )＝1＋3＋5＋…＋2n －1＋…＋3＋1，∴f (n )＝2× n －1 [1＋ 2n －3 ]2＋(2n －1)＝2n 2－2n ＋1.14．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－ 2S 平面BCC 1B 1S 平面ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小．证明：∵CC 1⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S 平面BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S 平面ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S 平面ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－2S 平面BCC 1B 1·S 平面ACC 1A 1·cos α.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C5－15＝－15 －16 －17 －18 －195！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：Cm x＋Cm －1x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＋x x －1 x －2 … x －m ＋2m －1 ！＝x x －1 x －2 … x －m ＋2 m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证．当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x＝x x －1 x －2 …0… x －m ＋1m ！＝0∈Z ，结论也成立；当x <0时，C m x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z.综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z.。

广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习数学证明基础知识检测理

数学证明基础热身1．在用反证法证明命题“已知a 、b 、c ∈(0,2)，求证a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )A ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都小于1B ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都大于1C ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都不大于1D ．以上都不对2．在△ABC 中，已知sin A ＋cos A ＝12，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．设a ，b ，c 均为正实数，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．能力提升5．一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A (如图K68－1所示)，其中：AB ⊥BC ，AB ∥CD ∥EF ∥HG ∥IJ ，BC ∥DE ∥FG ∥HI ∥JA .欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－20107．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等比数列，cos A 、cos B 、cos C 成等差数列，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，且3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪(9,25) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪[9,25) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53∪[9,25]9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a 1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2010a 2011＝________.12．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为________．13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n.若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14．(10分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.15. (13分)试比较n n ＋1与(n ＋1)n(n ∈N *)的大小．当n ＝1时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝2时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝3时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝4时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜) 猜想一个一般性结论，并加以证明．难点突破16．(12分)数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝0，a n ＋1是函数f n (x )＝13x 3－12(3a n ＋n 2)x 2＋3n 2a n x 的极小值点，求通项a n .答案解析【基础热身】1．B [解析] “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.2．C [解析] 由sin A ＋cos A ＝12，得，(sin A ＋cos A )2＝1＋2sin A cos A ＝14，∴sin A cos A <0.∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.故选C. 3．D [解析] 因为a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a≥6，故选D.4．x <y [解析] x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝－a ＋b －2ab2＝－a －b22.∵a ，b 是不相等的正数，∴a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴－a －b22<0，∴x 2<y 2.又∵x >0，y >0，∴x <y .【能力提升】5．B [解析] 只需测量AB ，BC ，GH 这3条线段的长．6．A [解析] ∵⎪⎪⎪⎪48 610＝－8，⎪⎪⎪⎪1216 1418＝－8，…，⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝－8，区间[4,2010]中共有1004个偶数，若每四个偶数为一组，共有251组，∴⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝(－8)＋(－8)＋…＋(－8251个＝－8×251＝－2008，故选A.7．A [解析] ∵cos A ，cos B ，cos C 成等差数列，∴2cos B ＝cos A ＋cos C ＝2cos A ＋C 2cos A －C2＝2sin B 2cos A －C 2，∴cos(A －C )＝2cos 2A －C 2－1＝2cos 2B sin2B 2－1.①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sinC ，∴2sin 2B ＝cos(A －C )＋cos B ，∴cos(A －C )＝2sin 2B －cos B ，② 将①代入②整理得：(2cos B －1)(cos B －3)(cos B ＋1)＝0.∵09或a <53，1≤a <25⇒a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25)．(2)当a ＝25时，不等式为25x －5x 2－25<0，解之得M ＝(－∞，－5)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，5，则3∈M 且5∉M ， ∴a ＝25满足条件，综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 9．C [解析] ①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.选C.10．1005 [解析] 由题意归纳出第n 行的各数之和为(2n －1)2,2n －1＝2009，n ＝1005. 11.20092010[解析] a n ＝3(n －1)，a n a n ＋1＝9n (n －1)，裂项求和即可． 12．3＋2 2 [解析] 由题知直线经过圆心(2,1)，则有a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋2a b ≥3＋2 2.13.332 [解析] sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.14．[解答] 证明：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.①又(1－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确． 15．[解答] < < > >结论：当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．证明：①当n ＝3时，34＝81>64＝43成立；②假设当n ＝k (k ≥3)时成立，即k k ＋1>(k ＋1)k成立，即k k ＋1k ＋k>1，则当n ＝k ＋1时，∵k ＋k ＋2k ＋k ＋1＝(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋2k ＋1>(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1k ＋1＝k k ＋1k ＋k>1，∴(k ＋1)k ＋2>(k ＋2)k ＋1，即当n ＝k ＋1时也成立．∴当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．【难点突破】16．[解答] 易知f ′n (x )＝x 2－(3a n ＋n 2)x ＋3n 2a n ＝(x －3a n )(x －n 2)，令f ′n (x )＝0，得x ＝3a n 或x ＝n 2，(1)若3a n <n 2，当x <3a n 时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增；当3a n <x <n 2时，f ′n (x )<0，f n (x )单调递减；当x >n 2时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增，故f n (x )在x ＝n 2时，取得极小值．(2)若3a n >n 2，仿(1)可得，f n (x )在x ＝3a n 时取得极小值．(3)若3a n ＝n 2，f ′n (x )≥0，f n (x )无极值．因a 1＝0，则3a 1<12，由(1)知，a 2＝12＝1.因3a 2＝3<22，由(1)知a 3＝22＝4，因3a 3＝12>32，由(2)知a 4＝3a 3＝3×4，因3a 4＝36>42，由(2)知a 5＝3a 4＝32×4，由此猜想：当n ≥3时，a n ＝4×3n －3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，3a n >n 2. 事实上，当n ＝3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n ＝k (k ≥3)时，3a k >k 2成立，则由(2)知a k ＋1＝3a k >k 2，从而3a k ＋1－(k ＋1)2>3k 2－(k ＋1)2＝2k (k －2)＋2k －1>0，所以3a k ＋1>(k ＋1)2.故当n ≥3时，a n ＝4×3n －3，于是由(2)知，当n ≥3时，a n ＋1＝3a n ，而a 3＝4，因此a n ＝4×3n －3，综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，n ＝，4×3n －3n。

广东省天河地区2017高考数学一轮复习试题精选导数02文

导数028.〔本小题总分值13分〕函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．〔Ⅰ〕假设2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程；〔Ⅱ〕求函数()f x 单调区间. 【答案】解：222122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．〔Ⅰ〕当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x'=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线斜率为(1)2f '=． …………………………2分从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分〔Ⅱ〕函数()f x 定义域为(0,)+∞．设2()2h x ax x a =-+，〔1〕当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，那么()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分〔2〕当0a >时，244a ∆=-，〔ⅰ〕假设01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得或；……………8分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a-+<<．………………………9分所以函数()f x 单调递增区间为和，单调递减区间为11(,a a+． ……………………………………11分〔ⅱ〕假设1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，那么()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分9.〔本小题共13分〕函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . 〔Ⅰ〕当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处切线方程；〔Ⅱ〕假设)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 取值范围.【答案】解：〔Ⅰ〕当1=m 时，321()313f x x x x =+-+，又2'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =.又，所以所求切线方程为，即153250x y --=.所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处切线方程为025315=--y x .………6分〔Ⅱ〕因为2232('m mx x x f -+=），令'(0f x =），得3x m =-或x m =.………………………8分当0m =时，2'(0f x x =≥）恒成立，不符合题意. ……………………………9分当0m >时，()f x 单调递减区间是(3,)m m -，假设()f x 在区间(2,3)-上是减函数，那么解得3m ≥.……………………………………………11分当0m <时，()f x 单调递减区间是(,3)m m -，假设()f x 在区间(2,3)-上是减函数，那么，解得2m ≤-.综上所述，实数m 取值范围是3m ≥或2m ≤-. …………………………13分10.〔本小题总分值13分〕函数.,1ln )(R ∈-=a xx a x f 〔I 〕假设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线与直线02=+y x 垂直，求a 值；〔II 〕求函数)(x f 单调区间；【答案】〔I 〕函数}0|{)(>x x x f 的定义域为，又曲线))1(,1()(f x f y 在点=处切线与直线02=+y x 垂直，所以.21)1(=+='a f 即a =1.〔II 〕由于当0≥a 时，对于0)(),,0(>'+∞∈x f x 有在定义域上恒成立，即),0()(+∞在x f 上是增函数. 当).,0(1,0)(,0+∞∈-=='<a x x f a 得由时当)(,0)(,)1,0(x f x f a x >'-∈时单调递增；当)(,0)(,),1(x f x f ax <'+∞-∈时单调递减. 11.〔本小题共13分〕函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．〔Ⅰ〕求函数=()y f x 图象在点(1,(1))P f 处切线l 方程；〔Ⅱ〕证明函数=()(1)y f x x ≠图象在直线l 下方；〔Ⅲ〕假设函数=()y f x 有零点，求实数a 取值范围．【答案】〔Ⅰ〕 …………………2分(1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分〔Ⅱ〕令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，那么11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--，解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠图像在直线 l 下方． …………………9分〔Ⅲ〕=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解， .令，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x x g x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …….…11分那么()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分12.〔本小题总分值13分〕函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈〔Ⅰ〕假设函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 值；〔Ⅱ〕假设对于任意[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 最小值．【答案】〔Ⅰ〕()232f x x ax b '=++， ………………………………1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩解得或 ……………………3分当时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分当时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分所以 11b =-． …… …………………………………………………… 6分〔Ⅱ〕法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立，即 ()2max 38b x x ≥-+. ……………………………………11分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以当时，， ……………………………12分所以，所以 b 最小值为163． ………………………………13分法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max 32b x ax≥--． …………………………………………8分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，…………………………… 9分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分当40a -≤<时，()2max 33a a F x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，．……11分又，所以． ………………………………12分综上，b 最小值为163． ………………………………13分 13.〔本小题总分值12分〕函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．〔1〕讨论函数)(x f 在定义域内极值点个数；〔2〕假设函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 取值范围；【答案】解：〔1〕x ax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，()0f x '<得，()0f x '>得，∴)(x f 在上递减，在上递增，即)(x f 在ax 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． …………6分〔注：分类讨论少一个扣一分。

广东天河地区2017高考数学一轮复习试题精选立体几何02 理

立体几何0215.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为A 【答案】B为32=1+2=3，所以该几何体的体积为33⨯= B.16.积中最大的是【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为BCD ∆，且B C D ∆是边长为为2的正三角形，所以1222BCD S ∆=⨯⨯= A. 17.已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等（） A.43π B.2π C.83π D.103π【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为2h ===，所以圆锥的体积为12233ππ⨯⨯=，半球的体积为23π，所以几何体的总体积为224333πππ+=，选A. 18.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ【答案】C【解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。

19.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A ．38B ．4C ．2D ．34【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为14362⨯⨯=，所以该几何体的体积为16243⨯⨯=，选B.20.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（A）16+B）12+C）8+D）4+【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为122242⨯⨯⨯=，侧面积为(2228++⨯=+8412+=+ B.21.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）（A ）B ）C ）D ）【答案】C【解析】由三视图可知该四面体为V ABC -,其中2E C C B ==,AE =,2VC =,,AE BE VC ABE ⊥⊥.所以六条棱中，最大的为VA或者AB .22222216AC AE EC =+=+=,所以22216220V A A C V C =+=+=，此时25VA ==。

广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习双曲线02基础知识检测文

双曲线02基础热身1．下列双曲线中，离心率为62的是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 26＝1 C ．－x 22＋y 24＝1 D ．－x 22＋y 26＝12．双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.1053．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是________．能力提升5．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝16．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋127．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．08．双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．49．双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________．10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．11．已知点P 为双曲线x 2－y 28＝1的右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝SIPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为________．12．(13分)点M (x ，y )到定点F (5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是53.(1)求点M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标系原点)．难点突破13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．答案解析【基础热身】1．C [解析] 计算知，选项C 正确，故选C.2．B [解析] 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －1－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.3．A [解析] 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.4.x 29＋y 24＝1 [解析] 由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C的方程为x 29＋y 24＝1.【能力提升】5．B [解析] 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．故选B.6．D [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－bc，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52. 7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x .10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ，代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1.11.13[解析] I 为△PF 1F 2的内心，所以其到三角形三边的距离d 相等．由S △IPF 1＝SIPF 2＋λS △IF 1F 2，得12|PF 1|·d ＝12|PF 2|·d ＋12λ|F 1F 2|·d ，即|PF 1|－|PF 2|＝λ×2c ，得2＝λ×2×3，λ＝13. 12．[解答] (1)|MF |＝x －2＋y 2，点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95，依题意，有x －2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95＝53，去分母，得3x －2＋y 2＝|5x －9|，平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 的轨迹方程．(2)设点P 坐标为P (x ，y )，由|OP |＝34得x 2＋y 2＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－4，∴点P 为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4)．【难点突破】13．[解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ，因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)，当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得，16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习指数与指数函数02基础知识检测文

指数与指数函数02基础热身1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＞0且a ≠12．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①01，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④能力提升5．已知函数y ＝4x －3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]6．函数y ＝e x ＋e－x e x －e－x 的图像大致为( )－37．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，ba >b ，如1]( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)8．若x 1满足2x ＋2x＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72 D ．49．计算：22－4log 25＋4＋log 215＝________.10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．11．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2的单调增区间为________．12．(13分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．13．(12分)已知函数f (x )＝2|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋2m －8. (1)若m ＝2，求函数g (x )的单调区间；(2)若方程f(x)＝2|m|在x∈[－4，＋∞)恒有唯一解，求实数m的取值范围；(3)若对任意x1∈(－∞，4]，均存在x2∈[4，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m 的取值范围．答案解析【基础热身】1．C [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1，得a ＝2.2．B [解析]由1<x <2，可知1<x 3<8；－1<x －2<0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2.3．B [解析] 当a b >0时，都存在a 、b 使⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b成立，故①②⑤正确，③④不正确，因此选B.4．B [解析] ∵a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，∴①错；②显然正确；解⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确；∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．【能力提升】5．D [解析] y ＝(2x )2－3×2x＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －322＋34∈[1,7]，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －322∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，254.∴2x－32∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52.∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．6．A [解析] 要使函数有意义，需e x －e －x≠0，所以其定义域为{x |x ≠0}，又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以当x >0时函数为减函数，故选A. 7．C [解析] 由定义知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥0，2x，x <0，而x ≥0时，2－x ∈(0,1]；x <0时，2x∈(0,1)，∴函数f (x )的值域为(0,1]．8．C [解析] 依题意：2x 1－1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝52－x 2，∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝32－(x 2－1)．又函数y 1＝2x与y 2＝log 2x 互为反函数，∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝72.故选C.9．－2 [解析] 原式＝25－2－log 25＝log 25－2－log 25＝－2. 10.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 数形结合．当a >1时，只有一个公共点，不符合题意．当0<a <1时，知0<2a <1，∴0＜a ＜12.11.14，＋∞ [解析] 设u ＝6＋x －2x 2，则u ＝－2x －142＋498，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞上为减函数，又0<12<1， ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.12．[解答] (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数， ∴f (x )为增函数．故当a ＞0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．【难点突破】13．[解答] (1)m ＝2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －x ，－x 2＋2x －x 函数g (x )的单调增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，单调减区间为(1,2)．(2)由f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有唯一解，得|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有唯一解．当x －m ＝－m 时，得x ＝0∈[－4，＋∞)；当x －m ＝m 时，得x ＝2m ，则2m ＝0或2m <－4，即m <－2或m ＝0.综上，m 的取值范围是m <－2或m ＝0.(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －m x ≥m ，2m －x x <m 则f (x )的值域应是g (x )的值域的子集．①当4≤m ≤8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在[4，m ]上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得4≤m ≤5或8≥m ≥6.②当m >8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，m 2上单调递增，⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2，m 上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，g (4)＝6m －24>g (m )＝2m －8，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得m >8.③0<m <4时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即72≤m <4.④m ≤0时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即m ≥72(舍去)．综上，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，5∪[6，＋∞)．。

广东省天河地区高考数学一轮复习试题精选圆锥曲线02

圆锥曲线0213.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】本题答案应为D(试题提供的答案是B)【解析】抛物线x y 42=的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-。

若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于6，不适合．故设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为(1)y k x =-，代入抛物线y 2=4x 得，22222(2)0k x k x k -++=，所以21222(2)k x x k ++=。

因为A,B 到直线2-=x 的距离之和等于5,即12225x x +++=，即121x x +=，所以21222(2)1k x x k++==，解得23k =-，显然不成立，所以不存在这样的直线，选D. 14.已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为．【答案】9【解析】由双曲线的方程可知2a =，设右焦点为1F ，则1(4,0)F 。

124PF PF a -==，即14PF PF =+，所以1144PF PA PF PA AF +=++≥+，当且仅当1,,A P F三点共线时取等号，此时221(41)4255AF =-+==，所以149PF PA AF +≥+=，即PF PA +的最小值为9.15.已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______． 2【解析】由椭圆的方程可知2,a c ==，且12||||24PF PF a +==，所以解得12||3,||1PF PF ==，又12||2F F c ==，所以有2221212||||PF PF F F =+，即三角形21PF F 为直角三角形，所以△12PF F的面积12211122S F F PF ∆==⨯= 16.已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，21B B 是双曲线的虚轴，M 是1OB 的中点，过M F 、的直线交双曲线C 于A ，且2=，则双曲线C 离心率是_________________.【答案】52【解析】由题意可知(,0),(0,)2b F c M -,设(,)A x y ，则由2=得(,)2(,)22b bc x y =-，解得3,24c x y b ==，即3(,)24c A b ，因为点A 在双曲线上，所以222291416c b a b -=，即2291416c a -=，所以2225416c a=，即22254c a =，即2254e =，所以52e =。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习抛物线01基础

抛物线01基础热身1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2 B．3C.115D.37164．点A，B在抛物线x2＝2py(p>0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为( )A.2py0B.py0C.px0D.x0p能力提升5．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝06．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－27．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )A.12B．1 C．2 D．48．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )A．4 3 B．8C．8 3 D．169．已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．10．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)，斜率为k 的直线与C 相交于M ，N 两点，若线段MN 的中点在直线x ＝3上，则k ＝________.12．(13分) 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)． (1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰好过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．难点突破13．(12分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．(1)求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；(2)若FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，求λ2的取值范围．答案解析【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是(－2,0)．2．B [解析] 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .3．A [解析] 设动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和为d ，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.4．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2211x 22＝2py 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝x 0p.【能力提升】5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.6．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－p2，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16.∴3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，∴p ＝2.方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，解得p ＝2.8．B [解析] 设准线l 与x 轴交于点B ，连接AF 、PF ，则|BF |＝p ＝4，∵直线AF 的斜率为－3，∴∠AFB ＝60°.在Rt △ABF 中，|AF |＝4cos60°＝8.又根据抛物线的定义，得|PA |＝|PF |，PA ∥BF ，∴∠PAF ＝60°，∴△PAF 为等边三角形，故|PF |＝|AF |＝8.9．－14 [解析] 抛物线方程为x 2＝1a y ，故其准线方程是y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14.10.324 [解析] 设抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由B 为线段FA 的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得p ＝2，则B 到该抛物线准线的距离为p 4＋p 2＝3p 4＝324.11．±22[解析] 过点A (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)，与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 1＝4－2k 2k2，x 1x 2＝1.因为线段MN 的中点在直线x ＝3上，所以x 1＋x 2＝6，即4－2k 2k 2＝6，解得k ＝±22.而此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0的判别式大于零，所以k ＝±22. 12．[解答] (1)由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22. (2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0x －x 0，y 2＝4x ，消去x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0，所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为AB 中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2. 【难点突破】13．[解答] (1)证明：由已知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设A (x 1，y 1)，则y 21＝2px 1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋p 4，y 12，圆心到y 轴的距离为2x 1＋p 4，圆的半径为|FA |2＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝2x 1＋p 4，所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切．(2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1，由y 2＝－λ2y 1，得y 22＝λ22y 21.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以x 2＝λ22x 1.代入p2－x 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，得p2－λ22x 1＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，p2(1＋λ2)＝x 1λ2(1＋λ2)，整理得x 1＝p2λ2，代入x 1－p2＝－λ1x 1，得p2λ2－p2＝－λ1p2λ2，所以1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋p2，将x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2(*)．由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1，将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 21＝p 2λ2，所以2px 1＝p 2λ2，x 1＝p2λ2.代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2.。

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习双曲线02基础

广东省天河地区2017高考数学一轮复习试题精选直线与圆理

直线与圆1.倾斜角为135︒，在y 轴上截距为1-直线方程是〔〕A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x【答案】D【解析】直线斜率为tan1351k ==-，所以满足条件直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.2.30y +-=倾斜角是 A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 【答案】D【解析】直线斜截式方程为3y =+，即直线斜率tan k α==，所以，选D. 1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行，那么a 值为〔〕A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2 【答案】A【解析】直线1l 方程为，假设1a =-，那么两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，那么有，由，解得1a =或2a =-。

当2a =-时，，所以不满足条件，所以1a =，选A.4. “1k =〞是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交〞A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】要使直线0x y k -+=与圆221x y += 相交，那么有圆心到直线距离。

即k ≤所以k ≤≤，所以“1k =〞是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交〞充分不必要条件，选A.5.1by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),那么点P(a,b)与点(0,1)之间距离最大值为 ( )A.1+B.2 1【答案】A【解析】因为△AOB 是直角三角形，所以圆心到直线距离为2，所以，即2222a b +=。

所以，由，得22,b b ≤≤≤。

所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为d ====，即，因为b ≤≤所以当b =1d ====+选A. 6.假设点(1,1)P 为圆2260x y x +-=弦MN 中点，那么弦MN 所在直线方程为〔〕 A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=【答案】D 【解析】圆标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)A ,因为点(1,1)P 弦MN 中点，所以AP MN ⊥,AP 斜率为，所以直线MN 斜率为2，所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选D.点(1,3)P 且在x 轴上截距和在y 轴上截距相等直线方程为〔〕〔A 〕40x y +-= 〔B 〕30x y -= 〔C 〕40x y +-=或30x y += 〔D 〕40x y +-=或30x y -=【答案】D【解析】假设直线过原点，设直线方程为y kx =，把点(1,3)P 代入得3k =，此时直线为3y x =，即30x y -=。

广东天河地区2017高考数学一轮复习试题精选立体几何03 理

立体几何031.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【答案】75+【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。

棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰CD 所以梯形的面积为(45)32722S +⨯==，梯形的周长为34512++=，所以四个侧面积为12)448⨯=，所以该几何体的表面积为27482752+⨯=+2.三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.【答案】【解析】取AC 的中点，连结BE,DE 由主视图可知,BE AC BE DE ⊥⊥.DC ABC ⊥且4,2DC BE AE EC ====.所以4BC ==，即BD ==3.如右图, 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB AC =，2AD =，则A 、D 两点间的球面距离．【答案】23π【解析】因为AB 、AC 、AD 两两互相垂直，所以分别以AB 、AC 、AD 为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径24R ===，所以球半径为2R =,在正三角形AOD 中，3AOD π∠=，所以A 、D 两点间的球面距离为233R ππ=. 4.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm 2．【答案】62)π+【解析】由三视图可知，该几何体试题是半个圆锥，如图底面半径为2，圆锥的高为3.=所以底面积为21222ππ⨯=，三角形14362VAB S ∆=⨯⨯=,圆锥的底面弧长为2π，圆锥的侧面积为122π⨯=，所以圆锥的表面积为626(2ππ++=++。

5.已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.【答案】32【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所以梯形面积为1(12)322⨯+=，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为32。

广东省天河地区2017高考数学一轮复习试题精选函数03理

函数0331.已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合A={m|f(m)<0}，则(A) ,m A ∀∈都有(3)0f m +> (B) ,m A ∀∈都有(3)0f m +<(C) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)<0【答案】A【解析】由,0a b c a b c >>++=可知0,0a c ><，且(1)0,(0)0f f c ==<。

即1是方程20ax bx c ++=的一个根，当1x >时，()0f x >。

由a b >，得1b a >，设方程20ax bx c ++=的另外一个根为1x ，则111b x a+=->-，即12x >-，由()0f m <可得21m -<<，所以134m <+<，由抛物线的图象可知，(3)0f m +>，选A.32.已知函数⎩⎨⎧≥<+=0,0,1)(x e x x x f x ，则=-)3)0((f f ．【答案】1- 【解析】0(0)1,(0)3132f e f ==-=-=-，所以((0)3)(2)211f f f -=-=-+=-。

33.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =_______________【答案】2-【解析】由(4)()f x f x +=可知函数的周期是4，所以(7)=(78)=(1)f f f --，又因为函数是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，所以(7)=2f -。

34.给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈；③函数=()y f x 的最小正周期为1；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．【答案】①③ 【解析】①中，令11,(,]22x m a a =+∈-，所以11()={}(,]22f x x x a -=∈-。

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